Одномерный оператор Шредингера с сингулярным потенциалом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



«Г «ч.

/С

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

ДЕНИСОВ СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ОДНОМЕРНЫЙ ОПЕРАТОР ШРЕДИНГЕРА С СИНГУЛЯРНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

( 01.01.02 - Дифференциальные уравнения )

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, академик РАН В.А.Ильин

Москва, 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение........................................................... 3

Глава 1. Равносходимость с интегралом Фурье спектральных разложений для одномерного оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом ............................... 12

§1. Оценка приращения спектральной функции на диагонали .... 12

§2. Доказательство вспомогательных утверждений .............. 15

§3. Равносходимость с интегралом Фурье спектральных разложений, отвечающих одномерному оператору Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом .......................... 19

Глава 2. Изучение областей определения степеней одномерного оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом .......................................................... 27

Глава 3. Изучение асимптотического ряда для проекторов в случае оператора Шредингера с суммируемым потенциалом............. 35

§1. Получение асимптотического ряда для проекторов и исследование его сходимости ............................................. 35

§2. Дальнейшее исследование асимптотического ряда в некоторых

конкретных случаях............................................... 49

Список литературы .............................................. 54

Публикации автора по теме диссертации......................... 57

Введение.

Диссертационная работа посвящена некоторым вопросам спектральной теории дифференциальных операторов. Основным объектом исследования является одномерный оператор Шредингера. Как известно, уравнение Шредингера описывает многие явления в квантовой механике, что явилось причиной бурного развития как абстрактной теории самосопряженных операторов, так и спектральной теории дифференциальных операторов специального вида.

В настоящей работе рассматриваются вопросы сходимости и равносходимости спектральных разложений, доказывается оценка приращения на диагонали спектральной функции оператора Шредингера. Для оператора с суммируемым на всей прямой потенциалом изучена сходимость асимптотического ряда для проекторов специального вида. Подобного типа вопросы изучались и ранее. Необходимо упомянуть здесь работы многих известных математиков: В.А.Ильина, А.Г.Костюченко, Б.М.Левитана, М.А.Шубина и других.

В диссертации рассматривается оператор Шредингера на всей оси с вещественным потенциалом q{x)

1{и) = — и + ц(х)и .

В первой и второй главе изучается оператор с потенциалом, принадлежащим классу ¿4ос,иш]г(Д)) т0 есть являющимся равномерно локально суммируемой функцией. Это означает выполнение следующей оценки

У+1

\\qWk = эир / |д(ж)|Жс < оо. (1)

уел £

Квадратичная форма порожденная дифференциальным выражением /(и) имеет вид

, 2

= (и (х)) + д(х)и(хУ

dx

-оо

Возмущение д(ж) является подчиненным со сколь угодно малой верхней гранью в смысле квадратичных форм. Это означает, что для любого числа е > 0 найдется С(е), такое что

|qix)\u{x)2dx < е J (и (ж)) dx + С{е) J (и(х))2 dx,

—оо —оо —оо

где неравенство выполняется для всех функций и(х) Е Wl(R)-(Доказательство этого факта содержится в книге [1] с.17. ) Это означает, что на основании теоремы 10.17 с. 190 [2], мы можем построить самосопряженный оператор Н, который будет отвечать квадратичной форме 1/(м), то есть для любой функции и из области определения оператора Н (и Е Т>(Н)) выполнено равенство (Ни, и) = L(u). Известно, что Н, построенный таким образом, полу ограничен снизу некоторым числом Aq. Кроме того, пространство Z/2(R) допускает упорядоченное спектральное представление относительно оператора Н. Это означает выполнение некоторого аналога теоремы Планшереля для интегралов Фурье (см., например [3],[4] ). А именно,

1. Существуют непересекающиеся измеримые множества Aj, j = 1... m, такие что U Aj = о~(Н) , где cr(H) ~ спектр опера-

j=l...m

тора Н.

2. Для почти всех I из множества Aj существует 3 функций , к = 1 . . которые являются слабыми решениями уравнения 1(ик^ = Ыь. Причем существование для почти всех t означает существование для почти всех £ по спектральной мере отвечающей оператору Н.

3. Для любой функции / £ существуют обобщенные образы Фурье, определяемые по формулам

оо

/¿00= / ,

—оо

и последний интеграл понимается в смысле 1/2 ([^о5 °°)>р{1))) ~ сходимости.

4. Для функции / выполнено также равенство Парсеваля

11/111 = / + / Е =2

Ах Д2

11/112= / |А(*)|2Ф(*)> длят = 1

Д1

и формула обращения

оо

/М = /ЕЛ(*К-(мЖ*)5

Ао 3

где сходимость последнего интеграла понимается в ¿2 (Я) смысле.

Для упрощения записи мы в дальнейшем будем полагать «¿(ж, = О, з = 1 ... т для t £ сг(Н) и = 0 для t £ Дь

Число т равно кратности спектра и не превосходит 2.

Для невозмущенного оператора ( случай д(х) = 0) мы имеем

771= 2,Щ (ж,/) = СОз(уДх),и'2 {х^) = $т{л/1х) (/) = —уД.

Следует отметить, что возможны случаи, когда спектр оператора однократен и при этом потенциал не только удовлетворяет условию (1), но даже является ограниченным на всей прямой [5].

Введем в рассмотрение спектральную функцию е(ж, г/, Л), которая является ядром спектрального проектора -Р[а0,а]5 отвечающего оператору Н. Известно следующее представление для е(х,у,Л)

т ^

В первом параграфе первой главы доказывается ряд вспомогательных утверждений. Основным результатом является

Теорема 1.1. Если д £ Ь\0С>ипх(К), то справедлива оценка

С

|е(ж, х, Л + 1) — е(х, х, А)| <

равномерная по х Е Я (А > 1), (здесь и далее символ С обозначает константу, вообще говоря, в каждой формуле разную).

Получению оценок подобного типа для спектральной функции, а также ее асимптотики, посвящены многие работы, например [6]-[13].

Так, в работе Д.Шенка и М.А.Шубина для оператора с периодическим и бесконечно гладким потенциалом (оператора Хилла ) получена асимптотика функции е(х,х, А).

Следует отметить, что теорема 1.1. является обобщением результатов, доказанных для оператора Хилла, для оператора с по-

тенциалом, равным константе, и для оператора с потенциалом, равным суммируемой на всей прямой функции.

Следующий результат дает равномерную на всей прямой оценку для собственных функций оператора Шредингера, которые отвечают положительным собственным значениям.

Следствие. Если /дп- нормированные собственные функции, отвечающие собственным значениям Ап, Ап —» +оо, а потенциал д(х) Е Ььс.ишК-Я), то справедлива оценка |/дп| < С/А^4.

Случаи, когда собственные значения присутствуют на непрерывном спектре, часто встречаются в спектральном анализе операторов Шредингера с потенциалами, медленно стремящимися к нулю. Так, недавно Б.Саймоном [14] был построен пример одномерного оператора Шредингера с потенциалом, убывающим сколь угодно медленнее чем 1/(1 + |х|), и при этом на непрерывном спектре существовала всюду плотная последовательность собственных значений.

Во втором параграфе первой главы доказывается ряд утверждений, которые используются в дальнейшем.

В третьем параграфе вводится в рассмотрение спектральный проектор -Р[а0,а]5 отвечающий оператору Н (действие такого проектора на функцию из ¿2 иногда называют спектральным разложением). Для него известно следующее представление

где / е Ь2.

Центральной в первой главе является следующая Теорема 1.2. Если д £ Ь\0с,ишК-й)5 то справедлива оценка

О х-, о

||-Р[Ло,Л]- Р[0,А] I'2,00 < дЩ, где Рд- проекторы для невозмущенного оператора (Л > 1).

Вопросы равносходимости спектральных разложений с интегралами Фурье интересовали многих математиков (см., например, работы [15],[16] и библиографию в [16] ).

Теорема 1.2. обобщает результаты о равносходимости, которые были получены ранее для оператора Шредингера с потенциалом, равным константе или суммируемой на всей прямой функции. Заметим также, что неравенство, полученное в теореме 1.2., сильнее, чем равномерная на компактах оценка равносходимости, доказанная в монографии Б.М.Левитана, И.С.Саргсяна [16], глава 7 для оператора с локально суммируемым потенциалом.

Во второй главе диссертации изучаются области определения степеней оператора Н, введенного ранее. В этой главе будем считать оператор Н положительным.

Основным результатом второй главы является теорема о совпадении пространства Соболева-Лиувилля Ь^^К) с областью определения оператора На при а. : 0 < су < 3/4, где символ обозначает степень оператора Н порядка /3.

-г-ж- О

Теорема 2.1. Для любого 0 < а < | область определения оператора На совпадает с Ь\а{К).

Здесь мы считаем, что / принадлежит области определения оператора , если выполнено неравенство

Из теоремы 2.1. получается следующий результат о сходимости спектрального разложения

т ^

г=1 л

отвечающего самосопряженному расширению Я . (Очевидно, что

о-Л(Ж,/) = Р[а0)А]/. )

Теорема 2.2 (об оценке скорости сходимости ). Для произвольной функции /(х) из класса Соболева-Лиувилля Щ(Я) с порядком дифференцируемости а : | < а < выполнена равномерная по х £ Я оценка

в которой о(1) обозначает величину, стремящуюся к нулю при Л —> +оо равномерно по х £ Я.

Подобные результаты в случае, когда потенциал д(ж) принадлежит пространству ЬР(Я), где 1 < р < оо, были получены ранее [17], [18].

Третья глава посвящена изучению асимптотического ряда для проекторов -Р(о,д] при условии, что потенциал д £ Надо за-

метить, что в этом случае спектр оператора хорошо изучен (см., например, [19] - результаты, полученные в этой работе, применимы к исследуемому случаю, или [20] ) .

На положительной полуоси спектр абсолютно непрерывен, а на интервале (—оо,0] существует не более чем счетное множество соб-ственнх значений, точкой накопления которых может быть лишь ноль . Метод получения асимптотического разложения был предложен еще в известной монографии Б.М.Левитана и И.С.Саргсяна

"Введение в спектральную теорию". Этот подход основывался на изучении соответствующего гиперболического уравнения. Однако метод, предложенный в главе 1, позволяет получать асимптотику непосредственно. В случае, когда собственные числа у оператора отсутствуют, это асимптотическое разложение имеет вид

о 00

^(0,А]/ =Р(О,А] / + Е Мп,

п= 1

где выражение для Мп выписано в явном виде. Получающийся ряд исследован на сходимость в нормах пространств Ьоо и Ь2. Основными результатами являются теоремы.

Теорема 3.1. Для общего члена ряда справедлива оценка

1

IIM.IL <С\\я\\111/11^3^^74-

Теорема 3.2. Для общего члена ряда справедлива оценка

< с \\д\\1 ц/1^

Кроме того, доказывается следующая теорема

Теорема 3.3. Для произвольного одномерного оператора Шре-дингера с суммируемым на всей прямой потенциалом справедлива оценка

С помощью вышеприведенного метода легко получаются результаты о равносходимости с интегралом Фурье спектральных разложений в случаях, когда потенциал обладает некоторыми дополнительными свойствами. Так, если д{х) суммируем и ограничен на всей прямой, то оценивая только первый член асимпотического ряда, получим следующее неравенство

с

ста (ж,/) — ах (ж,/) < || / ||Ьг

Также в третьей главе с помощью асимптотического ряда анализируются некоторые результаты, полученные ранее.

Так, строится пример, показывающий, что утверждение теоремы 2.1., вообще говоря, не справедливо для параметра а > 3/4. Кроме того, доказывается, что невозможно увеличивать скорость сходимости спектральных разложений лишь за счет повышения гладкости разлагаемой функции.

Автор рад выразить благодарность своему научному руководителю академику РАН В.А.Ильину за руководство работой, а также члену-корреспонденту РАН Е.И.Моисееву и доценту Л.В.Крицкову за полезное обсуждение и критические замечания.

ГЛАВА 1.

РАВНОСХОДИМОСТЬ С ИНТЕГРАЛОА4 ФУРЬЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С РАВНОМЕРНО ЛОКАЛЬНО

Рассматривается оператор Шредингера на всей оси с действительным и равномерно локально суммируемым потенциалом д(х)

у+1

sup / \q(x)\dx ~ \\q\\K < ос. (2)

y£R Jy

В первом и втором параграфах доказываются вспомогателные утверждения. В третьей части первой главы рассмотрена основная теорема о равносходимости.

§1. Оценка приращения спектральной функции на диагонали. Основным результатом первого параграфа является Теорема 1.1. Если q £ Ь\ос>]Шц(11) (см. (2) ) , то справедлива

Замечание. Следует отметить, что доказательство этого утверждения опирается исключительно на методы функционального анализа, что, по всей видимости, делает возможным получать результаты подобного рода для случаев большей размерности.

Доказательство.

Очевидно неравенство

СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ.

оценка

е(х,х, А + 1) — е(х, х, А) =0 (4т=) равномерная по х £ R.

- Ч1

ТП ^ "я" ^ I IV я г» I .

Е / + / 7--^

у а _

!/„ ~ + к2

где положительная константа.

Рассмотрим оператор Л = (Я — А + гА;)_1Р[Ло д+1](^ — А — 1к)~1. Для / ^ С0°°

ии

= / !{х)К(х,у)йх,

где

-с«

т

а+1

К{х,у) = Е

(/ - А)2 + к2

Известно, что К(хуу) - ограниченная и непрерывная по (ж, у) Е Я2 функция ( ограниченногсть следует из "оценки пачки", доказанной в [6], а непрерывность вытекает из непрерывности обобщенных собственных функций по переменной х\ также здесь можно сослаться на результаты работы [4] ). Поэтому ||А\\г = зиР(х,у)ея2 вирх(еЕК(х,х). Последнее равенство следует из неравенства Коши-Буняковского, примененного к ядру К(х,у).

Для оценки ||А||1оо воспользуемся неравенством

Н11,оо<|(#-А-НА0

-1

2,оо

Л

[Ас,А+1]

2,2

|(Я- А-гА:)-

1,2 •

Всилу соображений двойственности достаточно доказать, что

Запишем второе резольвентное тождество, которое легко выводится и является одной из наиболее важных формул теории возмущения операторов.

1 Будем использовать следующее обозначение гп\(у)<т2(у), если для функционалов ту и 7712 существует константа С, такая что |т1 (г;)| < С\т,2(у)\ для всех элементов и.

(H-X + ik)-1 = (Hq — X + ik^1 — (Hq —X + ik)~l q(H — X + ik)~l, (3)

где Но отвечает невозмущенному оператору.

Оператор (Но — г)-1 имеет вид (см.[21], с.99-101 для общего к-мерного случая, но можно проверить эту формулу и непосредственно (Но - 2)-1/ = ^ / е-^'-У^Шу.

V —оо

Взяв 2 = Л — г'/с, получим

к

V2VA +VA^TF

+ г

.Л + ^Х2 + к2

у/2

Тогда |(#0 - А + ik)~lf

к

(Так как

<

'(Л 2 + Р)

<дль

А!/4 •

А + 2л/ЖТ¥ л/А достаточно велико.

Vk

> —7= для к > 4 и А > Ло, где Aq-

Кроме того, |(Я0 — А + ik) 1qf

<

<

1/1

X + Í

оо

(А2 +

/ Iq(y)\dy+T,

-1 J = 1

(А2+&2) ' _JTO /ж+j+l

Т74 f e-^x-y^\q(y)\dy <

-y/kj/VA

j \q(y)\dy+ j \q{y)\dy

\ X+j x-j-l

<

<

l/l

(A2 + ^)1/4

oo

2 + 2 J e-^'^dr

| || < MoJiL (2+2 A < a

где a < 1, к > max(á, á\\q\\2K) и A > Ao-

Поэтому (l + (#0 — A + ik)~l qj существует на (-Loo, А») и ограничен равномерно по А. Из (3) следует неравенство

00

Н-Х + гку

2,оо —

1 + (^о - Л + ¿A;)"1 g

оо, оо

х I (Hq - А + гк)

—

<

2,оо'

< 1

дХТ^, которое завершает доказательство теоремы.

Очевидно, что фактически в работе получена оценка II р II < 1

Недавно Б.Саймоном [14] был построен пример одномерного оператора Шредингера с потенциалом, убывающим сколь угодно медле-нее чем 1/(1 + и при этом на непрерывном спектре существовала всюду плотная последовательность собственных значений. Используя теорему 1.1. несложно получить следующее утверждение.

Следствие. Если нормированные собственные функции, отвечающие собственным значениям \п,\п —» +оо, то справедлива оценка. |/Ап|<1/ЛУ4.

§2.Доказательство вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Для каждого t > О справедливо следующее равенство

\ [ +1 /(1-со8[^(Д-Р1)])х (4)

гу-Н Vг М О

*{я(у + р\)и^у + рь *) + ч{у - р\)и^у - ри 0)^1-

Для доказательства достаточно воспользоваться формулой среднего значения [17].

и.

{у + /?,£) + щ{у - /М) = 2щ(у, ¿) сое (рлД) +

1 р

о

запишем цепочку равенств ^ у+я | д к

у-Л О О

! йр

о о

(6)

= щ(у, + I У(1 _ С08[^(Д - /01)])(д(у + Р1М2/ + Рь о +

+?(*/ - Р\)щ(у -

Лемма доказана.

Замечание 1. Перенося интеграл в правой части равенства (б) налево, получим выражение для -—.

оо оо ■

/Г ЙЩ X

... /-¿гйг\..Агп_1. Тогдавер-

Гп п 2

но следующее неравенство. Лемма 2.

2П+2

\Хп(гп)\ < -, где гп > 0,п - натуральное.

1 + г„

Доказательство. Проведем доказательство в два этапа. Iм1 этап.

Покажем, что выполнено неравенство

ОО 00 • ГШ

г г ЯШ 2 1 ,

/ ... /-агаг\...агп^1\ < —, (7

гп п 2 гп

где гп > 1, п - натуральное. Введем следующие обозначения:

оо оо

оо оо

= / ■■• / ; = / - / —(8)

г„ Г! 2 гп Г1 г

где п = 1, 2,...; 1 < к < п + 1.

,11 л1 вП12 7-)1 СОБ 2

Под Лд и будем понимать выражения: А0 =-, В0 —-.

£ £

Интегрируя по частям выражения для Акп и Вк из формул (8), получим

оо оо

оо оо

А:

I ••• / - А; I... I = (9)

Гп Г2

Гп П

СОБ 2

Б к ь г>к+1

п-1 ~~ ?

оо оо

в\ = - I... I + к I... I = (10)

оо оо

Гп Г 2

ь г{

Гп п

= -Акп_1 + кАкп+1- п=1,2,...;1<£<п.

Оценивая по модулю подинтегральные выражения в (8), получим для и Воценки

<

П\Гг

1

ВТ < -г—; ( г„ > 1, гг — 0,1.

П\тп

(11)

Докажем по индукции следующие неравенства

А.

<

2?г+1—к

(к-1)\гп'

В

<

2П+1—к

(к — 1)! гг

(12)

- Для к = п + 1; п = 0,1,2... эти неравенства выполняются.

- Предположим, что эти неравенства справедливы при п < по, 1 < к < п.

- Тогда, учитывая справедливость неравенств (12) при п = щ и к = ко = щ + 1, получим

А

п о

<

+ Л в

ук+1

п0

<

п0

(А - 1)! +

<

2по-к+1

(к - 1)!г

(13

По

для к = I,... ,к$ — 1.

Для неравенства записываются аналогично. Заметим, что

Хп(гп) = А^(гп), поэтому |Хп(гп)| <

для гп > 1.

2— этап

Для 0 < гп < 1 запишем следующее представление функции Хп(гп)

1

(гп) = I Хп_г (г„_1) ¿гп_1 + Хп (1). (14)

Гп

Используя формулу (14), легко получить по индукции, что

|Хп(гп)| < 2

п+1

(15)

для 0 < гп < 1. Действи�