N-спинорное исчисление в реляционной теории пространства-времени тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

^ Соловьёв Антон Васильевич^

ЛГ-СПИНОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В РЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена в Отделе Теоретических Проблем РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ю.С. Владимиров.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Г.Г. Михайличенко. доктор физико-математических наук, профессор В.Г. Кречет.

Ведущая организация: Российский Университет Дружбы Народов.

Защита состоится " 2,0 " \Mb\cSt_1996 года в часов нг

заседании диссертационного совета К 041.04.02 во ВНИИМС по адресу 117313, г.Москва, ул.Марии Ульяновой, д.З, кор. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВНИИМС.

Автореферат разослан " 1Ч-" М/х^Х_1995 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

М.И. Калини

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. С момента открытия в 1913 году Э. Картаном спиноры привлекают к себе неизменный интерес. В математическом отношении они ознаменовали переход к изучению новых — двузначных — представлений ортогональных и псевдоортогональных групп. Кроме того, оказалось, что традиционное тензорное исчисление может рассматриваться как частный случай более общего спинорного исчисления. В физике спиноры начали широко использоваться после того как на исходе двадцатых годов В. Паули и П. Дирак обнаружили, что волновая функция электрона имеет спинорный характер. Позднее было показано, что сшшорнымн полями описываются все частицы, имеющие полуцелый спин (фермионы). Например, в современных калибровочных теориях элементарных частиц считается, что лепто-ны и кварки являются квантами соответствующих фундаментальных спинорных полей.

В последнее время все большее внимание начинает уделяться многомерным теориям, объединяющим известные виды физических взаимодействий. Прежде всего здесь следует упомянуть геометрические модели типа теории Калуцы-Клейна и теорию суперструп. В этой связи стали актуальными исследования по теории спиноров в многомерных неевклидовых пространствах и по различным ее обобщениям. В частности, сегодня любая суперсимметричная теория просто немыслима без так называемых грассмановых (антикоммутирующих) спиноров — важного обобщения картановских (коммутирующих) спиноров.

В недавних работах группы Ю.С.Владимирова, посвященных построению реляционной теории пространства-времени и физических взаимодействий на основе иерархии бинарных систем комплексных отношений симметричных рангов, был найден совершенно новый канал обобщений двухкомпонентных вейлевских спиноров, позволивший ввести понятие •ДТ-компонентного спинора при нечетных N. Указанное обстоятельство свидетельствует о необходимости разработки возможно более полной теории таких обобщенных Л^-компонентных спиноров.

Цель диссертационной работы. Основной задачей, поставленной и решаемой в данной диссертации, является систематическое развитие математического аппарата ^-компонентных спиноров, исходя из теории бинарных систем комплексных отношений ранга (ЛЧ-1, ЛЧ-1).

Научная новизна и практическая ценность работы. В диссертации впервые построена алгебраическая теория ./У-компонентных спиноров и установлена ее связь с финслеровой геометрией. Дано явное описание гомоморфизма группы изометрий пространства ^-компонентных спиноров в группу изометрий Аг2-мерного плоского финслерова пространства с метрической функцией, определяемой однородной алгебраической формой Лг-ой степени. Выведены БЦЛГ, С)-ковариантные уравнения для свободных Лг-спинорных частиц в импульсном представлении. Показано, что эти Лг2-мерные уравнения нетривиальным образом объединяют в себе 4-мерные уравнения Дирака и Клейна-Фока. Обнаружен 9-мерный финслеров аналог алгебры Даффина-Кеммера и найдена его конкретная матричная реализация.

Полученные результаты могут быть использованы исследовательскими группами, занимающимися разработками в области теории физического пространства-времени и взаимодействий элементарных частиц на физическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова, в Отделе теоретических проблем РАН, в Российском университете Дружбы Народов и в других научно-исследовательских учреждениях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 4-ой, 5-ой и 6-ой летних школах по теории физических структур (Пущино, 1989; Львов, 1990; Пущино 1991), 10-ом Всесоюзном со-вещаниии «Гравитация и электромагнетизм» (Минск, 1991), 8-ой Российской гравитационной конференции (Пущино, 1993), международной школе-семинаре «Многомерная гравитация и космология» (Ярославль, 1994), 1-ой Ионовской школе-семинаре по основаниям теории физического пространства-времени (Ярославль, 1995), а также, неоднократно, на научных семинарах Отдела теоретических проблем РАН (Москва), Российского гравитационного общества (Москва), «Геометрия и физика» (физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова).

Публикации. По теме диссертации опубликовано девять работ.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка цитированной литературы из 93 наименований. Общий объем диссертации составляет 99 страниц текста, подготовленного в системе компьютерной верстки СугТиС-ешТ¿¡X с использованием кириллических шрифтов семейства ЬН.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении охарактеризованы существующие в настоящее время направления исследований спиноров, обоснована актуальность темы диссертации и сформулированы ее цели.

Первая глава посвящена изложению основных положений теории бинарной системы комплексных отношений ранга (3,3) и выявлению ее связей с теорией двухкомпонентных спиноров.

В §1.1 сделан краткий обзор наиболее важных результатов теории бинарных физических структур и разъяснено понятие бинарной системы комплексных отношений (БСКО).

В § 1.2 показано, что БСКО ранга (3,3) естественным образом приводит к рассмотрению сразу трех 2-мерных комплексных линейных пространств: симплектического, унитарного и симплектического унитарного. Обсуждены геометрические свойства этих пространств и первое из них отождествлено с пространством двухкомпонентных вейлевских спиноров.

В § 1.3 из двух вейлевских спиноров построен вектор 4-мерного псевдоевклидова пространства с сигнатурой метрики (Н----) и выяснено,

что его скалярный квадрат равен квадрату модуля скалярного произведения указанных спиноров. В рамках БСКО ранга (3,3) дано подробное описание эпиморфизма: 8Ц2, С) —► 0+(1,3).

В § 1.4 из условия, задающего естественный полулинейный автоморфизм 2-мерного симплектического унитарного пространства, выведено 4-мерное уравнение Дирака для свободного массивного фермиона в импульсном представлении. Отдельно рассмотрено уравнение Вейля для безмассового фермиона.

В § 1.5 произведено овеществление обсужденных в § 1.2 пространств и их изометрий. Овеществлением пространства вейлевских спиноров оказалось 4-мерное действительное линейное пространство с заданными на нем одновременно двумя разными симплектическими скалярными умножениями. Последнее отождествлено с пространством майора-новских 4-спиноров. Дано явное описание группы изометрий Ма_]'(4) этого пространства и получен ряд изоморфизмов с участием групп БЦ2, С), Би(2), 11(2), Мгу(4), 0(4) и Бр(4, К). Кроме того, введены необходимые для дальнейшего изложения чисто мнимые матрицы Дирака в майорановеком представлении.

Вторая глава посвящена систематическому развитию теории трех-компонентных спиноров в рамках БСКО ранга (4,4). Она строится по образу и подобию теории, изложенной в первой главе.

В §2.1 показано, что БСКО ранга (4,4) автоматически приводит к пространству С3 с заданным на нем антисимметричным трилинейным функционалом — обобщенным симплектическим скалярным умножением. Элементы этого пространства названы 3-компонентными спинорами. Исследованы геометрические свойства пространства 3-компо-нентных спиноров. В частности, установлено, что его группой изоме-трий является группа 5Е(3,С). Кроме того, рассмотрены возникающие в рамках БСКО ранга (4,4) 3-мерные унитарное и обобщенно-симплектическое унитарное пространства.

В § 2.2 с помощью трех 3-компонентных спиноров построен 9-мерный действительный вектор, принадлежащий финслеровому пространству с метрической функцией, определяемой алгебраической формой 3-ей степени и показано, что его «скалярный куб» равен квадрату модуля обобщенного скалярного произведения упомянутых 3-компонентных спиноров. В явном виде построен эпиморфизм группы БЦЗ, С) на подгруппу Ь(9) группы изометрий 9-мерного плоского финслерова пространства, обобщающий эпиморфизм БЦ2,С) —+ 0^(1,3).

В §2.3 из условия, задающего полулинейную по обоим аргументам бинарную операцию, на 3-мерпом обобщенно-симплектическом унитарном пространстве, выведено БЦЗ, С)-ковариантное 9-мерное уравнение для свободной массивной 3-спинорной частицы в импульсном представлении. Оно приведено к форме уравнения Дирака, причем оказалось, что соответствующие «12х12-матрицы Дирака» удовлетворяют ранее не встречавшемуся в литературе 9-мерному финслеровому аналогу алгебры Даффина-Кеммера. Отдельно рассмотрено уравнение для безмассовой 3-снинорной частицы, обобщающее уравнение Вей ля на финслеров случай.

В §2.4 произведено овеществление обсужденных в §2.1 пространств и их изометрий. Овеществлением пространства 3-компонентных спиноров оказалось 6-мерное действительное линейное пространство с заданными на нем одновременно двумя разными обобщенными симплек-тическими скалярными умножениями. Последнее названо пространством майорановских 6-спиноров. Дано явное описание группы изометрий Ма^б) этого пространства и установлен ряд изоморфизмов с

участием групп БЦЗ, С), Би(3), и(3), М^(6), 0(6) и Бр(6, Я).

В §2.5 осуществлена размерная редукция к 4-мерным величинам в основных соотношениях второй главы. Показано, что в результате такой редукции уравнение для массивной 3-спинорной частицы расщепляется на стандартные 4-мерные уравнения Дирака и Клейна-Фока. Установлено мультипликативное разложение общего элемента группы Ь(9), состоящее из преобразований лоренцева 4-вектора, майорановского 4-спинора, абелевых гшалогов преобразований 1-суперсимметрии, дилатаций и 2-мерных евклидовых поворотов.

В третьей главе на основе БСКО ранга (5,5) и по аналогии с предыдущими главами построена алгебраическая теория четырехкомпонент-ных спипоров.

В § 3.1 показано, что в рамках БСКО ранга (5,5) естественным образом возникает пространство С4 с заданным на нем 4-линейным обобщенным симплектическим скалярным умножением. Элементы этого пространства названы 4-компонентными спинорами. Исследована геометрия пространства 4-компонентных спиноров. В частности, установлено, что его группой изометрий является группа ЭЦ4, С). Кроме того, рассмотрены свойства 4-мерного унитарного и обобщенно-симплектического унитарного пространств.

В § 3.2 при помощи четырех 4-компонентных спиноров составлен действительный 16-вектор, принадлежащий финслеровому пространству с метрической функцией, определяемой алгебраической формой 4-го порядка и показано, что его «четвертая степень» равна квадрату модуля обобщенного скалярного произведения упомянутых 4-компонентных спиноров. Построен эпиморфизм группы БЦ4, С) на подгруппу Ц16) группы изометрий 16-мерного плоского финслерова пространства.

В §3.3 из условия, задающего полулинейную по каждому из трех своих аргументов тернарную операцию на 4-мерном обобщенно-симпле-ктическом унитарном пространстве, выведено БЬ(4, С)-ковариантное 16-мерное уравнение, описывающее свободную массивную 4-спинорную частицу в импульсном представлении. Отдельно проанализировано уравнение для безмассовой 4-спинорной частицы в финслеровом пространстве.

В §3.4 осуществлена размерная редукция к 9-ти, а затем и к 4-мерным величинам в основных соотношениях третьей главы. Показано, что в результате выполнения первого этапа редукции уравне-

ние для массивной 4-сшшорной частицы расщепляется на БЬ(3, С)-ковариантное 9-мерное уравнение, описывающее свободную 3-спинор-ную частицу, и 9-мерный финслеров аналог уравнения Клейна-Фока. После второго этапа размерной редукции возникают 4-мерное уравнение Дирака и два 4-мерных уравнения Клейна-Фока. Произведено мультипликативное разложение общего элемента группы Ц16), включающее в себя преобразования финслерова 9-вектора, майора-новского 6-спинора, 16-мерные абелевы аналоги преобразований N=1-суперсимметрии, дилатации и 2-мерные евклидовы повороты.

В §3.5 показано, что антисимметричное 4-линейное скалярное произведение 4-компонентных спиноров может рассматриваться как симметричная билинейная форма на пространстве С6. Обнаружено, что картановские редуцированные спиноры 6-мерного евклидова пространства и твисторы Пенроуза являются двумя частными случаями обсуждаемых 4-компонеьгных спиноров.

В четвертой главе, исходя из БСКО ранга развита об-

щая алгебраическая теория ТУ-компопентных спиноров и выявлены ее связи с геометрией финслеровых пространств специального типа.

В §4.1 показано, что в рамках БСКО ранга (Л'+1,ЛГ+1) естественным образом возникает пространство С" с заданным на нем антисимметричным ЛГ-линейным функционалом — обобщенным симплектиче-ским скалярным умножением. Элементы этого пространства названы Л"-спинорами. Изучена геометрия пространства ^-спиноров. Установлено, что его изометрии образуют группу БЦЛ'', С). Помимо этого, исследованы ]У-мерное унитарное и обобщенно-симплектическое унитарное пространства.

В § 4.2 при помощи ЛГ-спиноров, взятых в количестве N, состазлен действительный Лг2-вектор, принадлежащий финслеровому пространству с метрической функцией, определяемой алгебраической формой ЛГ-го порядка и показано, что его «]У-ая степень» представляет собой квадрат модуля обобщенного скалярного произведения этих ЛГ-спиноров. Построен эпиморфизм группы БЦ./У', С) на подгруппу Ь(Лг2) группы изометрий Лг2-мерного плоского финслерова пространства.

В §4.3 из условия, задающего полулинейную по каждому из аргументов N — 1-арную операцию на ^-мерном обобщенно-симплектичес-ком унитарном пространстве, выведено БЬ(1У, С)-ковариантное Лг2-мерное уравнение, описывающее свободную массивную А^-спинорную

частицу в импульсном представлении. Отдельно проанализировано уравнение для безмассовой ДТ-спинорной частицы в финслеровом пространстве.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

В приложении 1 приведена общая параметризация элементов произвольной матрицы из группы Ц9).

В приложении 2 выписаны 12х12-матрицы, замыкающие 9-мерный финслеров аналог алгебры Даффина-Кеммера.

В приложении 3 представлен явный вид матрицы, принадлежащей группе Ма^б).

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. В рамках БСКО ранга (ЛЧ-1,Д/Ч-1) изучены свойства ТУ-мерного комплексного обобщенного симплектического пространства, снабженного антисимметричным IV-линейным «скалярным умножением». Элементы этого пространства названы Аг-спинорами. Построена алгебраическая теория ТУ-спиноров. В частности, построен эпиморфизм группы БЦДГ, С) на подгруппу ЦЛ/'2) группы изометрий ДГ2-мерного плоского финслерова пространства с метрической функцией, определяемой алгебраической формой ДГ-ой степени.

2. Установлены БЦ./У, С)-ковариантные уравнения, описывающие свободные массивные и безмассовые ДГ-спинорные частицы в импульсном представлении.

3. Путем введения дополнительных зависимых компонент волновой функции массивной 3-спинорной частицы соответствующее БЦЗ, С)-ковариантное уравнение удалось преобразовать к форме уравнения Дирака (ра6а - М)Ф = 0 (а = 07В). Показано, что 12х12-матрицы 6а удовлетворяют 9-мерному финслеровому аналогу алгебры Даффина-Кеммера.

4. Обнаружено, что при переходе к 4-мерному импульсному пространству БЬ(3, С)-ковариантное уравнение для массивной 3-спинорной частицы расщепляется на стандартные уравнения Дирака и Клейна-Фока.

5. Дано явное матричное описание группы Ц9). Найдено мультипликативное разложение общего элемента этой группы, включающее в

себя преобразования лоренцева 4-вектора, майорановского 4-спинора, абелевы аналоги гх1>еобразований N=l-cynepcHMMeTpnn, дилатации и 2-мерные евклидовы повороты.

6. Введено понятие майорановского 6-спинора как элемента пространства, получающегося в результате овеществления пространства комплексных З-сшшоров. Исследована геометрия пространства майо-рановских 6-спиноров и дано явное описание группы Maj(6) его изоме-трий. Установлен ряд изоморфизмов с участием этой группы, в частности, показано, что SU(3) = Maj(6)nO(G)flSp(6,R).

7. Произведено мультипликативное разложение общего элемента группы L(16), включающее в себя преобразования финслерова 9-векто-ра, майорановского 6-спинора, 16-мерные абелевы аналоги преобразований N=l-cynepciiMMeTpiffl, дилатации и 2-мерные евклидовы повороты.

8. Показано, что при переходе к 9-мерному импульсному пространству SL(4, С)-ковариантное уравнение для массивной 4-спинорной частицы расщепляется на SL(3, С)-ковариантное уравнение, описывающее свободную 3-спинорную частицу, и 9-мерное финслерово обобщение уравнения Клейна-Фока.

9. Установлена связь между 4-компонентными спинорами, 6-мерными редуцированными спинорами Картана и твисторами Пенроуза.

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты, приводимые в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Владимиров Ю.С., Соловьев A.B. Физическая структура ранга (4,4; б) и трехкомпонентные спиноры // Вычислительные системы. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО АН СССР, 1990. — Вып. 135. — С. 44-66.

2. Соловьев A.B. К теории бинарных физических структур ранга (5,5; б) и выше // Там же. — С. 67-77.

3. Владимиров Ю.С., Соловьев A.B. Обобщенные уравнения Дирака для свободных частиц в бинарной геометрофизике. I. Структура ранга (3,3; б) // Изв. вузов. Физика. — 1992. — Т.35, №6. — С. 51-55.

4. Владимиров Ю.С., Соловьев А.В. Обобщенные уравнения Дирака для свободных частиц в бинарной геометрофизике. II. Структура ранга (4,4; б) // Там же. — С. 56-59.

5. Владимиров Ю.С., Соловьев А.В. Бинарное многомерие и теория Калуцы-Клейна // Тезисы докладов 8-ой Российской гравитационной конференции. — М., 1993. — С. 25.

6. Владимиров Ю.С., Соловьев А.В. Группа SL(3, С) и преобразования 9-мерных векторов // Тезисы докладов международной школы-семинара «Многомерная гравитация и космология». — М., 1994. — С. 9.

7. Соловьев А.В. SL(3, С)-ковариантиые геодезические в бинарной геометрофизике // Там же. — С. 38.

8. Соловьев А.В. Группа SL(4, С) в бинарной геометрофизике // Тезисы докладов международной школы-семинара «Основания теории гравитации и космологии». — М., 1995. — С. 61.

9. Solov'yov А. V. On SL(3, C)-covariant spinor equation and generalized Dnffin-Kemmer algebra // Gravitation & Cosmology. — 1995. — Vol.1, №3. — P. 255-257.