Движения в пространствах финслерова типа со специальными метриками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.3

Глава 1. Дифференциально-геометрические структуры финслерова типа.12

§1. Финслеровы пространства и их обобщения.12

§2. Нелинейные связности.15

§3. Финслеровы связности и связность Картана.18

§4. Тензоры кривизны.23

§5. Производная Ли. Инфинитезимальные движения.25

Глава 2. Обобщённые финслеровы пространства со специальными метриками.29

§6. Финслерова связность и связность Картана.29

§7. Движения. Основные свойства.33

§8. Максимально подвижные пространства.37

§9. Классификация двумерных пространств по группам движений.46

Глава 3. Обобщённые лагранжевы пространства со специальными метриками.61

§10. Пространства $ п . Основные свойства.61

§11. Тензоры кривизны.67

§12. Пространства изотропной кривизны. Теорема Шура.70

§13. Движения в пространствах 0£п .75

§14. Эрмитовы метрики на касательном расслоении.77

В 1983 году в работе [43] Watanabe S., Ikeda S., Ikeda F. выделили класс обобщённых финслеровых пространств .9"" , метрика в которых определяется с помощью тензора (1) где уи (х) - метрический тензор риманова пространства V", а о(х,у) скалярная функция, заданная на его касательном расслоении, однородная нулевой степени по координатам касательного вектора у. В данной и последующих работах [44], [26] авторами были предложены различные варианты внесения связностей, согласованных с метрикой (1), при этом исследовались и пространства с метрикой (1), в которой функция а(х,у) не обязательно однородная нулевой степени по у (обобщённые лагранжевы пространства (£ п). В 1988 году Kikuchi S. [30] доказал существование и единственность связности Картана для пространств $п с метрикой (1). В 1984 году Ikeda S. в заметке [26] " О финслеровых метрических структурах гравитационного поля " (а затем и в работе [27] 1988 года " Теория поля в финслеровых пространствах") предложил при построении теории поля в качестве модельных пространств рассматривать пространства либо с метрикой (1), в которой риманов метрический тензор умножается на скаляр, либо с метрикой

8ц=УЛх)+НУ(х>У)> (2) где к риманову метрическому тензору прибавляется некоторый тензор финслерова типа. Так в работе [29], в качестве такой "добавки" берётся тензор где с = const ( интерпритируется, иногда, как скорость света ), а в работах

Ю], [11],

Ь(х,у)=аУ'рУруРу ,

7 ypsypys где а либо функция точки х базисного многообразия, либо const.

Дальнейшие исследования обобщённых финслеровых пространств (обобщённых лагранжевых пространств ) с метриками (1) и (2) проводились в связи с их возможными приложениями. [18], [19], [20], [21], [26], [27], [28], [32], [36], [37]. Заметим также, что в 1995 го^у в Сиэтле (США) проходила летняя научная конференция по финслеровой геометрии, в итогах которой было опубликовано более 30 докладов по финслеровой геометрии и её приложениям (РЖМАТ, 1998г., 9А479 К.)

Составной частью геометрии финслеровых и обобщённых финслеровых пространств является теория движений. Первые исследования по теории движений финслеровых пространств принадлежат Кнебельману [31]. Он, в частности, доказал, что размерность группы Ли движений Gr финслерова пространства Fn не превосходит п (п +1) / 2 и не имеет подгрупп состоящих из движений, действующих по общим траекториям, а пространства F" , допускающие группу движений максимальной размерности г = п (п + 1) / 2 являются римановыми пространствами постоянной секционной кривизны. Если финслерово пространство Fn положительно определённой метрики допускает группу движений Gг размерности г > п (п - 1) /2 + 1, то оно является римановым пространством постоянной кривизны (Wang H.S. [42]). Для финслеровых пространств знакопеременной метрики это утверждение имеет место при г>п(п-1)/2 + 2 (А.И. Егоров [5]). Финслеровы пространства с группами движений размерности п (п-1 ) / 2 + 1 найдены Tashiro I. [41], а с группами движений размерности п (п-1) /2 + 2 А.И.Егоровым [5]. Классификация двух и трёхмерных финслеровых пространств по группам движений дана З.Н.Четыркиной [14], а четырёхмерных Л.С.Горшковой [2]. А.Моор [39] указал на возможность существования обобщённых финслеровых пространств , отличных от римановых, допускающих группы движений максимальной размерности п(п+1)/2. В.И.Паньженским [8] было дано положительное решение гипотезы А.Моора и найдены все обобщённые финслеровы пространства, допускающие группы движений максимальной размерности [9]. Общая теория обобщённых финслеровых пространств :¥п методом Картана - Лаптева была построена Б.И. Близникасом [1]. Теория движений в пространствах финслерового типа, с использованием аппарата производной Ли, была разработана Б.Л.Лаптевым [7]. Автоморфизмы различных обобщённых пространств исследовались в работах И.П.Егорова, А.П.Широкова, Б.Н.Шапукова и их учеников (см. [4],

15], [16]).

Целью диссертационной работы является изучение геометрии обобщённых финслеровых (лагранжевых) пространств с метрикой (1), в частности, построение теории движений в этих пространствах.

В диссертационной работе решаются следующие основные задачи :

1 .Находятся явные выражения коэффициентов естественной финслеровой связности и связности Картана, согласованных с обобщённой финслеровой метрикой (1) и устанавливаются некоторые их свойства.

2.Доказывается, что группа движений Ог обобщённого финслерова пространства с метрикой (1) является либо группой движений, либо группой гомотетий, либо группой конформных преобразований риманова пространства V" и сохраняет связность Картана. При этом последовательно уточняется максимальная размерность этой группы.

3.В предположении невырожденности ассоциированной финслеровой структуры доказывается, что не существует обобщённых финслеровых пространств 2?п (п >2, п ^ 4) с метрикой (1), допускающих группы движений Сг размерности г > п (п-1) / 2+ 1. Найдены все пространства , допускающие группы движений максимальной размерности г = п(п - 1)/2+1, если в (1) с= с (у).

4.Дана классификация двумерных пространств по группам движений.

5.Выделен специальный класс обобщённых лагранжевых пространств метрика которых получается, если в (1) положить с=с1п^ур5уру5, где с =сотг. Развита классическая часть дифференциальной геометрии этих пространств, включая теорию кривизны и теорию движений.

6.Устанавливается, что естественная эрмитова метрика на касательном расслоении обобщённого лагранжева пространства п , определяет почти эрмитову структуру, принадлежащую классу ® по классификации Грея - Хервеллы [23] и принадлежит классу т.е. является локально конформно келеровой тогда и только тогда, когда риманово пространство ¥п локально евклидово.

Основным методом исследования работы является классический метод тензорного анализа, включая аппарат производной Ли.

Работа носит теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении пространств финслерова типа и их приложениях.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на геометрическом семинаре физико-математического факультета Пензенского педуниверситета (научные руководители: В.И.Паньженский, А.Я.Султанов), на городском геометрическом семинаре КГУ (руководители: Б.Н.Шапуков) в МГУ на семинаре по классической дифференциальной геометрии (научный руководитель Л.Е.Евтушик).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [47] -[54].

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 54 наименования.

1. Близникас В.И. Евклидова связность картановского типа в метрическом пространстве линейных элементов // Литовский матем. сб.- 1963,- 2, № 2. -с. 33 -37.

2. Горшкова Л.С. О движениях в финслеровых пространствах. Пенза, 1972. Кандидатская диссертация.

3. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. М. - 1979. - 9. -247 с.

4. Егоров И.П. Движения и гомотетии в пространствах Финслера и их обобщения // Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. М. - 1984. - 16. - с. 81 - 126.

5. Егоров А.И. Максимально подвижные финслеровы пространства // Движения в обобщённых пространствах. Рязань. - 1974. с. 17-21.

6. Каган В.Ф. Субпроективные пространства. М.: Государственное издательство физико - математической литературы. - 1961. - 218с.

7. Лаптев Б.Л. Производная Ли для объектов, являющихся функциями точки и направления // Изв. физ-мат. общества. Казань. - 1938. - № 10. -с. 3-38.

8. Паньженский В.И. О пространстве линейных элементов непотенциальной метрики с группой изометрий максимальной размерности // В сб. "Вопросы дифференциальной геометрии "в целом". Ленинград. - 1983. -с. 91-95.

9. Паньженский В.И. Инвариантные характеристики некоторых классов почти эрмитовых структур // Труды геометрического семинара. В. 23. Казань. 1997. -с.77-83.

10. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.: Наука.- 1981.-501 с.

11. Четыркина З.Н. Гомотетии и движения в финслеровых пространствах двух и трёх измерений. Харьков, 1968. Канд. диссерт.

12. Шапуков Б.Н. Автоморфизмы расслоенных пространств // Трудыгеометр, семин. Казань. 1986. - 17. - с. 84 - 100.

13. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях //Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Топология. Геометрия. 1967. М., 1969.-с. 127-188.

14. Anastasiei M., Miron R. Preface for Generalized Finsler metrics // Finsler Geom.: Jt Summer Res. Conf., Seattle, Wash., July 16 20, 1995. - Providence (R.I.), 1996.-c. 157 -159.

15. Aringazin A.K., Asanov G.S. Problems of finslerian theory of gauge fields and gravitation // Reprts on Mathematical Physics. Warhzava. - 1988. -т. 25. -p.183 -241.

16. Asanov G.S., Kawaguchi T. A post Newtonian estimation for the metricy# (x) + а с'2 y. yj. II Tensor. 1990. - 49, № 1. - p.99 - 102.

17. Asanov G.S., Kawaguchi T. Anomalously finslerian corrections to speed -of - light given by metric tensor glf (x, i) = y;/ (x) + p IJ . // Tensor. - 1991.50, №2.-p. 170- 176.

18. Balan V. Generalized Einstein Yang - Mills equations for the space GLn(M,g9(x,y)) in the case of gi}(x,y) = e2°(x'y) y^x).// Tensor. - 1993.52, №3,-p. 19-23.

19. Binh T.Q. Cartan type connections and connection seguences // Publ. math. -1985. - 35, № 3 - 4. - p. 221 - 229.

20. Grey A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost hermitian manifolds and their linear invariants // Annals Math, pure and appl. 1980. - v. 123, № 4. -p. 35 - 58.

21. Hashiguchi M. On generalized Finsler spaces // An. sti. Univ. Iasi. 1984. -sec.la, 30, № i,-p. 69-73.

22. Hashiguchi M. Some topics on Finsler geometry // "Conf. Semin. mat. univ. Bari". 1986. - № 210. - 26 p.

23. Ikeda S. On the Finslerian metrical structures of the gravitational field // An. sti. Univ. Iasi ". 1984, Sec la, 30, № 4. - p. 35 - 38.

24. Ikeda S. Theory of Fields in Finsler Spaces // Semin. mec. Univ. Timisoara. -1988, №8. -p. 1-43.

25. Ikeda S. On the theory of gravitational field in Finsler spaces // Tensor. -1991. 50, №3. -p. 256-262.

26. Kawaguchi T., Miron R. On the generalized Lagrange spaces with the metricgy (x,y) = e2a(x'y) yy(x) II Tensor, N. S., 1989. 48. - p. 52 - 63.

27. Kikuchi S. On metrical Finsler connections of generalized Finsler spaces // Proc. 5 th Nat. Semin. Finsler and Lagrange Spaces in honour 60 th birth day Prof. Doct. Radu Miron, Brasov, 10 -15 Febr. - 1988. - Brasov. -1989. -p. 197-206.

28. Knebelman M.S. Collineations and motions in generalized space // Amer. I. Math. 1929. - 51. - p. 527 - 564.

29. Matsumoto M. On Einstein's gravitational fild equation in a tangent Rimannian space of a Finsler space // Reports Math. Phus. 1975. - 8, № 1. -p. 103- 108.

30. Matsumoto M. Foundation of Finsler geometry and special Finsler spaces. -Kais. Press. Otsu. Ipan. 1986.

31. Matsumoto M. The Tavakol van den Bergh conditions in the theories of gravity and projective changes of Finsler metrics // Publ. Math. Debrecen. -1993.-42, №1-2. p. 155-168.

32. Miron R. Metrical Finsler structures and metrical Finsler connections // I. Math. Kyoto. Univ. 1983. - 23. - p. 219 - 224.

33. Miron R. On the Finslerian theory of relativity // Tensor. 1987. - 44, № 1. -p. 63-81.

34. Miron R.,Watanabe S. Geometric theory of the gravitations and electronics fields in the spaces with the metric e2a{x,y) yy (x). // Mem. Sec. sti. ser.4 / Acad.RSR- 1992 (1994)-15, № 1,-p. 9-23.

35. Miron R., Tavakol R.K., Balan V., Roxburgh I. Geometry of space time and generalized Lagrange gauge theory // Publ. math., Debrecen. - 1993. - 42, № 3 -4.-p. 215-224.

36. Moor A. Entwicklung einer Geometrie der allgemeiner metrischen Linienelement raume // Acta scient, math. 1956. - 17, № 1 - 2. - p. 85 —120.

37. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundes of Riemannien manifolds, I // Tohoku math. lour. 1958. - 10, № 3. - p. 338 - 354.

38. Tashiro I. A theory of transformation groups on generalized spaced and applications to Finsler and Cartan spaces // I. Math. Soc. Iapan. 1959. - 11, № 11.-p. 42-71.

39. Wang H.S. On Finsler spaces with completely integrable equations of Killing //1. London Math. Soc. 1947. - 22. - p. 5 - 9.

40. Watanabe S., Ikeda S. and Ikeda F. On a metrical Finsler connections of generalized Finsler metric gt. = e2n(x'y> y. (x). // Tensor. 1983. - 40. - p. 97 -102.

41. Watanabe S. Generalized Finsler spaces conformal to a Riemannian space and the Cartan like connections // " An. sti. Univ. Iasi ". - 1984, Sec la, 30, № 4. -p. 95-98.

42. Yano K. On n dimensional Riemnnian spaces admitting a group of motions of order n(n-l)/2 + 1 II Trans Amer. Math. Soc. - 1953. - 74. - p. 260 -279.

43. Yano K., Davies E.T. On the tangent bundles of Finsler and Riemannian manifolds. // Rend. Circ. Math. 1963. - v. 12, № 2. - p. 211 - 228.

44. Сурина О.П. Связность, согласованная со специальной обобщённой финслеровой метрикой // Материалы 28-ой научно технической конфе ренции,- Пенза, 1995.

45. Сурина О.П. О движениях в пространствах с метрикой gy (х,у) = е2а(х'у) у у (х)П Межвуз. сборник науч. трудов. Пенза, 1992. -с. 96-100.

46. Сурина О.П. Евклидова связность Картана обобщённого финслерова пространства со специальной метрикой // Междунар. мат. конф., посвящ. 200 летию со дня рождения Н.И.Лобачевского, Минск, - 1993. - с. 74.

47. Паньженский В.И., Сурина О.П. О движениях в обобщённом финсле-ровом пространстве со специальной метрикой // Междунар. мат. конф., Казань. 1992., Тезисы докладов. - с. 73.

48. Паньженский В.И., Сурина О.П. К геометрии обобщённого финслерова пространства со специальной метрикой // Изв. вузов. Матем. 1996, № 2. -с. 30-34.

49. Паньженский В.И., Сурина О.П. Об одной эрмитовой метрике на касательном расслоении // Междунар. Геом. школа семинар памяти Ефимова Н.В. - Ростов - на Дону, 1998. - тезисы докладов. - с. 62.

50. Сурина О.П. Обобщённые финслеровы пространства, допускающие группы движений максимальной размерности // Пенз. Гос. Пед. Унив-т. -1998. 7 с. - Деп. в ВИНИТИ АН, 15.03.99, Ж788-В99, ДЕП.