Методы локальной оптимизации и вероятностной диагностики в системах стабилизации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ВСЕСОЮЗНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ/^ СИСТЕМНЫХ ИССЛЕДОВАНИИ

Специализированный совет Д. 003.63.02

На правах рукописи

ДАРХОВСКИЙ Борис Семенович

УДК 681.5

МЕТОДЫ ЛОКАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И ВЕРОЯТНОСТНОЙ ДИАГНОСТИКИ В СИСТЕМАХ СТАБИЛИЗАЦИИ

Специальность 01.01.11 — Системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 1989

Работа выполнена в Государственном Центральном Всесою: ном ордена Трудового Красного Знамени научно-нсследовател! ском институте комплексной автоматизации (ЦНИИКА).

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Калашников В. В.

доктор физико-математических наук, профессор Колмановский В. Б.

доктор физико-математических наук, профессор Ширяев А. Н.

Ведущая организация — Институт математики и к( бернетики АН Литовской ССР.

Защита состоится «_»_19_г. в_час н

заседании Специализированного совета Всесоюзного научно-и< следовательского института системных исследований по адрес; г. Москва, просп. 60-летия Октября, д. 9. Телефон Совет; 135-54-57

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Всесою: ного научно-исследовательского института системных исследов; ний.

Автореферат разослан «_»_19_г.

Ученый секретарь Специализированного Совета д. ф.-м. н.

В. С.

Левченко

' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЬГ

Актуальность теми.Задачи стабилизации составляют весьма значи-льную и важную часть задач управления в современных автоматизиро-дных системах управления технологическими процессами ( АСУ ТП ) таких отраслях промышленности как химия, нефтехимия, металлургия, ергетика. Усложнение объектов управления и повышение требований качеству стабилизации обусловливает необходимость развития матема-:ческих методов синтеза систем стабилизации.

Математическая теория систем стабилизации, сформированная в ра-ах теории устойчивости движения и аналитического конструирования гуляторов, получила развитие в работах В.Калмана, Н.Н.Красовского, М.Попова. Метода теории оптимального управления - принцип максиму-Л.С.Понтрягина и метод динамического программирования Р.Беллма-— позволили подойти к проблеме синтеза оптимальных систем стаби-зации.

Вместе с тем, такие свойства объектов управления как нелиней-сть, многомерность, наличие ограничений на управляющие воздействия {¡азовые координаты, а также несовершенство существующей теории, многих, случаях не дают возможности осуществлять на регулярной оо-ве конструирование систем стабилизации. В силу того, что при раз-Зотке АСУ ТП эта задача представляет собой сложную комплексную эблецу, назрела необходимость системного подхода к ее решению на юве строгой научной методологии, позволяющей рассмотреть с единых зиций вопросы идентификации, собственно синтеза управления и ада-1ции, традиционно возникающие при разработке таких систем. Выбран-Ъ в диссертации в качестве основы для регулярного синтеза систем 1билизации метод, локальной оптимизации, первоначально возникший теории оптимального управления и получивший дальнейшее развитие юследние годы в работах, проводившихся под руководством Л.В.Кан-эовича, потребовал углубленного анализа его свойств, а также при-зчения идей минимакса для реализации принципа гарантированного ре-гьтата в условиях неизбежной неопределенности математического гсания объекта управления. Специфика возникающих при этом минима-шх задач потребовала разработки для них теории условий экстре-а в рамках общей теории условий высших порядков оптимальности, витой в работах А.А.Милютина, Е.С.Левигина, Н.П.Осмоловского. В :тексте общей методологии синтеза систем стабилизации для матема-[еской поддержки задач идентификации и адаптации привлекаются оды вероятностной диагностики, получившие развитие в рабо -

Г-1

та*. А.Н.Ширяева.В связи с ограниченностью априорной информации о ра ределениях случайных процессов,имеющей место в практических: приложе ях.возникает необходимость разработки и исследования новых; методов роятностной диагностики,не использующих эту информацию.

Актуальность темы диссертационной, работы определяется необходк стью развития и исследования методов локальной, оптимизации и вероят ной диагностики для формирования строгой научной методологии синтез систем стабилизации.

Целью работы является" разработка и исследование методов локаль оптимизации и вероятностной диагностики для решения проблем синтезе систем стабилизации.

Методы исследования.В работе используется аппарат функционалы анализа,математического программирования,теории вероятностей и мате тической статистики.

Научная новизна.Сформулированы принципы решения проблем синтез стем стабилизации на основе последовательного применения методов ве ностной диагностики.локальной оптимизации и минимакса.Определено пс грубости для систем стабилизации,замыкаемых' по методу локальной опт зации,получены условия устойчивости и грубости таких систем,позволь конструктивно строить области грубости в пространстве параметров ос Найдены условия оптимальности метода локальной оптимизации для клас задач.На основе понятия! область грубости предложен минимаксный вар!: метода локальной оптимизации и для возникающего при этом класса зав получена полная система условий оптимальности второго порядка.Разре на методика математической поддержки задач идентификации и адаптавд возникающих при решении проблем синтеза систем стабилизации,методал роятностной диагностики.Для задач обнаружения изменения свойств слу ных последовательностей разработана группа новых непараметрических дов вероятностной диагностики,не использующих априорную информацию определении этих последовательностей.Для разработанных методов диа1 ки доказана состоятельность получаемых оценок,найдена нижняя грант роятности ошибки,установлено неравенство типа Рао-Крамера,предложен ход к сравнительному анализу различных.методов,доказана асимптотиче оптимальность предложенных методов.

Практическая значимость.Разработанные в диссертации методы явд основой для конструирования эффективных вычислительных алгоритмов I рного синтеза систем стабилизации в АСУ ТП,а также решения задач ве ностной диагностики,возникающих, в процессе идентификации объекта уг ния и при адаптации замкнутой системы.Кроме того,алгоритмы вероятнс диагностики,разработанные в диссертации,могут наЛти применение в ра ных областях науки и техники,в частности,при обработке геофизячеек* космических данных.

Реализация результатов работы. Работа выполнена в рамках целевой лплексной программы 0.Ц.026 ( задание 04.05) в соответствии с пла-ли научных работ ЦНИИКА.Полученные результаты легли в основу алго-гыическпх модулей, сданных в государственный фонд алгоритмов и зграмм и намеченных, для внедрения в АСУ ТП на ряде производств ос-зной химииi Акты о сдаче прилагаются к диссертации.

На основе методов, разработанных в диссертации, проведена серия шслителышх экспериментов по синтезу систем стабилизации ряда хи-со-технологических процессов, а также по решению некоторых задач эоятностной диагностики на реальных и модельных примерах. По резу-гатам вычислительных экспериментов даны рекомендации для построения ?оритмов управления реальными химико-технологическими процессами.

Полученные в диссертации результаты использованы при разработке 50шли соотавной частью в методические указания МУ" 25 607-83 по фу-шонально-алгоритмическому синтезу АСУ ТП, предназначенные для про-?ировщиков автоматизированных систем управления. Методические ука-тя утверздены Мииприбором СССР и согласованы с ГКНТ СССР 6.ХП-83г..

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и ¡увдались на научных семинарах Математического института АН СССР, ¡ковского государственного университета, Ленинградского государст-шого университета, Горьковского государственного университета, Ин-ттута механики АН СССР, Института проблем передачи информации АН ЗР, Института проблем управления АН СССР, Всесоюзного научно-иссле-атедьского института системных исследований АН СССР, а также на ¡дукщюс международных и всесоюзных совещаниях и конференциях: 1-й ¡союзной конференции по теоретической кибернетике ( Новосибирск» 'I ) »Всесоюзной конференции по теории экстремальных задач ( Таллин, '3), Всесоюзной конференции по теории игр ( Одесса, 1975), 71, 7III, Всесоюзных совещаниях по проблемам управления. Всесоюзных конфере-шх Химреактор ( Чимкент, 1983, Баку, 1987 ) , симпозиуме ИМК по ¡ктификации {Дюссельдорф, 1979), симпозиуме ИРАК по стохастическо-управленгоо ( Вильнюс, 1986), 1-м Всемирном конгрессе общества им» шулли ( Ташкент, 1986), 1У-Ё международной вильнюсской конференции теория вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1985), ; II Всесоюзных оеминарах по обнаружению изменения свойств случай: процессов ( Паланга, 1984, Звенигород, 1988), Всесоюзной школе-се-аре по теории вероятностей и математической статистике С Еакуриани, 2, 1983, 1988), Всесоюзном семинаре по динамике нелинейных систем ллин, 1987), Всесоюзной школе-семинаре по оптимизации и смежным 1-2

вопросам ( Иркутск, 1986).

Структура и объем работы. Диссертация ооотоит из введения, пят глав, выводов, списка литературы, приложения. Общий объем работы -- 271 стр. основного текста, 8 рисунков.

Публикации. По теме диосертации опубликована 31 работа.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы, приведены цели работы, дано краткое описание содержания диссертации.

В первой главе диссертации формулируется методология синтеза о стем стабилизации, даетоя обзор литературы и приводятся на содержа льном уровне постановки задач исследования.

В процедуре синтеза систем управления технологическими процесса ми можно выделить три крупные проблемы: идентификация объекта упра: ления; синтез алгоритма управления; адаптация алгоритма управления изменениям, происходящим в объекте. Первый этап конструирования, ош темы управления начинается с решения задачи идентификации, т.е. not роения математической модели управляемого объекта. Как правило, ма: матическая модель объекта является известной с точностью до некото] го набора параметров и поэтому задача идентификации оводится к оце1 ке вектора параметров. Спецификой сложных многорежимных объектов sa ляется то, что для их описания нужен не один, а множество наборов i раметров, так что объект описывается совокупностью математических > делей. Обычно оценивание параметров объекта производится по некото] информации стохастического характера, так что задача идентификации есть, по существу, задача математической отатиотики. Однако, в сшц того, что математическая статистика в принципе позволяет оценивать лишь такие величины, которые не изменяются в процессе сбора данных, а оцениваемый вектор параметров может принимать некоторое множестве значений, возникает специфическая задача выделения из совокупности данных стохастически однородных кусков. Решение этой задачи должно предшествовать собственно идентификации, и без этого невозможно raj нткровать высокое качество идентификации, а значит, и управления, к тоды вероятностной диагностики апостериорного типа предназначены до решения указанной задачи выделения стохастически однородных кусков. С математической точки зрения, эта задача заключается в оценке моме тов изменения вероятностных характеристик случайных процессов, т.е. моментов смены одной математической модели объекта другой. Важной о бенностью указанной ситуации является то, что решение задач диагнос ки должно предшествовать параметрической идентификации. На этом пре

. - б -

арительном этапе исследования априорная информация о распределениях зучаемых случайных процеосов весьма скудна. Поэтов в рамках рассма-риваемой методологии актуальной является разработка нёпараметричес-нх ( т.е. не зависящих от распределения ) методов вероятноотной ди-гностики.

После построения математического описания объекта необходимо пе-еходить к синтезу алгоритма управления. В математическом плане - это ешение задачи оптимального управления. Несмотря на значительные до-тижения математической теории оптимального управления, во многих ре-льных ситуациях, ее результаты по ряду причин трудно использовать ля регулярного синтеза управления. Отсюда возникает необходимость екать разумные эвристические подходы для решения этой задачи. Боль-ое распространение получил один из таких: подходов - метод локальной птимизации.Идея этого метода состоит в следующем. Цгсть дгя динами-еской системы (в дискретном времени )

де , ^ - соответственно, векторы фазовых переменных, и управлений,

ужно найти управление, минимизирующее функционал у т ф ц\

п ™ <"3 *

ри наличии ограничения Тогда йокально-оптишльное управле-

ие на каждом шаге t ищется как решение задачи

Ооновное доотоинотво этого метода управления - его конструктив-ооть.Это достоинство, однако, не единственное. Оказывается, ( подро-нее см. ниже) что при естественных условиях локально-оптимальная си-тема стабилизации обладает уетойчивоотыо и в раде случаев близка к птимальной.

При оинтезе управления методом локальной оптимизации мы находим

з.математической модели объекта (которую можно представлять как точу в некотором параметричеокоы пространстве). Поскольку при вдентифи-ации вектор параметров принципиально не мояет быть найден с абсолютной точностью, возникает важнейшая проблема, которую на оодержатель-ом уровне можно сформулировать так: насколько допуотимо "шевеление" одели при расчете управления, чтобы замкнутая система не теряла за-анный запас устойчивости. В работе такое свойство названо грубостью® онцепция грубости позволяет осуществить априорное разбиение парамет-ического пространства объекта на области грубости, т.е. такие облас-

и, что__принаддежность к какой-либо одной из них векторов параметров

1-3

объекта и модели, иопользуемой для расчета управления, гарантируе заданный запас устойчивости замкнутой сиотемы.

Поскольку вектор параметров объекта содержит неопределенность (как в силу конечной точности идентификации, так и в о аду возможн* его флуктуации в процесое функционирования), целесообразно привле1 для синтеза управления минимаксные соображения. Развитая концепции грубооти позволяет предложить следующий вариант применения принцш гарантированного результата к задаче (I) , т.е. минимаксный вариш метода локальной оптимизации: управление ищется из условия

т а к Ü (О, и) — т/а ее А * . UeSlt

Здесь в - вектор параметров, Д (б, U,)- L<-\ А ~

- область грубости, в которой находится вектор & .

Использование результатов теории возмущений экстремальных зад« позволяет решать минимаксную задачу (2) не на каждом шаге управле! а лишь время от времени, ограничиваясь на остальных шагах введение соответствующих поправок, что может быть сведено к задаче динейно1 программирования.

Третья проблема, возникающая в процессе оинтеза сиотемы управл нил - проблема адаптации, связанная с необходимостью изменения алг ритма управления в силу изменения свойотв объекта в процесое фунта нирования. Развитая в работе концепция грубости дает возможность о ределить задачу адаптации как задачу приспособления только к такт изменениям в объекте, которые приводят к изменению области грубост Такой подход позволяет предложить ряд вариантов построения адаптив сиотемы. Возникающая при этом подходе специфическая задача - по ин нации, поступающей в процесое управления (и имеющей, в силу наличи случайных возмещений, стохастический характер) определить, произош ли существенное изменение параметров (т.е. изменение облаоти грубо ти) - может быть решена методами вероятносной диагностики типа ска шего обнаружения изменений характеристик случайного процесса.

Таким образом, в предлагаемой методологии синтеза математическ поддержка задач идентификации и адаптации осуществляется методами роятностной диагностики (соответственно, апостериорной и скорейшег типа) , а синтез управления осуществляется на основе методов локал оптимизации с привлечением принципа гарантированного результата. Т самым выделяются следующие подцели работы: исследование метода лок ной оптимизации; развитие и исследование непараметрических, методов

вероятностной диагностики; развитие теории специального класса мин максных задач.

Вторая глава диосертации посвящена исследованию свойств локаль-оптимального способа стабилизации.

Пусть X, и, 21 ~ ■шейные нормированные пространства. Рассмо-ы динамическую систему в диокретном времени

-¿'О*1*- (3)

оь - вектор фазовых координат, вектор управляющих

действий, - вектор неизмеряемыг возмущений, X* II'Х-

-ограничения общности будем считать, что О^Л?, Р(0,0,0) = О и ью управления являетоя удержание в нуле вектора . Стандартный од докальной оптимизации соотоит в том, что на шаге t управление ищется как решение задачи

П— М)

и входит аддитивно в правую чаоть (3) и последовательность I являетоя мартингал-разностью» те (4 ) равносильно минимизации днего квадрата фазового вектора в момент . Однако, если ма-

атичеокое ожидание $ изменяется, либо если неизмеряемая ерминированная функция, то недостатком метода (4) является невоз-нооть отработки такого возмущения. Поэтому наряду о (4) в работе длагается рассматривать модифицированный, метод локальной оптимиза-, состоящий в том, что и^ щетоя как решение задачи

ко ввдеть, что при $ =0 (5) оовпадает о (4) и поэтому условия ойчивоотн замкнутой оистемы достаточна раоомотреть для метода ( 4), В §.2.1 получены уолоаия уотойчивооти положения равновесия систе-[ 3) , замыкаемой по методу (4) (при £ = О ) в двух вариантах: Ос ¡П~£ -57. и в) 0& где- граница множества

, задаваемая гладким функционалом. Полученные достаточные уело-нельзя ослабить (в линейном случае они являютоя необходимыми ). Как видно из описания методов (4) , ( 5) , для формирования управил используетоя математическое описание объекта - функция Р (') • еальных условиях она не является извеотной точно, и поэтому возни-г вопроо о грубости, т.е. чувствительности замкнутой системы к велению" Р['). В § 2.3 проводится подробный анализ грубости мето-покальной оптимизации. Приведем необходимые определения и формули-ку теоремы для случая, когда управляемая система описывается в тезах вход-выход. Цусть X I/ 2 ~ линейные нормированные простран-1-4 . ' ' '

ства, К, № _ целые неотрицательные чиола, F-X *U' >2->Х. Рассматривается динамическая оистема

^ « FÍK > ^,» V , К, ■ ■ V ^ >£) \ 6

Цусть точка (0,0,0) eX^U^Z - положение равновеоия ои стемы ( 6 ) . т.е. F(0, 0,0) = О . Обозначим через ^'CW^lf^l

л rit/V*"- Тr">fi v«\ " ° подпроотранотво таких функций r^L [Л *U "Z.J » что

FÍOjOj о) = 0 . Будем говорить, что функции F} á^ C0 <f - бл ' эки, если

Здесь

- соответствующие частные прои водные по Фреше функций F м Q ъ нуле.

Будем предполагать, что оистема Г6) замыкается, в соответствия ° (5) » управлением, которое на шаге t ищется из уоловия

Здесь функция t> , вообще говоря, не совпадает с

это модель о

стемы, которая имеется у конструктора) . Будем говорить, что локаль но-оптимальная стабилизация ( 7) является грубой в точке fí'f Cq , е ли существует такое <f>0, что для любого отображения и люС

го вектора , для которого уравнение F (03 — О раз

решимо по UeSl , удовлетворяющих условию т(\Х (i! < ¿

нулевое положение равновесия системы (6) , замыкаемой по методу (7) при $ = J асимптотически устойчиво. Это определение формализует с ¡неупотребительные в теории автоматического регулирования требованш к замкнутой системе: устойчивость положения равновесия при отсутсп внешних возмущений и отсутствие установившейся отатичеокой ошибки i внешних возмущениях типа скачка.

Для формулировки теоремы нам потребуется еще одно определение. Пусть X ~ линейное нормированное пространство. Набор операторов А tftf i- = 0) ^>■■ К будем называть уотойчивым, еоли пос довательность векторов, порождаемая соотношением

t+i О -é i é-i. к -é-

К

гремитоя к нулю при любом начальном наборе X Х_1, • ■ • Х_ к ■ Положим ^

А^Р^то) , А^ %.(№<>), ¿-3к

4- "С; ^ 9 °) > I ^ ^ ^ • V ^

гдеы предполагать, что оператор^ невырожден. При т =0 это уолв-1е, по сущеотву, необходимо для разрепшмооги по уравнения

^(Х Х} ,.Х} С>}~Х при всех доотаточно палых X , что, в овою 1вредь, еотеотвенно предполагать для системы стабилизации, которая шсна удеряивать выходной вектор не только в нулевом, но и в близких нему состояниях равновесия. Теорема 2.2.3.Пусть выполнены условия:

Ср ) причем их. производные липшицевы по совокупности ар-центов в некоторой окрестности нуля I OeintSl ~ п

I набор операторов 60 ... у В^ . уотойчив.

Тогда локально-оптимальная стабилизация является грубой в точке ? . Кроме того, оущеотвует &> О такое, что если /7)0.х(нхо11 ЦХ II

... к, и,щ>Ц/)<$<• -г-

■ * Т* 111*1.7* и-л

Облаоть грубооти ( т.е. допустимое расхождение между Р и (5) «но найти из условия где ) ~ спектральный радиуо,

И - матричный оператор из )(*'** ¿/"в X*'2* вида

оС

кн

р,

г

О,

#77

□

/о

К •

К

к+л

а

]

операторы сужения, 0- ■ - нулевые операторы 1-5 '

на соответ-

ствующих пространствах.

Конструктивные оценки области грубости предложены также и для описания системы в пространстве состояний.

В § 2.3 исследуетоя вопрос об оптимальности локально-оптимальн«

управления. Рассматривается задача

-

иё €

% = ¿=0^_ Т-1 (в

Пусть существуют такие неубывающие функции

на Г0+<-

'чт0 %[цхц)^11Ф(х)\\^(11*11) V**)

Обозначим через шар в X радиуса 3 о центром в нуле, Ц^Х " - множество, содержащее нуль. Положим

Цусть ^ ? (СГ?^ [{ ^ Ц рассмотрим две последов

тельности неотрицательных- чисел ^ у? * определенные следу

щими рекуррентными соотношениями

г-*

Теорема 2.3.1. Цусть У ^Са) - значение функционала У в зад че (8 ) при локально-оптимальном управлении и У (а) - минимальное значение этого функционала. Тогда справедлива оценка

Следствие. Пусть где А :Х~*Х - линейные непре!

ные операторы, = В» • Тогда, если найдутся такие и -

*

что

1А4 * И Ч г* V *

О)

локально-оптимальное управление является оптимальным.

Оказываетоя, чтв если операторы А обратимы, , то условие

) являетоя и необходимым для. оптимальности локально-оптимального равления в задаче (8) .

Достаточные условия оптимальности сохраняются и в случае, когда систему действует внешнее огохастическое воэмутцение типа белого ма.

В § 2.4 рассматривается минимаксный вариант метода локальной оп-мизации. Развитая в работе концепция и найденные конструктивные кри-рии грубооти позволяют априори разбить область изменения параметра, ределяицего модель объекта, на области грубости. В стационарном жиме функционирования параметр объекта находится в некоторой фикси-ванной области грубости, причем более подробная информация о нем, к.правило, отсутствует. В этих условиях наиболее естественным для бора управления представляется шнимаксный подход, который примени-льно к локально-оптимальной стабилизации выглядит следующим обрам. Пусть динамическая система описывается уравнением

;еоь 0 - неизвестный векторный параметр, принадлежащий априори из-стной облаоти грубости (м) . Тогда минимаксное локально-оптимальное равление на шаге ^ для задачи стабилизации находится из условия

Об 9 "еЯ (Ю'

Для широкого класса конечномерных систем задача (10) оводитоя к даче минимизации сублинейного функционала от гладкого оператора. Полем это для олучая, когда Р(х и $ 9УМФ*В(0)и. + Й^Д, где

- конечномерный компакт, А, в. С! - матри-I соответствующих размерностей. Введем операторР[ц)'.Щ^ИС'1 Р(и)=(4,¿¿)*

вектор?^ /1(0)Х+Х-/!(9)^г ВШ^ где

¡¡уЦ<{ • Тогда вадача (10) принимает вид

шах <> , РОс)У — /Т7//7 (п)

Е с I

1-6

1=СО /(<у, 3(в)/]\ес®, Яуы

В § 2.5 приводитоя полная сиотеиа условий второго порядка оптим льности для задач типа СИ). Поясним, что имеетоя в виду под волне системой условий оптимальности. Цусть рассматривается задача мяними зации в 0\т .

/Сх) — ^

Цусть Х0 - точка, исследуемая'на локальный минимум,

1 = /б> ¿,..0 гр]) (хо)=0; и (без ограничения общности)

= . Положим МЧ^хеЙт'.

L ¿«ЦЬ-Ъ&ФО ' '

Если . - точка локального минимума в задаче (12) , то С ^О • а < ли С >0» то Ха доставляет строгий локальный минимум в вадаче (12) Пару условий, состоящую из эквивалента условия С0 и зквивален1 условия >0, мы называем полной оистемой квадратичных условий оп мяльности в задаче (12) . В § 2.5 подучена такая система условий д задачи типа (II), Эта оистема условий является обобщением необходим и достаточных квадратичных условий оптимальности для гладкой конеч мерной задачи математического программирования.

В третьей главе диссертации иоследуются непараметрические мето в апостериорных задачах вероятностной диагностики (задачах о разла ке случайной последовательности). Апостериорные задачи о разладке - это задачи обнаружения факта и идентификации моментов изменений роятносгных характеристик случайной последовательности по воей наб денной ее реализации. Число возможных типов разладок столь же вели сколь велико множество вероягноотных характеристик случайной после вательности, полное описание.которой дается, вообще говоря, лишь в набором конечномерных распределений вероятностей. Поэтому для теор тического анализа целесообразно выделить из всего множества ситуаг некоторую базисную, к которой можно было бы свести пратически люб; другую.В работе в качестве базисной принята ситуация, когда раздал заключается в изменении математического ожидания. Чтобы пояонить, к этому случаю можно свести задачу об обнаружении изменения произг льного распределения случайной последовательности путем введения I

рассмотрение новых последовательностей, строящихся по иоходной, рассмотрим следующий пример. Пусть необходимо обнаружить изменение двумерного распределения пары ^У ) Х^ ^ дяя случайной последовательности принимающей конечное число значений Тогда, вводя в рассмотрение новые последовательности у У = >

Х^^А/)} Т(а) - индикатор множеотва А , ввдим, что

при изменении двумерного распределения в исходной последовательности происходит изменение математического, ожидания хотя бы в одной из последовательностей (в наоборот). Остаетоя заметить, что любое распределение может быть аппроксимировано Г по вероятности) распределением, сосредоточенным в конечном числе точек.

Апостериорные задачи о разладке в базионой ситуации в работе ставятся как задачи оценивания векторного параметра в охеме серий. Пуоть )> - векторный параметр, е

. = 0<оС<</г</*'= 4. Пусть функ-

пдя на [о 1], лишшцева на каждом интервале $. < /< (?.} leJ^fj^... k-f-ij, ia вероятностном пространстве (Sl} % JPq ) раооматрйваютоя два ое-/ейотва случайных последовательностей fftt Y^'f)[ , M>U'i)v(-t-p]1

. (П *1 r-fffar, £а f г»)-'о . & ™ '

PJhM ^Jfa J если [О. л/]<п ^[б.л/] ¿с У . Моме-

W J «- ( ) о

•ты [Q. Н], ¿ = ¿,2, ..., К будем называть моментами разладки. Характер разладки определяется видом функции fgU) ^ниже описываются «осматриваемые варианты) . Задача соотоит в построении-состоятельной щенки параметра Q по реализации )(м •

Предположения, при которых, рассматривается поставленная задача, южно разделить на две группы:

А} условия на одномерные распределения последовательностей

В) условия перемешивания

Рассматриваются следующие условия группы А:

2 ) Sap EJfL(n))2t^^} ¿t7, <Г>0 И

Il)3H>0'. при

h.

Дуоть /-Y///2- ^/^ ..

ассматриваются следующие условия группы В:

1<Í<00 /X^&S ' 9 © © I

13 <«S

Bl1) I f>(AB) 1

SU.P ¡ylZzl--iUy/s)

¿($)К)при S-

B

Ps(fí)P{Q)*0 ® 6 при S —•

IIl)

¿«Lo e^r

e

%(л)Р9(в)

PfB)

Р(вИо 6 ffiJlOms-"

Приведем формулировки задач о раяладке Сопиоание функции которые рассматриваются в работе.

Задача I - "мгновенная разладка". В этом олучае K=i, 6>=В1У ~

= аК*>Ы а* о. _ . _ ,

Задача II - "постепенная разладка". В этом случае ).

(P(t)^O , , V (t)=#(f) . если ó г4« ,

^ ¿Y)~Q'40< если (Os/í/ , где^^/липшицева функция, удовлетворяю условию » . . .»

в *(W

Задача II рассматривается в двух вариантах: На - величина Áb>=6?-6¿ известна; Пв - величина А. (9 неизвестна.

Задача III"- "исчезающая разладка". В этом случае

Y€(t)=0, .«ялЫОД) ъ±е(92,11 . m-écCQ.QJ.

Эдеоь предполагается, что O^e^i-U,

Задача III также рассматривается в двух вариантах: Illa - величина Л &-&-Q извеотна{ Шв - величина А О неизвеогна.

Задача П - "многократная разладка". В этом случае если a.^Chfi и т,лf 19- ~0¿ ¡:¿f 7

Задача У - разладка типа "переключение". В этом случае teí, если $¿*t< &¿4 ,¿'0,1^...; 2ÍK/2J, £ «МО, если ,9

+ :i и /лtnflGrO^luejJ^slo.

Это частный случай задачи 1У, когда величины С{- принимают лишь два значения. Это обстоятельство дает возможность упростить общий метод который используется для решения задачи ТУ,

Для воех рассматриваемых типов задач в работе предложены методы построения оценок вектора & , которые не используют информацию о распределениях Снепараметричеокие метода). Для каждой ив перечисленных выше задач доказываются теоремы трех типов: а) теорема о состоятельности оценки ^ в) теорема о сильной состоятельности оценки 3 с) функциональная предельная теорема. Приведем формулировки этих теорем для задачи »"мгновенной разладке". Введем в рассмотрение следующую

отатиотюдг ^ у

V"' п £ ^

Переходя к непрерывному времени, поотроим на отрезке[0,ij ломаную по точкам (ft ftfjY^fh)). Полученный^непрерывный случайный процеос обозначим^///'. В качеотве оценки параметра <9 в задаче I принимается произвольная точкка множества

Теорема 3.3.1. Цусть выполнены уоловия Aj, Bp Тогда для любого

"А М^Щ^П

о-о у 12. ff л

Еоди ^ (¿(к)) -С.ОО ^ то оцвнка Q^ является соотоятельнвй. Теорема 3.3.2. Цуоть выполнены уоловия Ajj, Bjj. Тогда

причем для fG ilQM~e(>f ( справедлива экспоненциальная оценка. Теорема 3.3.3. Цусть последовательности и^ стационарны

в узком смыоле, независимы и выполнены уоловия А^при«5=0) , Bjjj, а также условие ^P/fyfsJ J'^-co-o . Тогда рады

абсолютно сходятся; если ггг^г> • , то в А гС °> С 2 > " Ы,/3 J

где

h-i(i-t)fK и/ ь/ ^ - ^

h^ll/- стандартные незавиоимые вкнеровские прсцесоы, d - оимвол охо-димести по распределении. В частности, при предельный про-

«еоо имеет вид (Г[i (d ' ¿)Т*~СWftJ- ¿

Для задачи I, в которой / £ \ £ , причемféj- пооледователь-ность независимых случайных величин о плотностью распределенияp{x)¿0. в диооертадии получено неравенство типа Еао-Крамера. Кроме того» для этой же задачи установлена априорная нижняя, граница для вероятности ошибки, а именно, доказана

Теорема 3.6.2. Пусть выполнены условия: а) распределение величины PCf-Q) до мереро) имеет абсолютно непрерывную компоненту „ Sos,*,oí в) для некоторого У> О J/>fx*Q) (^ ^

Тогда для любого 0<€справедливо неравенство

L ¿ InjM s"f Ш

где G)^ - множество всех оценок, A^~fp(*) ^/j^Tq] ^'fo^^flkf1

Из f14) и оценки в теореме 3.3.2 следует, что предложенные в диооертадии методы ошаружения аоимптотичеоки оптимальны по порядку.

Далее в работе для модальной ситуации проведен аонмптотичеокий анализ семейства непараметрических методов обнаружения разладки. Pao оматривается оледупцая охема'наблюдений » непрерывном времени К(&)= ? + АТС*>9Т)3 O^-é-^T

где 0< О. в é 6*.£>0, kcft\ кФО, Wfr) - гауооовскв белый шум(и^Л- стандартный винеровокий процесо). Рассматривается ое мейотво статистик вида ^ f 7*

Г») - [£(*-/)] [/fie* - ¿f'Mk]

г о -6 з

Это оеыейотво включает отатистику отношения правдоподобия ( при и аналог статистики (13) (ери S'-o).

Рассмотрим на fq ¿J процеоо^. (s) ~Yr (s7\) . Тогда оценке* Ог параметра & являетоя произвольная точка макоимума наlo,6J процесса • досмотрим следящие величины

<¿(T)- Р/™*6. Iвероятность ошибки первого

эода (ложная тревога)

- вероятность ошибки второго

юда (ложное опокоКотвие)

Y(tr)~ PflQT-9l>¿\a*0*¿j

Теорема 3.7.1. Справедливо равенство / lln¿(T)\ Í ' '/2

Т * Ь/гСф^ <А<Ы

до А = "¡¡п[р(е)'А~* ¡Q. p(e)^GU'O)

Следствие. Аоимптотичеоки наилучшим в раооматриваемом клаосе в мыоле минимума^(т) являетоя метод о S'= i-. ^

Теорема 3.7.2. Цуотьd^jh./.где 0<J< глт P(q) . Тогда

ДО

Фо)

— функция стандартного нормального распределения. Таким образом, . , г- ,

Следствие. Аоимптотичеоки наилучшим в рассматриваеммом клаосе в мнсле минимизации величины /пСк/[р(г) являетоя метод c¿=Q

Теорема 3.7.3. Справедливо соотношение

да /с-Хв+вЛа-е), , 5 '^(fa-ei* v-Sjo)

дая 1>о, -б^о

Следствие. Асимптотически наилучшим в рассматриваемом класое в смысле'минимизации ввхечяни1г)(м[¥(£т)\0.*б£б] являетоя метод с <5=

(при этом, есливсе методы асимптотически эквивалентны).

Глава 3 заканчивается описанием двух непараметрических методов оценивания изменения вероятноотных характеристик случайных полей.Для этих методов сформулированы теоремы о состоятельности оценок.

В четвертой главе диосертации рассматриваются непараметричеокие методы в задаче о скорейшем обнаружении момента изменения вероятноотных характеристик случайной последовательности. Речь идет об обнаружении изменений вероятноотных характеристик случайной последовательности в процессе последовательного поступления ее значений. В отличие от апостериорной постановки, здесь нужно принимать решение при поступлении каждого нового наблюдения, причем требуется, чтобы время запаздывания обнаружения было как можно меньше, а число ложных тревог не превышало заданной величины. В диссертации отавитоя задача о скорейшем обнаружении момента разладки случайной последовательности в классе алгоритмов о конечной памятью. На вероятноотном пространстве (3") рассматривается последовательность случайных величин

/">°, причем одномерная функция распределения случайных величин

1 равна , а величин - % . МоментЛ7 да-

лее называется моментом разладки. Фикоируем целое число //> 4 и рассмотрим функцию ¿¿^М, -^п-у./" измеримую при? всех П ъ// и принимающую

значения 0 и I ( для любых У*?«/«*0 Х$),, Х^ ]) . фун-

кция с/ 0) называется решающей функцией, значение С^)'/интерпретируется как решение о наличии разладки в момент , а аначение

- как решение об отсутствии разладки. С каждой функцией связывается марковский момент , , , / г , , . j

С, ,, = А^- < M^J

дляТЬО через ^Оу ''/обозначается множество решающих функций

i 0):' dy М*

Здесь и далее оииволами обозначаются меры (математические ожи-

дания) , соответствующие последовательности, ^ при разладке в момент времени 17), при этом символы Р ^Е ) соответствуют случаю отсутствия

разладки, ^

Задача о наилучшем методе скорейшего обнаружения в клаосе алгоритмов о конечной памятью формулируется так:

В соответствии о принятым в дисоертации подходом рассматривается разладка стандартного вида - изменение математического ожидания, т.е.

^ I)1(***>1 а^о.

Для решения поставленной задачи предлагается следующий алгоритм. Фиксируем числа <9 ¿Г, С/> О - параметры алгоритма. Положим

У, (*.*)-л *

2 (п)~юйХ //£ У

л'-1; п = ----

(воюду далее считаем А/> [).

Решающее правило имеет виц .

Теорема 4.3.1. Еоли для последовательности^/,, £ Jвыпoлнeны уело- * "х- - Мр р к). ош

п

Боли выполнены условия А^, В-^, то , »

где у^с)>0, В (с)>0>

Теорема 4.3.2. ЦуотьС'</й| . Тогда, если выполнены условия Ар Вр то для любого с^ |а Г^С >8 > О

■ Рт {\|аГ1с/ 0{ЙЫ)

Если выполнены условия А^, Вд, то

А_ п.н. для любого/г?.

Теорема 4.4.1. Пусть с1« \(Х\/г и выполнены следующие условия: а) векторная последовательность^;^ ) стационарна в узком смысле, "3 -зависима ((К$ «.«о) , причем /удовлетворяет условию В^-и) существуют плотности (по некоторой ¿^-конечной. мере/ч) л -к) и

П К I » V л' , } >л (*)

О (/) даЯ случайных величин -± £ / и ~ V /?. соответст-

Ул' < • ; 7 О

»енно, причем

гр/м/^м—

Тогда для описанного метода обнаружения имеет место неравенство

Ж л к^^мчА

Из теоремы 4.4.1 о учетом известных результатов относительно ми> нимаконой границы запаздывания в вадаче скорейшего обнаружения разладки вытекает

Теорема 4.4.2. Для последовательности независимых случайных вел] чин о разладкой по математическому ожидании при выполнении условия

р(Ь-а) /Д ХА-в) )* '

п

1 ) условия В^ и соотношешшЖ/^-/т& описанный метод обнаружения

является асимптотичеоки ( при Г^ро ) оптимальным.

Далее в диссертации предложены непараметричеокие (т.е. не испол зупцие информацию о распределениях) версии ряда известных методов скорейшего обнаружения - метода кумулятивных сумм, метода Гиршяка--Рубина-Ширяева, метода экспоненциального сглаживания, метода Шьюха та - для схемы наблюдений вида

хп = =О

Установлено, что для каждого из этих методов можно указать такой па раметр/1/ , что при//—и выполнении для(^/ ^ )условий А11» В^ справедливы соотношения „ , . . .

= ОН

п

у у р

^Л7 " ' *п " П*Н» Д®5 любого /77 .

Детерминированная величина У выписана для всех рассмотренных мет« Двв. ...

Предложен подход к сравнительному анализу этих методов, которы! основан на следующей априорной нижней границе для предельного норм! ронянного времен? запаздывания. Цуоть последовательность I

зависимых случайных величин, имеющих до момента разладки плотность ' ^ , а после - плотность^ . Цусть А - некоторый алгоритм обна] жения, завиоящий от большого параметра Ж , причем порожденная этш алгоритмом последовательность ^ оходитоя по мере для любо] П)Н к детерминированной величине У(А )*У(.) р< . Тог;

<->-1 У -">0.5 ' С/

™ . г о л (', > л- = & У*/еН)

Исследуя величину Уо)-о(') для разных методов обнаружения, можно дать их сравнительную оценку и наиболее подходящую область применения. Этот.анализ проведен в заключительном параграфе главы 4.

В пятой главе диссертации приводится описание вычислительных экспериментов по исследованию локально-оптимального управления и методов обнаружения разладки случайной последовательности.

Серия вычислительных экспериментов была проведена для сравнения качества стабилизации стандартного и локально-оптимального регуляторов. Результаты этих экспериментов подтвердили эффективность локаль-1 ©-оптимального регулятора и продемонстрировали его преимущества в ¡равнении со стандартным.

Развитая методология локально-оптимального синтеза применена для >ешения двух задач: стабилизации температурного режима контактного шпарата сернокислотного производства и управления пуском каталитиче-¡кого полимеризационного реактора. Для решения этих задач были провеяны вычислительные эксперименты на моделях соответствующих объектов. 1коперименты показали, что достигаемое при локально-оптимальном син-■езе качество управления является достаточно высоким. В целом успеш-:ое использование локально-оптимальной стратегии для решения рассмот-1енных задач свидетельствует в пользу применения этой методологии дя синтеза систем управления сложными технологическими объектами.

Сформулированы основные принципы построения алгоритмического ком-лекса для решения задач апостериорной вероятностной диагностики и риведеиы результаты опробывания непараметрических методов обнаруживая разладок на модельных примерах и реальных, геофизических данных, одтвердившие эффективность предложенных методов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертации в рамках теории автоматического управления и систе-яог» анализа разработано новое перспективное научное направление -синтез систем управления на базе методов вероятностной диагноотики локальной оптимизации.

В рамках развитого в диссертации направления получены следующие

основные результаты:

1.Сформулированы принципы решения проблем синтеза систем стабилизации на основе последовательного применения методов вероятностной .диагностики,локальной оптимизации и минимакса.

2.Для локально-оптимальной, системы стабилизации получены:условия устойчивости;апркорная оценка потерь по функционалу интегрального ти-па;выделен класс задач,для которых: этот метод оптимален (в смысле функционала интегрального типа).Предложен обобщенный метод локальной оптимизация,позволяющий, учитывать неизмеряемые возмущения.

3.Введена концепция грубости локально-оптимальной стабилизации как свойства замкнутой системы быть устойчивой к "малым шевелениям" модели объекта и найдены условия грубости для обобщенного метода локальной оптимизации.Предложен конструктивной способ оценки "областей грубости" п пространстве параметров объекта,позволяющий априори сформулировать требования к точности идентификации.

4.На основе понятия "область грубости" предложен минимаксный вариант метода локальной оптимизации, а также концепция построения адаптивных систем.Показано,что для широкого класса систем возникающая при минимаксном варианте метода локальной оптимизации задача сводится к минимизации .сублинейного функционала от гладкого оператора.Получена полная система условий оптимальности второго порядка для этой задачи в конечномерном пространстве.

5.Предложен и обоснован метод сведения общей задачи вероятностной диагностики - задачи о разладке - к задаче обнаружения изменений математического ожвдания случайной последовательности ( базисная задача). Предложена постановка базисной апостериорной задачи о разладке как задачи оценивания век норного параметра в схеме серий,Рассмотрен ряд различных, постановок базисной апостериорной задачи о разладке,

в том числе ранее не изучавшиеся.

6.Для всех рассмотренных, вариантов базисной апостериорной задачи о разладке предложены оригинальные методы оценивания,не использующие информацию о распределениях случайной последовательности.Проведен анализ предложенных, методов в апостериорных задачах о разладке. Доказаны теоремы.о состоятельности и сильной состоятельности оценок, а также функциональные предельные теоремы для используемых статистик.

7. Получено неравенство типа Рао-Краыера и нижняя граница вероятн ости ошибки в апостериорных задачах о разладке.Проведен асимптотический анализ семейства апостериорных методов обнаружения. Установ-

лена асимптотика вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода и ошибки оценивания. Показано, что в смысле качества оценивания момента разладки предложенные методы асимптотически оптимальны по порядку.

8.Предложена постановка задачи скорейшего обнаружения разладки последовательности случайных величин в классе алгоритмов о конечной памятью. Предложен новый метод скорейшего обнаружения, разладки, имеющий конечную память и не использующий информацию о распределениях. Найдены оперативные характеристики метода и доказана его асимптотическая оптимальность.

9.Получено неравенство, дающее нижнюю оценку для нормированного времени запаздывания в алгоритмах скорейшего обнаружения разладки. На основе этого неравенства проведен сравнительный анализ непараметрических версий ряда известных методов скорейшего обнаружения.

10.Проведена серия вычислительных экспериментов по исследованию метода локальной оптимизации для управления некоторыми химико-технологическими объектами, а также по решению ряда модельных и реальных задач вероятностной диагностшш, подтвердившая эффективность разработанных методов.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1.Дарховский Б.С. Непараметрический метод для апостериорного обнаружения момента "разладки" последовательности независимых случайных величин // Теория вероятностей и ее применения,1976,т.21,в.I,

с.180-184.

2.Дарховс1шй Б.С. Некоторые задачи оценивания моментов изменения распределения случайной последовательности // ХУ1-я Всесоюзная школа-коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике.Материалы. Тбилиси,1982,с.124-125.

3.Дарховский Б.С. О двух задачах оценивания моментов изменения вероятноогных характеристик случайной последовательности // Теория вероятностей и ее применения,1984,т.29,в.3,0.464-473.

4.Дарховский Б.С. Общий метод оценивания момента изменения вероятностных характеристик случайной последовательности // В сб.:Статистические проблемы управления.В.65.Вильнюс:Ин-т математики и кибернетики АН ЛитССР,1984,с.76-82.

б.Дарховский Б.С. Непараметрический метод оценивания интервалов однородности случайной последовательности // Теория вероятностей и ее применения,1985,т.30,в.4,с.795-799.

б.Дарховский Б.С. Апостериорное оценивание моментов изменения среднего значения случайной последовательности // 1У-я Международная

Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической стати стике.Тезисы докладов.Вильнюс,1985,т.I,с.212.

7.Дарховский B.C. Непараметрические методы в задачах: о разладке случайной последовательности // В сб.:Статистика и управление случайным* процессами. Труды МИАН. СССР.М. :Наука, 1989.

в.Дарховский B.C. Алгоритмы непараметрического типа в задачах: о разладке случайной последовательности // Доклады по математике и ее приложениям, т.2, * 5, 1988.

Э.Дарховский B.C. Об условиях грубости локально-оптимальной оиот мы стабилизации // Автоматика и телемеханика,I988.J6 5,с»41-50.

10. Darlchoveky В.S. Nonparametric methods In random sequence disorder problems // 1-й Всемирный конгресс общества ма

тематической статистики и теории вероятностей им.Бернулли.Тезисы.T.I, С.324.М.:Наука,1986.

1Г.Дарховский B.C..Бродский Б.Е. Апостериорное обнаружение момент "разладки" случайной последовательности // Теория вероятностей и ее применения,1980,т.25,в.3,о.635-639.

12.Дарховский Б.С..Бродский Б.Е. Непараметрический метод скорейше обнаружений изменения^ среднего случайной последовательности // Теория вероятностей и ее применения,1987,т.32,в.4,с.704-7П.

13. Brodskió B.ü.,Darkhovskij В.S.Nonparametric algorithme of star

tietical diagnostica // Second IFAC Symposium on Stochastic-Control. Vilnius,USSK,1986.Preprints,Part II,p.239-24-3.

14.Дарховский Б.С.,Магарил-Ильяев Г.Г. Об одном методе субоптимал ного синтеза следящих: динамических оистем // Оптимизация ( сб. научны трудов ). Ин-т математики АН СССР,Сиб.отд.,1986,вып.39(56),с.144-156.

15.Дарховский Б.С.,Левитин Е.С. Второго порядка условия оптимальности для одного класса негладких задач математического црограммирова ния // Сибирский математический журнал, 1980,№ 2,с.79-97.

16.Дарховский Б.С.,Левитин Е.С. Квадратичные условия оптимальноот для задач полубесконечного математического программирования // Трдды Московского математического общества,t^4R.n JS3-2I0J985.

Сдано в набор 09.10.89 Подписано в печать 03.10.89 А-00678

Формат 60x90 1/16 Печать офсетная рум.офс.,..

Усллечл. 1,5 Усл.кр.-отт. 1,62 Уч.-изд.л. 1,59

Тир. 100 экз. Зак. 7705

Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ 140010, Люберцы 10, Московской обл., Октябрьский проспект, 403