Операторный метод приближенного вычисления функциональных интегралов и характеристик многоэлектронных атомов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГб од

на правах рукописи

ЦВЕТКОВ ИГОРЬ ВЛАДИМИРОВИЧ

УДК 530.14Л

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ И ХАРАКТЕРИСТИК МНОГООЛЕКТРОШ1ЫХ АТОМОВ

01.04.02 - теоретическая фиоика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученной степени кандидага^игаико-м&тиматичесвих илу к . ,

Минск 1994

PnfioTA выполнена на кпфодре ядерной финики фиоичсского факуль re ta Нолорусского государственного университета.

Научный руководитель : доктор фипико-математических наук

профессор Комаров Л,И.

Официальные онпоплнтм: доктор фнинко-математнчсских наук ' Фсфанчук ИЛ (к.т.ф. ЛГУ)

кандидат фиоико-математическнх наук ПГиир Я.М. (ИФ АН РП)

Ведущая органичация : Институт финики Д11 РГ>

Защита состоится * _ H)í);1 г. п 10 часоп

на операции сн(>циалнпирошш1И)Го Сонета К ОПО.ОХОО по присуждены» ученой степени кандидата наук п Пелгосуниверппете (220080, г. Минск, проспект (.'корпим, 1, главный корпус, ауд. 20(1),

С диссертации» можно оонякомиться п библиотеке белорусского го сударственного университета.

Автореферат разослан

НИИ г.

Учений секретарь спгщшншировапного Совета кандидат фин.-маг. наук

Ипапнш Л. И.

ОБЩЛЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. С момента своего пошмошиг н 1948 году фуш циональные (или же контнпуальные, фейнмановские, интсгршш но путям.) интегралы нашли широкое применение в различных областях фи-оикн и математики. Они исиольоуютсн при решении оидач теории вероятностен и статистической фниикн, квантовой механики и киантопой теории поля. В функциональном аналиис интегралы но путям применяются для представления решений дифференциальных н интегральных уравнении, уравнений п функциональных нроиородпых. Однако лишь ограниченный класс континуальных интегралов птиоляот провести аналитические вычисления до конца. Этр, и основном, гауссовы интегралы, а также сводимые к ним паменой переменных. В остальных случаях применяются раоличные приближенные методы вычисления континуальных интегралов, в частности — теория воимущенин.,

За последние два десятилетия был достигнут большой' прогресс и окснериментальных исследованиях по фиоико высоких онергий, 0|1,шш ио основных методов теоретического исследования которой лилят'ся функциональные интегралы. Область онергий, доступных не рлпличных установках, равна нескольким Тов, где существенными становятся воаимодействия с большой коистантой смой в Гамильтониане и где, следовательно, применение стандартной теории вооыущений либо новее невооможно, либо сшоаиб 'с большим объемом вычислений.

С другой стороны, в последние годы вырос интерес к иоучению по-ляриоационных свойств мкогоолектроииых атомов, свяоанимй с проведением оксиеримеатов но обнаружению СР неиивариаитпсс.ти. Общепринятой моделью аналипа многоолектронных атомов явллетс» модель неоависимых частиц Харгри-Фока. Однако нулевое приближение пой

модели оапедомо дает неправильный реоультат ио-na предскапываемо-го вырождения по I (орбитальному квантовому числу), отсутствующем в реальных атом.гх. Учет ж« поправочных членов при большом количестве ПЛеКТроНОВ СВИШШ С реоКИМ увеличением объема ВЫЧИСЛеНИЙ; В ренультате оначения характеристик многоолектронпых атомов, получаемые на основе модели Хартри-Фока, отличаются от оксперимен-тальных в t,fi -1 рапа.

Общей особенностью вышеперечисленных систем Является невоо-можность применения к ним стандартных методов исследования, т.е. теории воомущеиий и Хартри - Фоковского приближения соответственно, Естественно peono поорос интерес к нелертурбативным методам, одним ио которых является Операторный Метод, предложенный Комаровым Л.И. и Феранчуком И .Д. (РЬуя. Lelt. Л, 1982, 88, p.2J2; J, Г'Ьун. Л, 1081, 17, (кЗШ). Согласно результатам, полученным в птих и н последующих работах, нулевое приближение операторного метода дает достаточно простой и универсальный алгоритм получения такой аппроксимации точного решения уравнения IIIрцдингера, которая окапывается равномерно пригодной в широком дианаооне иоменення параметров Гамильтониана. Другое достоинство операторного метода спиоано с возможностью регулярного вычисления поправок к нулевому приближению. Как нокаоывают результаты многих работ, операторный метод окапался очень о<1>фективным для решения самых рапно-обраоных оадач. Н свяои с «тим дальнейшее исследование ьшможно-стей применения Операторного Метода к вычислению функциональных интегралов, являющихся одним но основных средств решения квантово - полевых оадач, а также к ипучепию характеристик многоолектронпых атомов на основе модели неоависимых частиц является весьма актуальной оадачей, поскольку при »том расширяется область применения * с ' ..■ ■ ■■

1Того оффективного метода.

Целью »петрящей работы являютс:

• исследопашк! вдаможности применения Операторного Метода /ум вычисления как одномерных несобственных, так и бесконечномерных (функциональных) интегралов;

• рапрабогка удобного способа вычисления поправок и каждом порядке раоложения ОМ и его испольоование для вычисления характеристик квантово - механических и квантово - полевых систем;

• исследование применимости нулевого приближении ОМ для равномерно - пригодной аппроксимации фнмнчсских характеристик многоолектронных атомов наосноно модели неоавпеимых частиц.

Научная новиинл работы состоит » том, что в пей предложен новый метод приближенного вычисления функциональных интегралов, нопно-лякмций однотипным обраоом строить ряд теории доомущений но всей области иомененин параметров Гамильтониана. С помощью итого метода были исследованы рналичные квантово - механические и квантово - полевые оадачи. Также предложена удой пан модель ненависнмих частиц для аналииа многоолектронных атомов, которая впервые в н> левом порядке предскаоывает правильный порядок наполнения олег/ронных оболочек (таГшнца Менделеева). На основе отой модели были им числены некоторые характеристики шюгооле*тронных атомов

На оащиту выносятся следующие реоультаты:

• На основ.? установленных свойств операторов •- интегралов движения построена нетрадиционная схема ангишоа квантопп механических иронагаторов, упрощающая вычисления я рнмк IX < тан-дартной теории вехшущений. Применение отой схемы дли точно - решаемых оадач приводит к иовестным рсоультатам.

• IIa примере вычисления оперши основного состояния и эффективной классически функции распределен и я ангармонического осциллятора н двухъимного потенциала продемонстрирована оф-фоктинкость предложенной итерационной схемы вычисления последовательных приближений ОМ при аналное функциональных интсгралои;

• Покапана оффективность применения операторного метода н рамках модели нсппвиснмых частиц для вычисления некоторых характеристик многоолектронных атомов. Ц частности, получены формулы для нахождения статической и динамической поляриоу-емостей.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты могут быть иглольоонаны в статистической механике, кван товой механике, квантовой теории поля, астрофипике, описании взаимодействия получения с веществом.

Апробация работы. Основные результаты, иоложенные в диссер-тдцин, докладывались и обсуждались на Международной конференции * К ван гоны«; системы: Новые тенденции и методы" (Минск, 1!)ГМ), конференция молодых ученых НГУ (Минск, НЖ).

1£у(ш11л11цют_. Основные рсоультаты диссертации опубликованы в 7 работах.

Объему структура работы. Диссертация состоит по введения, пяти глав, отключения и списка литературы, включающего 10.1 наименований. Обьем диссертации 128 сл.раниц машинописно! о т екста, включл» три рисунка и три таблицы.

б

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЙ Р/ШУШ

По Внесении обосновала актуальность и сформулирована ко ль исследования, перечислены основные положения, выносимые на оащиту. Одесь же кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава диссертации носит обоорныи характер к рассмотрению раоличних методов аналииа яваптопо--механических и нолевых оадач, оанисашшх » представлении интегралов по траекториям. Первый параграф от ой главы онакомит с вариационным методом Фейнмана, являющимся басшвым для всех непертурбативных методов вычисления функциональных интегралов и основанном на неравенстве Йенссна- Фейнмана - Боголюбова:

По в тором параграфе описаны наиболее широко иснопынуемын к. настоящее время методы вычисления континуальных интогр.июв — методы оптимизированного раоложения и промежуточного полк, метод квадрата оффективного действия.

В третьем параграфе кратко положена основная идея Операторного Метода решения уравнения Шредингера, нредложяш'ого Комаровым Л. И. и Феранчуком И. Д. (Phye. Lett. A, 198.1, Й8, рЛТ.!; J. РЬуя. Л, 19ё4, 17, р.3111). Как будет иокаоако в диссертации, все главные положения метода могут быть нреобрааованы таким обраоом, чтобы с успехом применить его к аналиоу интегралов по путям,

Вторая гита посвящена аналиоу квантово-механических проиага-торов в представлении интегралов по путям на основе ОМ. В первом параграфе преложена процедура построения операторов-итегралов движения â(l,t„) и 6((, по своим свойствам сходных с «нерв юрами

рождения п уничтожения, причем их одновременный коммутатор н< опвиемт о т промежуточною момента времени <:

/ — некоторая функция, вид которой оависит от граничных услонсм ондами.

Но втором параграфе покаоано, что введение таких операторов на (нмлнет ynpoi/rini/ вычислонил в рамках стандартной теории воомуще-ний и свести нахождениеп точечных функций к чисто алгебраической процедуре.

Исполину« псрестановочнысеоотпошеним между операторами - интегралами движения, в параграфах '2.3 и 2.4 проведен аналитическим расчет гауссовых континуальных интегралов, описывающих гармонический осциллятор с вынуждающей внешней силой и осциллятор с час гогой, онвжлшей от времени. Покаоано, что для отих точпорешаемых гнетом ршультаты, полученные ОМ, совпадают с новостными ранее.

В 1]»етьей главе диссертации предложен новый алгоритм построение поправок ОМ, основанный на раоложгнии нксноненты п операторный ряд Тей.'юра.

II первом параграфе описаны результаты, к которым приводит ис-польпован4<; ОМ при аналиое одномерных несобственных интегралов. Покапано, что для интеграла от е"г>"1/< ршушлаты, даваемые ОМ в четвертом порядке, отличаются от точных не более чем на 0,<> % во вей облает инменепин Л.

Второй параграф посвящен построению формплипма Операторного Метода в рамках функционального интегрировании и проблеме выбора оператора пулевого приближения. Покапано, что при выборе

/>0 = Lit Т>„.(а~(0а(«)Г J «

R

пулевое приближение ОМ совпадает с репуль'штом, нокуч«?нным вариационным методом Фейнмапл.

П третьем параграфе предложена регулярна« схема построения поправок, основанная на раоложении вкспонепты в операторный ред.Тейлора. При вычислении каждой конкретной диаграммы проимводите* приближенная оамена оператора На на оператор

/'/,, = -/ dtà*(t)<l(t)

с соответствующим коэффициентом, что пооволяог проводить вычисления в аналитическом ниде. Предлагаемая процедура приводит к иснодь оованик» в пространстве раомерностьк» г»» модифицированной функции Грина

, <Гр е-ч<-»> (

Отличительными чертами предлагаемой мроц'яурм является то, что при правильном выборе оператора нулевого приближения количестю диаграмм, аиалиоирусмых в каждом порядке операторного разложения, меньше или равно числу диаграмм стандартной теории воимущепий, причем ппачопие каждой нп диаграмм по величине меньше соогнет стпующей ей диаграммы и теории воомугпсний,

1) параграфах 3.4, З.Л Операторный Мегод применен для вычисления пнергин основного состояния и оффективиой классической »функция р»< -пределени.ч ангармонического осциллятора и дпухч«я много пог«нциалч. Построен ряд последовательных приближений. Пронмведено сравнение полученных реоультатон с точными.

H четвертой главе ОМ игпольоустся д/ui решении паддч квантовом теории поля. 13 первом параграфе аналионруется усеченный хваптово -механический функциональный детерминант и вычисляется плотность

иистан гоном, Получаемое и нулевом приближении итчешю плотности ИВСТКНТОИОН с/ц

ц/(<) - К* •1«

отличается от точного не более чем на 15 % (пдесь $) - пробная частота, •0о - волновая (функция нулеьой моды).

I) параграфах '1.2 и 4.4 найден нроиоиодящии функционал и г директивный цотеннши1 для теории Л</>' соответственно.

Дам того, чтобы испольоовать процедуру минимиоацин при аналиое нулевого приближения ОМ в пространствах с раомерностими бол мне двух в тре.тьсм параграфе приложена нетрадиционная процедура вычисления функционального детерминан та в пространствах любой рао-мерности с помощью ( функции,

И/Ши/.ШШД диссертации посвящена испольоованию ОМ для аншш-ои фиоическпх свойств миогшлектронных атомов, И первом параграфе предлагаете модель независимых частиц, в которой корелляционныо «ффекты учитываются введением в гамильтониан членов, пропорциональных квадрату момента количества движения, О го пооволяет побежать в нулевом приближении вырождения одноолектронных онергети-чсс»нх состоянии но I, характерного для модели Хартри - Фока:

Одесь 7, - оффектшшый ааряд ядра, 4 - беораомерный параметр, определяемый во окспериыентальных данных. Слезет отмстить, что при <х' « 1 иорядох оанолнепиа олектроиных оболочек, прцдскаоываемый дашюн моделью, совпадает с порядком олемеи гов в периодической таблице М«иделесва.

Л»,/

2г

фр

Ha основе предложенной модели вычисляются формулы дли опенки статических (параграф .1.2) и динамических (параграф Г>..Ч) нониризуе-мостей многоолектроиных атомов.

ILüíiíJLW-'iíUUlJl перечислены основные результаты и выводы работы, состоящие » следующем:

• предложена нетрадиционная схема аналиоа Квантово механических пропагаторов на основе исполыдования операторои-интегралов дни жения;

• разработана итерационная схема вычисления последовательных приближений ОМ для аналиоа как одномерных несобственны)!, так и бесконечномерных (функциональных) интегралов, исследо-пана сходимость итерации данной гхемы;

• проведен теоретический расчет оффсктивиой «лассичесмй функции распределения и опергии основного состочниа ацглрмоничо с кого осциллятора и двухъямного потенциала;

» на основе ОМ предложен простой способ опенки функциональных детерминантов;

• исследована возможность использовании вариационной ироцеду ры при анализе задач квантовой теории поля, проведено обобш--нпе процедуры С - регуляризации;

« предложена новая модель независимых частиц для «ненки физических характеристик многозлея туцшшх ятомоп;

• па основ': итой модели вычислены формулы для полуф' помено логической оценки статических и динамических нопяриоуемостей многоолектроиных атомов.

Основные £«._£иь™ты диссертации опубликованы в работах:

1. Цнетков И.В. Операторные вычисления н функциональном интегрировании.// ТМФ, т. 100, 1ШМ, с. 218-203.

2. Комаров Л.И., Солодухин A.M., Цветков И.В. Пол у феноменологическая оценка поляриоуемостей миогоолектронных атомов.// Нест-ни« НГУ (фиоина), N 2, ИШ, с. 3 - 8.

3. I.V.Tevctcov. Operator ехраннюн technique for the Path Integral tuialyttii.// Workiltop "Quantum ey^teiu». New trendu and method«", Miawk, Ш4.

4. Комаров Л.И., Романова Т.О., Солодухин A.M., Цветков И.И. Ио-пуфеномонологичоск&я оценка динамической нолириоуемости атомов.// Теоисы докладои IV семинара по спектроскопии, Москва, 1993, с. 23.

5. Цветков И.В. Аналитический оценка функциональных детерминантов.// Теоисы докладов Конференции молодых ученых, Минск, 195)4, с. 25.

6. Цветков И.В., Шарапаива В.В. Алгебраический подход в анализе иволюциопного оператора олектромагнитных волн в немагнитных жрис галлах.//Теииси докладов Конференции молодых ученых, Минск, 1994, с. 24,

7. Цветком И.В. Вычисление функциональных интегралов с помощью Операторного Метода.// Весц) ЛИ РВ (в нечати).