Методы обнаружения и оценивания моментов разладок в задачах идентификации стохастических объектов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

1 Обобщение задачи о единичной разладке

1.1 Постановка задачи. Формулировка результатов

1.2 Вид стохастического дифференциального уравнения для апостериорной вероятности распределения момента разладки.

1.3 Некоторые результаты теории оптимальных моментов остановки.

1.4 Байесовская постановка задачи: доказательство теоремы

1.5 Условно экстремальная постановка задачи: доказательство теоремы.

2 Задача о множественной разладке

2.1 Постановка задачи. Формулировка результатов

2.2 Оптимальная нелинейная фильтрация по скачкообразным наблюдениям.

2.3 Задача о множественной разладке: доказательство теоремы

2.4 О других постановках задачи.

2.5 Предельная теорема в задаче о множественной разладке

3 Оптимальное управление в схеме, порождаемой пуассоновским процессом кратности два.

3.1 Математическая постановка задачи.

Формулировка результатов

3.2 Вспомогательные результаты.

3.3 Доказательство теоремы.

Применение методов идентификации разладок в медицине

4.1 Компьютерная обработка результатов суточного измерения давления

4.2 Модели процесса изменения уровня артериального давления

4.3 Проблемы обнаружения разладок в процессе изменения уровня артериального давления.

Одной из важных задач математической кибернетики является идентификация физических объектов, цель которой - построение адекватных математических моделей. Очень часто на практике приходится сталкиваться с системами, в которых происходят качественные изменения их характеристик (т.н. "разладки"). Эти изменения (их может быть несколько) происходят в системе в неизвестные, вообще говоря, случайные моменты времени. По этой причине под идентификацией можно понимать задачи обнаружения моментов разладок, построения оценок, а также изучение их свойств. Рассмотрению этих задач посвящено большое количество работ (см., например, Ширяев А.Н. [75]-[77], [79], Бродский Б.Е. [7],[9], Дархов-ский B.C. [19],[20], Новиков A.A. [57], Pollak [60],[61] и др.). Заметный интерес к задачам построения оценок моментов разладки в системе объясняется множеством физических объектов, в которых наблюдается данное явление.

Так при эксплуатации радиотехнической системы приходится решать вопросы, связанные с оценками ее состояния. Очень часто они касаются определения момента изменения вероятностных характеристик одного из используемых диагностических признаков: оценивание момента изменения, определение его закона распределения и др. [6]. При непрерывном мониторинге за сейсмической обстановкой на территории сейсмоактивного региона особое значение имеет надежное обнаружение и точная оценка на записях появлений сейсмических волн от землетрясений. С помощью этой характеристики, которую можно определять как разладку, оцениваются основные параметры землетрясений [50]. Другими примерами систем и объектов, в которых происходят разладки, могут служить контроль параметров производственных процессов, скорейшее обнаружение критических режимов в электроэнергетических системах и многие другие.

Отдельный интерес представляет проблема обнаружения объектов, случайно появляющихся и уходящих из зоны контроля локационных средств. Ее разрешению посвящена известная задача о "светлячках", которая в приложении к данной проблеме допускает следующую интерпретацию. Летящий объект (ракета или самолет), с целью усложнения работы средств наблюдения, в случайные для наблюдателя моменты времени выпускает лжецели (например, это шарики из фольги). При этом траектория объекта на экране измерительных приборов оказывается искаженной. Моменты вылета частиц можно интепретировать как моменты наступления разладок, и задача оценивания траектории объекта успешно решается на основе методов идентификации этих моментов.

При математическом описании процессов артериального давления (АД), получаемых при суточном мониторинге, оказалось, что в системе автоматической регуляции АД могут происходить качественные изменения коэффициентов обратной связи. Идентификация этих изменений снова может быть сведена к решению задач о разладке.

Обнаружение резких изменений в рассматриваемом физическом объекте остается актуальным в связи с работами, посвященными разработке лингвистических методов анализа больших массивов информации, представленных в виде экспериментальных кривых [47].

Обнаружением моментов изменения характеристик объектов в терминах разладок занимались многие авторы. Первые постановки задач предполагали описание объекта с мгновенно изменяющейся в некоторый момент времени структурой с помощью последовательности случайных величин. Так, в [59] Пейдж рассмотрел последовательность {£г}г>1 независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих до момента разладки 9 плотность распределения Ро(х), а после этого момента - плотность р\{х). В качестве правила, по которому оценивается момент 0, Пейдж предложил следующее: в* = inf{п : п > > а}, п pi(£-) где Z+ = max(Zn - Zs), ZÏ = 0, Zn = Y]ln——-, a - некоторый noi Po{&) рог. Ширяев A.H., также рассматривая в качестве математической модели объекта последовательность независимых случайных величин в [76], предложил другой алгоритм обнаружения разладки:

9* = inf{n :п> 1,А„ > а}, где

При этом выяснилось, что (см. [69]) асимптотическое поведение правила Пейджа в некотором смысле превосходит правило Ширяева. Для этой же постановки Ширяев А.Н. в [79] предложил другое правило оценивания момента разладки:

9* = inf{п : п > 1, ттп > а}, с 7Г„ = Р{9 < - апостериорной вероятностью распределения момента разладки. Бесспорным преимуществом правил Пейджа и Ширяева является возможность подавать на каждом шаге "тревогу" о наступлении изменений в свойствах последовательности. Д. Аса-трян и И. Сафарян в [1] предложили алгортим апостериорного оценивания момента разладки: в какой из моментов времени в прошлом наступила разладка, если вся последовательность наблюдений получена и может целиком быть использована для построения оценки. Авторы сумели показать состоятельность оценки [1].

Изучением оценок параметров последовательностей, изменяющих свои свойства в случайный момент времени, занимался Силаев A.M. [66]. Рассмотрение претерпевающих изменения в своих характеристиках объектов, представимых в виде дискретных последовательностей, можно найти также в [22], [24].

Зачастую выбор последовательности независимых случайных величин в качестве математической модели объекта с качественным изменением свойств оказывается неудачным. По этой причине другой подход к описанию такого рода объектов состоит в использовании моделей регрессионного типа (см. [37], [15], [16], [17], [34], [44], [83], [5], [28], [29], [30], [33]). Идентификации моментов разладки в регрессионных моделях посвящено большое количество работ. Остановимся подробнее лишь на некоторых из них. Итак, рассмотрим процесс вида xt = f(xt-1,^-2, • • 0) t = 1,2,., где / некоторая известная функция, в - параметр системы, меняющийся в неизвестный момент времени г, а процесс г является дискретным белым шумом. В коэффициенте (3 также может произойти разладка. Бородкин А.И. и Моттль В.В. в [5] предположили, что вектор парамеров изменяется в неизвестный, но детерминированныи момент времени, при этом вектор параметров после наступления разладки неизвестен. Авторы предложили алгоритм обнаружения разладки, в основу которого лег метод наименьших квадратов. Также, как и в [33] этот алгоритм оказывается неоптимальным в смысле запаздывания. Иной подход к описанию объекта, испытывающего качественное изменение своих свойств, прослеживается в [15]. Скачкообразно изменяется не только параметр /3, но и функция /: до момента времени 9 объект х определяется системой уравнений: хг+1 = Ах^х) + В1(г,х)гг+1, а начиная с момента времени О, системой уравнений А2(£,Х) + В2^,х)гг+1.

При этом оценка момента 0, который является уже случайным, может быть построена с помощью метода наименьших квадратов. Модификация постановки рассмотренной задачи выполнена этими же авторами в [17] в предположении, что распределение помехи г неизвестно. В [34] рассматривается класс случайных процессов следующего вида с последовательностью независимых гауссовских величин {£г'}г=1,2,. и параметрами системы сг-, г = 0,., т. В основу разработанного метода обнаружения изменений свойств моделируемой системы лег принцип последовательной проверки гипотез о моменте времени разладки с использованием критерия отношения правдоподобия.

По-видимому, задачи идентификации разладки, в которых в качестве математической модели объекта выбираются дискретные последовательности случайных величин, в частности, модели авторе т к = 1,2,. г=1 грессии, рассмотрены очень подробно. При этом разработан ряд методов решения рассматриваемых задач идентификации: метод кумулятивных сумм, метод усредненного отношения правдоподобия, модифицированный метод наименьших квадратов и др. Но до сих пор имеется сранительно небольшое количество работ, посвященных описанию "разлаживаемых" объектов с помощью процессов диффузионного типа. Так, в [79] (см. также [78]) Ширяевым А.Н. предложена постановка задачи о разладке для объектов, допускающих описание в виде винеровского процесса. При этом объект, испытывающий разладку, допускает описание в виде стохастического дифференциального уравнения д,Х1=г1{Ь>9}<И + оШи жо = О, где винеровский процесс Ц^ не зависит от момента разладки в, а г - некоторая константа. Рассматривая эту задачу в двух постановках, байесовской и вариационной, Ширяев А.Н. предложил следующее правило: в* = : г > 0,тг* > А}, где щ = Р{9 < ЦЗ'*}, а порог А определяется в каждой из постановок по-своему. Процедура построения алгоритма обнаружения разладки основана на элементах теории оптимальных моментов остановки для марковских последовательностей.

В [21] предлагается иной способ описания объекта, являющийся модификацией [79]:

Х1 ~ гх^{Ь > 9} сИ + очШ^, хо = 0.

При этом также изучается распределение времени запаздывания в объявлении "тревоги" о наступлении нарушений в системе Р{т — 9 < тп\т > 9} (здесь г - марковский момент, претендующий на то, чтобы стать оценкой в). Построение оценки для процессов диффузионного типа можно также найти в [21].

Если задачам обнаружения единичного изменения вероятностных характеристик процессов (будь то случайная последовательность в дискретном или диффузионном виде) посвящено немало работ, то процессы с многократным изменением свойств изучены явно недостаточно. Так, Воробейчиков и Конев в [16] предложили алгоритм, основанный на модифицированном методе наименьших квадратов, который может применяться для обнаружения не только единичных, но и также и множественных разладок. Харин в [72] (см. также [74] и [45]) строил оценки моментов множественной разладки для объектов, описываемых с помощью временных рядов. Работ же, в которых изучались бы диффузионные процессы с многократными разладками, до недавних пор в печати не было. Это связано, скорее всего, с рядом трудностей, которые возникают при строгом, математическом обосновании алгоритмов оценивания моментов многократного изменения свойств процесса.

Отметим также, что для широкого класса диффузионных процессов, испытывающих множественные разладки, не рассматривались и задачи, связанные не столько с идентификацией моментов разладок, сколько с оцениванием параметров самого процесса, в частности, значений этого процесса. При этом конструкция моделируемого объекта сама может предусматривать изменение параметров системы в случайные моменты времени.

Зачастую изменение свойств объекта обуславливается не внутренними нарушениями системы. Сам наблюдатель, управляя объектом, влияет на изменение его характеристик таким образом, что движение системы происходит оптимальным в некотором смысле образом. Так возникает широкий класс кибернетических задач, являющихся двойственными по отношению к задачам идентификации разладок. Подобные задачи имеют свое применение, в частности, в финансовой математике.

Цель предлагаемой работы состоит в том, чтобы осуществить математическое описание объектов со скачкообразно меняющейся структурой на основе процессов диффузионного типа и провести построение методов идентификации как единичных, так и множественных разладок для процессов этого класса. В рамках данного исследования предполагается также применение созданных методов обнаружения моментов качественного изменения свойств объекта в задаче моделирования процессов артериального давления.

При формулировке и доказательстве результатов используются элементы теории оптимальных моментов остановки (Ширяев А.Н. [79]), мартингальные методы (Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. [32]), в частности метод предельных теорем, а также метод динамического программирования [2].

Научная новизна работы определяется следующими факторами. Теоремы о виде оценок момента единичной разладки для процесса диффузионного типа, являющиеся по сути обобщением результатов Ширяева А.Н., новые. Постановки задач о множественной разладке, а также правила оценивания моментов разладки, являются новыми. Фильтрация диффузионных процессов по скачкообразным наблюдениям, используемая при рассмотрении одной из постановок решаемых задач, является модификацией задачи, рассмотренной Яшиным А.И. в [84]. Соответствующая теорема также является новой. Постановка задачи об управлении в схеме, порождаемой пуассоновским процессом кратности два, и полученный вид оптимального управления также являются новыми.

Научная и практическая ценность работы определяется тем, что в ней предложены методы идентификации изменений, происходящих в изучаемых объектах. Эти методы, формулируемые в виде теорем, получили строгое математическое обоснование. Особо следует подчеркнуть возможность применения полученных результатов при моделировании физиологических (и в общем случае биологических) процессов в связи с растущим в мире интересом к математическим моделям в биологии и медицине.

По теме диссертации опубликовано 10 работ [51]-[56], [63]-[65], [12]. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 84 наименований источников российских и зарубежных авторов, а также приложений.

Выводы и заключение

В диссертационной работе исследовались математические модели объектов, испытывающих качественные изменения своих характеристик в некоторые, вообще говоря, случайные моменты времени. В качестве таких моделей были взяты процессы диффузионного типа, и задача идентификации объекта свелась к построению методов обнаружения и оценивания моментов разладки, а также к определению параметров самого объекта. Также рассмотрена задача построения оптимального управления, которая является двойственной к задаче о разладке. Наиболее удобными для решения рассматриваемых задач оказались мартингальные методы, а также методы оптимальных моментов остановки, динамического программирования и др. Полученные теоремы позволяют решать ряд важных задач математической кибернетики. Основные результаты, полученные в диссертационной работе и выносимые на защиту, следующие:

1. Решение задачи оценивания момента единичной разладки в тренде процесса диффузионного типа. При этом тренд процесса является не только функцией времени, но также зависит от поведения траектории объекта.

2. Математическое описание объекта, порождающего помеху в случайные моменты времени, и решение задачи построения оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки координаты самого объекта. Формулировка и доказательство теоремы об оптимальной фильтрации по скачкообразным наблюдениям для диффузионных процессов общего типа.

3. Математическое описание объекта, испытывающего множественные разладки в случайные моменты времени, с помощью процессов диффузионного типа. Формулировка и доказательство теорем, лежащих в основе методов обнаружения и оценивания моментов разладок параметров объекта.

4. Решение задачи оптимального управления в схеме, порождаемой пуассоновским процессом кратности два. Применение данной задачи, являющейся двойственной к задачам о разладке, в моделях финансовой математики.

5. Применение методов идентификации разладок в задаче моделирования процессов артериального давления, получаемых при суточном мониторинге. Построение математических моделей процессов. Оценивание моментов скачкообразного изменения коэффициента обратной связи в системе регуляции артериального давления с помощью предложенных методов обнаружения разладок.

1. Асатрлн Д. Сафарян И. Непараметрические методы обнаружения изменений свойств случайных последовательностей. В кн. "Статистические проблемы управления". Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1994, в.65, с.9-20.

2. Беллман Р. Гликсберг И. Гросс О. Некоторые вопросы математической теории управления. М.: Издательство иностранной литературы, 1969.

3. Виллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.:Наука, 1977.

4. Биосистемы в экстремальных условиях. Вычислительный центр РАН, Москва, 1996, 84 стр.

5. Бородкин Л. И. Моттлъ В. В. Алгоритм обнаружения моментов изменения параметров случайного процесса. Автоматика и телемеханика, 1976, N6, с.23-32.

6. Бредихин И. Определение момента изменения режима функционирования радиотехнических систем. В кн. "Статистические проблемы управления". Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1998, в.83, с.20-25.

7. Бродский Б.Е. Асимптотически оптимальные методы в задаче скорейшего обнаружения разладки. Автоматика и телемеханика, 1995, N9, с.60-72.

8. Бродский Б.Е. Асимптотически оптимальные методы в задаче скорейшего обнаружения разладки. Автоматика и телемеханика, 1995, N10, с.50-58.

9. Бродский Б.Е. Дарховский Б.С. Сравнительный анализ некоторых непараметрических методов скорейшего обнаружения разладки случайного процесса. Теория вероятн. и ее примен., 1990, т.35, в.4, с.655-668.

10. Бутов А.А. Некоторые вероятностные задачи, возникающие при построении моделей облигаций. Обозрение прикладной и промышленной математики, 1997, т.4, выпуск 1, с. 5-17.

11. Butov A.A. Arbitrage possibilities for the price processes with fixed terminal values. Фундаментальные проблемы математики и механики. Выпуск 3. Сб. п/р Б.Ф. Мельникова. Ульяновск, УлГУ, с.9-16.

12. Бутов А.Ф., Николаев А.Ф. Один метод моделирования процессов изменения артериального давления // Тезисы докладов на Первом Всероссийском семинаре "Моделирование неравновесных систем-98", стр.30.

13. Вентцелъ А.Д. Курс теории случайных процессов: Учебное пособие для зшиверситетов. 2-е изд., доп. - М.:Наука, Физматлит,1996.

14. Волков С.Н, Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов. Обозрение прикладной и промышленной математики,1997, т.4, выпуск 1, с. 18-65.

15. Воробейчиков С.Э. Конев В.В. Обнаружение разладок случайных процессов рекуррентного типа. В кн. "Статистические проблемы управления". Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1984, в.65, с.58-66.

16. Воробейчиков С.Э. Конев В.В. Последовательный метод обнаружения разладок сл}'чайных процессов рекуррентного типа. -Автоматика и телемеханика, 1984, N5, с.27-38.

17. Воробейчиков С.Э. Конев В.В. Обнаружение изменений параметров авторегрессионных процессов с неизвестным распределением помех. В кн. "Статистические проблемы управления".106

18. Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1988, в.83, с.175-180

19. Willsky A.S. Jones H.L. A generalized likelihood ratio approach to the detection and estimation of jumps in linear systems. IEEE Trans. Automat, Contr., 1976, V.AC-21, N1, P.108-112.

20. Дарховский Б.С. Бродский Б.Е. Непараметрический метод скорейшего обнаружения среднего случайной последовательности. Теория вероятн. и ее примен., 1987, т.32, в.4, с.703-711.

21. Дарховский Б. С. Ретроспективное обнаружение разладки в некоторых моделях регрессионного типа. Теория вероятн. и ее примен., 1995, т.40, в.4, с.898-902.

22. Догвери В. Шашвиашвили М. О последовательности обнаружения разладки винеровского процесса. В кн. "Статистические проблемы управления". Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1988, в.83, с.42-46.

23. Драгалин В. Асимптотическое решение задачи обнаружения разладки при неизвестном параметре. В кн. "Статистические проблемы управления". Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1998, в.83, с.47-51.

24. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963 г.

25. Ермаков М. Минимаксное обнаружение непараметрического изменения распределения независимой выборки. В кн. "Статистические проблемы управления". Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1988, в.83, с.53-56.

26. Жакод Ж. Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов, т.1. М.: Физматгиз, 1994.

27. Жакод Ж. Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов, т.2. М.: Физматгиз, 1994.

28. Ioannis Karatzas. Lectures on the Mathematics of Finance. CRM, monograph series, ISSN 1065-8599; v.8, 1997, 148 P.107

29. Казаченок В. Построение разрывных регрессионных моделей при стохастических ограничениях. Байесовский подход. В кн. "Статистические проблемы управления". Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1988, в.83, с.181-186

30. Липейка А. К. Об определении моментов изменения свойств авторегрессионной последовательности. В кн. "Статистические проблемы управления". Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1979, вып.39, с.9-23.

31. Липцер Р.Ш. Ширяев А.Я. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

32. Липцер Р.Ш. Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

33. Лумельский В.Я. Один алгоритм обнаружения момента времени изменения свойств случайного процесса. Автоматика и телемеханика. - 1972. - N10. - с.67-73.

34. Каминскас В. Шидлаускас К. Последовательное обнаружение изменения свойств авторегрессионного временного ряда. В кн. "Статистические проблемы управления". Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1984, в.65, с.84-89.

35. Каплан Е.И. К задаче о разладке для случайных полей. Теория вероятн. и ее примен., 1990, т.35, в.2, с.353-357.

36. Клигене Н. Телъкснис Л. Методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов. Автоматика и телемеханика. - 1983. - N10, с.5-56.108

37. Колмогоров А.Н. Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.гНаука, 1989.

38. Мальцев A.A. Силаев A.M. Обнаружение скачкообразных изменений параметров и оптимальное оценивание состояния дискретных динамических систем. Автоматика и телемеханика, 1985, N1, с.48-58.

39. Математические модели в иммунологии и медицине: Сборник статей 1982-1985 гг. Пер. с англ./ Сост. Г.И. Марчук, Л.Н. Белых. М.: Мир, 1986.

40. Математическое моделирование в иммунологии и медицине. -Новосибирск: Наука, 1982.

41. Медведев Г. Казаченок В. Оценивание разрывной функции распределения. В кн. "Статистические проблемы управления". Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1984, в.65, с.128-134

42. Мельникова E.H. Харин Ю.С. Обнаружение многократных разладок и классификация временных рядов с помощью статистических оценок межклассовых расстояний. Автоматика и телемеханика, - 1991. - N12. - с.76-84.109

43. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.:Наука, 1971.

44. Мучник И. Б. Мучник Р. Б. Алгоритмы формирования языка для описания экспериментальных кривых. Автоматика и телемеханика, 1973, N5, с.86-98.

45. Mehra R.K. Peshon J. An innivation approach to fault detection and diagnosis in clynamic systems. Automática, Journal IFAC, 1974, V.7, P.637-640.

46. Moustakides G. V. Optimal Stopping Times for Detecting Changes in Distributions. Ann. Statist., 1986, V.14, N4, P.1379-1387.

47. Николаев А.Ф. Задача о "светлячках". //Труды молодых ученых УлГУ: тезисы докладов на V научно-практической конференции. Ульяновск, УлГУ. 1996., стр.12.

48. Николаев А.Ф. Марковское свойство решений некоторых стохастических дифференциальных уравнений. // Фундаментальные проблемы математики и механики. Сб. п/р А.А.Бутова. Ульяновск, УлГУ, 1996. с.42-45.

49. Николаев А.Ф. Об одной постановке задачи о множественной "разладке". // Теория вероят. и ее примен. 1998, т.43, в.2, стр.370-374.

50. Николаев А.Ф. Предельная теорема для одной постановки задачи о множественной разладке. // Тезисы докладов на между-нар. конф. "Комбинаторные и вычислительные методы в математике", Омск, 1998, с.101-103.

51. Николаев А.Ф. Задача о разладке в общем случае. // Тезисы докладов на V Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам в "Обозрении прикладной и пром. математики", 1998, т.5, вып.2., с.250.

52. Николаев А.Ф. Об одной задаче управления капиталом. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1999, т.6, вып.1, 5 стр.

53. Новиков А.А. О моменте первого выхода процесса авторегрессии за уровень и одно применение в задаче "разладки". Теория вероятн. и ее примен., 1990, т.35, в.2, с.282-292.

54. Пресман Э.Л. Сонин И.М. Последовательное управление по неполным данным. Байесовский подход. М.:Наука, 1982.

55. Page E.S. Continuous Inspection Schemes. Biometrica, 1954, V.41, N1, P.100-115.

56. Pollak M. Optimal Detection of a Change in Distribution. Ann. Statist., 1985, V.13 N1, P.206-227.

57. Pollak M. Average Run Length of an Optimal Method of Detecting Change in Distribution. Ann. Statist., 1987, V.15 N2, P.749-779.

58. Роббинс P. Сигмунд Д. Чао И. Теория оптимальных правил остановки. М.:Наука, 1977.

59. Рузов В.И., Николаев А.Ф., Камаева Г.Ш. Вариабельность артериального давления у больных гипертонической болезнью. //Современные вопросы практической медицины: тезисы XXXIII научно-практической конференции врачей Ульяновской области. 1998, с.534-535.

60. Рузов В.И., Николаев А.Ф., Бутов А.А. Характеристика показателей суточного мониторирования у больных гипертонической болезнью. // V Российский национальный конгресс "Человек и лекарство": тезисы докладов. 1998 г, с.182.

61. Силаев A.M. Оптимальное оценивание параметров марковских последовательностей, изменяющих свои свойства в случайный момент времени. Автоматика и телемеханика, 1997, N10, с.58-69.

62. Segen J Sanderson A. Detection change in time series. IEEE Trans. Inform. Theory. 1980, V.IT-26, N2, P.250-355.

63. Тартаковский Л. Г. Обнаружение изменений свойств случайных последовательностей. Последовательное обнаружение. Автоматика и телемеханика, 1987, N8, с.106-113.

64. Тартаковский Л.Г. Иванова И.А. Сравнение некоторых последовательных правил обнаружения разладки. Проблемы передачи информации, 1992, т.28, в.2, с.21-29.

65. Телъкснис Л.А. О применении байесова алгоритма обучения при определении момента времени изменения свойств случайных сигналов. Автоматика и телемеханика, 1969, N6, с.52-58.

66. Friedlard В. Multidimensional maximum-likelihood failure detection and estimation. IEEE Thans. Autom. Contr., 1981, vol.AC-96, N2, P.567-570.

67. Харин Ю. С. Обнаружение разладок марковского типа в случайной последовательности многомерных наблюдений. В кн. "Статистические проблемы управления". Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1984, в.65, с.225-233

68. Харин Ю.С. Классификация случайных серий неизвестной длины. Проблемы передачи информации, 1985, т.XXI, в.4, с.64-75.112

69. Харин Ю.С. Выявление многократных разладок и классификация временного ряда с помощью дивергенции Кульбака. В кн. "Статистические проблемы управления". Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1988, в.83, с.152-157

70. Ширяев А.Н. Задача скорейшего обнаружения нарушения стационарного режима. Докл. АН СССР. - 1961. - 8, N5. - С.1039-1042.

71. Ширяев А.Н. Об оптимальных методах в задачах скорейшего обнаружения. Теория вероятн. и ее примен., 1963, т.8, в.1, с.26-51.

72. Ширяев А.Н. Некоторые точные формулы в задаче о разладке. Теория вероятн. и ее примен., 1965, т.10, в.2, с.380-385.

73. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. 1-ое издание, переработанное. М.: Наука, 1969.

74. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. 2-ое издание, переработанное. М.: Наука, 1976.

75. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.

76. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников A.B. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов.I. Дискретное время. Теория вероятностей и ее применения, 1994, т.39, выпуск 1, с. 23-79.

77. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников A.B. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов.II. Непрерывное время. Теория вероятностей и ее применения, 1994, т.39, выпуск 1, с. 80-129.

78. Юргутис М. Сравнение статистических свойств оценок момента изменения параметров авторегрессионных последовательностей. Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН ЛитССР, 1984, в.65, с.234-243113