Инфинитезимальные преобразования в касательном расслоении финслеровых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

РГБ ОД

1 3 ДЕК ?т

ЛАПЫПИН АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ

ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 2000

Работа выполнена на кафедре теории относительности и гравитации Казанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук,

профессор А. В. Аминова

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук,

профессор В. В. Вишневский

Ведущая организация: Чувашский педагогический

государственный университет

при Казанском государственном университете (420008, Казань, ул. Кремлевская 18).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского государственного университета.

кандидат физ.-мат. наук, Г. С. Асанов

2000 года в

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Шурыгин В. В.

оз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Изучение геометрии касательных расслоений дифференцируемых многообразий было и остается по сей день актуальным направлением математических исследований. Касательное расслоение дифференцируемого многообразия обладает богатыми дифференциально-геометрическими свойствами, поэтому теория касательных расслоений находит разнообразные приложения в теоретической и математической физике и самой математике. В последние годы интерес специалистов в этой области все больше смещается в сторону исследования расслоений над различными обобщенными пространствами.

Начало интенсивных исследований в области теории касательных расслоений было положено работой Сасаки 1. В этой работе был очерчен ряд основных вопросов, на которых сконцентрировались усилия дальнейших исследователей.

Общая теория лифтов тензорных полей и аффинных связно-стей с дифференцируемого многообразия в его касательное расслоение была разработана К. Яно, А. Леджером, Ш. Кобаяси и Ш. Исихарой. В их работах были построены и изучены линейная связность в касательном расслоении 2, полный, вертикальный 3 и горизонтальный 4 лифты тензорных полей и связностей из дифференцируемого многообразия в его касательное расслоение.

В связи с теорией лифтов следует также упомянуть работы Ф. И. Кагана 5, который в 1967 году разработал теорию полного поднятия для тензоров произвольных валентностей, включающего как частные случаи вертикальный, горизонтальный и есте-

1 Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds // Tôhoku Math. J. - 1958. - 10. - №3. - pp.338-354.

2 Yano K., Ledger A. Linear connections on tangent bundles // J. London Math. S ос. - 1964. - v.39. - №3 - pp.495-500.

3 Yano K., Kobayashi Sh. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles I. General theory // ]. Math. Soc. Japan. - 1966. - v.18. - №2 - pp.194-210.

4 Yano K. Ishihara Sh. Horisontal lifts of tensor fields and connections to tangent bundles // J. Math, and Mech. - 1967. - v.16. - №9. - pp. 1015-1030.

5 Каган Ф.И. К теории лифтов для тензорных полей из многообразия в его касательный пучок // Изв. вузов. Математика. - 1969. - №9. - с.37-46.

Каган Ф. И. О некоторых типах аффинорных структур в касательном пучке дифференцируемого многообразия // Укр. геометр, сб. - 1970. - вып. 8. - с.49-68.

ственный (полный) лифты, построенные Яно, Кобаяси и Исиха-рой.

В работе 1973 г. 6 Ф. И. Каган ввел в рассмотрение семейство римановых метрик на касательном расслоении, получающихся из метрики на базе и зависящее от трех скалярных полей. Метрики Сасаки. Сато и Лно-Кобаяси получаются из этого семейства метрик как частные случаи.

Одной из основных задач в теории касательных расслоений является изучение инфинитезимальных преобразований в касательном расслоении. К. Яно и Ш. Кобаяси 7 изучили аффинные преобразования в касательном расслоении со связностью полного лифта аффинной связности базы и начали исследование инфинитезимальных изометрических преобразований в касательном расслоении с метрикой полного лифта. Полное решение последней задачи было дано Танно 8. .

Автоморфизмы различных обобщенных пространств исследовались в работах А.П.Широкова 9, Б.Н.Шапукова 10, И.П.Егорова 11 и их учеников.

Теория проективных преобразований п-мерных римановых пространств с метрическим тензором произвольной сигнатуры была развита в работах А. В. Аминовой. 12

Ф. И. Каган в работе 1976 г. 13 рассмотрел инфинитезималь-

6 Каган Ф.И. Римановы метрики в касательном расслоении над римановым многообразием // Изо. вузов. Математика. - 1973. - №6. - с.42-51.

т Yano К., Kobayashi Sil. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles II. Infinitesimal automorphisms // J. Math. Soc. Japan. - 1966. - v.18. - №3 - pp.236-246.

s Tanno Sh. Infinitesimal isometries oil the tangent bundles with complete lift metric // Tensor. -1974. - 28. - pp.139-144.

9 Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Топология. Геометрия. - 1967. - М.,1969. - С.127-188.

10 Шапуков Б.Н. Автоморфизмы расслоенных пространств // Труды геом. семинара. -Казань. - 1986. - 17. - с.84-100.

11 Егоров И.П. Движения и гомотетии в пространствах Финслера и их обобщения // Итоги науки Й-техники. ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. - М. - 1984. - 16. - с.81-126.

12 Аминова A.B. О полях тяготения, допускающих группы проективных движений // ЛАП СССР. - 1971. - Т. 197. - №4. - с.807-809-

Аминова A.B. Группы проективных и аффинных движений в пространствах общей теории относительности // Тр. Геометр, семин. М.: ВИНИТИ, 1974. - Т.6. - с.317-346.

Аминова A.B. Группы преобразований римановых многообразий // Проблемы геометрии. - М.: ВИНИТИ, 1990. - Т.22. - с.97-165.

13 Кагал Ф.И. Каноническое разложение проективно-киллинговых и аффинно-киллинговых векторов на касательном расслоении // Матем. заметки. - 1976. - т.19. - №2. - с.247-258-

ные проективные и аффинные преобразования в касательном расслоении с симметричной аффинной связностью, являющейся полным (по терминологии Кагана «естественным») лифтом симметричной аффинной связности базы в касательное расслоение.

Ученик А. П. Широкова В. Г. Подольский 14 изучал инфи-нитезимальные проективные, аффинные, обобщенно-конформные, конформные, гомотетические и изометрические преобразования в касатсльпом расслоении римановых многообразий с метрическим тензором произвольной сигнатуры.

Как правило, в исследованиях, посвященных инфинитезималь-ным преобразованиям в касательном расслоении, определялся вид векторных полей, порождающих локальную однопараметри-ческую группу соответствующих преобразований, а также необходимые и достаточные условия существования таких преобразований. При этом в качестве фазы выступало пространство аффинной связности или риманово пространство. Возможности рассмотрения другой, более общей базы уделялось явно недостаточное внимание.

Непосредственным обобщением пространства аффинной связности является общее пространство путей, тогда как непосредственным обобщением риманова пространства является пространство Финслера. В указанных обобщенных пространствах все дифференциально-геометрические структуры зависят не только от точки, но и от произвольного касательного вектора, то есть все дифференциально-геометрические структуры в таких пространствах зависят от точки тотального пространства расслоения. Это обусловливает тесную связь теории обобщенных пространств с теорией касательных расслоений.

Замечательный казанский геометр Б. JI. Лаптев развил теорию движений в пространствах финслерова типа с использовани-

14 Подольский В.Г. Движения в касательном расслоении римановых пространств. I // Гравитация и теория относительности. - Казань, 1977. - вып.12, -- с.131-141.

Подольский В.Г. Движения в касательном расслоении римановых пространств. II // Сб. аспир. работ. Точные науки. Физика. -'Казань, 1977. - часть I. - с.3-10.

Подольский В.Г. Движения в касательном расслоении римановых пространств, til // Гравитация и теория относительности. - Казань, 1976. - вып. 13. - с.102-115.

Подольский В. Г. Инфинитезимальные преобразования в касательном расслоении с метрикой полного лифта и метрикой Сасаки // Изв. вузов. Математика. - 1976. - №9. - с. 128-132.

ем аппарата щэоизводной Ли 15, а также внес большой вклад в развитие общей теории пространств опорных элементов. 16

К концу 50-х годов общая теория финслеровых пространств достигла достаточно полного и глубокого развития. Однако вплоть до недавнего времени она не находила систематических применений в теоретической физике. В последние годы число физических приложений финслеровой геометрии резко возросло. Многие физические модели являются фактически финслеровыми структурами на подходящих многообразиях. Кроме того, финсле-рова геометрия позволяет обобщить различные физические теории. Например, имеется большое количество работ, посвященных финслеровым обобщениям теории гравитации и электромагнитиз-ма.

В физических приложениях рассмотрение различных типов преобразований играет фундаментальную роль, ибо, согласно теореме Нётер, с каждым преобразованием симметрии теории связано существование законов сохранения 10. Финслерово-обобщен-ные физические теории формулируются в терминах касательного расслоения над финслеровым многообразием, поэтому преобразования симметрии таких теорий — это преобразования касательного расслоения. Это обусловливает актуальность и практическую значимость исследований в области теории таких преобразований.

Данная диссертация посвящена изучению инфинитезимальных проективных и аффинных преобразований в касательном расслоении общих пространств путей, а также инфинитезимальных проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований в касательных расслоениях финслеровых пространств.

15 Лаптев Б.Л. Инвариантная форма 2>-й вариации, полученная дифференцирлованием Ли в пространстве Финслера // Изв. физ.-мат. общества при Казанском ун-те. - 1940. - 12. - с.3-8.

Лаптев Б. Л. Дифференцирование Ли //В сб.: Алгебра, Топология, Геометрия. Итоги науки. - 1965. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1967. - с.429-465.

16 Лаптев Б.Л. Пространство опорных элементов // Дисс. на соискание уч. ст. докт. физ.-мат. наук. - Казань. - 1958. Итоги науки. - 1965. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1967. -с.429-465.

17АсановГ. С., Пономареико С. Ф. Финслерово расслоение над пространством-временем, ассоциируемые калибровочные поля и связности // Киев, «Штиинца», 1989. - 291с.

'eNoether Е. Nachr. Ges. Wiss. Güttingen. - 1918. - 171.

Цель работы. Целью работы является:

1. Определение структуры векторных полей, порождающих локальные однопараметрические группы проективных и аффинных преобразований в касательном расслоении общих пространств путей. .. ...

2. Нахождение структуры векторных полей, порождающих локальные однопараметрические группы проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований в касательном расслоении финслеровых пространств для обширного класса метрик на расслоении.

3. Отыскание необходимых и достаточных условий существования указанных выше преобразований.

4. Выяснение условий, которые накладывает существование в расслоении преобразований исследуемых типов на базовое многообразие.

Научная новизна работы. Данная работа является исследованием в области дифференциальной геометрии расслоенных пространств и их инфинитезимальных преобразований. Научная новизна работы заключается в рассмотрении общей теории проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований в касательном расслоении, где в качестве базы выступает пространство линейных элементов. Результаты работы имеют общетеоретический характер. Доказан ряд фундаментальных теорем. Найдены структуры векторных полей, являющихся инфинитезимальными проективными и аффинными преобразованиями в касательном расслоении общих пространств путей. Решена аналогичная задача для инфинитезимальных проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований в касательном расслоении финслеровых пространств. Определены необходимые и достаточные условия существования всех перечисленных выше типов преобразований. Получены условия, которые налагает существование указанных преобразований на базовое многообразие.

Теоретическое и практическое значение работы. Данная работа является дальнейшим развитием исследований в области геометрии касательных расслоений и ее приложений к теории об-

общенных пространств. Она представляет собой вклад в теорию инфинитезимальных преобразований в касательном расслоении обобщенных пространств. Полученные в работе результаты обобщают результаты исследований многих авторов и могут быть использованы для дальнейших исследований в области теории инфинитезимальных преобразований в касательных расслоениях, а также в теоретической физике при исследовании преобразований симметрии финслерово-обобщенных физических теорий, которые приобретают в последние годы все большую актуальность.

Методы исследования. В диссертации используются методы тензорного анализа, аппарат дифференцирования Ли, теория лифтов геометрических объектов с базы в касательное расслоение. Исследования носят локальный характер и ведутся в классе достаточно гладких функций.

Объем работы. Диссертация изложена на 108 страницах,и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 108 названий.

Краткое содержание диссертации. Во Введении обосновывается актуальность темы и ее научная новизна, формулируются цели и задачи исследования, дается краткий обзор исследований по дифференциальной геометрии касательных расслоений и геометрии пространств Финслера, а также обзор их приложений в области теоретической физики, приводится краткое содержание диссертации.

Первая глава содержит предварительные сведения, необходимые для дальнейшего изложения. В ней рассматриваются основные понятия теории касательных расслоений (§1), теории связностей (§2), теории лифтов тензорных полей и связностей (§3), теории пространств Финслера (§5), теории инфинитезимальных преобразований в касательном расслоении (§4) и в финслеровых пространствах (§6). В §8 описываются метрики на:касательных расслоениях финслеровых пространств. В §9 дается краткий обзор физических приложений геометрии касательных расслоений финслеровых пространств.

Вторая глава посвящена исследованию инфинитезимальных

преобразований в касательном расслоении общего пространства путей. В §1 рассмотрен естественный лифт связности общего пространства путей и его производная Ли. Записаны уравнения проективных и аффинных преобразований в касательном расслоении общего пространства путей в терминах полей слоевых тензоров. Исследована структура проективных (§2) и аффинных (§3) преобразований. Найдены условия, которые налагает существование в расслоении проективных и аффинных преобразований на базовое многообразие. В §4 сформулированы теоремы о структуре векторных полей, порождающих такие преобразования.

Теорема 2.1 Пусть М(С?) — общее пространство путей, причем сЦтМ(С) > 2. Для того, чтобы векторное поле и на касательном расслоении Т(М(С)) являлось инфинитезимальным проективным преобразованием связности Г, являющейся естественным лифтом связности С, необходимо и достаточно выполнение равенства,

V = "и + уу + НХА + УХВ + Р(х)ухгс1, где и = и(х) — проективное векторное поле на М(С?):

Сив* = х*Р,

с проективным фактором Р = ць{х)хк , V = ь(х) — аффинное векторное поле на М(С):

= 0 ,

удовлетворяющее условиям

= 0 , = 0 ,

р = р(х) и д = — параллельные 1-формы на М((?):

VкРт ~ Vкдт - 0 ,

А — А(х) и В — В(х) — тензорные поля валентности (1,1) на М(<3), удовлетворяющие условиям

ОД = 6\рт , А\1Гтка = 0 , ^кВ'т = -¿5.9т , В1Н1тк8 - В\Н'тЫ = 0 .

При этом уравнение для имеет вид

~ ^"(Р^У) >

где <£= с[р,д].

Доказательство теоремы 2.1 приведено в §2.

В §3 доказана аналогичная теорема об аффинных преобразованиях.

Третья глава посвящена исследованию инфинитезимальных преобразований финслеровых пространств. На касательном расслоении финслеровых пространств с потенциальной метрикой вводится трехпараметрическое семейство метрик Кагана и вычислено соответствующее трехпараметрическое семейство метрических связностей (§1).

В §2 выводятся уравнения проективных преобразований относительно этих связностей в виде соотношений между полями слоевых тензоров на базе. Дальнейшие исследования сконцентрированы на двух важных особых типах метрик на касательном расслоении — это метрики типа Сасаки-Сато и метрики типа Яно-Кобаяси.

В §3 - §10 исследуются структуры инфинитезимальных проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований для этих типов метрик. Проинтегрированы уравнения соответствующих преобразований и найдены необходимые и достаточные условия их существовования. Получены условия, которые налагает существование в расслоении проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований на базовое многообразие. В §11 сформулированы теоремы о структуре векторных полей, порождающих перечисленные выше преобразования.

Теорема 3.1 Для того, чтобы векторное поле V, принадлежащее классу БНЕ-функций, 19 являлось инфинитезимальным проективным преобразованием на касательном расслоении финслерова

19 SHF — series of homogeneous functions — ряд однородных функций (англ.). Название предложено автором.

Определение. Функция /(x,i) называется SHF-функцией, если она представима в виде по-

00 («) (*)

точечно сходящегося ряда f(x,i) = £ , где Ф(х,х) — функции, однородные s-ой

i = -00

степени относительно х.

пространства М(^), наделенном метрикой типа Сасаки-Сато, необходимо и достаточно выполнение равенства

й = % + уь + НЬ' + V + р{х)1 Л ,

где и' = а'{х), и' = 1>'(х), V = 1/'{х,х), V*1 = У(х, х) —векторные поля на М(.Г), удовлетворяющие следующим условиям:

£иСкт = 2&1кЧт) >

СиС'кт — 0 , 2Сид1 кт Ьп + 2= 0 ,

£>иНктг + У\кН$т + Р'^Ьт* = 0 ,

^Скт - Щкт)$У" = -^¿'УеС'ьм ■

а{2£„Скт - -]<"Т/Лга + + ы.,) +

+ 7(6"С"ьт,..5 - Ь^С'ьп) = о , ^ид'кт - 2-£ид'кт - Хг1ЬС'\,п + ЗиЦЧэС'кт - С'кт6) +

+ {^х^У - и>)д'ы., + ^Уг<Д.т - + Я«»';«)) = о ,

7и".[кд4т], - а{д\[кЧт]/ +Ч>5Я[Ь7г]!,, - у'Н,[кУ1т]) = 0 , ^ С ктв ~ 0 ,

7{1Р.,С'кт + и'.кСпз) + а(С^Уки° + С'ктУУ) = 0 , ут(и!'.к) + ста'*™ + - '¿гис'и) = ,

27 ... ■ .

- Сг\т* ~ дК(к т)) - х'РзС'кт + ^кт^У = 0 ,

и%(?ьп. + д^(к-т]) + ^ч'ъ&ы, + -сгктв-

¿7 7

!- - ^Нв(к1С\п)( = о,

иччд'ы - 2Н(Ы];) - д3ыЧЛГ + 2д{ырУ = 0 , 11

ЧкЧти* + и°(Н1тЬ + + - Уга)«8 +

+ 9\к?т]и'-1даыЧ,и1 = О,

,,:; ив{Н'кте + У^'ы) + -Яы'УУ + д\3Утив - х%д$кт = 0 ,

и*ЧвНьп1 + 2Нш%х' + НквгЧти° - Нкт'Ъ5и< = О , У'-ОЬ;т) = О )

У» л"«« _ уг/^г

•в1-' ¿ш — ' О ¿та )

= У"Сгкт$ = -Уг.8дэкт - 2хгЦцС3кт , = 0 , УкРт = 0 , ^^(¿^т) -- 0 , Цэд\т = О , в.Я4т' = О,

где и*{х,х) и У(х.х) — однородные функции первой степени относительно х, рк = Рк{х) и цк = ^(х) — поля 1-форм на М(Р). При этом уравнение для V имеет вид

¿Л = 26а(р<р7) ,

где (р=

Доказательство теоремы 3.1 приведено в §3. Теорема 3.2 Для того, чтобы векторное поле Ъ, принадлежащее классу БНГ-функций, являлось инфинитезимальным проективным преобразованием на касательном расслоении финслерова пространства М^), наделенном метрикой типа Яно-Кобаяси, необходимо и достаточно выполнение равенства

"и + Уу + ни + Уу + р(^хы^

где и' = и'(х), V1 = ь'(х,х), V — 11'(х,х), V' = У(х,х) — векторные поля на М(^), удовлетворяющие следующим условиям:

2СиС'ы + 2ЬуС'кт + У% кт = 0 > £ид'кт + Уа(Сгктз + д\т.ц) = о , СиН{кт; + У$Н(кт)\.8 - У\,Щкт)3 + х1Чвд*кт = О , у'.к.т + 2ЬуС'кт = О ,

+ 2С\$Чтув + «'С'^, = О , «Ч^Чт» + = О , V(i;Vrn)- д1^,«'' + ь\5Н{кт)8 - ь°Щкт)\$ = О ,

^'■¿■т - 2и*.вСак,т, = О , 2и*У8С1кт — и'Скте = , ^' [¿^'т]« = 0 ,

СЛ.Я(Ьп)' + [/'('V. «Дга + Н{кт)8) + рд\т = О ,

и$.к{\н1П8 - Я(5т)!') + иа{Н<кли + 2&ыН(тв) = О ,

Ч[к(иг1Гт),) - щк,{чти* - н1пи)'чки* -

- и\У$Н(кт) + д\тИ\$) + Х%Н[кт)' = О , Чт(У\к) + Г^ы = -&пЧк , ЧкРт = О , Рк-т - 2рвСЯк7п = О , = О ,

где ьг = уг(х,х) — однородные функции нулевой степени относительно х, иг(х,х) и Уг(х,х) —однородные функции первой степени относительно х, рк —р.к(х,х) и дк = ^(а:) —поля 1-формна М(Р), р = р(а:, х) — однородная функция первой степени относительно х. При этом уравнение для V имеет вид

где ¡р= с\р,д].

Доказательство теоремы 3.2 приведено в §4. В §5 приведены доказательства аналогичных теорем для аф-финпых преобразований.

Теорема 3.3 Для того, чтобы векторное поле ¿3, принадлежащее классу БИГ-функций, являлось инфинитезимальным конформным преобразованием на касательном расслоении финслеро-ва пространства М(.Р), (11т М(^) > 2, наделенном метрикой типа Сасаки-Сато, необходимо и достаточно выполнение равенства

47 1/7

где = (У*к)< = д"Уек, (V*/)1' - (£>Ч)*' =

<7!4/.5; к = I -- 1(х,х) — скалярные поля на М(^); и1 = иг(х), г>' = у'(х,х), V' = У(х,х) — векторные поля на М(^), удовлетворяющие следующим условиям:

СиЯкт = кды , У(к-т) -- = 0 ,

У(к т) = УЬСкта - 0 ,

х!1дыд8ктЧ8ь1 = ^1.гС'кт ,

ах'1дмЧ(к¥т)у' = 7-Р21.вС$кт - -удкт1 , VtVmЛ = = 0 ,

V(¿Vm)г = д'кт^А = 0 , Н{ыд*тЧтк = Н{ьд°тЪт1 = 0 ,

ViУi = - ¿Рмх'ЧА - ^С'ь^к ,

ахндыНкт3УУ =

= 1{\дк*^т1 - + 1-ГЧ.8д°кт - ,

где V1 = ь'(х,х) — однородные функции нулевой степени относительно х, У'(х, х) и 1(х, х) — однородные функции первой степени относительно х. При этом уравнение для V имеет вид

£уОа,в = Кдар ,

где К = к(х) + 1(х, х).

Доказательство теоремы 3.3 приведено в §7. Теорема 3.4 Для того, чтобы векторное поле и, принадлежащее классу БНГ-функций, являлось инфинитезимальным конформным преобразованием на касательном расслоении финслеро-ва. пространства М(^), наделенном метрикой типа Яно-Кобаяси, необходимо и достаточно выполнение равенства

где и' -- и'(х), V1 = д"у8(х), 1Р = и'(х,х), V' = У(х,х) — векторные поля на М(^), удовлетворяющие условиям:

СиОкт + У' квтз + 2У8Скта = кдкт ,

У*(кЧт)Ьг = 0 ,

Уз(ки3.,п) = 0 ,

9.1к{СиО'т) + Ут)7й) = 0 ,

кЗп+ 9к/Ути" + и'дктя = ^19кт ,

^0з(к^т)1 +■ ивд1(кН1т)8 = 0 ,

где и'(х, х), У(х, х) ,1(х, х) —однородные функции первой степени относительно х. При этом уравнение для и имеет вид

= 1<9а0 ,

где К = к(х) + 1(х, х).

Доказательство теоремы 3.4 приведено в §8. В §9 и §10 приведены доказательства аналогичных теорем для гомотетических и изометрических преобразований.

В Заключении приведены основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. Получены уравнения проективных и аффинных преобразований в касательном расслоении общих пространств путей, записанные в виде соотношений между полями слоевых тензоров на базе.

2. Определена структура векторных полей, порождающих локальные однопараметрические группы проективных и аффинных преобразований в касательном расслоении общих пространств путей.

3. Даны необходимые и достаточные условия существования проективных и аффинных преобразований в касательном расслоении общих пространств путей.

4. Найдены условия, которые налагает существование в расслоении общих пространств путей проективных и аффинных преобразований на базовое многообразие.

5. Вычислено трехпараметрическое семейство метрических связ-ностей для трехпараметрического семейства метрик на расслоении финслерова пространства, включающего в себя как частные случаи метрики Сасаки, Сато и Яно-Кобаяси. Указан общий вид производной Ли подобных связностей относительно произвольного векторного поля на тотальном пространстве расслоения.

6. Выведены уравнения проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований касательного расслоения финслеровых пространств в терминах полей слоевых тензоров на базе.

7. Определена структура векторных полей, порождающих локальные однопараметрические группы проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований в касательном расслоении финслеровых пространств с метрикой типов Сасаки-Сато и Яно-Кобаяси.

8. Получены необходимые и достаточные условия существования проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований в касательном расслоении финслеровых пространств с метрикой типов Сасаки-Сато и Яно-Кобаяси.

9. Найдены условия, которые налагает существование в расслоениях с метриками типов Сасаки-Сато и Яно-Кобаяси проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований на базовое многообразие.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались в Казанском государственном университете на семинарах кафедры теории относительности и гравитации под руковод-

ством проф. В. Р. Кайгородова (Казань, 1992-1995 гг.), на геометрическом семинаре кафедры геометрии под руководством проф. Б. Н. Шапукова (Казань, 1995, 2000 гг.), на научных семинарах, руководимых проф. А. В. Аминовой (Казань, 1992-2000 гг.), на Международном коллоквиуме «Современный групповой анализ. Методы и приложения» (Нижний Новгород, 1992 г.), на международной конференции «Геометризация физики» (Казань, 1993 г.), а также «Геометризация физики II» (Казань, 1995 г.), на международном научном семинаре, посвященном 100-летию со дня рождения П. А. Широкова (Казань, 1995 г.), на международной конференции «Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики», посвященной 90-летию со дня рождения Г. Ф. Лаптева (Москва, 1999 г.), на XII международной летней школе-семинаре по теоретической и математической физике «Волга-12'2000», посвященной 90-летию со дня рождения А. 3. Петрова (Казань, 2000 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двенадцати работах [1] - [12]. Из содержания работ, выполненных в соавторстве, в диссертации используются только собственные результаты автора.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке фондов РФФИ и Сороса, а также программы «Университеты России».

По результам диссертации опубликованы работы:

1. Аминова А. В., Данынин А. Ю. Симметрии гамильтоновых систем со связями // Тез. докл. IX Междунар. коллокв. «Современный групповой анализ. Методы и прил.» - Нижн. Новг. -1992. - с.5.

2. Aminova А. V., Danshin A. Yu. Almost projective motions as symmetries of Hamiltonian systems with constrains // Abstr. of Int. Conf. "Geometrization of Physics" - Kazan, 1993 - p.4.

3. Aminova A. V., Danshin A. Yu. Finsler approach to the geo-metrization of gravity and electromagnetism // Abstr. of Int. Conf. "Geometrization of Physics" - Kazan, 1993 - p.5.

4. Аминова А. В., Даньшин А. Ю. Финслеров подход к геометризации гравитациии и электромагнетизма // In: "Geometrization of

Physics". - Kazan. - 1994. - pp. 12-17.

5. Даныпин А. Ю. Динамические системы с однородными лагранжианами и их инфинитезимальные преобразования симметрии // Тезисы докладов междунар. конф. «Геометризация физики II».

- Казань, 1995.

6. Даныпин А. Ю. Финслерова структура мировой функции Син-га // Тезисы докладов междунар. конф. «Геометризация физики II». - Казань, 1995.

7. Даныпин А. Ю. Инфинитезимальные проективные преобразования в касательном расслоении финслеровых многообразий // Изв. вузов. Математика. - 1995. - №7. - с.12-21.

8. Даныпин А. Ю. Инфинитезимальные проективные преобразования с естественным лифтом связности общего пространства путей // Изв. вузов. Математика. - 1997. - №9 - с.8-12.

9. Даныпин А. Ю. Инфинитезимальные конформные преобразования в касательном расслоении финслеровых многообразий // Изв. вузов. Математика. - 1998, - №7. - с.11-17.

10. Даныпин А. Ю. Проективные и конформные преобразования фазовых пространств механических систем с однородными лагранжианами // Новейшие проблемы теории поля 1998. Труды Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики. - Под ред. проф. А. В. Аминовой - Казань, 1998. - с.13-14.

И. Даныпин А. Ю. Формализм неголономных реперов в финсле-ровой геометрии // Материалы междунар. конференции «Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики», посвященной 90-летию со дня рождения Г. Ф. Лаптева. - Москва, 25-30 октября 1999 года. - М.: Изд. механико-математического факультета МГУ. - 1999. - с. 16-17.

12. Даныпин А. Ю. Инфинитезимальные преобразования симметрии динамических систем с однородными лагранжианами // Новейшие проблемы теории поля 1999-2000. Труды Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики. - Под ред. проф. А. В. Аминовой

- Казань, 2000. - с.428-434.

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§1. Касательное расслоение.

§2. Связность в касательном расслоении. Общее пространство путей.

§3. Лифты тензорных полей и связностей.

§4. Производная Ли.

§5. Инфинитезимальные преобразования в касательном расслоении.

§6. Финслерово пространство.

§7. Инфинитезимальные преобразования в финслеровых пространствах.

§8. Метрики на касательном расслоении финслеровых пространств.

§9. Физическая и механическая интерпретация преобразований в финслеровых пространствах и их касательных расслоениях.

Глава II. Инфинитезимальные преобразования в касательном расслоении общих пространств путей.

§1. Естественный лифт связности общего пространства путей и его производная Ли.

§2. Проективные преобразования в касательном расслоении общего пространства путей.

§3. Аффинные преобразования в касательном расслоении общего пространства путей.

§4. Теоремы об инфинитезимальных преобразованиях в касательном расслоении общего пространства путей.

Глава III. Инфинитезимальные преобразования в касательном расслоении финслеровых пространств с потенциальной метрикой.

§1. Метрики и метрические связности на касательном расслоении финслеровых пространств.

§2. Уравнения проективных преобразований в касательном расслоении финслеровых пространств.

§3. Проективные преобразования в касательном расслоении финслеровых пространств, наделенных метрикой типа Сасаки-Сато.

§4. Проективные преобразования в касательном расслоении финслеровых пространств, наделенных метрикой типа Яно-Кобаяси.

§5. Аффинные преобразования в касательном расслоении финслеровых пространств, наделенных метриками типа Сасаки-Сато и Яно-Кобаяси.

§6. Уравнения конформных преобразований в касательном расслоении финслеровых пространств.

§7. Конформные преобразования в касательном расслоении финслеровых пространств, наделенных метрикой типа Сасаки-Сато.

§8. Конформные преобразования в касательном расслоении финслеровых пространств, наделенных метрикой типа Яно-Кобаяси.

§9. Гомотетические и изометрические преобразования в касательном расслоении финслеровых пространств, наделенных метрикой типа Сасаки-Сато.

§10. Гомотетические и изометрические преобразования в касательном расслоении финслеровых пространств, наделенных метрикой типа Яно-Кобаяси.

§11. Теоремы об инфинитезимальных преобразованиях в касательном расслоении финслеровых пространств.

Актуальность темы. Изучение геометрии касательных расслоений дифференцируемых многообразий было и остается по сей день актуальным направлением математических исследований. Касательное расслоение дифференцируемого многообразия обладает богатыми дифференциально-геометрическими свойствами, поэтому теория касательных расслоений находит разнообразные приложения в теоретической и математической физике и самой математике. В последние годы интерес специалистов в этой области все больше смещается в сторону исследования расслоений над различными обобщенными пространствами.

Казанская геометрическая школа всегда находилась в самой гуще подобных исследований. Геометрия различных обобщенных пространств и их всевозможных расслоений была предметом исследований А.П.Широкова [42], Б.Л.Лаптева [30], В.В.Вишневского [12, 13], Б.Н.Шапукова [40] и их учеников. Данная работа была сделана в стенах Казанского государственного университета, и потому не могла избегнуть решающего влияния этой замечательной научной школы.

Начало интенсивных исследований в области теории касательных расслоений было положено работой Сасаки [84]. В этой работе был очерчен ряд основных вопросов, на которых сконцентрировались усилия дальнейших исследователей. В частности, к пионерской работе Сасаки восходят теория лифтов, введение метрик на расслоениях, исследование инфинитезимальных движений на касательном расслоении.

Общая теория лифтов тензорных полей и аффинных связно-стей с дифференцируемого многообразия в его касательное расслоение была разработана К.Яно, А.Леджером, Ш.Кобаяси и Ш.Исихарой [93, 94, 95, 96]. В их работах были построены и изучены линейная связность в касательном расслоении [93], полный, вертикальный [94] и горизонтальный [96] лифты тензорных полей и связностей из дифференцируемого многообразия в его касательное расслоение. В работе [94] был получен результат, ставший классическим в теории лифтов, а именно, было показано, что полный лифт связности Леви-Чивиты для римановой метрики на базе является в касательном расслоении связностью Леви-Чивиты полного лифта метрики базы.

В связи с теорией лифтов следует также упомянуть работы Ф.И.Кагана [20, 21], который в 1967 году разработал теорию полного поднятия для тензоров произвольных валентностей, включающего как частные случаи вертикальный, горизонтальный и естественный (полный) лифты, построенные Яно, Кобаяси и Иси-харой. Полное поднятие Кагана обладает двумя существенными свойствами: 1) оно обладает полнотой в том смысле, что любое тензорное поле на карательном расслоении может быть получено как полное поднятие Кагана; 2) из заданного на многообразии набора локальных тензорных полей с помощью полного поднятия Кагана получается тензорное поле на всем касательном расслоении, то есть полное поднятие Кагана носит глобальный характер.

В работе [22] Ф. И. Каган ввел в рассмотрение семейство ри-мановых метрик на касательном расслоении, получающихся из метрики на базе и зависящее от трех скалярных полей. Метрики Сасаки, Сато и Яно-Кобаяси получаются из этого семейства метрик как частные случаи.

Одной из основных задач в теории касательных расслоений является изучение инфинитезимальных преобразований в касательном расслоении. К.Яно и Ш.Кобаяси [95] изучили аффинные преобразования в касательном расслоении со связностью полного лифта аффинной связности базы и начали исследование инфинитезимальных изометрических преобразований в касательном расслоении с метрикой полного лифта. Полное решение последней задачи было дано Танно [88].

Автоморфизмы различных обобщенных пространств исследовались в работах А.П.Широкова [43], Б.Н.Шапукова [39], И.П.Егорова [18, 19] и их учеников.

Теория проективных преобразований п-мерных римановых пространств с метрическим тензором произвольной сигнатуры была развита в работах А.В.Аминовой. [1, 2, 5, 6, 7, 46]

Ф.И.Каган в работе [24] рассмотрел инфинитезимальные проективные и аффинные преобразования в касательном расслоении с симметричной аффинной связностью, являющейся полным (по терминологии Кагана «естественным») лифтом симметричной аффинной связности базы в касательное расслоение.

Ученик А.П.Широкова В.Г.Подольский [32, 33, 34, 35] изучал инфинитезимальные проективные, аффинные, обобщенно-конформные, конформные, гомотетические и изометрические преобразования в касательном расслоении римановых многообразий с метрическим тензором произвольной сигнатуры.

Как правило, в исследованиях, посвященных инфинитезималь-ным преобразованиям в касательном расслоении, определялся вид векторных полей, порождающих локальную однопараметри-ческую группу соответствующих преобразований, а также необходимые и достаточные условия существования таких преобразований. При этом в качестве базы выступало пространство аффинной связности или риманово пространство. Возможности рассмотрения другой, более общей базы уделялось явно недостаточное внимание.

Непосредственным обобщением пространства аффинной связности является общее пространство путей, тогда как непосредственным обобщением риманова пространства является пространство Финслера. В указанных обобщенных пространствах все дифференциально-геометрические структуры зависят не только от точки, но и от произвольного касательного вектора, то есть все дифференциально-геометрические структуры в таких пространствах зависят от точки тотального пространства расслоения. Это обусловливает тесную связь теории обобщенных пространств с теорией касательных расслоений.

Теория финслеровых пространств восходит к знаменитой лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854 г.). В этой лекции, помимо ставшей впоследствии классической метрики, задаваемой положительным квадратным корнем из положительного определенной квадратичной дифференциальной формы, Риман рассмотрел также метрическую функцию, определяемую положительным корнем четвертой степени из дифференциальной формы четвертого порядка. Основная идея заключается в том, чтобы заменить метрическую функцию Римана где F(x,dx) — положительная функция, выпуклая и однородная первой степени по дифференциалам. Первым развернутым исследованием в этой области стала диссертация Финслера (1918 г.), поэтому метрические функции указаннного выше вида получили название финслеровых метрик, а пространства, метризованные таким образом, стали называться финслеровыми пространствами.

В 1925 году Синг, Тейлор и Бервальд применили методы тензорного анализа к теории финслеровых пространств. Они ввели более общей метрической функцией ds = F(x, dx) , метрический тензор, ковариантные производные и коэффициенты связности. Теория Бервальда занимает особое положение в геометрии финслеровых пространств. Связность и ковариантная производная были введены Бервальдом так, что нарушалась лемма Риччи, то есть ковариантная производная метрического тензора не обращалась нуль. Несмотря на это, теория Бервальда весьма содержательна, ибо она имеет тесную связь с дальнейшими обобщениями финслеровой геометрии, например, с общей геометрией путей.

В 1934 году Э.Картан развил свою теорию связностей в финслеровых пространствах. В теории Картана была сохранена лемма Риччи. Подход Картана оказался настолько плодотворным, что он преобладал практически во всех последующих исследованиях по геометрии финслеровых пространств.

Замечательный казанский геометр Б.Л.Лаптев развил теорию движений в пространствах финслерова типа с использованием аппарата производной Ли [28, 29], а также внес большой вклад в развитие общей теории пространств опорных элементов [30].

К концу 50-х годов общая теория финслеровых пространств достигла достаточно полного и глубокого развития. Однако вплоть до недавнего времени она не находила систематических применений в теоретической физике. В последние годы число физических приложений финслеровой геометрии резко возросло. Многие физические модели являются фактически финслеровыми структурами на подходящих многообразиях [47, 48, 55, 56, 58, 65, 79, 83, 89, 86]. Кроме того, финслерова геометрия позволяет обобщить различные физические теории. Например, имеется большое количество работ [10], посвященных финслеровым обобщениям теории гравитации [59, 60, 61, 63, 64, 72, 77, 87] и электромагнитиз-ма [48, 49, 55, 62].

В физических приложениях рассмотрение различных типов преобразований играет фундаментальную роль, ибо, согласно теореме Нётер, с каждым преобразованием симметрии теории связано существование законов сохранения [81, 90]. Финслерово-об-общенные физические теории формулируются в терминах касательного расслоения над финслеровым многообразием, поэтому преобразования симметрии таких теорий — это преобразования касательного расслоения [50, 51, 68, 69, 57, 66, 67, 80, 85]. Это обусловливает актуальность и практическую значимость исследований в области теории таких преобразований.

Данная диссертация посвящена изучению инфинитезимальных проективных и аффинных преобразований в касательном расслоении общих пространств путей, а также инфинитезимальных проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований в касательных расслоениях финслеровых пространств.

Цель работы. Целью работы является:

1. Определение структуры векторных полей, порождающих локальные однопараметрические группы проективных и аффинных преобразований в касательном расслоении общих пространств путей.

2. Нахождение структуры векторных полей, порождающих локальные однопараметрические группы проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований в касательном расслоении финслеровых пространств для обширного класса метрик на расслоении.

3. Отыскание необходимых и достаточных условий существования указанных выше преобразований.

4. Выяснение условий, которые накладывает существование в расслоении преобразований исследуемых типов на базовое многообразие.

Научная новизна работы. Данная работа является исследованием в области дифференциальной геометрии расслоенных пространств и их инфинитезимальных преобразований. Научная новизна работы заключается в рассмотрении общей теории проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований в касательном расслоении, где в качестве базы выступает пространство линейных элементов. Результаты работы имеют общетеоретический характер. Доказан ряд фундаментальных теорем. Найдены структуры векторных полей, являющихся инфинитезимальными проективными и аффинными преобразованиями в касательном расслоении общих пространств путей. Решена аналогичная задача для инфинитезимальных проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований в касательном расслоении финслеровых пространств. Определены необходимые и достаточные условия существования всех перечисленных выше типов преобразований. Получены условия, которые налагает существование указанных преобразований на базовое многообразие.

Теоретическое и практическое значение работы. Данная работа является дальнейшим развитием исследований в области геометрии касательных расслоений и ее приложений к теории обобщенных пространств. Она представляет собой вклад в теорию инфинитезимальных преобразований в касательном расслоении обобщенных пространств. Полученные в работе результаты обобщают результаты исследований многих авторов и могут быть использованы для дальнейших исследований в области теории инфинитезимальных преобразований в касательных расслоениях, а также в теоретической физике при исследовании преобразований симметрии финслерово-обобщенных физических теорий, которые приобретают в последние годы все большую актуальность.

Методы исследования. В диссертации используются методы тензорного анализа, аппарат дифференцирования Ли, теория лифтов геометрических объектов с базы в касательное расслоение. Исследования носят локальный характер и ведутся в классе достаточно гладких функций.

Объем работы. Диссертация изложена на 108 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 108 названий.

Заключение.

Целью данной диссертационной работы являлось изучение векторных полей, являющихся инфинитезимальными преобразованиями различных типов в касательном расслоении общих пространств путей и финслеровых пространств. Выделим основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. Получены уравнения проективных и аффинных преобразований в касательном расслоении общих пространств путей, записанные в виде соотношений между полями слоевых тензоров на базе.

2. Определена структура векторных полей, порождающих локальные однопараметрические группы проективных и аффинных преобразований в касательном расслоении общих пространств путей.

3. Даны необходимые и достаточные условия существования проективных и аффинных преобразований в касательном расслоении общих пространств путей,

4. Найдены условия, которые налагает существование в расслоении общих пространств путей проективных и аффинных преобразований на базовое многообразие.

5. Вычислено трехпараметрическое семейство метрических связностей для трехпараметрического семейства метрик на расслоении финслерова пространства, включающего в себя как частные случаи метрики Сасаки, Сато и Яно-Кобаяси. Указан общий вид производной Ли подобных связностей относительно произвольного векторного поля на тотальном пространстве расслоения.

6. Выведены уравнения проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований касательного расслоения финслеровых пространств в терминах полей слоевых тензоров на базе.

7. Определена структура векторных полей, порождающих локальные однопараметрические группы проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований в касательном расслоении финслеровых пространств с метрикой типов Сасаки-Сато и Яно-Кобаяси.

8. Получены необходимые и достаточные условия существования проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований в касательном расслоении финслеровых пространств с метрикой типов Сасаки-Сато и Яно-Кобаяси.

9. Найдены условия, которые налагает существование в расслоениях с метриками типов Сасаки-Сато и Яно-Кобаяси проективных, аффинных, конформных, гомотетических и изометрических преобразований на базовое многообразие.

Данная работа является вкладом в теорию инфинитезимальных преобразований касательных расслоений обобщенных пространств. Полученные в ней результаты носят общетеоретический характер и могут стать основой для дальнейших исследований в этой области.

1. Аминова А.В. О полях тяготения, допускающих группы проективных движений // ДАН СССР. 1971. - Т.197. - №4. -с.807-809.

2. Аминова А.В. Группы проективных и аффинных движений в пространствах общей теории относительности // Тр. Геометр. семин. М.: ВИНИТИ, 1974. Т.6. - с.317 -346.

3. Аминова А.В. Определение бесконечно малых почти проективных преобразований // Гравитация и теория относительности. вып. 13. - Казань, 1976.

4. Аминова А.В. Группы почти проективных движений пространств аффинной связности // Изв. вузов. №4. - 1979.

5. Аминова А.В. О подвижном косоортогональном репере и одном типе проективных движений римановых многообразий // Изв. вузов. Математика. 1982. - №9. - с.69-74.

6. Аминова А.В. Группы преобразований римановых многообразий // Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1990. -Т.22. - с.97-165.

7. Аминова А.В. Псевдоримановы многообразия с общими геодезическими // УМН. 1993. - Т.48. - с.107-159.97

8. Аминов а А.В. Автоморфизмы геометрических структур как симметрии дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1994. - №2. - с.3-11.

9. Арнольд В. И. Математические методы классической механики // М.: Наука, 1989. 472 с.

10. Асанов Г. С., Пономаренко С. Ф. Финслерово расслоение над пространством-временем, ассоциируемые калибровочные поля и связности // Киев, «Штиинца», 1989. 291с.

11. Вагнер В.В. Теория составного многообразия // Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу. 1950. - вып.8. - с.11-72.

12. Вишневский В.В. Пространства над алгебрами, определяемые аффинорами // Дисс. на соискание уч. ст. докт. физ.-мат. наук. Казань. - 1972.

13. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами // Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. 264 с.

14. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика // М: Мир, 1973. 188с.

15. Де Витт B.C. Динамическая теория групп и полей // М.: «Наука», 1987. 288с.

16. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения // М.: Наука, 1986. 718с.

17. Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности // Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965.

18. Егоров И.П. Движения и гомотетии в пространствах Финсле-ра и их обобщения // Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. М. - 1984. - 16. - с.81-126.

19. Егоров И.П., Егоров А.И., Егорова Л.И. Первая лакуна в порядках распределения полных групп гомотетичкских движений в финслеровом пространстве произвольной метрики // Движения в обобщенных пространствах. Пенз. гос. пед. ин-т. - Пенза, 1991. - с.62-85.

20. Каган Ф.И. К теории лифтов для тензорных полей из многообразия в его касательный пучок // Изв. вузов. Математика.- 1969. №9. - с.37-46.

21. Каган Ф.И. О некоторых типах аффинорных структур в касательном пучке дифференцируемого многообразия // Укр. геометр, сб. 1970. - вып. 8. - с.49-68.

22. Каган Ф.И. Римановы метрики в касательном расслоении над римановым многообразием // Изв. вузов. Математика.- 1973. №6. - с.42-51.

23. Каган Ф.И. Аффинные связности на касательном расслоении // Изв. вузов. Математика. 1975. - N2. - с.31-42.

24. Каган Ф.И. Каноническое разложение проективно-киллинго-вых и аффинно-киллинговых векторов на касательном расслоении // Матем. заметки. 1976. - т.19. - №2. - с.247-258.

25. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1 // М. : Наука, 1981.

26. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2 // М. : Наука, 1981.

27. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии // М.: Наука, 1986.

28. Лаптев Б.Л. Инвариантная форма 2-й вариации, полученная дифференцирлованием Ли в пространстве Финслера // Изв. физ.-мат. общества при Казанском ун-те. 1940. - 12. - с.3-8.

29. Лаптев Б.Л. Дифференцирование Ли //В сб.: Алгебра, Топология, Геометрия. Итоги науки. 1965. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1967. - с.429-465.

30. Лаптев Б.Л. Пространство опорных элементов // Дисс. на соискание уч. ст. докт. физ.-мат. наук. Казань. - 1958. Итоги науки. - 1965. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1967. - с.429-465.

31. Никитин Н.Д. Об аффинных и проективных движениях в общих пространствах путей // Движения в обобщенных пространствах. Пенз. гос. пед. ин-т. — Пенза, 1991. - с.141 -145.

32. Подольский В.Г. Движения в касательном расслоении римановых пространств. I // Гравитация и теория относительности. Казань, 1977. - вып.12, - с.131-141.

33. Подольский В.Г. Движения в касательном расслоении римановых пространств. II // Сб. аспир. работ. Точные науки. Физика. Казань, 1977. - часть I. - с.3-10.

34. Подольский В.Г. Движения в касательном расслоении римановых пространств. III // Гравитация и теория относительности. Казань, 1976. - вып. 13. - с.102-115.

35. Подольский В.Г. Инфинитезимальные преобразования в касательном расслоении с метрикой полного лифта и метрикой Сасаки // Изв. вузов. Математика. 1976. - №9. - с. 128-132.

36. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств // М.: «Наука», 1981. 502с.

37. Султанов А.Я. Инфинитезимальные проективные преобразования расслоений линейных реперов со связностью полного лифта // Лобачевский и соврем, геом. Междунар. науч. конф. - Тез. докл. Ч. 1. - Казань, 1992. - с.96- 97.

38. Синг Дж. Л. Общая теория относительности // М.: ИЛ, 1963.

39. Шапуков Б.Н. Автоморфизмы расслоенных пространств // Труды геом. семинара. Казань. - 1986. - 17. - с.84-100.

40. Шапуков Б.Н. Структуры на расслоенных многообразиях и вопросы редукции // Дисс. на соискание уч. ст. докт. физ.-мат. наук. Казань. - 1990. Итоги науки. - 1965. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1967. - с.429-465.

41. Широков А.П. Об одном свойстве ковариантно постоянных аффиноров // ДАН СССР. 1955. - Т. 102. - №3. - с.461-464.

42. Широков А.П. Пространства, определяемые алгебрами // Дисс. на соискание уч. ст. докт. физ.-мат. наук. Казань. -1965. Итоги науки. - 1965. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1967. - с.429-465.

43. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Топология. Геометрия. 1967. - М.,1969. - С.127-188.

44. Широков П.А. Тензорное исчисление // Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1961.

45. Штробель X. О геометрии общерелятивистского пространства состояний частицы // Киев, 1971. Препринт, Ин-т те-орет. физики АН УССР: ИТФ.71 - 132р. - 23с.

46. Aminova A.V. On skew-orthonormal frame and parallel symmetric bilinear form on Riemannian manifold // Tensor. 1987. - V. 45. - pp.1-13.

47. Asanov G.S., Stavrinos P.C. Finslerian deviations of geodesies over tangent bundle // Rep. on Math. Phys. 1991. - V. 30. - pp.63-69.

48. Asanov G.S. Gauge-covariant stationary curves on Finslerian and jet fibrations and gauge extention of Lorentz force // Tensor. -1991. -V. 50. pp.122-137.

49. Asanov G.S., Kawaguchi T. Anomalously-Finslerian corrections to speed-of-light given by metric tensor gij(x,x) = + f3l{lj // Tensor. 1991. - V. 50. - pp. 170-176.

50. Beil R.G. Finsler Gauge Transformations and General Relativity // Int. J. of Teor. Phys. 1992. - V. 31. - No. 6. - pp.1025-1044.

51. Davis W.R., Moss M.K. Conservation laws in general relativity, II. Space-times admitting certain symmetry properties more general than motion // Nuovo Cimento 1965. - V. 38. - N. 4. - p. 15581569.

52. De Facio В., Retzloff D.G. Cotangent bundle approach to noniner-tial frames // J. of Math. Physics. 1980. - 21. - pp.751-757.

53. Eisenhart L.P. Non Riemannian geometry // Amer. Math. Soc. Coll. Publ., 1927.

54. Ehresmann Ch. Les connexions infinitesimales dans u espase fibre differentiable // Coll. de Topologie. Bruxelles. - 1950. - 29-55.

55. Hsu J.P. Geometrization of Electromagnetism and Gravity Based on a Finsler Space-time with Gauge Symmetry // Nuovo Cimento.- 1993. V. 108B. N. 2. - pp.183-195.

56. Ikeda S. A differential geometrical consideration on a "nonlocal" field // Rep. Math. Phys. 1980. - V. 18. - pp.103-110.

57. Ikeda S. On the conservation laws in the theory of fields in Finsler spaces // J. Math. Phys. 1981. - 22(6). - pp.1211-1214

58. Ikeda S. On the theory of fields in Finsler spaces //J. Math. Phys.- 1981. 22(6). - pp.1215-1218.

59. Ikeda S. On the Finslerian metrical structures of the gravitational field // An. §ti. ale Univ. "Al. I. Cuza" din Ia§i Tomul XXX, s. I a., Matematica. 1984. - 4. - pp.35-38.

60. Ikeda S. On the intrinsic behavior of the internal variable in the Finslerian gravitational field //J. Math. Phys. 1985. - 25(5). -pp.958-960.

61. Ikeda S. On the Theory of Gravitational Field Nonlocalized by the Internal Variable // Nuovo Cimento. 1987. - V.98B. - N. 2. -pp.158-164.

62. Ikeda S. Some remarks on the Lagrangian theory of electromagnetism // Tensor. 1990. - V. 49. - pp.204-208.

63. Ikeda S. On the theory of gravitational field in Finsler spaces // Tensor. 1991. - V. 50. - pp.256-262.

64. Ikeda S. On the theory of gravitational field in Finsler spaces // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1992. - 37(6). - pp.483-489.

65. Ishikawa H. Correspondence between geodesies in a tangent bundles and spinning particles // Phys. Lett. A. 1980. - 76A. - pp.369-370.

66. Izumi H. Conformal transformations of Finsler spaces. II. An h-conformally flat Finsler spaces // Tensor. 1980. - V. 34. - No. 3.- pp.337-359.

67. Izumi H. On * P-Finsler space of scalar curvature // Tensor. 1982.- V. 38. pp.220-222.

68. Kazunari Y., Masao H. On invariant tensors of projective or conformal changes of Finsler metrics // Sci. Repts Kagoshima Univ.- 1989. N. 38. - pp.57-66.

69. Kazunari Y. On infinitezimal conformal transformation of Finsler spaces // Sci. Repts Kadoshima Univ. 1990. N. 3. pp.13-21.

70. Klepp F.C., Stavre P. On semi-concircular and semi-coharmonic invariants of the Finsler geometry // Col. Math. Soc. 1984. - V. 46. - p.687-708.

71. Matsumoto M. On Finsler spaces with curvature tensors of some special forms // Tensor. 1971. - 22. - №2. - pp.201-204.

72. Matsumoto M. On Einstein's gravitational field equation in a tangent Riemannian space of a Finsler space /'/ Rep. Math. Phys.- 1975. 8. - №. - pp.103-108.

73. Matsumoto M. Theory of extended point transformations of Finsler spaces I. Fundamental theorem of affine motions // Tensor. 1987.- V. 45. pp. 109-115.

74. Matsumoto M. Theory of extended point transformations of Finsler spaces I. Fundamental theorem of projective motions // Tensor. -1988. V. 47. - pp. 203-214.

75. Matsumoto M., Okubo K. Theory of Finsler spaces with m-root metrics: connections and main scalars // Tensor. 1995. V. 56.pp.93-104.

76. Miron R., Izumi H. Invariant frame in generalized metric space // Tensor. 1985. - V. 42. - pp.272-282.

77. Miron R., Watanabe S., Ikeda S. Some connections on tangent bundle and their applications to the General Relativity // Tensor.- 1987. V. 46. - pp.8-22.

78. Miron R. Spaces with higher order metric structures // Tensor. -1993. V. 53. - pp.1-23.

79. Miron R., Tavakol R. Geometry of space-time and generalized Lagrange spaces // Publ. Math. Debrecen. 1994. - 44/1-2 -pp.167-174.

80. Nagaraja H.G., Bagewadi C.S., Izumi H. On infinitesimal /i-confor-mal motions of Finsler metric // Proc. Indian Acad. Sci. 1995. -V. 105. - No. 1. - pp.33-40.

81. Noether E. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. 1918. - 171.

82. Pinde H.D., Pandey J.P. Some theorems on special projective motion in a special symmetric Finsler spaces // Istanbul. Univ. fen fak. mecm. A. 1989. - V. 46. - pp.55-60.

83. Roxburgh I.W. Post-Newtonian Limit of Finsler Space Theories of Gravity and Solar System Tests // Gen. Relativ. and Grav. 1992.- V. 24. No. 4. - pp.419-431.

84. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Rie-mannian manifolds // Toholcu Math. J. 1958. - 10. - №3. -pp.338-354.

85. Srivastava L.S. Motion in a special projective symmetric Finsler space // Acta Cien. Indica. Math. 1990. - 16. - N 3. - pp.293304.

86. Stavrinos P.С. Tidal forces in vertical spaces of Finslerian Space-Time // Rep. Math. Phys. 1992. - V. 31. - No. 1. - pp. 1-4.

87. Stavrinos P.C., Kawaguchi H. Deviation of Geodesies in the Gravitational Field of Finslerian Space-Time // Memoirs of Shonan Ins. of Tech. 1993. - V. 27. - No. 1. - pp.35-40.

88. Tanno Sh. Infinitesimal isometries on the tangent bundles with complete lift metric // Tensor. 1974. - 28. - pp. 139-144.

89. Toshihiro I. Liftings of infinitesimal transformations of a Riemanni-an manifold to its tangent bundle, with applications to dynamical systems // Tensor. 1977. - 31. - pp.98-102.

90. Vinogradov A.M. Local Symmetries and Conservation Laws // Acta Appl. Math. 1984. - 2. - pp.21-78.

91. Watanabe S., Ikeda S., Ikeda F. On a metrical Finsler connection of a generalized Finsler metric g^ = e2a^x'y^fij(x) j j Tensor. 1983. - V. 40. - pp.97-102.

92. Yano K. The theory of Lie derivatives and its applications // Amsterdam: North-Holland, 1957.

93. Yano K., Ledger A. Linear connections on tangent bundles // J. London Math. Soc. 1964. - v.39, - №3 - pp.495-500.

94. Yano K., Kobayashi Sh. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles I. General theory // J. Math. Soc. Japan. 1966. - v.18. - №2 - pp.194-210.

95. Yano K., Kobayashi Sh. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles II. Infinitesimal automorphisms // J. Math. Soc. Japan. 1966. - v.18. - №3 - pp.236-246.

96. Yano К. Ishihara Sh. Horisontal lifts of tensor fields and connections to tangent bundles //J. Math, and Mech. 1967. - v. 16. - №9. -pp.1015-1030.

97. Аминова А. В., Даныпин А. Ю. Симметрии гамильтоно-вых систем со связями // Тез. докл. IX Междунар. коллокв. «Современный групповой анализ. Методы и прил.» Нижн. Новг. - 1992. - с.5.

98. Aminova А. V., Danshin A. Yu. Almost projective motions as symmetries of Hamiltonian systems with constrains // Abstr. of Int. Conf. "Geometrization of Physics" Kazan, 1993 - p.4.

99. Aminova A. V., Danshin A. Yu. Finsler approach to the geometrization of gravity and electromagnetism // Abstr. of Int. Conf. "Geometrization of Physics" Kazan, 1993 - p.5.

100. Аминова А. В., Даныпин А. Ю. Финслеров подход к геометризации г равитациии и электромагнетизма // In: "Geometrization of Physics". Kazan. - 1994. - pp. 12-17.

101. Даныпин А. Ю. Динамические системы с однородными лагранжианами и их инфинитезимальные преобразования симметрии // Тезисы докладов междунар. конф. «Геометризация физики II». Казань, 1995.

102. Даныпин А. Ю. Финслерова структура мировой функции Синга // Тезисы докладов междунар. конф. «Геометризация физики II». Казань, 1995.

103. Даныпин А. Ю. Инфинитезимальные проективные преобразования в касательном расслоении финслеровых многообразий // Изв. вузов. Математика. 1995. - №7. - с.12-21.

104. Даныпин А. Ю. Инфинитезимальные проективные преобразования с естественным лифтом связности общего пространства путей // Изв. вузов. Математика. 1997. - №9 - с.8-12.

105. Даныпин А. Ю. Инфинитезимальные конформные преобразования в касательном расслоении финслеровых многообразий // Изв. вузов. Математика. 1998, - №7. - с.11-17.