Регулярность на метрических пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.00 ВАК РФ

62 11/24

РЕГУЛЯРНОСТЬ НА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

ДИССЕРТАЦИЯ № 3571 (2006)

ПРЕДСТАВЛЕНА НА ФАКУЛЬТЕТЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

ШВЕЙЦАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, г. ЛОЗАННА

ДЛЯ СОИСКАНИЯ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

ТИМОШИНЫМ СЕРГЕЕМ АНАТОЛЬЕВИЧЕМ

принята по решению жюри :

Проф. П. Бузер, президент жюри Проф. М. Троянов, научный руководитель Проф. Я. Бьорн, рецензент Проф. С. М. Бакли, рецензент Проф. Б. Дакоронья, рецензент

Институт Геометрии, Алгебры и Топологии

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ

Lausanne, EPFL

2006

Аннотация

Используя аргументы, развитые Де Джорджи в 1950-х годах, можно доказать регулярность решений широкого класса вариационных проблем в Евклидовом пространстве. Основная цель настоящей диссертации - расширить данные результаты в контексте более общих метрических пространств с мерой. В частности, работая в рамках аксиоматического подхода Гольдштейна-Троянова к анализу на метрических пространствах, мы устанавливаем как внутреннюю так и граничную регулярность функций квази-минимизирующих р-энергию Дирихле. Наше доказательство справедливо для достаточно общих областей, при некоторых естественных условиях на (аксиоматическую) .О-структуру. Кроме этого, мы доказываем аналогичные результаты для экстремальных функций, лежащих в классе соболевских функций в смысле Хайлаша-Коскелы (На^авг-Коэкйа), т.е. функций, характеризуемых единственным условием - выполнение неравенства Пуанкаре.

Наша стратегия доказательства данных результатов - показать, во первых, что в очень общей постановке непрерывность по Гёльдеру функции является следствием трех специальных технических гипотез. Эта часть аргумента - существо метода Де Джорджи. Затем, мы проверяем, что для функции и, являющейся квази-минимизирующей в аксиоматическом пространстве Соболева или экстремальной соболевской функцией в смысле Хайлаша - Коскелы, данные гипотезы, в действительности, выполняются и, таким образом, и непрерывна по Гёльдеру. В дополнение, мы устанавливаем неравенство Гарнака для наших экстремальных функций и показываем, что семи-норма Дирихле кусочно-экстремальной функции эквивалентна сумме семи-норм Дирихле ее компонентов.

Ключевые слова

Анализ на метрических пространствах, пространства Соболева, квази-минимизирующие функции, внутренняя и граничная регулярность, метод Де Джорджи.

Оглавление

Аннотация 1

1 Введение 1

1.1 Об истории проблемы регулярности в вариационном исчислении на К"........................................................1

1.2 Новое развитие: Анализ на метрических пространствах с мерой..............................................................5

1.3 Основные результаты............................................6

1.3.1 Регулярность функций Соболева в смысле Хайлаша -Коскелы..................................................7

1.3.2 Регулярность в аксиоматических пространствах Соболева ......................................................9

1.3.3 Стратегия доказательства основных результатов . . 10

1.3.4 Некоторые дополнительные результаты ..............11

2 Предварительные Сведения об Аксиоматических Пространствах Соболева 15

2.1 ^-структура на метрическом пространстве с мерой..........15

2.2 Некоторые свойства Д-структуры. Аксиоматическое пространство Соболева........................ 17

2.3 Локальность в аксиоматических пространствах Соболева . 18

2.4 Вариационная ёмкость ..................... 22

3 Функции Соболева в смысле Хайлаша-Коскелы 27

4 Аргумент Де Джорджи в Абстрактной Постановке (внутренняя регулярность) 31

4.1 Перечень гипотез ........................ 32

4.2 Ограниченность.........................

4.3 Непрерывность по Гёльдеру..................

5 Аргумент Де Джорджи в Абстрактной Постановке (регулярность на границе) 43

6 Регулярность в Аксиоматических Пространствах Соболева 53

6.1 Внутренняя регулярность.................... 53

сп

6.2 Граничная регулярность....................

7 Регулярность в Классе Функций Пуанкаре - Соболева 67

7.1 Внутренняя регулярность....................

7.2 Граничная регулярность.................... 72

8 Неравенство Гарнака на Метрических Пространствах 75

9 Норма Кусочно-экстремальной Функции 81

87

Литература

Глава 1 Введение

1.1 Об истории проблемы регулярности в вариационном исчислении на Мп

Проблема регулярности решений дифференциальных уравнений в частных производных с заданными граничными значениями и регулярных вариационных проблем составляет одну из наиболее интересных глав в анализе. Ее основы были заложены, в основном, в 1900 году, когда Давид Гильберт сформулировал свои знаменитые 23 проблемы в обращении, предшествующем Международный Конгресс Математиков в Париже. Существенные части двадцатой проблемы о существовании решений и близко связанной с ней девятнадцатой проблемы собственно о регулярности звучат следующим образом:

19 ая проблема: "Всегда ли решения регулярных проблем вариационного исчисления являются аналитическими функциями?"

20ая проблема: "Не каждая ли регулярная вариационная проблема имеет решение при условии, что определенные предположения на данные граничные значения выполнены, а понятие решения расширено, если нужно, в подходящем смысле?"

Под регулярной вариационной проблемой Гильберт подразумевал проблему минимизации вариационного интеграла вида

= / Р{х,и{х),Уи(х))йх ¿п

на множестве функций и : —>• М из класса С1 (О), удовлетворяющих следующим граничным значениям Дирихле

и

(х) = </?(ж) for я; G сЮ .

для заданной на ¿Ю непрерывной функции граничных значений цз. Эта проблема называется проблемой Дирихле для функционала J. Здесь Г2 - открытое подмножество Rn и данная функция (интегранд) F(x,u,p) удовлетворяет следующему условию регулярности ("выпуклости"):

F е С2(П), (-^Ц^А >0 for хеП,иЕШ,реМ.п. \dpidpj J

Данная проблема связана с уравнениями в частных производных посредством своего уравнения Эйлера-Лагранжа. Именно, если и минимизирует интеграл J[u] и является достаточно гладкой, то и удовлетворяет следующему уравнению в частных производных

п d2F dF

г=1

или

у, d2F д2и у, f d2F ди d2F \ dF

dPidPj dxidxj ^ \dpidudxi dpidxi) du

(полученному из первого уравнения после дифференцирования), которое, при выполнении условия регулярности, упомянутого выше, является квази-линейным эллиптическим уравнением второго порядка.

В частности, для интеграла р-энергии Дирихле

\Vu{x)\pdx

in

соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа, при 1 < р < оо, суть

div(|Vii(x)|p_2Vu(a;)) = 0.

В 1904 году С. Бернштейн доказал, что С3 решение нелинейного эллиптического уравнения второго порядка в плоскости,

F{x,y,u, Du, D2u) = о

/

Jn

является аналитическим в случае, когда Т аналитическая. Несколько лет спустя он получил также существование решений аналитических квазилинейных уравнений второго порядка в двух переменных. В своих доказательствах С. Бернштейн установил оценки для производных любого возможного решения. Данный вид оценок, именно оценок справедливых для всех вероятных решений класса проблем, даже если гипотезы не гарантируют существование таких решений, получил имя "априорные оценки".

Фундаментальная роль "априорных оценок" в проблемах существования и регулярности для общих эллиптических уравнений была полностью понята и прояснена в работах Лерэ и Шаудера в 1934 году. В частности, применяя данные оценки ими и другими авторами в 1930-х годах было доказано, что каждое достаточно гладкое, скажем С°'а (непрерывное по Гёльдеру), решение проблемы Дирихле является аналитическим при условии, что .Р аналитична.

Другой подход к проблеме существования решений обеспечивают, так называемые, "прямые методы вариационного исчисления". В то время, как данный инструмент является очень мощным и весьма общим методом (первоначально применяемым, впрочем, в вариационном случае), решения, которые он дает, имеют производные лишь в обобщенном смысле и удовлетворяют уравнению лишь в соответствующей слабой формулировке.

Таким образом возникла проблема доказательства того, что такие "обобщенные решения" являются "регулярными", именно обладают достаточной гладкостью для того, чтобы удовлетворять дифференциальному уравнению в классическом смысле. В этом смысле двадцатая проблема Гильберта о существовании классических решений становится в точности проблемой регулярности обобщенных решений.

Данная проблема регулярности, под которой мы понимаем сейчас проблему установления того, что решения, или экстремальные точки, которые принадлежат пространству Соболева являются в действительности непрерывными по Гёльдеру, в течении долгого времени оставалась открытой и была разрешена лишь в 1957 году Э. Де Джорджи [4] и Дж. Нэшем [24], независимо друг от друга и при помощи разных методов. Позднее, т 1960 году, Дж. Мозер [23] дал еще одно доказатель-

ство данного результата. Аргумент Мозера был в последствии расширен Дж. Серрином, Н. С. Трудингером и другими. В то время, как данный подход (известный как техника итерации Мозера), который основан на дифференциальном уравнении, оказался очень полезным для исследования различных проблем в Евклидовых пространствах, он не совсем подходит, в определенном смысле, для обобщения на случай, когда мы хотим изучать вопросы регулярности на общих метрических пространствах (см., однако, [2]), т.к. концепция частной производной, вообще говоря, не имеет смысла на произвольном метрическом пространстве и, таким образом, мы не имеем дифференциального уравнения (уравнения Эйлера-Лагранжа). Не смотря на это, замена для модуля обычного градиента может быть определена на общем метрическом пространстве и мы можем использовать для наших целей (существенно вариационный) подход Де Джорджи. Этот метод был развит и обобщен для определенных случаев нелинейных уравнений О. Ладыженской, Н. Уральцевой, Г. Стампакия и другими. Позднее, в 1980-х годах, М. Джаквинта [6] (см. также [7]), а также, в 1990-х годах, Я. Малы, В. П. Цимер [20] дали методу более наглядную форму.

Основной целью вышеупомянутых работ было исследование поведения слабых решений во внутренности области минимизации. В 1924 году Н. Винер [35] установил критерий для характеризации непрерывности на границе для гармонических функций. Для более общего случая эллиптических уравнений первые шаги в поисках подобного критерия были сделаны В. Литтман, Г. Стампакия и X. Ф. Вайнбергер [19], которые доказали, что точка на границе произвольной области является регулярной одновременно для гармонических функций и слабых решений линейных уравнений с ограниченными, измеримыми коэффициентами. В своей работе о локальном поведении решений квази-линейных уравнений Дж. Серрин [25] обнаружил, что ёмкость, известная в наше время как р-ёмкость, является подходящим инструментом для описания устранимых множеств для слабых решений. Позднее В.Г. Мазья [21], [22] получил выражение типа Винера, включающее данную ёмкость и обеспечивающее достаточное условие для непрерывности на границе слабых решений уравнений с подобной /^лапласиану структурой. Используя другие методы, Р. Гарьепи и В. П. Цимер [12] показали, что условие Мазьи достаточно также для граничной непрерывности решений широкого класса квази-линейных уравнений в дивергентной форме. Спустя некоторое вре-

мя Цимер [36] обобщил данный результат для квази-минимизирующих функций - объектов, обобщающих понятие решения эллиптических уравнений и вариационных задач.

1.2 Новое развитие: Анализ на метрических пространствах с мерой

Область анализа на метрических пространствах является сюжетом интенсивного изучения в последние десятилетие и представляет в настоящее время весьма богатую теорию, основы которой изложены, например, в следующих источниках: [1], [10], [15], [16], [17]. Обобщение классической теории пространств Соболева было мотивировано различными приложениями к сингулярным Римановым многообразиям, анализу на графах, субэллиптическим уравнениям, квази-конформным отображениям на пространствах Лёвнера и других.

Различные понятия пространства Соболева на произвольном метрическом пространстве с мерой были введены и изучены в последние годы. Среди наиболее важных - пространства Соболева, введенные Хайлашом [13], пространства Соболева, определяемые через верхние градиенты [17], аксиоматические пространства Соболева Гольдштейна-Троянова [10],[11] и пространства, основанные на неравенстве Пуанкаре [15]. Заметим, что последние два подхода являются более общими и включают, как частные случаи, первые два.

Концепция пространства Соболева в смысле Хайлаша состоит в следующем: Для заданного метрического пространства с мерой (X, d, ц) и локально интегрируемой функции и : X —> R, измеримая функция g : X —> R+ называется nceedo-градиентом Хайлаша функции и, если

|и{х) - и{у)I < d(x, y){g{x) + g{y))

для почти всех х, у G X. Пространством Соболева-Хайлаша тогда является множество функции, интегрируемых на X и имеющих интегрируемый псевдо-градиент.

В 1998 году, Ю. Хейнонен и П. Коскела [17] предложили альтернативное понятие градиента на общем метрическом пространстве с мерой: Пусть

(.X, (1, ц) - метрическое пространство с мерой и и : X —> К. - непрерывная функция. Измеримая Борелевская функция д : X —> М+ называется верхним градиентом и, если для каждого спрямляемого пути, параметризованного длиной дуги 7 : [0, /7] —> X выполняется

Основная идея аксиоматического описания пространства Соболева на метрических пространствах состоит в следующем: "Для заданного метрического пространства X с мерой ¡л, каждой функции и : X R ставим в соответствие (некоторым неопределенным образом) множество D[u] функций, называемых псевдо-градиентами и (интуитивно, псевдоградиент g Е D[u] - функция, которая налагает определенный контроль на вариацию и). Вместо того, чтобы специфицировать каким образом определены в действительности псевдо-градиенты, мы требуем, чтобы они удовлетворяли определенным аксиомам. Функция и G ЬР(Х) принадлежит тогда Wl,p{X) если она имеет псевдо-градиент g £ D[u] П LP{X)"

Для того, чтобы коротко описать подход к пространствам Соболева, основанный на неравенстве Пуанкаре, процитируем следующий абзац из [15]: "(Для заданного метрического пространства X), естественно полагать пару и, д которая удовлетворяет р-неравенству Пуанкаре в X, функцией Соболева и ее градиентом. В данном смысле мы развиваем теорию функций Соболева на метрических пространствах с "градиентами" в для всех р > О"

Аксиоматический подход Гольдштейна-Троянова и пространства Соболева, основанные на неравенстве Пуанкаре, составляют базу, в рамках которой ведутся исследования в настоящей диссертации; они описываются более подробно в главах 2 и 3.

1.3 Основные результаты

Главная цель настоящей диссертации - расширить указанные выше результаты. о регулярности в М" в контексте произвольных метрических пространств с мерой. Именно, мы рассматриваем следующую проблему

7

(см. [10]).

Проблема: Доказать внутреннюю и граничную регулярность для определенного класса вариационных проблем на общем метрическом пространстве.

Вопрос внутренней регулярности на общем метрическом пространстве впервые был рассмотрен в статье [18] Ю. Киннунен и Н. Шанмугалин-гам. Граничная регулярность на метрических пространствах изучалась Я. Бьорн в [3]. В обеих статьях авторы доказывали непрерывность по Гёльдеру функций, квази-минимизирующих р-интеграл Дирихле на общих метрических пространствах, используя понятие верхних градиентов. Заметим, что данный подход к пространствам Соболева ограничен на квази-выпуклые метрические пространства, пространства имеющие достаточно большое количество спрямляемых кривых соединяющих его различные точки, и не применим, например, для таких пространств как фракталы и графы.

В настоящей диссертации мы расширяем результаты о регулярности для пространств Соболева, основанных на неравенстве Пуанкаре, и для аксиоматических пространств Соболева.

Основные результаты настоящей работы сформулированы в нижеприведенных теоремах А, В, С и Б. Одним из требований этих теорем является условие удвоения меры ц на X, означающее, что существует постоянная С > 0 такая, что

ц(2В) < Сц{В)

для всех шаров В из X, где 2В - шар с тем же центром, что и В и с радиусом в два раза большим радиуса В.

1.3.1 Регулярность функций Соболева в смысле Хай-лаша-Коскелы

Определение Пусть X - метрическое пространство с мерой ц. Мы говорим, что функция и е Ь\0С{Х) является функцией Соболева в смысле Хайлаша-Коскелы, если существует функция 0 < д £ Ьч(X), 1 < д < оо, и две постоянных а > 1 и СР > 0 такие, что (1, о)-неравенство Пуанкаре

и - ив\ам) < сР г 'Ч (1Л)

выполнено для каждого шара В С X, где г - радиус В. Здесь и в последующем мы используем следующее обозначение

ив = / и —^гг [ ud.ii.

Обозначим Р\¥1,Я(Х) множество всех функций Соболева и 6 Ь\ос(Х) в смысле Хайлаша-Коскелы.

Пара (и, д) может удовлетворять некоторым дополнительным важным свойствам. В частности, говорят, что (и, д) имеет свойство транкации, если в случае, когда мы производим транкацию (обрезку) функции и, полученная функция и функция, полученная после такой же транкации д, все еще удовлетворяют (1, ^-неравенству Пуанкаре. Другим свойством является р-условие