Асимптотически d-оптимальные правила обнаружения разладки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

1 Вспомогательные сведения из dапостериорного подхода

§1.1. Оптимальные стратегии при известном априорном распределении

§1.2. Эмпирические стратегии контроля качества

2 Задачи обнаружения однократной разладки

§2.1. Асимптотически d-оптимальные правила обнаружения мгновенной разладки

§2.2. Асимптотика d-оптимального критерия обнаружения разладки с дополнительной байесовостью

§2.3. Асимптотика d-оптимального критерия обнаружения постепенной разладки

3 Задачи обнаружения многократной разладки

§3.1. Асимптотически d-оптимальные правила обнаружения сбоя

§3.2. Асимптотически «2-оптимальные правила обнаружения сбоя с дополнительной байесовостью

Проблема обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов возникает при решении многих прикладных задач: нарушение нормального хода производственного процесса, появление "цели" в радиолокации, возникновение землетрясений и т. д.

Изменение вероятностных характеристик наблюдаемого процесса принято называть разладкой.

Вопросы обнаружения разладки случайных процессов исследуются с начала 50-х годов прошлого века. Впервые такая задача рассматривалась М. Гиршиком, Г. Рубиным [58] и Е. Пейджем [74] для обнаружения момента изменения среднего в последовательности независимых нормально распределенных случайных величин.

В рассматриваемой проблематике можно четко различить два типа постановок задач, связанных с различным характером поступления данных (см. подробнее обзоры [24],[25],[27],[55],[65],[85]).

Одна из них состоит в том, что уже имеются все данные наблюдений и по поступившим данным требуется узнать, есть ли нарушение в однородности, а если есть, то по возможности точнее оценить момент или моменты (если их несколько) разладки. В этих задачах, носящих апостериорный (ретроспективный) характер, проверка гипотез о наличии или отсутствии разладки производится по всем имеющимся наблюдениям.

Дадим постановку этой задачи. Пусть X^ = (Xi,X2,. ■. ,Х„) — случайный вектор с независимыми компонентами. Рассматривается задача проверки гипотезы Hq (отсутствие разладки): независимые случайные величины Xi,. ,Хп (п фиксировано) одинаково распределены с плотностью f(x)о при альтернативе Hi (есть разладка): Xi,.,XT распределены с плотностью /<?0(ж), a XT+i,. ,Хп — с плотностью /i(ж), где /о Ф Д. Предполагается, что момент разладки г есть случайная величина с некоторым распределением вероятностей Р{г = к} = pk, к = 0,1,. , п. Событие {т = п} означает, что разладка не произошла (справедлива гипотеза Но)1рп — вероятность отсутствия разладки.

Впервые задача апостериорного обнаружения разладки была поставлена и решена Е. Пейджем [75], [76]. Следующий важный шаг в развитии апостериорных методов был сделан Д. В. Хинкли. В работах [60]—[64] он детально исследовал оценки максимального правдоподобия момента разладки. В работах [53], [67], [81] рассматривался байесовский подход к задаче апостериорного обнаружения разладки. Предполагалось известным распределение момента г появления разладки и распределение среднего гауссовской случайной величины. В работе [59], кроме ранее перечисленных предположений, число изменений среднего уровня может быть произвольным и даже априори неизвестным.

Большой интерес представляют работы по обнаружению разладки зависимых последовательностей. В работах JT. А. Тельксниса, Н. И. Клигене (см. обзор [24]) рассматривалась задача апостериорного обнаружения разладки моделей авторегрессии — скользящего среднего.

Эти задачи относятся, в сущности, к классической математической статистике. Однако, расчет характеристик соответствующих методов различения гипотез и оценивания наталкивается здесь на значительные математические трудности, преодоление которых осуществляется путем привлечения асимптотических рассмотрений, основанных на использовании предельных теорем для случайных процессов [31], [32], [54], [69].

Л. Гарднер [57] исследовал точное и асимптотическое распределения статистики байесовского критерия проверки гипотезы Hq (нет разладки) против альтернативы Н\ (есть разладка).

В работе Л. Ю. Востриковой [13] рассматривается задача об обнаружении разладки винеровского процесса.

В статьях [43], [84] находится предельное распределение оценки максимального правдоподобия момента разладки.

В работах Б. Е. Бродского, Б. С. Дарховского [3], [14]—[18] изучаются различные асимптотические свойства оценок момента разладки. В этих работах, а также в статьях [51], [52], [56] исследуются непараметрические методы (не использующие априорную информацию о случайной последовательности) в различных задачах о разладке.

Вторая постановка, называемая последовательной, возникает, когда наблюдения над процессом совершаются последовательно, текущим образом и цель состоит в том, чтобы на основании поступающих данных как можно быстрее подать сигнал о появлении разладки, сведя к минимуму ошибочные сигналы (ложные тревоги). Эта задача, именуемая по А. Н. Ширяеву задачей скорейшего обнаружения разладки., часто возникает при текущем контроле качества непрерывной продукции, в радиолокации, гидроакустике и т. д. Везде, где функция потерь зависит от времени между моментом появления разладки и моментом ее обнаружения и частоты ложных тревог.

Например, при непрерывном контроле технологического процесса увеличение запаздывания в обнаружении разладки приводит времени, в течение которого выпускается бракованная продукция, а увеличение частоты ложных тревог приводит, в свою очередь, к уменьшению выпуска продукции из-за остановок технологического процесса для его наладки. В рамках такой схемы часто удается придать ясную содержательную интерпретацию статистическим свойствам алгоритма обнаружения разладки, сводя все к единому экономическому критерию, включающему в себя стоимость единицы выпущенной продукции, цену потерь от брака, цену за применение алгоритма контроля и наладку оборудования и др. В таком случае максимизации подлежит общий средний доход производства.

Следуя работам А. Н. Ширяева [44]—[50], дадим формальную постановку задачи.

Пусть наблюдается последовательность независимых случайных величин Х\,Х2,. На некотором шаге т происходит разладка: Xi,.,XT одинаково распределены с плотностью /о(ж), а Хт+1,Хт+2., — с плотностью fi(x). Предполагается, что момент появления разладки г — целочисленная случайная величина с априорным распределением pk = Р{т = к = 1,2,. В качестве р^ рассматриваются относительно простые законы распределения [50], например, геометрический: Р{г = к | г > 0} = р( 1 — р)1*"1 к ^ 1. Дополнительно предполагается, что с вероятностью Р{г = 0} = 7г, 7г £ [0,1] разладка может иметь место до начала наблюдений. В этих условиях приведем основные варианты постановок задачи о разладке. i) Необходимо отыскать правило подачи сигнала о разладке v.: минимизирующее среднее время запаздывания в обнаружении разладки, когда тревога подается правильно:

Е*{v - т | v > г} при заданном математическом ожидании числа ложных тревог, подаваемых до момента появления разладки. ii) Необходимо минимизировать W{v — т\и^т} при заданной вероятности а = -р7Г{р < г} ложной тревоги.

Кроме вариационных постановок предлагается байесовская постановка. iii) Требуется отыскать критерий, минимизирующий величину риска p«{v) = 1>ж{у <т} + сЕж{р -т\и> т}Рп{и ^ г}, где с — положительный весовой коэффициент.

С точки зрения практики не всегда целесообразно предполагать, что известно априорное распределение момента разладки г. В работе Лордена [68] предложена следующая постановка задачи о разладке. iv) Необходимо получить алгоритм, минимизирующий верхнюю границу supEjzv — т | v ^ т} среднего запаздывания в обнаружении разладки по всем возможным моментам возникновения разладки, при заданном среднем времени

Е{и | v < г} 9 от начала наблюдений до подачи ложной тревоги при условии, что наблюдается неразлаженная последовательность.

Для решения задачи о разладке, в которой неизвестно априорное распределение момента появления разладки г, применяется алгоритм кумулятивных сумм [19], [68], [70], [77]—[79]. Впервые он был предложен Е, Пейджом в работе [74]. Алгоритм кумулятивных сумм представляет собой многократно применяемый последовательный анализ А. Вальда [4], а конкретно — последовательный критерий отношения вероятностей для двух простых гипотез Щ (нет разладки): в = #о и Н\ (есть разладка): 9. = 01, в — параметр плотности распределения вероятностей f$(x) наблюдаемых случайных величин.

В работе М. Я. Кельберта [23] устанавливается сходимость дискретной схемы к непрерывной, когда наблюдения проводятся чаще, а различаемые гипотезы в некотором смысле сближаются.

А. Г. Тартаковский [41] предложил многоальтернативное последовательное правило обнаружения разладки, когда после разладки происходит переход к одному из нескольких распределений.

Необходимо обратить внимание, что при решениях о кондиционности продукции с гарантированными ограничениями на риски изготовителя и потребителя (вероятности ошибок первого и второго рода), истинные риски будут заметно отличаться от уровней ограничений. Поясним это на следующем простом примере который обычно приводил Jl. Н. Большев в своих лекциях по вероятностным моделям (1972-1974 гг., Московский университет, не опубликовано).

Предприятие производит выборочные обследования выпускаемых за каждый технологический цикл партий своей продукции, используя некоторую процедуру контроля с риском потребителя 1%. Если предприятие всегда производит некондиционную продукцию, то ее определенная доля, но не более 1%, будет, тем не менее, поступать потребителю. Но в таком случае с точки зрения потребителя процедура контроля не является гарантийной, поскольку ему всегда поставляется продукция, не удовлетворяющая стандарту на качество, — истинный, а не мифический риск потребителя равен 100%. Естественно, стучись такое на реальном производстве, оно будет немедленно остановлено. Однако, это произойдет не в соответствии с решающим правилом процедуры контроля, и тем самым будет признано, что существующая процедура неприемлема с точки зрения ее гарантийности — необходимо управлять не вероятностью пропуска продукции неудовлетворительного качества, а долей кондиционной продукции среди принятой, т.е. управлять выходным уровнем качества. Решить такую задачу можно лишь в рамках байесовской модели производства продукции и проверки ее качества [8].

Характерной особенностью контроля качества серийного производства является то, что одна и та же статистическая задача возникает многократно, и решение о качестве контролируемого в данный момент объекта должно зависеть не только от результатов обследования этого объекта, но и от данных ранее проведенных испытаний аналогичных объектов. Чтобы пояснить смысл концепции гарантийности процедур такого типа, обратимся к классической (в духе Неймана-Пирсона) теории статистического вывода, в которой функция риска определяется как математическое ожидание потерь (см. постановку в [12]). Обычная интерпретация этого понятия и возникающего в связи с ним определения гарантийности состоит в искусственном домысливании некой бесконечной последовательности статистических экспериментов и в последующем сопоставлении величины риска процедуры с пределом средних арифметических потерь. При статистическом контроле серийной продукции такая бесконечная (или почти бесконечная) последовательность экспериментов существует реально, и поэтому представляется не только естественным, но и необходимым определить риск статистической процедуры контроля непосредственно через частоту ошибочно принятых решений о качестве продукции.

Рассмотрим последовательность контролируемых объектов и соответствующую ей последовательность статистических экспериментов, в каждом из которых производится обследование только одного из объектов. Результат к-го эксперимента (обследования k-ro объекта) представляет собой выборку х^ = (ж1?., хПк) объема п*. из распределения F(- | 9&), принадлежащего некоторому параметрическому семейству распределений {F{• | 6>), 9 Е в}. Параметр 9} индексирующий распределения семейства, характеризует качество контро лируемого объекта: объект считается кондиционным, если значение 9 принадлежит подобласти Go параметрического пространства в, некондиционному объекту соответствует значение 9 Е 61 = G \ ©о-Решение о приемке (кондиционности) объекта обозначим с/0, о некондиционности — d1.

Предполагается, что значение Ok параметра 9 в к-М эксперименте есть реализация случайной величины г? с априорным распределением G, о котором известно только то, что оно принадлежит некоторому семейству распределений Q на в.

Процедура контроля к-го объекта состоит из статистических правил остановки статистического эксперимента (прекращения наблюдений) и принятия решения о кондиционности объекта; этим правилам соответствует пара статистик (i^, 8k), где vj* — момент остановки (объем выборки), a 8k — решающая функция, принимающая одно из двух возможных "значений": d° или d1.

Последовательность ф = {{щ,8к),к ^ 1} статистических процедур, в которых при любом к ^ 1 статистики Vk и 8k зависят от результатов наблюдений ., предшествующих экспериментов с номерами 1,2,. ,к — 1, а также от результатов текущего к-го эксперимента, называется адаптивной стратегией контроля.

Таким образом, вся последовательность статистических экспериментов характеризуется последовательностью (9k:x^nk\dk), к — 1, 2,., состоящей из ненаблюдаемых значений 9k параметра 9, результатов испытаний х= (rcfci,. ,ХкПк) и принятых решений <4 (= или d1}.

Определим для каждой фиксированной последовательности {(9k, dk), к ^ 1} возрастающую последовательность j ^ 1} номеров тех экспериментов, в которых было принято решение d°. Кроме того, положим lj = 0, если для эксперимента с номером kj значение параметра принадлежит Go (принятое решение d° правильно), и lj = 1, если 9k. £ ©i (решение d° ошибочно). В случае, когда последовательность {kj,j ^ 1} конечна и решение d° принималось, скажем, J раз, полагаем lj = 0 для всех j > J.

Риском адаптивной стратегии ф от принятия решения d° называется величина т

Rg {dQ; ф) = lim sup — ^^ lj.

J-1

Отметим, что в общем случае риск представляет собой случайную величину, зависящую от всей бесконечной последовательности реализаций ненаблюдаемого параметра 9 и результатов испытаний.

По определению адаптивная стратегия ф гарантирует уровень п п П-Н' о для доли ошибочных решений сг, если Яд{аг\ф) ^ а0 для любого априорного распределения G Q. Аналогично определяется гарантийность и риск Яа{д}]ф) стратегии ф с уровнем а\ для доли ошибочных решений d1. Стратегия, гарантирующая оба уровня «о и ori, называется гарантийной стратегией контроля.

В дальнейшем наряду с введенными терминами "риск" и "гарантийность" будут использоваться также термины "d-риск" и ,!d-гарантийность11. Это будет сделано с целью противопоставления понятиям классической (с ограничениями на функцию риска) и апостериорной (с ограничениями на апостериорный риск) гарантийности процедур статистического вывода (см определения в [6]).

В рамках данных определений d-риска и ^-гарантийности в диссертации будут решаться следующие традиционные задачи теории статистического вывода.

A) Построение стратегий, гарантирующих либо один из уровней «о или ai, либо оба уровня одновременно.

B) Для заданной последовательности моментов остановки построение такой последовательности решающих функций (правил) {5k, k ^ 1}. что адаптивная стратегия ф = {(щ,6к),к ^ 1} гарантирует уровень ао и доставляет минимум величине риска

Яс{с1\Ф).

Если Q — достаточно широкий класс априорных распределений, то один из способов решения сформулированных задач базируется на эмпирическом байесовском подходе Роббинса (см., например, [21]). Реализуя этот подход, описанные задачи вначале решаются в предположении, что априорное распределение известно, а затем строится эмпирический аналог оптимальной стратегии, основанный на оценках априорного распределения G или непосредственно рисков Rdd1] ф) по накопленному архиву данных.

Нужно отметить, что задачу (А) можно решить вне рамок эмпирического байесовского подхода. Пусть ©о — интервал с границей, имеющей априорную меру нуль VG € и вп — состоятельная оценка 9 по выборке объема п. Тогда любая стратегия, объем выборки которой возрастает до бесконечности с ростом номера эксперимента w например, щ = к), а решающая функция <5* = d\ если 9\. € Ог-, будет гарантировать любые наперед заданные уровни. Более того, для риска этой стратегии Rdd1; ф) П= 0, i = 0,1.

Правила, полученные при решении задачи (В), будем называть d-оптимальными.

Таким образом, естественным расширением области приложения d-апостериорного подхода является построение оптимальных правил обнаружения разладки процессов.

Структура диссертации устроена следующим образом.

В первой главе приводятся необходимые сведения из d-апостериорного подхода к проблеме гарантийности статистического вывода.

Вторая глава посвящена построению асимптотически оптимальных правил для однократной разладки. В §2.1 рассматривается задача мгновенной разладки случайной последовательности. Приводятся условия регулярности. Пусть X= (Xi, Х2, ■ • • ,Хп) — случайный вектор с независимыми компонентами. Рассматривается задача проверки гипотезы Но (отсутствие разладки): независимые случайные величины Х\,. ,Хп (п фиксировано) одинаково распределены с плотностью fe0(x) при альтернативе Hi (есть разладка): Х\,.,ХТ распределены с плотностью fo0(x), а Хт+\,. ,Хп — с плотностью /^(ж), где 9q ф 9i. Предполагается, что момент разладки г есть случайная величина с некоторым распределением вероятностей Р{т = к} = pk, к = 0,1,. ,п. Событие {г = п} означает, что разладка не произошла (справедлива гипотеза Щ),Рп~ вероятность отсутствия разладки. Функции плотности fe0{x), fe^x) и вероятности pk считаются известными.

При выполнении условий регулярности доказывается теорема 2.1, в которой находится асимптотика d-оптимального критерия обнаружения разладки.

Далее, предлагается эмпирический аналог оптимального критерия, когда распределениеp(t), t £ [0; 1] оценивается по накопленному архиву данных объема s. .

В §2.2 рассматривается задача с дополнительной байесовостью. Будем предполагать, что 91 — 6$ = ф/л/п, где ф считается случайной величиной с априорной плотностью распределения д(и, сг), где во фиксировано, 9\ случайно. В теореме 2.2 устанавливается предельное распределение d-оптимального критерия.

§2.3 посвящен отысканию асимптотики в задаче о постепенной разладке. Пусть X^ = (Xi,X2,. , Хп) — случайный вектор с независимыми компонентами. Рассматривается задача проверки гипотезы Hq (отсутствие разладки): независимые случайные величины Х\,. ,Хп (п фиксировано) одинаково распределены с плотностью fojx) при альтернативе Н\ (есть разладка): Xi,., Хт распределены с плотностью fe0(x), а Хт+\ — с плотностью /^(ж), Хт+2 — с плотностью /в2 (х), . ,Хп-С плотностью fenr{x), где 9q ф в{. Предполагается, что момент разладки т есть случайная величина с некоторым распределением вероятностей Р(т = к) — рк, к = 0,1,., п. Функции плотности /б>0(ж), и вероятности pk считаются известными.

Будем считать, что где а+ = max(a, 0).

В теореме 2.3 найдена асимптотика (/-оптимального критерия в случае постепенной разладки.

В изложенных задачах приводятся результаты математического моделирования. По ограничению /3 вычисляются пороговые значения апостериорной вероятности отсутствия разладки с.

В главе 3 рассматриваются задачи обнаружения многократной разладки. §3.1 посвящен задаче о сбое случайной последовательности. Пусть X= (ХЪХ2, ■ • • ,Хп) — случайный вектор с независимыми компонентами. Рассматривается задача проверки гипотезы Щ (отсутствие сбоя): независимые случайные величины Х\,. ,Хп (п фиксировано) одинаково распределены с плотностью fe0{%) при альтернативе (есть сбой): Х\,.,Хп и ХТ2+\,. ,Хп распределены с плотностью fe0(.х), а Xn+i,. , ХТ2 — с плотностью (х), где Предполагается, что моменты сбоя т2 есть случайные величины с некоторыми распределениями вероятностей P{ti = ki} = ркг, ki = 0,1,. ,п, а Р{г2 = к2 | п = h} = grfej, к2 = тг + 1,., п,

Событие {т\ = п} означает, что сбой не произошел (справедлива гипотеза Но), рп — вероятность отсутствия разладки. Функции плотности fe0(x), fei{x) и вероятности ри, Як считаются известными. Выполнены стандартные условия регулярности. Будем предполагать, чтоб>1 = 6>0 + ^г.

При выполнении условий регулярности доказывается теорема 2.1, в которой находится асимптотика d-оптимального критерия обнаружения разладки.

В §3.2 изучается задача о сбое со случайным скачком Будем предполагать, что 9\ — во + где ф — случайная величина с некоторой плотностью распределения д(и,а). В теореме 3.2 устанавливается предельное распределение d-оптимального критерия.

В заключение сделаем несколько замечаний относительно принятой в диссертации системы нумерации. Нумерация параграфов задается двумя числами: первое — номер главы, второе — номер параграфа в данной главе; нумерация формул, лемм, теорем и следствий задается также двумя числами: первое — номер главы, второе — порядковый номер утверждений в главе.

1. Виллипгсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. 352 с.

2. Боровков А. А. Математическая статистика. — М.: Наука, 1984, 472 с.

3. Бродский Б. Е., Дарховский Б. С. Асимптотический анализ некоторых оценок в апостериорной задаче о разладке. — Теория ве-роятн. и ее примен., 1990, т. XXXV, в. 3, с. 551-557.

4. Вальд А. Последовательный анализ. М.: Физматгиз, 1960, 343 с.

5. Володин И. Н., Новиков А. А. Асимптотика необходимого объема выборки при d-гарантийном различении двух гипотез. — Изв. вузов. Математика. 1983, №11, с. 59-66.

6. Володин И. Н. Гарантийные процедуры статистического вывода (определение объема выборки). — В сб.: Исследования по прикладной математики. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1984, в. 10, с. 13-53.

7. Володин И. Н., Новиков Ан. А. Статистические оценки с асимптотически минимальным d-риском. — Теория вероятн. и ее при-мен., 1993, т. 38, в. 1, с. 20-32.

8. Володин И. Н., Новиков А. А. Симушкин С. В. Гарантийный статистический контроль качества: апостериорный подход. — Обозрение прикл. и промышл. матем., сер. вероятн. и статист., 1994, т. 1, в. 2, с. 148-178.

9. Володин И. Н., Новиков Ан. А. Асимптотика необходимого объема выборки при жестких ограничениях на d-риск. — В сб.: Актуальные вопросы современной математики. Сборник научных трудов. Новосибирск, НИИ МИОО НГУ, 1995, т. 1, с. 52-59.

10. Володин И. Н., Симушкин С. В. О (/-апостериорном подходе к проблеме статистического вывода. — Труды III международной конференции по теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс: ИМК АН ЛитССР, 1981, т. 1, с. 101-102.

11. Вострикова Л. Ю. Обнаружение "разладки" винеровского процесса. — Теория вероятн. и ее примен., 1981, т. XXVI, в. 2, с. 362-368.

12. Дарховский Б. С. Непараметрический метод для апостериорного обнаружения момента "разладки" последовательности независимых случайных величин. — Теория вероятн. и ее примен., 1976, т. XXI, в. 1, с. 180-184.

13. Дарховский В. С. Бродский Б. Е. Апостериорное обнаружение момента "разладки" случайной последовательности. — Теория вероятн. и ее примен., 1980, т. XXV, в. 3, с. 635-639.

14. Дарховский Б. С. О двух задачах оценивания моментов изменения вероятностных характеристик случайной последовательности. — Теория вероятн. и ее примен., 1984, т. XXIX, в. 3, с. 464-473.

15. Дарховский Б. С. Непараметрический метод оценивания интервалов однородности случайной последовательности. — Теория ве-роятн. и ее примен., 1985, т. 30, в. 4, с. 795-799.

16. Дарховский Б. С. Непараметрические методы в задачах о разладке случайной последовательности. — Статистика и управление случайными процессами, М.: Наука, 1989, с. 57-70.

17. Драгалин В. П. Оптимальность обобщенного алгоритма кумулятивных сумм в задаче скорейшего обнаружения разладки. — Тр. МИ РАН, 1993, т. 202, с. 132-148.

18. Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов. — М.: Физматлит, 1994, т. 1, 544 е.; т. 2, 368 с.

19. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975, 776 с.

20. Ибрагимов И. А., Хасъминсшй Р. 3. Асимптотическая теория оценивания. — М.: Наука, 1979, 528 с.

21. Кельберт М. Я. О сходимости дискретных схем к непрерывным в некоторых задачах последовательного анализа. — Теория ве-роятн. и ее примен. 1976, т. XXI, в. 3, с. 620-628.

22. Клигене Н., Телъкснис Л. Методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов. — Автоматика и телемеханика, 1983, №10, с. 5-56.

23. Колмогоров А. #., Прохоров Ю. В., Ширяев А. Н. Вероятностно-статистические методы обнаружения спонтанно возникающих эффектов. Тр. МИ АН СССР, 1988, т. 182, с. 4-23.

24. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986, 512 с.

25. Никифоров И. В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. М.: Наука, 1983, 199 с.

26. Николаев М. Л. Задача о "сбое" стохастической последовательности. — Труды V международной конференции по теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс, 1989, т. 4, с. 104.

27. Николаев М. Л. Задача о "сбое" технологического процесса. — IKM, XII. Internationaler Kongrefi iiber Anwendungen der Mathe-matik in den Indenieurwissenschaften Berichte Weimar 1990, c. 4647.

28. Новиков Ан. А. Асмимптотическая оптимальность последовательного d-гарантийного критерия. — Теория вероятн. и ее при-мен., 1987, т. 32, в. 2, с. 387-391.

29. Парджанадзе А. М. Функциональные предельные теоремы в задаче апостериорного обнаружения разладки. — Теория вероятн. и ее примен., 1986, т. 31, в. 2, с. 408-412.

30. Ронжин А. Ф. Предельные теоремы для задачи о "разладке" последовательности независимых случайных величин. — Теория вероятн. и ее примен., 1987, т. 32, в. 2, с. 309-316.

31. Симушкин С. В. Оптимальные d-гарантийные процедуры различения двух простых гипотез. ВИНИТИ АН СССР, №5547-81, депонир., 1981.

32. Симушкин С. В. Оптимальный объем выборки при d-гарантийном различении гипотез. — Изв. вузов. Математика. 1982, №5, с. 47-52.

33. Симушкин С. В. Эмпирический d-апостериорный подход к проблеме гарантийности статистического вывода. — Изв. вузов. Математика. 1983, №11, с. 42-58.

34. Софронов Г. Ю. О d-апостериорном подходе к проблеме гарантийности статистических правил обнаружения разладки. — Обозрение прикл. и промышл. матем., серv вер. и стат., 1998, т. 5, в. 2, с. 281-282.

35. Софронов Г. Ю. Асимптотически оптимальный критерий выявления разладки с заданным ограничением на d-риск. — Обозрение прикл. и промышл. матем., 2000, т. 7, в. 2, с. 530-531.

36. Софронов Г. Ю. Статистические оценки момента разладки с асимптотически минимальным d-риском. Обозрение прикл. и промышл. матем., 2001, т. 8, в. 1, с. 331.

37. Софронов Г. Ю. Асимптотически d-оптимальный критерий обнаружения разладки. — Теория вероятн. и ее примен., 2001, т. 46, в. 3, с. 571-572.

38. Софронов Г. Ю. rf-оптимальные последовательные правила обнаружения разладки. Обозрение прикл. и промышл. матем., 2001, т. 8, в. 2, с. 801-802.

39. Тартаковский А. Г. Асимптотически минимаксное многоальтернативное последовательное правило обнаружения разладки. — Тр. МИ РАН, 1993, т. 202, с. 287-295.

40. Телъкснис Л. А. О применении оптимального байесова алгоритма обучения при определении моментов времени изменениясвойств случайных сигналов. — Автоматика и телемеханика, 1969, №6, с. 52-58.

41. Хахубиа Ц. Г. Предельная теорема для оценки максимального правдоподобия момента разладки. — Теория вероятн. и ее примен., 1986, т. XXXI, в. 1, с. 152-155.

42. Ширяев А. Н. Обнаружение спонтанно возникающих эффектов. Докл. АН СССР, 1961, т. 138, №4, с. 799-801.

43. Ширяев А. Н. Задача скорейшего обнаружения стационарного режима. Докл. АН СССР, 1961, т. 138, №5, с. 1039-1042.

44. Ширяев А. Н. Об оптимальных методах в задачах скорейшего обнаружения. — Теория вероятн: и ее примен., 1963, т. 8, в. 1, с. 26-51.

45. Ширяев А. Н. К обнаружению разладки производственного процесса. — Теория вероятн. и ее примен., 1963, т. 8, в. 3, с. 264-281.

46. Ширяев А. Я. К обнаружению разладок производственного процесса. — Теория вероятн. и ее примен., 1963, т. 8, в. 4, с. 431-443.

47. Ширяев А. Н. Некоторые точные формулы в задачах о "разладке". — Теория вероятн. и ее примен., 1965, т. 10, в. 2, с. 380-385.

48. Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976, 271 с.

49. Bhattacharya G. К. Johnson R. A. Non-parametric test for shift at an unknown time point. — Ann. Math. Statist., 1968, v. 39, №5, p. 1731-1743.

50. Bhattacharya P. K.} Frierson D. Jr. A nonparametric control chart for detecting small disorders. — Ann. of Stat., 1981, v. 9, №3, p. 544-554.

51. Chernoff H., Zacks S. Estimating the current mean of a normal distribution which is subjected to change in time. — Ann. Math. Statist., 1964, v. 35, №3, p. 999-1018.

52. Davis R. A., Yi-Ching Yao. The asymptotic behaviour of the likelihood ratio statistic for testing a shift in mean in a sequence of independent normal variates. Prepr. Colorado State Univ., 1984.

53. Deshayes J. Picard D. Off-line statistical analysis of change-point models using non-parametric and likelihood methods. — In: Lect. Notes Control Inform. Sci., 1986, b. 77, s. 103-169.

54. Dilmbgen L. The asymptotic behavior of some nonparametric change-point estimators. — Ann. of Stat., 1991, v. 19, №3. p. 14711495.

55. Gardner L. A. On detecting changes in the mean of normal variates. Ann. Math. Statist., 1969, v. 40, M, p. 116-126.

56. Ghirshich M. A., Rubin H. A Bayes approach to a quality control model. Ann. Math. Statist., 1952, v. 23, №1, p. 114-125.

57. Hawkins D. M. Testing a sequence of observations for a shift in location. JASA, 1977, v. 72, №357, p. 180-186.

58. Hinkley D. V. Inference about the change-point in a sequence of random variables. — Biometrica, 1970, v. 57, №1, p. 1-17.

59. Hinkley D. V., Hinkley E. A. Inference about the change-point in a sequence of binominal variables. — Biometrica, 1970, v. 57, JYe3, p. 477-488.

60. Hinkley D. V. Inference in two-phase regression. — JASA, 1971, v. 66, p. 736-743.

61. Hinkley D. V. Inference about the change-point from cumulative sum tests. Biometrica, 1971, v. 58, №3, p. 509-523.

62. Hinkley D. V. Time-ordered classification. — Biometrica, 1972, v. 59, №3, p. 509-523.

63. Hinkley D. V., Chapman P., Runger G. Change-point problems. Prepr. Univ. Minnesota, 1982.

64. Huskovd M. Estimators in the location model with gradual changes.- Comment. Math. Univ. Carolinae, 1998, v. 39, №1, p. 141-157.

65. Kander Z. Zacks S. Test procedures for possible changes in parameters of statistical distributions occurring at unknown time points.- Ann.Math. Stat., 1966, v. 37, №4, p. 1196-1210.

66. Lorden G. Procedures for reacting to a change in distribution. — Ann. Math. Stat., 1971, v. 42, №6, p. 1897-1908.

67. MacNeill I. B. Tests for change .of parameter at unknown times and distributions of some related functional on Brownian motion. — Ann. of Stat., 1974, v. 2, №5, p. 950-962.

68. Moustakides G. V. Optimal stopping times for detecting changes in distribution. Ann. of Stat., 1986, v. 14, №4, p. 1379-1387.

69. Novikov A. A. Volodin I. N. Pointed priors and asymptotics of the a posteriori risk. — In: Proceedings of Fourth International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Vilnius, 1987, p. 421-431.

70. Novikov A. A., Volodin I. N. Asymptotics of necessary sample size under small c?-risk. — In: VI International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Abstracts of communications, v. 2, Vilnius, 1993, p. 66-67.

71. Novikov A. A., Volodin I. N. Asymptotics of the necessary sample size under small error probabilities. — J. Math. Sci., 1997, v. 84, №3, p. 1145-1150.

72. Page E. S. Continuous inspection schemes. — Biometrica, 1954, v. 41, №1, p. 100-115.

73. Page E. S. A test for a change in a parameter occuring at unknown point. — Biometrika, 1955, v. 42, №4, p. 523-527.

74. Page E. S. Estimating the point of change in a continuous process. Biometrika, 1957, v. 44, №2, p. 248-252.

75. Pollak M. Optimal detection of a change in distribution. — Ann. of Stat., 1985, v. 13, №1, p. 206-227.

76. Pollak M. Average run length of an optimal method of detecting a change in distribution. Ann. of Stat., 1987, v. 15, №2, p. 749-779.

77. Pollak M., Siegmund D. Sequential detection a change in a normal mean when the initial value is unknown. — Ann. of Stat., 1991, v. 19, №1, p. 394-416.

78. SimushMn S. V., Volodin I. N. Statistical inference with a minimal d-risk. Lect. Notes Math., 1983, v. 1021, p. 629-636.

79. Smith A. F. A Baeysian approach to inference about a change-point in a sequence of random variables. — Biometrica, 1975, v. 62, jYe2, p. 407-416.

80. Volodin I. N. Novikov A. A. Asymptotics of the necessary sample size in testing parametric hypoteheses: d-posterior approach. — Mathematical Methods of Statistics, 1998, v. 7, №1, p. 111-121.

81. Yi-Ching Yao Approximating the distribution of the maximum likelihood estimate of the change-point in a sequence of independent random variables. Ann. of Stat., 1991, v. 15, №3, p. 1321-1328.

82. Zacks S. Survey of classical and Bayesian approaches to the change-point problem: fixed sample and sequential procedures of testing and estimation. — Recent advances in statistics. N. Y.: Acad, press Inc., 1983, p. 245-269.