Электронная структура и характеристики атомов и ионов в многоконфигурационном методе Хартри-Фока

Лицарев, Михаил Сергеевич

Электронная структура и характеристики атомов и ионов в многоконфигурационном методе Хартри-Фока тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Лицарев, Михаил Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Электронная структура и характеристики атомов и ионов в многоконфигурационном методе Хартри-Фока»

Автореферат диссертации на тему "Электронная структура и характеристики атомов и ионов в многоконфигурационном методе Хартри-Фока"

004616883

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. П. Н. ЛЕБЕДЕВА РАН

На правах рукописи

ЛИЦАРЕВ Михаил Сергеевич

ЭЛЕКТРОННАЯ СТРУКТУРА И ХАРАКТЕРИСТИКИ АТОМОВ И ИОНОВ В МНОГОКОНФИГУРАЦИОННОМ МЕТОДЕ ХАРТРИ-ФОКА

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 9 ЛЕК 2010

Москва — 2010

004616883

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

чл.-корр. РАН,

Максимов Евгений Григорьевич

Учреждение Российской академии наук Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, г. Москва

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Рубцов Алексей Николаевич Физический Факультет, Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова, г. Москва

кандидат физико-математических наук, Кулатов Эркин Турабаевич Учреждение Российской академии наук Институт Общей Физики РАН, г. Москва

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт Спектроскопии РАН, г. Троицк

Защита состоится 20 декабря 2010 года в -Z/L-я. на заседании диссертационного совета Д 002.023.02 при Физическом Институте им. П.Н. Лебедева РАН по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский проспект, д. 53.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического Института им. П.Н. Лебедева РАН.

С авторефератом диссертации можно ознакомиться на сайте www. lebedev. ru/.

Автореферат разослан «Ж» ноября 2010 года.

Ученый секретарь Диссертационного Совет» Д 002.023.02 ^доктор физико-математических наук ¿^^-----' Я.Н. Истомин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многоконфигурационный метод Хартри-Фока (МКХФ-метод) применяется во многих областях физики конденсированного состояния вещества, квантовой химии, атомной спектроскопии, как правило, в тех случаях, когда, исходя из "первых принципов", необходимо достичь высокой точности расчетов электронной струтуры или других характеристик атомов (ионов). Найденные в результате таких вычислений волновые функции можно использовать для расчета вероятностей радиационных переходов, эффективных сечений возбуждения, потенциалов ионизации, электронной плотности и других характеристик атома, которые представляют интерес для целого ряда приложений. По существу, именно в нахождении волновых функций в рамках квантово-механического подхода, который является "наукой о матричных элементах", и состоит одна из главных задач по расчету свойств многоэлектронных атомов (ионов). Волновые функции используются также при построении электроной плотности, представляющей отдельный интерес для атомных процессов, протекающих в лабораторной и астрофизической плазме, а также для физики конденсированного состояния вещества.

В связи с интенсивным развитием и практическим применением метода псевдопотенциалов [1] в рамках теории функционала плотности, в настоящее время очень актуальной является задача вычисления электронной плотности атома (иона), обладающей заданной степенью гладкости, во внешнем потенциале (моделирующем кристаллическое окружение атома или иона) с высокой точностью. Под гладкостью электронной плотности понимается непрерывное изменение последней в любой фиксированной точке координатного пространства при непрерывном изменении (одного из) параметров внешнего потенциала, который входит в гамильтониан атома и описывает экранировку валентных электронов.

Наличие свойства гладкости у волновых функций позволяет наиболее точно описать валентные электроны атома и исследовать их отклик на изменение параметров внешнего потенциала. В физике конденсированного состояния эта задача особенно актуальна в связи с правильным описанием обменно-корреляционных эффектов, связанных с локализованными с1-и /-электронами, которые могут быть учтены только в рамках наиболее

точных расчетных методов, относящихся к теории электронной структуры атомов и ионов.

Другой важной областью физики, где необходимы вычисленные волновые функции и электронная плотность атомов и ионов, является теория процессов многоэлектронной ионизации тяжелых (быстрых и медленных) ионов при столкновении с нейтральными атомами [2]-[4]. Теоретическое описание этих явлений актуально в настоящее время и имеет первостепенное значение для ряда бурно развивающихся приложений, таких, например, как физика ускорителей и управляемый термоядерный синтез. Например, для оценки электронных потерь ионным пучком вследствие столкновений с остаточным газом и времени его жизни в накопительном кольце, необходимы m-кратные сечения электронных потерь (тп - число потерянных электронов). В физике плазмы описание процессов ионизации необходимо для правильных оценок такого эффекта, когда ионизующиеся частицы у стенок токамака (примесные ионы Fe и С г) из области холодной плазмы попадают в область горячей плазмы, охлаждая ее.

Интенсивные экспериментальные исследования многоэлектронной ионизации быстрых тяжелых ионов нейтральными атомами были проделаны [5]-[13] параллельно с расчетами nCTMC-методом (n-body classical trajectory Monte Carlo - классическим n-частичным методом Монте-Карло) [9]-[12], [14], [15]. Однако теоретическая модель, позволяющая рассчитывать m-кратные сечения электронных потерь многоэлектронных тяжелых ионов во всей области энергий все еще не создана.

Диссертация посвящена развитию двух важных областей физики атомов и ионов: теории электронной структуры и теории ион-атомных столкновений. А именно, разработке метода вычисления волновых функций и электронной плотности атомов и ионов (с учетом внешнего потенциала), обладающих заданной степенью гладкости, на базе имеющихся расчетных схем, и созданию теоретической модели многоэлектронной ионизации тяжелых ионов, сталкивающихся с нейтральными атомами. Эти две области тесно связаны, так как во всех проводимых вычислениях необходимы волновые функции и электронная плотность атомов (ионов), которые в диссертации расчитываются, если это не оговорено особо, в рамках многоконфигурационного метода Хартри-Фока.

Современное состояние теории позволяет моделировать различные

квантово-механические системы, экспериментальное изучение которых на практике трудноосуществимо по ряду причин. Поэтому на первый план выходит проблема формулировки критериев достоверности получаемых результатов в рамках разрабатываемых вычислительных схем.

МКХФ-процедура [16] состоит из двух последовательных этапов. В соответствие с общепринятой схемой сначала производится построение многоэлектронного базиса или CSF-базиса (С S F - configuration state functions - функции конфигурационных состояний с заданными полным орбитальным и полным спиновым моментами). Затем решаются многоконфигурационные уравнения Хартри-Фока из которых определяются радиальные функции, входящие в состав слэтеровских детерминантов. Существующие реализации каждого из двух основных этапов МКХФ-метода все еще содержат принципиальные недостатки.

Построение CSF-базиса является довольно трудоемкой задачей. Она состоит из задачи отбора электронных конфигураций и для каждой конфигурации - задачи о сложении орбитальных и спиновых моментов, которая решалась с помощью техники генеалогических коэффициентов, разработанной Рака [17]. С вычислительной точки зрения такой подход плохо поддается формализации и обобщению, особенно для состоящих из нескольких оболочек и содержащих неэквивалентные электроны конфигураций, которые возникают при расширении многоэлектронного базиса даже до р-состояний. Основная идея, решающая эту проблему основана на применении техники лестничных операторов орбитального и спинового моментов и впервые была выдвинута в работах [18]-[21]. Однако до сих пор в общем виде задача прямой диагонализации в рамках МКХФ-метода не была реализована.

На втором этапе МКХФ-процедуры радиальные части одноэлектрон-ных орбиталей находятся из системы интегро-дифференциальных уравнений, которые могут быть решены только численно. Применение конечно-разностных схем не может гарантировать в общем случае сходимости решения на отдельном шаге итерационного МКХФ-процесса, а в отдельных случаях приводит к неустойчивой работе численных алгоритмов, реализация которых основана на сеточных схемах [16]. Поэтому, в рамках вариационной МКХФ-процедуры необходимо разработать математический аппарат, реализация которого одинаково успешно работала бы для всех

атомов периодической таблицы Д. И. Менделеева, содержала бы критерии правильности получаемого ответа, была бы устойчивой и позволяла вычислять электронную плотность во внешнем потенциале с заданной степенью гладкости.

Цели и задачи диссертации

— В рамках МКХФ-метода обобщить метод прямой диагонализации доя случая Сй^-базиса, отвечающего произвольным конфигурациям, а также разработать соответствующий универсальный вычислительный код для построения многоэлектронного базиса.

— На основе вариационного принципа сформулировать общие правила построения матрично-векторных МКХФ-уравнений, исходя из разложения одноэлектронных радиальных функций по ортонормированно-му базису.

— Разработать универсальную устойчивую вычислительную схему решения полученных уравнений и исследовать сходимость волновых функций в зависимости от длины базиса. Исследовать вопрос гладкости электронной плотности.

— Разработать модель передачи энергии в классическом приближении, описывающую явление ионизации многоэлектронных ионов нейтральными атомами на всем диапазоне энергий. Сформулировать критерии применимости полученного метода.

— Провести рассчеты полных сечений ионизации с использованием электронной плотности, полученной из МКХФ-метода и вычисленной с помощью слэтеровских орбиталей и сравнить полученные результаты.

Научная новизна и практическая ценность результатов.

В основе разработанного метода решения многоконфигурационных уравнений Хартри-Фока лежит представление радиальных частей одно-электронных орбиталей в виде аналитически заданного подкласса функций, представляющих собой конечное разложение по ортонормированному

базису. Такой подход позволяет ясно оценить достоверность результатов вычислений по анализу поведения коэффициентов разложения.

Разработанная программа, в которой реализован МКХФ-метод, позволяет проводить расчеты электронной структуры „из первых принципов", и осуществлять моделирование кристаллического окружения атома (иона) с высокой точностью. Код может быть легко модифицирован практически для любого внешнего потенциала.

Разработана модель передачи энергии в ион-атомных столкновениях, описывающая в диапазоне энергий 10 кэВ/н < Е < 100 МэВ/н явление одно- и многоэлектронной ионизации тяжелых ионов, сталкивающихся с нейтральными атомами. Модель не содержит подгоночных, параметров и дает согласие вычисляемых значений сечений электронных потерь в сравнении с экспериментом и расчетами методом Монте-Карло в пределах фактора 2.

Создан программный код DEPOSIT, который позволяет вычислять сечение ионизации за очень малое время (одна точка по скорости v считается примерно за одну минуту), тогда как в методе Монте-Карло одна точка сечения считается около шести часов. Теоретическое моделирование позволяет исследовать различные сталкивающиеся ион-атомные системы, экспериментальное изучение которых затруднено и предсказывать их характеристики, что весьма актуально для физики ускорителей (электронные потери пучка) и для процессов управляемого термоядерного синтеза. Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ в изданиях из списка рекомендованных ВАК РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на семинаре теории конденсированного состояния под руководством член.-корр. РАН П.И. Арсеева, а также на следующих конференциях:

1. 19th Int. Conf. on Plasma Physics, National Institute for Fusion Science, Nagoya, Japan, 7-12 Dec., 2009, "Atomic Charge-Changing Processes in Plasmas".

2. Int. Conf. on Heavy Ion Fusion, Darmstadt (Germany), Technical University, 1-5 September 2010, "Charge-Changing Processes in Collisions of Heavy Ions with Atoms and Molecules".

Структура и объем диссертации. Материал диссертации изложен на 165 страницах, содержит 29 рисунков, 5 таблиц, библиография включает 127 наименований. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и пяти приложений.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность, практическая ценность и научная новизна темы исследования, описаны решаемые проблемы и цели исследования. Также во введении описывается структура диссертации и приводятся выдвигаемые на защиту утверждения.

В первой главе вместе с кратким историческим обзором собраны имеющиеся в литературе и необходимые для понимания следующих глав основные определения, которые связаны с расчетами электронной структуры и характеристик атомов и ионов, приводится обзор основных методов их расчета. В отдельных случаях выводятся вспомогательные соотношения, используемые в дальнейших главах.

В этой же главе ставится основная задача, касающаяся решения нерелятивистского уравнения Шредингера для атома с зарядом 2 и числом электронов ЛГ, которое в атомных единицах имеет вид

Здесь г; - радиус-вектор г-го электрона, г* = |г;|, Гц = |г< — <? = {?1>92, • • • ,<7лг}- Через qi обозначена совокупность радиус-вектора г* и спиновой переменной <Т(.

В МКХФ-методе решение уравнения (1) ищется в виде конечного разложения по многоэлектронному С5^-базису [16]

3=1

Каждый его элемент Фj(q) соответствует определенной электронной конфигурации

(1)

(2)

[(щЬГ (п2!2Г...(ПЛГ],

(3)

с числом оболочек и и числом электронов ш, на г-ой оболочке, Щ = ЛГ, и представляет собой линейную комбинацию слетеровских детерминантов

= ..<#)■ (4)

к=1

Детерминант Слэтера здесь и далее обозначен через

1 "

= (5)

* т г—1

суммирование ведется по всем возможным перестановкам т, ет — ±1, если перестановка т четная или нечетная соответственно. Одноэлектронное состояние

Ыч) = \Рш{г)У1т1{в,ч>)ХтМ) (6)

в обозначениях Дирака записывается в виде

|а) = \nlmims), (7)

где п - главное квантовое число, I - орбитальный угловой момент (азимутальное квантовое число), т; - магнитное квантовое число, гп3 - проекция спина на выделенную ось г. В выражении (6) переменные (г,в,ф) обозначают сферические координаты, Y¿mI(0,<p) - сферическая функция, ХтЛа) - спиновая часть одноэлектронного состояния.

Таким образом, необходимо определить входящие в формулу (4) коэффициенты А\ и наборы квантовых чисел а{'к,... одноэлектрон-ных состояний, формирующих слэтеровские детерминанты, \/j е [1, УА; € [1, К3], и все неизвестные радиальные функции Рп;(г) с различными п1, входящие в базис (4). При этом, так как волновые функции (6) орто-нормированы, на радиальные функции Рп¡(г) налагаются дополнительные условия ортонормировки

оо

Рп1(г)РпЧ(г)с1г =

ипп' > 1 — и, а .. . 1>тах • (8)

Неизветные коэффициенты С, разложения (2) определяются в рамках са-' мосогласованной МКХФ-процедуры стандартным способом [16].

Вторая глава диссертации посвящена построению многоэлектронного базиса (4) в рамках метода прямой диагонализации.

Глава начинается с введения. Во втором разделе второй главы излагаются общие принципы построения многоэлектронных базисных СБР-функций и приводятся примеры их построения в простейших случаях. Описываются разработанные автором алгоритмы построения конфигураций и для каждой конфигурации алгоритмы построения детерминантных состояний, формирующих базисные СйР-функции, а также вспомогательные алгоритмы. В третьем разделе второй главы с помощью техники лестничных операторов орбитального и спинового моментов получены выражения для матричных элементов операторов квадрата полного орбитального момента и квадрата полного спинового момента для произвольных конфигураций, которые необходимо вычислять в рамках метода прямой диагонализации.

На основе полученных соотношений для вычисления СБЕ-состояний с заданными моментами разработан универсальный программный код (6000 строк, код написан на С++), реализующий построение многоэлектронного базиса и проведены расчеты состояний с заданными спиновым и орбитальным моментами, в том числе для конфигураций, содержащих й- и /электроны. На основе многочисленных расчетов проанализированы достоинства и недостатки метода. Некоторые (не очень громоздкие) результаты в качестве примеров приведены в четвертом разделе второй главы. Глава заканчивается выводами.

Третья глава посвящена построению и решению системы матрично-векторных уравнений, представляющих собой основные уравнения Многоконфигурационного метода Хартри-Фока.

Глава начинается с введения. Радиальные функции РП1{г), одноэлек-тронных состояний (6), входящие в выражение (4), ищутся в виде подкласса функций, представимых в виде конечного разложения

й"1

тах

Рт(г) = £ Ь?СгЬ(г), (9)

к=1

по ортонормированному базису

«йм=* (¿Г (§) • 4;=м

Здесь 0 - масштабирующий множитель, Ь"(х) - многочлены Чебышева-

Лагерра, I £ [0,1тах\- Подход, основанный на представлении одноэлектрон-ных волновых функций в виде разложения по заданному набору аналитических функций, был впервые предложен в работе [22] и известен как метод молекулярных орбиталей [23]. Однако в нем в качестве базиса, выбираются слэтеровские или гауссовы орбитали, что не позволяет достигать наилучшей точности решения атомного уравнения в силу структуры этих наборов функций.

Во втором разделе третьей главы с помощью вариационных соотношений на неизвестные коэффициенты

к'

к=1

dbko s=l

и abcd L\"fc Si _ ^otnn Y^ JahMMunclc,A0fn0 V^ JbU,k,ac,ndld ,

-\°na "fcok¡ % +\°пь ¿^ Vkoki % +

° ko fci=l , .

K'a Kh ^ '

max ''mal

+\dnc 2L, ^fcofci % +0U°nd ¿_j ^o*. °fci >

fci=l kx-1

сформулированы общие правила построения матрично-векторных уравнений. Здесь

= jT QkAr)DiQkAr)dr, Â = + ^ -f, (14) = / ^bWQfc^M^Mdr, (15)

nfcb(n) = П / -ilrFn.«.^)^!»^)^, (16)

7q¡, и Дц^ - соответственно, одночастичный и двухчастичный интегралы, входящие в выражение для полной энергии, А^ - неопределенные множители Лагранжа, входящие в функционал G который содержит условия ортонормировки радиальных функций Pni(r).

Разработан универсальный программный код, позволяющий для любого базиса проводить символьное вычисление выражения полной энергии

Е = (Ф|Я|Ф), и, на основе вариационных соотношений (11)-(13), строить систему матрично-векторных уравнений для определения коэффициентов 6J?' и, таким образом, радиальных функций P„¡(r) (9).

В третьем разделе третьей главы последовательно приводятся примеры построения матрично-векторных уравнений для различных систем, начиная с простейших, без учета электрон-электронного взаимодействия, и заканчивая системами, описываемыми уравнением (1), с d-состояниями.

В четвертом разделе третьей главы разработан универсальный метод решения матрично-векторных уравнений для произвольных атомов (ионов) в базисе (4) с произвольным числом орбиталей.

Систему матрично-векторных уравнений в общем виде можно записать следующим образом

п р(а)

У^ TabXb = AafcXfc, а€[1,п]. (17)

ь=1 fc=s(a)

Здесь Т„ь - матрицы действительных чисел, получающиеся в результате вариационной процедуры. Каждому вектору х_, сопоставляется вектор bnI так, что все их соответствующие компоненты тождественно равны: Xj bni, (xj)i = (bn¡)j, Vi. Число уравнений системы п равно числу различных оболочек в базисе. Диапазон натуральных чисел [s(a),p(a)] нумерует векторы Xj отвечающие одному и тому же I. То есть (x¿,Xj) = и li = lj, Vi,j € [s(a),p(a)]. При этом s(l) = 1, p(n) = n, p(a) = s(a) — 1 + число оболочек с I — la, s(a 4-1) = s(a) + 1, если для данного а выполнено условие la < la+х-

Система (17) представляет собой задачу на собственные значения в некотором обобщенном смысле. А именно, требуется найти такие попарно для каждого I ортонормированные векторы и отвечающие им числа Ау, чтобы выполнялись все равентсва системы (17). На практике, размерности каждой из, вообще говоря, прямоугольных матриц Ta¡, равны приблизительно 100. Это означает, что необходимо решать систему нелинейных уравнений с числом переменных от 100 до 1000, что практически осуществимо только численно с использованием ЭВМ.

Для системы уравнений (17) разработан следующий метод ее решения.

Введем величины

Ча = ^ТаЬХь' аб[1,п] (18)

ь=1

р(а)

= (С1а,хк)хк. (19)

Геометрический смысл невязки с1яа заключается в том, что она представляет собой вектор, ортогональный подпространству 8рап(Хк), определяемому базисом, состоящим из векторов к 6 [в(а),р(а)]. Тогда, если набор {х.,}"=1 - решение системы (17), то каждый вектор лежит только в подпространстве Зрап(хь), как это следует из (17), и, следовательно, = 0. Таким образом, решение системы (17) сводится к минимизации ортогональной невязки (19), что в свою очередь приводит к системе уравнений

<кь ({х,}?=1) = 0, о=1,2,...,п. (20)

Для системы уравнений (20) разработан следующий итерационный сходящийся процесс.

Пусть имеется некоторое начальное приближение {х°}"=1. Будем вычислять последующее приближение по правилу

= (21) j=l,2,...,n,

пока процесс не сойдется. Здесь а,- - некоторая малая постоянная 10-2ч-10~5), которая для одних и тех же I одинакова, |х| - квадратичная норма. В результате, получающиеся по схеме (21) решения x¿ попарно для каждого I ортонормированны, а отвечающие им числа Ау - симметричны по г,

В качестве начальных значений {х°}"=1 следует выбирать ортонор-мированные собственные векторы, отвечающие радиальным функциям с п-) — ^ — I числом нулей. На тп-м шаге итерационной МКХФ-процедуры следует брать начальные значения векторов ({х°}"=1)т равными 1-

м собственным значениям диагональных матриц Таа. Такой выбор объясняется следующими соображениями. Если решать задачу не в многоконфигурационном приближении Хартри-Фока, и не учитывать электрон-

! 1 ..........

, ,, .i , ! 1 ,........ t

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Рис. 1: Волновые 15-функции для р-элементов второго ряда - атомов бора, углерода, азота, кислорода, фтора, неона в основном состоянии.

электронов взаимодействие, то недиагональные матрицы будут равны нулю, а диагональные матрицы будут совпадать при одних и тех же I, что и обуславливает выбор решений по числу нулей как в методе функционала плотности. В качестве примера, на рис. 1 приведены вычисленные радиальные части Рю(г) для р-элементов второго ряда таблицы Д.И. Менделеева.

Далее, сходимость полученной схемы (21) решения уравнений (17) была ускорена с помощью DIIS-метода [24], [25] (DUS - direct inversion of iterative subspace - метод прямого обращения итерированного подпространства). Как известно, этот метод позволяет ускорить сходимость итерационного процесса в 0(\/п) раз, где п - число итераций до применения DIIS-метода.

В пятом разделе третьей главы для различных систем приводятся результаты расчетов полной энергии и электронной плотности (вычисляемой по многоэлектронной волновой функции (2)), и, на основе критерия

w^Tï^ro-M. (22)

исследуется вопрос гладкости получаемых решений во внешнем поле, име-

ющим вид

Уехг(г,а) = -^Ег1[-^г). (23)

г \V2aJ

Здесь Zio.ii - заряд иона, равный заряду атома минус число электронов кора, Ег^г) - интеграл вероятности, параметр а характеризует так называемую жесткость потенциала (см., например, работу [1]).

В качестве проверки схемы был взят атом кислорода в основном состоянии и, соответстенно, ион атома углерода С2- во внешнем потенциале (23) с ^¿оп = 2 (для выполнения условия электронейтральности атома на бесконечности). Левая часть равенства (22) вычислялась по волновым функциям уравнения (1) с внешним потенциалом (23), правая часть - численным дифференцированием энергии Е(а) по формуле

дЕ(а)

да

= ^№о + /1)-Я(ао-/1)) + 0(/12). (24)

а=а0

Для шага И = 0.002 получено совпадение левой и правой частей выражения (22) с точностью до четвертого знака. На рис. 2 приводятся резуль-

13 12 11 10 9

I ^

7 б

0.5 0.6 0.7 0.8 0,9 1 1.1 1.2 1,3 1.4 1.5 1.6

Рис. 2: Производная полной энергии Е{а) по параметру а для иона С2~ в поле (23) с Zion — 2. Сплошная кривая - матричный элемент (22) производной потенциала (23), крестики - численное дифференцирование Е(а) по формуле (24) с шагом И = 0.002.

Рис. 3: Электронная плотность атома кислорода О в основном состоянии и иона С2- во внешнем поле (23) при значениях а = 0.75 и а = 0.9. Видно малое изменение электронной плотности, относящейся к валентным электронам, при малом изменении значений параметра а, характеризующего так называемую жесткость потенциала. Валентные электроны тем больше локализованы, чем меньше значение а.

таты расчета, демонстрирующие гладкость получаемых решений. На рис. 3 представлена электронная плотность атома кислорода в основном состоянии и, соответстенно, иона атома углерода С2- во внешнем потенциале (23) с ^гоп = 2 при различных значениях параметра а. Глава заканчивается выводами.

В четвертой главе строится теоретическая модель, описывающая процессы многоэлектронной ионизации атомов и ионов сталкивающихся с нейтральными атомами.

Глава начинается с введения. Во втором разделе четвертой главы на основе классического приближения, разработанного Н. Бором [26], выводится выражение для переданной электронам налетающего иона энергии Т(Ь) в зависимости от прицельного параметра (или параметра удара) Ь.

Энергия, переданная электрону налетающего иона и принадлежащему

7-оболочке, определяется как

ДЕ7 = ^(и7 + Ди7)2 - ^и2 = и7Ли7 + ^(Ди7)2, (25)

где через и7 и Ди7 обозначены, соответственно, средняя орбитальная скорость и ее приращение, вследствие столкновения с нейтральным атомом. Величны и7 и Ди7 вычисляются из уравнений

и7 = фГ7, (26)

Д и7= 27)

У-оо Ф У-оо ¿Р

Здесь /7 - потенциал ионизации для 7-оболочки, 11(11) - поле нейтрального атома на расстоянии Я от его центра, В? — р2 + г>242, р - прицельный параметр (электрона) относительно атома, V - начальная скорость налетающего иона на бесконечности, t - время, ьг — ^у2 + и2. Поле нейтрального атома и (Я) на расстоянии Я от ядра приближенно выражается как сумма трех потенциалов Юкавы с шестью параметрами

= ¿4 = 1, (28)

л ¿=1 »=1

где Z - зараяд нейтрального атома, А^ и аг - численные параметры, которые определены из метода Дирака-Хартри-Фока-Слэтера [27] расчетным путем.

В случае больших скоростей и и7, приращение скорости Дп7 ~ 2У [28],

и линейное по Ди7 слагаемое в выражении (25) можно отбросить. В противоположном случае малых скоростей V -С и7 основной вклад в энергию дает первое слагаемое. Таким образом,

2М1 и 3

ДЕ~(р) =-2X2

11=1

(30)

Здесь

р2 = (Ь —г сое 0)2 + (г бш в сое ф)2, 0 < <9 < тг, 0 <<р < 2ж, (31)

и функция

(к2 + у2)3/2 + к2 + у2.

(32)

*•(*:) = / йук2е-^+у2

J о

заменяется ее приближенным выражением

» е-о'9<"!(1.80908377 - 2е-а90Б^+1)). (33)

Переданная энергия ДЕ7(р) нормируется следующим образом. В случае больших скоростей (30), при р -» 0, максимальная переданная энергия равна величине АЕЦ^ = 2г>2, которая может быть передана электрону при лобовом столкновении с атомным ядром. В случае малых скоростей (29), при р —¥ 0, максимальная переданная энергия вычисляется, исходя из предположения, что электрон налетающего иона получает энергию вследствие столкновений с электронами атома-мишени, которую можно посчитать, введя средний радиус оболочки налетающего иона г7 как ¿С = ^¡ь2/2, где « гг2/Л1 если г7 < Яд и » 2 если г7 > В.а, где Яа - радиус атома.

Полная энергия Т(Ь), переданная электронам налетающего иона расчитывается как

Г(Ь) = £/р(г)ДЯ7(р)Д-, (34)

где р(г) электронная плотность налетающего иона. Функция р(г) нормирована на полное число электронов

гоо

/ р{г)йг = N. (35)

Далее в этом же разделе следует изложение вычислительной схемы взятия трехмерного интеграла (34), основанной на квадратурах Гаусса наивысшей степени точности (по угловым переменным) и шестиинтервальной формуле Ньютона-Котеса на семиточечном шаблоне, для каждого отрезка логарифмической сетки по радиальной переменной.

В заключительной части второго раздела четвертой главы формулируются критерии применимости разработанной модели. Для случая больших скоростей условие применимости записывается как

у/2Тх/п < V < гА, (36)

п - главное квантовое число соответствующее внешней электронной оболочке налетающего иона. Для случая малых скоростей критерий применимости имеет вид

1/2 о р. /ОГ.Ч1/2

. 1/2

2/1 У' 2 Яд /2Jj V'

tJ ^«Л-Ы • (37)

где суммирование проводится по всем оболочкам 7 и Кг0п • радиус налетающего иона.

Третий раздел четвертой главы посвящен расчетам полного и т-кратных сечений электронных потерь для большого числа сталкивающихся систем в соответствие с формулами

<гшЬ>) = ^ сгт(у) = т:Ъ2тах, (38)

771=1

Е о

I I I I м I 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718

I I I II I I I I I I I I I II Г 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718

Рис. 4: Представлены m-кратные сечения электронных потерь для ионов U28+, сталкивающихся с атомами Аг как функции т. Эксперимент: открытые звездочки - [12], черные звездочки - [30], треугольники - расчет методом Монте-Карло [12], открытые круги - расчет в классическом приближении, код DEPOSIT.

roo

am(v) = 2тг / Pm(b)bdb, (39)

где вероятности ионизации Pm{b) вычисляются в рамках статистической модели Рассека-Мели [29]. Значение Ътах определяется из уравнения

T(bmax) = h. (40)

Полученные результаты сравниваются с экспериментальными данными и расчетами методом Монте-Карло.

В первой части третьего раздела проводятся расчеты полного и тп-кратных сечений электронных потерь для ионов Аг1+, Аг2+, Кг7+, Хе3+, Аг18+, РЬ25+ и Uq+ (q - 10, 28, 39, 62), сталкивающихся с атомами Н, N, Ne, Аг, Кг, Хе и U в диапазоне больших скоростей. Сравнение с экспериментом и расчетами методом Монте-Карло показало, что предложенная модель дает совпадение одно- и многоэлектронных сечений электронных потерь в пределах фактора 2.

Во второй части третьего раздела сравниваются результаты расчетов переданной энергии Т(Ь) (выражение (34)) и вычисленных сечений (38) для случая слэтеровской и МКХФ-плотностей на примере столкновений Хе18+ + Хе при энергии 6 МэВ/н и I/28+ + Аг при энергии 6.5 МэВ/н.

Значения сечений электронных потерь для ионов Хе18+ составляют a?ot = 11.2 х 10~17 см2, a¡nJhf - 12.6 х 10~17 см2 (в соответствие с работой [10], экспериментальное значение <rtot = (9.5 ± 0.4) х Ю-17 см2, значение, вычисленное с помощью метода Монте-Карло, <?tot = 8.6 х Ю-17 см2). Относительная разница сечений для МКХФ- и слэтеровского приближений составляет (12.6 - 11.2)/12.6 = 0.11 = 11%. Похожая ситуация имеет место и для столкновений J/28+ + Аг, для которых относительная разница сечений МКХФ- и слэтеровского приближений составляет (6.6 - 5.7)/6.6 = 0.136 = 14%.

Модель передачи энергии дает наилушее приближение для электронов внешних оболочек. Как видно из рисунка 5, МКХФ-плотность для внешних оболочек менее локализована по сравнению со слэтеровской плотностью, и, следовательно, значения прицельного параметра Ьтах должны для нее быть больше, как это и получается из расчетов. Однако, несмотря на то, что МКХФ-подход дает более точные значения прицельных параметров, они не сильно отличаются от слэтеровского подхода. Учитывая, что

расчеты со слэтеровскими волновыми функциями гораздо проще, в разработанной модели целесообразно использовать плотность, вычисленную с помощью слэтеровских волновых функций.

В заключительной части третьего раздела четвертой главы проводятся расчеты полного и m-кратных сечений электронных потерь для ионов N+, Ar+, Ge~, Аи~, U+, U2S+, W, W+, сталкивающихся с нейтральными атомами (Не, Ne, Ar, W) при энергиях Е > 10 кэВ/н. Результаты расчетов сравниваются с экспериментом и расчетами методом Монте-Карло.

В диапазоне высоких энергий приводятся также результаты для сечений электронных потерь в релятивистском борновском приближении (код LOSS-R [32]). В качестве окончательного варианта сечений электронных потерь предлагается величина <тгес, которая определяется из выражения

-i- = -L + _U (4i)

0"rec &low &high

Здесь через <т;ош и <т/и9л обозначены сечения, вычисленные с помощью кода DEPOSIT и кода LOSS-R, соответственно. Для проведенных расчетов по-

Рис. 5: Радиальная электронная плотность Хе18+. Сплошная линия - расчет в рамках многоконфигурационного приближения, пунктирная линия - вычисление по слэтеровским функциям. Обе плотности нормированы на полное число электронов А^ = 36.

лучено согласие с имеющимися экспериментальными данными в пределах фактора 2. Глава заканчивается выводами.

В заключении приведены основные результаты диссертации. В приложениях собраны различные математические соотношения и некоторые громоздкие для оформления результаты, полученные автором.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. В рамках многоконфигурационной процедуры Хартри-Фока предложен метод построения многоэлектронного базиса, основанный на прямой диа-гонализации базисных состояний. С помощью техники лестничных опера-

о » 1 о

ч—

0.1

10° 101 102 1 03 1 04 Е [keV/u]

Рис. 6: Представлены полные сечения электронных потерь для ионов JV+, сталкивающихся с атомами Ne, как функции энергии ионов. Эксперимент: закрашенные кружки полученные из [31], теория: пунктирная кривая - код DEPOSIT, тонкая кривая - код LOSS-R, толстая кривая - агес, уравнение (41).

N + Ne

\ж LOSS

DEPOSIT \

' recomm \\

• exp: Lo & Fite \

торов углового и спинового моментов этот метод обобщен на случай произвольных электронных конфигураций. На основе полученных соотношений для метода прямой диагонализации разработан универсальный программный код (6000 строк, код написан на С++), реализующий построение многоэлектронного базиса и проведены многочисленные расчеты состояний с заданными спиновым и орбитальным моментами. Результаты опубликованы в {1}.

2. Решение многоконфигурационных уравнений Хартри-Фока, за счет аналитического разложения радиальных частей одноэлектронных волновых функций, входящих в состав слэтеровских детерминантов, по орто-нормированному базису, сведено к решению системы матрично-векторных уравнений. Сформулированы правила построения этих уравнений и найдена устойчивая численная схема их решения. Разработан програмный код (9400 строк, код написан на С++), реализующий символьное получение и варьирование выражения полной энергии, строящий систему матрично-векторных уравнений и решающий эту систему с линейной скоростью сходимости. С его помощью проведены расчеты полной энергии, волновых функций и электронной плотности для элементов, содержащих в том числе d- и /- электроны. Результаты опубликованы в {2}.

3. В классическом приближении разработана модель передачи энергии в ион-атомных столкновениях, описывающая в диапазоне энергий Е > 1 МэВ/н явление одно- и многоэлектронной ионизации тяжелых ионов, сталкивающихся с нейтральными атомами, не содержащая подгоночных параметров. Для вычисления переданной электронам энергии разработан програмный код DEPOSIT (на С++), с помощью которого проведены вычисления для ионов Аг1+, Аг2+, Кг7+, Хе3+, Лг18+, РЬ25+ и [/«+ (q = 10, 28, 39, 62), сталкивающихся с атомами Н, N, Ne, Ar, Кг, Хе и U. Сравнение с экспериментом и расчетами методом Монте-Карло показало, что предложенная модель дает совпадение одно- и многоэлектронных сечений электронных потерь в пределах фактора 2. Результаты опубликованы в

{3}, {4}.

ных параметров. Возможности компьютерного кода DEPOSIT расширены на весь диапазон энергий 10 кэВ/н < Е < 100 МэВ/н. Получено согласие проведенных расчетов для ионов Аг+, Ger, Аи~, U+, U28+, W, W+, сталкивающихся с нейтральными атомами (Не, Ne, Ar, W) при энергиях Е > 10 кэВ/н, с имеющимися экспериментальными данными в пределах фактора 2. Результаты опубликованы в {5}, {6}.

Публикации по теме диссертации

{1} М. С. Лицарев, О. В. Иванов. "Многоконфигурационный метод Хартри-Фока: прямая дигонализация при построении многоэлектронного базиса" // ЖЭТФ, 138, 28 (2010).

{2} М. С. Лицарев, О. В. Иванов. "Система матрично-векторных уравнений в Многоконфигурационном методе Хартри-Фока" //. Кратпк. сообщ. физ 37, 37 (2010).

{3} V. P. Shevelko, М. S. Litsarev and Н. Tawara. "Multiple ionization of fast heavy ions by neutral atoms in the energy deposition model" // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 41, 115204 (2008).

{4} M.-Y. Song, M. S. Litsarev, V. P. Shevelko, H. Tawara, J.-S.Yoon. "Single-and multiple-electron loss cross-sections for fast heavy ions colliding with neutrals: Semi-classical calculations" // Nucl. Instr. Meth. В, 267, 2369 (2009). {5} V. P. Shevelko, M. S. Litsarev, M.-Y. Song, H. Tawara, J.-S. Yoon. "Electron loss of fast many-electron ions colliding with neutral atoms: possible scaling rules for the total cross sections" // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 42, 065202 (2009).

{6} V.P.Shevelko, D.Kato, M.S.Litsarev, H.Tawara. "The energy-deposition model: electron loss of heavy ions in collisions with neutral atoms at low and intermediate energies" // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 43, 215202 (2010).

Цитируемая литература

[1] С.Hartwigsen, S.Goedecker, J.Hutter, Phys. Rev. В 58, 3641 (1998).

[2] J. H. McGuire. Introduction to dynamic correlation: multiple electron transitions in atomic collisions. New Orleans, LA; Tulane University Press (1997).

[3] N. Stolterfoht, R. D. DuBois, R. D. Rivarola. Electron emission in heavy ion-atom collisions. Berlin, Springer (1997).

[4] V. P. Shevelko, H.Tawara. Atomic multielectron processes. Springer (1998).

[5] W. Erb. GSI Report GSI-P-78 (Darmstadt: GSI) (1978).

[6] B.Franzke. IEEE Trans. Nucl. Sci. 28 2116 (1981).

[7] D.Mueller at al, Phys. Plasmas 8 1753 (2001).

[8] D.Mueller at al, Laser Part. Beams 20 551 (2002).

[9] R.E.Olson, R.L.Watson, V.Horvat and К.E.Zaharakis, J. Phys. В 35 1893 (2002).

[10] R.L.Watson, Y.Peng, V.Horvat, G.J.Kim and R.E.Olson, Phys. Rev. A 67 022706 (2003).

[11] R. D. DuBois et al, Phys. Rev. A 68 042701 (2003).

[12] R.E.Olson, R.L.Watson, V.Horvat et al, J. Phys. B. 37 4539 (2004). [13| A. C. F. Santos and R. D. DuBois, Phys. Rev. A 69 042709 (2004).

[14] R. E. Olson at al, Nucl. Instrum. Methods A 544 333 (2005).

[15] R.E.Olson, Nucl. Instrum. Methods A 464 93 (2001).

[16] C. Froese Fisher, T.Brage, P.Jonsson. Computational atomic structure; An MCHF approach. Institute of phisics publishing, Bristol and Philadelphia (2003).

[17] G. Racah, Phys. Rev. 76, 1352 (1949).

[18] J.H.Barlett Jr., Phys. Rev. 38, 1623 (1931).

[19] N.M. Gray and L.A. Wills, Phys. Rev. 38, 248 (1931).

[20] M.H. Johnson Jr., Phys. Rev. 38, 1628 (1931).

[21] M.H. Johnson Jr., Phys. Rev. 39, 197 (1932).

[22] С. C. J. Roothaan, Rev. Mod. Phys. 32, 179 (1960).

[23] С. Фудзинага. Метод молекулярных орбиталей. Мир, Москва (1983).

[24] Е. R. Davidson, J. Сотр. Phys. 17, 87 (1975).

[25] P.Pulay, Chem. Phys. Lett. 73, 393 (1980).

[26] N. Bohr, Phil. Mag. 30, 581 (1915).

[27] F. Sal vat Parelada, Phys. Rev. A 36, 467 (1987).

[28] Л.Д.Ландау и E.M. Лифшиц. Механика, том I. Физматлит, Москва (2001).

[29] A.Russek, J.Meli, Physica 46, 222 (1970).

[30] A.N.Pirumal, V.Horvat, R.L.Watson, et al., Nucl. Inst. Meth. В 227 251 (2005).

[31] H.H.Lo and W.L.Fite, At. Data 1 305 (1970).

[32] I. L. Beigman, I. Yu. Tolstikhina, V. P. Shevelko, Tech. Phys. 53 546 (2008).

Подписано в печать 151 <4- (о

Формат 60x84/16. Заказ ЫгбЦ. Тираж 80экз. П. л. //

Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макета заказчика. 119991 Москва, Ленинский проспект, 53. Тел. 499 783 3640

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Лицарев, Михаил Сергеевич

Введение

1 Методы расчета электронной структуры атомов и ионов

1.1 Многоэлектронный атом.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Движение в центрально-симметричном поле

1.1.3 Квантовые состояния электронов в атоме. Электронные конфигурации.

1.1.4 Свойства многоэлектронной волновой функции.

1.1.5 Детерминант Слэтера.

1.1.6 Четность состояний слэтеровского детерминанта.

1.1.7 Слэтеровские волновые функции.

1.2 Вариационный принцип в атомной задаче.

1.2.1 Общая схема.

1.2.2 Задача на собственные значения.

1.2.3 Метод Хартри-Фока.

1.2.4 Многоконфигурационный метод Хартри-Фока.

1.3 Матричные элементы нерелятивистского гамильтониана

1.3.1 Матричные элементы между детерминантами

1.3.2 Одночастичные и двухчастичные интегралы

1.3.3 Интегралы по угловым переменным.

1.3.4 Выражение для энергии.

1.3.5 Электронная плотность атома

2 Многоэлектронный базис волновой функции

2.1 Введение.

2.2 Многоэлектронные базисные функции.

2.2.1 Общие принципы.

2.2.2 Построение конфигураций.

2.2.3 Построение детерминантов.

2.2.4 Отображение одноэлектронных состояний на множество неотрицательных целых чисел.

2.3 Сложение моментов.

2.3.1 Отбор состояний по квантовым числам Мь, Мз и Р

2.3.2 Матричные элементы операторов Ь2 и !32.

2.3.3 Метод прямой диагонализации.

2.4 Примеры расчетов базисных состояний.

2.5 Выводы.

3 Система матрично-векторных уравнений

3.1 Введение.

3.2 Варьирование энергии.

3.2.1 Общие соотношения.

3.2.2 Варьирование одночастичных интегралов

3.2.3 Варьирование двучастичных интегралов

3.3 Примеры построения матрично-векторных уравнений.

3.3.1 Простейшие случаи без учета электрон-электронного взаимодействия

3.3.2 Простейшие случаи с учетом электрон-электронного взаимодействия

3.3.3 Расширение базиса до неэквивалентных состояний

3.3.4 Атом гелия в состоянии 3Р° в базисе 1з2р.

3.3.5 Атом гелия в состоянии Учет ¿¿-оболочек.

3.3.6 Атом лития в состоянии 2 5.

3.3.7 Атом бериллия в состоянии

3.4 Вычислительная схема.

3.4.1 Сетки В.И.Крылова. Общие правила вычисления радиальных интегралов.

3.4.2 Вычисление интегралов ^ д.

3.4.3 Вычисление интегралов т}1^^'0'. ^

3.4.4 Изменение масштаба базиса.

3.4.5 Вычисление интегралов ^ ^(С).

3.4.6 Вычисление интегралов ^¿^'^(Сь Сз; Са, Сь). 9(

3.4.7 Минимизация ортогональных невязок.

3.4.8 Подмешивание.

3.4.9 Ускорение сходимости.

3.5 Результаты расчетов.

3.5.1 Полная энергия, волновые функции и электронная плотность

3.5.2 Внешнее поле.

3.6 Выводы.

4 Ионизация многоэлектронных атомов и ионов при столкновениях с нейтральными атомами

4.1 Введение.

4.2 Передача энергии активному электрону налетающего иона

4.2.1 Метод передачи энергии в представлении параметра удара.

4.2.2 Вычислительная схема.

4.2.3 Полное и m-кратные сечения электронных потерь.

4.2.4 Критерии применимости метода передачи энергии.

4.3 Результаты расчетов в сравнении с экспериментом и расчетами методом Монте-Карло.

4.3.1 Расчет сечений электронных потерь при больших энергиях

4.3.2 Расчет полных сечений со слэтеровской и МКХФ- плотностями при больших энергиях.

4.3.3 Расчет сечений электронных потерь для всего диапазона энергий

4.4 Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Электронная структура и характеристики атомов и ионов в многоконфигурационном методе Хартри-Фока"

Многоконфигурационный метод Хартри-Фока (МКХФ-метод) применяется во многих областях физики конденсированного состояния вещества, квантовой химии, атомной спектроскопии, как правило, в тех случаях, когда, исходя из „первых принципов", необходимо достичь высокой точности расчетов электронной струтуры или других характеристик атомов (ионов). Найденные в результате таких вычислений волновые функции можно использовать для расчета вероятностей радиационных переходов, эффективных сечений возбуждения, потенциалов ионизации, электронной плотности и других характеристик атома, которые представляют интерес для целого ряда приложений. По существу, именно в нахождении волновых функций в рамках квантово-механического подхода, который является „наукой о матричных элементах", и состоит одна из основных задач по расчету свойств многоэлектронных атомов (ионов). Волновые функции используются также при построении электроной плотности, представляющей отдельный интерес для атомных процессов, протекающих в лабораторной и астрофизической плазме, а также для физики конденсированного состояния вещества.

В связи с интенсивным развитием и практическим применением метода псевдопотенциалов [1]-[4] в рамках теории функционала плотности [5]-[11], в настоящее время очень актуальной является задача вычисления электронной плотности атома (иона), обладающей заданной степенью гладкости, во внешнем потенциале (моделирующем кристаллическое окружение атома или иона) с высокой точностью. Под гладкостью электронной плотности понимается непрерывное изменение последней в любой фиксированной точке координатного пространства при непрерывном изменении (одного из) параметров внешнего потенциала, который входит в гамильтониан атома и описывает экранировку валентных электронов.

Наличие свойства гладкости у волновых функций позволяет наиболее точно описать валентные электроны атома и исследовать их отклик на изменение параметров внешнего потенциала. В физике конденсированного состояния эта задача особенно актуальна в связи с правильным описанием обменно-корреля-ционных эффектов, связанных с локализованными d- и /-электронами, которые могут быть учтены только в рамках наиболее точных расчетных методов, относящихся к теории электронной структуры атомов и ионов.

Другой важной областью физики, где необходимы вычисленные волновые функции и электронная плотность атомов и ионов, является теория процессов многоэлектронной ионизации тяжелых (быстрых и медленных) ионов при столкновении с нейтральными атомами [12]-[14]. Теоретическое описание этих явлений актуально в настоящее время и имеет первостепенное значение для ряда бурно развивающихся приложений, таких, например, как физика ускорителей и управляемый термоядерный синтез [15], [16]. Например, для оценки электронных потерь ионным пучком вследствие столкновений с остаточным газом и времени его жизни в накопительном кольце, необходимы m-кратные сечения электронных потерь (т - число потерянных электронов). В физике плазмы описание процессов ионизации необходимо для правильных оценок такого эффекта, когда ионизующиеся частицы у стенок токамака (примесные ионы Fe и Сг) из области холодной плазмы попадают в область горячей плазмы, охлаждая ее.

Интенсивные экспериментальные исследования многоэлектронной ионизации быстрых тяжелых ионов нейтральными атомами были проделаны [17]-[25] параллельно с расчетами /гСТМС-методом (n-body classical trajectory Monte Carlo - классическим n-частичным методом Монте-Карло) [21]-[24], [26], [27]. Однако теоретическая модель, позволяющая рассчитывать т-кратные сечения электронных потерь многоэлектронных тяжелых ионов во всей области энергий все еще не создана.

Современное состояние теории позволяет моделировать различные кванто-во-механические системы, экспериментальное изучение которых на практике трудноосуществимо по ряду причин. Поэтому на первый план выходит проблема формулировки критериев достоверности получаемых результатов в рамках разрабатываемых вычислительных схем.

МКХФ-процедура [28]—[45] состоит из двух последовательных этапов. В соответствие с общепринятой схемой сначала производится построение многоэлектронного базиса или CSF-базиса (CSF - configuration state functions -функции конфигурационных состояний с заданными полным орбитальным и полным спиновым моментами). Затем решаются многоконфигурационные уравнения Хартри-Фока из которых определяются радиальные функции, входящие в состав слэтеровских детерминантов. Существующие реализации каждого из двух основных этапов МКХФ-метода все еще содержат принципиальные недостатки.

Построение CSF-базиса, является довольно трудоемкой задачей. Она состоит из задачи отбора электронных конфигураций и для каждой конфигурации - задачи о сложении орбитальных и спиновых моментов, которая решалась [46]-[55] с помощью техники генеалогических коэффициентов, разработанной Рака [56]-[59]. С вычислительной точки зрения такой подход плохо поддается формализации и обобщению, особенно для состоящих из нескольких оболочек и содержащих неэквивалентные электроны конфигураций, которые возникают при расширении многоэлектронного базиса даже до р-состояний. Основная идея, решающая эту проблему основана на применении техники лестничных операторов орбитального и спинового моментов [47]-[51], и впервые была выдвинута в работах [60]-[63]. Однако до сих пор в общем виде задача прямой диагонализации в рамках МКХФ-метода решена не была.

На втором этапе МКХФ-процедуры радиальные части одноэлектронных ор-биталей необходимо находить из системы интегро-дифференциальных уравнений, которые могут быть решены только численно. Применение конечно-разностных схем не может гарантировать в общем случае сходимости решения на отдельном шаге итерационного МКХФ-процесса, а в отдельных случаях приводит к неустойчивой работе численных алгоритмов, реализация которых основана на сеточных схемах [30].

Таким образом, в рамках вариационной МКХФ-процедуры необходимо разработать математический аппарат, реализация которого одинаково успешно работала бы для всех атомов периодической таблицы Д. И. Менделеева, содержала бы критерии правильности получаемого ответа, была бы устойчивой и позволяла вычислять электронную плотность во внешнем потенциале с заданной степенью гладкости. Цели и задачи диссертации

В рамках МКХФ-метода обобщить метод прямой диагонализации для случая СбТ^-базиса, отвечающего произвольным конфигурациям, а также разработать соответствующий универсальный вычислительный код для построения многоэлектронного базиса.

На основе вариационного принципа сформулировать общие правила построения матрично-векторных МКХФ-уравнений, исходя из разложения одноэлектронных радиальных функций по ортонормированному базису.

Разработать универсальную устойчивую вычислительную схему решения полученных уравнений и исследовать сходимость волновых функций в зависимости от длины базиса. Исследовать вопрос гладкости электронной плотности.

Разработать модель передачи энергии в классическом приближении, описывающую явление ионизации многоэлектронных ионов нейтральными атомами на всем диапазоне энергий. Сформулировать критерии применимости полученного метода.

Провести рассчеты полных сечений ионизации с использованием электронной плотности, полученной из МКХФ-метода и вычисленной с помощью слэтеровских орбиталей, и сравнить полученные результаты.

Научная новизна и практическая ценность результатов

В основе разработанного метода решения многоконфигурационных уравнений Хартри-Фока лежит представление радиальных частей одноэлектронных орбиталей в виде аналитически заданного подкласса функций, представляющих собой конечное разложение по ортонормированному базису. Такой подход позволяет ясно оценить достоверность результатов вычислений по анализу поведения коэффициентов разложения.

Разработана модель передачи энергии в ион-атомных столкновениях, описывающая в диапазоне энергий 10 кэВ/н < Е < 100 МэВ/н явление одно- и многоэлектронной ионизации тяжелых ионов, сталкивающихся с нейтральными атомами. Модель не содержит подгоночных параметров и дает согласие вычисляемых значений сечений электронных потерь в сравнении с экспериментом и расчетами методом Монте-Карло в пределах фактора 2.

Создан программный код DEPOSIT, позволяющий проводить вычисления переданной электронам энергии для любых типов сталкивающихся ион-атомных пар. Это позволяет исследовать процессы для большого класса сталкивающихся систем, экспериментальное изучение которых затруднено, и предсказывать их столкновительные характеристики.

Результаты, выносимые на защиту.

1. В рамках многоконфигурационной процедуры Хартри-Фока предложен метод построения многоэлектронного базиса, основанный на прямой диагона-лизации базисных состояний. С помощью техники лестничных операторов углового и спинового моментов этот метод обобщен на случай произвольных электронных конфигураций. На основе полученных соотношений для метода прямой диагонализации разработан универсальный программный код (6000 строк, код написан на С++), реализующий построение многоэлектронного базиса и проведены многочисленные расчеты состояний с заданными спиновым и орбитальным моментами. Результаты опубликованы в {1}.

2. Решение многоконфигурационных уравнений Хартри-Фока, за счет аналитического разложения радиальных частей одноэлектронных волновых функций, входящих в состав слэтеровских детерминантов, по ортонормированному базису сведено к решению системы матрично-векторных уравнений. Сформулированы правила построения этих уравнений и найдена устойчивая численная схема их решения. Разработан програмный код (9400 строк, код написан на С++), реализующий символьное получение и варьирование выражения полной энергии, строящий систему матрично-векторных уравнений и решающий эту систему с линейной скоростью сходимости. С его помощью проведены расчеты полной энергии, волновых функций и электронной плотности для элементов, содержащих, в том числе, d- и /- электроны. Результаты опубликованы в {2}.

3. В классическом приближении разработана модель передачи энергии в ион-атомных столкновениях, описывающая в диапазоне энергий Е > 1 МэВ/н явление одно- и многоэлектронной ионизации тяжелых ионов, сталкивающихся с нейтральными атомами, не содержащая подгоночных параметров. Для вычисления переданной электронам энергии разработан программный код DEPOSIT (на С-Н-), с помощью которого проведены вычисления для ионов Аг1+. Ат2+. Кг7+, Хе3+, Лг18+, РЬ25+ и Uq+ (q = 10, 28, 39, 62), сталкивающихся с атомами Н, N, Ne, Ar, Кг, Хе и U. Сравнение с экспериментом:и расчетами методом Монте-Карло показало, что предложенная модель дает совпадение одно- и многоэлектронных сечений электронных потерь в пределах фактора 2. Результаты опубликованы в {3}, {4}.

4. Разработанная модель передачи энергии обобщена на случай низких и средних диапазонов энергий. Сформулированы критерии применимости разработанной модели. Для расчета полного и га-кратных сечений электронных потерь получены основные формулы, не содержащие подгоночных параметров. Возможности компьютерного кода DEPOSIT расширены на весь диапазон энергий 10 кэВ/н < Е < 100 МэВ/н. Получено согласие проведенных расчетов для ионов Ar+, Ge~, Аи~, U+, U28+, IF, W+, сталкивающихся с тяжелыми атомами при энергиях Е > 10 кэВ/н, с имеющимися экспериментальными данными в пределах фактора 2. Результаты опубликованы в {5}, {6}.

Структура диссертации.

Материал диссертации изложен на 169 страницах, содержит 33 рисунка, 5 таблиц, библиография включает 127 наименований. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и пяти приложений.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Основные результаты настоящей диссертации заключаются в следующем.

2. Решение многоконфигурационных уравнений Хартри-Фока, за счет аналитического разложения радиальных частей одноэлектронных волновых функций, входящих в состав слэтеровских детерминантов, по ортонормированному базису, сведено к решению системы матрично-векторных уравнений. Сформулированы правила построения этих уравнений и найдена устойчивая численная схема их решения. Разработан програмный код (9400 строк, код написан на С++), реализующий символьное получение и варьирование выражения полной энергии, строящий систему матрично-векторных уравнений и решающий эту систему с линейной скоростью сходимости. С его помощью проведены расчеты полной энергии, волновых функций и электронной плотности для элементов, содержащих в том числе с?- и /- электроны.

3. В классическом приближении разработана модель передачи энергии в ион-атомных столкновениях, описывающая в диапазоне энергий Е > 1 МэВ/н явление одно- и многоэлектронной ионизации тяжелых ионов, сталкивающихся с нейтральными атомами, не содержащая подгоночных параметров. Для вычисления переданной электронам энергии разработан програмныю код DEPOSIT (на С++), с помощью,которого проведены вычисления для ионов^Аг1+, Аг2+, Кг7+, Хе3+, Аг18+, РЬ25+ и Uq+ (q = 10, 28, 39, 62), сталкивающихся с атомами. Н, N, Ne, Ar, Кг, Хе и U. Сравнение с экспериментом и расчетами методом Монте-Карло показало, что предложенная модель дает совпадение одно- и многоэлектронных сечений электронных потерь в пределах фактора 2.

4. Разработанная модель передачи энергии обобщена на случай низких и средних диапазонов энергий. Сформулированы критерии применимости разработанной модели. Для расчета полного и m-кратных сечений электронных потерь получены основные формулы, не содержащие подгоночных параметров. Возможности компьютерного кода DEPOSIT расширены на весь диапазон энергий 10 кэВ/н < Е < 100 МэВ/н. Получено согласие проведенных расчетов для ионов Ar+, Ge~, Аи~, U+, U28+, W, W+, сталкивающихся с нейтральными атомами (Не, Ne, Ar, W) при энергиях Е > 10 кэВ/н, с имеющимися экспериментальными данными в пределах фактора 2.

Благодарности

В заключение мне бы хотелось выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю Евгению Григорьевичу Максимову за постановку задачи, постоянный интерес к работе и финансовую поддержку и Вячеславу Петровичу Шевелько, совместно с которым получены результаты Главы 4. Им обоим я благодарен за мудрые советы и замечания при подготовке рукописи и за небезразличное отношение к моей дальнейшей судьбе. Я благодарю Олега Викторовича Иванова за многократные и компетентные консультации, касающиеся вычислительной стороны целого ряда вопросов, возникавших в ходе выполнения работы. А также П.И. Арсеева, М.С. Каленкова, Ю.А. Успенского и В.В. Jloсякова за плодотворные обсуждения многих вопросов, связанных не только с данной работой.

Кроме этого я благодарен всем сотрудникам Отделения теоретической физики ФИАН, во главе с его директором М.А. Васильевым, среди которых мне посчастливилось работать и набраться бесценного опыта.

Публикации автора

1} М.С.Лицарев, О.В.Иванов, ЖЭТФ, 138, 28 (2010).

2} М. С. Лицарев, О.В.Иванов, Кратк. сообщ. физ. 37, 37 (2010).

3} V. P. Shevelko, M.S.Litsarev and H.Tawara, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 41, 115204 (2008).

4} M.-Y.Song, M.S.Litsarev, V.P.Shevelko, H.Tawara, J.-S.Yoon, Nucl. Instr. Meth. B, 267, 2369 (2009).

5} V. P. Shevelko, M. S. Litsarev, M.-Y. Song, H. Tawara, J.-S. Yoon, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 42, 065202 (2009).

6} V. P. Shevelko, D. Kato, M. S. Litsarev, H. Tawara, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 43, 215202 (2010).

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Лицарев, Михаил Сергеевич, Москва

1. У. Харрисон. Теория твердого тела. Мир, Москва (1972).

2. Дж. Каллуэй. Теория энергетической зонной структуры. Мир, Москва (1969).

3. В. Хейне, М. Коэн, Д.Уэйр. Теория псевдопотенциала. Мир, Москва (1973).

4. С. Hartwigsen, S.Goedecker, J.Hutter, Phys. Rev. В 58, 3641 (1998).

5. P. Hohenberg and W.Kohn, Phys. Rev. В 136, 864 (1964).

6. W.Kohn and L.J. Sham, Phys. Rev. A 140, 1133 (1965).

7. Теория неоднородного электронного газа. Мир, Москва (1983). Перевод с английского под редакцией Д. А. Киржница и Е. Г. Максимова.

8. В. Кон. Электронная структура вещества волновые функции и функционалы плотности. УФН 172, 336 (2002).

9. K.Burke. The ABC of DFT (2003). http://dft.rutgers.edu/kieron/beta

10. W. Koch, M. C. Holthausen. A chemist's guide to density functional theory, second edition. Wiley-VCH, Weinheim (2001).

11. R. G. Parr, W.Yang. Density-functional theory of atoms and molecules. Oxford University Press, New York (1989).

12. J.H.McGuire. Introduction to dynamic correlation: multiple electron transitions in atomic collisions. New Orleans, LA; Tulane University Press (1997).

13. N. Stolterfoht, R. D. DuBois, R. D. Rivarola. Electron emission in heavy ionatom collisions. Berlin, Springer (1997).

14. V. P. Shevelko, H. Tawara. Atomic multielectron processes. Springer (1998).

15. J.Meyer. Plasma Phys. Control. Fusion 31 1613 (1989).

16. I. Hoffman and G. Plass. The HIDIF-Study Report GSI-98-06 (Darmstadt: GSI) (1998).

17. W. Erb. GSI Report GSI-P-78 (Darmstadt: GSI) (1978).

18. B.Franzke. IEEE Trans. Nucl. Sei. 28 2116 (1981).

19. D.Mueller at al, Phys. Plasmas 8 1753 (2001).

20. D.Mueller at al, Laser Part. Beams 20 551 (2002).

21. R.E.Olson, R.L.Watson, V.Horvat and К.E.Zaharakis, J. Phys. В 35 1893 (2002).

22. R.L.Watson, Y.Peng, V.Horvat, G.J.Kim and R.E.Olson, Phys. Rev. A 67 022706 (2003).

23. R. D. DuBois et al, Phys. Rev. A 68 042701 (2003).

24. R.E.Olson, R. L.Watson, V.Horvat et al, J. Phys. B. 37 4539 (2004).

25. A. C. F. Santos and R. D. DuBois, Phys. Rev. A 69 042709 (2004).

26. R.E. Olson at al, Nucl. Instrum. Methods A 544 333 (2005).

27. R.E.Olson, Nucl. Instrum. Methods A 464 93 (2001).

28. Д. Хартри. Расчеты атомных структур. Изд. иностранной литературы, Москва (1960).

29. Дж.А. Попл. Квантово-химические модели. УФН 172, 349 (2002).

30. С. Froese Fisher, T. Brage, P. Jonsson. Computational atomic structure; An MCHF approach. Institute of phisics publishing, Bristol and Philadelphia (2003).

31. E. R. Davidson, S. A. Hagstrom, S. J. Chakravorty, V. M. Umar and C. Froese Fischer, Phys. Rev. A 44, 7071 (1991).

32. J. Carlsson, P. Jonsson, L. Sturesson, C. Froese Fischer, Phys. Rev. A 49, 3426 (1994).

33. P. Jonsson, C. Froese Fischer, Phys. Rev. A 50, 3080 (1994).

34. J. Olsen, M. R. Godefroid, P. Jonsson, P. A. Malmqvist, C. Froese Fischer, Phys. Rev. E 52, 4499 (1995).

35. C.Froese Fisher, B.Liu, Comp. Phys. Commun. 64, 406 (1991).

36. С. Froese Fisher, Comp. Phys. Commun. 64, 431 (1991).

37. A. Hibbert, C. Froese Fisher, Comp. Phys. Commun. 64, 417 (1991).

38. С. Froese Fischer, Phys. Rev. A 30, 2741 (1984).

39. J. С Morrison, C. Froese Fischer, Phys. Rev. A 35, 2429 (1987).

40. C. Froese Fischer, J. B. Lagowski, S. H. Vosko, Phys. Rev. Lett. 59, 2263 (1987).

41. C. Froese Fisher, К. M. S. Saxena, Phys. Rev. A 9, 1498 (1974).

42. C. Froese Fisher, К. M. S. Saxena, Phys. Rev. A 12, 2281 (1975).

43. C. Froese Fisher, Phys. Rev. A 41, 3481 (1990).

44. C. Froese Fisher, Phys. Rev. A 39, 963 (1989).

45. C. Froese Fisher, P. Jonsson, M.Godefroid, Phys. Rev. A 57, 1753 (1998).

46. Д. А. Варшалович, A. H. Москалев, В. К. Херсонский. Квантовая теория углового момента. Наука, Ленинград (1975).

47. Е. Кондон и Г. Шортли. Теория атомных спектров. Изд. иностранной литературы, Москва (1949).

48. И. И. Собельман. Введение в теорию атомных спектров. Физматлит, Москва (1963).

49. I. Lindgren and J. Morrison. Atomic many-body theory. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1982).

50. J. C. Slater. Quantum theory of atomic structure. McGraw-Hill, New York, Toronto, London (1960).

51. P. Н.Зар. Теория углового момента. Мир, Москва (1993).

52. P.W.Atkins, R.S.Friedman. Molecular Quantum Mechanics, third edition (1996).

53. D.M. Brink, G. R. Satchler. Angular momentum. Clarendon press, Oxford (1993).

54. L. C. Biedenhart, J. D. Louck. Angular momentum in quantum physics: theory and applications. Addison-Wesley, New-York (1981).

55. L. C. Biedenhart, H. van Dam. Quantum theory of angular momentum. Academic press, New York (1965).

56. G. Racah, Phys. Rev. 61, 186 (1941).

57. G. Racah, Phys. Rev. 62, 438 (1942).

58. G. Racah, Phys. Rev. 63, 367 (1943).

59. G. Racah, Phys. Rev. 76, 1352 (1949).

60. J. H. Barlett Jr., Phys. Rev. 38, 1623 (1931).

61. N.M. Gray and L.A. Wills, Phys. Rev. 38, 248 (1931).

62. M.H. Johnson Jr., Phys. Rev. 38, 1628 (1931).

63. M.H. Johnson Jr., Phys. Rev. 39, 197 (1932).

64. Г. А. Бете. Квантовая механика. Мир, Москва (1965).

65. Г. Бете и Э. Солпитер. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. Физмагиз, Москва (1960).

66. А.С.Давыдов. Квантовая механика. Физматлит, Москва (1963).

67. Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц. Квантовая механика, том III. Физматлит, Москва (2001).

68. Р. А. М. Dirac. Proc. Roy. Soc. (London), А 123, 714 (1929).

69. J. С.Slater, Phys. Rev. 34, 1293 (1929).

70. С. С. J. Roothaan, Rev. Mod. Phys. 32, 179 (1960).

71. С. Фудзинага. Метод молекулярных орбиталей. Мир, Москва (1983).

72. М. А. Ельяшевич. Атомная и молекулярная спектроскопия. УРСС, Москва (2009).

73. В. Я. Арсенин. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. Наука, Москва (1966).

74. А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. Основы теории специальных функций. Наука, Москва (1974).

75. А. В. Пантелеев Т. А. Летова. Методы оптимизации в примерах и задачах. Высшая школа, Москва (2005).

76. Э. М. Галеев. Оптимизация. Теория, примеры, задачи. КомКнига, Москва (2006).

77. Е. A.Hylleraas, Zs.Phys. 54, 347 (1929).

78. С. L. Pekeris, Phys. Rev. 112, 1649 (1958).

79. J. J. De Groote, M. Masiii, J. E. Hornos, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 31, 4755 (1998).

80. П. И. Лизоркин, С. Г. Селиванова. Ортогональные разложения в функциональных пространствах. Издательство МИФИ, Москва (1980).81 82 [838488 899094 95 [96 [9798 99

81. И. М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. Наука, Москва (1971).

82. Б. Страуструп. Язык программирования С++. Бином, Москва (2002).

83. Р. Сэджвик. Фундаментальные алгоритмы на С++. Диасофт, Москва, Санкт-Питербург, Киев (2002).

84. Ф. М. Каррано, Дж. Дж. Причард. Абстракция данных и решение задач на С++. Вильяме; Москва, Санкт-Питербург, Киев (2003).

85. М. А. Уайс. Организация структур данных и решение задач на С++. Эком, Москва (2009).

86. У. Топп, У. Форд. Структуры данных в С++. Москва, Бином (2000).

87. У. Дж. Коллинз. Структуры данных и стандартная библиотека шаблонов. Бином, Москва (2004).

88. В.Липский. Комбинаторика для программистов. Мир, Москва (1988).

89. И. С. Березин, Н. П. Жидков. Методы вычислений. Физматлит, Москва (1962).

90. В. И. Крылов. Приближенное вычисление интегралов. Наука, Москва (1967).

91. В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина. Справочная книга по численному интегрированию. Наука, Москва (1966).

92. Дж. Трауб. Итерационные методы решения уравнений. Мир, Москва, 1985.

93. В. М. Вержбицкий. Численные методы. Линейная алгебра и нелиненые уравнения. Высшая школа, Москва, 2000.

94. М. С. Payne et al., Rev. of Mod. Phys. 64, 1045 (1992).

95. E.R.Davidson, J. Comp. Phys. 17, 87 (1975).

96. P.Pulay, Chem. Phys. Lett. 73, 393 (1980).

97. Hanchul Kim, Byung Deok Yu and Jisoon Ihm, J. Phys. A: Math. Gen. 27, 1199 (1994).

98. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. Мир, Москва (1999). Дж. Дсммель. Вычислительная линейная алгебра. Мир, Москва (2001).

99. Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгебры. Лань, Санкт-Петербург, 2002.

100. О. Jitrik, C.F.Bunge, Phys. Rev. A 56, 2614 (1997).

101. N.Bohr, Phil. Mag. 30, 581 (1915).

102. C.L.Cocke, Phys. Rev. A 20, 749 (1979).

103. C.L.Cocke, R. E.Olson, Phys. Rep. 205, 153 (1991).

104. A.Russek, M.T.Thomas, Phys. Rev. 109, 2015 (1958).

105. A.Russek, M.T.Thomas, Phys. Rev. 114, 1538 (1959).

106. A. Russek, J. Meli, Physica 46, 222 (1970).

107. J.B.Bulman A. Russek, Phys. Rev. 122, 506 (1961).

108. A. Russek, Phys. Rev. 132, 246 (1963).

109. N. M. Kabachnik, V. N. Kondratyev, Z. Roller-Lutz and H.O.Lutz Phys. Rev. A 56 (1997).

110. F.Salvat Parelada, Phys. Rev. A 36, 467 (1987).

111. R.D.Evans. The atomic nucleus. New York, McGraw-Hill (1955).

112. В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. Численные методы в примерах и задачах. Высшая школа, Москва (2004)

113. T.A.Carlson, C.W.Nestor Jr., N.Wasserman and J.D.McDowell, At. Data Nucl. Data Tables 2, 63 (1970).

114. K.Rashid, M.Z.Saadi and M.Yasin, At. Data Nucl. Data Tables 40, 365 (1988).

115. G.Zschornack, G.Musiol and W.Wagner, Dirack-Fock-Slater X-ray energy shifts and electron binding energy changes for all ion ground states in elements up to uranium. Preprint ZfK-574 Zentralinstitut fur Kernforschung, Rossendorf bei Dresden (1986).

116. N.F. Mott, H. S. W. Massey, The theory of atomic collisions, third ed., Clarendon press, Oxford (1987).

117. A.N.Pirumal, V.Horvat, R.L.Watson, et al., Nucl. Inst. Meth. В 227 251 (2005).

118. H. H. Lo and W. L. Fite, At. Data 1 305 (1970).

119. I. L. Beigman, I. Yu. Tolstikhina, V. P. Shevelko, Tech. Phys. 53 546 (2008).121. http://www.gsi.de/fair/indexe.html

120. H.Luna et al, Phys. Rev. A 68, 042701 (2003).

121. M. M. Sant'Anna et al, Plasma Phys. Control. Fusion 51, 045707 (2009).

122. H.Tawara and M.Kato, NIFS-DATA-51, Japan (1999).

123. M.Stenke at al, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 28 4853 (1995).

124. L. A. Vainshtain, V. P. Shevelko, Atomic physics for hot plasmas, Bristol:IOP (1993).

125. C. Belenger et al, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 30 2667 (1997).