Стохастические версии неравенства Пуанкаре и логарифмического неравенства Соболева

Абакирова, Айгуль Тилековна

Стохастические версии неравенства Пуанкаре и логарифмического неравенства Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Абакирова, Айгуль Тилековна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Стохастические версии неравенства Пуанкаре и логарифмического неравенства Соболева»

Автореферат диссертации на тему "Стохастические версии неравенства Пуанкаре и логарифмического неравенства Соболева"

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Механико-Математический Факультет

На правах рукописи УДК 519.21

005046929

Абакирова Айгуль Тилековна

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ВЕРСИИ НЕРАВЕНСТВА ПУАНКАРЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО НЕРАВЕНСТВА СОБОЛЕВА

■ 01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 з СЕН 2012

Москва, 2012

005046929

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор

Ширяев Альберт Николаевич Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Вогачев Владимир Игоревич-профессор кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

доктор физико-математических наук, профессор

Павлов Игорь Викторович профессор кафедры высшей математики факультета математики Ростовского государственного строительного университета

Ведущая организация Институт Проблем

Передачи Информации РАН имени А. А. Харкевича

Защита диссертации состоится 5 октября 2012 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 5 сентября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

СУ/

В.Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Основные результаты диссертации относятся к стохастическим версиям таких классических функциональных неравенств, как неравенство Пуанкаре и логарифмическое неравенство Соболева. Неравенство Пуанкаре для гауссовских величин было сформулировано в работе Чернова1 1981г. в связи с классической изопериметрической задачей. Логарифмическое неравенство впервые появилось в статье Federbush2, Gross3 в 1975г. показал, что выполнение логарифмического неравенства Соболева для некоторой меры эквивалентно гиперсжимаемости марковской полугруппы, для которой данная мера является инвариантной, что положило начало дальнейшим исследованиям.

Логарифмические неравенства Соболева тесно связаны с такими классами функциональных неравенств как оптимальные транспортные неравенства, неравенства энтропии-информации и др., они интенсивно изучались в теории вероятностей, геометрии, статистической механике.

Известны различные доказательства классических неравенств4. В 2006г. Ширяев5 предложил метод доказательства, основанный на использовании техники стохастического анализа и позволяющий сделать существенные обобщения. Отталкиваясь от метода, предложенного А.Н. Ширяевым, мы получаем неравенства для безгранично делимых распределений с указанием оптимальных констант. Применяемый метод основан на идее вложения таких случайных величин в безгранично делимый процесс, для которого удается доказать аналоги рассматриваемых неравенств. Мы получаем неравенства Пуанкаре и лог-Соболева в неоднородном случае, для процессов с независимыми приращениями с произвольной структурой скачков.

Процессы с независимыми приращениями оказывается естественным рассматривать во многих задачах, и соответствующие модели

•Н. Chemoff, A note on an inequality involving the normal distribution, Annals Probab., 9;3, 1981, 533-535.

2P. Federbush, A partially alternate derivation of a result of Nelson, J. Math. Phys. 10 (1969), 50-52.

3L. Gross, Logarithmic Sobolev inequalities, Amer. J. Math., 97(4), 1975, 1061-1083.

4C.Ane, S.Blachere et al., Sur les inégalités de Sobolev logarithmiques, Panoramas et Syntheses, vol. 10, Soc. Math, de France, 2000.

5A.H. Ширяев, Доказательство неравенства Пуанкаре - Чернова и логарифмического неравенства Соболева методами стохастического исчисления для броуновского движения, Успехи математических наук, 61:3(2006), 177-178.

приобретают популярность, причем наряду с непрерывным случаем необходимо рассматривать модели со скачками.

Метод, предложенный нами в доказательстве, представляет собственный интерес. Оценки получены в терминах триплета локальных характеристик, и работа может быть продолжена в более общих рамках марковских семимартингалов. Как известно, семимартинга-лы представляют широкий класс процессов, устойчивый относительно многих преобразований, для которого развит аппарат стохастического исчисления.

С помощью мартингального метода нам удается получить обратные неравенства для процессов с независимыми приращениями.

Мы рассматриваем обобщенные гиперболические процессы, подкласс разрывных процессов Леви, для которых триплет семимартин-гальных характеристик, а значит, и полученные оценки выражаются через параметры. Такие процессы хорошо моделируют финансовые данные (Barndorff-Nielsen, Shiryaev6, Eberlein7).

Принципиальным преимуществом логарифмических неравенств Соболева является их независимость от размерности, что, например, неверно для обычных неравенств Соболева. Пусть логарифмическое неравенство выполняется на двух различных пространствах, тогда оно верно для произведения пространств с константой равной максимуму исходных. Подобное свойство тензоризации позволяет логарифмическим неравенствам стать мощным средством бесконечномерного анализа.

6О.Е. Barndorff-Nielsen, A.N. Shirya«v, Change of time and change of measure, World Scientific 2010.

7E. Eberlein, Application of generalized hyperbolic Levy motions to finance. In: O.E. Barndorff-Nielsen, T.Mikosch, and S.Resnick (Eds.). Levy Processes - Theory and Applications. Boston: Birkhauser, 2001, 319-336.

для гауссовских случайных величин в Houdre, Kagan8, для броуновского движения и стандартного пуассоновского процесса в Houdre, Perez-Abreu9 и Privault10. Мы с помощью метода хаотических разложений и техники пространства Фока получаем неравенства для процессов общего вида с непрерывной и разрывной частью, в неоднородном случае и для скачков произвольного типа.

Следующий результат диссертации относится к оценкам в неравенствах Пуанкаре и лог-Соболева для скошенного броуновского движения. Ito, McKean11 дали траекторное определение процесса и нашли функцию масштаба и меру скорости для этой диффузии, Walsh12 вычислил генератор и переходные плотности процесса. Harrison, Shepp13 показали, что скошенное броуновское движение - единственное сильное решение стохастического уравнения с локальным временем.

Скошенное броуновское движение не является ни гауссовским процессом, ни процессом с независимыми приращениями, и техника из предыдущих задач, например, формула Кларка-Окона, не применима. Скошенное броуновское движение - пример диффузии, с помощью которой можно моделировать среду с мембраной, коэффициент сноса равен дельта - функции в нуле, возникает специальный анализ. Различные точки зрения на скошенное броуновское движение, его применения, возможные обобщения процесса можно найти в Lejay14.

В последние 15 лет появилась обширная литература относительно рассматриваемых неравенств и их применений, и тема постоянно продолжает развиваться. Эффективность логарифмических неравенств в бесконечномерном анализе продемонстрирована в статистической механике, анализе на пространствах траекторий и решеток. Одними из

8 С. Houdre find A. Kagan, Variance inequalities for functions of Gaussian variables, J. Th. Probab., 8, 1995, 23-30.

9 C. Houdre and V. Perez-Abreu, Covariance identities and inequalities for functionals on Wiener and Poisson spaces, Ann. Probab., 23, 1995, 400-419.

10 N. Privault, Extended covariance identities and inequalities, Statistics and Probability Letters 55, 2001, 247-255.

11 K. Ito, H. McKean, Diffusion Processes and Their Sample Paths, 2 ed., SpringerVerlag, 1974.

12 J. Walsh, A diffusion with a discontinuous local time, Asterisque, 52-53, 1978, 37-45.

13 J. M. Harrison, L. A. Shepp, On skew Brownian motion, Ann. Probab., 9:2, 1981, 309-313.

14 A. Lejay, On the constructions of the skew Brownian motion, Probab. Surveys, 3, 2006, 413-466.

стандартных применений логарифмических неравенств являются различные результаты по концентрации меры (см., например, Ledoux15).

Различные версии логарифмического неравенства Соболева оказались полезными в таких областях математики как теория вероятностей, дифференциальные уравнения, комбинаторика.

Принимая во внимание постоянный интерес и быстрое развитие в представленной области обобщений неравенств Пуанкаре и логарифмического Соболева проведенное исследование является актуальным и полезным. Более того, необходимая техника стохастического анализа является достаточно сложной, интересной и современной.

Цель работы

Целью диссертационной работы является получение стохастических версий классических функциональных неравенств. Получение неулучшаемых оценок функционалов типа дисперсии и энтропии для различных распределений.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Доказаны аналоги неравенств Пуанкаре и логарифмического Соболева для безгранично делимых случайных величин и процессов с независимыми приращениями, найдены неулучшаемые оценки. Получены двусторонние версии неравенств. В случае обобщенных гиперболических процессов получено выражение оценок через параметры.

2. В бесконечномерном случае для процессов с независимыми приращениями установлены неравенства для Ф- энтропий. Доказаны оценки для дисперсии с кратными производными, которые на первом шаге дают неравенство Пуанкаре.

3. Получены версии неравенств для скошенного броуновского движения. В данном случае оценки зависят от локального времени процесса.

Методы исследования

Методика исследования основана на общих методах стохастического анализа, использовании мартингальной техники, интегральных

15 М. Ledoux, Concentration of measure and logarithmic Sobolev inequalities, Seminaire de Probabilités XXXIII Lecture Notes in Math. 1709 (1999), 120-216.

представлений. Применяются методы бесконечномерного анализа, хаотические разложения и др.

Теоретическая и практическая значимость

Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть полезными при изучении мартингальных методов оценок функционалов от случайных процессов. Развитый подход достаточно общий и может быть применен в других задачах. Результаты работы могут быть использованы при решении задач в бесконечной размерности для процессов с независимыми приращениями, анализе обобщенных диффузий и решений стохастических уравнений с локальным временем.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на Большом семинаре кафедры теории вероятностей под рук. академика РАН А.Н. Ширяева (МГУ им. М. В. Ломоносова, 2012г.), семинаре "Стохастический анализ и случайные процессы" под рук. академика РАН А.Н. Ширяева (МГУ им. М. В. Ломоносова, 2008-2011 гг.) неоднократно, семинаре "Стохастический анализ: теория и приложения" под рук. академ. РАН А. Н. Ширяева и проф. А. А. Гущина (МИАН им. В. А. Стеклова, 2011г.).

Также были сделаны доклады на следующих международных конференциях: XIX Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов" (МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2012г.), Шестом коллоквиуме Башелье по финансовой математике и стохастическому исчислению (Метабьеф, Франция, 2012г.), Российско-японском симпозиуме "Стохастический анализ и сложные статистические модели" (МИАН им. В. А. Стеклова, Москва, 2009г.), Российско-японской конференции "Сложные стохастические модели: асимптотика и применения" (МИАН им. В. А. Стеклова, Москва, 2007г.).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, из них 3 в журналах из перечня ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 75 страниц. Список литературы включает 64 наименования, в том числе 4 работы автора по теме диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Настоящая диссертация посвящена стохастическим версиям известных неравенств Пуанкаре и логарифмического Соболева. Пусть £ -стандартная нормальная случайная величина, £ ~ Л/"(0,1), функция f € С1 (К) ПЬ2(А), где Л = Lawf. Неравенство Пуанкаре утверждает, что

D/(£) < Е(/' (£))2.

Предположим, что / € CX(R), /,/' £ L2(Л). Тогда из логарифмического неравенства Соболева следует, что / £ I2 log L(A) и

Ent/2(0 < 2Е(/'(С))2,

где Ent/2(0 := Е/2(£)log/2(О - Е/2(0logЕ/2(£), константы в неравенствах неулучшаемы.

С помощью метода Хербста логарифмическое неравенство Соболева влечет различные результаты концентрации меры. Например, неравенство может быть использовано для оценки хвостов липшицевых функций. Пусть для случайной величины £ выполняется логарифмическое неравенство Соболева, т.е. для некоторого класса функций Л верно: 3с > 0, т.ч. V/ € Л Ent/2(£) < сЕ(/'(£))2- Тогда для любой липшицевой функции д, такой что ||д||ыР < 1, верна оценка

РШ - ЫО >х)< Vx > 0. Феномен концентрации меры оказывается полезным в статистике, дискретной математике, геометрии.

Во Введении к диссертации мы рассказываем о задачах, в связи с которыми возникают неравенства Пуанкаре и лог-Соболева, рассматриваем их связи с другими классами функциональных неравенств, указываем на применения неравенств.

Известны различные доказательства классических неравенств. Например, рассматриваются бернуллиевские случайные величины и применяется предельная теорема или берется полугруппа Орнштейна -Уленбека, для которой гауссовская мера инвариантна, и используется метод полугрупп.

В 2006г. А.Н. Ширяев предложил метод доказательства неравенств Пуанкаре -Чернова и логарифмического Соболева, основанный на привлечении броуновского движения и использовании его стандартных свойств. Будем представлять случайную величину £ в каче-

стве маргинального значения броуновского движения В = (Д)4>о-Тогда для Т > 0 верно

О ¡(Вт) < ТЕ(Г (Вт))2 и Ем /2(ВТ) < 2ТЕ(/'(Вт))2.

Предложенный метод опирается на технику стохастического анализа и позволяет сделать существенные обобщения.

В Главе 1 мы получаем оценки в неравенствах Пуанкаре и лог-Соболева для произвольных безгранично делимых случайных величин и для процессов с независимыми приращениями, сложность при переходе к более общему классу процессов вносит наличие скачков.

Пусть произвольная безгранично делимая случайная величина, существует процесс Леви.Х = (Хе)г>о, такой что = Ьа-^Хь

Мы получим неравенства для более широкого класса процессов X = та>о, а именно, для стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями. Запишем для процесса X каноническое представление

« ( Х1 = Х0 + B(t) + X¡ + J ! К(х)й(^-^) +! !(х-}1(х))<1ц, £ > О, о к он

здесь В(€) - детерминированная функция ограниченной вариации, XI - гауссовский непрерывный процесс, Сь := (Хс)и д(<Й, «¿а:, го)— мера скачков процесса X, 1/(с1Ь, йх)- компенсатор /х и Н(х) = функ-

ция урезания. Будем рассматривать фильтрацию ¥ = Р-*. Мы получаем оценки в неравенствах Пуанкаре и лог-Соболева для процессов с независимыми приращениями в терминах триплета локальных характеристик процесса.

Теорема 1.1 Пусть / 6 С1 (К) П Ь2(¥Хт). Тогда

0/(Хт) < СТЕ(/(ХТ))2 + 11 Е(/(Ат + у) - ¡(Хт))2и(йи йу),

о к т

Еп1 /2(ХТ) < 2СТЕ(/(ХТ))2+11 ЕфЦ2, /2(Хт+у)-/2(Хт)) „(<й, йу),

о к

здесь функция ф(х, у) := д(х + у)~ д(х) - д'(х)у, где д(х) = хк^х; для нее верно, например, ф(х,у) <

Идея обращения к случайным процессам состоит в том, что их динамика позволяет применить формулу Ито и уравнения Колмогорова. Доказательство основано на мартингальной технике, использовании интегральных представлений, стохастической экспоненты.

Оказываются верны симметричные обратные неравенства. Будем представлять для простоты, что X?- маргинальное распределение процесса Леви, в этом случае Ст = с2!1, и {dt, dz) — dtv{dz). Обозначим DJ = DTJ := f(XT + z)- f(Xг), / := f(XT).

Теорема 1.2 Пусть f € C^R), /,/' € L2(¥Xt). Тогда .

<?T(Ef'(XT)f + T J (EDzf)2u(dz) < D f(XT)

< с2ГЕ(/'(Хг))2 + TJ E{DJfV{dz),

1 ¿T^ff- +Tf ф(Е/, EDJ) v(dz) < Ent/

J R

< i d'TE^X- +TEJ ф(/, DJ) v{dz).

J R

Нижняя оценка энтропии для функций от стандартной гауссовской случайной величины была доказана в статье Chafai16, в этом случае достаточно применить неравенство Коши-Шварца.

Модели с процессами Леви естественным образом обобщают модели, основанные на винеровском и пуассоновском процессах, и активно используются в приложениях.

Представляет интерес особый класс разрывных процессов Леви -обобщенные гиперболические процессы. Данные процессы порождаются двумя источниками случайности и широко применяются в финансовом моделировании. Будем называть обобщенным гиперболическим процесс Xt = pi + ßTt + BT„t > 0, где ß,0 £ К, Tt- субординатор, заданный с помощью обобщенного обратного гауссовского распределения, и броуновское движение В и процесс Т независимы. Barndorff-

16 D. Chafai, Gaussian maximum of entropy and reversed logarithmic Sobolev inequality, Seminaire de Probabilités XXXVI, Lecture Notes in Math. 1801, Springer, Berlin, 2003, 194-200.

Nielsen, Halgreen17 показали, что обобщенные обратные гауссовские и гиперболические распределения относятся к безгранично делимым. Данные распределения образуют обширный класс, к которому относятся многие известные распределения. Интерес к обобщенным гиперболическим процессам состоит в том, что их плотности, плотности мер Леви и другие характеристики явно записываются через 5 параметров. В наших неравенствах оценки выражаются в терминах триплета характеристик Тх — (В, С, и), это позволяет нам получить различные выражения для правой части неравенств через параметры, применяется техника замены времени.

Глава 2 диссертации посвящена неравенствам типа лог-Соболева и близким неравенствам в бесконечномерном случае для процессов с независимыми приращениями. В логарифмическом неравенстве Соболева, Теорема 2.1, под производной функционала от траектории процесса мы понимаем производную по направлению броуновского движения (производная Маллявена), в качестве дифференциального для скачковой части процесса берется разностный оператор. Оказывается, что данные операторы совпадают с операторами уничтожения в представлении пространства Фока.

17 О. Barndorff-Nielsen, С. Halgreen, Infinite divisibility сf the hyperbolic and generalized inverse Gaussian distributions, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 38, 309-312 (1977).

18 M. Capitaine, E.P. Hsu and M. Ledoux, Martingale representation and a simple proof of logarithmic Sobolev inequalities on path Spaces, Electron. Comm. Probab. 2 (1997), 71-81 (electronic).

19 D. Nualart, The Malliavin Calculus and Related Topics, Springer-Verlag, 2nd ed., 2006.

20 N. Privault, Stochastic Analysis in Discrete and Continuous Settings: With Normal Martingales, Springer, 2009.

Перенесем полученные результаты на случай так называемых Ф-энтропий или J-дивергенций (от Jensen).

Определение. Пусть Ф - гладкая выпуклая функция. Тогда

Ent$F := E®(F)-®(EF),

дисперсия и энтропия получаются при Ф(ж) = х2 и x\ogx. Функционалы такого типа возникают в различных задачах выпуклого анализа.

Мы получаем неравенство Ф-Соболева для функционалов от процессов с независимыми приращениями.

Теорема 2.2 Пусть F 6 L2(ß, Т*, Р). Имеет место неравенство

т т

Ent* F < \ Е Ф"(^) J |DtF\2 dCt + Ej J F, Dt<zF) i'{dt, dz),

0 0 R

где DtF- производная Маллявена, Dt,zF- разностный оператор, F S D1'2, функция фф(х,у) = Ф(ж + у) - Ф(х) - Ф'(х)у.

В тех же предположениях, что в Теореме 1.2, мы доказываем следующую двустороннюю оценку. Теорема 2.3 Верно неравенство

icW(E/)(E/7 + T/^(E/,E5jM<k) < Ent*/

< | с2ТЕФ"(/)(/')2 + ТЕ / DJ) v{dz).

От функции Ф необходимо потребовать, чтобы функции фф :— Ф"(х)у2 и ф® были выпуклыми и неотрицательными. Примеры функций Ф, удовлетворяющих этим условиям: х2, x\ogx, хр(к?<2).

Наряду с оценками энтропии интерес представляют оценки дисперсии функционала. Мы доказываем следующие неравенства для дисперсии с кратными производными, которые на первом шаге превращаются в неравенство Пуанкаре.

Теорема 2.4. Пусть F е Ь2{0,,^,Р). Верна следующая оценка

2n—1

DF < J2{-l)k+l(E\DkF\2k + E\DkF\2k), k=1

где Dk- k-ая производная Маллявена, Dk- k-ая итерация разностного оператора, F G Dfc'2, k = i,2n-i.

Здесь \DkF\l = ¡Ak(Dtk...DtlF)2dCh...dCtk, где bli={(t1...tty.o<t><...<tk<T}, и \DkF\l = /д,х№ь(АкЛ...Д ,,пЛ2 f(dti,dxi)...v(dtk, dxk). Заметим, что данная верхняя оценка не будет убывающей при росте п.

Теорема 2.5. Пусть F £ Имеет место нижняя

оценка

jt=i к- k= i ' {здесь | • = I ■ |l2([o,t]\.))

Для процессов с независимыми приращениями верна теорема о хаотическом разложении: F = 2^=0/п(/п), где 7„(/„)-многомерный интеграл от симметрической функции /„ по мере, порожденной процессом. Наша оценка будет следствием изометрии:

Утверждение. Пусть F е flfcli®*1'2- Тогда

ОО ОС 00 1

DF = J2 ВД/*))2 = £ к\Ш! = £ ¡i\£DkF\l k=1 fc=1 *=l

(соответственно i)* для разрывной части X).

Глава 3 диссертации посвящена версиям неравенств Пуанкаре и лог-Соболева для скошенного броуновского движения. Рассмотрим стандартное броуновское движение В = (Bt)t>о-Будем представлять себе скошенное броуновское движение как процесс, полученный путем изменения знака каждой экскурсии В из нуля независимо, так что данная экскурсия положительна с вероятностью а и отрицательна с вероятностью 1 — a (Ito, McKean11). Скошенное броуновское движение - диффузионный процесс, интересный с разных точек зрения (Lejay14), в главе 3 мы приводим несколько конструкций процесса.

Определение. Скошенное броуновское движение с параметром а е[0,1] - единственное сильное решение стохастического уравнения

Xt = Bt + {2a-l)L°t(X), t> О, где В- стандартное броуновское движение и L°(X)~ локальное время неизвестного процесса X в нуле (Harrison, Shepp13).

Мы получаем версии неравенств Пуанкаре и лог-Соболева для скошенного броуновского движения, оказывается, что оценки зависят от локального времени процесса.

Теорема 3.1. Пусть функция f € С:(М) П L2(A), где А = LawXr-Тогда

Df(XT) < Е(7/2 (ХТ) + {Т- 7)/| (ХТ)),

00 т

где. 7 = f L^dx, другими словами, 7 — fI(Xt > 0)dt- время, которое

о о

скошенное броуновское движение проводит на верхней полуплоскости, 0 < 7 < Т,

№) = f'(x) - *£/'(-*) 1{1<о},

= /'(*) + 2-^f'(-x)l{x>0], а 6 (0,1).

В свою очередь

Ent f(XT) < 2 Eb(g! (Хг))2 + (Г - 7)(<й (*г))2),

где

g1(X)=f(X)-%E±f>(-X)I$. 1{1<0},

32(х) = /'(*) + а € (0,1).

При а = 1 (или 0), когда процесс совпадает по распределению со стандартным броуновским движением или его модулем (умноженным на —1), полученные неравенства принимают классический вид. Скошенное броуновское движение - это обобщенная диффузия, коэффициент сноса не определен в нуле. Этот эффект переносится в обратное уравнение в виде переходного условия на производную в нуле (Lejay14), в доказательстве мы используем обобщенную версию формулы Ито-Танака для функций, терпящих разрыв на границе (Peskir, Shiryaev21), формулу для локального времени (occupation times formula) и др. Таким образом, для получения оценок в неравенствах потребовался специальный анализ.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю академику РАН, доктору физико-математических наук, профессору Альберту Николаевичу Ширяеву за постановку задач, постоянное внимание и интерес к работе.

21 G. Peskir, A. N. Shiryaev, Optimal stopping and free boundary problems, Birkhäuser, Basel, 2006.

Работы автора по теме диссертации

[1] А.Т. Абакирова, Аналоги неравенства Пуанкаре - Чернова и логарифмического неравенства Соболева для процессов с независимыми приращениями, Успехи математических наук, 62:6(2007), 162-163.

[2] А.Т. Абакирова, Функциональные неравенства на пространствах траекторий процессов с независимыми приращениями, Успехи математических наук, 67:2(2012), 191-192.

[3] А.Т. Абакирова, Аналоги неравенства Пуанкаре - Чернова и логарифмического неравенства Соболева для процессов с независимыми приращениями. Тезисы докладов Российско-Японского Симпозиума "Стохастический анализ и сложные статистические модели", Москва, 2009. Теория вероятностей и ее применения, 55:3 (2010), 610-611.

[4] А.Т. Абакирова, О некоторых функциональных неравенствах для скошенного броуновского движения, деп. в ВИНИТИ, 17.04.2012, Ш53-В2012, 11 стр.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж [06 экз. Заказ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Абакирова, Айгуль Тилековна

Введение

Общая характеристика работы.

Глава 1. Неравенства для процессов с независимыми приращениями

1.1 Неравенство Пуанкаре

1.2 Логарифмическое неравенство Соболева

1.3 Обратные неравенства.

1.4 Обобщенные гиперболические процессы

Глава 2. Бесконечномерный случай.

2.1 Неравенства типа Ф-Соболева.

2.2 Неравенства для дисперсий с кратными производными

Введение диссертация по математике, на тему "Стохастические версии неравенства Пуанкаре и логарифмического неравенства Соболева"

Настоящая диссертация посвящена стохастическим версиям таких классических функциональных неравенств как неравенство Пуанкаре и логарифмическое неравенство Соболева. Пусть £ - стандартная нормальная случайная величина, £ ~ Л/"(0,1), функция / е С1(Ш)Г\Ь2(Х), где Л = Law£. Неравенство Пуанкаре утверждает, что

DfíO < Е(/'(0)2

Неравенство для гауссовских случайных величин получено в работе Чернова [1] в связи с классической изопериметрической задачей.

Предположим, что / € С^М), /, f € Lr{Л). Тогда из логарифмического неравенства Соболева следует, что / 6 L2logL(A) и

Ent/2(0<2E(/'(0)2, где Ent/2(£) := Е./2(£) log,/2(0 - Е/2(£) log Е/2(£), константы в неравенствах неулучшаемы. Логарифмическое неравенство Соболева установлено в статье Gross [2], автор показывает, что выполнение неравенства для некоторой меры эквивалентно гиперсжимаемости марковской полугруппы операторов, для которой данная мера является инвариантной.

С помощью метода Хербста ([6]) логарифмическое неравенство Соболева влечет различные результаты концентрации меры. Например, неравенство может быть использовано для оценки хвостов липшице-вых функций. Пусть для случайной величины 4" выполняется логарифмическое неравенство Соболева, т.е. для некоторого класса функций Л верно: Зс > 0, т.ч. V/ 6 Л Еп1:/2(£) < сЕ(/'(£))2. Тогда для любой липшицевой функции д, такой что ЦдНыр < 1, верна оценка

Р(д(0 - Ед{£) > х) < Ух > 0.

Феномен концентрации меры оказывается полезным в статистике, дискретной математике, геометрии ([20]-[22]).

Логарифмические неравенства Соболева тесно связаны с такими классами функциональных неравенств как оптимальные транспортные неравенства, неравенства энтропии-информации и др. ([6], [25]-[29]), они интенсивно изучались в теории вероятностей, геометрии, статистической механике ([13]. [30]).

Известны различные доказательства классических неравенств ([1], [2], [4]-[7]). Например, рассматриваются бернуллиевские случайные величины и применяется предельная теорема или берется полугруппа Орнштейна - Уленбека, для которой гауссовская мера инвариантна, и используется метод получ рупп.

В 2006г. А.Н. Ширяев [14] предложил метод доказательства неравенств Пуанкаре -Чернова и логарифмического Соболева, основанный на привлечении броуновского движения и использовании его стандартных свойств. Будем представлять случайную величину £ в качестве маргинального значения броуновского движения В = о-Тогда для Т > 0 верно

О ./•(Вт) < ТЕ(/' (Вт))2 и Еп1 Г\ВТ) < 2ГЕ(/'(ВТ))2.

В Главе 1 мы получаем оценки в неравенствах Пуанкаре и лог-Соболева, для произвольных безгранично делимых случайных величин и для процессов с независимыми приращениями, сложность при переходе к более общему классу процессов вносит наличие скачков.

Пусть произвольная безгранично делимая случайная величина, существует процесс Леви X = такой что = Ьа\¥Х[.

Мы получим неравенства для более широкого класса процессов X = а именно, для стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями. Запишем для процесса X каноническое представление

Xt = XQ + B{t) + X¡ + J J h.{x) d(ji - v) + J J (x - h (x)) dfx, t > 0,

0 M b R здесь B(t) - детерминированная функция ограниченной вариации, Х£ - гауссовский непрерывный процесс, Ct := (Xc)t, /j,(dt,dx,-w)- мера скачков процесса X, u(dt, dx)- компенсатор ц и h(x) = xl{\x\<\}~ Функция урезания. Будем рассматривать фильтрацию F = FA'. Мы получаем оценки в неравенствах Пуанкаре и лог-Соболева для процессов с независимыми приращениями в терминах триплета локальных характеристик процесса.

Теорема 1. Пусть / е С1 (К) П Ь2(¥Хт)- Тогда т

01(ХТ)<СТЕ(/'(Хг))2 + У I ШХт + у) - ПХт^и^йу), о к т

ЕгЛ /2(ХГ) < 2СгЕ(/(Хг))2+11 Еф(/2, /2{Хт+у)—/2{Хт)) и(сИ, ¿у), о к здесь функция ф(х, у) := д(х + у) - д(х) - д'(х)у, 2 где д(х) = хк^.г; для нее верно, например, ф(х, у) <

Процессы с независимыми приращениями оказывается естественным рассматривать во многих задачах, и соответствующие модели приобретают популярность, причем наряду с непрерывным случаем необходимо рассматривать модели со скачками.

Оказываются верны симметричные обратные неравенства. Будем представлять для простоты, что Хт~ маргинальное распределение процесса Леви, в этом случае Ст = с2Т, и(сИ^йг) = (Ии(йг). Обозначим Ъх! = Дг,г/ := /(Хт + г)- ¡(Хт).

Мы доказываем, в частности, следующую двустороннюю версию логарифмического неравенства (/ := /(Хт)) ■

I с2тЩ^- +Т/ ф(Е/, Е 5г/) и№) < ЕгЛ / к I с2ТЕ^Д- + ТЕ / ф(/, ЪгПи(йг). -1 к

Представляет интерес особый класс разрывных процессов Леви -обобщенные гиперболические процессы. Данные процессы порождаются двумя источниками случайности и широко применяются в финансовом моделировании (ВагпсЬгй-Г^е^еп, ЭЫгуаеу [36], ЕЬег1ет [37]). Будем называть обобщенным гиперболическим процесс = Вт0~к > 0, где д, ¡3 € К, субординатор, заданный с помощью обобщенного обратного гауссовского распределения, и броуновское движение В и процесс Т независимы. Обобщенные гиперболические распределения образуют обширный класс безгранично делимых законов, к которым относятся многие известные распределения. Интерес к обобщенным гиперболическим процессам состоит в том, что их плотности, плотности мер Леви и другие характеристики явно записываются через 5 параметров. В наших неравенствах оценки выражаются в терминах триплета характеристик Тх = (В, С, и) и, значит, также будут явно выражаться через параметры, применяется техника замены времени.

Глава 2 диссертации посвящена неравенствам типа лог-Соболева и близким неравенствам е бесконечномерном- случае для процессов с независимыми приращениями. В логарифмическом неравенстве Соболева, Теорема 2.1. под производной функционала от траектории процесса мы понимаем производную по направлению броуновского движения (производная Маллявена), в качестве дифференциального для скачковой части процесса берется разностный оператор. Оказывается, что данные операторы совпадают с операторами уничтожения в представлении пространства Фока.

Полученные выше результаты переносятся, Теоремы 2.2 и 2.3, на случай так называемых Ф-энтрогшй или J-дивергенций (от Jensen).

Определение. Пусть Ф - гладкая выпуклая функция. Тогда

Ent*F := ЕФ(F) - Ф(ЕГ), дисперсия и энтропия получаются при Ф(ж) = ж2 и ж log а;. Функционалы такого типа возникают в различных задачах выпуклого анализа ([12]).

Наряду с оценками энтропии интерес представляют оценки дисперсии функционала. Мы доказываем следующие неравенства, для дисперсии с кратными производными, которые на первом шаге превращаются в неравенство Пуанкаре.

Теорема 2.4. Пусть F 6 L2(Q. Т*Р)- Верна следующая оценка

2п—1 k=1 где Dk- к-ая производная Маллявена, Dk- к-ая итерация разностного оператора, F е ПУ0'2, к = i,2n-i.

Здесь \ОкР\2к = /дДАк.ВиГ)2 ¿СЬ1.дСЧк, где Ак={(и.лку.о<г1<.<и<т}, и = ¡АкхК1к(01к,Ск.011,Х1Г)2и{(1г1,йх1).м{сик,(],хк).

Заметим, что данная верхняя оценка не будет убывающей при росте п.

Теорема 2.5. Пусть ^ € Ь2(П, Т*Р)- Имеет место нижняя оценка здесь | • и = | • |ь2([о,2 ],-))

Для процессов с независимыми приращениями верна теорема о хаотическом разложении: Р — Х^о ^п(/п); гДе Лг(/п)-многомерный интеграл от симметрической функции /п по мере, порожденной процессом (Глава 2). Наша оценка будет следствием изометрии: Утверждение. Пусть Р е р|^=1 Р^'2. Тогда соответственно Ик для разрывной части X).

Подобные неравенства впервые были получены для гауссовских случайных величин в Ноис1ге, Ка§а.п [51], и далее исследовались в работах [52]-[56].

Следующая глава диссертации посвящена версиям неравенств Пуанкаре и лог-Соболева для скошенного броуновского движения. Рассмотрим стандартное броуновское движение В = (Д0г>о- Будем представлять себе скошенное броуновское движение как процесс, полученный путем изменения знака каждой экскурсии В из нуля независимо, так что данная экскурсия положительна с вероятностью а и отрицательна с вероятностью 1 - a (Ito, McKean [57]). Скошенное броуновское движение - диффузионный процесс, интересный с разных точек зрения (Lejay [61]), в главе 3 мы приводим несколько конструкций процесса.

Определение. Скошенное броуновское движение с параметром а € [0,1] - единственное сильное решение стохастического уравнения

Xt = Bt + {2a-l)L°t(X)t t> О, где В- стандартное броуновское движение и L°(X)~ локальное время неизвестного процесса X в нуле (Harrison, Shepp [58]).

Мы получаем версии неравенств Пуанкаре и лог-Соболева для скошенного броуновского движения, Теорема 3.1, оказывается, что оценки зависят от локального времени процесса. При а = 1 (или 0), когда процесс совпадает по распределению со стандартным броуновским движением или его модулем (умноженным на —1), полученные неравенства принимают классический вид. Скошенное броуновское движение - пример диффузии, с помощью которой можно моделировать среду с мембраной, коэффициент сноса равен дельта - функции в нуле (с коэффициентом, отвечающим за скошенность). Этот эффект переносится в обратное уравнение в виде переходного условия на производную в нуле (Lejay [61]), в доказательстве мы используем обобщенную версию формулы Ито-Танака. (Peskir, Shiryaev [63]), формулу для локального времени (occupation times formula) и др. Таким образом, для получения оценок в неравенствах потребовался специальный анализ.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю академику РАН, д.ф.-м.н., профессору А. Н. Ширяеву за постановку задач, постоянное внимание и интерес к работе.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Основные результаты диссертации относятся к стохастическим версиям известных неравенств Пуанкаре и логарифмического Соболева. Неравенство Пуанкаре для гауссовских величин было сформулировано в работе Чернова 1981г. [1] в связи с классической изопериметри-ческой задачей [8], [9]. Логарифмическое неравенство впервые появилось в статье Federbush [3], Gross в 1975г. [2] показал, что выполнение логарифмического неравенства Соболева для некоторой меры эквивалентно гиперсжимаемости марковской полугруппы, для которой данная мера является инвариантной, что положило начало дальнейшим исследованиям. Различные версии логарифмического неравенства Соболева оказались полезными в таких областях математики как теория вероятностей, дифференциальные уравнения, комбинаторика.

Во введении мы рассказали о задачах, в связи с которыми возникают неравенства Пуанкаре и лог-Соболева, рассмотрели их связи с другими классами функциональных неравенств, указали на применения неравенств.

В 2006г. Ширяев [14] предложил метод доказательства классических неравенств с использованием техники стохастического анализа и свойств броуновского движения, позволяющий сделать существенные обобщения. В Главе 1, отталкиваясь от метода, предложенного А.Н. Ширяевым, мы получаем неравенства для безгранично делимых распределений с указанием оптимальных констант. Применяемый метод основан на идее вложения таких случайных величин в безгранично делимый процесс, для которого удается доказать аналоги рассматриваемых неравенств. Мы получаем неравенства Пуанкаре и лог-Соболева в неоднородном случае, для процессов с независимыми приращениями с произвольной структурой скачков. Используется техника стохастического анализа, интегрирование по случайным мерам, экспоненциальная формула Долеан-Дэд и др.

В Chen [7] неравенство Пуанкаре было доказано для безгранично делимых распределений с использованием стохастических интегралов, в Wu [49] логарифмическое неравенство доказано для произвольных пуассоновских мер и в конечномерном случае для процессов Леви также с помощью интегральных представлений.

Модели с процессами Леви естественным образом обобщают модели, основанные на винеровском и нуассоновском процессах, и активно используются в приложениях.

Метод, предложенный нами в доказательстве, представляет собственный интерес. Оценки получены в терминах триплета локальных характеристик и работа может быть продолжена в более общих рамках марковских семимартингалов. Как известно, семимартингалы представляют широкий класс процессов, устойчивый относительно многих преобразований, для которого развит аппарат стохастического исчисления ([31]).

С помощью мартингального метода удается получить обратные неравенства для процессов с независимыми приращениями. Нижняя оценка энтропии для функций от стандартной гауссовской случайной величины была доказана в статье Chafaï [50], в этом случае достаточно применить неравенство Коши-Шварца.

Рассматриваются обобщенные гиперболические процессы, подкласс разрывных процессов Леви, для которых триплет семимартингальных характеристик, а значит, и полученные оценки выражаются через параметры. Barndorff-Nielsen, Halgreen [35] показали, что обобщенные обратные гауссовские и гиперболические распределения относятся к безгранично делимым. Такие процессы хорошо моделируют финансовые данные (Barndorff-Nielsen, Shiryaev [36], Eberlein [37]).

Важным свойством неравенств лог-Соболева является независимость от размерности, таким образом, они могут быть обобщены для бесконечномерных ситуаций. Аналог логарифмического неравенства для функционалов от траекторий броуновского движения доказан в работе Capitaine, Hsu, Ledoux [48]. Под производной в данном случае понимается производная по направлению для броуновского движения. Исчислению Маллявена посвящена книга Nualart [41], Privault [42] предлагает изложение анализа на винеровском и пуассоновском пространствах с общей точки зрения нормальных мартингалов; см. статьи Ito [44], Kabanov [45]. Оказывается, что данный анализ может быть продолжен для процессов Леви, процессов с независимыми приращениями ([46], [43], [47]). Причем дифференциальные операторы, заданные как производная по направлению для непрерывной и разностный оператор для разрывной части процесса, совпадают с операторами уничтожения в представлении пространства Фока, сопряженным оператором будет интеграл Скорохода.

Метод доказательства, основанный на использовании стохастического анализа, интегральных представлений, в отличие от популярного в литературе метода полугрупп, работает в бесконечной размерности. Мы доказываем аналоги неравенств Ф - Соболева в бесконечномерном случае для процессов с независимыми приращениями, полученные результаты в общем случае не могут быть улучшены. Также в Главе 2 для функционалов на пространстве траекторий процессов с независимыми приращениями мы устанавливаем верхние и нижние оценки для дисперсии через кратные производные. Данные неравенства впервые были доказаны для гауссовских случайных величин в Houdre, Kagan [51], для броуновского движения и стандартного пуассоновского процесса в Houdre, Perez-Abreu [52] и Privault [54]. Мы с помощью метода хаотических разложений и техники пространства Фока получаем неравенства для процессов общего вида с непрерывной и разрывной частью, в неоднородном случае и для скачков произвольного типа.

В Главе 3 получены оценки в неравенствах Пуанкаре и лог-Соболева для скошенного броуновского движения. Ito, MeKean [57] дали траек-торное определение процесса и нашли функцию масштаба и меру скорости для этой диффузии, Walsh [59] вычислил генератор и переходные плотности процесса. Harrison, Shepp [58] показали, что скошенное броуновское движение - единственное сильное решение стохастического уравнения с локальным временем.

Скошенное броуновское движение - это обобщенная диффузия, коэффициент сноса не определен в нуле, поэтому возникает специальный анализ, например, в обратном уравнении появляется переходное условие на производную в нуле. Для того, чтобы вывести версии неравенств для скошенного броуновского движения, потребовалась формула замены переменных, обобщение формулы Ито-Танака для функций, терпящих разрыв на границе, полученная в РевЫг, ЭЫгуаеу [63]. Различные точки зрения на скошенное броуновское движение, его применения, возможные обобщения процесса можно найти в Ье]ау [61].

Мы получили оценки для функционалов типа дисперсии и энтропии для различных распределений, доказаны версии неравенств Пуанкаре, лог-Соболева и близких к ним в конечно- и бесконечномерном случаях.

В последние 15 лет появилась обширная литература относительно данных неравенств и их применений, и тема постоянно продолжает развиваться. Эффективность логарифмических неравенств в бесконечномерном анализе продемонстрирована в статистической механике, анализе на пространствах траекторий и решеток. Одними из стандартных применений логарифмических неравенств являются различные результаты по концентрации меры.

Методика исследования основана на общих методах стохастического анализа, использовании мартингальной техники, интегральных представлений; применяются подходы бесконечномерного анализа, хаотические разложения и др. В заключение заметим, что использованные методы достаточно общие и могут быть применены в других задачах.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является получение стохастических версий классических функциональных неравенств. Получены неулучшаемые оценки функционалов типа дисперсии и энтропии для различных распределений.

Научная новизна полученных результатов

Все результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

Практическая значимость полученных результатов

Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть полезными при изучении мартингальных методов оценок функционалов от случайных процессов, решении задач в бесконечной размерности для процессов с независимыми приращениями, анализе обобщенных диффузий и решений стохастических уравнений с локальным временем.

Личный вклад соискателя

Результаты диссертации обоснованы в виде строгих математических доказательств, все результаты диссертации получены соискателем самостоятельно.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• XIX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов", МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2012. бой Коллоквиум Башелье по Финансовой математике и стохастическому исчислению, Метабьеф, Франция, 2012.

• Российско-Японский Симпозиум "Стохастический анализ и сложные статистические модели", МИАН им. В. А. Стеклова, Москва, 2009.

• Российско-Японская Конференция "Сложные стохастические модели: асимптотика и применения" , МИАН им. В. А, Стеклова, Москва, 2007.

• Большой семинар кафедры теории вероятностей под рук. академика РАН А.Н. Ширяева, МГУ им. М. В. Ломоносова. Семинар "Стохастический анализ и случайные процессы"под рук. академика РАН А.Н. Ширяева, МГУ им. М. В. Ломоносова.

• Семинар "Стохастический анализ: теория и приложения "под рук. академ. РАН А. Н. Ширяева и проф. А. А. Гущина, МИАН им. В. А. Стеклова.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в работах [15] - [19] списка литературы. Всего гю теме диссертации опубликовано 5 работ. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 75 страниц. Список литературы включает 64 наименования, в том числе 5 работ автора по теме диссертации.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Абакирова, Айгуль Тилековна, Москва

1. Н. Chernoff, A note on an inequality involving the normal distribution, Annals Probab. 9:3, 1981. 533-535.

2. L. Gross, Logarithmic Sobolev inequalities, Amer. J. Math., 97(4), 1975, LOG1-1083

3. P. Fedeibush, A partially alternate derivation of a result of Nelson, J. Math. Phys. 10 (19G9), p. 50-52.

4. C.A.J. Klaasen, On an inequality of Chernoff, Annals of Probability, 13, 9G6-974, 1985.

5. B.C. Владимиров, Что такое математическая физика?, Препринт № НС-06/001, МИ АН, Москва 2006; V. S. Vladimirov, What is mathematical physics?, Preprint no. HC-06/001, Steklov Math. Institute, Moscow 2006.]

6. C. Ane, S. Blacherc, D. Chafaï, P. Fougères, I. Gentil, F. Malrieu, C. Roberto and G. Scheffei. Sur les inégalités de Sobolev logarithmiques, Panoramas et, Syntheses, vol. 10, Soc. Math de France, '2000.

7. L. H. Y. Chen, Poincare-type inequalities via stochastic integrals , Z. Wahrsch. Verw Gebiete, 69:2 (1985), 251-277.

8. R. Osserman, The isoperimetnc inequality, Bull. Amer. Math. Soc. 84, 1978, 1182-1238.

9. A. Ros, The isopenmetnc problem, Global Theory of Minimal Surfaces. Clay Math Proc. 2, 2005, 175-209.

10. W. Beckner, Geometric proof of Nash's inequality, Int. Math. Res. Notices 2, 1998, 67-70.

11. J. Nash, Continuity of Solutions of Parabolic and Elliptic Equations, 1958, Amer J Math. 80, 931-954

12. D. Chafai, Entropies, convexity, and functional inequalities : onentropies and §-Sobolev inequalities, J. Math. Kyoto Univ., 44:2 (2004), 325-363

13. A. Guionnet, В Zegarlinski, Lectures on logarithmic Sobolev inequalities, Seminaiie de Piobabilites, XXXVI, Lecture Notes in Math . vol. 1S01, Sprmgei Beilin, 2003, p 1-134.

14. A H Ширяев, Доказательство неравенства Пуанкаре Чернова и логарифмического неравенства Соболева методами стохастического исчисления для броуновского движения, Успехи математических наук, 61 3(2006), 177-178

15. А.Т. Абакирова, Аналоги неравенства Пуанкаре Чернова и логарифмического неравенства Соболева для процессов с независимыми приращениями, Успехи математических наук, 62'6(2007), 162-163.

16. А.Т. Абакирова, Функциональные неравенства на пространствах траекторий процессов с независимыми приращениями, Успехи математических наук. 67 2(2012), 191-192.

17. M. Talagrand, Conceniration of measure and isoperimetric inequalities m product spaces, Publ Math. I H E S. 81 (1995), 73-205

18. M. Ledoux, Concentration of measure and logarithmic Sobolev inequalities, Séminaire de Probabilités ХХХШ Lecture Notes in Math. 1709 (1999), 120-216.

19. M Ledoux. The concentration of measure phenomenon, Mathematical Surveys and Monographs, \ol 89, Amencan Mathematical Society, Providence, RI, 2001.

20. D Bakry, M Emery, Hyperc о nti activité de serai-groupes de diffusion, С R. Acad. Sci Pans Ser I Math. 299 (1984). no. 15, p. 775-778

21. D Bakry, M. Emeiy. Diffusions hypercontractives, Semmaire de probabilités, XIX, 1983/84 Spungei, Berlin, 1985 p. 177-206

22. F Otto C. Villani. Generalization of an inequality by Talagrand and links with the logarithmic Sobolev inequality, J Funct Anal 173(2000), no 2, p. 361-400.

23. I Gentil, A Guillin, L Miclo. Modified logarithmic Sobolev inequalities and transportation inequalities, Probability Theory and Related Fields, 133(3), 409436. 2005

24. S. G. Bobkov, F Gotze, Exponential mtegrability and transportation cost related to logarithmic Sobolev inequalities, J Funct Anal 163 (1999),no. 1, p. 1-28.

25. S. Bobkov, M. Ledoux, Pomca,re:s inequalities and Talagrand's concentration phenomenon for the exponential measure, Probab. Theory related Fields 107(1997), 383-400.

26. S. Bobkov, M. Ledoux, From Brunn-Minkowski to Brascamp-Lieb and to logarithmic Sobolev inequalities. Geom. Funct. Anal. 10 (2000), no. 5, p. 1028-1052.

27. R. Latala, K. Oleszkiewicz, Between Sobolev and Poincare, Geometric aspects of functional analysis, Springer, Berlin, 2000, p 147-168

28. J. Jacod, A.N. Shiryaev, Limit Theorems for Stochastic Processes, SpringerVerlag, 2nd ed., 2003.

29. A Yu. Shevlvakov, Ito's formula for widened stochastic integral, Teor. Veroyatnost. l Mat. Statist. 16 (1978), 159-163; English transl , Theoiy Probability and Math. Statist. 16 (1978).

30. И.И. Гихмаи, A.B. Скороход, Теория случайных процессов, Т.1-3, М.: Наука, 1971,1973,1975.

31. Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. Теория мартингалов, М : Наука, 1986.

32. О. Barndorff-Nielscn, С Halgrcen, Infinite divisibility of the hyperbolic and generalized inverse Gaussian distributions, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw.Gebiete 3x, 309-312 (1977)

33. O E Barndoiff-Nielsen A N Shiryaev, Change of time and change of measure, Woild Scicntific 2010

34. E Eberlem, Application of generalized hyperbolic Levy motions to finance In O E Baindorff-Nielsen, T Mikosch, and S Resmck (Eds ) Levy Processes -Theoiy and Applications Boston Birkhauser, 2001, pp 319-336

35. D Nualart, The Malhamn Calculus and Related Topics, Sprmgei-Verlag, 2nd ed , 2006

36. N Privault, Stochastic Analysis in Discrete and Continuous Settings With Normal Martingales, Springer, 2009

37. A L Yablonski, The Malhamn calculus for processes with conditionally independent increments Stochastic analysis and applications, vol 2 of Abel Symp Springer, Bcilm 2007, 641-678

38. K Ito, Multiple Wiener integral, J Math Soc Japan 3 (1951). pp 157-169

39. Yu M Kabanov, On extended stochastic integrals, Th Probab Appl 20 (1975), pp 710-722

40. G Di Nunno, B Oksendal and F Proske, Malhavm calculus for Levy processes with application to finance, Umversitext Springer - Verlag, Berlin, 2009

41. E Petrou, Malluivm calculus in Levy spaces and applications m finance, Electronic J Probab 13 (2008), 852-79

42. M Capitame. E P Hsu and M Ledoux, Martingale representation and a simple proof of logarithmic Sobolev inequalities on path spaces, Electron Comm Probab 2 (1997), 71-81 (electronic)

43. L Wu, .4 new modified logarithmic Sobolev inequality for Poissori point processes and several applications Probab Theoiy Related Fields 118-3 (2000), 427-438

44. D Chafai, Gaussian maximum of entropy and reveised logarithmic Sobolev inequality, Semmaire de Piobabilites XXXVI, Lecture Notes m Math 1801, Spnnger, Berlin, 2003 194-200

45. C Houdre and A Kagan, Variance inequalities for functions of Gaussian variables, J Th Probab 8, 1995, 23-30

46. C Houdre and V Perez-Abreu Covanance identities and inequalities for functionals on Wiener and Poisson spaces, Ann Probab , 23, 1995, 400-419

47. C. Houdre, V. Perez-Abreu and D. Surgailis, Interpolation, correlation identities and inequalities for infinitely divisible variables, J. Fourier Anal. Appl. 4, 1998, 651-668.

48. N. Privault, Extended covariance identities and inequalities, Statistics and Probability Letters 55. 200J. 247-255.

49. M. Ledoux, L'algebre de Lie des gradients itérés d'un generateur Markovien: développements de moyennes et entropies, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 28, 1995, 435-460.

50. G. Last and M.D. Penrose, Poisson process Fock space representation, chaos expansion and covariance inequalities, Probab. Theory Relat. Fields 150, 2011, 663-690.

51. K. Ito. H McKean, Diffusion Processes and, Their Sample Paths, 2 ed., SpringerVerlag, 1974.

52. J. M. Harrison, L. A. Sliepp, On skew Broumian motion, Ann. Probab., 9:2, 1981, 309-313.

53. J. Walsh, A diffusion with a discontinuous local time, Asterisque. 52-53, 1978, 37-45.

54. A. S. Cherny, A. N. Shiryaev. M. Yor, Limit behaviour of the "horizontal-vertical" random, walk and, some extensions of the Donsker-Prokhorou invariance principle, Theory Probab. Appl., 47 (2003), 377-394.

55. A. Lejay, On the constructions of the skew Brownian motion, Probab. Surveys, 3, 2006, 413-466.

56. D. Revuz, M. Yor, Continuous martingales and Brownian motion, Springer, 1994.

57. G. Peskir, A.N. Shiryaev, Optimal stopping and free boundary problems, Birkhäuser, Basel, 2006.

58. I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2 ed., SpringerVerlag, 1991.