Об образах Фурье функций из классов L p для оператора Шредингера с измеримым и ограниченным потенциалом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

для оператора Шредингера с измеримым и ограниченным потенциалом

( 01,01.02 -Дифференциальные уравнения )

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1997

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель доктор физико-математических наук, академик В.А.Ильин.

Официальные оппоненты -доктор физико-математических наук, профессор М.Л. Гольдман, кандидат физико-математических наук, доцент М.В. Сучков.

Ведущая организация Московский Энергетический Институт (Технический Университет).

Защита диссертации состоится " 1997 г,

в часов ЗО минут на заседании диссертационногно совета

К.053.05.87 в Московском Государственном Университете те. М.В.Ломоносова по адресу : 119899, г. Москва, Воробьевы горы , МГУ, 2-й учебный корпус, факультет- вычислительной математики и кибернетики, ауд._ ¿Ж"

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ.

Автореферат разослан "_"__1997 г.

Ученый секретарь диссертационного смета,

доцент 1 В.М.Говоров

Общая характеристика работы.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ . Диссертационная работа относится к спектральной теории дифференциальных операторов , в создание и развитие которой внесли большой вклад такие известные математики, как В.А.Стеклов , А.Хаар , Л.Д.Тамаркин , М.В. Келдыш , Е.Титчмарш и продолжают вносить большие отечественные и зарубежные школы математиков и физиков. Такому интенсивному и плодотворному развитию теории способствует не только её внутренняя математическая красота , но (и это , возможно , важнее ) многочисленные и разносторонние приложения теории в различных задачах физики , квантовой и статистической механики , а также в задачах современных технологий , как , например, расчет ядерных реакторов , и д.р.

Объектом исследований в диссертации является одномерный оператор Шредингера с измеримым и ограниченным потенциалом на всей действительной прямой. Изучаемый класс операторов Шредингера включает в себя в качестве частных случаев такие важные для приложений операторы , как оператор Хилла и оператор Шредингера с почти периодическим потенциалом. Исследованию свойств оператора Хилла и оператора Шредингера с почти периодическим потенциалом посвящены работы как многих зарубежных математиков ( Б.Саймон , Д.Шенк ) , так и отечественных ученых московской математической школы С.П.Новикова , математической школы Л.Д.Фадеева в Санкт-Петербурге , украинской математической школы В.А.Марченко.

В диссертации изучается поведение образов Фурье функций классов Ьр для самосопряженного расширения на всей

действительной прямой оператора Шредингера с измеримым и ограниченным на этой прямой потенциалом. Такая информация , как обнаружил В.А.Ильин1,2, играет важную роль для выяснения

1 Ильин В.А. Равномерная на всей прямой К равносходимость с интегралом спектрального разложения , отвечающего самосопряженному расширению оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения,-1995,- Т.31.-№ 12.-С. 1957-1967.

2 Ильин В.А., Антониу И. Равномерная на всей прямой II оценка отклонения от разлагаемой функции её спектрального разложения , отвечающего оператору Шредингера с ограниченным и измеримым потенциалом // Дифференциальные уравнения.- 1995,- Т.31.-№ 10,-С.1649-1657.

сходимости спектральных разложений и оценки скорости сходимости, а также для оценки спектральной функции .

Спектральная теория дифференциальных операторов , с логической точки зрения являющаяся развитием и обобщением теории рядов Фурье и интегралов Фурье , широко использует методы и результаты современной теории функций и функционального анализа и , в свою очередь , обогащает последние своими достижениями . Основные результаты , полученные в теории рядов Фурье и интегралов Фурье , изложены в широко известных монографиях Н.К.Бари , А.Зигмунда , Е.Титчмарша , СБохнера.

Совсем недавно В.А.Ильин3 обнаружил новое свойство коэффициентов Фурье , которое располагается между классическими результатами Ф.Рисса и Р.Пэли о коэффициентах Фурье функций из классов Ьр,р> 1, по равномерно ограниченным ортонормированным

системам. Более того , если не ставить вопроса о точности постоянных множителей , новое свойство строго сильнее результата Ф.Рисса. Этот результат В.А.Ильина послужил отправной точкой для исследований , проведенных в диссертации.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ . Получение оценок обобщенных образов Фурье функций из классов Ьр,р> 1, для самосопряженного расширения на

действительной прямой К оператора Шредингера с измеримым и ограниченным на К потенциалом , являющихся аналогами указанных результатов В.А.Ильина.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА . В работе получены : 1) справедливая для любой функции из класса Ьр(К),1<р<2, точная по порядку оценка

сверху интеграла по спектральной мере от её образов Фурье через норму функции в Ьр(К) и 2) справедливая для любой функции из

класса 2, точная по порядку оценка её нормы через

интеграл по спектральной мере от её образов Фурье. Все полученные результаты являются новыми не только для изучаемого самосопряженного расширения оператора Шредингера , но и для классических интегральных преобразований Фурье.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Доказательства основных результатов диссертации опираются на методику

3 Ильин В.А. Ещё об одном обобщении неравенства Бесселя и теоремы Рисса-Фишера для ряда Фурье по равномерно ограниченной ортонормированной системе. // Труды

Математического института им. В.А.Стеклова,- 1997.-Т.219,- (в печати ).

В.А. Ильина (см.сноску 1 и 2 ) и применение методов функционального анализа , связанных с пространствами Lp.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ . Результаты диссертации могут быть использованы для выяснения сходимости и , особенно , абсолютной сходимости спектральных разложений , а также для оценки спектральной функции .

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ . Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры общей математики под руководством В.А.Ильина, A.A. Дезина и Е.И.Моисеева.

ПУБЛИКАЦИИ . Основные результаты опубликованы в статьях [1-3] .

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ . Диссертация состоит из пяти параграфов , первый из которых носит название введения. Объём работы - 55 машинописных страниц. Список литературы содержит 25 наименований.

Содержание работы.

Во введении даётся краткий обзор работ по рассматриваемой теме и перечисляются основные результаты , полученные автором.

Цитированная выше теорема В.А.Ильина ( см.сноску 3 ) утверждает следующее.

Рассмотрим произвольную систему {<рп(х)} ,п = 1,2,... , функций ,

ортонормированных и равномерно ограниченных на интервале (а,Ь). Тогда :

(I) Если Г(х) принадлежит пространству Ьр = Ьр(а,Ь) при 1 <р<2 и с1,с2,...-её коэффициенты Фурье по системе {фп(х)} , то справедливо неравенство

п=1 р

с некоторой постоянной Ар > 0 , зависящей только от р .

(II) Пусть даны числа с^Сг,... , для которых сходится ряд

4-2

оо ----

£|сп| п 4 для некоторого ц>2\ тогда существует функция Г(х) ,

п=1

Г еЬч = Ьч (а,Ь), имеющая числа сп ,п = 1,2,..., своими коэффициентами Фурье по системе {ф„(х)|, и такая , что справедливо неравенство

т 4-2

(2) . \П[ <А'ч-£\Са\2.п*~

4 П=1

с некоторой постоянной А^ , зависящей только от (( .

(III) А^=Ар. , р' = -3-

Рассмотрим произвольный самосопряженный оператор

Шредингера , определяемый на всей действительной прямой = (—оо,+со) дифференциальным выражением

(3) = и + я(х)и,

<1х

в котором потенциал q(x) является измеримой и ограниченной на прямой Я функцией.

Важными частными случаями рассматриваемого оператора являются оператор Хилла , задаваемый выражением (3) с непрерывным и периодическим потенциалом ч(х), а также оператор Л с почти-периодическим потенциалом ч(х).

Хорошо известно , что в рассматриваемом нами случае можно так ввести минимальный оператор , отвечающий (3) , что существенно самосопряжен и , тем самым , определяет единственное самосопряженное расширение оператора Шредингера (3) . Это расширение полуограниченно снизу и его непрерывный спектр непуст 4. Без ограничения общности , будем считать изучаемое нами самосопряженное расширение строго положительным с точной нижней гранью спектра Х0 > 1 ( поскольку удовлетворение этому условию достигается путем добавления к потенциалу некоторой постоянной, что лишь сдвигает спектр и не влияет ни на свойства измеримости и ограниченности потенциала, ни на вид спектрального представления).

Согласно обобщению известной теоремы Гординга-Браудера-Маутнера , полученного в работах Б.Саймона5 и Л.В.Крицкова6,

4 Перечисленные в этом абзаце свойства самосопряженного расширения ^¿J оператора (3) можно найти , например , в монографии Х.Цикон , Р. Фрезе , В. Кирш , Б.Саймон Операторы Шредингера с приложениями к квантовой теории и глобальной геометрии. - М..: Мир.-1990. - 406 с. (стр.17-18)

5 Simon В. Schrödinger semigroups // Bull.Amer.Math.Soc.-I982.-v.7.-Ks3.-р.447-526; Erratum: Bull. Amer.Math.Soc.-1984.-v.ll.-№2.-p.426.

6 Крицков JI.B. Аналитическое описание упорядоченного спектрального представления пространства относительно оператора Шредингера с потенциалом класса Като' // Дифференциальные уравнения. -1995.-T.31.-Jfel2.-C.2038 -2045.

пространство L2(R) обладает упорядоченным спектральным представлением относительно рассматриваемого самосоряженного расширения J^ оператора (3).

Это представление характеризуется спектральной мерой p(t) , определенной на промежутке Л0 =[Х,0,-н»), кратностью m < 2, множествами кратности Cj= 1,m ,и фундаментальными функциями U| (х, t), i = 1, m , которые :

- обращаются в нуль при t, лежащих в дополнении к е, ;

- при каждом фиксированном значении teA0 принадлежат классу Соболева W22 на каждом компакте в R и почти всюду на R удовлетворяют дифференциальному уравнению

(4) IUi(x,t)= tu,(x,t), i= Vm.

При этом , для любой функции f(x) пространства L2 (R) -определен как элемент пространства L2(A0;dp) обобщенный образ Фурье

-но _

(5) f,(t)= Jf(x)u,(M)dx,i = l,ni;

—со

- имеет место аналог равенства Парсеваля

m "*"с0 1 +ео

Сб) ZiM dp<«Wlf«l ^-MU,;

для любых функций fi(t),i = l,m , принадлежащих пространству L2(A0;dp), существует такая функция f(x) в пространстве L 2 (R) , для которой функции fs(t),i = l, m , являются обобщенными образами Фурье , определяемыми формулой (5), и справедливо равенство (6).

Основная задача диссертации состоит в распространении последних двух из перечисленных выше утверждений на функции f(x) пространств Lp(R),p>l. Такие функции также обладают

обобщенными образами Фурье , задаваемыми формулой (5) , в которой интегралы при р>1 существуют в смысле главных значений по Коши, а при р=1 - сходятся.

Основным результатом диссертации является Теорема 1. Пусть есть строго положительное самосопряжённое расширение на всей действительной прямой R оператора Шредингера (3) , потенциал q(x) которого является произвольной измеримой и ограниченной на прямой R функцией, и пусть символ X 0 обозначает строго положительную точную нижнюю грань спектра расширения

, выбираемую , без ограничения общности , с условием Я,0 >1. Пусть Л„ = [Л0,+аз). Рассмотрим упорядоченное спектральное представление пространства L2(R) относительно оператора со спектральной мерой p(t), заданной на Л0 , кратностью ш<2, множествами кратности ej, i = 1, m ,и фундаментальными функциями и, (х, t), i = 1, m , определяемыми уравнениями (4). Тогда :

(I) Для произвольной функции f(x) пространства Lp(R),

1 < р < 2, её обобщенные образы Фурье f<(t), i= 1, m, определяемые формулой (5), удовлетворяют неравенству

га ,2 , „ „2

(7) — Zll^t)] .(l + t)2p dp(t)<Cp.||f|' ,

i=lx0 p

с некоторой постоянной Ср >0, зависящей только от р.

(II) Если функции fj(t),i = l,m, определенные на промежутке Л о = о »удовлетворяют условию

q—2

m +» |2 3—

£jf,(t) • (1 +1)24 dp(t)<+oo

при некотором q > 2 , то существует функция f (х) в пространстве Lq(R), для которой функции fj (t), i = I, m, являются обобщенными образами Фурье, определяемыми формулой (5) , и справедливо неравенство

1 m ^i« i2 4-2

w lil^cviiH •(i+O*«^)

4 ¡=1X,

с некоторой постоянной С^, зависящей только от q.

(Ш) с; = с,. , P' = -V

q-l

Этот результат является аналогом для оператора Шредингера теоремы В.А.Ильина , приведенной выше на стр.3.

Утверждения (I)-(III) теоремы 1 можно дополнить замечанием, что при p=q=2 неравенства (7) и (8) переходят в равенство (6).

Значительно важнее отметить (проводя непосредственную проверку), что неравенства (7) и (8) в утверждениях теоремы 1 обладают свойством инвариантности относительно выбора упорядоченного спектрального представления оператора в L2(R).

Утверждение (I) теоремы 1 доказано в третьем параграфе диссертации. Утверждения (II) и (III) доказаны в четвертом параграфе диссертации.

Второй параграф содержит некоторый результат, имеющий для диссертации вспомогательный характер и используемый в доказательстве утверждения (I) теоремы 1. Однако , на наш взгляд , этот результат представляет и самостоятельный интерес. Во втором параграфе диссертации доказана следующая Теорема 2. Для произвольной функции f(x) , принадлежащей

классу Lp(R), р> 1 , произвольного измеримого и ограниченного

на R потенциала q(x) и положительного числа ц , ц2 > sup|q(x)| ,

к

существует функция F(x) , являющаяся почти всюду на R решением дифференциального уравнения

-F"(x) + (q(x) + n2)F(x)=f(x) ,

которая принадлежит классу Соболева-Лиувилля L2(R) , р>1, норма которой удовлетворяет неравенству ]|F|| . ^Cliff, с некоторой

It llLp(R) II HLp(R)

постоянной С > 0 , зависящей только от р , а обобщённые образы Фурье Fj(t) ,

+<Х> _

F,(t)= jF(y)ui(y,t)dy,i=l,m)

-00

связаны с обобщёнными образами Фурье f х (t), i = 1, m,

определяемыми формулой (5) соотношением

fi(t) = (t + M2)Fi(t) , i = ,

для почти всех t > Х0 относительно спектральной меры p(t).

Утверждение теоремы 2 для случая р=2 отмечено в работе В.А.Ильина , И.Антониу ( см.сноску 2). В общем случае в доказательстве теоремы 2 существенную роль играют результаты работы Э.ЭШноля7.

В последнем пятом параграфе диссертации изучаются свойства интегрального преобразования Фурье.

7 Шноль Э.Э. О поведении собственных функций .- ДАН СССР.-1954.-Т.94.-№3.-С.389-392.

Рассмотрен классический случай, когда потенциал

q(x)sO,xeR. В этом случае дифференциальное выражение

оператора Шредингера (3) имеет вид lu = - и,

dx2

самосопряженное ограниченное снизу расширение на всю прямую R имеет неотрицательный спектр, точная нижняя грань которого равна 0 , спектральная мера p(t) = Vt,t > 0 , кратность m оператора

равна 2 и собственные функции имеют вид u,(x, t) = -~=cosxVt и

V2л

u2(x, t) = -=sin x-y/t. л/ 2п

Образы Фурье f¡,i = l,2, произвольной функции f(x) eLp(R),p> 1 , определяемые формулой (4) принимают вид

(9)

1 +0О I -t<o

f,(t) = -== Jf(y)cosyVtdy, = J f(y)siny>/tdy,t> 0 .

Обозначим символом O(t) интегральное преобразование Фурье функции f(x) eLp(R), р> 1. По определению,

| -К» I -не

(10) = ff(y)cosytdy + i^= f f(у)sinytdy,i2 =-l,t eR.

V2к V2tc

Непосредственная проверка показывает, что функция Ф(1) непрерывна всюду в области своего определения ; т.е., на R , и O(-t) = O(t), t е R , где черта над символом Ф означает комплексное сопряжение комплекснозначной функции Ф(4) , и , следовательно , |Ф(-0|=|Ф(феЫ.

Из формулы (10) , с учетом (9) , следует , что

®(Vt)=f,(t)+if,(t),t^o,

откуда получаем соотношение

(11) |ф(а/1)|2 =|fi(t)|2 +|f2(t)|2,t^o.

Соотношение (11) и вид спектральной меры p(t) = Vt позволяют переписать утверждения теоремы 1 для интегральных преобразований Фурье в следующем виде.

Теорема 3 . (I) Если функциия f(x) принадлежит пространству Lp(R),l<p<2, то её преобразование Фурье O(t) , определяемое формулой (10) , удовлетворяет неравенству

||Ф(,)|2(1 + х)~? d^Bp-|f!2 о

с некоторой постоянной В > 0 , зависящей только от р .

(II) Если комплекснозначная функция <I>(t) определена и непрерывна при t>0 и удовлетворяет условию

■wo q-2

||ф(0| (1+ t) ч dt<+oo и

при некотором q>2 , то в пространстве Lq(R) существует функция f(x) , преобразование Фурье которой , задаваемое формулой (10) , совпадает с <I>(t) при t > 0 , и справедливо неравенство

•к» q-2

о

с некоторой постоянной В^>0 .зависящей только от q.

(Iii) в; = вр, , =

Отметим , что при p=q=2 неравенства в утверждениях (I) и (II) теоремы 3 переходят в равенства с постоянными Вр = В^ = 1

( равенство Планшереля) . Отметим , также , что неравенство в утверждении (I) теоремы 3 можно было бы вывести из интегрального аналога неравенства Хаусдорфа-Юнга , доказанного Е.Титчмаршем , и интегрального неравенства Харди-Литтлвуда (см. , например , монографию Е. Титчмарша . Введение в теорию интегралов Фурье,-М.:ИЛ.-1948; стр. 128 и 146).

Автор выражает свою глубокую благодарность Владимиру Александровичу Ильину за постановку задачи и руководство работой , а также Евгению Ивановичу Моисееву за внимание к работе.

По теме диссертации опубликованы следующие работы :

1. Гаврилов В.В. Об образах Фурье функций из класса Соболева-Лиувилля для оператора Шрёдингера с измеримым и ограниченным потенциалом// Дифференциальные уравнения,- 1997,-Т.ЗЗ,- №4.-С.458-461.

2. Гаврилов В.В. О связи обобщенных образов Фурье , отвечающих одномерному оператору Шредингера, со степенью суммируемости р разлагаемой функции при 1 < р < 2 // Дифференциальные уравнения,- 1997,-Т.ЗЗ,- № 6. - С.741-747.

3. Гаврилов В.В. Аналог теоремы Рисса-Фишера для образов Фурье , отвечающих одномерному оператору Шредингера с измеримым и ограниченным потенциалом // Дифференциальные уравнения,-1997.-Т.ЗЗ,- № 8. - С.1017-1022.