Методы оптимальной обработки нестационарных случайных марковских сигналов со скачкообразными изменениями параметров и импульсными возмущениями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

и - '

му.ГЛ

^ / ...... " * " На правах рукописи

СИЛАЕВ Андрей Михайлович

методы оптимальной обработки нестационарных случайных марковских сигналов со скачкообразными изменениями параметров и импульсными возмущениями

01.04.03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРЕАТ

диссертации н& соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Нижний Новгород — 1998

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского (ННГУ).

Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор Мальцев А.А.

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Зверев В.А.,

«

доктор физико-математических наук, профессор Трифонов А.П.,

доктор физико-математических наук, профессор Кунченко Ю.П.

Ведущая организация Нижегородский научно-исследовательский институт радиотехники

Защита состоится

" ¿¿/¿>МР 1998 г. в

на заседании диссертационного совета Д 063.77.09 при Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского по адресу: 603600, Н.Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп. 4, радиофизический факультет, ауд. 202.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан "30" О-и^-влЛ* 1998 г.

Ученый секретарь А. , * >

диссертационного совета / ( '7 £ . ) Черепенников В. В.

/ /

общая характеристика работы

Актуальность проблемы.

Вопросы обработки нестационарных случайных сигналов, принимаемых на фоне шумов и помех, представляют интерес для статистической радиофизики, радиосвязи, радиолокации, гидроакустики, сейсмологии и других областей науки и техники. Задачи обнаружения внезапных изменений в стохастических сигналах и системах, оптимальной фильтрации импульсных сигналов часто возникают в радиофизике, акустике, автоматическом управлении и технической диагностике. Соответственно с этим разработано большое количество методов решения подобных задач. Основы теории оптимальной линейной фильтрации случайных процессов были сформулированы в работах А.Н.Колмогорова и Н.Винера. К настоящему времени наиболее развитым является аппарат марковской теории нелинейной фильтрации, который позволяет эффективно решать многочисленные задачи синтеза оптимальных систем приема сложных случайных сигналов при действии разнообразных помех.

При решении задач оптимального оценивания сигналов обычно предполагается, что статистические характеристики сигналов, помех и структура наблюдений известны и постоянны во времени (стационарны) или же изменяются во времени (нестационарны), однако закон этого изменения заранее известен. Вместе с тем в большинстве практических задач различные измерительные радиофизические системы работают в условиях существенно нестационарной сиг-нально-помеховой обстановки со скачкообразными изменениями параметров или импульсными возмущениями, возникающими в заранее неизвестные моменты времени. Учет скачкообразных изменений параметров сигналов или импульсных возмущений необходим, например, в следящих системах сопровождения при маневрах цели, в системах связи при резком изменении уровня помех или случайных замираниях сигнала. При диагностике сложных технических систем часто необходимо оценивать переменные, характеризующие состояние системы, и своевременно обнаруживать скачки параметров, приводящие к нарушению нормального режима ее работы ("разладке" или отказу). Поэтому рассматриваемые в настоящей работе алгоритмы оптимального оценивания и обнаружения марковских нестационарных сигналов при скачкообразных и импульсных возмущениях представляются весьма актуальными.

Основой для решения задач оптимального оценивания и обнаружения сигналов в диссертации являются общие результаты теории оптимальной фильтрации дискретно-непрерывных процессов, полученные в работах Р.Л.Страто-новича, В.И.Тихонова, А.Н.Ширяева, Ю.Г.Сосулина, А.П.Трифонова и других ученых. Как правило, при исследовании методов обработки дискретно-непрерывных случайных процессов рассматриваются случаи бесконечных потоков скачкообразных изменений параметров сигналов или импульсных возмущений с пуассоновской статистикой следования скачков или импульсов. В представленной диссертационной работе развивается новый подход, основанный на задании априорной плотности вероятности моментов появления возмущений на интерва-

ле наблюдения, которая может быть известна, например, на основе проведения предварительных испытаний. Статистический синтез алгоритмов обработки проводится в предположении, что моменты изменения характеристик сигналов образуют марковский точечный случайный процесс в непрерывном или дискретном времени. В этом случае удается получить процедуры оценивания сигналов с учетом появления каждого отдельного скачка или импульса и применить разработанные методы к решению задач оценивания параметров и обнаружения внезапных изменений характеристик случайных процессов и сигналов.

Цель и задачи исследований. При проведении исследований, отраженных в диссертации, были поставлены следующие цели:

1. Разработать методы построения оптимальных нелинейных фильтров для нестационарных негауссовских случайных процессов и сигналов со скачкообразными изменениями параметров или импульсными возмущениями, происходящими в случайные моменты времени.

2. Разработать методы оптимального оценивания статистических характеристик дискретного считающего процесса, описывающего число скачкообразных или импульсных изменений параметров сигналов.

3. Выработать методы оптимального обнаружения и оценивания моментов скачкообразных или импульсных возмущений в наблюдаемых случайных процессах с текущим контролем качества формируемых оценок.

4. Получить алгоритмы оптимального оценивания параметров марковских процессов, изменяющих свои свойства в случайные моменты времени.

5. Разработать алгоритмы наискорейшего обнаружения резких изменений в сигналах и динамических системах, используя различные критерии для объявления "тревоги" или остановки процесса наблюдений.

6. Выполнить аналитические исследования и моделирование полученных алгоритмов обнаружения и оценивания, а также изучить их точность, эффективность и связь с известньми методами.

Методы исследований. При решении поставленных задач использовались методы марковской теории нелинейной фильтрации случайных процессов, а также общие методы теории вероятностей и статистической радиофизики.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

1. Разработаны методы синтеза систем оптимального оценивания нестационарных случайных сигналов в непрерывном и дискретном времени при скачкообразных изменениях их параметров или структуры наблюдаемого процесса. Получены уравнения алгоритмов оптимального оценивания сигналов в предположении, что моменты появления скачков образуют марковский точечный процесс в дискретном или непрерывном времени.

2. Разработаны методы синтеза систем оптимального оценивания нестационарных сигналов с учетом импульсных возмущений в непрерывном и дискретном времени. Развит подход, основанный на предположении, что известны апри-

орные плотности вероятности моментов появления импульсов и их амплитуд. Считается, что моменты появления импульсов образуют марковский точечный процесс в дискретном или непрерывном времени.

3. Получены алгоритмы оптимального оценивания числа случайных импульсных и скачкообразных изменений параметров сигналов в непрерывном и дискретном времени.

4. Определены необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять вероятностные распределения моментов появления скачков или импульсов в непрерывном и дискретном времени, чтобы случайный точечный считающий скачки и импульсы процесс был марковским.

5. Разработан метод оценивания статистических характеристик пуассоновского считающего процесса в непрерывном времени, основанный на суммировании по кратному числу импульсов. Получены аналогичные уравнения для оценивания характеристик потока импульсных возмущений сигналов в дискретном времени.

6. Решена задача оптимального оценивания моментов случайных скачкообразных и импульсных изменений параметров сигналов, наблюдаемых на фоне белых шумов в непрерывном времени или дискретном времени. Показано, что оптимальную в среднеквадратичном смысле оценку моментов скачков можно представить в виде суммы условных оценок (по числу учитываемых изменений), которые вычисляются в текущем времени с помощью системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений совместно с апостериорными вероятностями скачков или импульсов и условными плотностями вероятности информационного сигнала.

7. Разработан метод оптимального оценивания параметров марковских последовательностей при случайных скачкообразных изменениях в дискретном времени. Получен алгоритм оценивания параметров случайных последовательностей, описываемых моделями регрессии с учетом скачкообразных изменений в случайный момент времени.

8. Синтезированы алгоритмы оптимального обнаружения (различения) сигналов, принимаемых на фоне шумов, с учетом скачкообразных изменений параметров в непрерывном и дискретном времени. Решена задача оптимального обнаружения прямоугольного импульсного сигнала со случайными амплитудой и моментом появления. Разработан алгоритм обнаружения случайной пачки импульсных сигналов, наблюдаемых на фоне белых гауссовских шумов в непрерывном времени.

9. Решена задача скорейшего обнаружения скачкообразного или импульсного изменения параметров сигналов в непрерывном и дискретном времени. Сформулированы правила определения оптимальных моментов остановки наблюдений при использовании различных функций потерь, в том числе неквадратичных, для объявления "тревоги" или минимизации времени запаздывания при обнаружении. Показано, что в момент остановки минимизируются средние потери. Найдены выражения для функций апостериорных потерь в непрерывном и дискретном времени. Показано, что для решения задачи ско-

рейшего обнаружения разладки можно использовать алгоритмы оптимального в среднеквадратическом смысле оценивания момента появления скачка. 10. Исследованы примеры, представляющие практический интерес и демонстрирующие работу синтезированных схем оптимального оценивания и обнаружения сигналов: алгоритмы оценивания и обнаружения на фоне шума прямоугольного импульсного сигнала со случайными амплитудой и моментом появления; оптимального оценивания числа скачков телеграфного марковского сигнала, наблюдаемого на фоне шума; оптимального оценивания моментов внезапного изменения параметров сигналов - среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции в наблюдаемой последовательности случайных гауссовских величин. Результаты компьютерного моделирования подтвердили высокую эффективность синтезированных алгоритмов и теоретические выводы о возможности их использования для задач обработки нестационарных сигналов с учетом скачкообразных и импульсных изменений параметров в случайные моменты времени.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть использованы при проектировании оптимальных и адаптивных систем обработки нестационарных сигналов в радиолокации, радиосвязи, радиоавтоматике, гидроакустике и других областях науки и техники. Приведенные в диссертации алгоритмы оптимального оценивания и обнаружения сигналов могут применяться в системах управления объектами, функционирующими в изменяющихся условиях, а также при диагностировании состояния сложных технических систем для своевременного обнаружения нарушений нормального режима их работы. Полученные результаты могут служить основой для решения задач обработки нестационарных сигналов в радиофизических экспериментах с применением средств современной вычислительной техники.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзной научно-технической конференции "Статистические методы в теории передачи и преобразования информационных сигналов" (Киев, 1985, 1988), на IV Дальневосточной акустической конференции "Акустические методы и средства исследования океана" (Владивосток, 1986), на III Всесоюзной научно-технической конференции "Прием и анализ сверхнизкочастотных колебаний естественного происхождения" (Львов, 1990), на 5-м Ленинградском симпозиуме по теории адаптивных систем "Адаптивные и экспертные системы в управлении". (Ленинград, 1991), на II Всесоюзной научно-технической конференции "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей" (Туапсе, 1991), на международных научных школах-семинарах "Динамические и стохастические волновые явления " (Н. Новгород, 1992, 1994), на XII научно-техническом семинаре "Статистический синтез и анализ информационных систем" (Черкассы, 1992), на Всероссийской научно-технической конференции "Направления развития систем средств связи" (Воронеж, 1996), на научных конференциях по радиофизике ННГУ, а также на семинарах кафедры бионики и статистической радиофизики Нижегородского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [1-30], учебном пособии [31], а также в трудах и тезисах научных семинаров и конференций [32-43].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения и трех приложений. Общий объем работы составляет 380 страниц, включая 60 рисунков и список литературы, который содержит 181 наименование.

Положения, выносимые на защиту.

1. Разработанные методы оптимального оценивания сигналов при скачкообразных изменениях параметров и импульсных возмущениях в непрерывном и дискретном времени.

2. Синтезированные алгоритмы оптимального оценивания статистических характеристик случайного процесса, описывающего число скачков или импульсов, появившихся за время наблюдения.

3. Методы оптимального оценивания параметров случайных процессов, изменяющих свои свойства в случайные моменты времени, в том числе методы оптимального в среднеквадратическом смысле оценивания моментов появления скачков или импульсов.

4. Разработанные методы оптимального обнаружения сигналов со случайными скачкообразными и импульсными изменениями параметров в непрерывном и дискретном времени.

5. Алгоритмы скорейшего обнаружения скачкообразных или импульсных изменений характеристик сигналов в непрерывном и дискретном времени.

6. Результаты решения ряда модельных задач оценивания нестационарных сигналов с обнаружением скачкообразных или импульсных воздействий в случайные моменты времени.

содержание работы

Во введении освещается современное состояние проблемы, дается краткий обзор работ по методам оптимальной обработки сигналов со скачкообразными изменениями параметров и импульсными возмущениями, обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель работы и кратко излагается содержание работы.

В первой главе методами теории нелинейной фильтрации марковских процессов в непрерывном и дискретном времени рассматриваются теоретические вопросы синтеза и анализа систем оптимального оценивания сигналов при скачкообразных изменениях их параметров или структуры наблюдений в случайные моменты времени.

В § 1.1 дается общая постановка задачи и выводятся алгоритмы оптимального оценивания сигнала х{() в предположении, что на интервале наблюдения в случайные моменты времени {г1,г2,...,ги}= ? могут происходить скачкообразные изменения параметров сигнала или структуры наблюдаемого

процесса у(1). Предполагается, что векторы и г образуют марковскую совокупность {х, г} в непрерывном времени. При этом априорная плотность вероятности процесса .х(г) при фиксированном значении г описывается уравнениями

/<Г! _

1пР(х,1\г„<1<г„+1 , (и=ЦЛ/-1; />о), (1)

йР(Зс,/|г)

41 <<

где /.у (•) - операторы, описывающие эволюцию состояния случайного процесса х(/) в промежутках между скачками^у = 0,А/). В начальный момент времени / = 0 считаются известными априорная плотность вероятности (г) совокупности ? случайных упорядоченных моментов скачков г) < г2 < ... < г у , а также условная плотность вероятности Р(х,0|?) вектора х(0) при фиксированном ?. Предполагается, что имеет вид

/'М г, _

г) = Рп(х), т„ </< г„+1 , (и = I,М-1) , (2)

Гм{х\ гм <1

гдеР^{х) - заданные условные шюгносги вероятности величины х при у = 0, Л/. Уравнение наблюдений представляется в виде

>>(/) = ?[*(/),?,/] + >;(')> (3)

Г?оМ> _

.?[*(/),г,/] = Ь„(х,/), г„ < / < г„+1, (/,= 1,Л/-1; 1>0). ■7л/(*,')> гл/ <'

Здесь Sj(x,t) - заданные векторные функции сигнала х(() и времени I ; г/(/)-вектор белых гауссовских шумов наблюдений, статистически независимых с х(1) и т, с нулевым средним значением и матрицей интенсивностей Лг(/). Для общности рассмотрения предполагается, что в моменты времени г2, гЛ/ одновременно со скачками параметров сигнала в (1) могут также происходить скачкообразные изменения структуры наблюдаемого процесса в модели (3), т.е. скачком меняется сигнальная функция .у[х(/), ?, /]. При этом М - число одновременно учитываемых скачков в сигнале и структуре наблюдений. Задача оптимальной фильтрации состоит в том, чтобы по принятой к моменту времени I

реализации наблюдений у'0 з {>(''), 0<1' </| процесса у(0 оптимальным образом произвести оценивание сигнала х(г).

В диссертации предполагается, что моменты появления скачкообразных изменений параметров Г[, г2,..., гЛ/ образуют случайный марковский точечный

процесс в непрерывном времени, и рассматривается только определенный класс функций априорной плотности вероятности Р-(г) вектора моментов появления скачков г . Считается, что априорная плотность вероятности момента появления первого скачка Р.^ (г|) может быть произвольной, а на условные априорные

плотности вероятности других моментов скачков накладываются следующие ограничения:

Р(гп\г„-1<1±г„,гп_1)=Р(г„\гп_1<1<гп), (/» = 2 ,М).

Тогда случайный процесс

ГО, / < г, £(/)= п, г„</<г„+1, (п = 1,М-\), (5)

М, тк, < /

описывающий число появившихся к текущему моменту времени / скачков, является марковским, и поставленная задача сводится к оптимальной фильтрации марковской совокупности {#(/), *(/)}, где 6>(/) - дискретная, - непрерывная компоненты. В результате для сигнала апостериорную плотность вероятности = можно представить в виде суммы по числу учитываемых скачков

(6)

¡=0

Для апостериорных вероятностей рД/) = = у|>'о| появления _/ скачков к текущему моменту времени I и для апостериорных условных плотностей вероятности сигнала \У] {х, /) = /, = _/, у о | записьшаются дифференциальные уравнения в виде:

с начальными условиями

+*> о

Л)(0!м>= Кг,(«У». Рл/рг(')!,=о = №}(*,<)!,=о = ^(5), (8)

О -ж

+00 _

и обозначениями

+х>

'ом--^о/4 < ')I^о*.

-ос

М

<р(х,1)> = '£РА')<Г}{*>1)>;> К («К ('>0)> (9)

7=0 / /

// +30 /-КО

-х Г / /

где знак транспонирования, А'~'(с) - матрица, обратная матрице интенсивно-стей шумов наблюдений Д'((). Первые слагаемые в правых частях уравнений (7) описывают процесс изменения функций />, ('), И^ (.?,/) в соответствии с заданной априорной информацией в виде операторов ¿Д-) и коэффициентов уД'), определяемых с помощью (9) через априорные плотности вероятности моментов появления скачков. Учет наблюдений у(/) приводит к появлению в правых частях (7) дополнительных слагаемых, пропорциональных функциям которые описывают дополнительные изменения апостериорных вероятностей и условных плотностей вероятности в зависимости от информации, получаемых из наблюдений. Уравнения (6), (7) и составляют искомый алгоритм фильтрации сигнала *(/), поскольку, зная апостериорную плотность вероятности сигнала Щ(х,') можно находить его оптимальную оценку по любому заданному критерию оптимальности. Оптимальная в среднеквадратическом

-МО

смысле оценка *(') = ¡хЩ(х,¡)с!х представляется в виде суммы условных

-00

оценок:

и „ л/ +®

*(') = !/>,(')*,(') = I />;(') <)<** • (Ю)

7=0 7=0 -х

В сипу нелинейного (относительно х) вида интегродифференциальных уравнений (7) написать замкнутые точные дифференциальные уравнения для условных оценок .гД/) удается лишь в некоторых частных случаях. В общем случае можно учитывать лишь несколько первых кумулянтов плотностей вероятности (КДл,?) для построения приближенных алгоритмов вычисления оценки *(<).

В § 1.2 в непрерывном времени рассматриваются две конкретные задачи, в которых в ряде случаев удается получить точные решения. Это задачи оптимального в среднеквадратическом смысле оценивания скалярного сигнала *(/) с учетом скачкообразного изменения в случайный момент времени (рис. 1 а) и оптимального оценивания прямоугольного импульсного сигнала (рис. 1 б) со слу-

и

чайной длительностью и моментом появления по наблюдениям д>(/) = х(/) + //(/) на фоне белого гауссовского шума заданной интенсивности.

НО

т2 = т1+Т 1

а)

б)

Рис. 1.

Исследуются статистические характеристики и обсуждается структура полученных алгоритмов обработки сигналов.

В § 1.3 дается общая постановка задачи и исследуются методы оптимального оценивания случайных последовательностей при скачкообразных изменениях параметров или структуры наблюдений. Рассматриваются модели сигналов хк и наблюдений ук, аналогичные уравнениям (1), (3), но заданные в дискретном времени. Предполагается, что для априорных вероятностей моментов появления скачков Г], г2, ..., Г\/ вновь выполняются условия типа (4). В этом случае, как и для непрерывного времени, задача сводится к фильтрации марковской случайной совокупности {хк,вк}, где хк- непрерывная , вк- дискретная компоненты. Процесс вк принимает в каждый период времени к одно из М +1 возможных значений

О, к < г,

вк=- п, тп <к < гл+), (п=\М ¿ = 0,1,2,...). (11)

М, гЛ/ < к

По аналогии с (6) апостериорная плотность вероятности величины оцениваемого сигнала хк представляется в виде суммы условных плотностей вероятности по числу учитываемых скачков

^-ч{хк,к)=^(Щ(хк,к). (12)

у=0

Для вспомогательных функций />у (к) = Р^вк = | и условных плотностей вероятности \У](хк,к) = р{х))\вк = у,получена система взаимосвязанных разностных уравнений в дискретном времени. Данные уравнения составляют искомый алгоритм фильтрации сигнала хк, поскольку по аналогии с (6), (7) позволяют находить оптимальные оценки сигнала хк в соответствии с заданным критерием оптимальности.

В § 1.4 приведены результаты моделирования работы алгоритмов оптимального оценивания сигналов со скачкообразными изменениями параметров в дискретном времени — при оптимальном оценивании среднего значения наблюдаемого гауссовского белого шума и при оценивании прямоугольного импульсного сигнала со случайной длительностью и моментом появления (рис. 1 а, б). Результаты моделирования, полученные при различных отношениях сигнал/шум и при изменении других параметров задач, подтверждают работоспособность и эффективность синтезированных алгоритмов.

На практике встречаются задачи, когда скачкообразные изменения параметров сигналов можно аппроксимировать бесконечным потоком скачков М = оо. Оказывается, что в подобных ситуациях иногда можно просуммировать бесконечную цепочку взаимосвязанных уравнений алгоритма оценивания сигнала по числу учитываемых скачков. В итоге получаются более простые алгоритмы решения задачи. В § 1.5 приводятся примеры такого упрощения задач при потоке скачкообразных изменений параметров в непрерывном и дискретном времени. В частности, получен и с помощью численного моделирования исследован алгоритм оптимального оценивания телеграфного случайного процесса в дискретном времени, который наблюдается на фоне шума:

Ук+1 = хк+\ + %+Ь = 1 А.°' Т2"~^*2Л+1 . (« = 0,1,... ; А = 0,1, ...), (13)

где А0,А} - известные постоянные значения; гауссовский белый шум с нулевым средним значением и дисперсией Я; г0 =0; т2„+1 > г2„- Пусть <?„,<?]-заданные коэффициенты (о<а01 <1), описывающие вероятности переходов из состояния А0 в состояние А1 для процесса [хк } на каждом к -м шаге дискретного времени. Тогда в результате суммирований по всем четным и нечетным скачкам находятся уравнения для оптимальной в среднеквадратическом смысле

оценки сигнала и апостериорной дисперсии Ох(£) = <[хк -,х(£)|2 > в виде х{к) = А0Р0{к) + А1Р1{к), Ох(*) = Ро№(*ХЛ1-Ло)\

Р(А + 1) =_«1 +(1-«о-«1)Рр(*)_

«1 + 0 - «о - «!)Ро(*) + [1-«1-(1-«0 - щТо(к)ЩУш)' ^-ЧУ^-^Ао)^ {к 0; Ро(о) = 1;

При увеличении соотношения сигнал/шум в рассматриваемой задаче, т.е. при увеличении отношения - Ао)2 /В., разница между оценкой и истинным значением сигнала уменьшается и стремится к нулю.

Вторая глава посвящена разработке методов оптимального и квазиоптимального оценивания сигналов с учетом импульсных возмущений - так назы-

ваемых возмущений волнообразной формы. Такие возмущения описывают воздействие на систему импульсов заданной формы со случайными амплитудами и моментами появления. В отличие от возмущений типа шума, которые имеют хаотический характер и которым не свойственна какая-либо регулярность, возмущения волнообразной формы (импульсные возмущения) обладают квазиде-терминированной структурой - они могут быть представлены математически с помощью полностью известных функций времени (за исключением некоторых параметров - амплитуд, моментов появления и числа импульсов).

В § 2.1 предполагается, что случайный сигнал случайный процесс ?(() и наблюдения >•(/) описываются уравнениями

^ = ;<,)=?(?,О+/?(')> (/>о). (15)

ш .

Здесь (7(5, г) - заданная матрица; .7(5, /) - заданные вектор-функции;

£(/), //(() - независимые белые гауссовские шумы с нулевыми средними значе-

м -

ниями и матрицами интенсивностей Лг(/); г,)- последователъ-

¿=1

ность 5 -функций, описывающая импульсные возмущения, возникающие в случайные упорядоченные моменты времени г, (Г] < г2 < ... < со случайными векторными "амплитудами" Л,-; М- число учитываемых импульсных возмущений, которые могут появиться на интервале времени наблюдения. В начальный момент времени 1=0 случайные величины г, не зависят от г, А] = 1, А/), так что совместная начальная плотность вероятности этих величин равна

лл?(г,Л,?) = ял(г,Л)р?(г), (16)

где А(г)- заданные априорные плотности вероятности совокупностей

|?,Л1,Л2,...,ЛД/|и гн|г|,г2,...,гЛ/}. Амплитуды импульсных возмущений А1 при разных / взаимонезависимы, не зависят от начального значения процесса г(г)|,=о и имеют априорные плотности вероятности (Д) , т.е.

^(5, а)=Р#)Рл(А) = (Цг^у.Р^ (Д„), (17)

а моменты появления импульсов г удовлетворяют условиям марковости (4). Показывается, что задача оптимальной фильтрации сигналов ?(/) с импульсными возмущениями с помощью замены переменных сводится к задаче оптимального оценивания сигналов со скачкообразно изменяющимися параметрами при одновременных переключениях структуры наблюдаемого процесса. В результате для апостериорной плотности вероятности з ) вновь

записывается представление в виде суммы (6) по числу учитываемых импульсных возмущений. Находится система взаимосвязанных дифференциальных уравнений для условных апостериорных плотностей вероятности процесса 5(/) и апостериорных вероятностей появления различного числа импульсов к текущему моменту времени.

В § 2.2 исследуется оптимальная фильтрация случайного марковского сигнала при неоднородном пуассоновском потоке импульсных возмущений с независимыми и одинаково распределенными амплитудами В этом случае число учитываемых импульсных возмущений в модели сигнала (15) бесконечно велико (Л/ = да), амплитуды их А„ распределены одинаково для всех импульсов с априорной плотностью вероятности при п= 1,2, ... , а априорная плот-

ность вероятности момента появления первого импульса Рт (г\) и условные априорные плотности вероятности ^г„|ги_)) моментов появления всех последующих импульсов имеют экспоненциальный вид

рЫтп-1> г„_2,.... г1) = ,р(г„|г„_1) = ^г„)ехр

/

¡Л

1

(18)

(п = 1,2,.-; г„>гя_,; г0 = 0), где у(/) - интенсивность потока возмущений (функция, характеризующая частоту появления импульсов, т.е. их число в единицу времени). Здесь считается, что = р(г,|г0). При сделанных предположениях из (9) следует, что все функции г„(/) при разных п будут одинаковы и равны интенсивности потока импульсов!^/). Отмечается, что в данном частном случае для апостериорной плотности вероятности сигнала в результате суммирования по всем возможным импульсным возмущениям удается получить всего одно замкнутое интегродиффе-ренциальное уравнение, которое хорошо известно в теории оптимальной фильтрации разрывных марковских процессов, как уравнение Колмогорова-Феллера-Стратоновича. Для приближенного решения данного уравнения разрабатывается метод суммирования по кратному числу импульсов. Согласно этому методу апостериорную плотность вероятности процесса г(/) можно представить в виде

1=0

-Нх>

где М- произвольное натуральное число, функции (() = £Ру+л/п(') имеют

п=О

смысл апостериорных вероятностей таких случайных событий 1(1) = _/, которые состоят в том, что к моменту времени * появилось либо либо ] + М, либо / + 2М и т.д. импульсных возмущений; \Л/у (г, () - апостериорные плотности

вероятности вектора ?(<) при условии /(/) = у; 7 = 0,М-1. Структура диффе-

ренциалъных уравнений для вспомогательных функций РД(),\Л/Д;,/) одинакова для всех значений индекса /. При этом в правые части уравнений с номером I входят функции с предыдущим значением индекса / -1 (при / =1,2,...,Л/ - 1), а уравнения для функций с нулевым номером 1 = 0 зависят от функций с последним значением индекса I = М -1. Таким образом, "зацепление" уравнений друг за друга осуществляется симметрично по кругу. Значение индекса / указывает, что соответствующие функции Р/(/), УУДг, г) суммируют информацию об импульсных возмущениях динамической системы с номерами /, / + Л/, / + 2М и т.д. при I = О, М -1. В частности, при М = 1 имеем / = 0, и в результате для \/У/(г, г) получаем обычное уравнение Колмогорова-Феллера-Стратоновича. В случае сигналов; описываемых моделями линейных уравнений, находятся квазиоптимальные алгоритмы оценивания в гауссовском приближении по условным вспомогательным плотностям вероятности. Метод суммирования по кратному числу импульсов позволяет улучшить точность оценивания по сравнению с алгоритмом гауссовского приближения для й^ (?,/), так как при этом учитываются особенности импульсного характера возмущений.

В § 2.3 дается постановка и решение задачи синтеза оптимального алгоритма оценивания случайных сигналов с импульсными и шумовыми возмущениями в дискретном времени. Показывается, что для апостериорной плотности вероятности сигнала можно получить систему взаимосвязанных рекуррентных уравнений, которые учитывают каждое импульсное воздействие в отдельности. В случае потока импульсов с взаимонезависимыми и одинаково распределенными амплитудами и при условии, что интервалы времени между импульсами распределены по геометрическому закону, для апостериорной плотности вероятности сигнала можно получить одно рекуррентное уравнение, аналогичное уравнению Колмогорова-Феллера-Стратоновича в непрерывном времени. Разрабатывается метод суммирования по кратному числу импульсов для решения данного уравнения.

В § 2.4 выводится квазиоптимальный алгоритм оценивания случайных сигналов, описываемых моделями линейных уравнений в дискретном времени при потоке импульсных возмущений

+ОС _

= Гкгк +ак+ + г,), (м)

Ум = + , [к = 0,1,2,...).

Здесь Рк,Ск,Нк+1,ак- заданные матрицы и векторы,{%-+!}- последовательности независимых векторных гауссовских случайных величин с нулевыми средними значениями и матрицами ковариаций и Щ ; А, и г, - случайные амплитуды и моменты появления импульсных возмущений. Предполагается, что все амплитуды Л,- взаимонезависимы и одинаково распределены с плотностью вероятности Ра1ЯЛ, а моменты появления Г; описываются геометрическими

распределениями с параметром V. Даются результаты компьютерного моделирования для ряда простых примеров оценивания сигналов с учетом импульсных возмущений. Проводится сравнение с известными алгоритмами фильтрации по точности оценивания сигналов. Результаты моделирования подтверждают теоретические выводы о высокой точности оценивания и эффективности алгоритмов, синтезированных методом суммирования по кратному числу импульсов.

Третья глава посвящена разработке методов оптимального оценивания статистических характеристик дискретного считающего процесса (5) или (11), описывающего число скачкообразных или импульсных изменений параметров сигналов на интервале наблюдения.

В § 3.1 рассматривается задача оценивание числа случайных импульсных возмущений в{1) в непрерывном времени, действовавших на динамическую систему за время наблюдения. Оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку и апостериорную дисперсию процесса можно вычислять по формулам

<?(')= = Ь'2Рп(')~Ш}2- (21)

/7=0 п=О

Используя функции р„(1), можно определять и другие одномоментные апостериорные статистические характеристики случайного процесса а также находить оценки процесса в{1) по другим (неквадратичным) критериям оптимальности. Особенностью данного подхода является то, что все апостериорные характеристики для #(/) вычисляются при условии известных априорных вероятностей моментов появления импульсных возмущений и априорно заданного их максимального числа М. При этом непрерывный анализ наблюдений у'0 приводит к уточнению оценки процесса в{1) в рамках рассматриваемой априорной модели.

В § 3.2 разрабатывается метод оценивания статистических характеристик пуассоновского считающего процесса в непрерывном времени, основанный на суммировании по кратному числу импульсов. Находятся уравнения алгоритма оптимального оценивания числа скачков телеграфного двухуровнего сигнала, наблюдаемого на фоне белого гауссовского шума. Обсуждается структура полученного алгоритма.

В § 3.3 рассматривается задача синтеза алгоритмов оценивания числа импульсных сигналов со случайными моментами появления в дискретном времени. Находятся уравнения приближенных алгоритмов оценивания в предположении, что в каждый момент времени учитывается лишь конечное число из всего потока импульсных возмущений, которые реально действуют на динамическую систему в данный момент времени.

В § 3.4 исследуется алгоритм оптимального оценивания числа скачков случайного телеграфного сигнала в дискретном времени, описываемого моделью

уравнений (13). В этом случае оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка и апостериорная дисперсия процесса вк находятся по формулам

в{к)^Р0(к)т0{к) + Р^к)пц{к), (22)

De(k) = Р„ (к)О0 (к) + Р, (*)/), (Л) + Р0 (*) Р, (*)[«»„ (А) - nh (*)]2.

Здесь функции Р(>(&) и P](/t) = 1 -Р0(к) определяются с помощью уравнения (14); т{)(к), щ(к), D0(k), /),(£) - вспомогательные оценки и дисперсии числа скачков, рекуррентные уравнения для которых представляются в виде

п,0(к +1) = т0{к)+р0{к +1)[1 + /»,(*)-«»<,(*)], ' ml{k + \) = mi(k) + pl(k + \\\ + m0(k)-mi(k)], (23)

1\{к +1) = D0(k) + /?0(* + 1)[д(А) - Dn(k) + [I - P¿k + 1){1 + m,(*)- m0(¿)]2 j, 'Цк +1) = D,(к) + Д(к +l){/J0(¿)- /Л(Л)+[l-ñ(k + OI1 + Ык)-'"lW]2 j,

aiPjí^ + O-aoJPoW щР^ + ^-а^к)

с начальными условиями

мь(*)|*=о = '»iMu=o = floWw. = D¡ (*)|*_о =0. Обсуждается структура и с помощью численного моделирования проводится анализ статистических характеристик данного алгоритма.

Методам оптимального оценивания моментов появления случайных изменений параметров сигналов посвящена четвертая глава диссертации.

В § 4.1 решается задача оптимального оценивания моментов случайных скачкообразных и импульсных изменений параметров сигналов, наблюдаемых на фоне белых гауссовских шумов в непрерывном времени, описываемых уравнениями (1)-(3) или (15). Показано, задача оптимального в среднеквадратическом смысле оценивания величины произвольной скалярной функции /(г)

вектора г = {п, b,..., гд/} по наблюдениям Jo = {.?('')> 0 < '' - может быть

сведена к вспомогательной задаче различения двух статистических гипотез: гипотезы #0, предполагающей, что априорная плотность вероятности вектора ? равна на самом деле функции 1\(т) и гипотезы //,, при которой априорная плотность вероятности вектора г равна функции

где с~ |/(г)/';(г)с/г - коэффициент нормировки. При некоторых ограничени-

-х

ях на вид функции /(?), предполагающих, что для априорной плотности вероятности ('¡(г) выполняются условия марковости типа (4), оптимальная в среднеквадратичном смысле оценка моментов скачков представляется в виде суммы условных оценок (по числу учитываемых изменений):

/?(')= ЕгА'Ш')> (25)

У=о

которые вычисляются в текущем времени с помощью системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений. Рассматривается пример оптимального оценивания момента изменения среднего значения случайного процесса. В этом случае

><') = *(') +Ж). = [Ц . ('>°)> (26)

где //(<) - белый гауссовский шум с нулевым средним значением и интенсивностью А', величина сигнала после разладки А заранее известна, а случайный момент появления разладки (скачка) г не зависит от //{/) и априорно распределен по экспоненциальному закону

Рт{г) = ] п >' (27)

1 ' [ 0, г<0

с заданным параметром V. Тогда, учитывая, что М = 1, /(г) = г, удается получить точный алгоритм оптимальной оценки г(() момента разладки г:

К') = А>(')?о(')+ лММ')» ?о(') = ' + 1/>'>

^=^4,-?,), (28) Л р1 V " Ж ™ 2Ы > у >

(/>0; №(0 + й(')=<; Ро('|/=о =г,(/)|,=0=0).

Если разладка в наблюдаемом процессе (26) происходит в момент времени г*, а соотношение сигнал/шум достаточно велико А2/(2Ы) »1, то оценка г(() и апостериорная дисперсия £>г('), вырабатываемые уравнениями (28), изменяются во времени так, как показано на рис. 2 а,б.

КО

»АО

г

I/.'2

г

г

а)

б)

Рис. 2.

При уменьшении соотношения сигнал/шум точность оценивания т естественно ухудшается. В частности, появляется отклонение (смещение) оценки ?(/) от истинного значения г*, и растет уровень дисперсии Лг(г) при 1> г*.

В § 4.2 разрабатывается метод оптимального оценивания момента изменения характеристик случайной марковской последовательности. Предполагается, что наблюдается последовательность .?* = {.?1,.?2> } марковских случайных величин с известными начальной плотностью вероятности /'(.?„) и переходными плотностями вероятности

которые изменяются скачком в момент времени г. Априорные вероятности дискретных целочисленных значений случайного момента скачка г считаются известными и равными У'г(г), г>0. Выводятся уравнения алгоритма, позволяющие с помощью последовательной обработки наблюдаемых данных в текущем времени определять оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку и апостериорную дисперсию момента изменения свойств случайной последовательности г. Исследуются статистические характеристики данного алгоритма в задачах оценивание момента изменения среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции наблюдаемой последовательности случайных величин.

Вся доступная информация о моменте появления скачка параметров сигналов г в случае модели (29) содержится в апостериорном распределении вероятности где = реализация наблюдений, к -

дискретное время. Зная функцию ¡Кг(г, А), можно находить оптимальные оценки величины т в соответствии с различными критериями качества. В § 4.3 получены точные алгоритмы вычисления апостериорного распределения момента скачка в текущем времени. Проводится статистический анализ полученных процедур обработки сигналов с помощью компьютерного моделирования при различных соотношениях сигнал/шум. Как показало моделирование, априорное распреде-

ление вероятности У'г(г) должно быть согласовано с истинным моментом появления скачка г*. Появление скачка в момент, когда | = 0, приводит к

ошибкам в оценивании.

В § 4.4 решается задача оптимального оценивания момента г в условиях модели (20) только с учетом одного случайного импульсного воздействия на интервале наблюдения для сигнала гк. Выводятся уравнения, позволяющие в текущем времени вычислять оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку и апостериорную дисперсию момента появления импульса. В гауссовском приближении по вспомогательным условным плотностям вероятности находится упрощенный алгоритм оптимального оценивания, который и рекомендуется для практического применения. На численном примере проводится исследование потенциальных возможностей и статистических характеристик синтезированного алгоритма.

Пятая глава посвящена разработке методов оптимального оценивания параметров марковских процессов, изменяющих свои свойства в случайные моменты времени.

В § 5.1 дается общая постановка задачи и выводится алгоритм оптимального оценивания параметров нестационарных марковских последовательностей при случайных скачкообразных изменениях. Предполагается, что в случайный

момент времени г некоторые параметры наблюдений у[ = {у1,У2>--->Ут}> образующие вектор х, претерпевают скачкообразные изменения:

{х„, к < х а г г

Считается, что последовательность ук совместно с х1, г образует марковскую совокупность (уь, -?(>, - непрерывнозначные случайные величины, а г - дискретная случайная величина), и при фиксированных значениях параметров переходная плотность вероятности представляется в виде

Ы- I- - - \ к<* ,,1Ч

Начальное значение последовательности у0 и величины Зс0, ЗС], г статистически взаимонезависимы, для _р(), х0, х1 заданы априорные плотности вероятности /'(Ро)' 1'х, )> а Д®1 случайного момента скачка ювестны величины априорных вероятностей Рг(г) дискретных целочисленных значений г. В

этих предположениях найден алгоритм вычисления по наблюдениям апостериорной плотности вероятности параметров х0, а также оптимальной в среднеквадратическом смысле момента появления'скачка г.

В § 5.2 разрабатывается алгоритм оценивания параметров случайных последовательностей, описываемых моделями регрессии с учетом скачкообразных изменений в случайный момент времени:

*<г_ (32)

Оцениваются величины й'о.и'^о-^ст)2 по наблюдениям последовательностей , } при к = 1,2,.... Г; 1 - знак транспонирования; - белый гауссовский шум с нулевым средним значением и единичной дисперсией; г - случайный момент скачкообразного изменения параметров модели. С помощью моделирования исследуются статистические характеристики синтезированного алгоритма для задачи оценивания параметров авторегрессионного процесса с возможными изменениями значений на интервале времени наблюдений.

В § 5.3 выводятся уравнения алгоритма оптимального оценивания параметров нестационарного потока импульсных сигналов, наблюдаемых в дискретном времени и описываемых линейными уравнениями (20) при ак = 0, = ук с учетом скачкообразного изменения средней частоты следования импульсов. В текущем времени оцениваются момент появления скачка и частота следования импульсов. В качестве примера рассматривается задача оптимального оценивания параметров наблюдаемой последовательности испытаний Бернулли. Приводятся результаты компьютерного исследования характеристик синтезированного алгоритма.

Разработке методов оптимального обнаружения сигналов при скачкообразных изменениях параметров и случайных импульсных возмущениях посвящена шестая глава работы.

В § 6.1 рассматривается задача различения статистических гипотез Нп и Н1 по наблюдениям = { Г'('), 0</<7'| процесса }'(/), описываемого уравнениями:

"<>•■ ;(')=*оМ+?(')> (33)

Я,: у(1) = !(*. Р,/) + //(/). Предполагается, что при Н1 функция л(.У, Р.претерпевает скачкообразные изменения в соответствии с уравнениями (3) в случайные моменты времени Г], г2, ... , Г\Г, образующие вектор г; //(/) — вектор белых гауссовских шумов г}(/} с нулевыми средними значениями и матрицей интенсивностей Лг(/). Для априорной плотности вероятности процесса х(1) выполняются зависимости (1), (2). Как известно, оптимальное решающее правило различения статистических гипотез Я0 и Я] по наблюдениям .у(' основано на сравнении отношения правдоподобия

л(г) = ф£|я,)/ф£|я0) (34)

с некоторым порогом И, который выбирается из заранее заданного критерия оптимальности. В диссертации выводятся уравнения вычисления функционала отношения правдоподобия в данной задаче. В качестве примера рассматривается алгоритм оптимального обнаружения прямоугольного скалярного импульсного

сигнала случайной длительности и со случайной амплитудой, наблюдаемого на фоне белого гауссовского шума. Дан краткий анализ работы полученного алгоритма.

В § 6.2 разрабатывается алгоритм обнаружения случайной пачки импульсных сигналов .?(/), наблюдаемых на фоне белых гауссовских шумов в непрерывном времени. В гауссовском приближении по вспомогательным условным плотностям вероятности выводится система дифференциальных уравнений, которая позволяет вычислять функционал отношения правдоподобия в рассматриваемой задаче. Уравнения алгоритма представляют собой набор фильтров Калмана-Бьюси (по числу учитываемых импульсов в пачке) с дополнительными слагаемыми, зависящими от частных отношений правдоподобия Ау((). В свою очередь, при вычислении с помощью уравнений текущих значений функций ЛДг) используются условные оценки вектора состояния ?,(<), ] = 1,М. Поэтому синтезированный алгоритм назван квазиоптимальным алгоритмом обнаружения случайной пачки импульсов с вспомогательным оцениванием сигнала.

В § 6.3 исследуются алгоритмы оптимального обнаружения сигналов со скачкообразными изменениями параметров в дискретном времени. Получена система рекуррентных разностных уравнений для формирования отношения, правдоподобия в текущем времени. Рассматривается пример оптимального обнаружения прямоугольного импульсного сигнала со случайными амплитудой и моментом появления. С помощью компьютерного моделирования находятся статистические характеристики — зависимости вероятностей ошибок обнаружения от величины отношения сигнал/шум и от длительности импульса. Результаты моделирования подтверждают теоретические выводы, что рассматриваемые алгоритмы оптимального обнаружения сигналов со случайными скачкообразными изменениями параметров обладает высокими показателями по точности и в то же время в силу рекуррентного способа вычисления отношения правдоподобия характеризуется сравнительно высоким быстродействием.

В седьмой главе рассматриваются задачи наискорейшего обнаружения внезапных изменений характеристик случайных процессов в непрерывном и дискретном времени.

В § 7.1 разрабатываются методы скорейшего обнаружения изменения свойств случайных процессов в непрерывном времени. Задача состоит в определении момента остановки 1 процесса наблюдений, наиболее близкого к истинному моменту появления скачка г в смысле минимума средних потерь

J=<c{l-т)> . (35)

Рассматриваются четыре вида функций потерь с(1 - г) - квадратичные, в виде модуля линейной функции, несимметричные с постоянным уровнем штрафа за ложные тревоги и экспоненциальные потери с насыщением (см. рис. 3).

СП

СЕ

а)

б)

в)

г)

Рис. 3.

Для каждого варианта находятся правила определения оптимальных моментов остановки наблюдений. Показано, что для решения задачи скорейшего обнаружения разладки можно использовать алгоритмы оптимального в среднеквадра-тнческом смысле оценивания момента появления скачка. Например, в случае наискорейшего обнаружения момента изменения среднего значения случайного процесса (26) при квадратичном критерии качества необходимо с помощью (28) вычислять среднеквадратичную оценку момента появления скачка ?(/), которая является достаточной статистикой, до тех пор, пока г(/) > I. В первый же момент времени такой, что ?(/) = (, следует остановить наблюдения. Величина функции апостериорных потерь в момент остановки позволяет характеризовать качество обнаружения скачкообразного изменения параметров для каждой конкретной реализации наблюдаемого процесса.

В § 7.2 проводится синтез алгоритмов скорейшего обнаружения разладки случайных марковских последовательностей. Находятся функции апостериорных потерь в дискретном времени и формулируются правила определения моментов остановки наблюдений, при которых минимизируются средние потери.

В § 7.3 рассматриваются примеры скорейшего обнаружения скачкообразного изменения параметров сигналов — среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции наблюдаемой последовательности случайных гауссовских величин. С помощью компьютерного моделирования исследуются статистические характеристики алгоритмов скорейшего обнаружения данных типов скачков в зависимости от параметров наблюдаемых сигналов.

В заключении перечисляются основные результаты работы и следующие из них выводы.

Приложение 1 содержит доказательство утверждения, что условия (4) для априорных плотностей вероятности моментов появления скачков являются необходимыми и достаточными, чтобы случайный процесс (5), описывающий число появившихся скачков, был марковским.

В Приложении 2 и Приложении 3 рассматриваются различные варианты формулировки условий (4) в случаях непрерывного и дискретного времени. Показано, что данные условия приводят к экспоненциальному виду условных плотностей вероятности г„) г„_ ]) при я = 2, М в непрерывном времени и со-

/

ответственно к геометрическому распределению условных вероятностей моментов появления скачков или импульсов в дискретном времени.

ВЫВОДЫ

Основные результаты диссертационной работы и следующие из них практические выводы могут быть сформулированы следующим образом:

1. На основе теории условных марковских процессов разработаны методы синтеза систем оптимального нелинейного оценивания случайных сигналов в непрерывном и дискретном времени с учетом скачкообразных изменениях их параметров или структуры наблюдаемого процесса. Предполагается, что моменты появления скачков образуют марковский точечный процесс в дискретном и непрерывном времени. Получена система взаимосвязанных уравнений для апостериорных вероятностей появления скачков и апостериорной плотности вероятности оцениваемого сигнала. Используемый подход позволяет в текущем времени находить оценки и апостериорные дисперсии сигналов.

2. Разработаны методы синтеза систем оптимального оценивания сигналов с при совместном действии импульсных и шумовых возмущений в непрерывном и дискретном времени. Предполагается, что моменты появления импульсов образуют марковский точечный процесс. Задача оптимального оценивания сигналов с импульсными возмущениями решена путем сведения к задаче оптимальной фильтрации случайных сигналов со скачкообразными изменениями параметров и структуры наблюдаемого процесса. Получена система взаимосвязанных уравнений для апостериорной плотности вероятности сигналов и для апостериорных вероятностей появления различного числа импульсов к текущему моменту времени.

3. Определены необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять вероятностные распределения моментов появления скачков или импульсов в непрерывном и дискретном времени, чтобы случайный точечный считающий скачки и импульсы процесс был марковским.

4. Получены алгоритмы оптимального оценивания числа случайных импульсных и скачкообразных изменений параметров сигналов в непрерывном и дискретном времени.

5. Определены условия, при которых уравнения алгоритмов оптимального оценивания сигналов с учетом скачкообразных изменений параметров или импульсных возмущениях в непрерывном и дискретном времени можно просуммировать и свести к известным уравнениям оптимальной фильтрации марковских процессов. Разработан метод суммировании по кратному числу импульсов для оценивания статистических характеристик пуассоновского считающего процесса в непрерывном времени и дня аналогичного потока импульсных сигналов в дискретном времени.

6. Решена задача оптимального оценивания моментов случайных скачкообразных и импульсных изменений параметров сигналов, наблюдаемых на фоне белых шумов в непрерывном или дискретном времени. Получены алгоритмы вычисления оптимальных в среднеквадратичном смысле оценок и апостериорных дисперсий моментов появления скачков и импульсов в текущем времени.

7. Разработан метод оптимального оценивания параметров марковских последовательностей при случайных скачкообразных изменениях в дискретном времени. Получены в общем виде рекуррентные уравнения для апостериорных плотностей вероятности неизвестных параметров сигналов.

8. Для наиболее интересного случая наблюдаемых процессов, описываемых общей регрессионной моделью при гауссовских шумах, найден приближенный алгоритм вычисления оптимальных в среднеквадратическом смысле оценок и апостериорных дисперсий параметров до и после скачкообразного изменения. Величины апостериорных дисперсий характеризуют точность оценивания параметров сигналов для каждой конкретной реализации наблюдаемого процесса.

9. Синтезированы алгоритмы оптимального обнаружения сигналов на фоне шумов в предположении скачкообразных изменений параметров в непрерывном и дискретном времени. Разработан алгоритм обнаружения случайной пачки импульсных сигналов, наблюдаемых на фоне белых гауссовских шумов в непрерывном времени.

10. Выявлена взаимосвязь задач оптимального оценивания сигналов и обнаружения скачкообразных изменений их параметров или импульсных возмущений. Для оценивания сигналов необходимо вырабатывать функции, имеющие смысл апостериорных вероятностей появления скачков или импульсов к текущему моменту времени. Уравнения же для этих функций, в свою очередь, зависят от оценок сигналов и позволяют получить процедуры формирования отношения правдоподобия в реальном масштабе времени и применить их к решению задач обнаружения нестационарных сигналов. Таким образом, задачи оптимального оценивания сигналов и обнаружения скачкообразных или импульсных возму щений взаимозависимы и решаются одновременно.

11. Методами марковской теории нелинейной фильтрации случайных процессов решена задача скорейшего обнаружения скачкообразного или импульсного изменения параметров сигналов в непрерывном и дискретном времени. Сформулированы правила определения оптимальных моментов остановки наблюдений при использовании различных функций потерь, в том числе неквадратичных, для объявления "тревоги" или минимизации времени запаздывания при обнаружении. Показано, что в момент остановки минимизируются средние потери. Найдены выражения для функций апостериорных потерь в непрерывном и дискретном времени. Показано, что для решения задачи скорейшего обнаружения разладки можно использовать алгоритмы оптимального в среднеквадратическом смысле оценивания момента появления скачка.

12. Исследованы примеры, представляющие практический интерес и демонстрирующие работу синтезированных схем оптимального оценивания и обнаружения сигналов: алгоритмы оценивания и обнаружения на фоне шума прямоугольного импульсного сигнала со случайными амплитудой и моментом появления; оптимального оценивания числа скачков телеграфного марковского сигнала, наблюдаемого на фоне шума; оптимального оценивания моментов внезапного изменения параметров сигналов - среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции в наблюдаемой последовательности случайных гауссовских величин. Результаты компьютерного моделирования подтвердили высокую эффективность

синтезированных алгоритмов и теоретические выводы о возможности их использования для задач обработки нестационарных сигналов.

Таким образом, по результатам выполненных исследований сформулированы и обоснованы научные положения, позволяющие автору сделать вывод, что в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии перспективного направления статистической радиофизики — оптимального оценивания и обнаружения сигналов при скачкообразных изменениях параметров и импульсных возмущениях в случайные моменты времени.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание при скачкообразных изменениях параметров сигнала. // Изв. вузов - Радиофизика. 1983. Т. 26. № 1. С. 49-57.

2. Мальцев A.A., Силаев А.М. Оптимальное оценивание в динамических системах при совместном действии импульсных и шумовых возмущений. // Изв. вузов - Радиофизика. 1983. Т. 26. № 8. С. 981- 995.

3. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание в динамических системах с возмущениями волнообразной формы. // Автоматика и телемеханика. 1984. Л"» 6. С. 78-87.

4. Мальцев A.A., Силаев A.M. Обнаружение скачкообразных изменений параметров и оптимальное оценивание состояния дискретных динамических систем. // Автоматика и телемеханика. 1985. № 1. С. 48-58.

5. Мальцев A.A., Силаев A.M. Алгоритм оптимального оценивания состояния динамических систем с обнаружением скачкообразных изменений их параметров. // Изв. вузов - Радиофизика. 1985. Т. 28. №2. С. 184-194.

6. Мальцев A.A., Силаев A.M. Алгоритм оптимального оценивания состояния динамических систем с обнаружением импульсных возмущений. // Изв. вузов - Радиофизика. 1985. Т. 28. № 7. С. 850-862.

7. Мальцев A.A., Силаев A.M. Синтез алгоритмов настройки адаптивных систем при нестационарной помеховой обстановке с импульсными и скачкообразными возмущениями. I // Изв. вузов - Радиофизика. 1985. Т. 28. № 11. С. 1413-1420.

8. Мальцев A.A., Силаев А.М. Синтез алгоритмов настройки адаптивных систем при нестационарной помеховой обстановке с импульсными и скачкообразными возмущениями. II. //Изв. вузов - Радиофизика. 1985. Т. 28. № 12. С. 1590-1596.

9. Мальцев A.A., Силаев А.М. Оптимальное оценивание состояния линейных дискретных динамических систем при импульсных возмущениях. // Изв. вузов - Радиофизика. 1986. Т. 29. № 5. С. 537-544.

10. Мальцев A.A., Силаев А.М. О применении теории оптимальной фильтрации к задаче синтеза адаптивных систем, минимизирующих среднеквадратичную ошибку. // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32. Л° 2. С. 309-315.

11. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание числа случайных возмущении, действовавших на динамическую систему. // Автоматика и телемеханика. 1987. №5. С. 102-112.

12. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное обнаружение случайной пачки импульсных сигналов. //Изв. вузов - Радиоэлектроника. 1987. Т.30; № 7. С. 45-49.

13. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное обнаружение сигналов со случайными скачкообразными изменениями параметров. // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32. №6. С. 1241 - 1250.

14. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание момента скачкообразного изменения статистических характеристик случайного процесса. // Изв. вузов - Радиофизика. 1989. Т. 32. № 1. С. 62-72.

15. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание моментов случайных скачкообразных изменений параметров сигналов. // Радиотехника и электроника. 1989. Т. 34. №5. С. 1023-1033.

16. Мальцев A.A., Силаев A.M. Замечания к работе "Оптимальное обнаружение сигналов со случайными скачкообразными изменениями параметров". // Радиотехника и электроника. 1989. Т. 34. №7. С. 1562-1563.

17. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальная оценка момента изменения среднего значения белошумовой гауссовской последовательности. // Статистические проблемы управления. Вильнюс. 1990. Вып. 89. С. 72-77.

18. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание момента изменения характеристик случайной марковской последовательности. // Автоматика и телемеханика 1992. № 1.С. 63-71.

19. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное обнаружение скачкообразных изменений параметров сигналов в дискретном времени. // Изв. вузов - Радиофизика. 1992. Т. 35. №11-12. С. 938-951.

20. Ванжа A.B., Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание момента появления импульсного возмущения сигнала в дискретном времени. // Изв. вузов - Радиофизика. 1993. Т. 36. № 6. С. 498-511.

21. Силаев А.М. Анализ работы адаптивных антенных решеток систем связи, максимизирующих выходное отношение сигнал-шум, // Изв. вузов - Радиофизика. 1994, Т. 37. № 3. С. 340-350.

22. Силаев A.M. Оптимальное оценивание параметров нестационарного потока импульсных сигналов в дискретном времени. // Изв. вузов - Радиофизика. 1995. Т. 38. № 7. С. 678 - 694.

23. Ванжа A.B., Силаев A.M. Оптимальное оценивание импульсных сигналов со случайными амплитудами и моментами появления. // Изв. вузов - Радиофизика. 1995. Т. 38. № 12. С. 1257-1266.

24. Силаев A.M. Алгоритм оптимального оценивания состояния динамической системы при пуассоновском потоке импульсных возмущений. // Радиотехника и электроника. 1996. Т. 41. № 3. С. 322-327.

25. Польдин O B., Силаев A.M. Алгоритм оптимальной фильтрации случайных марковских сигналов с оцениванием амплитуд импульсных возмущений. // Изв. вузов -Радиофизика. 1996. Т. 39. №4.С. 496 - 513.

26. Силаев A.M. Оптимальная фильтрация импульсных случайных сигналов методом суммирования по кратному числу импульсов. И В сб.: "Современные проблемы радиофизики". Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1996. С. 51 - 55.

27. Мальцев A.A., Польдин О.В., Силаев A.M. Оптимальное оценивание и прогнозирование временных рядов с трендом среднего значения. // В сб.: "Современные проблемы радиофизики". Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1996. С. 150 - 154.

28. Силаев А.М. Оптимальное оценивание параметров марковских последовательностей, изменяющих свои свойства в случайный момент времени. // Автоматика и телемеханика. 1997. № 10. С. 58-70.

29. Силаев A.M. Скорейшее обнаружение скачкообразного изменения параметров случайных процессов. // Изв. вузов - Радиофизика. 1997. Т. 40. № 10. С. 1260 - 1275.

30. Мальцев A.A., Польдин О.В., Силаев A.M. Оценивание параметров кусочно-полиномиального тренда среднего значения стохастического временного ряда. Ч Изв. вузов-Радиофизика. 1997. Т. 40. № 11. С. 1405-1415.

31. Мальцев A.A., Силаев AM. Оптимальное оценивание состояния динамических систем при скачкообразных и импульсных возмущениях. Учебное пособие. Горький: Изд-во ГГУ, 1986. - 76 с.

32. Малахов А Н., Мальцев A.A., Силаев А.М. Оптимальные и адаптивные методы обработки при нестационарных изменениях параметров сигналов и помеховой обстановки. // В сб.: "Статистические методы в теории передачи и преобразования информационных сигналов". Киев: Изд-во КНИГА 1985. С. 3 - 4.

33. Мальцев A.A., Силаев A.M., Шепелевич Л.Г. Оптимальное обнаружение импульсных акустических сигналов при волноводном распространении на большие расстояния. // В сб.: "Акустические методы и средства исследования океана". Владивосток. 1986. С. 57-59.

34. Мальцев A.A., Силаев A.M. Алгоритм оптимального оценивания момента разладки случайного процесса. // В сб.: "Статистические методы в теории передачи и преобразования информационных сигналов". Киев: Изд-во КИИГА. 1988. С. 140.

35. Мальцев A.A., Силаев A.M. Алгоритм оптимального оценивания моментов скачкообразных изменений параметров сигналов. // В сб.: "Прием и анализ сверхнизкочастотных колебаний естественного происхождения". Львов. 1990. С. 57.

36. Ванжа A.B., Мальцев A.A., Силаев A.M. Быстрый алгоритм идентификации параметров авторегрессионной последовательности при скачкообразном изменении ее характеристик. // В сб.: "Адаптивные и экспертные системы в управлении". Ленинград. 1991. 4.1. С.94-96. '

37. Малахов А.Н., Мальцев A.A., Силаев А.М. Применение теории условных марковских процессов в задачах оптимальной обработки нестационарных сигналов. //

В сб.: "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей". Харьков: Изд-во ХИРЭ. 1991. С. 59.

38. Maltsev А.А., Silaev A.M., Vanzha A.V. The optimal estimation of the statistical characteristics of the random acoustic signals suffering their parameters change. // Proceedings of the International Scientific School-Seminar "Dynamic and stochastic wave phenomena". Nizhny Novgorod. University Press. 1992. P. 191-192.

39. Ванжа A.B., Мальцев A.A, Силаев A.M. Алгоритм оптимального оценивания в дискретном времени момента появления импульсного возмущения в случайном сигнале. // В сб.: "Статистический синтез и анализ информационных систем". Москва: Изд-во Моск. технич. ун-та связи и информатики. 1992. С. 25 - 26.

40. Maltsev A. A., Poldin O.V., Silaev A M. Optimal estimation in dynamic systems subjucted to noise, impulse and wavelike disturbances. // Abstracts of the Second Int. Scientific School-Seminar "Dynamic and stochastic wave phenomena". Nizhny Novgorod. University Press. 1994. P. 90-91.

41. Мальцев A.A., Поль дин О.В., Силаев A.M. Фильтрация тренда стохастического процесса. // В сб.: "Направления развития систем средств связи". Воронеж. 1996. Т. 1С. 234-239.

42. Силаев A.M. Алгоритмы оптимальной фильтрации марковских импульсных случайных процессов. // В сб.:"Юбилейная научная конференция по радиофизике". Н.Новгород. Изд-во ННГУ. 1995. С. 56-57.

43. Мальцев А.А., Польдин О.В., Силаев A.M. Обнаружение и фильтрация смеси различных импульсных сигналов. И В сб.: "Научная конференция по радиофизике, посвященная 95-летию со дня рождения М.Т.Греховой". Н Новгород: Изд-во ННГУ.

1997. С. 72.

оглавление диссертации

ВВЕДЕНИЕ ..................................... 5

ГЛАВА I. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ СКАЧКООБРАЗНЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ В СЛУЧАЙНЫЕ МОМЕНТЫ

ВРЕМЕНИ...................................... 25

§ 1.1. Синтез алгоритмов оптимальной фильтрации сигналов со скачкообразным)] изменениями параметров................................ 26

§ 1.2. Примеры оптимальных и квазиоптимальных алгор!гтмов нелинейного

оценивания сигналов с учетом скачкообразных изменений параметров...... 35

§ 1.3. Методы оптимального оценивания нестационарных марковских последовательностей, изменяющих свои характеристики в случайные моменты времени . 49 § 1.4. Примеры реализации алгоритмов оптимального оценивания сигналов со

скачкообразными изменениями параметров......................59

§ 1.5. Оптимальное оценивание нестационарных сигналов при потоке

скачкообразных изменений параметров....................... 79

ГЛАВА II. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИМПУЛЬСНЫХ МАРКОВСКИХ

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ............................ 90

§ 2.1. Оптимальная фильтрация случайных процессов при совместном действии импульсных и шумовых возмущений . .................. 91

§ 2.2. Оптимальное оценивание неоднородного пуассоновского потока импульсных возмущений. Метод суммирования по кратному числу импульсов 97 § 2.3. Алгоритмы оптимальной фильтрации импульсных случайных процессов

в дискретном времени............................... 108

§ 2.4. Квазиоптимальный алгоритм оценивания случайных сигналов, описываемых моделями линейных уравнений при потоке импульсных возмущений..... 119

ГЛАВА III. ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИСКРЕТНОГО СЧИТАЮЩЕГО ПРОЦЕССА, ОПИСЫВАЮЩЕГО ЧИСЛО СКАЧКООБРАЗНЫХ ИЛИ ИМПУЛЬСНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ ................... 134

§3.1. Оценивание числа случайных импульсных возмущений, действовавших

на динамическую систему за время наблюдения.................. 135

§3.2. Алгоритмы оценивания пуассоновского считающего процесса,

основанные на методе суммировании по кратному числу импульсов...... 138

§ 3.3. Синтез алгоритмов оценивания числа импульсных сигналов со

случайными моментами появления в дискретном времени........... 150

§ 3.4. Оптимальное оценивание числа скачков случайного телеграфного сигнала в дискретном времени.......................... 157

ГЛАВА IV. МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ МОМЕНТОВ ПОЯВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ . . 169

§ 4.1. Синтез алгоритмов оценивания моментов изменения свойств случайных

процессов в непрерывном времени....................... 169

§ 4 2. Оптимальное оценивание момента изменения характеристик случайной

марковской последовательности ........................ 184

§ 4.3. Апостериорные вероятности моментов появления скачков параметров

сигналов.....•.................................. 198

§ 4.4. Оценивание момента появления импульсного возмущения сигнала в дискретном времени.............................. 206

ГЛАВА V. ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ, ИЗМЕНЯЮЩИХ СВОИ СВОЙСТВА В СЛУЧАЙНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ..................................... 221

§ 5 .1. Синтез алгоритма оценивания параметров нестационарных марковских

последовательностей при случайных скачкообразных изменениях....... 222

§ 5.2. Оценивание параметров нестационарных случайных последовательностей,

описываемых моделью регрессии в дискретном времени ........... 228

§ 5.3. Оптимальное оценивание параметров нестационарного потока импульсных сигналов............................... 240

ГЛАВА VI. МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ СКАЧКООБРАЗНЫМИ И ИМПУЛЬСНЫМИ ИЗМЕНЕНИЯМИ ПАРАМЕТРОВ........................ 258

§ 6.1. Оптимальное обнаружение сигналов со случайными скачкообразными

изменениями параметров в непрерывном времени . I.............. 259

§ 6.2. Оптимальное обнаружение случайной пачки импульсных сигналов . . . 272 § 6.3. Алгоритмы оптимального обнаружения скачкообразных изменений параметров сигналов в дискретном времени.................. 278

ГЛАВА VII. СКОРЕЙШЕЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ВНЕЗАПНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ................ 291

§ 7,1. Алгоритмы наискорейшего обнаружения скачкообразных или импульсных изменений характеристик сигналов в непрерывном времени .... 292 § 7.2. Синтез алгоритмов скорейшего обнаружения разладки случайных

марковских последовательностей........................ 309

§ 7.3. Исследование статистических характеристик алгоритмов скорейшего обнаружения резких изменений параметров сигналов в дискретном времени . 324

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................. 342

Приложение 1. Статистические характеристики марковских точечных

случайных процессов............................... 345

Приложение 2. Условия марковости для случайного процесса, описывающего

число скачков в непрерывном времени...................... 354

Приложение 3. Условия марковости для случайного процесса, описывающего число скачков в дискретном времени..................... 358

ЛИТЕРАТУРА ................................. 364

Подписано в печать 21.04.98. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2. Заказ 613. Тираж 100 экз.

Типография ННГУ, 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.



$

■г\

1

НИЖЕГОРО, ГОСУДАР

ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ЮБАЧЕВСКОГО

завах рукописи

СИЛАЕВ Андреи

' ц л/)Л'

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ МАРКОВСКИХ СИГНАЛОВ СО СКАЧКООБРАЗНЫМИ ИЗМЕНЕНИЯМИ ПАРАМЕТРОВ И ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

01.04.03 - радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Научный консультант доктор физ.-мат. наук, проф. Мальцев А. А.

Нижний Новгород - 1998

СОДЕРЖАНИЕ Стр.

ВВЕДЕНИЕ .................................. 5

ГЛАВА I. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ СКАЧКООБРАЗНЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ В СЛУЧАЙНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ............................ 25

§1.1. Синтез алгоритмов оптимальной фильтрации сигналов со

скачкообразными изменениями параметров.................26

§ 1.2. Примеры оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов нелинейного оценивания сигналов с учетом скачкообразных изменений параметров . . 35 §1.3. Методы оптимального оценивания нестационарных марковских последовательностей, изменяющих свои характеристики в случайные

моменты времени...............................49

§ 1.4. Примеры реализации алгоритмов оптимального оценивания сигналов

со скачкообразными изменениями параметров...............59

§1.5. Оптимальное оценивание нестационарных сигналов при потоке

скачкообразных изменений параметров...................79

ГЛАВА II. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИМПУЛЬСНЫХ

МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ .............. 90

§ 2.1. Оптимальная фильтрация случайных процессов при совместном

действии импульсных и шумовых возмущений.............. 91

§ 2.2. Оптимальное оценивание неоднородного пуассоновского потока импульсных возмущений. Метод суммирования по кратному числу

импульсов .................................. 97

§ 2.3. Алгоритмы оптимальной фильтрации импульсных случайных

процессов в дискретном времени......................108

§ 2.4. Квазиоптимальный алгоритм оценивания случайных сигналов, описываемых моделями линейных уравнений при потоке импульсных возмущений..................................119

ГЛАВА III. ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ Стр. ХАРАКТЕРИСТИК ДИСКРЕТНОГО СЧИТАЮЩЕГО ПРОЦЕССА, ОПИСЫВАЮЩЕГО ЧИСЛО СКАЧКООБРАЗНЫХ ИЛИ ИМПУЛЬСНЫХ

ИЗМЕНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ ................134

§3.1. Оценивание числа случайных импульсных возмущений,

действовавших на динамическую систему за время наблюдения......135

§3.2. Алгоритмы оценивания пуассоновского считающего процесса, основанные на методе суммировании по кратному числу импульсов . . . 138 §3.3. Синтез алгоритмов оценивания числа импульсных сигналов со

случайными моментами появления в дискретном времени........ 150

§3.4. Оптимальное оценивание числа скачков случайного телеграфного

сигнала в дискретном времени....................... 157

ГЛАВА IV. МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ МОМЕНТОВ ПОЯВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ 169

§4.1. Синтез алгоритмов оценивания моментов изменения свойств

случайных процессов в непрерывном времени...............169

§ 4.2. Оптимальное оценивание момента изменения характеристик

случайной марковской последовательности ................184

§4.3. Апостериорные вероятности моментов появления скачков

параметров сигналов.............................198

§ 4.4. Оценивание момента появления импульсного возмущения сигнала

в даскретном времени............................206

ГЛАВА V. ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ, ИЗМЕНЯЮЩИХ СВОИ СВОЙСТВА В

СЛУЧАЙНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ...................221

§5.1. Синтез алгоритма оценивания параметров нестационарных марковских последовательностей при случайных скачкообразных изменениях .... 222 § 5.2. Оценивание параметров нестационарных случайных последовательностей, описываемых моделью регрессии в дискретном времени .........228

Стр.

§5.3. Оптимальное оценивание параметров нестационарного потока

импульсных сигналов.............................240

ГЛАВА VI. МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ СКАЧКООБРАЗНЫМИ И

ИМПУЛЬСНЫМИ ИЗМЕНЕНИЯМИ ПАРАМЕТРОВ...........258

§6.1. Оптимальное обнаружение сигналов со случайными скачкообразными изменениями параметров в непрерывном времени . . . 259 § 6.2. Оптимальное обнаружение случайной пачки импульсных сигналов . 272 §6.3. Алгоритмы оптимального обнаружения скачкообразных изменений

параметров сигналов в дискретном времени................278

ГЛАВА VII. СКОРЕЙШЕЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ВНЕЗАПНЫХ

ИЗМЕНЕНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.....291

§ 7.1. Алгоритмы наискорейшего обнаружения скачкообразных или импульсных изменений характеристик сигналов в непрерывном времени . 292 § 7.2. Синтез алгоритмов скорейшего обнаружения разладки случайных

марковских последовательностей......................309

§7.3. Исследование статистических характеристик алгоритмов скорейшего обнаружения резких изменений параметров сигналов

в дискретном времени............................324

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................342

Приложение 1. Статистические характеристики марковских точечных

случайных процессов............................ 345

Приложение 2. Условия марковости для случайного процесса,

описывающего число скачков в непрерывном времени...........354

Приложение 3. Условия марковости для случайного процесса,

описывающего число скачков в дискретном времени...........358

ЛИТЕРАТУРА ...............................364

ВВЕДЕНИЕ

Для широкого круга радиофизических проблем представляет интерес разработка и исследование оптимальных методов обработки нестационарных случайных сигналов, принимаемых на фоне помех. Задачи оптимального обнаружения и оценивания сигналов возникают в радиосвязи, радиолокации, гидроакустике, сейсмологии и других областях науки. Основы теории оптимальной фильтрации случайных процессов были сформулированы в работах [1, 2]. В работе [3] была впервые поставлена задача статистического синтеза оптимальных приемных устройств и дано решение классической задачи обнаружения детерминированных сигналов на фоне помех. К настоящему времени имеется обширная литература, посвященная различным вопросам теории оптимального приема сигналов. При этом рассматриваются все более сложные виды случайных сигналов и помех, и синтезированные алгоритмы находят широкое применение в современных радиоэлектронных устройствах обработки сигналов [4-32].

При решении задач оптимального оценивания сигналов обычно предполагается, что статистические характеристики сигналов, помех и структура наблюдений известны и постоянны во времени (стационарны) или же изменяются во времени (нестационарны), однако закон этого изменения заранее известен. Провести оптимальное оценивание линейных нестационарных процессов позволил подход, предложенный в [4, 5]. При этом для математического описания случайных сигналов использовались переменные в пространстве состояний, удовлетворяющие некоторой априори известной системе линейных дифференциальных (в непрерывном времени) или разностных (в дискретном времени) уравнений, правые части которых содержат возмущения типа белого гауссовского шума. В работах [6-8] была разработана общая теория оптимальной нелинейной фильтрации марковских случайных процессов, которая, как частный случай, включает в себя линейную теорию фильтров Калмана-Бьюси [4, 5]. Математическое рассмотрение проблем оптимальной

нелинейной фильтрации дано в [9]. Вопросы применения марковской теории фильтрации к обработке радиосигналов исследованы в [10-17]. Аппарат марковской теории нелинейной фильтрации позволяет эффективно решать задачи синтеза оптимальных систем обработки сложных нестационарных сигналов при действии разнообразных помех.

Вместе с тем в большинстве практических задач различные измерительные радиофизические системы работают в условиях существенно нестационарной сигнально-помеховой обстановки со скачкообразными изменениями параметров или импульсными возмущениями, возникающими в заранее неизвестные моменты времени. Решению задач синтеза оптимальных алгоритмов оценивания и обнаружения марковских нестационарных сигналов при скачкообразных и импульсных возмущениях и посвящена настоящая диссертационная работа. Учет скачкообразных изменений параметров сигналов или импульсных возмущений необходим, например, в следящих системах сопровождения при маневрах цели, в системах связи при резком изменении уровня помех или случайных замираниях сигнала. При диагностике сложных технических систем часто необходимо оценивать переменные, характеризующие состояние системы, и своевременно обнаруживать скачки параметров, приводящие к нарушению нормального режима ее работы (отказу). Поэтому рассматриваемые в настоящей работе алгоритмы оптимальной фильтрации сигналов с учетом скачкообразных или импульсных возмущений представляются весьма актуальными.

Для решения задач оптимального оценивания и обнаружения сигналов в работе использованы общие методы теории фильтрации дискретно-непрерывных процессов. К настоящему времени ряд результатов по фильтрации дискретно-непрерывных и импульсных марковских процессов получен в работах [10-17, 33-35]. Задачи оценивания и идентификации состояния динамических систем со случайной скачкообразно изменяющейся структурой при пуассоновской статистике потока переключений рассматривались в работах

[12, 36-41]. Фильтрации импульсных марковских процессов, описываемых в непрерывном времени интегродифференциальным уравнением Колмогорова-Феллера, посвящены статьи [42-45]. При этом также предполагается, что моменты появления импульсов образуют пуассоновский поток событий.

В отличие от перечисленных работ в диссертации задачи оптимального оценивания сигналов со скачкообразными изменениями параметров или импульсными возмущениями решаются в предположении, что априорно задано число скачков или импульсов на интервале наблюдения и известна (например, на основе многократных предварительных испытаний) априорная плотность вероятности моментов появления возмущений. Развивается новый подход, основанный на методах теории условных марковских процессов, который позволяет получить алгоритмы оптимального оценивания и обнаружения сигналов как для конечного числа скачкообразных изменений параметров сигналов (импульсных возмущений), так и для случая бесконечного потока скачков (импульсов). Причем при пуассоновской статистике потока моментов появления возмущений в непрерывном времени результаты переходят в известные [8, 10, 38].

Как известно, задача оптимального оценивания случайных сигналов при скачкообразных изменениях их параметров взаимосвязана с задачей оптимального обнаружения скачков [13, 46, 47]. По проблеме обнаружения скачкообразных изменений свойств случайных процессов к настоящему времени опубликовано большое число работ (см. обзоры [48-52], библиографии [53,54], монографии [55-59] и специальные выпуски [60, 61]). Для решения данной проблемы используются различные методы. Например, в работах [52, 62, 63] рассматриваются процедуры обнаружения и оценивания моментов скачкообразных изменений свойств случайных процессов, осуществляемые после окончания наблюдений. При этом для оценивания моментов появления скачков могут применяться метод максимального правдоподобия (см. также [59, 64-70]) или байесовский подход (если задана априорная плотность

вероятности моментов появления скачков). Однако в случае многокомпонентных процессов или при большом числе скачков на интервале наблюдения реализация синтезированных в [62, 63] процедур требует слишком большого объема вычислений.

При исследовании различных динамических систем, подверженных влиянию шумовых и случайных импульсных возмущений, в ряде задач возникает проблема оптимального оценивания числа импульсных возмущений, воздействовавших на систему за время наблюдения. В качестве примеров можно привести задачи определения числа элементарных частиц, зарегистрированных измерительной системой в физических экспериментах, оценивание числа объектов при обработке отраженных сигналов в радио- и гидролокации, измерения параметров случайных импульсных потоков на фоне шумов и т.п. [23, 28]. Для решения этой проблемы могут быть использованы методы выделения случайных потоков сигналов из смеси с шумом с одновременным оцениванием параметров потоков [23, 28], а также разработанные к настоящему времени различные методы обнаружения моментов скачкообразных изменений свойств случайных процессов [52]. При использовании этих методов обычно также подразумевается, что обработка сигналов проводится после завершения очередного этапа наблюдений, а для ее осуществления применяются параллельные схемы с запоминанием всей наблюдаемой реализации.

Более удобными для реализации представляются последовательные статистические методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов и оценивания их параметров. При этом анализ проводится рекуррентным образом по мере поступления информации в ходе наблюдения случайного процесса. Среди последовательных методов к настоящему времени наиболее развиты процедуры, не использующие (в явном виде) априорную информацию о моментах появления скачков или импульсов. К ним относятся, например, алгоритмы кумулятивных сумм [56, 71-74], различные алгоритмы с ограниченной памятью на наблюдения или с применением скользящих окон [75, 76], а также алгоритмы, использующие так называемые "обновляющие

процессы" [77] и их свойства изменять свои статистические характеристики при появлении очередного скачкообразного или импульсного возмущения [49, 51, 78-83].

В меньшей степени исследовались последовательные статистические методы обнаружения скачкообразных изменений параметров случайных процессов с известной априорной информацией о возможных моментах появления скачков. Следует отметить, что априорную плотность вероятности моментов появления скачков во многих случаях можно заранее оценить. Учет данной априорной информации, очевидно, в принципе дает возможность улучшить алгоритмы оптимальной обработки сигналов на фоне помех. Вопросы скорейшего обнаружения момента изменения свойств случайного процесса (задача о разладке) без проведения оценивания с использованием априорной плотности вероятности момента появления скачка были рассмотрены в работах [8, 55, 84-87]. Близкие задачи решались позднее в [88-90]. В работе [91] была рассмотрена задача оптимального обнаружения на фоне белых гаус-совских шумов детерминированного сигнала со случайным моментом включения на интервале наблюдения. Некоторые вопросы оптимального обнаружения детерминированного сигнала на фоне импульсных помех исследовались в [92, 93]. В перечисленных работах было показано, что для функций, имеющих смысл апостериорных вероятностей появления скачка к текущему моменту времени, с учетом наблюдений можно записать замкнутые уравнения (дифференциальные в случае непрерывного времени или разностные в дискретном времени), позволяющие вычислять данные функции рекуррентным образом по мере поступления новых наблюдений. При этом оказалось, что для вычисления апостериорной вероятности появления скачка параметров в случайном процессе не требуется дополнительно оценивать сам момент скачка или прибегать к сложным многоканальным схемам с запоминанием реализации наблюдений. Заметим, что при использовании некоторых методов последовательного статистического анализа [48-52, 86, 94] для обнаружения моментов разладок статистических характеристик случайных процессов

необходимо производить их оценивание, которое в этом случае однако носит вспомогательный характер. В работе [95] была найдена замкнутая система стохастических дифференциальных уравнений для среднеквадратичной байесовской оценки момента смещения среднего уровня белого гауссовского шума в непрерывном времени.

С другой стороны, в настоящее время имеется много работ (см., например, [8, 10, 28, 36-38, 96-108]), посвященных исследованию алгоритмов оптимальной фильтрации случайных процессов, имеющих на случайных интервалах времени различные структуры, с учетом многократных возможных переходов из одной структуры в другую. Причем для вывода основных уравнений фильтрации предполагается, что процесс скачкообразного изменения структур является марковским и задаются априорные интенсивности переходов из одного состояния в другое. Оказывается, что в этом случае можно найти последовательные процедуры для вычисления апостериорных вероятностей процессов в текущем времени и синтезировать алгоритмы оптимальной фильтрации случайных процессов по наблюдениям на фоне белых гауссовских шумов. Одновременно определяются также апостериорные вероятности различных структур оцениваемых процессов в текущем времени. Однако важно отметить, что при этом не учитывается вклад в данные апостериорные вероятности (явным образом) каждого отдельно взятого скачка. Тем самым теряется часть априорной информации о каждом скачке в отдельности, что приводит в о