Некоторые свойства соболевских функций на винеровском пространстве и их приложения

Шапошников, Александр Валерьевич

Некоторые свойства соболевских функций на винеровском пространстве и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Шапошников, Александр Валерьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Некоторые свойства соболевских функций на винеровском пространстве и их приложения»

Автореферат диссертации на тему "Некоторые свойства соболевских функций на винеровском пространстве и их приложения"

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи ^¿¿¿зза^ УДК 519.2

Шапошников Александр Валерьевич

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СОБОЛЕВСКИХ ФУНКЦИЙ НА ВИНЕРОВСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 И/'.|] 1

Москва, 2014

005549497

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Богачев Владимир Игоревич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

Степанов Евгений Олегович, Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН, старший научный сотрудник,

кандидат физико-математических наук Кругова Елена Павловна, ВИНИТИ РАН, старший научный сотрудник ОНИ ПФМНиИТ.

Ведущая организация: Математический институт

им. В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 20 июня 2014 г. в 16 часов 45 минут на-заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова (Ломоносовский проспект, 27).

Автореферат разослан 20 мая 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Анализ на классическом пространстве Винера и его абстрактном аналоге — абстрактном винеровском пространстве, фактически представляющем собой гауссовскую меру на сепарабелыюм банаховом пространстве с выделенным в качестве «касательного пространства» подпространством Камерона-Мартина, стал популярен после появления известной работы Л. Гросса1. Подробную библиографию можно найти в книгах2,3'4. Соболевские классы для бесконечномерных пространств с гауссовской мерой были введены в начале 70-х годов прошлого века в работах H.H. Фролова5, позже они рассматривались в работах Л. Гросса6, Б. Ласкара7, но особую популярность приобрели после появления исчисления Малля-вена8. Изучению различных свойств соболевских функций на бесконечномерных пространствах посвящено большое количество работ. В бесконечномерном случае появляется много новых трудностей и особенностей. В частности, многие классические результаты и конструкции, такие как теоремы вложения, теоремы о покрытии, максимальные функции, гладкие разбиения единицы, широко используемые при исследовании соболевских функций на конечномерных пространствах, оказываются неприменимы. Важной особенностью соболевских классов по гауссовской мере является их инвариантность относительно измеримых линейных изоморфизмов, в связи с чем пространства с весьма различными геометрическими свойствами обладают одинаковым запасом соболевских функций,

'L. Gross Potential theory on Hilbert space. j. Funct. Anal. 1967. V. 1, Л»2. P. 123-181.

2В.И. Богачев Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Москва - Ижевск, 2008.

3В.И. Богачев Гауссовские меры. Наука, М., 1997.

4A.S. Ústiinel An introduction to analysis on Wiener space. Springer, 1995.

5H.H. Фролов Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных Ï. Тр. Ин-та матем. Воронеж, ун-та. Изд-во Воронеж, ун-та. 1970. Вып. 1. С. 205-218.

ßL. Gross Logarithmic Sobolev inequalities. Amer. j. Math. 1975. V. 97, №4. P. 1061-1083.

7B. Lascar Propriétés tócales d'espaces de type Sobolev en dimension infinie. Comm. Partial Dif. Equat. 1976. V. 1, .V6. P. 561-584.

8P. Malliavin Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators. Proc. Intern. Symp. on Stoch. Diff. Eq. (Res. Inst. Math. Sei., Kyoto Univ., Kyoto, 1976). P. 195-263.

подробное обсуждение этого вопроса можно найти в книге5. В идейном отношении анализ на винеровском пространстве весьма близок к возникшей несколько ранее теории дифференцируемых мер, которая была предложена C.B. Фоминым9, а затем развивалась многими авторами (первые обзоры см. в работах10,11, а современное состояние этой теории представлено в книге2). Дифференцируемые по Фомину меры можно рассматривать как бесконечномерный аналог мер с плотностями из класса Соболева. Аналогом же мер с плотностями ограниченной вариации оказываются несколько позже введенные меры, дифференцируемые по Скороходу12. Последние также рассматриваются в этой диссертации. Отметим, что ряд важных результатов по дифференцируемости Скорохода получен Е.П. Круговой13'14.

Еще одним важным объектом анализа на винеровском пространстве оказывается оператор дивергенции. Определение дивергенции векторного поля со значениями в пространстве Камерона-Мартина гауссовской меры естественным образом обобщает понятие дивергенции в смысле обобщенных функций в конечномерном случае. В работах М. и П. Кре15 и Б. Гаво16 было доказано существование дивергенции для соболевских векторных полей и исследованы некоторые ее свойства. В виде обобщенного стохастического интеграла понятие дивергенции были введено примерно тогда же A.B. Скороходом. Важной особенностью оператора дивергенции относительно гауссовской меры является его свойство локаль-

вС.В. Фомин Дифференцируемые меры в линейных пространствах. Успехи матем. наук, 1968,

Т. 23, №1, С. 221-222.

10В.И. Авербух, О.Г. Смоляиов, C.B. Фомин Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. I. Дифференцируемые меры. Тр. Моск. матем. об-ва. 1971, Т. 24. С. 133-174.

"Ю.Л. Далецкий, C.B. Фомин Меры и дифференциальные ¡/равнения в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983.

12А.В. Скороход Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, М., 1975.

13Е.П. Кругова О дифференцируемости выпуклых мер. Матем. заметки. 1995. Т. 57, №0. С. 862-871.

ИЕ.П. Кругова О сдвигах выпуклых мер. Матем. сб. 1997. Т. 188, №2. С. 57-66.

15м. Krée, P. Krée Continuité de la divergence dans les espaces de Sobolev relatifs à l'espace de Wiener. C. R. Acad. Sei. 1983. T. 296, №20. P. 833-834.

l6B. Gaveau, P. Trauber L'intégral stochastique comme opérateur de divergence dans l'espace fonctionnel. J. Funct. Anal. 1982. V. 46, №2, P. 230-238.

ности, которое имеет место при достаточно широких предположениях относительно векторного поля:

div^v = 0 /1-п.в. на множестве {и = 0}.

Данное свойство изучалось в работах Д. Нуаларта и Е. Парду17, A.M. Го-милко и A.A. Дороговцева18, A.C. Устюнеля4, где были найдены некоторые достаточные условия на векторное поле и подмножество винеров-ского пространства, при которых указанное свойство выполняется; тем не менее в общем случае оно может нарушаться. Данный эффект оказывается тесно связан с результатом Дж. Альберти19 о приближении векторных полей градиентами гладких функций, обобщение которого на случай винеровского пространства приводится в диссертации.

Соболевские пространства на подмножествах бесконечномерного винеровского пространства изучались в работах М. Хине?0, М. Фукуши-мы21 и ряда других авторов. В статье20 было доказано, что множество функций, допускающих продолжение на все пространство, всюду плотно в соболевском пространстве над Я-выпуклым подмножеством винеровского пространства. Данное утверждение позволяет распространить многие результаты, известные для гладких функций, на более широкий класс функций с соболевской регулярностью. В качестве примера можно привести одну из версий логарифмического неравенства Соболева, доказанную для гладких функций в работе Д. Фейеля и A.C. Устюнеля22 и обобщенную на случай соболевских функций в работе М. Хине?0.

С весьма близкой проблематикой имеет дело и упомянутая выше теория дифференцируемых мер. С одной стороны, гауссовские меры и

l7D. Nualart, Е. Pardoux Stochastic calculus with anticipating integrands. Probab. Theory Related Fields. 1988. V. 78, №4. P. 535-581.

18 A.M. Гомилко, A.A. Дороговцев О локализации расширенного стохастического интеграла. Ма-тем. сб. 2006. Т. 197, №9. С. 19-42.

18G. Alberti A Lusin type theorem for gradients. J. Funct. Anal. 1991. V. 100, №1. P. 110-118.

20M. Hino Dirichlet spaces on H-convex sets in Wiener space. Bull. Sei. Math. 2011. V. 135, №6. P. 667-683.

21M. Fukushima BV functions and distorted Ornstein-Uhlenbeck processes over the abstract Wiener space. J. Funct. Anal. 2000. V. 174, №1. P. 227-249.

22D. Feyel, A. S. Ustünel The notion of convexity and concavity on Wiener space. J. Funct. Anal, 2000. V. 176, №2. P. 400-428.

меры, заданные в том или ином смысле гладкими плотностями относительно гауссовских мер, дают большой запас примеров дифференцируемых распределений на бесконечномерных пространствах. С другой стороны, существует множество вероятностных мер на данном бесконечномерном пространстве, дифференцируемых вдоль плотно вложенных подпространств, но при этом взаимно сингулярных со всеми гауссовски-ми мерами на этом пространстве. В качестве примера можно привести меру и на гильбертовом пространстве I2, заданную как счетное произведение мер с плотностями рп(х) — 2пр(2пх), где р — бесконечно дифференцируемая вероятностная плотность на прямой с ограниченным носителем и конечной информацией Фишера (т.е. функция \р'\2/р интегрируема). Особый интерес представляют необходимые и достаточные условия для дифференцируемости меры вдоль направления h, допускающие естественные обобщения на бесконечномерный случай. Возникает вопрос о характеризации различных классов дифференцируемых мер в терминах регулярности функций t м- ¿¿(Л + th). Скажем, дифференци-руемость этих функций есть дифференцируемость Фомина. Случаи лип-шицевости, непрерывности или аналитичности изучались соответственно в работах В.И. Богачева23, В.А. Романова24, С. Альбеверио и Р. Хёг-Крона25 и В.Ю. Бенткуса26. В частности, В.И. Богачевым была установлена равносильность липшицевости таких функций при всех А дифференцируемости меры ß по направлению h в смысле Скорохода, определяемой как дифференцируемость отображения t н-> fith, fith(Ä) = p(A+th), в слабой топологии на пространстве мер.

Цель работы. Получить аналог теоремы Альберти для приближения измеримых векторных полей со значениями в пространстве Камерона-

23В.И. Богачев О дифференцируемости мер по Скороходу. Теория вероятн. и ее примен. 1988. Т. 33, №2. С. 349-354.

ИВ.А. Романов Непрерывные и вполне разрывные меры в линейных пространствах. Докл. АН СССР, 1976, Т. 227, ЛЧ, С. 569-570.

S5S. Albeverio, R. Hoegh-Krohn Dirichlet forms and diffusion processes on rigged Hilbert spaces. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. 1977. В. 40, №1, S. 1-57.

36В.Ю. Бенткус Аналитичность гауссовских мер. Теория вероятн. и ее примен. 1982. Т. 27, Д»1. С. 147-154.

Мартина градиентами соболевских функций. Исследовать продолжаемость соболевских функций, заданных на открытых выпуклых множествах в пространстве с гауссовской мерой. Изучить такое свойство меры /1 вдоль направления /г, как абсолютная непрерывность всех функций 4 ► (¿(А -МЛ.), где А — борелевское множество.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано, что каждое борелевское векторное поле на винеровском пространстве со значениями в пространстве Камерона-Мартина Я может быть приближено в смысле Лузина градиентом некоторой Н-липшицевой функции.

2. Построен пример открытого центрально симметричного выпуклого множества в гильбертовом пространстве с гауссовской мерой и соболевской функции на этом множестве, не допускающей соболевских продолжений на все пространство.

3. Построен пример меры ц, показывающий, что абсолютная непрерывность функций Ь I—► ц(А + Ш) для всех борелевских множеств А не влечет дифференцируемость меры ц в смысле Скорохода.

4. Получены новые характеризации дифференцируемости меры/4 в смысле Скорохода через абсолютную непрерывность отображения Ь (Нн и «глобальную» абсолютную непрерывность функций £ н-> + ¿Л).

Последние три результата дают решения проблем, долго остававшихся открытыми.

Методы исследования. В работе используются методы теории меры, функционального анализа и теории вероятностей, а также ряд оригинальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в

теории меры, функциональном анализе, теории вероятностей и теории случайных процессов.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на

• семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством В.И. Богачева, H.A. Толмачева, 2009-2014 гг.,

• российско-японском симпозиуме «Стохастический анализ сложных статистических моделей», Математический институт им. В.А. Стек-лова РАН, 2009 г.,

• научно-исследовательском семинаре по стохастическому анализу, университет Билефельда (Германия), 2010 г.,

• научно-исследовательском семинаре «Статистика, теория вероятностей и их приложения», Институт математики университета Бургундии (Франция), 2013 г.

• научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и мате-

• матической физики Российского университета дружбы народов по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора A.JT. Скубачевского, 2014 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях автора в ведущих научных журналах из списка, рекомендованного ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 45 наименований. Общий объем диссертации составляет 52 страницы.

Краткое содержание диссертации Глава 1.

В работе Дж. Альберти19 было доказано, что всякое борелевское векторное поле на конечномерном евклидовом пространстве совпадает с градиентом некоторой гладкой функции вне множества сколь угодно малой меры, т.е. верно следующее утверждение:

Теорема. Пусть Г2 — открытое множество вЕ" и А(Г2) < оо, где А — мера Лебега на К", и пусть ь: Г2 —» К" — борелевское отображение. Тогда для всякого е > 0 найдутся открытое множество А с п и функция (р € Сд(О) со следующими свойствами.

А(Л) < еА(П),

у(х) = 4<р(х) для каждого х £ П \ А,

< Спе1!р~1 ||и||р для каждого р 6 [1, оо],

где константа Сп зависит только от тг, а || • ||р обозначает норму в пространстве 1/(^1).

Данная теорема позволяет построить простой пример векторного поля, для которого нарушается упомянутое выше свойство локальности. Следующая конструкция была предложена Л. Амброзио: из теоремы Альберти следует, что найдется функция <р 6 С1^",®) такая, что векторное поле совпадает с полем (у, —х) на множестве А положительной меры; положим ь(х,у) := (х,у) — (—ду<р,дх1р), тогда векторное поле у равно нулю на множестве А, однако Шуи = 2.

Интерес к свойству локальности обусловлен тем, что в случае классического винеровского пространства (IV, Н, т.е.

ИС[0,1], ш(0) - О, И| = И|оо},

Я={Л:Л6ЛС[0,1], Л(0) = 0, = |№[0,И < °°>

¡1 = мера Винера,

существует широкий класс негладких векторных полей, для которых дивергенция обладает свойством локальности. Обозначим через (^¡V)te[o 1] фильтрацию, порожденную «координатным» винеровским процессом

{W«}te[од], где Wt(w) = w(t).

Пусть — случайный процесс, прогрессивно измеримый относительно фильтрации (7f)te[oi]> для которого выполнено условие

Е I tfdt< оо. ./[0,1]

Хорошо известно, что для векторного поля v, определяемого равенством V(w)(t) = - ftsHds,

J о

дивергенция div^u относительно меры Винера ¡iw совпадает со стохастическим интегралом Ито от процесса т.е.

div^w = / dWs. J\0,1]

Локальность div^u вытекает из возможности представления стохастического интеграла в виде предела сходящейся почти всюду относительно w

меры /л ' последовательности интегральных сумм.

Данная глава посвящена обобщению теоремы Альберти на случай векторных полей со значениями в пространстве Камерона-Мартина. Пусть X — локально выпуклое пространство, 7 — центрированная радоновская гауссовская мера на X. Напомним, что меры, заданные на борелевской cr-алгебре В(Х) пространства X, называются борелевскими. Неотрицательная борелевская мера ¡1 называется радоновской, если для каждого борелевского множества В и каждого е > 0 найдется такой компакт К С В, что fj,(B\K) < е; знакопеременная борелевская мера /х называется радоновской, если такова ее полная вариация |/i|. Напомним также, что вероятностная борелевская мера 7 называется гауссовской, если каждый непрерывный линейный функционал I е X* имеет нормальное распределение относительно 7. Пространство Камерона-Мартина Я такой

меры определяется как множество векторов, сдвиги на которые приводят к эквивалентным мерам; оно оказывается сепарабельным гильбертовым пространством с нормой

|% = sup{l(ft): I € XM|Z||l»(7) < 1}. Обозначим через ТСЖ совокупность всех функций / на X вида

f{x) — <p{h(x),in(x)), <peCZ°(Rn), hex*,пек

Пространство Соболева И/Р'г(7) определяется как пополнение ТС™ относительно нормы

H/iu = E(/[ Е (d11...aj(x)y]p/\(dx))1/p,

k<r J »1,...,«»>1

где через дг обозначена частная производная вдоль вектора е, из произвольного фиксированного ортонормированного базиса {е*} в Я. Норму / в LP{7) будем обозначать через ||/||р. Будем называть 7-измеримую функцию Я-липшицевой, если она удовлетворяет следующему условию:

\f(x + h)~ f(x)\ < C\h\H для всех he Н у-п.в.

Функции с указанным свойством лежат в каждом Wp,1(7).

Основной результат главы заключается в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть v: X —> Я — борелевское векторное поле. Тогда для всяких е > 0 и в > 0 найдется Я-липшицева функция /, обладающая следующими свойствами:

(1)7(z: Vf(x)^v(x)) <е,

(2) supxeX\f(x)\<d,

(3) для каждого р 6 [1,оо] справедливо неравенство

liv/llp < CeV>-l\\v\\p, где С — некоторая универсальная константа.

. Указанная оценка является новой и в конечномерном случае. Доказательство основано на дополнительной локализации конструкции Альбер-ти, позволяющей в конечномерном случае получить оценку на градиент

функции /, не зависящую от размерности, а затем с помощью подходящих аппроксимаций доказать ее в случае бесконечномерного пространства.

Глава 2.

Во второй главе изучается существование продолжений функций из соболевских классов на подмножествах винеровского пространства на все пространство с сохранением соболевского класса. Пусть II — Я-открытое подмножество конечномерного или бесконечномерного пространства.Х" с гауссовской мерой 7 с пространством Камерона-Мартина Я. Это означает по определению, что все «сечения» (и — х)ПН открыты по норме Я. Если же все эти сечения выпуклы, то I/ называют //-выпуклым.

Обозначим через Шр'1(и, 7) замыкание множества сужений на и гладких цилиндрических функций из по соболевской норме || • [|1>рд, где

1М11,Р,с/ = 1М1 р.и+\\4н<р\\р,и,

причем || • ||рд — норма в 7), вычисляемая относительно сужения 7| и меры 7 на II.

Другой естественный подход приводит к пространству Нр'х(С/, 7), которое состоит из функций /, лежащих в !/?(£/, 7) и обладающих градиентом Уд/ из пространства 1?{и, Я, 7) Я-значных отображений на V в следующем смысле: для каждого к е Я функция / абсолютно непрерывна на почти всех прямых параллельных И, причем почти всюду имеет место равенство ди/ = (Уя/, В случае, когда и — открытое подмножество К", аналогичные конструкции приводят к весовым соболевским пространствам. Хорошо известно, что даже в конечномерном случае существуют меры /1, для которых оба пространства корректно определены, но при этом пространство ЯР,1(С/, ц) оказывается шире пространства Илр,1(?7, д), данный вопрос подробно обсуждается, например, в работе В.В. Жикова27. В недавней работе М. Хино20 было доказано, что для каждого Я-выпуклого Я-открытого подмножества и указанные

27В.В. Жиков О весовых соболевских пространствах. Матем. сб., 1998, Т. 189, .4*8, С. 27-58.

пространства совпадают. Результат Хино также показывает, что множество функций, допускающих продолжение на все пространство, всюду плотно в Hp'l(U, 7). Хорошо известно, что всякая функция из класса Соболева на ограниченном выпуклом множестве в R" продолжается до функции на всем пространстве из того же класса Соболева. Аналогичное утверждение верно и для весовых классов Соболева с достаточно регулярными весами, например гауссовскими. В случай бесконечномерного пространства с гауссовской мерой существование продолжения для Н-липшицевых функций было доказано в работе A.C. Устюнеля и М. За-кая28, а для iT-липшицевых отображений со значениями в гильбертовом пространстве в работе В.И. Богачева29. Тем не менее, как оказалось, в случае соболевских пространств ЯР,1(С/, 7) на Н-выпуклых Н-открытых подмножествах бесконечномерного пространства ситуация меняется. Основным результатом этой главы является следующая теорема, дающая отрицательный ответ на вопрос, долго остававшийся открытым.

Теорема 2. В пространстве есть выпуклое борелевское Я-откры-тое множество К положительной 7-меры со следующим свойством: для каждого р € [1,+оо) в классе Wp,l[K, 7) есть функция, не имеющая продолжений до функции класса Wp,l{'y). Можно также найти выпуклый компакт К положительной меры с этим же свойством.

Доказательство основано на оригинальной конструкции, использующей некоторые идеи из работы Ю.Д. Бураго и В.Г. Мазьй30 для оценки снизу нормы продолжения в пространстве W1,1^) и следующей лемме.

Лемма. Если множество борелевское V таково, что для каждой функции / из jyp,1(V,7) при некотором р > 1 есть продолжение д € Wp*l{7), то найдется такое продолжение g¡ G Wp,1{7), что ||ff/||p,i < C||/||p,iy с некоторой общей постоянной С.

28A.S. Üstünel, М. Zakai Extension of Lipschitz functions on Wiener space. New Trends in Stochastic Analysis, Proc. of the Taniguchi Int. Symp., eds. D.Elworthy, World Scientific, 1996, P. 465-470.

2SV.I. Bogachev Extensions of H-Lipschitzian mappings with infinite-dimensional ronje. Inf. Dim. Anal., Quantum Probab. Related Topics, 1999, V. 2, №3, P. 461-474.

30Ю.Д. Бураго, В.Г. Мазья Некоторые вопросы теории потенциала и теории функций для областей с нерегулярными границами. Зап. науч. семин. ЛОМИ, 1967, Т. 3, С. 3-152.

Отметим, что остается открытым вопрос о существовании соболевских продолжений на все пространство соболевских функций на шаре гильбертова пространства.

Глава 3.

Третья глава посвящена изучению дифференцируемости меры ß в смысле Скорохода вдоль направления h и такого свойства меры ß, как абсолютная непрерывность всех функций t i—> ß(A + th), A S ß(X). В работе C.B. Фомина9 было введено следующее определение: борелев-ская мера ß на локально выпуклом пространстве X называется дифференцируемой вдоль вектора h, если для каждого множества А £ В(Х) существует конечный предел

, ... ß(A + th)-ß(A) dhß(A) = lim—-f-

Другой вид дифференцируемости мер был предложен A.B. Скороходом12, который ввел следующее определение: борелевская мера ß на локально выпуклом пространстве X называется дифференцируемой вдоль вектора h, если для каждой ограниченной непрерывной функции / на X функция 11-* / f(x + th) dß дифференцируема. Такие свойства в идей-

ном отношении тесно связаны со свойствами соболевских функций, ибо последние обладают версиями, локально абсолютно непрерывными вдоль направлений из подпространства Камерона-Мартина. Однако меры, рассматриваемые в этой главе, в бесконечномерном случае уже могут быть взаимно сингулярными с гауссовскими. Тем самым здесь речь идет о развитии и приложении методов и идей первых двух глав. Другие приложения связаны с рассмотрением классов функций ограниченной вариации на бесконечномерных пространствах с мерами.

В случае конечномерного пространства В™ мера ß с плотностью Q дифференцируема в смысле Фомина в точности тогда, когда q входит в класс Соболева И/1,1 (Ж"); в свою очередь, дифференцируемость в смысле Скорохода эквивалентна включению q в класс BV(M.n) функций ограниченной вариации. В работе23 было доказано, что дифференцируемость

в смысле Скорохода также допускает характеризацню через свойства функций í н-+ ц(А + ¿/г.), а именно, мера д дифференцируема в смысле Скорохода вдоль вектора Н тогда и только тогда, когда все функции £ ц(А + Ьк) липшицевы. В статье В.И. Богачева и О.Г. Смолянова31 был поставлен вопрос об изучении такого свойства меры ц, как абсолютная непрерывность всех функций £ (1,(А + £/г), где А — борелевское множество. В частности, с тех пор было неизвестно, можно ли в определении дифференцируемости в смысле Скорохода заменить условие лип-шицевости функций £ > ц(А + Ш) на их абсолютную непрерывность. Основной отрицательный результат этой главы заключается в следующей теореме.

Теорема 3. Существует такая вероятностная борелевская мера ц на прямой, что для всякого борелевского множества А числовая функция <Ра({) = (л(А + £) абсолютно непрерывна на отрезке [0,1], но при этом мера ц не является дифференцируемой в смысле Скорохода.

Доказательство основано на результатах работы В.И. Богачевг?3 и построении искомой вероятностной меры с плотностью, заданной конструктивно, для которой удается проверить абсолютную непрерывность функций £ н-> 4- Также в этой главе получены следующие харак-теризации дифференцируемости в смысле Скорохода.

Теорема 4. Радоновская мера /х на локально выпуклом пространстве X дифференцируема по Скороходу вдоль вектора Ь, тогда и только тогда, когда отображение £ ь-> /2^ со значениями в банаховом пространстве борелевских мер с вариационной нормой абсолютно непрерывно на отрезке [0,1].

Теорема 5. Радоновская мера ц, на локально выпуклом пространстве X дифференцируема по Скороходу вдоль вектора к тогда и только тогда, когда для каждого борелевского множества Л функция аб-

солютно непрерывна на всей прямой в следующем смысле: для всякого

31В.И. Богачев, О.Г. Смолянов Аналитические свойства бесконечномерных распределений. Успехи матем. наук, 1990, Т. 45, .ТО, С. 3-83.

е > 0 найдется такое <5 > 0, что для каждого конечного набора дизъюнктных отрезков [si, ii],..., [sk, tk] с общей длиной |i; — st| < S выполняется неравенство — ßs,h(A)\ < £■

Из теоремы 3 явствует, что это свойство строго сильнее абсолютной непрерывности на каждом отрезке. Разумеется, для функций не такого специального вида неэквивалентность глобальной и локальной абсолютной непрерывности очевидно.

Вопросы продолжения соболевских функций и функций ограниченной вариации с бесконечномерных областей, тесно связанные с диффе-ренцируемостью мер по Скороходу, весьма актуальны для исследования бесконечномерных краевых задач.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.И. Богачеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] A.B. Шапошников, Теорема лузинского типа для векторных полей на винеровском пространстве, Докл. РАН, 2010, Т. 434, №6, С. 744-748.

[2] В.И. Богачев, A.B. Шапошников, О продолжении соболевских функций на винеровском пространстве, Докл. РАН, 2013, Т. 448, №4, С. 379-384.

В работе [2] диссертанту принадлежат лемма 1 и теорема 1; В.И. Богачеву принадлежит общая постановка задачи и замечание 1.

[3] A.B. Шапошников, О дифференцируемости мер по Скороходу и близких свойствах, Докл. РАН, 2009, Т. 429, №2, С. 163-167.

[4] A.B. Шапошников, О дифференцируемости мер по Скороходу, Теория вероятностей и ее применения, 2010, Т. 55, №3, С. 618-619.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Подписано в печать « // » с//> г>лыл 2014 г. Тираж 100экз. Заказ № ЯЗ

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Шапошников, Александр Валерьевич, Москва

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи 04201458999 УДК 519.2

Шапошников Александр Валерьевич

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СОБОЛЕВСКИХ ФУНКЦИЙ НА ВИНЕРОВСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Богачев.

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2014

Содержание

Введение................................................................3

Глава 1. Приближения векторных полей .....................18

1.1. Определения и примеры ..........................................18

1.2. Теорема Альберти для винеровского пространства ..............20

Глава 2. Продолжение соболевских функций ...............28

2.1. Определения и примеры..........................................28

2.2. Конструкция //-открытого // выпуклого множества и соболевской функции без продолжения на все пространство .....31

Глава 3. Дифференцируемость в смысле Скорохода .......37

3.1. Определения и примеры..........................................37

3.2. Характеризации дифференцируемости в смысле Скорохода .....38

3.3. Конструкция недифференцируемой в смысле Скорохода меры, для которой все функции £ н-> ¡х{А + £) абсолютно непрерывны .. 42

Литература............................................................48

Введение

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Анализ на классическом пространстве Винера и его абстрактном аналоге — абстрактном винеровском пространстве, фактически представляющем собой гауссовскую меру на сепарабельном банаховом пространстве с выбранным в качестве «касательного пространства» подпространством Камерона-Мартина, стал популярен после появления известной работы JI. Гросса1. Подробную библиографию можно найти в книгах2,3'4. Соболевские классы для бесконечномерных пространств с гауссовской мерой были введены в начале 70-х годов прошлого века в работах H.H. Фролова5, позже они рассматривались в работах JI. Гросса6, Б. Ласкара7, но особую популярность приобрели после появления исчисления Малля-вена8. Изучению различных свойств соболевских функций на бесконечномерных пространствах посвящено большое количество работ. В бесконечномерном случае появляется много новых трудностей и особенностей. В частности, многие классические результаты и конструкции, такие как теоремы вложения, теоремы о покрытии, максимальные функции, гладкие разбиения единицы, широко используемые при исследовании соболевских функций на конечномерных пространствах, оказываются неприменимы. Важной особенностью соболевских классов по гауссовской мере

lL. Gross Potential theory on Hilbert space. J. Funct. Anal. 1967. V. 1, №2. P. 123-181.

3В.И. Богачев Гауссооские меры. Наука, М., 1997.

4A.S. Ustiinel An introduction to analysis on Wiener space. Springer, 1995.

5H.H. Фролов Теоремы, вложения для пространств функций счетного числа переменных I. Тр. Ин-та матем. Воронеж, ун-та. Изд-во Воронеж, ун-та. 1970. Вып. 1. С. 205-218.

6L. Gross Logarithmic Sobolev inequalities. Amer. J. Math. 1975. V. 97, №4. P. 1061-1083.

7B. Lascar Propriétés locales d'espaces de type Sobolev en dimension infinie. Comm. Partial Dif. Equat. 1976. V. 1, №6. P. 561-584.

8P. Malliavin Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators. Proc. Intern. Symp. on Stoch. Diff. Eq. (Res. Inst. Math. Sei., Kyoto Univ., Kyoto, 1976). P. 195-263.

является их инвариантность относительно измеримых линейных изоморфизмов, в связи с чем пространства с весьма различными геометрическими свойствами обладают одинаковым запасом соболевских функций, подробное обсуждение этого вопроса можно найти в книге3. В идейном отношении анализ на виперовском пространстве весьма близок к возникшей несколько ранее теории дифференцируемых мер, которая была предложена C.B. Фоминым9, а затем развивалась многими авторами (первые обзоры см. в работах10,11, а современное состояние этой теории представлено в книге2). Дифференцируемые по Фомину меры можно рассматривать как бесконечномерный аналог мер с плотностями из класса Соболева. Аналогом же мер с плотностями ограниченной вариации оказываются несколько позже введенные меры, дифференцируемые по Скороходу12. Последние также рассматриваются в этой диссертации. Отметим, что ряд важных результатов по дифференцируемости Скорохода получен Е.П. Круговой13'1'1.

Еще одним важным объектом анализа на вииеровском пространстве оказывается оператор дивергенции. Определение дивергенции векторного поля со значениями в пространстве Камерона-Мартина гауссовской меры естественным образом обобщает понятие дивергенции в смысле обобщенных функций в конечномерном случае. В работах М. и П. Кре15 и Б. Гаво16 было доказано существование дивергенции для соболевских

9С.В. Фомин Дифференцируемые меры в линейных пространствах. Успехи матсм. наук, 1968, Т. 23, №1, С. 221-222.

10В.И. Авербух, О.Г. Смоляноп, C.B. Фомин Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. I. Дифференцируелте меры. Тр. Моск. матсм. об-ва. 1971, Т. 24. С. 133-174.

ПЮ.Л. Далецкий, C.B. Фомин Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983.

12А.В. Скороход Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, М., 1975.

13Е.П. Кругова О дифференцируемости выпуклых мер. Матем. заметки. 1995. Т. 57, JV86. С. 862-871.

14Е.П. Кругова О сдвигах выпуклых мер. Матем. сб. 1997. Т. 188, Ш. С. 57-66.

15М. Krée, P. Krée Continuité de la divergence dans les espaces de Sobolev relatifs à l'espace de Wiener. C. R. Acad. Sei. 1983. T. 296, Л*20. P. 833-834.

16B. Gaveau, P. Trauber L'intégral stochastique comme opérateur de divergence dans l'espace fonctionnel. J. Funct. Anal. 1982. V. 46, №2, P. 230-238.

векторных полей и исследованы некоторые ее свойства. В виде обобщенного стохастического интеграла понятие дивергенции были введено примерно тогда же A.B. Скороходом. Важной особенностью оператора дивергенции относительно гауссовской меры является его свойство локальности, которое имеет место при достаточно широких предположениях относительно векторного поля:

div^i» = 0 {1-п.в. на множестве {v = 0}.

Данное свойство изучалось в работах Д. Нуаларта и Е. Парду 17, A.M. Го-милко и A.A. Дороговцева18, A.C. Устюнеля4, где были найдены некоторые достаточные условия на векторное поле и подмножество вииеров-ского пространства, при которых указанное свойство выполняется; тем не менее в общем случае оно может нарушаться. Данный эффект оказывается тесно связан с результатом Дж. Альберти19 о приближении векторных полей градиентами гладких функций, обобщение которого на случай винеровского пространства приводится в диссертации.

Соболевские пространства на подмножествах бесконечномерного винеровского пространства изучались в работах М. Хипо20, М. Фукуши-мы21 и ряда других авторов. В статье20 было доказано, что множество функций, допускающих продолжение на все пространство, всюду плотно в соболевском пространстве над //-выпуклым подмножеством винеровского пространства. Данное утверждение позволяет распространить многие результаты, известные для гладких функций, па более широкий класс функций с соболевской регулярностью. В качестве примера можно привести одну из версий логарифмического неравенства Соболева, дока-

17D. Nu.ilart, Е. Pardoux Stochastic calculus with anticipating integrands. Probab. Theory Related Fields. 1988. V. 78, №4. P. 535-581.

18A.M. Гомилко, A.A. Дороговцев О локализации расширенного стохастического интеграла. Ма-тем. сб. 2006. Т. 197, №9. С. 19-42.

19G. Alberti A Lusin type theorem for gradients. J. Funct. Anal. 1991. V. 100, JY"1. P. 110-118.

20M. Hino Dirichlet spaces on H-convex sets in Wiener space. Bull. Sei. Math. 2011. V. 135, №6. P. 667-683.

21M. Fukushima ВV functions and distorted Ornstein-Uhlenbeck processes over the abstract Wiener space. J. Funct. Anal. 2000. V. 174, №1. P. 227-249.

занную для гладких функций в работе Д. Фейеля и A.C. Устюнеля22 и обобщенную на случай соболевских функций в работе М. Хино20.

С весьма близкой проблематикой имеет дело и упомянутая выше теория дифференцируемых мер. С одной стороны, гауссовские меры и меры, заданные в том или ином смысле гладкими плотностями относительно гауссовских мер, дают большой запас примеров дифференцируемых распределений на бесконечномерных пространствах. С другой стороны, существует множество вероятностных мер на данном бесконечномерном пространстве, дифференцируемых вдоль плотно вложенных подпространств, но при этом взаимно сингулярных со всеми гауссовски-ми мерами на этом пространстве. В качестве примера можно привести меру V на гильбертовом пространстве I2, заданную как счетное произведение мер с плотностями рп(х) = 2пр(2пх), где р — бесконечно дифференцируемая вероятностная плотность на прямой с ограниченным носителем и конечной информацией Фишера (т.е. функция \р'\2/р интегрируема). Особый интерес представляют необходимые и достаточные условия для дифференцируемое™ меры вдоль направления /г, допускающие естественные обобщения на бесконечномерный случай. Возникает вопрос о характеризации различных классов дифференцируемых мер в терминах регулярности функций t i—> fi(A + Ui). Скажем, дифференци-руемость этих функций есть дифференцируемость Фомина. Случаи лип-шицевости, непрерывности или аналитичности изучались соответственно в работах В.И. Богачева23, В.А. Романова24, С. Альбеверио и Р. Хёг-Крона25 и В.Ю. Бенткуса26. В частности, В.И. Богачевым была усгапов-

22D. Feyel, A. S. Ustiinel The notion of convexity and concavity on Wiener space. J. Funct. Anal. 2000. V. 176, №2. P. 400-428.

23В.И. Богачев О дифференцируемости мер по Скороходу. Теория вероятн. и ее примем. 1988. Т. 33, т. С. 349-354.

24В.А. Романов Непрерывные и вполне разрывные меры в линейных пространствах. Докл. АН СССР, 1976, Т. 227, №3, С. 569-570.

25S. Albeverio, R. Hoegh-Krohn Dirichlet forms and diffusion processes on rigged Hilbert spaces. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. 1977. В. 40, №1, S. 1-57.

26В.Ю. Бенткус Аналитичность гауссовских мер. Теория вероятн. и ее примен. 1982. Т. 27, №1. С. 147-154.

лена равносильность липшицевости таких функций при всех А диффе-ренцируемости меры /I по направлению к в смысле Скорохода, определяемой как дифференцируемость отображения £ > Ци^А) = ¡1(А + 1к), в слабой топологии на пространстве мер.

Цель работы. Получить аналог теоремы Альберти для приближения измеримых векторных нолей со значениями в пространстве Камерона-Мартина градиентами соболевских функций. Исследовать продолжаемость соболевских функций, заданных на открытых выпуклых множествах в пространстве с гауссовской мерой. Изучить такое свойство меры ¡1 вдоль направления к, как абсолютная непрерывность всех функций £ н-> (х(А + Ьк), где А — борелевское множество.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано, что каждое борелевское векторное поле на виперовском пространстве со значениями в пространстве Камерона-Мартина Н может быть приближено в смысле Лузина градиентом некоторой II-липшицевой функции.

3. Построен пример меры ¡л, показывающий, что абсолютная непрерывность функций £ н-> ц(А + 1к) для всех борелевских множеств А не влечет дифференцируемость меры ¡1 в смысле Скорохода.

4. Получены новые описания дифференцируемости меры ¡1 в смысле Скорохода через абсолютную непрерывность отображения £ н-> и «глобальную» абсолютную непрерывность функций £ н-> ¡¿(А + £/г).

Последние три результата дают решения проблем, долго остававшихся открытыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории меры, функциональном анализе, теории вероятностей и теории случайных процессов.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на

• семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством В.И. Богачева, H.A. Толмачева, 2009-2014 гг.,

• научно-исследовательском семинаре по стохастическому анализу, университет Билефельда (Германия), 2010 г.,

• научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики Российского университета дружбы народов по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора A.JI. Скубачевского, 2014 г.

Краткое содержание диссертации

Глава 1.

Теорема. Пусть О, — открытое множество в Мп и А (О) < оо; где А — мера Лебега на Ж", и пусть у: С1 —» Мп — борелевское отображение. Тогда для всякого е > 0 найдутся открытое множество А а О, и функция (р £ Со(Г2) со следующими свойствами:

А (А) < £\(П),

у{х) — \?(р(х) для каждого х £ О \ А,

< Спе1^р~1\\у\\р для каждого р £ [1,оо],

где константа Сп зависит только от п, а || • ||р обозначает норму в пространстве Ьр(0).

Данная теорема позволяет построить простой пример векторного поля, для которого нарушается упомянутое выше свойство локальности. Следующая конструкция была предложена Л. Амброзио: из теоремы Альберти следует, что найдется функция (р 6 С1(МП,М) такая, что векторное поле совпадает с полем (у, —х) на множестве А положительной меры; положим у(х,у) :— (х,у) — (—ду(р,дхф), тогда векторное поле у равно нулю на множестве А, однако <Иуу = 2.

Интерес к свойству локальности обусловлен тем, что в случае классического винеровского пространства (Ит.е.

\¥ = {и]-.и)е С[0,1], ъи(0) = 0, |Н| = ||ги||оо},

Н = {/г : К <Е АС[0,1], Л(0) = 0, ||Л||Я = \\Ь'\\щ0>1] < оо} ц = — мера Винера,

)

существует широкий класс негладких векторных полей, для которых дивергенция обладает свойством локальности. Обозначим через ц фильтрацию, порожденную «координатным» винеровским процессом

W}i6[0li], гДе Щ™) =

Пусть — случайный процесс, прогрессивно измеримый относительно фильтрации Для которого выполнено условие

Е / g dt < оо.

J[ 0,1]

Хорошо известно, что для векторного поля v, определяемого равенством

v{w){t) = - [ £a(w)ds, J о

дивергенция div^-u относительно меры Винера ¡iw совпадает со стохастическим интегралом Ито от процесса т.е.

div/xv= / CsdWs.

J[0,1]

Локальность div^v вытекает из возможности представления стохастического интеграла в виде предела сходящейся почти всюду относительно меры ¡jlw последовательности интегральных сумм.

Данная глава посвящена обобщению теоремы Альберти на случай векторных полей со значениями в пространстве Камерона-Мартина. Пусть X — локально выпуклое пространство, 7 — центрированная радоповская гауссовская мера на X. Напомним, что меры, заданные на борелевской сг-алгебре В(Х) пространства X, называются борелевскими. Неотрицательная борелевская мера ¡л называется радоновской, если для каждого борелевского множества В и каждого е > 0 найдется такой компакт К С В, что /л(В\К) < £' знакопеременная борелевская мера ц называется радоновской, если такова ее полная вариация Напомним также, что вероятностная борелевская мера 7 называется гауссовской, если каждый непрерывный линейный функционал I Е X* имеет нормальное распределение относительно 7. Пространство Камерона-Мартина Н такой

Обозначим через ТС°° совокупность всех функций / на X вида

Пространство Соболева \¥р,г('у) определяется как пополнение ТС°° относительно нормы

где через д{ обозначена частная производная вдоль вектора е^ из произвольного фиксированного ортонормированного базиса {е,;} в Н. Норму / в 1^(7) будем обозначать через ||/||р- Будем называть 7-измеримую функцию //-липшицевой, если она удовлетворяет следующему условию:

Функции с указанным свойством лежат в каждом Жр,1(7).

Основной результат главы заключается в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть у: X —> Н — борелевское векторное поле. Тогда для всяких е > 0 и в > 0 найдется Я-липшицева функция /, обладающая следующими свойствами:

где С — некоторая универсальная константа.

Указанная оценка является новой и в конечномерном случае. Доказательство основано на дополнительной локализации конструкции Альбер-ти, позволяющей в конечномерном случае получить оценку на градиент

\h\H = sup{l(h): leX*, ||/||l2(7) < !}•

f(x) = <p(h(x),... ЛОс)), <p e СП1Г), k eX*,ne N.

| f(x + h) — f(x)| < C\h\u для всех h € H 7-п.в.

\\Vf\\P<CEl'p-l\\y\

функции /, не зависящую от размерности, а затем с помощью подходящих аппроксимаций доказать ее в случае бесконечномер