Об одном специальном классе пространств линейных элементов с непотенциальной метрикой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

8 ^ 9

МОСКОВСКИЙ ПЩГОШЕСЙИЙ' ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГНИВЕРСИТВГ шеаи В.И.ЛЕНИНА <ШЩШШШРОВАБНЫЙ СОВЕТ К 053.01.02

Паяшшскин Владимир Иванович

ОБ одам СШЩШНШ КЛАССЕ ЕРОСТШСЯВ ЛИНЕЙНЫХ ЭШШТОВ С НШХШЦИШНОЙ МЕГНЗКОЙ

01.01.04 - геометрия и топология

А в I о р а § в р- а т

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-штематкческих наук

На правах рукописи

Москва - 1991 .

Работа выполнена на кафедре геометрии Пензенского гоеудар ствекного педагогического института им. В.Г.Белинского

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Н.В.Степанов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор . Я.Е.Ёвтушк, кандидат фазико-ш тематических нау; старший преподаватель О.А.Матвеев

Ведущая организация - Казанский государственный университ

им. В.И.Ульянова-Левина

Защита состоится " ^ " 1991 г. в ча

на заседании специализированного соЕета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата наук в Московском педагогическо: государственном университете им. В.И.Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, дД4, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией моено ознакомиться в библиотеке МЕТУ им. • В.И.Ленина (адрес института: Москва, 119435, Иалая Пироговская I, МШУ им. В.И.Ленина)

Автореферат разослан

„ П Ш

1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Г.А.КЙРАСЕВ

гАЯШОСТЬ ТЕШ. Систематическое исследование прост-

ОЕЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

равств линейных элементов ¿'.ги с непотенциальной метрикой было начато А.Моором в сёредине пятидесятых годов. В его работах строится ковариантнов дифференцирование и теория кривизны,

(Т-Л.

исследуется геодезические и экстремали, изучаются движения в-т . А.Моор указал С 11 на возможность существования пространств Зг*" , отличных от риманоЕых, ■ допускающих группы движений максимальной размерности ^^ . Развитие геометрии пространств ^^значительно усложняется из-за трудностей, возникающих при построении связности Картана, согласованной с нвпотенциальной метрикой. Б 1963 году В.И.Елизникасом было доказано С "йЛ , что при выполнении некоторых условий (условий регулярности) 'существует единственная евклидова связность картанов-ского гида. Однако, получение явного выражения коэффициентов связности для конкретных пространств оказывается достаточно сложной-задачей. Различные варианты внесения метрической фин' сларовой связности и некоторые специальные хдатрики описаны в монографии М.Мапушзто С. Большое число работ И.Л.Егорова и его учеников лоснещено движениям в пространствах Финслера и их обобщениях С 41 . Теория пространств тензорных опорных элементов, включающих в себя как частные случаи пространства Финслар^, Картана, и другие, разработана Б.Л.1аптевым С . Геометрия пространств тензорных опорных элементов с точки зрения теории векторного расслоения получила свое развитие в работах Б.Я.Шапукова С <51 .

Из вышеизложенного следует, что настоящая работа, посвященная геометрии пространств линейных элементов с ненотенци-

ально® метрикой^ является актуально!.

ШЪ РАБОТ!!. Целью данной работа являемся развитие геомет-рлл регулярных пространств линейных элементов с нвпотеншальной метрикой, Еыделение и изучение специальных классов пространств 3- ^ , включая вопросы геометрии касательного расслоения этих пространств.

¡ЛЕТОД КССВДОВАНШ. Основным мезодш исследования является тензорный кетод и аппарат производной 1и. При этом вычисления ведутся как в голоношом, так и в неголояокном реперах.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе дано решение ряда задач совреман ной дифференциальной геометрии:

наДдены максимально подвижные пространства линейных злэ-ментов с неяотенвдальной метрикой, отличные от римановых лрост-раяств достоянной кривизны;

введены и изучены локально конические пространства, образующие специальный класс пространств линейных элементов с нело-тенциальной метрикой;

рассмотрены некоторые структуры на касательном расслоении локально конического пространства*

ПРАКЗЖБЖАН И ТЕОРШЖЕШШ ЦЕННОСТЬ. Работа носит ¡теоретический характер v выходом на современные вопросы -построения теории поля и исследования, -.связанные с явлением локальной анизотропии.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации доклада''' вались и обсуздались на сешшаре кафедры высшей геометрии Белорусского государственного университета (май 1986, руководители: Ведерников 33.Е.» Феденко &.£.), на городском 'геометрическом сешнаре Жазансхого государственного .университета .(январь 3289, ЛУКОБОДЙЕШЕЬ ДИироков -АЛЛ» ла едушочисследоштелыякш семинар

по векторному и тензорному анализу при МГУ (апрель 1929, руководители: ?Лантуров О.В., Сабшшн Л.В., Трофимов В.В., Новиков С.П., Фоменко АЛ»), на научно-исследовательском семинара по классической дифференциальной геометрии при МГУ (апрель 1989, руководители: Новиков С.П., Евтушк Ж.Е., Акиеис М-А., Кириченко .В.Т., Рыжков В.В,, Остиану Н.М.) и на научно исследовательская семинаре по геометрии при МИГУ им., В.Й.Ленина (октябрь •1990, руководители: Евтушк Я.Е., Кириченко В.Т.).

1ШШЖА1Щ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Ч - СШ .

СОДЕНШШЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация изложена аа 140 страницах шшиношсного текста и. включает введение, четыре главы, дополнения из двух параграфов и списка. литературы - 61 -источник. ' '

Первач глава (§§ 1-5) носит реферативный характер. В ней излагаются необходимые сведения по геометрии метрических пространств линейных .элементов, геометрии касательного расслоения, теории производной. Ли,

Во второй глава (§§ 6-10) изучается регулярные пространства линейных элементов У1^ половительно определенно! я знакопеременной метрики.

Формальное. различие между метрическими пространствами шнайннх элементов <5гАи пространства}® Финслера ^ , состоит з том, что для з- тензор ^.ц. не является симметрическим ю всем индексам С - компоненты метрического т8я-

юра. в 3-"" , а- Представляют интерес проет-

йнства, для которых тензор симметричен по^к .

оказано, что е этом случае евклидову связность Картана монно

определять та:-:, что ее тензорная часть будет определять связность Лезл-Чивпта касательного ришнова пространства, а ассоциированная финслерова структура является невырожденной. Найдены условия совпадения базисных геодезических и экстремалей, Показано, что дал выделенного класса пространств эти условия выполняются тождественно.

Далее изучаются лишения е регулярных метрических пространствах линейных элементов Доказано, что любое инфини-тезимальное дакание £ является и инфинитезимальным аффин-" шал преобразованием, множество всех инфиннтезишльных движений образует конечномзрпую алгебру Ли размерности- "и 6 а группа дею-хеннй не содошшт однопараиетрических подгрупп, действующих по общим траекториям. При этом ш не требуем неш-рокденности ассоциированной флпслеровой структуры, а используем лишь условие регулярности.

Затем находятся все максимально подвижные'пространства как положительно определенной, так и-знакопеременной метрики, для которых ассоциированная финслерова структура ^ ~ ¿Д^является неЕырогленнок. Скалярнн! КЕадрат касательного вектора 1«, любого. максимально подвикного пространства могно представить в следующей инвариантной форме

, (I)

где II» ц скалярное- произведение относительно рикановой метрики пространства постоянной щжвизш, а . Максимально подвижные пространства содержат все римановы прост-раиства постоянной кривизны (при о,= о ) и обладают многими замечательными свойствами. Для максимально подвижных пространств строится евклидова сеязеость Картана, согласованная с

метрикой. Анализируя условия рэгулярности, вычисляются коэффн-Дойты сеязности и ее тензорная часть. Затем находятся тензоры кривизны, устанавливаются некоторые тождества для них, вычисляются скалярная и секционная криЕизнц.

В последнем параграфе второй главы находятся все максимально подвижные двумерные пространства линейных элементов i"2" . Основной класс максимально подвишнях двумерных пространств составляют пространства, группы лишений которых совпадают с группами движении римановых пространств постоянной кривизны. Скалярный. квадрат касательного Еактора в пространстве основного класса мозно представить в следующем инвариантном.виде

где-о» , -постоянные, и, \\ - скалярное произведение относительно ринановой метрики пространства постоянной кривизны, а S - площадь некоторой области базисного многообразия. Если, в частности,." база является евклидовой плоскостью, то S - пло-. шадь параллелограмма j построенного на гектарах \Г и ^ . Максимальна подвижные пространства исключительного класса характеризуются тем, что их базисные многообразия нельзя наделить инвариантной ршаановой метрикой.

Ери исследовании максимально подвижных пространств

) установлено, что метрика касательного риманога пространства, максимально подвижного пространства реализуется на п. --терном конусе вращения, вложенном в - мерное евклидово

грсстранство. При этом точка касания является вершиной конуса, 5 его угол раствора, определяется, коэффициентом си. . Следова-:ельно,-метрика касательного пространства, максимально- подвияного

пространства ко является евклидовой (как в случае римановых пространств), а является конической. Обобщая указанную ситуация оудеь; говорить, что гладкое а - мерное ;Шйгообразие М является локально коническим пространством ^ , если в каадом касг тельном пространстве Т,ДУ| задана коническая метрика, зависящая гладким образом от М . Метрический тензор локально конического пространства имеет еид

где поле риманова метрического тензорр .базисного много-

образия М . Естественно теперь считать, что даол раствора касательного конуса меняется от точки к точке, т.е. в (3) коэффициент Си является функцией ас. £ М .

Локально конические пространства КЛ изучаются нами в третьей главе. Строится евклидова связность картановского типа, согласованная с метрикой (3). Вычисляются коэффициенты сжзнос!

и ее тензорная часть. Показано, что усеченная связность Картана совпадает с линейной связность Леви-Чивита базисного многообразия с метрическим тензором тогда и только

тогда, когда угол раствора касательного конуса не меняется от точки к точке. Далее рассматриваются некоторые вопросы теории кривизны. З&шисываются аналоги тоадеств Риччи ж тоддест Еианки локально конического пространства. Локально коническая метрика является римановой тогда и только тогда, когда второй тензор кривизны пространства равен нулю. Для того чтобы локально коническое пространство имело е кагдой точке одинаковый угол раст-Еора касательного конуса необходимо и достаточно, чтобы третий тензор кривизны был равен нулю. Первый' тензор кривизны локадьвс конического прос:ранстЕа равен нулю тогда и только тогда, когда

базисное многообразие является евклидовым пространство!.!, а угол раствора касательного конуса постоянным. Так зе, как и в случае финслврова' пространства введено понятие локально конического пространства изотропной кришзнн и Еыделены кшариантше приз-нага такого пространства. Если н какдой точке локально конического пространства КЛ (> ) касательные конусы имеют один и тот яе угол раствора и секционная кривизна одинакова по Есетл двумерным направлениям, то ока сохраняет постоянное значение и от точки к точке (теорема Щура). Для того чтобы локально коническое пространство Ю- ( ) являлось пространством постоянной секционной кривизна' н©й5хадимо и достаточно, чтобы оно допускало группу дешмнии максимальной размерности ю.^п.+Ц!'^. .

В последней главе работы (§§ 16-20) изучается геометрия касательного расслоения локально конического пространства. Евклидова связность Картана естественным образом штудирует инфинитезиглальную (внутреннюю) связность Н в касательном расслоении локально конического пространства. Коэффициенты этой связности тлеют следующий нщ

где С}-^- коэффициенты сеязности Лези-Чивита ассоциированного ршанова пространства с метрическим тензором = ,

а - Изучаются свойства этой связности.

Из (4) следует, что инфиштезшальная связность будет линейной югда и только тогдаг когда а. Доказано, что распреде-

ление И горизонтальных площадок инфинитезимальной связности является интегрируемым тогда и .только тогда, когда базисное

многообразие является евклидовым, а угол раствора касательного конуса постоянным. •

Метрический тензор (3) локально конического пространства является горизонтальны: тензорным полем на касательном расслоении, так как в его разложении ^ сИх^® да

имеем лишь горизонтальную составляющую,. Построим вертикальное тензорное поле ^ = ^„^сс."1© ^х-^А , положив - .

Рассмотрим теперь на ТМ тензорное иоле ■=. ^ ^ . Око определяет на 'ТСи риманову метрику ,

' (5)

где - ~ Еекторное поле на ТМ . Ери о_-=о

эта метрика совпадает.с известной метрикой.Сасаки. Из.(5) следует, что в каздои точке X горизонтальные и вертикальные площадки Нх ж ортогональны и изометричны. Шчисляются неголономные коэффициенты связности Леви-Чивита риыанова пространства (.ТМ а ) . Связность -у индуцирует СВЯЗНОСТИ 7 И

V

V на горизонтальном и вертикальном подпространствах-. Оказывается, что горизонтальная связность-не совпадает со связностью Картана локально конического пространства в силу различия дх

v

тензорных частей. Индуцированная вертикальная связность у соьпадает с внутренней связностью вертикального .подпространства тогда и только тогда, когда угол раствора касательного конуса остается постоявшее. В . этом случае связность "у является Н -проектируемой на базу.

Затем изучается естественная, почти комплексная структура на касательном расслоении локально конического пространства К*\

Доказано, что естественная почти комплексная структура является интегрируемой тогда и только тогда, когда базисное многообразие является евклидовым, а угол раствора касательного конуса постоянным. ¡Лотрика (5) является зрштовой относительно почти

комплексной структуры. Она будет келеровой лишь тогда, когда локально коничёское пространство сводится к риманову. Поэтов, е отличие от финслеровых пространств, касательное расслоение локально конического пространства является почти эрмитовым многообразием. Наряду со сеязностью Леви-Чивита т? строится естественная почти эрмитова связностьТ , определяемая следующими условиями: ■ I) ^Г согласована с. метрикой, 2) Т согласована с почти комплексной структурой, 3) V сохраняет вертикальное распределение. Исходя из этих условий.' получены неголоном-дае коэффициенты связности V* и вычислены коглюяенты ее тензора кручения. Сеязяость ^Г явдяется вполне приводимой. Сеязность Т будет проектируемой на базу (в смысле Б.Н.Шанукова), если она Н - проектируемая и евклидова связность Картана локально конического, пространства является усеченной.

Инфинигезималкная связность Н оцределяет на ТМ структуру почти произведения: Т^Т^м4) - Н^© . Цусть с - главное расслоенное многообразие адаптированных к структуре почти произведения репероЕ на ТМ таких, что перЕые векторов репера являются гори зонта льными, а последующие п. вертикальными лифтами п. линейно независимых векторов базы. Расслоение Б является подрасслоением главного рассленного многообразия всех . линейных реперов на ТМ , структурная группа С, которого имеет два инвариантных подпространства л Й-связностью на ТМ называется вполне приводимая связность, локальные формы которой СО а распадаются на горизонтальные оэ^ и вертикальные -сок.' . ОтоадестЕив горизонтальные формы- связности с формами сеязности Картана локально конического пространства, мы получим на Т(У\ линейную связность, которая будет совпадать с естественной почти эрмитовой связностью 7* . &1числявтся

компоненты тензора кривизны связности V , отнесенше к каноническому реперу. Оказывается, что компонента картаковых тензоров кривизны локально конического пространства образованы различными сериями компонент тензора кривизны связности .

3 заключение четвертой главы рассматриваются три типа деи-

аений на (ТМ , ^ считая, что ^^ являются компонентам

С"- /

метрического тензора регулярного пространства т (в частности или К"4* ) движения состояше из продолженных преобразований сазы; дшгмния, сохраняющие расслоенную структуру к произвольные дешдзния. Используя аппарат исследования автоморфизмов в расслоенных пространствах, построенный Б.Н.Шапуковш, показано, что в перЕоы случае максимальная размерность группы движений равна ю-^пл!.') , во втором п?- + 1ги , в третьем 1. п?- + п-

Б §§ 21,22 дополнения расширяется класс локально конически пространств введением пространств знакопеременной мет-• рякн. В этом случае метрический'тензор пространства имеет вид

где ^(хуметрический тензор псевдориманова пространства базисного многообразия,-а функция СЦсх.^-! . Метрика касательного риманова пространства здесь такта реализуется.на п.-мерном конусе вращения, но уже Елоаеннш В'^апункрное псевдоеввди-дово пространство. Если- <Х= -1 , "то' этот конус совпадает с изотропным конусом объемлющего пространства и поэтому метрический тензор (6) вырождается. Абсолютное большинство теорем для положительно определенных пространств К"" справедливо и для локально конических, пространстк знакопеременной, метрики.

В этом же параграф© ©йсщшется возможность развития общей релятивистской теории локалвно .анизотропного пространства-времени на осноео локально конических пространств.

В качестве примера рассматривается анизотропное евклидс-уо пространство, т.е. пространство с метрическим тензором

а! ^ I-.'

Для шгсйЕИЯ процессов в анизотропном протранстве необходимо не только выбрать систему координат, но и задать поле направлении ИЧх), а также заЕиксировать постоянную О. - коэффициент неоднородности. Рассматривается евклидово пространство с параллельным нолем направлений. Используя принцип наименьшего действия выводятся уравнения движении

г»

где т.- масса «истицы, сх - ускорение, г - сила, яг - вектор, определяющий ввделенное направление. Эти уравнения яеляются обобщением уравнений Ньютона и легат в основе классической механики анизотропного пространства. Рассматривая релятивистски:! случай, ш можем считать, что выделенное направление является осью времени. Формулы, связывавшие инерциальные систеш отсчета, будут иметь вид

V I Г о--*--* 1

х^^' + у^у хГетт^з1- > (5)

!де V - скорость систеш (¿с!) относительно (зс) , "Ь - время, С - скорость света. При преобразования (9) совпадают

с преобразованиями Лоренца, а при с ■=• с преобразованиям Галилея. Б заключении изучается: траектории движения свободной частицы г случае центрального поля направлений.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору Степанову ELB. за ценные сонеты ж постоянное внимание к работе.

Использованная литература

Ш. iXLocr ft. %iai>Lcttu.«^ Geometrie*der оЛЬ^г.т<гл.пгх~

те^Чьскел- ¿u,iü,eae£.e.men.t. rclu.me./i Atta, seiend таЛ.К,.-

£23. Елизникас В.И. Евклидова связность картановского типа в метрическом пространстве линейных элементов//Лйтавсхий матем. сб.- IS63.- » 2.-С. 33-37.

ZSl. JXafcsu.rno"to М. Poujulcbtloft. о^ Ри\ь£еД" --^едтеЬ^ special Piniter spaces.- Kaiv. Press. Otxu.. Japam. y

C43. Егоров И.П. Движения к гомотетии в пространствах Фиаслера

■ и их обобщенйях//Йтогк науки и техн. ШНШИ АН СССР. Проблемы

геометрии.- М.- 1984.- 16.- С. '81-126.

L51. Лаптев Б.1. Ковариантннй дифференциал и теория дафференш-альных инвариантов в пространстве тензорных опорных элементов// Уч. зап. Казанок, у-та.- 1958.- 4.- С. 75-147. £61. Шапуков Б.Н. Структура тензорных расслоений Д,11//Изв., вузов. Математика.- 1979.- JI-5.-C. 63-73, 1981,- & 9.--С. 56-63..

... Публикации автора,по'теме диссертации

- Ш,.' Пэчьгенский В.й. О группах нзокетрий метрических пространств :дзшенных элементов/. Пенз.. гос. вед. ин-т.~ Пенза, 1931.- 16 с.-Деп. в ШЗШ1 АН СССР 29.Dl.SI,. is 193Э-81Дэп.

82. Паньгевский В. И. О пространстве линейных слег,тентов непо-енциальной метрики с группой цзометрий максимальной размервос-и//Воцросы дифференциальной геометрии "в целом",- Л.: ЛИИ, 383.- С. 91-95.

,93. Пэкьашский В.И. Некоторые вопросы геометрии метрических ространстз лзЕейных элементов/ Лонингр. гос. иед. ин-т.-Лентн-рад, 1984,- 32 е.- Дел. в ВИНИТИ Ш CGCP II.I2.84, JS 81-79-4Дел.

101. Еанькенский В.И. К геометрия подвилкых метрических црсст-анств линейных элементов//ИссдедоЕания по теории римановых цогообразий и их погружений.-Л.: Л1Ш, IS85.- С.81-87. Щ. Данькэнский В.И. Геодезические многообразия линейных шлеятов евклидова пространства//йзланоЕы пространства я метс-а теории эллиптических дифференциальных уравнений.- Л.: ЛГПН, 386.- С. 65-70.

Е2]. Ланьхенский В.И. Исследование локально конических ыного-Зразий с помощью соприкасаицихся римановых мзтрик//Гесметрия эгруженных шогообразий.- М.: МШИ, 1986.- С. 65-70. [33. Панькенский В.И. Локально конические нространства/Дезисы юбщ. Всесоюз. геометр, кояф.- Кшяинев, 1988.- С. 239-240. [43. Еанькенский В.И. Метрические пространства линейных зде-знтов с симметрическим тензором //Дифференциальная

зометрия однородных пространств.- Иркутск: КГУ, 1288.- С.64-70. :53. Панькенский В.И. О движениях в касательном расслоении с ¡трикой Сасаки/ Пенз гос. иед. ин-т.- Пенза, 1989.- 10 с.-ш. в ЭДВИШ АН СССР 10.02.89, й П94-Й89.

:63. Еаньхенский В.И. Локально конические пространства постоян->й кривизны/ Пенз. гос. иед. ин-т,- Пенза, 1989.- 7 е.- Леи. в

ВИНИТИ АН СССР 23.-0I.9C, й 453-В90.

£17]. Еаньганский B.Ii. К геомзтрил касательного расслоения локально конического простраяства//Изв. вузов* йатештиаа.-1950.- .'г 10.- С. 71-74.