Последовательное различение гипотез для броуновского движения с разладкой и фрактального броуновского движения

Муравлёв, Алексей Анатольевич

Последовательное различение гипотез для броуновского движения с разладкой и фрактального броуновского движения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Муравлёв, Алексей Анатольевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Последовательное различение гипотез для броуновского движения с разладкой и фрактального броуновского движения»

Автореферат диссертации на тему "Последовательное различение гипотез для броуновского движения с разладкой и фрактального броуновского движения"

Российская академия наук Математический институт им. В. А. Стеклова

Муравлёв Алексей Анатольевич

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ ДЛЯ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ С РАЗЛАДКОЙ И ФРАКТАЛЬНОГО БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

005533647

На правах рукописи УДК 519.21

2 6 СЕН 2013

Москва, 2013 г.

005533647

Работа выполнена в отделе теории вероятностей и математической статистики Федерального государственного бюджетного учреждения науки Математический институт им. В. А. Стеклова РАН.

Научный руководитель: академик РАН, д. ф.-м. н., профессор,

главный научный сотрудник МИАН Ширяев Альберт Николаевич

Официальные оппоненты: д. ф.-м. н., профессор,

заведующий кафедрой Ростовского государственного строительного университета Павлов Игорь Викторович

д. ф.-м. н., профессор,

главный научный сотрудник ИППИ РАН

Пирогов Сергей Анатольевич

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт прикладных математических исследований Карельского Научного Центра РАН

Защита диссертации состоится 10 октября 2013 года в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 002.022.01 при МИАН по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИАН по адресу: Москва, ул. Губкина, д. 8, 8-й этаж.

Автореферат разослан

Учёный секретарь диссертационного совета Д 002.022.01 при МИАН, доктор физико-математических наук,

профессор В. А. Ватутин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена вопросам последовательного различения гипотез для моделей броуновского движения с "разладкой" и фрактального броуновского двиэюения. Также в диссертации получено представление фрактального броуновского движения в виде линейного функционала от бесконечномерного диффузионного процесса, что представляет самостоятельный интерес и за рамками рассматриваемых задач.

В отличие от классических областей математической статистики, где объём выборки устанавливается заранее, в последовательном анализе объём выборки не фиксирован, а определяется в процессе анализа статистических данных, получаемых последовательно. В некоторых случаях это позволяет сделать заключение гораздо раньше, чем это было бы возможно при использовании классических методов. Начало данному направлению было положено в работах А. Вальда1 в связи с изучением вопросов производственного контроля качества. Впоследствии методы статистического последовательного анализа нашли широкое применение в медицине2, эпидемиологии3, финансовой инженерии4, задачах обнаружения "атак" в компьютерных сетях5 и других областях.

Как и в других разделах математической статистики, отдельный класс составляют байесовские постановки, в которых предполагается, что неизвестные параметры не фиксированы, а являются случайными величинами. Двумя фундаментальными задачами статистического последовательного анализа являются задача о различении гипотез и задача о разладке.

Задача о различении гипотез относится к вопросу о том, как по наблюдениям за случайным процессом определить его вероятностные характери-

1 Валъд А. Последовательный анализ (пер. с англ.). — Москва: Физыатгпз, 19ÜU

2 Frisen M. Evaluations of methods for statistical surveillance // Statistics in Medicine. — 1992. — Vol. 11, no. 11— Pp. 1489-1502

3 Weatherall J. A. C., Haskey J. C. Surveillance of malformations. // British Medical Bulletin. — 1976. - Vol. 32, No 1. P. 39-44

4 Chen J., Gupta A. K. Testing and locating variance changepoints with application to stock prices // Journal of the American Statistical Association. — 1997. — Vol. 92. no. 438.— Pp. 739-747

5 Kim H.t Rozovskii B. L., Tartakovsky A. G. A nonparametric multichart CUSUM test for rapid detection of DOS attacks in computer networks // International Journal of Computing and Information Sciences. — 2004. - Vol. 2, no. 3,— Pp. 149-158

стики. Предполагается априори известным, что вероятностный закон распределения данного процесса принадлежит некоторому семейству. Задача состоит в том, как по наблюдениям определить точный вид данного закона. Поскольку продолжительность наблюдений заранее не фиксирована, то от исследователя требуется не только вынести как можно более правильное суждения об истинном законе распределения наблюдаемого процесса, но и сделать это за кратчайшее время.

Фундаментальным результатом в данной области является последовательный критерий отношения правдоподобия, предложенный А. Валь-дом и предназначенный для проверки двух простых гипотез. А. Вальд и Дж. Волфовиц6 продемонстрировали преимущества данного критерия на задаче различения двух простых гипотез для случая, когда наблюдению подлежит последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин. А именно, ими было показано, что при справедливости каждой из двух гипотез он обладает наименьшим средним временем наблюдения среди всех последовательных критериев с такими же вероятностями ошибочных решений.

В. С. Михалевич и А. Н. Ширяев7 получили решение байесовской задачи последовательного различения двух простых гипотез о величине сноса броуновского движения, из которого следует, что в вариационной постановке критерий Вальда является оптимальным также и для данной модели.

В случае, когда истинное значение параметра не совпадает ни с одной из гипотез, в методе А. Вальда время наблюдения может оказываться достаточно большим. В связи с этим Дж. Кифером и JI. Вейсом был предложен критерий8, состоящий в минимизации максимального (при всевозможных значениях параметра) среднего время наблюдения при ограничении на вероятность ошибочного решения.

Наиболее известным примером байесовской задачи различения слоаю-

6 Wald А., Wolfowitz J. Optimum character of the sequential probability ratio test // The Annals of Mathematical Statistics. — 1948. — Vol. 19, no. 3. — Pp. 32G-339

7 Ширяев A. H. О двух задачах последовательного анализа // Кибернетика. — 1967. — Т. 2. — С. 79-80

8 Kiefer J., Weiss L. Some properties of generalized sequential probability ratio tests // The Annals of Mathematical Statistics. — 1957. — Vol. 28, no. 1. — Pp. 57-74

пых гииотез является рассмотренная Г. Черновым9 задача определения знака сноса fi броуновского движения по последовательным наблюдениям, где д предполагалась гауссовской случайной величиной с известными параметрами, а штраф за принятие неправильного решения был выбран пропорциональным абсолютному значению ¡л. Впоследствии Г. Чернов и Дж. Брейквелл10,11'12 исследовали асимптотически оптимальные правила для данного критерия и рассмотрели дискретный аналог данной задачи.

Более подробный обзор известных результатов, связанных с последовательным различением гипотез, можно найти в работе13.

Задача о разладке относится к вопросу о наилучшем определении момента смены вероятностных характеристик некоторого случайного процесса. Предполагается априори известным, что вид закона распределения наблюдаемого процесса может измениться в некоторый (случайный) момент времени. На практике данное изменение может соответствовать поломке оборудования, что вызывает резкий рост доли брака в выпуске продукции, или же, например, соответствовать резкому изменению ожиданий инвесторов на рынке, что приводит к изменению тренда финансового актива. Как и в задаче о различении гипотез, требуется найти не только наиболее точное решение, но и сделать это за кратчайшее время. Хорошие критерии должны обладать как небольшим средним запаздыванием, так и малой вероятностью "ложной тревоги". В данном случае потребность использования последовательных методов становится очевидной в силу самой природы задачи.

Первые результаты в этом направлении были получены У. Шьюартом14. Предложенный им метод основывался на том, что при изменении харак-

9 Chernoff Н. Sequential tests for the mean of a Normal distribution // Fourth Berkeley Symposium. — 1961. - Vol. 1. — Pp. 79-91

10 Breakwell J., Chernoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution II (large f) // The Annals of Mathematical Statistics. — 1964. — Vol. 35. — Pp. 162-173

11 Chernoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution III (small t) // The Annals of Mathematical Statistics. — 1965. — Vol. 36. — Pp. 28-54

12 Chemoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution IV (discrete case) // The Annals of Mathematical Statistics. — 1964. — Vol. 36. — Pp. 55-68

13 Lai T. L. Sequential analysis: some classical problems and new challenges // Statistica Sinica. — 2001. — Vol. 11, no. 2,— Pp. 303-350

14 Shewart W. The application of statistics as an aid in maintaining quality of a manufactured product // Journal of the American Statistical Association. — 1925. — Vol. 20. no. 152. — Pp. 546-548

теристик, арифметическое среднее наблюдений должно сильно изменить своё значение. Однако, данный метод оказался малоэффективным в случае, когда характеристики меняются не очень существенно.

Это стимулировало развитие более точных техник, направленных на преодоление данного недостатка. Одним из наиболее известных является метод кумулятивных сумм (или, более кратко, СШиМ), предложенный Э. Пэйджем15. Позднее, А. Н. Ширяевым16 и С. Робертсом17 независимо друг от друга был предложен метод, основанный на статистике, называемой сейчас статистикой Ширяева-Робертса.

Под задачей о разладке броуновского движения обычно понимают модель, в которой у броуновского движения в некоторый ненаблюдаемый момент времени в снос меняется с нуля на известное значение //. А. Н. Ширяевым18 было показано, что в байесовской постановке (в предположении, что в является экспоненциально распределённой случайной величиной) оптимальное правило представляет собой момент первого достижения процессом апостериорных вероятностей некоторого порога.

Также для модели броуновского движения известно, что правило СЦ-ЯиМ является оптимальным в критерии Лордена19'20'21, а правило Ширя-ева-Робертса — в обобщённой байесовской постановке (т. е. в предположении, что в распределён "равномерно на положительной полупрямой действительной оси"), сравнение данных методов может быть найдено в работе М. Поллака и Д. Сигмунда22. Большой обзор имеющихся в настоящее время результатов по разладке можно найти в работе23.

15 Page Е. S. Continuous inspection schemes // Biometrika. — 1954. — Vol. 41. — Pp. 100-114

16 Ширяев A. H. Обнаружение спонтанно возникающих эффектов // Доклады АН СССР. — 1961.

— Т. 138, IV« 4. — С. 799-801

17 Roberts S. W. Control charts based on geometric moving average // Technometrics. — 1959. — Vol. 1.

- Pp. 239-250

18 Ширяев A. H. Об оптимальных методах в задачах скорейшего обнаружения // Теория вероятностей и ее применения. — 1963. — Т. 8, № 1. — С. 26-51

19 Lorden G. Procedures for reacting to a change in distribution. // Annals of Mathematical Statistics. — 1971. — Pp. 1897-1908

20 Ширяев A. H. Минимаксная оптимальность метода кумулятивных сумм (CUSUM) в случае непрерывного времени // Успехи математических наук. — 1985. — Т. 51, № 4.— Pp. 173-174

21 Beibel М. A note on Ritov's Bayes approach to the minimax property of the CUSUM procedure // Annals of Statistics. — 1996. — Vol. 24, no. 4 — Pp. 1804-1812

22 Pollak M., Siegmund D. A diffusion process and its applications to detecting a change in the drift of Brownian motion // Biometrika. — 1985. — Vol. 72: no. 2 — Pp. 207-280

23 Shiryaev A. N. Quickest detection problems: fifty years later // Sequential Analysis. — 2010. — Vol. 29,

С точки зрения приложений важную роль играют постановки, в которых кроме определения момента разладки также требуется принять одну из гипотез о значении новых характеристик. Связано это с тем, что довольно часто исследователь не знает как именно изменится поведение процесса, и, в лучшем случае, может сделать некоторые предположения.

Наиболее популярным подходом к исследованию данных задач является использование правил, обобщающих обычную статистику CUSUM. Впервые данный подход был использован Г. Барнардом24 для модели с двусторонними альтернативами. Позднее, аналоги данного метода рассматривались многими авторами для более общих моделей19,25,26. В частности,

A. Тартаковский27 исследовал оптимальность метода 7V-CUSUM (состоящем из комбинации N одномерных правил CUSUM) для задачи с несколькими альтернативами.

М. Байбелем28 были предложены критерии для двух байесовских постановок, первая из которых является обобщением тестов X. P. JTepxe29 для определения наличия сноса у броуновского движения, а вторая — обобщением процесса апостериорных вероятностей из постановки А. Н. Ширяева18.

Результаты первых двух глав диссертации дополняют имеющиеся результаты по задаче о "двусторонней разладке" броуновского движения, т. е. для модели, в которой предполагается, что появляющийся снос может принять одно из двух значений: < 0 или fi2 > 0.

В первой главе исследуются моменты остановки, связанные с падением и ростом броуновского движения со сносом. Величина падения процесса определяется как разница между текущим максимумом и значением иро-

по. 4,— Pp. 445-385

24 Barnard G. A. Control charts and stochastic processes // Journal of the Royal Statistical Society, Series

B. — 1959. — Vol. 11 — Pp. 239-271

25 Dragalin V. P. The design and analysis of 2-CUSUM procedure. // Communications in Statistics -Simulation and Computation. — 1997. — Vol. 26, No 1. Pp. 67-81

26 Hadjiliadis O. Change-point detection of two-sided alternatives in the Brownian motion model and its connection to the gambler's ruin problem with relative wealth perception. // PhD Thesis with Distinction. — Columbia University, 2005

27 Тартаковский А. Г. Асимптотически минимаксное многоальтернативное последовательное правило обнаружения разладки. // Статистика и управление случайными процессами, Тр. МИАН. 202 — Vol. 26, No 1. Москва: ТВП, 1993 С. 287-295

28 Beibel М. Sequential change-point detection in continuous time when the post-change drift is unknown. // Bernoulli. — 1997. — Vol. 3, No 4. Pp. 457-478

29 Lerche H. R. The shape of Bayes tests of power one. // The Annals of Statistics. — 1986. — Vol. 14, No 3. P. 1030-1048

цесса, а величина роста — как разница между его значением и текущим минимумом.

С одной стороны, рассматриваемые моменты остановки представляют собой подкласс 2-CUSUM решающих правил, возникающих в задачах о разладке (общий класс правил содержит также моменты остановки, для которых падение и рост соответствуют броуновскому движению с разной величиной сноса). С другой стороны, данные величины играют важную роль в финансовой математике30, поскольку их можно рассматривать как статистическую меру риска инвестирования в качестве альтернативы стандартным мерам риска, таким как вероятность возврата, V@R, Sharp ratio и т. д. Основные полученные результаты связаны с вычислением преобразований Лапласа для рассматриваемых моментов.

Во второй главе исследуется байесовская постановка задачи о "двусторонней разладке" для броуновского движения со сносом. В качестве функции риска рассматривается сумма штрафов за запаздывание при принятии решения, за ложную тревогу и за неверно принятое решение о величине сноса. Таким образом, данный критерий объединяет в себе две классические байесовские постановки из последовательного анализа7.

Отметим, что эффективность того или иного критерия в "непрерывном времени" обычно проверяется в первую очередь для броуновского движения со сносом. С одной стороны, это объясняется тем, что данный процесс является предельным случаем для многих моделей с дискретными наблюдениями. С другой стороны, для броуновского движения оптимальные правила во многих ситуациях имеют простую структуру, и могут быть впоследствии обобщены на другие марковские модели, такие как пуассо-повский процесс31 и одномерные диффузии32.

Однако, в последние два десятилетия различными исследователями отмечалось, что в теории телекоммуникаций33, финансовых приложениях34 и

30 Szegó G. P. (Ed.) Risk measures for the 21st century // Wiley, 2004

31 Галъчук JI. И., Розовский Б. Л. Задача о "разладке" для пуассоновского процесса. // Теория вероятностей и ее применения — Т. 16, JV' 4. С. 729-734

32 Gapeev P. V., Shiryaev А. N. Bayesian quickest detection problems for some diffusion processes. // Advances in Applied Probability. — 2013. — Vol. 45, No 1. P. 1G4-185

33 Novros /. On the use of the fractional Brownian motion in the theory of connectionless networks. // Selected Areas in Communications, IEEE Journal on. — 1995. — Vol. 13, No 6. P. 953-962

34 Anh V. V., Inoue A. Financial markets with memory I: Dynamic models. // Stochastic Analysis and

некоторых других важных областях наблюдаемые данные обладают свойством сильной зависимости от прошлого и самоподобия.

В случае непрерывного времени простейшим примером процесса с данными свойствами является фрактальное броуновское движение Вн, где величина Н S (0,1) обозначает параметр самоподобия Харста. Чем больше Н, тем более гладкими оказываются траектории. В случае Н = 1/2 процесс Вн совпадает со стандартным броуновским движением.

Впервые данный процесс был рассмотрен А. Н. Колмогоровым35 в 1940 г. при исследовании вопросов моделирования турбулентности^. Большую популярность Вн получил в связи с исследованиями Б. Мандельброта37 по фракталам и, в частности, после работы38, в которой фрактальное броуновское движение было построено в виде интеграла по винеровскому процессу на всей действительной прямой. Отметим, что именно у Б. Мандельброта и Дж. ван Несса38 процесс Вн получил своё название (в своих работах А. Н. Колмогоров называл Вн "винеровской спиралью").

Характерными свойствами Вн являются гауссовость, самоподобие и стационарность приращений. При Я > 1/2 приращения процесса положительно коррелированы, а при Н < 1 /2 — отрицательно. В дополнении к этому, при Н > 1/2 процесс Вн обладает свойством сильной зависимости от прошлого. Другие свойства могут быть найдены в монографии39.

У. Четиным, A.A. Новиковым и А. Н. Ширяевым40 была рассмотрена задача последовательного оценивания величины сноса р, фрактального броуновского движения в предположении гауссовости р. Ими было показано, что оптимальный момент остановки является детерминистическим, когда функция штрафа является квадратичной или дельта-функцией.

Applications. — 2005. — Vol. 23, No 2. P. 275-300

35 Колмогоров A. H. Спирали Винера и другие интересные кривые в гильбертовом пространстве // Доклады АН СССР. — 1940. — Т. 26, № 2

36 Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // Доклады АН СССР. — 1941. — Т. 30, № 4. С. 299-303

37 Mandelbrot В. Fractals and scaling in finance: Discontinuity and concentration. // Springer Verlag, 1997

38 Mandelbrot В. В., van Ness J. W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications // SIAM review — 1968. — Vol. 10, no. 4 — Pp. 422-437

39 Mishura Yu. Stochastic calculus for fractional Brownian motion and related processes // Lecture Notes in Math., 1929 — Springer, Berlin, 2008

40 Qetin U., A. Novikov A. A., Shiryaev A. N. Bayesian sequential estimation of a drift of fractional Brownian motion //to appear in Sequential Analysis. — 2013. — Vol. 32, No 3. — P. 288-296

В третьей главе изучаются задачи различения гипотез о величине сноса фрактального броуновского движения по результатам последовательных наблюдений. Доказывается, что задачи подобного типа могут быть сведены к задачам об оптимальной остановке для стандартного броуновского движения, для решения которых можно использовать хорошо разработанные методы из общей теории41,42. В данном случае оптимальный момент времени оказывается случайным.

Отметим, что при Н ф 1/2 процесс Вн не является ни марковским процессом, ни семимартингалом39, поэтому хорошо разработанный аналитический аппарат оказывается неприменимым непосредственно к данному процессу (в частности, для Вн при Н ф 1/2 перестаёт быть верным тождество Валъда).

В четвёртой главе показано, что, несмотря на это, Вн можно представить как линейный функционал от бесконечномерного диффузионного процесса типа Орнштейна-Уленбека. В качестве применения данного результата, доказывается неравенство, связывающее среднее значение остановленного процесса Вf и среднее время наблюдения г (для моментов остановки г). В случае Н < 1/2 данное неравенство дополняет результаты A.A. Новикова и Э. Валкейлы43.

Цель работы. Целью работы является изучение оптимальных решающих правил в двух конкретных моделях: броуновском движении с возникающей разладкой и фрактальном броуновском движении с неизвестным сносом. Также целью является исследование границ применимости марковских методов к фрактальному броуновскому движению (являющегося одним из классических примеров процесса с зависимостью от прошлого).

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Найдены аналитические формулы преобразований Лапласа для моментов остановки, связанных с падением и ростом броуновского движения

41 Peskir G-, Shiryaev A. Optimal stopping and free-boundary problems. — Birkhäuser Basel, 2006

42 van Moerbeke P. On optimal stopping and free-boundary problems // Arch. Rational Mech. Anal. — 1976. — Vol. 60, — Pp. 101-148

43 Novikov A., Valkeila. E. On some maximal inequalities for fractional Brownian motions // Statistics & probability letters — 1999. — Vol. 1, no. 4.— Pp. 47-54

со сносом, представляющие собой подкласс 2-CUSUM решающих правил.

2. В байесовской постановке задачи о "двусторонней разладке" изучена структура оптимальных решающих правил. А именно, доказана выпуклость, непрерывность и дифференцируемость функции риска, а оптимальные границы остановки характеризуются как единственное решение некоторого интегрального уравнения.

3. Предложен метод, позволяющий конструктивно решать задачи о различении конечного числа гипотез о величине сноса фрактального броуновского движения. Показано, как сводить задачи подобного типа к задачам об оптимальной остановке для стандартного броуновского движения.

4. Получено представление фрактального броуновского движения в виде функционала от бесконечномерной диффузии (аналоге процесса Орн-штейна-Уленбека). В качестве приложения данного результата доказано неравенство, связывающее средние значения произвольного момента остановки и фрактального броуновского движения, остановленного в этот момент.

Методы исследования. В диссертации применены методы стохастического анализа: теория марковских процессов, теория мартингалов и стохастическое дифференциальное исчисление.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть полезны в вопросах последовательного анализа стохастических систем, связанных с проверкой гипотез и обнаружением разладок. Результаты четвёртой главы могут быть использованы для применения аналитических методов теории марковских процессов при изучении свойств фрактального броуновского движения.

Апробация диссертации. Результаты работы докладывались автором на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Конференция "The Seventh Bachelier Colloquium on Mathematical Finance and Stochastic Calculus", Метабьеф, Франция, 13-20 января 2013 г. Тема доклада: Quickest disorder detection problem with sequential hypothesis testing.

2. Конференция "Stochastic Optimization and Optimal StoppingМосква, 24-

28 сентября 2012 г. Тема доклада: On a two-side disorder problem for a Brownian motion in a Bayesian setting.

3. Конференция "The Joint Meeting of International Young Business and Industrial Statisticians", Лиссабон. Португалия, 23-26 июля 2012 г. Тема доклада: On multiple Bayesian quickest detection problems.

4. Конференция ИППИ (Москва) — WIAS (Берлин) по стохастическому и предсказательному моделированию, Москва, 31 мая - 1 июня 2012 г. Тема доклада: The study of a fractional Brownian motion by means of Markov techniques.

5. Конференция МИ AH — ПОМИ, посвященная теме "Вероятность и функциональный анализ", Москва, 16-17 февраля 2012 г. Тема доклада: Фрактальное броуновское движение: новое представление и следствия из него.

6. Конференция "17th European Young Statisticians MeetingЛиссабон, Португалия, 5-9 сентября 2011 г. Тема доклада: On some inequalities for fractional Brownian motion.

7. Российско-японский симпозиум no стохастическому анализу", Москва, 15-17 сентября 2009 г. Тема доклада: О преобразовании Лапласа для характеристик, связанных с падением и ростом броуновского движения со сносом.

8. Большой семинар кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, несколько докладов в 2009-2012 гг.

9. Научный семинар "Случайные процессы и стохастический анализ" под рук. А. Н. Ширяева, МГУ, несколько докладов в 2008-2013 гг.

10. Выступления в Лаборатории предсказательного моделирования, МФТИ, несколько докладов в 2012-2013 гг.

Публикации. Список работ автора, содержащих результаты диссертации, приведен в конце автореферата. Непосредственно по теме диссертации опубликованы 4 работы [1], [3]-[5]; работа [2] содержит вспомогательный результат.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и приложения. Общий объём работы составляет 107 страниц. Список литературы включает 105 наименований.

Благодарность. Работа выполнена иод руководством академика РАН профессора А. Н. Ширяева, которому автор выражает искреннюю благодарность.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1 посвящена исследованию величин, связанных с падением и ростом броуновского движения со сносом.

Пусть на вероятностном пространстве (Í7, Р) задано стандартное броуновское движение В = (Bt)t^о, и для р, € К рассмотрим броуновское движение со сносом X = (Xt)t^o, т.е. Xt = fit + Bt.

Для фиксированного р, и а > 0, b > 0 введём моменты:

та = inf < t ^ 0 : sup Xs — Xt = а >,

' ssjt >

ег6 = inf jí ^ 0 : Xt - inf X, = &},

lab = та Л аь.

Без ограничения общности можно считать, что Ъ ^ а > 0. Для а > 0, с > 0 рассмотрим также следующие моменты:

5С = inf{í ^ 0 : Xt = с}, Сас = та Л 5С.

Лемма. Пусть X — броуновское движение со сносом р., моменты остановки та, сга, 7аь и 7аа соответствуют X. Тогда при Ъ ^ а > 0

(7ab,X7ab) = (jaa,Xlaa) + ((a,b-a, Х^ 1{7аа = <Та},

(■ТауХТа) = (7(мД7и) + (7аД?а)1{7аа = <7а}-

где Са,ь-о и Та соответствуют независимой копии X процесса X.

Данная лемма играет важную роль в получении результатов первой главы. В частности, она позволяет найти формулы для Р(7аь = та), Р(7аь = та) и Е7„{,- Основные результаты состоят в получении аналитических выражений для совместных преобразований Лапласа.

Положим

Д = ^р? + 2А, I/ = ¡г + р. Теорема. При Ь ^ а > 0 справедливо

1 л. Я V (1 - е1^6"0' е-'с'ь(Да))

сЬ(Да) - (^/Д) зЬ(Да) , г,сЬ(Да) сЬ(^а) - {и/А)зЦАа) вЦиа) - 1 (6_а) д(6_а)с1Ь(Аа) зЬ2(Да)(1 - (г//Д)2)

если Л ^ 0, < Дcth(Да).

Отсюда, в частности, получаем преобразования Лапласа для 7аь и Х^. Плотность ^ может быть найдена с помощью формул обращения из справочника44, но выражение для неё оказывается крайне громоздким и сложным для дальнейшего анализа. В то же время, отыскание распределения Х1аЬ не составляет труда. Пусть

_ е2*"1 - 1

Следствие. В случае Ь ^ а > 0 при ц ф О справедливо 1 / х +

Р(Х7аЬ е йх) = — ехр---— ) 1{—а ^ х < Ъ - 2а}<1х

Ха \ Аа /

\еМх-Ь+а) _ 1\ / ъ-а\

+ И о и2/ \ еХР--Г~ )ЧЬ - 2а < х ^ ЬУаХ

2эп (ца) \ К )

Когда снос отсутствует, выражение для плотности получается предельным переходом при р —¥ 0.

Введём обозначения

/с(х, у) = сЬ(сх) + (у/с) зЬ(ст), Д = л/(12 + 2Х-1+2Х2, и = 11 + р 1 + /?2, А* = + 2Аг, щ = ц + ри г =1,2.

44 Бородин А. #., Салминен П. Справочник по броуновскому движению. — Санкт-Петербург: Лань, 2000

Теорема. При Ь ^ а > 0 справедливо

Еехр{-А1Та + ргХТа - \2аь + Р2Хаь} = +

е1/(Ь-а) -Д(Ь-а) сЩДа)_

/д,(а, -и)

/(1 + у2/Д2)(1 - е(А+Д2)(Ь-а)е-Д(Ь-а)сЙ1(До)^

/д2М V 2/д(а,-А - Д2)

(1 - 1^2/А2)(1 - е(Л-й2)(1>-а)е-Д(1>-а)а11(Аа))

2/д(а, -А + Д2) е"в/д(о, -") - 1 /д(а,1/)-1

эЬ2(Да)(1 — (^/Д)2) зЬ2(Да)(1 - (^/Д)2) /дДМг)'

если А1 ^ О, Л2 ^ О, 1/1 < Дц^ЦДкг), г/2 > -ДгсШ(А2Ь), А + Д2 < ДсШ(До), Н < ДсШ(Да).

В главе 2 рассматривается задача о двусторонней разладке для броуновского движения в байесовской постановке.

Пусть на вероятностно-статистическом пространстве

тг е П),

где

п = (тг = (тг1, тг2) : тг1 > 0, тг2 > 0, тг1 + тг2 < 1),

задано броуновское движение В — (В^^о, & также случайные величины в и (1, независимые между собой и от броуновского движения В. Будем считать, что в имеет экспоненциальное распределение с параметром Л и весом р в нуле, р принимает значения < 0 с вероятностью рх и ц2 > О с вероятностью р2 = 1 — рх, а параметры распределения Р„- определяют априорные вероятности

7Г1 = Р„(0 = 0,(1 = Цх) = РРх, ТГ2 = = 0, ^ = (12) =РР2-

Предполагается, что мы наблюдаем за процессом X = (^)г^(ь удовлетворяющим стохастическому дифференциальному уравнению

с1Хь = ц!{Ь ^ в)(И + айВи Х0 = О,

где а > О является известным заранее параметром.

Пусть 5 = (т. <1) обозначает решающее правило, состоящее из момента остановки т = т{ш) относительно естественной фильтрации ¿Р* = а(Ха, в ^ ¿) процесса X и функции принятия решения <1 = — измеримой случайной величины, принимающей значения <1\ и <¿2- После того, как мы останавливаем наблюдения в момент т, функция й показывает, какую гипотезу о величине сноса ц мы должны принять: если д = с1\, мы принимаем Щ, а если в, = <¿2 — мы принимаем Н

Каждому решающему правилу 5 = (т, (Г) сопоставим байесовский риск

где

@вп{5) = Рж(т <в) + сЕж[т -

состоит из линейной комбинации вероятности "ложной тревоги " и "среднего запаздывания " при правильном обнаружении "разладки ", с > 0, а

= аРж((1 = (1и(1 = ц2) + ЬР„{с1= = щ)

состоит из линейной комбинации вероятностей неправильного принятия гипотезы о величине сноса // с весами а,Ь > 0.

Целью второй главы является исследование структуры оптимального решающего правила <5* = (т*,д*) такого, что

= тШ^б), (1)

где инфимум берется по всем решающим правилам 5 = (т, с?) с Ежт < оо. Рассмотрим процессы апостериорных вероятностей пг = гДе

*\ = р1Г(е4:Ь,ц = щ\г?), ¿ = 1,2.

Теорема. Двумерный процесс ж = (7т1, 7Г2) является марковской достаточной статистикой в задаче (1). Кроме того, процесс тг является решением следующей системы стохастических уравнений:

¿4 = АМ1 - 4 - *г?)<Й + 4\-~ + -к?)] <*Д

I сг \ сг а / J

¿ = 1,2,

где В = является броуновским движением (вообще говоря, отлич-

ным от В). Оптимальный момент остановки т* может быть найден как решение задачи об оптимальной остановке

Функция принятия решения ¿* принимает значение й\, если а (pi.Tr2, + р2( 1 — тг1.)) < Ъ[р21т\, + р\{1 — тг2.)), ид2 в противном случае.

Как известно, в марковском случае фазовое пространство П = {(тг1, тг2) : тг1 ^ 0,7г2 ^ 0, тг1 + 7Г2 ^ 1} разбивается на множество остановки О и множество продолжения наблюдения С = П \ Г), а оптимальным моментом остановки является момент т* первого попадания процесса тг в область И:

т* =ы{г ^0:ще0}.

Множество В характеризуется тем, что У(7г) = 0(7г) на Б, где

в{ж) = 1 - (тг1 + тг2) + а(р1тг2 + р2( 1 - тг1)) Л Ъ(р2тг1 + Р1(1 - тг2)) (3)

является суммой ошибок при мгновенной остановке, а на множестве С справедливо У(7г) < (?(тг). Очевидно, что точки тг^о = (1,0) и тгод = (0,1) принадлежат множеству остановки О, поскольку в них можно безошибочно принять гипотезы Н\ и Н2 (функция риска У(тт) в этих точках равна нулю). В то же время, некоторые точки фазового пространства заведомо принадлежат множеству продолжения наблюдения С.

Лемма. Множество Со = {я-1 + тг2 < АДА + с)} и прямая £(тг) = 0 принадлежат области продолжения наблюдения С, где

При этом, прямая £(тг) = 0 разбивает фазовое пространство П на два непустых множества Щ = {тг : £(тг) < 0} и П2 = {тг : £(тт) > 0}. Следующая теорема даёт качественное описание области £>.

+ а(Р1тг2т+ р2(1 - тг^)) А Ь(р2п1т + р1(1-1г1)) . (2)

О/ \ 2 1 , аР2 - Ьрх

£(тг) = Р\Я - Р2-К + -—г—.

а + о

Теорема. Множество оптимальной остановки £> состоит из двух непересекающихся окрестностей Д и Д точек я^о и тгод- При этом: Д С Пг/Со, г = 1,2, мнооюества Д и Д являются односвязными, замкнутыми и выпуклыми. Как следствие, их границы ^ = 9Д, г = 1,2, непрерывны.

Если наблюдаемый процесс 7Г попал во множество Д, следует немедленно остановить наблюдения и принять гипотезу Щ : р, = i = I, 2.

Область и однозначно определяется своими границами 7 = 71 и 72, и наоборот. Рассмотрим класс границ таких, что соответствующие множества И удовлетворяет условиям предыдущей теоремы.

Теорема. Оптимальные границы остановки в задаче (2) являются единственным решением интегрального уравнения

Е* ^М[а(1-7г]-7Г,2)1{тг. е ЯНфт.ЧтфЦтГ, е С}] «¿я = <?(тг), Утг е 7,

в классе У, где функция <3(71-) задана формулой (3).

В главе 3 рассматривается задача последовательного различения гипотез о величине сноса фрактального броуновского движения.

Пусть на вероятностном пространстве (Г2, &, Р) задано фрактальное броуновское движение Вн = (В^)^о с параметром Харста Н 6 (0,1), а /1 — независимая от Вн случайная величина (удовлетворяющая условию Е \р\ < со). Предположим, что мы последовательно наблюдаем за процессом X = {Х^г^й, определённым как

где значение сноса р, является ненаблюдаемым.

Пусть множества ... ,Ап С К образуют полную группу, т.е. не пересекаются и € Лг) = 1. Мы рассматриваем задачу различения гипотез Н\,..., Нп, Щ: р 6 А{, по последовательным наблюдениям за X. Каждая процедура проверки задаётся решающим правилом 5 = (т, й^), состоящим из момента остановки т фильтрации = 5 ^ и ^^-измеримой функции принимающей значения 1,... ,п. Момент т

соответствует времени прекращения наблюдения, а значение — номеру принимаемой гипотезе.

Каждому решающему правилу 5 сопоставим функцию потерь =

Е \ст+\¥(р,, , где ст является платой за наблюдения (пропорциональной времени наблюдения), а \¥(ц,с1ц) — функцией штрафа (за неправильно принятое решение). Рассмотрим задачу отыскания оптимального правила 5* = (т*, такого, что

где инфимум берётся по всем решающим правилам 6 = (т, о!м) с Ет < оо. В работе40 показано, что когда функция штрафа является квадратичной или дельта-функцией, а р, ~ о/К (мо, сг§), оптимальный момент т* (в классе правил <5 с т ^ Т, Т > 0) является детерминистическим. В (4) момент т*, вообще говоря, является случайным.

Рассмотрим интегральный оператор М, преобразующий / в М(/) согласно

Определим процесс ^ = как = М(X)1, где (М{Х))г =

¿2-2Я есть квадратичная характеристика М(Х).

Лемма. Процесс допускает представление Zt = Aí + -В^, где В = (В^^о есть стандартное броуновское движение, а А — независимая от В случайная величина.

При этом, если т является моментом остановки относительно X, то а = (М(Х))Т = г1-2" будет моментом остановки относительно процесса Z.

Каждому (^/)г^о-решающему правилу 7 = (<т, поставим в соответствие (^¿х)г^о-решающее правило 6 = (т, й^) с г = аг^2~2Н\ (¿м(т) = ). Несложно видеть, что это отображение (назовём его ¿г?) является биекцией. Рассмотрим задачу

ЯгЬ') = М&гЬ), = Е[от1^2"2^ + ^(А, ¿л)], (5)

(4)

где И^А, d\) = W(/i, dlt), и инфимум берётся по всем решающим правилам 7 = (a, d\) с < сю.

Теорема. Решения задач (4) и (5) совпадают, т.е. =S£z(ci*),

при этом оптимальные правила связаны соотношением 6* = si/j*.

Следуя общей теории статистического последовательного анализа45, получаем

<fz(7*) = infEiar1^2-2^ + mmE(W{X,i)\^)], (6)

a L i J

где инфимум берётся по моментам остановки а таким, что Ест1^2-2^ < оо.

При этом, если а* является оптимальным, то правило S* = (a*,d*x) с d*x =

argminj E(VK(A, является оптимальным в (5). Пусть Р° обозначает

меру Р°(-) = Р(-|А = 0), по которой процесс Z является броуновским

движением. Рассмотрим задачу

I/ = inf + ттЕ°(Ж(А,г)^(А)|^)], (7)

где <?(А) обозначает £а{\) = ехр(АZa — Аст2/2), Е° — математическое ожидание по мере Р°, а инфимум берётся по всем моментам остановки а с

E<V/(2-2Я) <

Теорема. Пусть а* является оптимальным моментом в задаче (7) и Р(сг* < оо) = 1. Тогда а* также является оптимальным и в задаче (6),

U = V.

Приведённые теоремы позволяют перейти от (4) к (7). Отметим, что (7) является стандартной задачей, поскольку имеет вид V = inftrE°G((T, Za). Для её изучения могут быть использованы хорошо разработанные методы теории об оптимальной остановке броуновского движения41'42. В качестве примера рассмотрена задача различения двух простых гипотез.

Глава 4 содержит результат, который может быть полезен и в исследованиях вне рамок диссертации. А именно, показано, что Вн можно представить как линейный функционал от бесконечномерного диффузионного процесса.

4э Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. — 2 изд. — Москва: Наука, 1976

Пусть £ = (£д)а>о — гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией Щ(а. Р) = [а + /З)-1, а В = (В^^о — независимое от £ стандартное броуновское движение. Построим по £ и В семейство процессов где Z^ = — процесс Орнштейна-Уленбека, яв-

ляющийся решением стохастического дифференциального уравнения

= -рг^ <а + <1ви гЦ =

Теорема. Для Я 6 (0,1/2) U (1/2,1) и произвольного е > 0 процесс ВН'~ = определяемый как

_„ roo

В"'£ = ся / р-1'2-н{г? - 6 - e-^Bt) dp + еВи (8)

где

[Г(2Я+1)5т(тгЯ)]1/2 ( е \ 1/(^-1/2)

Ся = т/т /г. , гт i /п-7Т\7> £0 =

|В(1/2 + Я,1/2-Я)|

(_f_у

является фрактальным броуновским движением с параметром Харста Я.

_ц _^

Следствие. Процесс В = (Вг определяемый как

в" =

' roo

сн p~1/2~H(zt0 -b)dp при не (0,1)

J°roo

сн / p-1/2~H(Zf -te- Bt) dp при И e (i, 1) Jo

(9)

также является фрактальным броуновским движением с параметром Харста Я.

Один из естественно возникающих вопросов состоит в том, как для заданного Вн построить соответствующие процессы £ и В. Следующее замечание частично отвечает на него.

Замечание. Пусть Вн = (B^)t€r является фрактальным броуновским движением на всей действительной прямой. Тогда существуют процессы £ и В такие, что (B^)t¡>o задаётся представлениями (8)-(9).

Полученные представления позволяют применять к Вн некоторые методы из теории марковских процессов. Так, для получения неравенств с

Вн может быть использована общая теория об оптимальной остановке для семейства марковских процессов {Z|3}j>o.

Теорема. Пусть Вн — фрактальное броуновское движение с параметром Харста Н. Тогда

-кн(Ет)н < ЕВ? ^ кн(Ет)н для всех моментов остановки т процесса Вн. При этом (2тг)~н/2

кн ^ ся-

HV2

■ [ Ф(и) Г Ф2{v)el'2/2dv J R LJ-oo

-н

du.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Муравлёв А. А. О моментах остановки, связанных с падением и ростом броуновского движения со сносом // Успехи математических наук. — 2008. - Т. 63, № 6. - С. 171-172.

[2] Муравлёв А. А. Об одном свойстве распределения броуновского движения со сносом и его максимума // Теория вероятностей и ее применения. - 2010. - Т. 55, № 2. - С. 362-3G8.

[3] Муравлёв А. А. Представление фрактального броуновского движения через бесконечномерный процесс Орнштейна-Уленбека // Успехи математических наук. — 2011. — Т. 66, № 2. — С. 235-236.

[4] Muravlev А. А. Ои the Laplace transform of characteristics connected with drawdowns and rallies of a Brownian motion with drift // Theory of probability and its applications. — 2011. — Vol. 55, № 3. — Pp. 548-549.

[5] Муравлёв А. А. Методы последовательного различения гипотез о значении сноса фрактального броуновского движениния // Успехи математических наук. — 2013. — Т. 68, № 3. — С. 194-195.

Подписано в печать 13.06.2013 Тираж 100 экз.

Отпечатано в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН Москва, 119991, ул. Губкина, 8

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Муравлёв, Алексей Анатольевич, Москва

Российская академия наук Математический институт им. В. А. Стеклова

04201361519

На правах рукописи УДК 519.21

Муравлёв Алексей Анатольевич

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — академик РАН, профессор А. Н. Ширяев

Москва, 2013 г.

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Исследование величин, связанных с падением и ростом броуновского движения со сносом 15

§1.1. Вспомогательное утверждение....................................................................15

§ 1.2. Свойства момента остановки 7аъ................................................................19

§ 1.3. Совместное распределение та и аъ............................................................24

§1.4. Обращение преобразований Лапласа......................................................27

Глава 2. Задача о двусторонней разладке для броуновского

движения в байесовской постановке 30

§2.1. Постановка задачи............................................................................................30

§2.2. Сведение к задаче об оптимальной остановке для апостериорных вероятностей..........................................................................................32

§ 2.3. Качественное описание решения задачи об оптимальной остановке ........................................................................................................................35

§2.4. Интегральное уравнение для оптимальных границ..........................52

Глава 3. Последовательное различение гипотез для фрактального броуновского движения 59

§3.1. Задачи различения гипотез в байесовской постановке....................59

§3.2. Сведение к стандартным задачам об оптимальной остановке .. 65

Глава 4. Марковское представление для фрактального броуновского движения 71

§ 4.1. Представление Вн в виде функционала от бесконечномерного

процесса Орнштейна-Уленбека....................................................................71

§ 4.2. Неравенство для среднего значения Вн, остановленного в случайный момент времени................................................................................76

Приложение 88

§ П.1. Исследование момента £ас....................................... 88

§ П.2. О распределении ХТа — Х3............................... 91

§ П.З. Плотность распределения 7аь................................... 93

§ П.4. Предельное распределение процесса тг.......................... 95

Список литературы 98

Введение

Диссертация посвящена вопросам последовательного различения гипотез для моделей броуновского движения с "разладкой" и фрактального броуновского движения. Также в диссертации получено представление фрактального броуновского движения в виде линейного функционала от бесконечномерного диффузионного процесса, что представляет самостоятельный интерес и за рамками рассматриваемых задач.

В отличие от классических областей математической статистики, где объём выборки устанавливается заранее, в последовательном анализе объём выборки не фиксирован, а определяется в процессе анализа статистических данных, получаемых последовательно. В некоторых случаях это позволяет сделать заключение гораздо раньше, чем это было бы возможно при использовании классических методов. Начало данному направлению было положено в работах А. Вальда [80] в связи с изучением вопросов контроля качества продукции. Впоследствии методы статистического последовательного анализа нашли широкое применение в медицине [6, 21, 31], эпидемиологии [40, 66, 72], финансовой инженерии [2, 12], задачах обнаружения "атак" в компьютерных сетях [36, 71] и других областях.

Задача о различении гипотез относится к вопросу о том, как по наблюдениям за случайным процессом определить его вероятностные характеристики. Предполагается априори известным, что вероятностный закон распределения данного процесса принадлежит некоторому семейству. Задача состоит в том, как по наблюдениям определить точный вид данного закона. Поскольку продолжительность наблюдений заранее не фиксирована, то от

исследователя требуется не только вынести как можно более правильное суждения об истинном законе распределения наблюдаемого процесса, но и сделать это за кратчайшее время.

Фундаментальным результатом в данной области является последовательный критерий отношения правдоподобия, предложенный А. Валь-дом и предназначенный для проверки двух простых гипотез. А. Вальд и Дж. Волфовиц [70] продемонстрировали преимущества данного критерия на задаче различения двух простых гипотез для случая, когда наблюдению подлежит последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин. А именно, ими было показано, что при справедливости каждой из двух гипотез он обладает наименьшим средним временем наблюдения среди всех последовательных критериев с такими же вероятностями ошибочных решений.

В. С. Михалевичем [45] и А. Н. Ширяевым [102] было получено решение байесовской задачи последовательного различения двух простых гипотез о величине сноса броуновского движения

в предположении, что ц является независимой от X случайной величиной, принимающей два значения /II и Ц2-1 Ими был рассмотрен критерий, состоящий в минимизации суммы штрафа за неправильно принятое решение о величине сноса и платы за длительность наблюдений:

ІІГЇ

(т4)

Ет + аР(/х = Дь (1 = 2) + 6Р(/і = ¿¿2, (і = 1)

где а>0иЬ>0 - фиксированные константы, т = т( ш) является моментом остановки относительно естественной фильтрации = сг(Х5, я ^ £) процесса X, а функция (і = <1{ш) является і^-измеримой случайной величиной, показывающей какая из гипотез о величине сноса (Н\ : ¡1 = Ц\ или Н2 '■ ¡л = ¿¿2) принимается. Из построенного решения следовало, что в вариационной постановке критерий Вальда также является оптимальным [102].

1 Подразумевается, что процесс X и случайная величина /и задан на некотором вероятностном пространстве

В случае, когда истинное значение параметра не совпадает ни с одной из гипотез, в методе А. Вальда время наблюдения может оказываться достаточно большим. В связи с этим Дж. Кифером и JI. Вейсом был предложен критерий [35], состоящий в минимизации максимального (при всевозможных значениях параметра) среднего время наблюдения при ограничении на вероятность ошибочного решения.

Вопрос об оптимальности данного критерия исследовался многими авторами в различных предположениях на рассматриваемую модель. В частности, Т. В. Андерсоном [1], Р. Бекхофером [8], Т. JI. Лаем [38], Г. Лорде-ном [42], A.A. Новиковым, В. П. Драгалиным [95], И. В. Павловым [96] (см. также работы [73, 85]).

Наиболее известным примером байесовской задачи различения сложных гипотез является рассмотренная Г. Черновым [14] задача определения знака сноса /х броуновского движения по последовательным наблюдениям, где ¡1 предполагалась гауссовской случайной величиной с известными параметрами, а штраф за принятие неправильного решения в критерии был выбран пропорциональным абсолютному значению ц:

inf

(r,d)

Er + k\ß\l{d sgn/i)

где с > 0, к > 0 — фиксированные константы, с? принимает значения +1 и —1, соответствующие принятию гипотез Н+ : ¡1 > 0 и : ¡1 ^ О (полагается, что sgnO = — 1).

Впоследствии Г. Чернов и Дж. Брейквелл [11,15,16] исследовали асимптотически оптимальные правила для данного критерия и рассмотрели дискретный аналог данной задачи. В работе [84] оптимальные границы остановки характеризуются как решение некоторого интегрального уравнения, что позволяет найти их численно.

Более подробный обзор известных результатов, связанных с последовательным различением гипотез, можно найти в работе [37].

блюдаемого процесса может измениться в некоторый (случайный) момент времени. На практике данное изменение может соответствовать поломке оборудования, что вызывает резкий рост доли брака в выпуске продукции, или же, например, соответствовать резкому изменению ожиданий инвесторов на рынке, что приводит к изменению тренда финансового актива. Как и в задаче о различении гипотез, требуется найти не только наиболее точное решение, но и сделать это за кратчайшее время. Хорошие критерии должны обладать как небольшим средним запаздыванием, так и малой вероятностью "ложной тревоги". В данном случае потребность использования последовательных методов становится очевидной в силу самой природы задачи.

Первые результаты в этом направлении были получены У. Шьюар-том [64]. Предложенный им метод основывался на том, что при изменении характеристик, среднее арифметическое наблюдений должно сильно изменить своё значение. Однако данный метод оказался малоэффективным в случае, когда характеристики меняются не очень существенно.

Это стимулировало развитие более точных техник, направленных на преодоление данного недостатка. Одним из наиболее известных является метод кумулятивных сумм (или, более кратко, СиБиМ), предложенный Э. Пэйджем [53]. Позднее А.Н. Ширяевым [100] и С. Робертсом [63] независимо друг от друга был предложен метод, основанный на статистике, называемой сейчас статистикой Ширяева-Робертса.

А. Н. Ширяевым [101] была рассмотрена байесовская постановка (в предположении, что 0 является экспоненциально распределённой случайной ве-

2Подразумевается, что процесс задан на вероятностном пространстве мера Рб обозна-

чает распределение X в предположении, что моментом разладки является 9, а Р°° отвечает случаю

отсутствия разладки (в = оо).

личиной) с критерием, состоящим в минимизации суммы штрафов за "ложную тревогу" и запаздывание при принятии решения:

т£

Р(г < в) + сЕ(т - в)

где инфимум берётся по всем моментам остановки относительно естественной фильтрации с Ег < сю. Было показано, что оптимальное правило представляет собой момент первого достижения процессом апостериорных вероятностей 7Гг = Р(0 < £ | некоторого порога:

т* = Щг =

Как отмечалось ранее, хорошие решающие правила должны как можно реже поднимать ложную тревогу в случае отсутствия разладки. Поэтому интерес представляет класс моментов остановки

Жт = {т-. Е°°т ^ Г},

для которых среднее время Е°°т до подачи (ложной) тревоги оказывается не меньше некоторой фиксированной величины Т.

Известно, что для модели разладки броуновского движения статистика Ширяева-Робертса 'ф является оптимальной в обобщённой байесовской постановке (т. е. в предположении, что 9 распределён "равномерно на положительной полупрямой действительной оси"):

™оо

г оо

ш£ / Ев(т - в)+(1в, е^т Jo

т&^т

а СиБиМ-статистика 7 оптимальна в смысле критерия Л ордена [9, 41,104]:

эир еээ вир Ев [(г - 9)+ I

е>0 и

смысл которого состоит в том, чтобы минимизировать максимальное запаздывание "по всем траекториям ы £ П" и по всем возможным моментам разладки 9^0. При этом оптимальными моментами остановки являются

г; = тф ^ 0 :фг = В}, т7* = > 0 : ъ = С},

соответственно, где В>0иС>0 - некоторые константы, а статистики ф — {фь)^о и 7 = (7г)^о в данной модели принимают вид

Сравнение методов Ширяева-Робертса и СиБИМ может быть найдено в работе М. Поллака и Д. Сигмунда [60].

Большой обзор имеющихся в настоящее время результатов по разладке можно найти в [65] и книге [61].

Наиболее популярным подходом к исследованию данных задач является использование правил, обобщающих обычную статистику СШиМ. Впервые данный подход был использован Г. Барнардом [7] для модели с двусторонними альтернативами. Позднее аналоги данного метода рассматривались многими авторами для более общих моделей [20, 28, 41]. В частности, А. Тартаковский [99] исследовал оптимальность метода А^-СиБиМ (состоящем из комбинации N одномерных правил СШИМ) для задачи с несколькими альтернативами.

М. Байбелем [10] были предложены критерии для двух байесовских постановок, первая из которых является обобщением тестов X. Р. Лерхе [39] для определения наличия сноса у броуновского движения, а вторая — обобщением процесса апостериорных вероятностей из постановки А. Н. Ширя-

7г = шах —

где

ева [101].

нять одно из двух значений: < 0 или /І2 > 0:

при t < 9,

Xt = < jjL^t - 9) + Bt при t ^ 9, ¡л = /¿і, ß2(t — 9) + Bt при t ^ 9,fi =

Величина падения процесса определяется как разница между текущим максимумом и значением процесса, а величина роста — как разница между его значением и текущим минимумом. В первой главе исследуются моменты первого достижения данными характеристиками некоторого уровня для модели броуновского движения со сносом

а также их минимум 7аь = та Л &ъ- С одной стороны, рассматриваемые моменты остановки представляют собой класс 2-CUSUM решающих правил, возникающих в задачах о разладке (чтобы получить общий класс правил, нужно рассматривать моменты та и аь для броуновского движения с разной величиной сноса). С другой стороны, данные величины играют важную роль в финансовой математике [67], поскольку их можно рассматривать как статистическую меру риска инвестирования в качестве альтернативы стандартным мерам риска, таким как вероятность возврата, V@R, Sharp ratio и т. д. Основные полученные результаты связаны с вычислением преобразований Лапласа для рассматриваемых моментов.

Отметим, что эффективность того или иного критерия в "непрерывном времени" обычно проверяется в первую очередь для броуновского движе-

ния со сносом. С одной стороны, это объясняется тем, что данный процесс является предельным случаем для многих моделей с дискретными наблюдениями. С другой стороны, для броуновского движения оптимальные правила во многих ситуациях имеют простую структуру, и могут быть впоследствии обобщены на другие марковские модели, такие как пуассо-новский процесс [19, 58, 81] и одномерные диффузии [23, 24].

Однако в последние два десятилетия различными исследователями отмечалось, что в теории телекоммуникаций [50], финансовых приложениях [3, 4] и некоторых других важных областях наблюдаемые данные обладают свойством сильной зависимости от прошлого и самоподобия.

В случае непрерывного времени простейшим примером процесса с данными свойствами является фрактальное броуновское движение Вн, где величина Н е (0,1) обозначает параметр самоподобия Харста. Процесс Вн определяется как выходящий из нуля гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией

Щз, г) = \(г2Я + з2Н *|2Я), о.

Чем больше Н, тем более гладкими оказываются траектории. В случае Н = 1/2 процесс

Вн совпадает со стандартным броуновским движением.

Впервые данный процесс был рассмотрен А. Н. Колмогоровым [88] в 1940 г. при исследовании вопросов моделирования турбулентности [89]. Большую популярность

Вн получил в связи с исследованиями Б. Ман-дельброта [44] по фракталам и, в частности, после работы [43], в которой фрактальное броуновское движение было построено в виде интеграла по винеровскому процессу на всей действительной прямой:

В? = ся [ [(* - з)1~х/2 - (-*)

Н-1/2

где Ся является некоторой нормирующий константой. Отметим, что именно у Б. Мандельброта и Дж. ван Несса [43] процесс Вн получил свое название (в своих работах А. Н. Колмогоров называл Вн "винеровской спиралью").

Характерными свойствами Вн являются гауссовость, самоподобие и стационарность приращений. При Н > 1/2 приращения процесса поло-

жительно коррелированы, а при Н < 1/2 — отрицательно. В дополнение к этому, при Н > 1/2 процесс Вн обладает свойством сильной зависимости от прошлого: {Вп+\~ ^п) ~ 00 • ДрУгие свойства могут быть найдены в монографии [46].

У. Четиным, А. А. Новиковым и А. Н. Ширяевым [13] была рассмотрена задача последовательного оценивания величины сноса /1 фракта�