Эвклидов и супераналоги уравнения Шредингера длябесконечномерного осциллятора и операторное исчисление Фейнмана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

московский

РГбГОЮЖДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

- 3 МаЖ - математический факультет

на правах рукописи УДК 517.955 + 517.983

Галкин Олег Евгеньевич

Эвклидов и супераналоги уравнения Шредингера для бесконечномерного осциллятора и операторное исчисление Фейнмана

( 01.01.01 - математический анализ )

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва — 1996

у-(.\—<-1<И. К

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель : Официальные оппоненты

Ведущая организация :

доктор физико-математических наук,

профессор О. Г. Смолянов. доктор физико-математических наук

Е. Т. Шавгулидзе; кандидат физико-математических

наук, доцент С. Г. Лобанов. Ярославский государственный университет.

Защита диссертации состоится _____ 1996 г. в

16 часов 05 минут на заседании совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан Сеигя^ 1996 г.

Ученый секретарь совета Д.053.05.04 при МГУ Доктор физико-математических наук, профессор

Т. П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию бесконечномерных дифференциальных уравнений и построению операторного исчисления Р. Фейнмана континуальных семейств некоммутирующих операторов в банаховых пространствах (см. [1]). В частности, в ней изучаются задачи Коши для бесконечномерных эволюционных уравнений, являющихся либо эвклидовыми аналогами уравнения Шредингера для ангармонического осциллятора, либо супераналогами этого уравнения для гармонического осциллятора.

Теория бесконечномерных дифференциальных уравнений, являющаяся центральным разделом бесконечномерного анализа, активно развивается начиная с 60-х годов. Интерес к таким уравнениям связан с их применением как в различных разделах математической физики (в частности, в квантовой теории поля, статистической физике, гидродинамике), так и в нелинейном функциональном анализе и теории случайных процессов (см. [2] и имеющиеся там ссылки). Основы этой теории были заложены в работах С. В. Фомина, Ю. М. Березанского, Ю. Л. Далецкого, О. Г. Смолянова, Л. Гросса, Р. Камерона, В. Мартина. Следует отметить также пионерские работы П. Леви, написанные в 20-х годах и посвященные изучению бесконечномерного дифференциального оператора, называемого сейчас лапласианом Леви. Дальнейшее развитие теория бесконечномерных дифференциальных уравнений (в том числе в суперпространствах) получила в работах С. Альбеверио и Р. Хег-Крона, И. М. Виши-ка, Б. Гаво, 10. Г. Кондратьева, II. Купша, П. Малявэна, М. Обаты, М. Пич, Е. М. Полищука, Дж. де Праго, А. Роджерс, А. В. Угланова, А. 10. Хренникова, Т. Хиды, Е. Т. Шавгулидзе, Г. Е. Шилова и других математиков. Исчислению функций от некоммутирующих операторов, тесно связанному с представлением решений различных дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений, посвящены многие работы В. П. Маслова и М. В. Карасева.

[1] Feynman R. P. An operator calculus, having applications in quantum electrodynamics // Physical review. 1951, oct.l. Vol. 84, N8 1.

[2] Da Prato G., Zabezyk J. Stochastic equations in infinite dimension - Cambridge Uniniversity Press, 1992.

Таким образом, актуальность темы диссертации определяется как важностью рассмотренных в ней задач для функционального анализа и его приложений, так и вниманием, которое эти задачи привлекают сейчас в России и за рубежом.

Цель работы. Решить задачу Коши для эвклидова аналога уравнения Шредингера для бесконечномерного ангармонического осциллятора в классе борелевских мер;

найти явный вид решения задачи Коши для уравнения Шредингера для бесконечномерного гармонического осциллятора в классе функций на суперпространстве;

развить теорию ядерных операторов на суперпространстве; построить операторное исчисление Фейнмана для континуальных семейств операторов.

Методы исследования. В работе используются преобразование Фурье, а также некоторые методы суперанализа и теории линейных операторов в банаховых пространствах.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Приведем их:

1) Найдена явная формула (являющаяся обобщением формулы Ме-лера), представляющая фундаментальное решение задачи Коши для эвклидова аналога уравнения Шредингера для бесконечномерного гармонического осциллятора. Решение задачи Коши для аналогичного уравнения (относительно борелевских мер) для бесконечномерного ангармонического осциллятора записано с помощью интеграла по мере, соответствующей бесконечномерному процессу Орнштейна — Уленбека.

2) Развита теория ядерных операторов на суперпространстве и теория бесконечномерного суперопределителя, в частности доказан бесконечномерный супераналог теоремы Лиувилля.

3) Найден явный вид решения задачи Коши для бесконечномерного супераналога уравнения Шредингера гармонического осциллятора.

4) Построено исчисление функций от упорядоченных континуальных семейств операторов. Фактически оно содержит значительный фрагмент исчисления, предложенного Р. Фейнманом на эвристическом уровне.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях в области эволюционных уравнений относительно мер и функций на бесконечномерных (супер-) пространствах, а также в теории линейных операторов на суперпространствах.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на заседаниях научного семинара по бесконечномерному анализу кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, на конференции молодых ученых МГУ 1988 года, а также на научном семинаре кафедры теории функций механико-математического факультета ННГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения и трех глав, содержащих по пять параграфов. Списки литературы содержат 64 названия. Общий объем работы — 157 страниц.

Основное содержание диссертации

Во введении дан обзор работ, относящихся к теме диссертации, и кратко изложено ее содержание.

В первой главе рассмотрены эволюционные уравнения относительно мер, являющиеся эвклидовыми аналогами уравнения Шре-дингера для бесконечномерного ангармонического осциллятора. Решена задача Коши для этих уравнений. В частных случаях получены явные формулы для фундаментальных решений, являющиеся обобщением формулы Мелера, и доказана единственность решения с определенными свойствами. Дано определение гауссовских полугрупп и описана их связь с рассмотренными параболическими уравнениями.

Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (-, ■) и нормой | ■ В-ц — ст-алгебра его боре-левских подмножеств, М{Н) — множество борелевских мер на В-ц. 11к — алгебра цилиндрических подмножеств Н, МС(Н) — семейство цилиндрических мер на . Пусть, кроме того, операторы В, С и Б лежат в классе Ь{Н. И.) линейных ограниченных операторов на Л, причем В и. С — симметричны и неотрицательны, а В — ядерный.

Преобразование Фурье цилиндрической меры ц, заданной на Н обозначается далее символом Д.

Если )i € М(Н), то символом tr(B/i") будем обозначать такую меру \ € Мс{Н), что Х(ф) = — (В<р,ср)/1(у), а символом (D/x'. •) + tr D ■ ¡л — такую v е МС(Н), что = — Д£>р(</>) (производная понимается в смысле Гато).

Под эвклидовым аналогом уравнения Шредингера для бесконечномерного гармонического осциллятора понимается уравнение

р! = itr(вм") - [(Dm',-) +trD ■ д] - ±(С\-)/х, (1-1.2)

относительно функций /х: R —» М{Н).

В § 1.1 в случае, когда С = 0 или D = 0, фундаментальное решение G(t)(a:) этого уравнения представлено формулой

G(t)(x) = a(t)exp{-i(P(t)i,®)}r(Q(t),Jl(t)®), (1.1.3)

в которой предполагается, что:

1) функция —» С непрерывна; отображения P,Q,R: IR+ —» L(Н,'Н) — также непрерывны, причем Р^О, а Р и Q симметричны;

2) r(Q(i), R(t)x) — гауссовская мера с корреляционным оператором Q(t) и средним R(t)x.

3) s(0) = 1, Р(0) = 0, <3(0) = 0, Й(0) = 1.

Если С = 0, то величины s, Р, Q и. R должны определять-

(

ся равенствами s = 1, Р = 0, Q(t) = J ехр{тО *}В exp{rD} dr и

о

jR(t) = exp{tD*} (где D* — оператор, сопряженный к D); если же D = 0, то a(t) = det-1|/2(ch(t\/CB)), P(t) = ((th{ty/CB))JVCB)Сv

и R(t) = ch.-1 (tVBC) (в этом случае формула (1.1.3) аналогична конечномерной формуле Мелера).

В § 1.2 (теорема 1.2.1) доказано, что если С = 0, е M{7i), и J|x|2dr} < оо, то существует единственное решение fi(t) уравнения н

(1.1.2) с начальным условием т?, удовлетворяющее условию: при всех

е > 0 sup / |y|2!|/x(t)||(ciy) < оо (здесь ||/i(t)|| — вариация меры /i(t)). О

Символом 1/jTобозначим условную обобщенную меру Орнги-тейна — Улепбека. с. параметрами С и D на пространстве CjA непрерывных W-значных фунхций на [0. Г], подчиненных условию /(0) = X S H, f(T) € А С B-ц, для которой фундаментальные решения G(t)(x) уравнения (1.1.2) играют роль переходных вероятностей.

В § 1.4 с помощью этой меры представлено решение задачи Ко-ши для эвклидова аналога уравнения Шредингера для бесконечномерного ангармонического осциллятора.

Теорема 1.4.1. Пусть V: R^ х % —» С — непрерывная по совокупности переменных функция, причем существуют число я функции С\,С2 6 Lj,;0C(Rj.), такие что выполняются неравенства

i V(t, х) I (t) ехр { о( ||х [|г )} и 5feV(t.iKC2(t)ö(||s|r). Тогда для уравнения

v\ = ¿tr{Bv")~ [(Du', +ti Du] -f Vu (1.4.1)

функция Gv(t)(x), определяемая равенством

Gv(t)(x)(A) = £ exp{^V(S,q(5))(is}i7^4(cíq), (1.4.2)

где А € Bn, является слабым фундаментальным решением. Кроме того, если i/o — такая мера из M.(7í), что /exp{||x|¡r}i/o(c£a;) < оо, то

7Í

семейство u(t) — f Gv(t)(x)i/o(dx) будет слабым решением уравнения н

(1-4.1) u(t) с начальным условием vq.

Отметим, что в работе [3] в случае, когда операторы В и D коммутируют, и потенциал V не зависит от времени, показано, что полугруппа вида (1-4.2) действует в пространстве функций на Ti, суммируемых с квадратом по фиксированной гауссовской мере.

Семейство мер G(t) (х), í^O вида (1.1.3) назовем гауссовской полугруппой, если оно обладает свойствами 1), 2), 3) и полугрупповым свойством 4) J G(t)(y)G (s)(x)(dy) = G(t + s)(x) для любых t,s^0 .

к

[3] Gaveau В. Noyau des probabilités de transition de certains opérateurs d'Ornstem-Uhlenbeck dans l'espace de Hilbert // C.R. Acad, Se. Paris. 1981. t. 239, serie 1, N'9.'

В § 1.5 установлено соответствие между гауссовскими полугруппами и фундаментальными решениями уравнения типа (1.4.1).

Во второй главе найдена формула решения задачи Коши для уравнения Шредингера бесконечномерного гармонического осциллятора относительно функций на суперпространстве. Для записи этой формулы использован бесконечномерный супердетерминант (конечномерный аналог которого был веден Ф. А. Березиным в работе [4]). В данной главе используется подход к бесконечномерному суперанализу, описанный в работах [5, 6].

В § 2.1, имеющем предварительный характер, приводятся определения основных понятий суперанализа.

Пусть Л = Ло $ Ai — (вещественная) коммутативная банахова супералгебра с тривиальным левым аннулятором и нормой | • |, такой что |abj^|a| • ¡Ь| для любых а,Ь € А. Пусть, далее, G = Go ® Gi — (вещественное) градуированное банахово, а Е = Ео © V ® W — вещественное сепарабельное гильбертово пространство, такое что Е0 и Ei = V® W ортогональны, а V и W изоморфны. Фиксируем в Е0, V и W ортонормированные базисы. Тогда их объединение {е,}^ будет базисом в Е.

Пространства (G\)j = С70Л_,, j =0,1 вводятся как пополнения соответствующих тензорных произведений по проективной норме, а при построении пространств (Ел)у = (E^w = W<§Aj и (E\)j = Ej<S)Aj , j = 0,1 в качестве такой нормы берется Ii - норма:

IIEweieXill-iEwM2)172.

Суперпространствами над Л, согласно [5, 6], называются прямые суммы Ga = (Ga)o Ф (Ga)i и Ел = (Ел)о © (Ел)ь Элементы X £ Ед. будем записывать в виде X = (х,0,0), где х 6 (Ел)о> б € (Ел)у, в € (E\)w, или в виде X = (ас,©), где 9 = (0,6) б (ЕЛ)ь

[4] Березин Ф. А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирую-щими переменными - М. : МГУ, 1983.

[5] Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы в суперанализе// ДАН. 1988. т. 299, № 4, с. 816 - 821.

[6] Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Представление решений линейных эволюционных супердифференциальных уравнений второго порядка континуальными интегралами// ДАН. 1990. т. 309, с. 545 - 550.

Под суперскалярным произведением (X,Y) произвольных элементов X = (г. 0.0) и У = " (у, 0 из Ед понимается величина

§ 2.2 посвящен изучению ядерных операторов на суперпространстве Ед.

Символом Нотд(Е) далее обозначается пространство линейных операторов на Ед.

Оператором Гильберта—Шмидта на Ед называется линейный оператор В с конечной нормой Гильберта—Шмидта, определяемой равенством.||В||2 = (E,=i 11ВД2),/2-

Ядерным называется оператор В на Ед, представимый таким

ОС

рядом ^ Ci D, из попарных произведений операторов Гильберта-

¿=i

со

Шмидта, сходящимся в пространстве Нотд(Е), что сумма ^ ||Сч'||2'

¡=1

■ ;|ДЦ2 конечна. Его ядерной нор/пой ||5||i называется инфинум

00

сумм ^ j|C{j|'2 • по всем таким представлениям.

1=1

Пространство N(Ea) ядерных операторов на Ед с нормой || - ||i является банаховым. Любой ядерный оператор можно представить в виде композиции двух операторов Гильберта-Шмидта.

Суперследом (ядерного) оператора В принято называть величину str В = tr(ß00) - tr(ß„).

В § 2.3 изучаются свойства бесконечномерного супердетерми-канта. Основной результат этого параграфа содержится в теореме 2.3.4.1, являющейся бесконечномерным аналогом теоремы Лиувилля (см. [4], стр. 101).

Обозначим символом DHom((EA)0) множество 1 + 1\т((Ед)а).

Если оператор С принадлежит 0Нот((Ел)о)> то его детерминантом det С, как и в эвклидовом случае, называется предел при п —► со главных миноров порядка п его матрицы.

Каждый оператор С G Нотд(Е) имеет четыре компоненты Cif (Ед),- —> (Ед);, i,j = 0,1. Пусть Hom^i(E) — это множество всех операторов С из класса Нотд(Е), для которых существует (Сц)-1, и пусть ОНот1(Ед) = DHom(EA) Г) НотЛ1(Е).

Супердётерминантом оператора С из класса БНот^Ед) будем называть величину эс^ С = с1е1;(Соо - СшС^Сю) ¿еЬ С"1 (ср. [4], стр. 93).

Для операторов С, подчиненных условию ||Х> — 1\\\ < доказано равенство sdetD = е51г|пД (см. утверждение 2.3.4.1), кроме того доказана непрерывность супердетерминанта на пространстве ОНош.! (Ел), наделенном ядерной метрикой р(1). А) = ЦО — А||х (см. утверждения 2.3.4.2, 2.3.4.6).

Далее понятие супердетерминанта определено для более широкого класса операторов ЗБНот(Ел) и доказана

Теорема 2.3.4.1. Пусть е > 0 , А — аналитическое отображение области [/={*€ Ло | |£| < б} в пространство ¡М(Ед.). Тогда в этой области существует решение задачи Коши

С'(*) = А(0Б(4), £>(0) = (2.3.4.8)

При этом если Оо £ 80Нот(Ед), то !>(<;) е ЗВНот(Ед) и для всех 1 € 11 выполняется равенство Б (<;))' = э^А^) • бс^0(1).

В § 2.4 следуя [5, 6] введены понятия ряда объектов (бесконечномерного) суперанализа, таких ках суперпроизводная функции, заданной на суперпространстве, супермера, интеграл по супермере и преобразование Фурьё супермеры.

Следует отметить, что в отличие от [5, 6], где предполагается, что носитель супермеры на Ел содержится в Ео, в работе рассматриваются супермеры с ограниченным носителем, лежащим в (Ед)о-Класс всех таких супермер будем обозначать символом М^(Ед).

Интеграл функции / по супермере /х € Мь(Ед) записывается в виде / /(Х)р(йХ), преобразования Фурье супермеры /х обозначается символом Д.

В этом же параграфе приводятся формула дифференцирования сложной функции (теорема 2.4.2.1) и формула Лейбница (теорема 2.4.2.1) и доказывается теорема о возможности дифференцирования по параметру под знаком интеграла по супермере.

В § 2.5 предыдущие результаты применяются для нахождения решения задачи Коши для уравнения

/е'(*,Х) = §(-Д в/(ЬХ) + (СХ,Х№,Х)) (2.5.1)

относительно функций на суперпространстве с начальным условием /(О.-) = До(-)> гДе Mo € Мь(Ед.). (Напомним, что если В — ядерный оператор на Ед, то супер лапласиан Д в/ дважды супер-дифференцируемой функции / определяется равенством Дд/ =

со _ _

f"(BIe;,ei), где I: (х,д,в) —» (х.в, —9)). А именно, в теореме 2.5.1

n=i

показано, что это решение можно записать с помощью формулы f(t,X) = fG(t.X.Y)^(dY),rAe

G(t,X. Y) = s (t. Y) exp {(Q(t)X. X)/2 + i(R(t, Y), X)}, (2.5.2)

a функции s, Q h R задаются равенствами

f s = sdet-1/2(ch(atVCB)) exp{(B(th(aíVCB)/^/CB)У,У)/2}; \ Q(t) = (th(atVCB)/VCB)C; R(t, Y) = dr1(atV/CÏÏ)y

(Четные функции от VCB определяются рядами Маклорена).

Заметим, что задачи Коши для уравнения Шредингера для бесконечномерного гармонического осциллятора относительно мер (с аналитическим преобразованием Фурье) и относительно функций (при аналитических начальных условиях) решены А. Ю. Хренниковым в работе в работе [7].

В третьей главе построено исчисление функций от континуальных упорядоченных семейств операторов, предложение Р. Фейнма-ном на эвристическом уровне в работе [1].

Пусть В — комплексное банахово пространство с нормой 1, H — комплексное гильбертово пространство. Символом L(В) обозначим пространство линейных ограниченных операторов на В с равномерной операторной нормой || ■ ||, а символом LS(?i) — пространство линейных ограниченных самосопряженных операторов на Н.

Символом С([а. b],L(B)) будем обозначать множество сильно непрерывных на отрезке [а, Ь] Ь(В)-значных оператор - функций.

[7] Хренников А. Ю. Теорема о существовании решения бесконечномерного уравнения Шредингера с квадратичным потенциалом. // Успехи Мат. Наук. — 1984, т. 39, N" 1, с. 163-164.

В § 3.1 обсуждается понятие хронологической экспоненты (см. [8]). Одним из ее стандартных определений является следующее:

пусть А € С([а.Ь],Ь(В)). Хронологической экспонентной называется семейство операторов Т-ехр-М А(т)с[тУ t £ [а,Ь], определяема ^

мое равенством

tn-l

T-exp|yA(r)dr| =¿//••'/Mh)'----A(tn)dtr...-dtn. (3.1.4)

В § 3.2 для двух классов функций / определены их значения f(Ai,A-2.....Ап) на конечных наборах операторов. Такие функции

1 2 п

подробно изучены в работах [8, 9, 10].

Пусть для произвольного натурального п символ ТМ.п обозначает класс преобразований Фурье комплексных борелевских мер (ограниченной вариации) на R", а символ .An(L(B)) — класс целых функций п комплексных переменных, принимающих значения в L(B). Определим оператор f(A¡, А2,... , Ап) следующим образом:

12 п

а) Если / € TMni í = М и М, ■•■ >Ап £ LS(H), то положим /(Аь А2,... , Ап) = J •... • eiyíAld¡j,(yi,... , Уп);

12 n Rn

б) если f 6 A,(L(B)), ее n-кратный ряд Тейлора имеет вид

СмО

/(21.....Zn) = £ cn-jA ■■■ф> гДе сУь-Jn G L(B)< операторы

Jli—Jn=0

Ai,... ,А„ принадлежат L(B) и коммутируют со всеми то по-

оэ

ложим / (АъА2.....Ап)= Y. ch-inЛп ■ ■ ■ ■

1 2 " j\,-J\=0

В § 3.3 для некоторых классов отображений F пространства (С[а, Ь])г в L(В) (такие отображения мы далее называем функционалами) определяются их значения на континуальных сильно непрерывных упорядоченных наборах операторов.

[8] Маслов В. П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана - М.: Наука, 1976.

[9] Маслов В. П. Операторные методы - М.: Наука. 1973.

[10] Маслов В. П., Карасев М. В. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование - М.: Наука. 1991.

Пусть 1, и функционал Р лежит в классе С((С[а, Ь])г, Ь(В)) непрерывных отображений из (С[а,Ь])г в пространство Ь(В). Пусть, далее пв М, х; = (х0,хы) 6 ПГ+1, I = 1,---,т, и = а + ^(Ь -а) | к = 0,... , п} —разбиение отрезка [а, Ь]. Символами /Зг,(т), I = 1,...,г, обозначим ломаные с узлами в точках хы), к = 0,1,... п, а символом Рп(х\,... , хг) — значение функционала Р на семействе ((37,_____ образованном этими ломаными. Тогда

а) символом САО((С[а. 6])г, Ь(Л)) обозначим семейство всех операторов из класса С((С[а,Ь])Г,Ь(В)), таких что для всех п Рп £ Ап+1)г(Ь(В)), и для любого семейства оператор - функций А\,... ,АТ из класса С([а, Ь],Ь(В)), коммутирующих со всеми коэффициентами рядов Тейлора всех К,,, существует сильный предел

Пш Рп(А,(40М2(*0),... ,Аг(10),... , Аг (¿„), А2 , Аг (¿„)),

°° 12 г пг-И пг+2 (п+1)г

который мы будем обозначать через Е(Аь... , Аг);

б) символом СРМО((С[а, Ь])г, Ь(%)) обозначим семейство всех операторов Р из класса С((С[а, Ь])Г,С), таких что для всех п £ .7гЛ"<(л+1)г! и для любого набора А\,.. ■ ,АГ оператор-функций из класса С([а, 5], Ь3(%)) существует сильный предел

1ша Р„(А1^0),А2(*о),-.- ,АТ(10),... , А\ (¿71)1 А2 (<„),..., Аг (*п)),

и—аз 12 г 71Г-Ы пг+2 (п+1)г

который мы также будем обозначать символом Е(А15... , Аг).

Таким образом, оператор Р(А],...,АГ) определен либо если Р £ САО((С[а,Ь])г,Ь(В)), а Аь... ,АГ € С([а,Ь],Ъ(В)), либо если Г б СРМО((С[а, Ь])г, ЦП)), а Аь... , Аг £ С([а, Ь], ЬЭ(Н)).

Далее для функционалов определенного вида доказано, что они принадлежат классам САО((С[а,Ь])г,Ь(В)) (см. теоремы 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3), и показано, что преобразования Фурье борелевских мер на (С[а, Ь])г принадлежат классу СГМО((С[а,Ь])г,Ь(^)) (теорема 3.3.4).

В § 3.4 полученные результаты применяются к исследованию решений некоторых эволюционных уравнений.

Теорема 3.4.1. Пусть А — (неограниченный) самосопряженный оператор на /:Е н-> С(К) - измеримое отображение, при Ь £ К А\{1) — ¡(А)(1), РА((1\) — спектральная мера оператора А, и оператор-функции Н2 и А2 принадлежат классу С ([а, Ь], Ь3(7^)).

Тогда, если элемент ф0 £ Н\ таков, что при всех ос < 0 инте-

оо

грал / ( эир /2(Л)(т)) (Р(йЛ)(р01 Уо)) конечен, тодлялюбыхво н

—оо ге[«,/3]

t 6 [a, b) существует функционал Ft из класса CFMO((C(a, Ь])2, L(7t!2)), такой что вектор-функция ф(Ь) = F((ff2, A2)(ip0® является непрерывным слабым решением уравнения

iil>'(t) = (h® H2(t) -f Ai(t) ® A2(t))i/>(t) (3.5.1)

с начальным условием ~ф(а) — ¡¿>о <2 0q.

Теорема 3.4.2. Пусть Н,-,А; б С([а, Ь], ЦЩ), i = 1,2; а е С —

произвольное комплексное число. Для каждого t б [а, Ь] определим

отображение Ft пространства (С[а, Ь])2 в L(H\ ® TL-i) равенством t

а fh(r)dr t

Ft(h,g) = е • • Т-ехр^с^ЯДт) + g(r)А;(т))ат} ® 12.

а

Тогда Ft £ САО((С[а,Ь])2, L(Wj ® Ti2)), причем решение уравнения

Х[ = (Я, (t) ® h + h ® H2(t) + А, (t) ® A2(t)) • X(t)

относительно оператор-функций X: К —» L(7ii ® ?i2) с начальным условием Хо можно записать в виде X (t) = Ft(H2, А2) • Хо.

В теореме 3.4.3 доказан следующий результат.

Пусть дано параболическое линейное дифференциальное уравнение порядка N относительно функции u(t,xi,... , x't), коэффициенты vj(t,xi,... ,Xi) которого в то же время являются функционалами на пространстве (С[а, Ь])г, то есть зависят от г параметров aj(-),... , аД-) из С([а,Ь]). При этом решения F(t,xi,... ,xt) данного уравнения с фиксированными начальными условиями при всех значениях аргументов также будут функционалами на пространстве (С[а, Ь])г.

Тогда при некоторых условиях на vj и F для любого набора (Аь... , Аг) отображений из класса С([а, Ь], L(B)) оператор-функция ■u(t,хь... ,Xk) = F(t,X!,... ,хк)(Аг(.),... ,А,(-)) будет решением дифференциального уравнения, полученного из исходного подстановкой в коэффициенты vj(t,xi,... вместо функций aj(-),... , Ог(-) оператор-функций Ai(-),... , Ar(-).

В § 3.5 приведены некоторые примеры к доказанным ранее теоремам.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю О. Г. Смолянову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации

1. Галкин О. Е. Исчисление упорядоченных семейств операторов // Экстремальные задачи, функциональный анализ и его приложения. М. МГУ. 1988, с. 59 - 63.

2. Галкин О. Е. Гауссовские полугруппы и параболические уравнения// в сб. "Исследования по теории функций" - ННГУ, Нижний Новгород, 1992/ деп. в ВИНИТИ 01.04.92, с. 1113 - В 92.

3. Галкин О. Е. Бесконечномерные супераналоги формулы Меле-ра// Мат. заметки. 1996. Т 59, N 6.