Спектральная теория одномерного оператора Шредингера с матричным потенциалом, удовлетворяющим условию Като тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ШСТИТУТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

КУРКИНА Анна Владимировна

УДК 517.984.5

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С МАТРИЧНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИМ УСЛОВИЮ КАТО

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена в Институте системного анализа Российской Академии Наук.

Научный руководитель доктор физико-математических наук профессор Б.Ю.Стернин.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

профессор М.Л.Гольдман, доктор физико-математических наук профессор А.А.Дезин.

Ведущая организация - Институт математики Воронежского государственного университета.

Защита состоится " Л. 1996 г. в часов <-30 минут на заседании Диссертационного совета К.053.05.87 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. ¿Ж5?

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

доцент

Автореферат разослан " " _ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.М.Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Развитие спектральной теории дифференциальных операторов играет важную роль с теоретической и прикладной точек зрения. Центральное место в спектральной теории дифференциальных операторов занимает вопрос: оГ> оценке спектральной функции и о сходимости спсктр;шьного разложения произвольной функции из некоторого класса. Этой проблеме Г>ыли посвящены работы В.А.Стеклова, Я.Д.Тамаркина, Э.Ч.Титчмарша, А.Хаара, Б.М.Левитана, Я.Л.Герониму-са и многих других авторов.

Для оператора Шредингера наиболее важным условием на потенциал, обеспечивающим существование самосопряженного расширения этого one -ратора на всей прямой, является так называемое условие Като, которое; в одномерном случае совпадает с условием равномерной локальной суммируемости. Различные аспекты спектральной теории для многих частных видов потенциалов, удовлетворяющих условию Като, изучались в последние годы рядом известных математиков. Прежде всего следует отметить непрерывный и периодический потенциал (в этом случае оператор Шредингера называется оператором Хилла). Спектральной теории оператора Хилла посвящены многочисленные работы научных школ академиков С.П.Новикова, Л.Д. Фаддева и В.А.Марченко. Вопросам оценки спектральной функции и спектрального разложения посвящены недавние работы Д.Шенка и М.А.Шубина и В.А.Ильина и И.Антониу.

Кроме того, в работах Б.Саймона и М.А.Шубина Пыл изучен оператор Шредингера с почти периодическим (по Г.Бору) потенциалом.

В недавних работах В.А.Ильина и И.Антониу были оценены спектральная функция и спектральное разложение для оператора Шредингера с ограниченным и измеримым потенциалом, также являющимся частным случаем потенциала, удовлетворяющим условию Като.

Другие важные частные случаи потенциалов, удовлетворяющих условию Като, рассматривались в известной монографии М.Рида и Б.Саймона "Методы современной математической физики".

Наконец, для общего случая скалярного вещественного потенциала, удовлетворяющего условию Като, равномерные на всей прямой оценки спектральной функции и равномерная на всей прямой равносходимость с ин-

тегралом Фурье спектрального разложения Пыли установлен],I п конце 19! года В.А.Ильиным1.

Параллельно с этими работами пелись исследования одномерного опер тора Шредингера со скалярным и с матричным потенциалом па конечт отрезке (для случая дискретного спектра).

В 1991 году В.А.Ильин для изучаемого на конечном интерпале опсрато| Шредингера со скалярным и с матричным комплекснозначными суммир емыми потенциалами доказ;и1 теоремы о равномерной на люПом компак' равносходимости с тригонометрическим рядом для случая скалярного п тенциала и о покомпонентной равномерной на любом компакте равносх димости с разложением в интеграл Фурье соответствующей компонент разлагаемой вектор-функции для случая матричного потенциала.

Последний результат Пыл перенесен в 1995 году А.В.Дядечко на сл чай оператора Шредингера с матричным потенциалом и с диагональн матричным собственным значением.

Отмеченные выше исследования делают весьма актуальной пробле.ч установления равномерных на всей прямой оценок основных спектрал ных характеристик для самосопряженного расширения рассматриваемо на этой прямой оператора Шредингера с симметричным вещественнозна ным матричным потенциалом, все компоненты которого удовлетворяй условию Като.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Установление равномерных на всей прямой оцен! спектральных характеристик - спектральной функции и спектрально разложения - оператора Шредингера с матричным потенциалом, все ко: поненты которого удовлетворяют условию Като.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертациооной работе использ ются методы функционального анализа, теории дифференциальных ура нений, а также аппарат, разработанный В.А.Ильиным в его работах, п священных исследованию оператора Шредингера со скалярным потении лом, удовлетворяющим условию Като.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Для спектральной функции свмосопряженн го расширения оператора Шредингера с матричным потенциалом, удов.: творяющим условию Като, получены равномерные на всей прямой и т< ные по порядку оценки, как в метрике Ьоо(К), так и в метрике ЦДИ.) п

'* Ильин В.А., Дифференциальные уравнения, 1990, Т.31, N12. С.1957-1907

JIlofioM II > 2.

Установлен факт покомпонентной равномерной па и< ей прям"« рдшю« ходимости спектрального разложения произвольной вектор (функции, при надлежащей классу LJ"(R), 1 < /' < 2, < разложением п шип рал Фуры-

СООТПеТСТПуЮЩеЙ КОМГН1НС1П 1,1 раЗЛаГаСМоЙ псктор-фуныши

Доказан покомпонентный принцип локализации спекз ралык и о разложе ния произвольной векз'ор-функции. принадлежащей клаку !,j''(H). I < < 2

Установлена равномерная на шей прямой оценка интеграла щ квадра la модуля фундаментальных вектор - функций оператора Шредингера с матричным потенциалом, удовлетворяющим условию Като.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ Полученные результаты актуальны как для математических аспектов < центральной теории дифференциальных операторов, так и для ряда проПлем теоре тической физики и квантовой механики, рассматриваемых, например, в монографии М.Рида и Б.Саймона "Методы современной математической физики".

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались ни научном семинаре кафедры нелинейных динамических систем и проце< сов управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета и на Воронежской весенней математической школе ("Понтрягинские чтения" - VII) в 1996 году.

ПУБЛИКАЦИИ. Содержание диссертации изложено в раПотах [1] - [3].

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация содержит 47 страниц текста, состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы Список литературы включает 23 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе- 1 описывается постановка задачи, вводятся некоторые основные понятия и вспомогательные утверждения и формулируется теорема 1.1

Рассмотрим на всей прямой R оператор Шредингера

HU = U" + Q{r)U,

(1)

где потенциал Q{x) = (tjsl( э:)).л,/ =1,... является симметричной i дратной вещественнозначной матрицей, каждый элемент (]xi('J') кото суммируем и удовлетворяет условию:

J IчШУ

•S»J> / \ч[У)\(1У <

хея

т.

(Это условие естественно назвать условием равномерной локальной с мируемости.) Будем говорить, что такой матричный потенциал Q(x) у влетворяет условию Като.

Рассмотрим самосопряженное расширение £ на всей прямой R от тора Шредингера (1). Отметим при этом, что в силу результатов Л.В.К цкова2, можно утверждать, что при выполнении условия Като существ единственное самосопряженное расширение £ оператора(1) и что это ] ширение является ограниченным снизу. Будем считать, не ограничу общности, что расширение £ ограничено снизу достаточно большим слом А0, равным:

Ао=тах{1,||<?||2},

где

m Г

||<?[| = J2 sup / \qrl(z)\dz, a B(x0,h) = [*о - ft, х0 + ft], 0 < ft < 1 гТГ. *eR J

(Для удовлетворения этому условию достаточно добавить к потенц* единичную матрицу, умноженную на некоторую постоянную, что л сдвигает спектр и не влияет ни на условие Като (2), ни на вид спектр ного разложения).

Фиксируем произвольное р из сегмента 1 < р < 2. Пространств« компонентных вектор-функций /(х) = {/'(х-),... ,/т(х)}, для кото при фиксированном р из сегмента 1 < р < 2 существует интеграл:

Крицков Л.В. Диффсч)енциальныг уравнения, 199С, т.32, N5, C.G27-G35.

G

будем обозначать символом Норму вектор-функции /(х) = {/'(•'•').

/т(2-')} в п]>остранстве Ц"(1}.) определим следующим соотношением:

|/с

11Я1ь:,а) ^

Л

(5)

Для двух произвольных вектор-функций /(х) = {/'(х)> ••• > /'"(•"')} и 5(х) = {.г/(х')> • • • >Ут(3;)}' П1!1шая из которых принадлежит классу Ь],"(Г{.),

при 1 < р < 2, а вторая классу введем скалярное П1)оизведение,

р-1

определив его равенством:

= (б)

я

Сформулируем в удобных для нас терминах теорему Браудера - Гор-динга - Маутнера,доказанную для рассматриваемого случая в указанной работе Л.В.Крицкова.

Для самосопряженного расширения С оператора Шредингера (1) на всей прямой Я существует по крайней мере одно упорядоченное спектральное представление пространства Ь."'(К), характеризуемое спектральной мерой уо(А) кратностью т < 2, множествами кратности с,-, г = \,т и фундаментальными вектор-функциями £/,-(х, А), г = 1,7», такое, что выполнены следующие три условия:

1) для любого А > А0 каждая компонента фундаментальной вектор-функции (/¿(х,А) непрерывна на всей прямой й., имеет на любом компакте абсолютно непрерывную и суммируемую с квадратом первую производную и почти всюду является решением уравнения:

— 11"(х, А) + бДх)£/,(х:А) = А[/;(х,А),1 = 1,т: (7)

2) для каждой вектор-функции /(х) = {/'(х),... ./г"(х)} из класса при 1 < р < 2 определен образ Фурье:

/.(А) = / Е Р{у)Щу, {= (8)

а у=|

(интеграл б (8) понимается в смысле главного значения), причем (I тральное разложение вектор-функции /(.т), представляет гобой век'1 функцию вида:

= //¿(0^.(■-'••.'ЖО;

А„

3) для каждой вектор-функции /(х) = {/' (.г),... ,/'"(х)} из кла Ь-"1(Г1.) ее спектральное разложение (9) сходится в метрик*; Ь"'(11) г А —» схз к этой вектор-функции /(х), и, кроме того, справедливо обощен! равенство Парсеваля:

- оо А0

№)№{*) = 11/н ь

Основным результатом главы 1 являетс:я теорема об оценке интегра от квадрата модуля фундаментальных вектор-функций.

Теорема 1.1. Пусть потенциал (¿(х) оператора Шрсдингера (1) у влетворяет условию Ka.ro (2). Тогда равномерно относительно х на в с прямой И. и относительно р на полупрямой ¡1 > справедлива следу щая оценка:

т

£ / |Щх,А)|2^(А)-0(1). (1

¿=1 4

11<у/Х<1,+ I

Следствие 1.1. Для любого <5 > 0 существует такая постоянная С(Ь) 0, что равномерно относительно х на всей прямой К справедлива оценк.

00 гп .

1 |С/4(*,А)Г2/-(,/2+4жо = од < оо. (1

1=1 л.

Заметим, что результаты главы 1, которые для настоящей работы явл ются вспомогательными, имеют и самостоятельный интерес.

В главе 2 устанавливаются равномерные на всей прямой покомпонентные оценки спектральной функции изучаемого самосопряженного расширения L оператора Шредингера (1).

Введем в рассмотрение спектральную функцию (-)(А,х, у), представляющую собой следующую величину:

Til А

C-)(A,x)y) = ¿ I Щх, i)« £/,(!/, <Ж0- О3)

,= ,Ао

Заметим, что в (13) под знаком интеграла стоит тензорное произведение; двух векторов. Введем также j-ю компоненту Oj(А, х, у) спектральной функции:

* г

С^(А,х,у) = £ I Ui(xtt)Ui(ytt)dp(t), (14)

•=1Ао

являющуюся ш-компонентным вектором.

Из определения тензорного произведения двух векторов, данного, например, в работе И.Антониу и В.А.Ильина"1, вытекает, что спектральное разложение a\(x,f) можно переписать следующим образом:

<7x(xJ)= Je(\,x,y)f(y)dy. (15)

R

Заметим при этом, что j-я компонента спектрального разложения a3x(x,J) будет определяться равенством вида:

*{(*./) = J (16)

R

в котором символ 03(\,х,у) обозначает введенную выше и определяемую равенством (14) j-ю компоненту спектральной функции.

Обозначим через 0¿(A, т., у) вектор-функцию, у которой j-я компонента

1 sin vA{i-v)

равна --—а все остальные компоненты равны нулю.

3* Антониу И., Ильин В.А., Дифференциальны? уравнения, 199G, Т. 32, N4. С.435-440.

Теорема 2.1. Пусть q -любое фиксированное число, удовлетворяют условию 2 < <7 < оо; О-7 (А, х, у) - вселенная выше j-я компонента <:пчкт]>ал ной функции изучаемого самосопряженного расширения £ на всей прям R оператора Шредингс.ра (1) с матричным потенциалом Q(x), удовлетвоji ющим условию Ката (2); В^ДЛ, х, у) - введенная выше вектор-функция. 1 гда для всех достаточно больших А равномерно относительно х на вс прямой R справедлива оценка:

ЦВ^А.х.г/) - ("^¡(А.х.у)!!^^) = ОД , (1

в которой L™(R) - норма берется по точке у. Кроме того, для всех доел точно больших А равномерно по совокупности точек х, у при х 6 R, у 6 справедлива оценка:

а:, у) - ©¿(А, = 0(1). (1

При доказательстве теоремы 2.1 используются оценки, полученные главе 1. Заметим, что из теоремы 2.1 вытекает теорема 1.1 об оцен интеграла от квадрата модуля фундаментальных вектор-функций.

Основной в диссертационной работе является глава 3. В ней устанавл вается теорема о равномерной на всей прямой R покомпонентной равносх димости спектрального разложения с интегралом Фурье и покомпонентнь принцип локализации.

Обозначим через S\(x, f1) разложение j-й компоненты f](x) векто функции f(x) из класса L™(R) в интеграл Фурье:

S\(x, fj) = - [ ~ f'{y)dy. (1

1" J X - у

Теорема 3.1 (о равномерной на всей прямой R покомпонентне равносходимости). Пусть f (х)-произвольная вектор-функция из клас L™(H), 1 < р < 2, /J(i), j = 1,... , m- ее j-я компонента, cj3x(x,f) -j компонента спектрального разложения a\{х, /) этой вектор-функции / (з отвечающего самосопряженному ра сширению С на всей прямой R о пр.]. тора Шредингера (1) с матричным потенциалом Q(x), удовлетворяют!

условию Кито (2), /-' ) - разложение той же ]-й компоненты /(х) в

интеграл Фурье. Тогда равномерно относительно .г ни ш ей прямой Л;

1ш, К(:г;Л-5а(Х;Г)|=0. (20)

А —оо

Подчеркнем, что утверждение, устанавливаемое в теореме 3.1, справедливо несмотря на то, что j-я компонента л:,/) спектрального разложения зависит от всех компонент разлагаемой вектор-функции.

Теорема 3.2 (покомпонентный принцип локализации). Если впк-тор - функция /(х) принадлежит классу где 1 < р < 2, то поведение

]-й компоненты /) ее спектрального ¡разложения а\(х, /) в данной точке хо прямой II. зависит от поведения в мамой окрестности точки х() только соответствующей ]-й компоненты разлагаемой вектор-функции ¡(г.), и не зависит от поведения }3 (х) вне малой окрестности точки х() и от поведения остальных компонент вектор-функции /(х) на всей п{>ямой К.

В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору Б.Ю.Стернину, за постоянное внимание к работе. Автор благодарит также профессора Е.И.Моисеева и доцента Л.В.Крицкова за ценные советы и замечания.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Куркина A.B. Равномерная на всей прямой оценка интеграл» квадрата фундаментальных функций оператора Шредингера с матрич! потенциалом, вес; элементы которого равномерно локально суммирус Диффе1)енциальные уравнении, 19%, Т. 32, N5. C.599-G05.

2. Куркина A.B. Покомпонентные; оценки спектральной функции с; сопряженного расширения на прямой R оператора Шредингера с мат| ным потенциалом, удовлетворяющим условию Като. Дифференциаль уравнения, 199G, Т. 32, NG, C.759-7G8.

3. Куркина A.B. Равномерная на всей прямой покомпонентная | носходимость с интегралом Фурье спектрального разложения, отвечаю го оператору Шредингера с матричным потенциалом, удовлетворяюи условию Като. Дифференциальные уравнения, 1996, Т. 32, N7. С.875-8

//