Распределение функционалов от винеровского процесса с линейным сносом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Смирнова Вера Андреевна

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ ВИНЕРОВСКОГО ПРОЦЕССА С ЛИНЕЙНЫМ

СНОСОМ

Специальность: 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 3 ОПТ 2008

Санкт-Петербург 2008 г.

003450291

Работа выполнена на кафедре высшей математики ЗГ°2 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета.

Научный доктор физико-математических наук,

руководитель: профессор Егоров Владимир Алексеевич

Официальные доктор физико-математических наук, оппоненты: профессор Смирнов Николай Васильевич

(Санкт-Петербургский государственный университет)

кандидат физико-математических наук, доцент Фирсова Галина Викторовна (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет)

Ведущая Институт проблем

организация: машиноведения РАН (СПб)

Защита состоится « _ » _ 2008 г. в _

ч._мин. на заседании совета Д 212.232.59 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О. Средний пр., 41/43, ауд. 513.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан «__»__ 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

Ногин В. Д.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Изучение распределений функционалов от диффузионных процессов, в частности от винеровского процесса или процесса броуновского движения, является важной темой, так как эти процессы естественным образом возникают во многих областях науки, особенно в экономике, физике, а также в теории вероятностей.

Л. Башелье впервые использовал идею случайного блуждания для описания эволюции цен. Анализируя экспериментальные данные цен, он заметил, что их приращения в пределе ведут себя как винеровский процесс.

Отправной точкой в работе Кендалла (1960) было желание выявить цикличность в поведении цен. Он не смог обнаружить ни ритмов, ни трендов, ни циклов, и, более того, пришел к заключению, что ряд наблюдаемых данных выглядит так, как если бы мы извлекали случайное число и добавляли бы его к текущему значению цены.

Наиболее простой моделью с дискретными значениями цен активов и с дискретным временем торговли является модель Кокса-Росса-Рубинштейна (КРР).

В 1976 году эти авторы предложили и исследовали модель, в которой цена акции изменяется по правилу «подъем-спад» на фиксированную величину, а что именно произойдет, подъем или спад, зависит от случая. Модель КРР и по сей день является основной дискретной моделью рынка ценных бумаг.

Блэк и Шоулз исследовали непрерывную модель, являющуюся предельным случаем КРР. Они провели блестящее наблюдение, состоящее в том, что инвесторы, в действительности, могут копировать эволюцию ценной бумаги с объявленной заранее премией, называемой опционом покупателя, управляя портфелями, которые содержат только облигации и акции - безрисковые и рисковые обеспечения. Владение подобным портфелем эквивалентно владением контракта на объявленную заранее премию.

Влэк и Шоулз вывели точную формулу для цены такого контракта.

Значение этой цены есть функционал от винеровского процесса с линейным сносом, входящего в формулу для геометрического или экономического броуновского движения.

Диффузионным процессам и вычислению различных функционалов от них посвящена обширная литература, как теоретического, так и прикладного характера. Классические результаты в этой области принадлежат математикам: Н. Винеру, П. Леви, А.Н. Колмогорову, экономистам: Башелье и Самуэльсону.

Сегодня этой темой занимаются математики: И.А. Ибрагимов, Ю.А. Давыдов, В.Б. Невзоров, А.Н. Бородин. Оценке параметров диффузионных процессов было посвящено несколько докладов Я.Ю. Никитина. Более 2000 формул содержатся в книге А.Н. Бородина и II. Салминена «Справочник по броуновскому движению».

Этой теме посвящена широко известная монография А.Н. Ширяева «Основы стохастической финансовой математики». В 2006 году вышла книга В.Н. Иголкина и A.B. Ковригина «Финансовые потоки и их флуктуации».

Задачи, которым посвящена диссертация, относятся к актуальной и развивающейся области теории случайных процессов и финансовой математики.

Цель работы заключалась в разработке математического аппарата, позволяющего находить распределение функционалов от винеровского процесса с линейным сносом для наиболее общих моментов остановки, а также применение рассматриваемой теории к экономическим задачам.

Структура диссертации. Первая глава состоит из двух параграфов. В §1 излагаются общие методы вычисления функционалов от случайных процессов. В §2 изложены теоремы, позволяющие находить распределения функционалов от винеровского процесса с линейным сносом для момента первого выхода на границу, обратного к локальному времени, моменту, обратному ко времени пребывания, а также комбинации из максимумов и минимумов этих моментов. Также приведены примеры вычисления конкретных распределений.

Вторая глава посвящена неубывающим перестановкам и временам пребывания винеровского процесса с линейным сносом.

В §1 приведены общие свойства оператора неубывающей перестановки, а также связь между неубывающими перестановками и временами пребывания.

Во втором параграфе найдено преобразование Лапласа двумерного распределения времен пребывания винеровского процесса. Ответ получен в виде рядов, коэффициенты которых вычисляются по рекуррентным формулам.

Данный результат обобщен для винеровского процесса с линейным сносом.

В §3 получено следствие из §2 - найдено математическое ожидание совместного распределения времен пребывания винеровского процесса выше уровня и и уровня г.

В §4 найдено распределение неубывающей перестановки винеровского процесса с линейным сносом и получены формулы для математического ожидания и дисперсии.

Глава 3 посвящена приложениям рассматриваемой теории к экономическим задачам. Показано, как из общих доказанных автором теорем получаются, как частные случаи, ранее известные результаты, используемые для нахождения справедливой цены американского опциона и оптимального момента его продажи.

Рассматриваются «русские опционы», представляющие собой частный случай опционов с последействием. Получен результат относительно распределения оптимального момента продажи такого опциона.

Также найдена вероятность разорения страховой компании, если страховой капитал представляет собой сумму винеровского процесса с линейным сносом и пуассоновского процесса.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются методы теории дифференциальных уравнений, методы минимизации функций и теории управления, а также методы стохастического и математического анализа и теории вероятностей.

Научная новизна. Все научные результаты диссертации являются новыми. В работе впервые разработаны общие методы вычисления распределений функционалов от винеровского процесса с линейным сносом для наиболее общего момента остановки, а также комбинации этих моментов, включающие операции максимума и минимума. При этом были обобщены теоремы, доказанные для винеровского процесса. Так как винеровский процесс с линейным сносом существенно отличается по своим свойствам от винеровского процесса, в частности, он не является возвратным, доказательство этих теорем потребовало разработки новых подходов. Кроме того был предложен метод, позволяющий сводить вычисление распределений функционалов для моментов остановки, содержащих операцию максимума к моментам, содержащим только минимумы, что позволило значительно проще находить явные формулы для распределений. Впервые было изучено двумерное распределение времен пребывания винеровского процесса, что является технически очень сложной задачей, и потребовало оригинального решения с применением методов математического анализа, в частности, теории аналитических функций.

Найдено распределение неубывающей перестановки винеровского процесса с линейным сносом, получены формулы для математического ожидания и дисперсии этого процесса.

Найдено совместное распределение времени первого достижения винеровским процессом с линейным сносом определенного уровня и его значения в конце промежутка. С помощью этого распределения можно изучать характеристики оптимального момента продажи «русского опциона», являющегося частным случаем опциона с последействием.

Вычислена вероятность разорения страховой компании, если ее капитал описывается как сумма винеровского процесса с линейным сносом и пуассоновского процессов.

Практическая и теоретическая ценность, В работе изложены общие методы вычисления распределений функционалов

от винеровского процесса с линейным сносом. Они могут быть использованы специалистами по случайным процессам, финансовыми аналитиками, а также в учебном процессе.

Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах на факультете ПМ-ПУ СПбГУ. Также они докладывались в ПОМИ РАН, на семинарах кафедры высшей математики в ТЭТУ и на 34-й, 37-й и 39-й международных конференциях факультета ПМ-ПУ «Процессы управления и устойчивость» в 2004, 2006 и 2008 годах.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6].

Организация текста и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 7 параграфов, изложена на 98 страницах. Список литературы включает 47 наименований.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается тем, что все основные результаты работы являются научными фактами, получившими в работе строгое математическое доказательство.

Основное содержание работы.

Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертации. Во второй части изложены основные результаты диссертации.

В первой главе в первом параграфе изложены общие методы вычисления распределений функционалов от случайных процессов. В §2 доказаны основные теоремы о распределении интегральных функционалов от винеровского процесса с линейным сносом для момента остановки, обратного ко времени пребывания я моментов, образованных из него с помощью операций максимума и минимума.

Пусть ЦГс{з) — ев 4- - винеровский процесс с линейным сносом, где ]¥(э) - процесс броуновского движения. Определим момент, обратный ко времени пребывания.

Для t ^ 0 положим

v{ß, t) = min Is ■ I g(w{v))dv + ßkl(s, zk) > t > ,

fc=l

где .д - неотрицательная кусочно-непрерывная функция, ^ О, А; = 1,2,... д.

Введем специальный частный случай этого момента:

ü(0, i) — min ls-.f g(w(v))dv ^ t

Строго говоря, этот момент будет обратным ко времени пребывания только для функции д, являющейся индикатором множества. В отличие от винеровского процесса, процесс Wc(s) невозвра-

s

тен и момент v(0,t) - minjs : f g(wc(v))dv ^ i} может быть как

о

конечным, так и бесконечным. Введем обозначения:

• т - случайная величина, Р(т > t) = e~Xt

s

• lc(s,y) — lim j / ltyty+e)(wc(v))dv - локальное время про-

£—^OO q

цесса Wc(s).

• Пусть /(ж) - неотрицательная кусочно-непрерывная функция

До(^) = J f(wc(v))dv - интегральный функционал от Wc(s). о

s

Л/0) = ff(wc(v))dv 4- Е?=о.Ш«>«г), j% > О, сц е

о

Я , р < сю - аддитивный функционал, включающий линейную комбинацию локальных времен.

В случае г>(0, <) < оо результаты для винеровского процесса со сносом могут быть получены из соответствующих результатов для

винеровского процесса без сноса с помощью преобразования Гир-санова или по аналогии с доказанными для винеровского процесса теоремами.

В случае, когда v(0, t) — оо применить преобразование Гирса-нова невозможно. Результаты имеют смысл лишь при естественных условиях,, накладываемых на функции / и д и доказательство существенно отличается от доказательства для случая г>(0, t) < оо.

Доказательство теорем о вычислении распределений функционалов в случае, когда v(0, t) — оо опирается на следующий результат.

Теорема 1.2.1. Пусть /(ж), х £ (—оо,оо) - неотрицательная кусочно-непрерывная функция. Наложим на нее условия: при некоторых ki и выполнено равенство /(ж) = 0, когда с < 0 и х € (—оо, fei) или когда с > 0 и х £ (к%, оо).

Тогда для с < 0 функция

U-(x) = е^Е-при х £ (—оо, f>], а для с > 0 функция

ехр(—Aj(oo)), sup wc(s) < b

QCs<oo

U+(x) = ecxEx

exp(—Aj(oo)), а < inf wc(s)

0 ^s<oo

при x £ [а, оо), является единственным непрерывным решением задачи:

(1) lu"(x) + f(x))U(x) = О, х£ (-оо, oo)/{ai... an+1}

U'(ak+о) - U'(ak-о) = 2jkU(ak)] k = l,...p с соответствующими граничными условиями:

(2) lim e~cxU-(x) = 1; t/_(6 - 0) = 0;

X—>— оо

(3) U+{a + 0) = 0; lim е-СЯ!Е7+(а?) = 1.

Замечание. Если Ь = оо, то условие справа в (2) должно быть заменено условием, что функция е~сх17^(х) ограничена при х —► оо.

Если а — — ос, то условие слева в (3) должно быть заменено условием, что функция е~схи+(х) ограничена при х —> —оо.

Следующий результат является основным в решении задачи о вычислении распределений функционалов от броуновского движения со сносом в случае, когда ?;(0, = с».

Теорема 1.2.2. Пусть /(ж), х £ (—оо, со), - неотрицательная кусочно-непрерывная функция. Пусть при некоторых Ь,\ и /¿2 выполняются равенства /(ж) = 0, д(х) = 0, когда с < 0 и ж € (—оо, кх) или когда с > 0, ж € (11а, оо). Обозначим для краткости у — г>(0, т). Тогда для с < 0 функция

U-(x) = есхЕх и для с > 0 функция Е/+(ж) = есхЕх

ехр(—-Ao(v));u = оо, sup wc(s) < b

exp(—Aq(v));v — oo, inf wc(s) > а

0^s<oo

является единственным непрерывным решением задачи:

\u"(x)-(\-g(x) + £ + f(x))U(x)=0

со следующими граничными условиями:

lim e~~cxU-(x) = 1; С7_(Ь-) = 0;

—ОО

Hm e'^U+ix) = 1; С/+(а+) - 0.

х—*оо

Из моментов, обратных ко времени пребывания с помощью операций минимума (Л) и максимума (V) можно образовать целый набор моментов остановки. Например,

(4) vAn(ß, t) = vx(ß, tx) Л v2(ß, h) • • • Л tn+i)

vVn(ß, i) = vi(/3,ti) V fe)... V vn+1(ß, Wi).

Много различных моментов возникает при комбинации операций минимума и максимума. Так при использовании двух операций имеем следующий набор моментов:

ьАА((3, ¿а, = ^(/3, А и2(/3, <2) А изОб, £3) ^Л(/3, ¿1, ¿2, ¿з) = и) Л {г;2(/3, ¿г) V г?з(/3, ¿з)} ^(А <з) - (Ы/?> ¿г) А ¿2)} V г^С/Э, ¿3) ^(/3, <1, ¿2, ¿з) = VI(/3, V г/2(,3, *2) V г/3(/3, ¿з)-

Понятно, как образуются моменты для более чем двух операций. Кроме того, из вида результатов для указанных моментов ясно, как формируются результаты для более сложных моментов.

В работе предложен; подход, позволяющий сводить задачу о вычислении распределений функционалов для моментов, содержащих операцию максимума, к вычислению распределений для моментов, включающих только минимумы. Эта задача является технически существенно менее сложной:. Например, пусть , -два момента остановки, V г/2 = тах(г/1, г/г). Тогда

V г*))) = Ех(ехр(~Муг))) + Е?(ехр(^Ы))-- Ех(ехр(-А3(ь1 Л г/2))).

Для математических ожиданий от функционалов, остановленных в момент, максимальный из данных моментов остановки, справедлив аналог известной формулы для вероятностей:

п п

р(Е А<)=Е - Е

г=1 г=1

+ Р(А^Ак) + ... + (-1)пР(А!А2 • - ■ Ап).

г<3<к

Определим момент остановки г/Лп(0,т) = г/1 (0,гх) Л ... ... Л г/„+1(0, гп+1). Для /3 = 0 обозначим г/Л"(0,т) = г/.

Теорема 1.2.3 Пусть /(ж), дь(х) - неотрицательные кусочно-непрерывные функции и такие, что при некоторых /г1, Л-2, /(ж) = 0; д[(х) = 0 когда с < 0 и х £ (-со, 7гх), или когда с > 0 и ж е (Л-2, оо). Тогда для с < 0 функция

UÜn{x) = а для с > 0 функция

ехр(—-Ao(v));t; = оо, sup wc(s) < b

0 <S<1>

ехр(—Ло(и)); г; = оо, inf wc(s) > а

0^.s<v

является единственным непрерывным решением задачи 1 И+1 г2

-U"(x) - (J; Аim(x) + f(x) + -)Щх) = 0, ж € (а, Ь)

г=1

lim e~cxU-(x) = 1;

X—>—оо

Z7_(b - 0) = 0; lim e"cxU+(x) = 1; £7+(а + 0) = 0.

x-^oo

Приведем примеры вычисления распределений. Пример 1. Рассмотрим случайный момент

г;(0.г) = min js : / l[r)00)(tuc(v))cfo ^ r^ Вычислим px(v{0, т) = оо) при с < 0.

Согласно замечанию к теореме 1.2.2 данная вероятность есть единственное ограниченное решение задачи

\S"{x) + cS'(x) - А1[Г;00)(ж)5(ж) = 0

S(—oo) = 1.

Отсюда следует, что при с < 0 р(у(0.т) = оо) =

1 4- с+Ус2+2Л „2с(г—ж) Ч- <- Т-

1 + c-V?+2Äe ' ^

2с (г-а;)(с+л/с2+2Л) г > „

Пример 2 Рассмотрим момент, обратный локальному времени p(t,r) = min{s : lc(s,r) ^ i}. Вычислим px(p(t,r) = оо) при

с < 0. Из замечания и следствия из теоремы 1.2.2 получим, что вероятность px{p(t,r) — оо) при с < 0 есть единственное непрерывное ограниченное решение задачи:

Обращая преобразование Лапласа от этого выражения, деленного на А, получим, что при с < 0

Вторая глава посвящена изучению неубывающих перестановок и времен пребывания винеровского процесса с линейным сносом. В первом параграфе дается определение оператора неубывающей перестановки и формулируются его основные свойства.

Пусть mes(-) - мера Лебега; / - измеримая функция, и определим

А (ж) = mes(r £ [0; 1]; /(г) < х) = mes(f(r) < х)

g(t) = inf(x, А(ж) ^ t), t> 0, д{0) = min f(t), t € [0; 1].

Функция g называется неубывающей перестановкой функции /, оператор Т: f д называется оператором неубывающей перестановки.

В §2 выведен алгоритм получения преобразования Лапласа двумерного распределения времен пребывания винеровского процесса. Здесь 5(х) — mes(s G [0; 1], W(s) ^ х) время пребывания винеровского процесса выше уровня х. Ответ получен в виде рядов, коэффициенты которых находятся по рекуррентным формулам. В §3 получена формула для совместного момента пребывания винеровского процесса выше двух фиксированных уровней. В §4

\S"{x) + cS'ix) = 0 S'(r+) - S'(r~) = 2АS(r) S(-oc) = 1.

Следовательно,

найдено распределение неубывающей перестановки винеровского процесса с линейным сносом. Вычислены математическое ожидание и дисперсия этого процесса.

Теорема 2.3.1. Имеет место соотношение

где

ж

Erf(x) — J ехр (-г;2) dv;

о

оо

Erfc(x)—~=: J ехр (-v2) dv.

X

Третья глава посвящена приложениям рассматриваемой теории к экономическим задачам. Сначала показано, как из общих доказанных автором результатов молено получить распределение функционалов, имеющих экономический смысл. Далее изучены опционы с последействием, для которых платежная функция имеет вид /п = /?"( max Sr — aSn).

Найденное распределение дает возможность глубже изучить свойства оптимального срока продажи опциона, то есть оптимального момента остановки.

Математическая постановка задачи звучит так: найти распределение времени достижения винеровским процессом с линейным сносом уровня В при условии, что в конце интервала изменения времени он находится на уровне а.

Пусть тв - min(i е [0; 1], w(t) ^ В), В > 0.

Тогда

с2 , В -,B2+2aBt-ta2

Р(тв е dt, адс(1) € da) = е-тda dl

Также в работе вычислено распределение момента первого выхода на заданный уровень случайного процесса, представляющего собой сумму броуновского процесса с линейным сносом и пуассо-новского процесса.. Эти вероятности играют важную роль в теории разорения.

Если Нь = min(s : z(.s) > b) - момент первого превышения уровня 6, то тогда момент Я& можно трактовать как момент разорения, если расходы z(s) превысили начальный капитал Ъ.

Положим z{t) = <yw{t) + et + N(t), где 7V(i) - пуассоновский процесс с параметром Aj. Тогда получен следующий результат:

Рх( sup z(s) < Ь) = 1 - е-а{-ь-х\

0<s<r

где a > 0 - единственный положительный корень уравнения

2А>

2А + 2Ai — а2 а2 -2ас'

Работы автора по теме диссертации.

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК.

1. Либер A.B., Смирнова В.А. О распределении функционалов от винеровского процесса с линейным сносом // Записки научных семинаров ПОМИ. - 1997. - Т.244. - С. 205-217.

Публикации в других изданиях.

2. Смирнова В.А. О среднем времени достижения труднодоступной границы // Депонирована в ВИНИТИ. - 1998. -С. 1-12.

3. Смирнова В.А., Жукова Е.Е. О монотонных перестановках случайных процессов // Известия СПбГЭТУ («ЛЭТИ»). Серия «Информатика, управление и компьютерные технологии» - 2002. - Вьш.З. — С. 141-147.

4. Смирнова В.А. Математическое ожидание и дисперсия неубывающей перестановки винеровского процесса с .линейным сносом // Пр. и Упр. и Уст. Труды 34-й научной конференции студентов и аспирантов ф-та ПМ-ПУ СПбГУ. -2004. - С. 674-677.

5. Смирнова В.А. Применение распределения функционалов в финансовой математике /7 Пр. и Упр.и Уст. Труды 37-й международной научной конференции студентов и аспирантов ф-та ПМ-ПУ СПбГУ - 2006. - С. 600-603.

6. Смирнова В.А. Распределение максимума суммы винеровского и пуассоновского процессов // Пр. и Упр.и Уст. Труды 39-й международной научной конференции аспирантов и студентов ф-та ПМ-ПУ СПБГУ. - 2008. - С. 495-497.

Подписано к печати 03.10.08. Формат 60x84 1/и. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. п. 1,0.

_Тираж 100 экз. Заказ 4298 _ _

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург. Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-40-43, 428-69-19

Введение.

Глава

Распределение функционалов от броуновского движения со сносом.

1.1 Общие методы вычисления функционалов от случайных процессов.

1.2. Распределение функционалов от броуновского движения с линейным сносом для момента, обратного ко времени пребывания.

Глава

Неубывающие перестановки и времена пребывания винеровского процесса с линейным сносом.

2.1. Оператор неубывающей перестановки и его свойства. Связь неубывающих перестановок и времен пребывания.

2.2. Преобразование Лапласа двумерного распределения времен пребывания винеровского процесса.

2.3. Следствие. Формулы для моментов.

2.4. Распределение неубывающей перестановки винеровского процесса со сносом. Формулы для математического ожидания и дисперсии.

Глава 3 . Приложения.

Данная работа посвящена изучению распределений функционалов от случайных процессов и их приложений. Рассматривается винеровский процесс с линейным сносом а также сумма винеровского и пуассоновского процессов. Дискретным аналогом винеровского процесса может служить следующая модель-случайного блуждания. Частица меняет своё положение лишь в дискретные моменты времени, кратные At. Изменение положения происходит таким образом, что, находясь в точке х, частица независимо от предшествующего поведения переходит с равными вероятностями в одну из соседних точек х + Ах или х — Ах, причём смещение Ах одно и то же для всех точек х (речь идет лишь об одной координате движущейся частицы ,иначе , об одномерном случайном блуждании ). В пределе ,когда определенном образом At —> 0 , Ajc -»0, получается непрерывное случайное блуждание, характерное для физического процесса броуновского движения. рис. 1. Траектория винеровского процесса. Целью настоящей работы было разработать методы вычисления функционалов от винеровского процесса с линейным сносом wc(t) = w(t) + ct. рис. 2. Траектория винеровского процесса с линейным сносом.

Изучением таких функционалов, как yQ (t) w(t) [, M{t) = max m(t) = minw(x) yx (0 = M(t) - w(t) и у 2 (0 = w(t) - m(t), а также функционала, обратного к m(t), занимались Леви([22]) и Башелье. В частности, они доказали, что при фиксированном «Ъ> случайные величины y0(t), M(t), -m(t), yj(t) ny2(t) имеют одну и ту же функцию распределения с2 л ryx JL

F(jc)= — je 2td%

V Ш о

Совместные распределения для maxw(t)H w(t), а также для

О </£Г max w(t), min w(t) и w(t)

О <t<T 0<t<T можно найти, например, у И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [14].

Локальным временем процесса броуновского движения w(s) в точке х до момента t называется величина

I t l(t,x)=lim- j\x,x+s) w(s)ds

8 о

Этот предел существует с вероятностью 1 (см.[8]). Понятие локального времени процесса броуновского движения было введено Леви в работе [35]. Полученные им результаты о свойствах броуновского локального времени ([22] - [35]) положили начало теории локального времени случайных процессов.

В статье А. Н. Бородина [8] дан обзор современного состояния теории броуновского локального времени. Особое внимание уделено методам вычисления распределений различных функционалов от броуновского локального времени, свойствам его траекторий, предельным теоремам о сходимости к броуновскому локальному времени. А. Н. Бородин [9] исследовал функционалы от броуновского локального времени, функционалы типа максимума, аддитивные функционалы типа t т

АО- f/«j))ds+

О 1=-т и функционалы вида оо

B(t)= lf(yj(t,y))dy

Процесс броуновского движения можно рассматривать как до неслучайного момента времени, так и до различных случайных моментов остановки. При этом функционалы от броуновского движения будут функционалами от процесса, остановленного в различные моменты времени. При этом наиболее важным является экспоненциальный момент остановки, не зависящий от броуновского движения. Часто в качестве моментов остановки в приложениях рассматриваются моменты выхода процесса на границу интервала. Ещё один момент остановки, для которого хорошо разработаны методы вычисления различных функционалов, это момент, обратный к процессу броуновскому локальному времени. ^

В [5] рассмотрен наиболее общий момент остановки — обратный ко времени пребывания v(J3,t) = minO : ]g(w(v))dv+±pkl{s,zk)> t),

О к=1 где g — неотрицательная кусочно-непрерывная функция, Рк > 0, k = l,2,.q. Все рассматриваемые ранее моменты остановки получаются как частные случаи этого момента.

В [7] приведены теоремы, позволяющие найти распределение интегральных функционалов от винеровского процесса с линейным сносом wc (s) = w(s') + с - s до момента "т", имеющего показательное распределение, также найдено распределение этого процесса до неслучайного момента "t".

В [11] рассматривается задача о вычислении распределений неоднородных функционалов от броуновского процесса специального вида. Пусть w(s) - процесс броуновского движения. t

Функционал J/(s, w(s))ds является неоднородным интегральным о функционалом от броуновского движения w.

Классический метод вычисления распределений таких функционалов базируется на решении дифференциальных уравнений в частных производных, В явном виде, как правило, такая задача не решается.

Для некоторых частных случаев функции f(s,x) решение задачи о распределении таких функционалов может быть основано на решении обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, что позволяет получать явные решения.

Это будет справедливо, например, для специального класса таких функционалов, когда f(s,x) является ступенчатой функцией переменной s с конечным числом интервалов постоянства.

В работе представлены результаты, позволяющие вычислять распределения специальных неоднородных- функционалов, характеризуемых двумя интервалами постоянства со случайными концами.

Рассмотрены примеры применения полученных результатов для вычисления конкретных распределений. В [12] доказаны общие теоремы о распределении функционалов от процесса, представляющего собой сумму броуновского движения с линейным сносом и сложного пуассоновского процесса.

Пусть w(t), t>0 - процесс броуновского движения, wc (t) = с • t + ow(t) -броуновское движение с линейным сносом.

N0)

Положим z(t) = wc(t)+ Y,yk > гДе N(t), t>0 - пуассоновский процесс с к=1 параметром /Lj, а ук - независимые, одинаково распределённые величины.

Основной результат работы позволяет вычислять совместное распределение величин л lf{z(s))ds, inf z(s), sup^s), где т - не зависящий от процесса z(s);s>0} случайный момент остановки с показательным распределением с параметром Л > 0, т.е. р(т = •

В справочнике [3] собрано большое количество формул, относящихся к броуновскому движению. Справочник состоит из двух частей. В первой части представлена общая теория диффузий и броуновского движения. Вторую часть составляют таблицы, содержащие более 2350 явных формул распределений функционалов и их преобразований Лапласа для броуновского движения и смежных процессов.

В диссертации изучаются также неубывающие перестановки. В области предельных теорем оператор неубывающей перестановки впервые был применён В. А. Егоровым, который в работе [34], используя результаты В. Б. Невзорова [25], получил одномерное распределение неубывающей перестановки стандартного винеровского процесса и времени, проведённого этим процессом ниже уровня "х". Так, плотность распределения абсолютно непрерывной компоненты p(t,x) одномерного распределения случайного процесса v(x) = mes{s е [0,1], w(s) < х) определяется по формулам л2

1 — p(t,x) = —. е 2' 0<х<1,х>0 p(t,x) =—. е 2(1-0 0 < х < 1,х < 0

При х>0, t=l; х<0, t=0 распределение имеет атом, точнее p(v(x) = 1) = р(у(-х) = 0) = 2Ф(х) -1 (х > 0)

Е. Е. Жуковой [17] найдено распределение монотонной перестановки устойчивых процессов.

А. Н. Ширяев в своей книге «Основы стохастической финансовой математики» [32] дал обзор применений распределений функционалов от случайных процессов к экономическим задачам.

Идея использования «случайного блуждания» для описания эволюции цен была впервые высказана Л. Башелье в его диссертации 1900 года "Theorie de la speculation".

После работы М. Кендалла резко увеличился интерес к более углублённому изучению динамики финансовых показателей и построению различных вероятностных моделей, объясняющих наблюдаемые эффекты.

Работа Г.Робертса, следующая идеям Г.Ворнинса и М. Кендалла, была адресована практикам финансового бизнеса и содержала эвристические аргументы в пользу случайного блуждания.

Работа астрофизика М. Осборна, названная "Brounian Motion in the Stock Market", возникла, по его же словам, как желание апробировать его физическую и статистическую технику на реальных данных, каковыми являются цены акций т>

Не будучи знакомым с работами JI. Башелье, Г.Ворнинса и М. Кендалла, М. Осборн пришёл, по существу к тем же выводам, отмечая правда, что не сами цены (с которыми оперировал Башелье), а их логарифмы подчиняются броуновскому движению (со сносом)

Эта же мысль получила затем своё развитие в работе Г. Самуэльсона, введшего в финансовую теорию и практику геометрическое (или, как он говорил — экономическое) броуновское движение Л

OWt+KU--)t

St=S0e 2 , t > 0, где w=w(t) - стандартное броуновское движение.

Рассмотрим (B,S) - рынок, состоящий из двух активов:В = (Вп) банковский счёт, S = (Sn ) - акции.

ABn=rBnXi ASn=/?A-iрп - последовательность независимых случайных величин, принимающих два значения а и b; г - процентная ставка, p+q=l. 0<р<1. -l<a<r<b, P(pn=b)=p; P(Pn=a)=q;

Эта модель для цен акций ^азывается биномиальной моделью Кокса-Росса-Рубинштейна и очень распространена в финансовой математике (даёт возможность полного расчёта многих финансовых характеристик — цен опционов, хеджирирующих стратегий и пр.) - дискретный аналог геометрического броуновского движения.

В соответствии с принципом инвариантности, известном из предельных теорем, винеровский процесс может возникать в результате предельных переходов в самых разнообразных схемах случайных блужданий.

Первая попытка математического описания эволюции стоимости S=(St)t^0 акций была предпринята JI. Башелье в его диссертации "Theorie de la speculation" (1900г.), где St рассматривается как случайный процесс.

Анализируя экспериментальные данные цен t=0, А, 2А ., он замечает, что — имеют (в статистическом смысле) нулевые средние и флуктуации порядка л/А.

Таким свойством обладает, например, случайное блуждание S^, t=0, А,

2А . , = SQ + X > гДе независимые одинаково распределённые д

Г- \ принимают два значения+,—<Тл/А с вероятностью 0.5.

Предельный переход при А -> 0 приводит к случайному процессу St = S0 + aw(, t > 0, wt - винеровский процесс. Поясним некоторые экономические термины .

Опцион-колл (опцион покупателя) - контракт, который обязывает продавца продать товар по фиксированной цене К в определенный момент времени Т, а покупателю дает право купить товар.

Опцион-пут (опцион продавца) - обратный тип по отношению к опционам купли. Продавец контракта обязуется купить товар по цене К в срок обозначенный в контракте.

Аналогично опционам купли, если требование к исполнению подобного контракта может быть выставлено до срока реализации включительно), опцион называется американского типа, а если ровно в срок, то европейского типа. .

Опционы относятся к сделкам с объявленной премией. Покупатель выплачивает владельцу опциона премию, размер которой объявлен заранее и которая выплачивается сразу. Для покупателя это просто цена опциона.

Платежная функция (функция выплаты) - доход покупателя опциона, то есть разница между рыночной ценой актива в момент Т и ценой К при условии превосходства первой цены над второй и ноль в противном случае fт =(S т -К)+

Рациональная цена опциона Ст - минимальная из таких цен, что агент имеет возможность расплатиться при любом возможном изменении цен акций, то есть это математическое ожидание, взятое относительно такой меры, что каждое приращение цены акции в будущем имеет нулевое среднее при всяком фиксированном прошлом.

Отправляясь от броуновского движения, JI. Башелье дал формулу для математического ожидания Ст = EfT с платёжной функцией fT = (ST - К)+ ,то есть рациональной стоимости опциона в момент исполнения Т по цене исполнения К

Найденная Башелье формула

С, = (5, - К)+ J

1-2 х где ф(х) - .— е— , Ф(х)= J^(y)dy явилась предшественницей знаменитой формулы Блэка и Шоулса для рациональной стоимости европейского опциона колл, когда Дописывается геометрическим или экономическим броуновским движением ow(t)+(n—)/

St=S0e 2 . В [39] найдена цена опциона для платёжной функции fT= (ST-K)+J\ * где S*(T) = maxS(0; 0<К<Ь,гдеК,Ь (/ 0<t<T данные величины, S(t) — геометрическое броуновское движение. При Z -> да получается классическая формула Блэка и Шоулса.

Такжа вычислена цена для платёжной функции более общего вида, использующая распределение функционалов от случайного процесса, остановленного в минимальный из моментов и лть,где0<u<t<T, tl= min{?>0;S(t) - L}

В [39],глава 25 найдена справедливая цена американского опциона и оптимальный момент его продажи.

Если эволюция цены американского опциона описывается уравнением dS=rSdt+aSdw, L е [О,К] , то его справедливая цена вычисляется следующим образом. Предположим, что начальная цена меньше L . Определим tl = min{? > 0; S(t) = L} fK -x, если х < L vL (*) = Ее-"*- (К - S(tl )У =

ЦК - L)Ee L, х > L

Для вычисления оптимальной цены нужно вычислить Vl(x) и максимизировать по L. Тогда мы получим v(x) =

K-x) 0 < x < L

2 г

К-1Уф~°2 x>L* L

2 rK где L = cr2+2г

В книге В. Н. Иголкина и А. Б. Ковригина «Финансовые потоки и их флуктуации» [19] рассмотрено стохастическое дифференциальное уравнение вида dS = S(adt + bdw + cdN), где w(t) - винеровский процесс, a N(t) - пуассоновский процесс с параметром единица. В этой работе найдена оптимальная цена европейского опциона, если его стоимость описывается данным уравнением. А. Н. Ширяев рассматривал случайный процесс z(s)=aw(s)+cs+N(s) для описания динамики страховой компании.

Рассмотрим содержание данной работы.

В данной работе был разработан математический аппарат, позволяющий находить распределения интегральных функционалов и функционалов типа супремума от винеровского процесса с линейным сносом и производных от него процессов. Особое внимание было уделено изучению распределений функционалов для момента, обратного ко времени пребывания.С помощью предложенного подхода можно находить явные формулы для распределений, применимые, в частности ,к финансовой математике.Рассмотрены примеры нахождения конкретных распределений.Полученные результаты могут помочь при разработке стратегии биржевой игры, а также нахождении справедливой цены опциона и оптимального момента его продажи.Решено несколько конкретных экономических задач ,в частности найдена вероятность разорения страховой компании, если ее расходы описываются с помощью суммы винеровского и пуассоновского процессов.Также найдено распределение неубывающей перестановки винеровского процесса с линейным сносом и получены формулы для математического ожидания и дисперсии этого процесса.Результаты диссертации могут быть использованы математиками теоретиками,прикладными математиками, финансовыми аналитиками ,а также в учебном процессе.

1.Барон М.И. О моменте первого достижения процессов ожидания// Теория вероятностей и ее применения, 41, в.2 (1996), с.396—402.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т. 1, М. Наука, 1969, 343 с.

3. Бородин А. Н., Салминен П. Справочник по броуновскому движению. СПб. 2000. 640 с.

4. Бородин А. Н., Ибрагимов И. А. Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий. Наука. СПб, 1994 с.28-38.

5. Бородин А.Н. О распределении функционалов от броуновского движения, остановленного в момент,обратный ко времени пребывания // Зап. Научн. сем. ГОМИ 228(1996), с.39—56.

6. Бородин А. Н. Распределение функционалов от броуновского локального времени // Т.В. и применение 34, N 3 (1989)с. 433—450.

7. Бородин А. Н. Распределение функционалов от винеровского процесса с линейным сносом // Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей, вып. 3, 1993 с.224-234

8. Бородин А. Н. Броуновское локальное время // Успехи математических наук, 44, №2(1989).

9. Бородин А. Н. Распределение функционалов от броуновского локального времени // Теория вероятностей и её приложения, 34,№4 (1989).

10. Бородин А. Н. О распределении функционалов от броуновского движения, остановленного в момент, обратный к локальному времени // Зап. Научн. Сем. ПОМИ 228 (1996).

11. Бородин А. Н. Распределения специальных неоднородных функционалов // Зап. Научн. Сем. ПОМИ, 320 (2004) с.5-29

12. Бородин А. Н. Распределение функционалов от некоторых процессов с независимыми приращениями // Вестник СПГУ, серия №4, (2005).

13. Вагурина И. В. Распределение функционалов от броуновского движения, остановленного в различные случайные моменты. Канд. дисс. .2006

14. Гихман И. И. Скороход А В. Введение в теорию случайных процессов. М., Наука, 1965г.

15. Егоров В. А. О распределении времени пребывания // Зап.Научн.Сем. ПОМИ, 177,(1989).

16. Жукова Е. Е. Монотонные перестановки случайных процессов // Записки научных семинаров ЛОМИ 216 (1994), с.60-75.

17. Жукова Е.Е. Монотонные и выпуклые перестановки функций и случайных процессов. Канд. дисс. 1994г.

18. Иголкин В.Н., Ковригин А. Б. Финансовые потоки и их флуктуации. Из-во СПГУ,2006,120с.

19. Лабковский В.А. Об одном свойстве процесса ожидания // Теория вероятностей и ее применение, 18 в.1 (1973), с.203—206.

20. Лабковский В.А. Письмо в редакцию//Теория вероятностей и ее применение 18 ,в.З (1978),с. 698—700.

21. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М., Наука, 1972

22. Либер А. В, Смирнова В. А. О распределении функционалов от броуновского движения с линейным сносом // З.Н.С. ПОМИ, том 244,1997 с. 205-217

23. Р. Ф. Липцер, А. Н. Ширяев. Статистика случайных процессов. М, Наука ,1970г.

24. Невзоров В. Б. Распределение упорядоченных случайных величин и их сумм. Докторская диссертация, Л. 1987 г.

25. Розанов Ю. А. Случайные процессы. Из-во «Наука» Москва, 1971г.

26. Смирнова В.А. О среднем времени достижения труднодоступной границы// Деп. ВИНИТИ ,1995 ,с. 1-12

27. Смирнова В. А. Применение распределений функционалов к финансовой математике//Труды 37 международной научной конференции аспирантов и студентов ПМ-ПУ, 2006 с.600-604

28. Смирнова В. А. Распределение максимума суммы винеровского и пуассоновского процессов // Труды 39 международной научной конференции аспирантов и студентов ПМ-ПУ,2008 с.495-499

29. Смирнова В. А., Жукова Е. // О монотонных перестановках случайных процессов. «Известия ЛЭТИ» 2002с. 141-147

30. Смирнова В.А. Математическое ожидание и дисперсия неубывающей перестановки винеровского процесса с линейным сносом // Труды 34 научной конференции аспирантов и студентов ПМ-ПУ, 2004 г.

31. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики, том 1-2, 1998г., из-во «Фазис» Москва.

32. Boylan Е. S. Local time for a class of Markoff proctsses. Illinois J. Mfth. 8 no . 1 (1994), 19-39.

33. Egorov V.A. Limit Thorems for order statistics and the operator of nondecreasing rearrangement. Preprint issue 14, Universiti of Lund, Sweden, 1993. p. 1-20.

34. Levy P. Sur certins processus stochastiquesnomogenes. Compositio Matematica 7 (1939). 283-339.

35. Revuz D.Yor M. Continuous Martingales and Brounian Motion.Springer Verlag, Berlin Heid elberg and New Jork, 1991.

36. Rogers L. Williams D. "Diffusions, Markov Processes fnd Martingales" Willey and Sons, New Jork, 1987

37. Stein E. M. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, 1971

38. Steven Shreve: Stochastic Calculus and Finance. Carnegie Mellon University 1997.

39. Shepp L. A., On integral of absolute of the pinned Wiener process., Ann. Probab. 10 no 1 (1982), 243-249.

40. Wendel J.G. Order statistics of partial sums . University of Michigan (1960)p. 1034-1045.