Функциональный деформационный подход к гравитации, гамильтоновым и квантовым системам тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

V од

на правах рукописи

2 7 ОКТ 1998

Арынгазин Аскар Канапьевич

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ДЕФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОД К ГРАВИТАЦИИ, ГАМИЛЬТОНОВЫМ И КВАНТОВЫМ СИСТЕМАМ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Республика Казахстан Алматы 1998

Работа выполнена в Карагандинском государственном университете им.Е.А.Букетова.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бактыбаев К.Б.

доктор физико-математических наук, профессор Чечин Л.М.

доктор физико-математических наук, в.н.с. Руськин В.И.

Ведущая организация:

Томский Государственный Университет, Томск, РФ

Защита состоится 30 сентября 1998 г. в 15.00 часов на заседании Диссертационного Совета Д 14 А.01.11 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора паук при Казахском Государственном Национальном Университете имени Аль-Фараби по адресу: 480012 Республика Казахстан, г.Алматы, ул. Толе би, 96, физический факультет КазГНУ, ауд.212.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГНУ им.Аль-Фараби.

Автореферат разослан "ДГ " ¿¿Ь 1993 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета к.ф.-м.н., доцент

. Аскарова А.С.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Начало 90-х годов характеризуется резко возросшим интересом и активными разработками в следующих областях: 1. Квантовая теория гравитации и квантовая механика. 2. Топологические квантовые теории поля. 3. Деформации алгебр Ли. 4. Хаос в динамических системах. Данные направления исследований являются одними из наиболее актуальных и имеющих приоритетный характер. Тематика диссертации имеет непосредственное отношение к исследованиям в данных областях.

1. С момента создания понятий и аппарата квантовой механики анализ ее положепий сопровождался рядом проблем фундаментального характера. К их числу относят следующие проблемы: процедура квантования классических систем, нелокальный характер квантовой механики, статистический характер квантовой механики, теория измерений, несовместимость стандартной формулировки квантовой механики и теории гравитации. Первые четыре проблемы рассматривались в разное время и их значение усилилось до решающего характера в связи с разработкой квантовой гравита-шш. Результаты этих исследований мотивируют развитие новых подходов и обобщений стандартной формулировки квантовой механики. В последнее время развиваются несколько подходов, служащих решению различных внутренних проблем квантовой механики. Мы выделим следующие подходы: подход суммирования по историям, нелинейное обобщение Вай-нберга, Ли-изотопический деформационный подход (адронная механика), функциональный подход к квантовой механике па фазовом пространстве. Последние два подхода разрабатываются в представленной диссертации.

Основной контекст исследований в области Лн-изотопических обобщений квантовой механики состоит в том, чтобы включить в рассмотрение нега-мильтоновы эффекты посредством дополнительного эрмитова оператора Т. Квантово-механическая система при этом описывается двумя операторами: гамильтонианом Н., ответственным за свободную часть и потенциальную часть взаимодействия, и Ли-изотопическим элементом Г, ответственным за возможную непотенциальную (нелокальную, контактную, неунитарную) часть взаимодействия. Адронная механика является операторной деформацией квантовой механики. Использование модифицированных коммутационных соотношений, к числу которых относится Ли-изотопическое обобщение, имеет место в формализме квантовых групп (квантовых деформаций алгебр Ли), активно изучаемых в последнее время, и при мойаловской деформации скобок Пуассона. Особый интерес формализм адронной механики, позволяющий естественным образом включить в рассмотрение неунитарную эволюцию, вызывает в связи с описанием эффектов квантовой

гравитации, в которой эволюция системы оказывается существенно неунитарной. В частности, Ли-изотопический (Ли-допустимый) подход использовался в недавних работах Д.Эллиса и др. в аспекте изучения следствий теории некритических струн для модификации квантовой механики. Также, формализм адронной механики был развит в приложении методов неравновесной квантовой статистической механики в цикле работ И.Пригожилым и др. и Фронтэ и др. в начале 80-х гг. Приложения адронной механики в теории рассеяния ведут к построению непотешдаальной теории рассеяния, актуальность которой обосновывается необходимостью теоретического описания различных процессов, например, адронизации кварков, в которых проявляются эффекты нелокальности и неунитарности. В целом, предметом Ли-изотопического подхода является изучение особого типа деформаций стандартных математических объектов и физических теорий, а именно, деформаций, сохраняющих алгебраическую структуру (свойство функториальности). Естественно, этот класс деформаций является выделенным и его изучение представляет несомненный интерес и актуальность. Фазово-пространственная формулировка квантовой механики, начиная с оригинальных работ 1927-1949 гг. Вейля, Вигнера и Мойала, которые были мотивированы очевидной причиной реализовать квантовую механику как расширенную версию гамильтоновой механики, а не как несколько резкий шаг к теории операторов, действующих на гильбертовом пространстве, теперь имеют особую актуальность по крайней мере по двум главным причинам. Первая причина состоит в том, что квантовая механика в фазовом пространстве представляет пример теории с некоммутативной геометрией, весьма активно развивающейся в последнее время. Вторая причина состоит в том, что возникающий в результате формализм аналогичен гамильтоновой формулировке классической механики и могут быть использованы методы изучения гамильтоновых систем для изучения квантово-мехаиического хаоса, на который в последнее время приходится пик интереса.

2. Топологические квантовые теории поля являются одним из новых направлений в теоретической физике, активно развиваемым с 1988 г. (Э.Виттен). В частности, результаты физических исследований топологических членов в калибровочных теориях поля (инстантонов) привели к созданию математического аппарата изучения топологии четырехмерных многообразий (теория Дональдсона). Представленный в диссертации функциональный Б РСТ-подход к гамильтоновым системам целиком относится к области исследований топологических квантовых теорий поля. БРСТ-подход является одним из наиболее мощных методов построения и анализа когомологических (топологических) квантовых теорий поля, являющихся

объектом весьма интенсивного изучения. В качестве резюме по данному направлению исследований можно сказать, что функциональный БРСТ-метод открыл новые фундаментальные аспекты в изучении гамильтоно-вых систем. Исследования в этом направлении являются весьма актуальными ввиду возможности использования теоретико-полевых функциональных методов для изучения эргодичности, хаоса и анализа интегрируемости гамильтоновых систем.

3. Развитие теории квантоных алгебр берет пачало с работ 1986-1990 гг. Дринфельда, Джимбо, Фаддеева, Тахтаджана, Решетихина. Квантовые алгебры рассматриваются как деформации стандартных (универсальных обертывающих) алгебр Ли. Обратим внимание, что квантовые алгебры являются частными случаями Ли-допустимых алгебр, как показано в 1991 г. Яннуссисом и др. Исследования в области квантовых алгебр и их приложений активно продолжаются в последпее время в рамках развития общей теории деформаций матричных групп Ли, теории представлений квантовых групп, деформированных версий пространств, анализа физических теорий (классическая механика, теория относительности, квантовая механика, теория поля) с деформированными симметриями и/или на фоне деформированных пространств. В этой связи отметим, что формализм Ли-изотопического обобщения естественно относится к классу деформационных теорий. Разработка ç-деформировашюго осциллятора в фазовом пространстве включает в себя результаты изучения как фазово-пространственной формулировки квантовой механики, так и квантовых групп и является новой и актуальной постановкой проблемы.

4. Развитие изучения бифуркации и хаоса в широком спектре областей берет свое начало в классической гамильтоновой механике, в которой большое количество систем обнаруживает неустойчивое поведение с признаками сильно неупорядоченной динамики (хаос) при переходе параметров нелинейной задачи через критическое (бифуркационное) значение. Классические результаты Пуанкаре, Колмогорова, Арнольда, Мозера и Синая в области хаоса динамических систем привели к выделению этого круга задач в отдельную область исследований, значение которой существенно возросло с развитием численных методов решения и широким привлечением компьютеров. Особая роль в этой области отводится разработке и использованию строгого математического аппарата для описания богатого мира нелинейных явлений, от нелинейного маятника до нейронных сетей. В настоящее время в этой области активно привлекаются методы статистической физики, функционального интеграла, суперсимметрии. Функциональный подход к гамильтоновым системам имеет важное значение пе только в фундаментальном аспекте как подход, позволяющий глубже изучить свой-

ства динамических систем на фазовом пространстве, но и в прикладном аспекте. Эти два аспекта являются исключительно важными и актуальными с точки зрения развития теоретико-физического и математического аппарата для исследования эргодичности, явлений перемешивания и хаоса в классических динамических системах и явления турбулентности в жидкостях.

Исследования в области анализа феноменологических следствий деформаций метрики Минковского, вектор но-неметрической и финслеровой теории гравитации и полей на их фоне представляют особый интерес и актуальность в аспекте развития дифференциально-геометрического аппарата обобщенных теорий и проверки основ специальной и общей теории относительности.

Цель работы.

Представленные выше актуальные проблемы объединяются темой, предметом изучения которой является функциональный и деформационный подходы к динамическим системам, как к классическим, так и к квантовым.

Целью представленной диссертации является построение и разработка обобщенных теорий на основе функционального и деформационного подходов и исследование в рамках этих теорий гравитационных, классических и квантовых явлений. Важно отметить, что в целом разработка обобщений стандартных теорий и новых подходов являются необходимыми элементами развития теоретической физики, как с точки зрения получения новых результатов, объяснения физических явлений и выработки нового формализма, так н для анализа физических и математических основ устоявшихся теорий.

В силу разнообразия изучаемых явлений общая задача представ ленной диссертации, главным акцентом которой является развитие и обобщение традиционных подходов, разбивается на ряд частных задач. А именно, представленные результаты исследований подразделяются на пять крупных блоков, изложенных в пяти главах диссертации, соответственно следующим тематикам: (1) Обобщения теории относительности и гравитации; (2) Адронная механика; (3) Функциональный подход к гамильтоновым системам; (4) Функциональный подход к квантово-механическим системам на фазовом пространстве; (5) Непотенциальная теория рассеяния.

Непосредственные задачи в рамках этих тематик разработаны с учетом получения наиболее значимых и характерных результатов. В диссертации перечислены поставленные непосредственные задачи.

Методы исследований, используемые при решении указанных проблем, базируются на глубоком привлечении различных областей математики, а также анализе и пересмотре основ стандартных физических теорий.

Научная новизна к практическая ценность результатов.

Анализ физических следствий в области финслерова обобщения теории гравитации проводился впервые и результаты опубликованы в цикле работ, в которых впервые представлены как разработка расширенного постньютоновского аппарата, так и полный анализ наблюдаемых следствий (классические ППН-тесты, прецессия гироскопа и новые эффекты). Кроме того, предъявлен новый класс обобщенных финслеровых метрик, что представляет ценность в математическом аспекте.

Энергетическая зависимость фундаментальных параметров мезонной Ка-К° системы была обнаружена экспериментально и авторами экспериментов (Аронсон и др., Фермилаб, США) был предложен феноменологический подход для описания этой зависимости. Подход, основанный на Ли-изотопическом фипслеровом обобщении, предложен нами впервые. Ценность представленных результатов исследований состоит в последовательном теоретическом анализе и объяснении этого явления на основе использования обобщенной геометрии, которая проявляется в качестве эффективной пространственно-временной геометрии, лежащей в основе рассмотренного в ВКБ-приближении уравнения Клейна-Гордона.

Формулировка Ли-изотопического обобщения квантовой механики, специфика которого состоит во включении негамильтоновых эффектов, естественно требует проверки выполнения принципа Паули, так как используется обобщение алгебры антикоммутационных соотношений. Доказательство справедливости выполнения принципа Паули в рамках адронной механики было проведено впервые.

Построение суперсимметричного расширения адронной механики было проведено впервые и ценность результатов проявляется в двух аспектах: формулировка новой теории и анализ обобщения суперсимметричной алгебры.

Представленное нами векторно-неметрическое обобщение геометрии Вейля является новым. С точки зрения исследований в области аффинной геометрии пространство с векторной неметричностыо является таким же классическим образцом как и известное пространство Вейля. Впервые дана полная классификация типов пространства-времени с векторной неметричностью, проведен анализ квантовой электродинамики на фоне пространства-времени с векторной неметричностью в однопетлевом приближении и получены наблюдательные ограничения.

Предложенная модель интерпретации распада очарованных мезонов является новым подходом к описанию процесса адронизации кварков в рамках квантово-механических терминов, без привлечения геометризации, используемой в других моделях адронизации.

Ассоциированная теория: поля в функциональном подходе к классической механике является одним из примеров когомологических (топологических) квантовых теорий поля. Применение современных методов топологических квантовых теорий поля к классическим динамическим (гамильтоновым) системам предложено нами впервые. Оно включает в себя применение БРСТ-подхода к построению теории и изучение специфических свойств теоретико-полевой модели: топологии, суперсимметрии, аномалий, деформации и возмущения, корреляционных функций. Цикл работ в этом направлении дает всесторонний анализ когомологических гамильтоповых систем в современном формализме, использующем современный математический аппарат. Ценность полученных результатов заключается в разработке приложения мощного современного аппарата топологических квантовых теорий поля к гамильтоновым системам. Кроме того, что достигается более глубокое понимание известных классических результатов (Пуанкаре, Арнольд, Колмогоров) по изучению гамильтоновых систем, получены новые результаты. В практическом плане данный подход позволил получить также новые методы изучения эргодичности и хаоса в гамильтоновых системах, что представляет особую актуальность и ценность.

Существуют различные подходы к формулировке квантовой механики на фазовом пространстве: подход Болпа-Кубо, символьный, подход некоммутативной геометрии. Нами установлена и подробно изучена связь этих подходов. Также, в рамках подхода мойаловской деформации скобок Пуассона впервые сформулировано условие квантовой эргодичности. Впервые изучен ^-деформированный квантово-механический гармонический осциллятор в формулировке фазового пространства. Полученные результаты имеют фундаментальное значение для развития фазово-пространственной формулировки квантовой механики.

Эти результаты, а также результаты исследований функционального подхода к гамильтоновым системам, использованы нами для разработки Б РСТ-подхода к квантово-механическим системам, что является совершенно новым направлением исследований.

Нами впервые разработана последовательная формулировка непотенциальной квантовой теории рассеяния, основанная непосредственно на изучении решений Ли-изотопических обобщений уравнений Шредингера и Липпмана-Швингера. Полученные результаты обнаружили нетривиальное обобщение формализма стандартной теории рассеяния. Также, впервые последовательно развита непотенциальнах теория рассеяния частиц со спином. Эти результаты имеют непосредственную практическую ценность в качестве модели с точки зрения интерпретации экспериментальных данных различных процессов рассеяния, в которых может проявляться непотенци-

альность взаимодействия.

Развитие формализма непотендиальной квантовой теории рассеяния при неяулевом угловом моменте требует соответствующего обобщения теории полиномов Лежандра и других специальных функций. Полученные результаты по данному обобщению являются новыми и имеют ценность как с точки зрения развития обобщения математического аппарата специальных функций и классических ортогональных полиномов, так и для последующих физических приложений.

Апробация результатов исследований. Результаты работ докладывались на 6-ой Всесоюзной конференции по теории относительности и гравитации (МГПИ. Москва, 1984 г.), Всесоюзной конференции по гравитации (Томский государственный университет, Томск, 1986 г.), Всесоюзной конференции по теории гравитации и калибровочным полям (ФИАН, Москва, 1987 г.), Всесоюзной конференции по теории физических структур (Пущино, Московская область, Россия, 1987 г.), Международной конференции "Frontiers of Fundamental Physics" (Олимпия, Греция, 1993 г.) (приглашенный докладчик), Международной конференции "Symmetry Methods in Physics" (ОИЯИ, Дубна, Россия, 1993 г.) (приглашенный докладчик), тезисы докладов опубликованы в трудах 12 и 13-ой Международных конференциях по теории относительности и гравитации GR-12 (Боулдер, США, 1989 г.), GR-13 (Кордоба, Аргентина, 1992 г.), Международной конференции памяти Лобачевского (Казань, Россия, 1992 г.), XVIII Международном рабочем совещании по Физике Высоких Энергий и Теории Поля (ИФВЭ, Протвино, Россия, 1995 г.) (приглашенный докладчик), Международном рабочем совещании по Физике и Математике (Институт Физических Исследований, Монтеродуни, Италия, 1995 г.) (приглашенный докладчик), Международной конференции "Хаос и структуры в нелинейных системах" (Карагандинский ГУ, 1997 г.), многочисленных рабочих совещаний и межвузовских конференций (Томский государственный университет, ФИАН им. Лебедева, Москва, Московский государственный университет, Московский государственный заочный педагогический институт, Карагандинский государственный университет).

По теме диссертации опубликовано 35 печатных работ, из них 5 тезисов докладов и 1 монография (392 стр.), 27 работ опубликовано в западноевропейских и американских изданиях, 23 публикации в рецензируемых изданиях, 14 статей под единоличным авторством, 19 публикаций объемом свыше 0,3 печ.л.

Структура диссертации. Диссертационная работа представлена на 313 страницах и состоит из Содержания, Введения, пяти Глав, Заключения, Списка использованных источников из 437 наименований и 2 таблиц.

Содержание диссертации

Во Введении сформулированы и обоснованы рассматриваемые в диссертации вопросы, представлен обзор литературы, обзор публикаций по теме диссертации, дается краткое изложение результатов, формулируются цель, задачи, методы и основные положения диссертации. Представленные результаты исследований подразделяются на пять крупных блоков, изложенных в пяти главах.

В первой главе - Ли-изотопические деформации теории относительности и гравитации - дается систематический анализ деформаций метрики Минковского т) специального типа, сохраняющие алгебраическую структуру изометрии (Ли-изотопические деформации), векторно-неметрической геометрии, полей материи на фоне векторно-неметрического пространства-времени и формулировка и приложения расширенного параметризованного пост-ньютоновского формализма финслеровой теории гравитации. Ли-изотопическнй тип деформации метрики Минковского естественно включает в себя метрики Римана, Финслера и неметрическое обобщение. Проанализировано обобщение группы вращений и группы Лоренца и наблюдаемые следствия минимально деформированных преобразований Лоренца.

В п.1.1 изучается деформация лоренцевской симметрии изотопического типа, проблема внутренних условий и анализ наблюдаемых следствий. Разработана изотопическая деформация теории относительности Галилея и Эйнштейна и теории гравитации. Исследованы деформации простраиства-времени Минковского МПроделан детализированный анализ феноменологических следствий минимально обобщенной метрики Минковского. Это обобщение рассматривается как деформация М11 специального типа, при котором параметрами деформации могут быть локальные функции, обеспечивая гравитационные и негравитациоиные эффекты, а алгебраическая структура сохраняется - свойство функтории.чыюсти.

В негравитационном секторе анализируется деформированная метрика Минковского Г) и различные обобщения метрики Минковского, предложенные в контексте физики частиц и, как показано, описываемые в рамках метрики г/. Лоренц-инвариантность при этом заменяется более общую Лоренц-изотопическую (деформированную) инвариантность. В частности, специфические эффекты Лоренц-неинвариантных (ЛНИ) моделей могут интерпретироваться в контексте Минковско-изотопического подхода. А именно, эти модели были предложены, чтобы объяснить аномальную зависимость от энергии времени жизни и других основных параметров нестабильных частиц, которые, как было установлено, не описываются в области высоких энергий (выше 10 ГэВ) эйнштейновской формулой.

Ассоциативная обертывающая алгебра Е, оснащенная ассоциативным умножением АВ и единица I могут быть изотопически подняты до алгебры Е с обобщенным умножением А* В = АТВ и новой единицей / = У"1, где Г - фиксированный несингулярный элемент из Е. Изотопическое поднятие группы Ли б тогда принимает вид О : х' = д * х — ехр(Хи)^ * х = ехр(ХТ«)|Вж, где X обозначают генераторы первоначальной группы (? и и - параметры. Изотопическое поднятие коммутатора определяется соответственно как = X, * X, — А", * Х} = § * Хк, где с = с * / - структурные константы. Определим изотопическое поднятие метрики Минковского ?] —)■ г/ = г)(£. х.х,...). Изотопическое поднятие группы Ли преобразований М4 оставляет инвариантом метрическую форму, определяемую х * х = х'щх3. Таким образом, когда изотопический элемент Т, определяющий деформацию, является метрикой г/, единица определяется как / = г)'1. Тогда подходящее обобщение метрики г/ обеспечивает сохранение при поднятии свойства связности соответствующей группы Лоренца и можно осуществлять шаг шагом изотопическое поднятие алгебры Ли группы Лоренца, универсальной обертывающей алгебры группы Лоренца, и группы Лоренца. В пределе / -> /, или г/ —> щ, воспроизводится стандартная теория. Эта конструкция накладывает довольно жесткие и математически хорошо установленные ограничения на тип деформаций.

Лоренц-изотопические преобразования могут быть явпо вычислены, когда определена новая метрика г). Необходимо отметить, что несмотря на локальный изоморфизм между поднятой группой Лоренца и группы Лоренца, Лоренц-изотопические преобразования имеют отличия от стандартных ло-ренцевских.

В п.1.2 построены аналоги вейлевских конформного и проективного тензоров для предложенного пространства-времени с векторной кемстрнч-ностъю (5У7У), естественно обобщающего соответствующее пространство Вейля. Установлены инвариантные свойства аналогов для некоторых значений характеристического БУМ-параметра д. Тензор неметричности выбран в виде С^ць = дС}1д;к + %Яо9г)к> гДе ~ (вейлевский) вектор неметричности ид- действительный параметр. Это представление описывает бесконечное семейство геометрий вейлевского типа с параметром д (пространство Вейля при д -4 оо). Значение д = О определяет некоторую проективную геометрию. Мы вычисляем явно тензор отклонения и затем риманов тензор кривизны, тензор Риччи и скалярную кривизну БУМ. Мы рассматриваем три специфических значения параметра д: (1) д = 2, (н) д —> оо и (ш) д -- О, для которых мы находим соответствующие инвариантные тензоры.

В п.1.3 проделан детализированный анализ пространства-времени с векторной неметричностыо (БУГ*}).

Геометрия Картана-Римана U4 характеризуется требованием, что поле метрики д ковариантно постоянное — 0. Это так называемое рима-ново ограничение и представляет собой постулат метричности. С другой стороны, релаксация риманового ограничения, = —Qijk ф 0, приводит к рассмотрению пространства-времени с пеметричностыо. Неметрическая картина, как и геометрия Картана-Римана, возникает естественно в Ли-изотопической теории гравитации, когда определяется касательное пространство, оснащенное изотопически поднятой структурой Ли. Мы вычисляем явно скалярную кривизну К, сшиюрную связность Г,-, проективный тензор Томаса Т} к и тензор Вейля для случая SVN: К = Д + 3(1 - q) DmQm - \{q2 - 2q - 2)QmQm, где R - риманова скалярная кривизна; Г,- = Г,- +1(1 — q)QkJ[kJi]- Фоновая метрика считается минковской и мы исследуем главным образом эффекты, являющиеся результатом не-метричности пространства-времени. Из стандартного вида плотности лагранжиана аффинно-метрической гравитации (MAG), Lmag = мы видим, что неметрическое векторное поле Qi массивно, с квадратом массы ту ~ — — 1 + \/3)(q — 1 — \/3). Различные фиксированные значения параметра q оказывается ведут к довольно различным физическим следствиям, который мы систематически анализируем. В частности, мы нашли фиксированные значения q — ±оо, 1 ± л/3, 1, -1/2, 0, -5, 2, дающие семь характерных типов SVN. Обобщите стандартного лагранжиана электродинамики на случай неметрического пространства-времени имеет вид: LM = \i{h^ii> ~ (ß^b'V) - тфф - Щ, где = (8, + ieA, + Г,)Ф и F{j = д,А} — д}А,. К "свободному" лагранжиану можно добавить скаляры вида Lmnm — —fFijK'' и ¿_dwm = где / и d - константы связи. Варьируя действие, определенное лагранжианом Lmag + Дм + Lmnm, мы находим следующие уравнения для неметрического, электромагнитного и спинорного полей: d;Fik — niyVk = 0, d,(F'k + ü'k) = jk и обычное уравнение Дирака. L = Lmag + Ам + Aewm дает ассоциированные уравнения поля: Qk = /'«?', diF'k —jk и (iy'd, — |f'y'Qj +т)ф = 0. Непосредственно можно доказать, что обобщенные уравнения Максвелла связаны с эффективным лагранжианом, который используется в методе регуляризации с высшими производными. Оказывается, что возможность обеспечения виковского поворота зависит от параметра д.

Процесс V^ -> су подавлен, в отличие от прямого процесса, e~f —V7, рождения квантов векторного поля К, (которые мы называем метроны). Однопетлевые поправки в квантовании теории ведут к перенормировке констант связи е и е/'. Лагранжиан описывает поле метрона Ц с перенормированной массой. Мы получили оценку скорости продуцирования метронов в этом процессе: пу ~ acn7ne ~ Л^/'2а:2сп7гге где Ае - комптоновская длина

волны электрона и а = ^37- Верхнее ограничение для эффективной 1ЖМ константы связи /' получено в виде: |/'| < Ю-20, где масса метрона ту положена порядка массы Планка. Когда параметр д находится вне интервала (1—1/3,1+л/з), неметрическое поле тахионно. Дополнительные полюса лропагатора электромагнитного поля лежат на оси 1гп р и описывают тахионные состояния с индефинитной метрикой. Если параметр д принадлежит указанному интервалу, неметрическое поле оказывается действительным, а соответствующие полюса лежат на оси 1Яе р и описывают новые состояния тяжелого фотона с индефинитной метрикой.

В п.1.4 развит пост-ньютоновский анализ (обобщенной) финслеровой теории гравитации. Включение зависимости метрического тензора от касательных векторов, д,} = д^(х,у), х € М, у € ТМ, является одним из вариантов Ли-изотопической деформации метрики Минковского, когда (абстрактное) определение метрики ёэ2 — с1х * ¿х конкретизируется при помощи выбора специального метрического тензора, ¿в2 — ¿х'д1](х, у)с!х].

В л.1.4.2 изучены орбитальные гравитационные ППН-эффекты, возникающие при специальных представлениях финслеровых ¿"-объектов, входящих в общее ППН-разложение финслерова метрического тензора.

Символы Кристоффеля у, :(х, х') финслерова пространства ассоциированы с финслеровым метрическим тензором д,](х,у), который связан с финслеровой метрической функцией согласно соотношению д^ (г, у) = \д2Р/ду{ду>, где х' € М\ ук € ТХМ\ г,у,... = 0,1,2,3. Величина хы обозначает 4-скорость в соглааш с кинематической интерпретацией касательного вектора у'. Разложение д,, по малым скоростям V" — а, 6,... = 1,2,3, имеет вид дц[х,У) = а,¡{х) 4- 2С!}а(х, 1,0,0,0)7° + ^■„4(3?, 1,0,0,0)^7», где Сц„ = СЬаЬ = ±д2д^/дУ°дУь. 5-

объекты, соответствующие ППН-разложеииям С-тензоров, симметричны по всем своим индексам и следовательно содержат 10 и 15 независимых параметров соответственно. Они могут естественно рассматриваться как новые ППН-параметры в дополнение к стандартным /? и 7. Введя скалярные параметры а, т2 и "выделенные" 3-вектор Б" и симметричную бесследовую 3x3 матрицу Баь, мы записываем четыре различных представления 5-объектов. Мы вычисляем финслеровы возмущающие члены в явном виде, используя кеплеровское приближение, так что достаточно решить так называемые уравнения оскулирующих элементов для вычисления (долговременного) изменения элементов кеплеровской орбиты (большой полуоси а, орбитального наклона г, эксцентриситета е, долготы восходящего узла долготы перицентра тг и средней долготы в эпохе е). Мы вычисляем вековые вариации орбитальных элементов г, е, П и 7г, для которых известны и хорошо установлены наблюдательные данные. Важно отметить, что ве-

ковые изменения каких-либо элементов орбит, кроме перигелия, ОТО не предсказывает, в то время как фиислерова теория гравитации естественно ведет к предсказаниям по вековым вариациям эксцентриситета и восходящего узла, которые могут быть приняты в качестве новых гравитационных эффектов. Для нахождения ограничений на параметры <т, тх, т2 и величину вектора 8" мы выбираем планеты Меркурий, Венера и Марс, для которых с наибольшей точностью известны наблюдательные данные по секулярным изменениям орбитальных элементов и построены достаточно всесторонние теории движения, включающие эффекты ОТО: |с| < Ю-5, |т1 + т2| < Ю-2. Аналогично, имеется ограничение на компоненты вектора 5", так что общее ограничение на величину вектора получено в виде: |5'| < 10~4.

В п.1.4.3 для вывода уравнения движения световых лучей в финслеро-вом пространстве-времени мы представляем построение классической электродинамики в финслеровом случае и проводим эйконалыюе приближение для обобщенных уравнений Максвелла. Во-первых, необходимо обобщить функционал действия, поскольку лагранжиан электромагнитного поля Ь = Ь(х,у) зависит от касательных векторов у. А именно, 3 = / Ь(х} у)<1хх(1*у. По аналогии с собственно римановым подходом мы полагаем лагранжиан электромагнитного поля равным Ь(х,у) = —-^Згдх>дыРц:Рц. Уравнения поля в финслеровом пространстве принимают вид А^ + й^тткА} — К/^1гАп\3 + Ст{АЦт ~ Ат^к) = 0. В эйкональном приближении Ак = (|ак + еЬк + . ..)е"р/£, где ак и Ьк это комплексные амплитуды, а <р это фаза. Волновой вектор определим в виде кт = Лидирующим членом

по степеням е является кткт = 0. Уравнение траекторий световых лучей х' = х' (г) связано с волновым вектором кт как обычно соотношением йх'(т)/с1т — к', так что это ведет к уравнению нуль-геодезических: у){йх'16,т){<1х}16т) = 0. Мы показываем, что это же уравнение справедливо и в случае обобщенного финслерова пространства.

В п. 1.4.4 определение римановой статической метрики обобщено на случай полиномиального представления четной степени: Рм(х, у) = ■■■у'м. Данный класс метрических функций мы называем статическими четностелеиными фипслеровыми метрическими функциями. Данное представление сводится к обычному риманову (квадратичному) представлению при условии равенства параметров входящих в определение коэффициентов <5, единице. Выбирая следующие две простейшие параметризации А^ = 1 + «м и А^ = 1 + Х^и, мы вычисляем два классических гравитационных эффекта: смещение перигелия и эффект задержки сигнала. Прямые, но громоздкие вычисления приводят к значениям пространственных компонент ф-тензоров и выражение для смещения перигелия Меркурия ведет к наблюдательному ограничению:

ы < TjrjJO 2. Для четиостепенной метрики уравнение FM = 0 принимает вид ^оС$-р)/2Ы]1М~р)/2(<1*ьУаУьУ» = 0. Мы получили следующие выражения для задержки сигнала: ¿tK = (£м)2'М+ a'¿), Sh = (гдВ'м)21м\\\21м(а\-т + а\-т)/( 1 - 2/М). Согласно экспериментальным даным финслеровы параметры должны быть ограничены неравенствами \км\ < 10~Ш/ВМ, |АМ| < Жш+8/В'м.

В п.1.4.5 определение финслерова пространства обобщено путем рассмотрения метрического тензора g¡¡{х,у) со свойствами симметричности и невырожденности как основного объекта вместо финслеровой метрической функции. Это ведет к понятию обобщенного фтклеролл пространства (ОФЯ) и обобщенной финслеровой метрики (ОФМ). Обобщепие римановой метрики a¡j\ gt] = е^'^а.-Да:), где <т это скалярная функция нулевой степени однородности по у, не является финслеровым метрическим тензором, так как его невозможно представить посредством финслеровой метрической функции. Эта метрика является примером ОФМ. Кроме этой ОФМ, мы исследуем метрику g¡} ~ a;;(a¡) + о/г,j{x,у), где h¡j = а^аща^ — a¡,, а,о — a,jí/, аоо = a¿0y' и а это параметр. Она обладает весьма примечательным свойством: ассоциированное пространство для нее является рима-новым. Общая методика построения связностей по ОФМ была разработана Ватанабе и И кед а. Приложение этой схемы к указанным ОФМ дает явные выражения для С-тензора и связности. Геодезические ОФП определяются, так же как и в финслеровом случае, как стационарные кривые вариационной задачи, ассошшрованной с функцией F. Для ОФМ, чье ассоциированное пространство является римановым, то есть д*} — а,3, эти уравнения сводятся к обычным римановым уравнениям геодезических. Класс данных метрик введен впервые и мы назвали их Н-метриками. Очевидно, что для ñ-метрик все орбитальные гравитационные эффекты совпадают с орбитальными эффектами ОТО, и для нахождепия специфичных гравитационных эффектов, вызываемых fí-метриками, необходимо исследовать какой-либо эффект, не основанный на решении уравнений геодезических. Таким эффектом может быть выбран эффект прецессии гироскопа, являющимся "неклассическим" тестом гравитации. Уравнение Ферми-Уокера описывает перенос спина, S' = ¿e'^'ujSki, где и"1 = dxmf ds это 4-скорость центра масс, 5м обозначает внутренний спин, и имеет вид ukS^ = umakSi¡, где ak это 4-ускорение. Используя ППН-разложение сопутствующего репера, римапова метрического тензора и коэффициентов связности мы получаем выражение для прецессии спина в слабом сферически симметричном гравитационном поле. Проводится аналогичное рассмотрение уравнения Ферми-Уокера для нерегулярной ОФМ.

Во второй главе - Формализм адронной механики и его прило-

жсния - анализируется Ли-изотопическая операторная деформация квантовой механики - адронная механика (НМ). Исследованы фермионы и показано выполнение принципа Паули в пределах НМ. Разработано суперсимметричное обобщение адронно-механического гармонического осциллятора и НМ. Сформулирован адронно-механический подход к новой модели адро-низации кварков, который дает собственно квантовую (не геометрическую) интерпретацию модели.

Адронно-механический финслеров формализм был применен для объяснения аномальной зависимости от энергии фундаментальных параметров системы. Найдено квазиклассическое решение обобщенного уравнения Клейна-Гордона. Явно представлена аномальная зависимость от энергии параметров времени жизни и разности масс К0-К0 системы.

В п.2.1 асоциировашше с деформированной метрикой пространства-времени, х*х = x1b^x1+x2blx2+x3bfx3+x4c?x4 где 6нс зависят от координат х' и скоростей b — b(x, У) и с = с(х, V), обобщенные преобразования Лоренца имеют вид г' = j(z-Vt), t' = ^(t—Vblzfc2), где 7 = (l-Î^V/c2)-1/2. Эти уравнения ведут к прямой модификации стандартной формулы времени жизни, г — Г07. В ультрарелятивистском приближении мы можем записать: b3{x,V) = 1 4- Ào 4- Ai7 + А272 4- ■ • •, где A 1. Мы отбросили гравитационные члены, являющиеся результатом зависимости 63 от s, и положит! для простоты с = 1. Блохинцев-Редеевское поведение времец жизни мезонов тогда имеет вид: т = То7[14-Ао724-А1(Ц-Ао)734-(А2/2+А2(14-Ао))74]. Разность масс Лт = mj, — ms происходит из разности фаз волновых функций свободной частицы, описывающих R'i и Ks соответственно, и зависимость Дш от энергии не является результатом взаимодействия системы с внешним метрическим гравитационным полем. Ли-изотопическое обобщение уравнения Клейна-Гордона имеет вид ( D * D — к2)ф = 0, где к = mc/h и D * D обозначает финслерово Ли-изотопическое поднятие обычной свертки, D * D = D'gtJ(x, V)DK В случае статического слабого гравитационного поля мы можем записать ППН-представление финслеро-вой метрики и в ВКБ-прибяижении z, V) = А ехр[г(£(г, V) + Et)/h], где S = So + hS\, решение уравнения для ф с точностью до медленно меняющегося коэффициента амплитуды и константы нормировки имеет вид <Kt,z,V) ~ ехр[г/Л/' ^'(1 + yPPxU)p'dz' - Et]4, где р' = (Е12 - m2)"1/2, Е' 7 - (з44)_1^2т/7. Мы получаем для разности фаз Дф = -(ifh)tiat(ybl)~l Заметим, что в нашем случае одна функция b3(V) используется для управления зависимостью от энергии как параметра tsi так и Д т. Обобщенные преобразования Лоренца немедленно ведут к следующей формуле для доп-плеровского сдвига: и> — w0(l — V"è|Vr/c2)/(l — {Vb\lс) cos а). Согласно этому уравнению 7-зависимые члены в ППН-разложении входят в допллеровский

сдвиг второго порядка.

В п.2.2 показано, что потенциал новой модели адронизации может воспроизводиться естественно в терминах адронно-механического обобщения, лежащих в основе операторной алгебры и уравнения Дирака. Уравнение обеспечивает описание возможного негамильтонова взаимодействия квар-ковых полей в режиме адронизации, характеризуемом как неунитарная эволюция. Это позволяет нам описать эффективный конфайнмент кварков.

В недавно предложенной феноменологической модели адронизации, которая успешно применепа к распаду чарма и другим процессам, кварк-антикварк подчиняются в системе отсчета покоящегося мезона обобщенному уравнению Дирака (ББПТ-модель) (¿7'"3¡, + ^х/х^ — т)ф = 0. Согласно этому уравнению кварки, произведенные в слабом распаде, описываются свободной волной, демпфированнох! гауссианом, ф — фех.р(~х2/2х%), где ширина х0 (х0 = 0.2 — 0.3 Фм) - расстояние разделения, вне которого кварки адронизируют и не появляются как асимптотические состояния. Неэрмитова часть ассоциированного гамильтониана, Я = —$(17 • д + ¿7 • х/х1 — т)ф приводит к ожидаемому уменьшению общей вероятности (ф\ф) со временем, ¿{ф\ф)[а = (Н — которое является особенностью кварковой адронизации. Согласно неэрмитовости гамильтониана ББПТ-модель описывает, фактически, неунитарную эволюцию пары кварк-антикварк. Адронно-механическое уравнение Дирака имеет вид + гТ-Ч^Т — тп)ф — 0. Это уравнение обеспечивает, что мы можем выбрать Т — ехр(—5?/2x1), чтобы воспроизвести ББПТ-модель. Если это не чистое совпадение, то это может указывать на то, что источник ББПТ-потенциала - негамильтоново взаимодействие произведенных кварков, которое возможно начинает проявляться самостоятельно только на масштабе низких энергий </И =1—3 Гэв. Возможно, что распады очарованных мезонов дают экспериментальное доказательство для такого взаимодействия. Негамильтопов характер взаимодействия может пониматься как эффект перекрывания распределений импульсов продуцируемых кварков. Это свойство является существенной особенностью, присущей модели адронизации. Замена обычной дираковской дельта-функции в законе сохранения три-импульсов кварков на гауссовское распределение может интерпретироваться также как результат общей замены обычных норм на изонормы, где Т - гауссова мера интегрирования.

В п.2.3 определено обобщение обычной антикоммутационной алгебры рождения и уничтожения операторов в рамках олераторно-деформированной квантовой механики. Обсуждается возможность нарушения принципа Паули в открытой внутренней проблеме адронов в пределах Л и-допустимого

подхода.

Пусть А комплексная ассоциативная алгебра с произведением АВ, А, В € А. Пусть Т фиксированный обратимый элемент из А. Т-изотоп алгебры А обозначим Аи определим как алгебру с умножением А* В — АТВ - (AT)В = А(ТВ), А,В,Т € А, на том же основном лилейном пространстве как и А■ Алгебра А^ имеет обобщенный тождественный элемент I* — Т"1. Определим действие Т-изотолов операторов на физические состояниях. Пусть V унитальный левый .4-модуль с композицией Ах, А € А, х € V. Определим отображение А'^ х V V, (А, х) А * х, А € А^т\ € V. При этим определении V становится унитальным левым ,4'г'-модулем VT, с I* * х = х для всех х £ V. Определим антикоммутатор {А,В}* — А* В + В * А и рассмотрим следующие антикоммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения, определенных в Л<т): {а, а+}* = Л {а, а}* = 0, {а+,а+}* = 0 (в пределе Г I восстанавливаются обычные антикоммутационные соотношения). Здесь а+ -Т-эрмитово сопряженный элемент. Определим обобщенный оператор числа частиц N = а+ *а = а+Та, который является Г-эрмитовым, N+ = N, и рассмотрим проблему собственных значений ,/V*|<j!>) = пт*\ф). Здесь скаляр это rif — nl* € С. Можно проверить тогда, что выполняются следующие аналоги обычных коммутационных соотношений: [N, о]* = —а, [N, о+]* = — а+, N*N = N, Это значит, что ]V2T*|^) = N*\<j>) и, следовательно, = пт, то есть пТ-1 * Г-1 = п7'Г~1 = пТ-1, так что п = 0 или 1, так же как в обычном случае ферми-квантования. Таким образом, мы приходим к выводу, что при соответствующих определениях антикоммутационных алгебр и операторов числа, принцип Паули остается допустимым в изогильбертовом пространстве для внешней Ли-изотопической ветви НМ. Однако, когда Ли-изотопические скобки заменены более общими Ли-допустимыми скобками, представляющими условия открытости системы НМ, эти результаты не соблюдаются.

В п.2.4 рассмотрено Т-операторное обобщение коммутационных и антикоммутационных соотношений бозонных и фермиолных операторов рождения-уничтожения. Определено обобщение ассоциированных генераторов суперсимметрии и лежащей в основе супералгебры в рассмотрении поднятого гамильтониана суперсимметричного (SUSY) квантово-механического осциллятора. Обобщенный осциллятор имеет свойства подобные стандартному SUSY осциллятору: основное состояние характеризуется нулевой энергией, в то время как другие уровни энергии дважды вырождены. Строится адронно-мехакическое обобщение SUSY квантовой механики.

Определим следующее поднятие коммутационных соотношений: [6,6+]* =

b*b+ -b+ *b = 1, [6,6]* = 0, [i+, 6+]» = О, где b*b+ = VTb и Г = T'1. Поднятие гамильтониана бозонного осциллятора может быть естественно определено как IIв = ¿шд{6+, 6}*, где {6,6+}* = b * b+ + Ь+ * Ь. При поднятии бозонного оператора числа гамильтониан может быть переписан как Яв — wb(Nb + Естественное Т-поднятие стандартного гамильтоттана фермионного осциллятора можно записать как Hp = ¡¿шр[Ь+,Ь}*. Положим lu = шц ~ шр и исследуем составной бозопно-фермионный осциллятор с гамильтонианом Я = IIв + Hp = ш(Ь+ * b 4- /+ * /). Спектр энергии составной системы оказывается равным Е = + пр), так что снова имеет место дважды вырожденность всех уровней энергии, кроме основного, tiq — пр = 0, характеризуемого нулевой энергией Е = 0. По аналогии с поднятиями операторов числа частиц можно определить следующие Т-поднятия SUSY генераторов: Q- = \[2шЬ+ * /, Q+ = л/2~usb * /+. Они ниль-потентны, сопряжены друг другу, коммутируют с гамильтонианом Я и {Q-, Q+}* — 2II. Тогда, определяя изо-эрмитовы операторы Qi = Q+ +Q-, <§2 = -i(Q+ - Q~) МЫ находим, что [Q,-, Н}* = 0, = 2<5^Я. Эти

соотношения являются простой реализацией изо-супералгебры.

Генераторы Q± остаются изо-нилыготентными при обобщении <5+ = B~(b,b+) * /+, Q- = B+(b,b+) * /, где В* - произвольные функции 6 и Ь+ Адронно-механический SUSY гамильтониан В может быть записан как II = {Q+,Q_}*. После непосредственных вычислений мы получаем для адрошю-механического SUSY гамильтониана в матричном представлении Н = \{В~,В+У + [B~,B+f * ffj, где с-матрицы подчиняются соотношениям [сг,-, <Xj]* = 2ilijk(7k- Этот гамильтониан является адронко-механическим обобщением гамильтониана SUSY квантовой механики и воспроизводит его в случае Т —у 1. При фиксации квадратичных по импульсам В± с суперпотенциалом W, гамильтониан принимает вид Я =

*р 4- W * W + г[р, W]* * а3) и может рассматриваться как изотопическое обобщение гамильтониана SUSY квантовой механики Виттена.

В третьей главе - Функциональный БРСТ-подход к гамильто-новым системам - рассматриваемая как одномерная теория поля, гамиль-тонова механика является примером когомологической теории поля.

В п.3.1 мы применяем функциональных! формализм и исследуем суперсимметричные свойства биркгоффова обобщения гамильтоновой механики, которое характеризуется фундаментальной симплс ктической 2-формой, зависящей от координат фазового пространства. Непротиворечивость биркгоффовой механики обеспечивается Ли-изотопической конструкцией, обеспечивающей выводимость динамических уравнений из вариационного принципа, Ли-характер скобок и существование обобщенной теории Гамильтона-Якоби.

Согласно вариационному принципу Пфаффа 55' ~ 6I (Ы{11,(а)а' — Я (а. £)] = 0 мы имеем следующее обобщение уравнений Гамильтона, называемое уравнениями Биркгоффа: ¿'(¿) = ы'1 (а)д1Н{а({)) где обобщенная фундаментальная 2-форма зависит от координат фазового пространства. Функция Н, входящая в уравнения Биркгоффа, называется биркгоффиан и не представляет в общем случае полную энергию системы. Чтобы построить функциональный подход к биркшффовой механике мы проводим процедуру, проделанную для гамильтоновой механики. Ассоциированный лагранжиан принимает вид С = Ц1{а'—ыЧ{а)д)Н)-1гщ{д1&'}—д);{ы'к{а)д1Н))с' и анти-БРСТ-заряд модифицируется: <3 = щф{а)д} — -(д^ш'^а))/^^. Аналог полного анализа системы уравнений основных состояний усложнен для биркгоффова обобщения из-за присутствия дополнительного члена с производной. Однако, можно проанализировать все четные гост-сектора, для которых найдено, что физически приемлемое решение лежит в 2п-гост секторе и имеет вид габбсовского состояния.

В п.3.2 представлена БРСТ-формулировка когомологической гамильтоновой механики и проводится всесторонний анализ модели.

Гамильтонова механика может быть рассмотрена как одномерная теория поля, в которой динамическая неременная это отображение а'(/) : М1 —>■ М2а из одномерного пространства М1, Ь € М1, в 2п-мерное симплекти-ческое многообразие М2п. Коммутирующие поля а' — (рх,..., рп, д1,..., дп) это локальные координаты на целевом пространстве М2л, на котором определена замкнутая невырожденная симплектическая 2-форма ш = А &а?. Наше начальное положение это функция распределения (производящий функционал) Z ~ $ 1)а ехр(г/0), где /о = ] и лагранжиан является тривиальным £0 = 0. Симметрия действия, которая нас интересует, это симплекто-диффеоморфизм инвариантность, которая оставляет симплекти-ческий тензор и^ форм-инвариантным, ¿а' = ¿¡,а'. Здесь ¿¡, — h^8i это производная Ли вдоль гамильтонова векторного поля к' — шчд1Н(а) и Я - гамильтониан классической механики. Вводя гост-поле <;'(£) и анти-гост-поле с,(£), запишем БРСТ-версию диффеоморфизма: «а* = ¿с", я с' = 0, .5 с, = (ц, sgi = 0, где БРСТ-оператор 5 нильпотентен, з2 ~ 0, и - множитель Ла-гранжа. Функция распределения тогда принимает вид 2 = I ОХ ехр(г7), где мера ОХ представляет функциональный интеграл по полям а, д, с, и с. Полное действие I это / = /0 + I яВ. Мы выбираем В линейным по полям В = с,(с)¡а' — к' — ста' — уи']д,), где а и 7 - действительные параметры. Применяя БРСТ-оператор, мы находим лагранжиан С = вВ = дА<ка{ - к') + щ{д(6'к - дф1)^ - о(д,а' + г с, с'). БРСТ-симметрия фактически является неоднородной частью большей симметрии лагранжиана, а именно, неоднородной симплектической группы 1Бр(2), которая гене-

рируется зарядами Q, Q. К, i? и С и отражает картаковское исчисление на М2а. Функция Гамильтона И, ассоциированная с лагранжианом, имеет вид Н — q,h' + гс,скдф' + aa'q, + гаС. В бездуховой части она воспроизводит при а = 0 лиувиллиан L = —h'd¡ классической механики, полученный в операторной формулировке классической механики Купмаком и фон Нейманом. Чтобы записать тождество Славнова, мы включаем взаимодействие набора инвариантных внешних источников (Ja, Jq. Jc, Jc) с БРСТ-вариациями полей [eit = Jdt(J"sa + Jqsq + Jcsc -I- Jcsc). Общее действие S = / -f /ег( не зависит от Jc и Jq, так как se = sq = О, в то время как другие БРСТ-преобразования линейны. Это означает, что не имеется "радиационных" поправок к этим преобразованиям и линейная зависимость действия Е от БРСТ-источников радиационно сохраняется. Расширенное действие Е удовлетворяет следующему тождеству Славнова 5(S) = 0. Когомология расширенного БРСТ-оператора Í2 в пространстве полей тривиальна и так как не имеются никаких других симметрий, то это завершает доказательство тою, что тождество Славнова свободно от симплекто-диффеоморфизм (БРСТ-) аномалии.

Возможные физические состояния р = (phys) находятся как решения системы уравнений, состоящей из БРСТ- и анти-БРСТ-уравнешш кого-мологии Qp ~ 0, Qp — 0. Используя твистованньге БРСТ- и анти-БРСТ-операторы Qp = Qe"^H, Qp = где /3 > 0 - действительный па-

раметр, можно найти, что они являются сохраняющимися нильпотентными суперзарядами и их антикоммутатор замыкается на функцию Гамильтона, {Qp, Qp] = 2i/ЗИ, Физические состояния топологической теории находятся во взаимно-однозначном соответствии с рамоновским вакуумом. Проводится идентификация dp <-> Qp d*p Qp, Ар = dpdp + dpdp {Qp,Qp} = 2i/3H, (—l)p i-} (—l)c, где внешняя (хо-)лроизводная dp = d + fiédiH (dp = d* — [Jc^djH) действует на р-формах, p € hP, и С - число гостов. определяется как число независимых гармонических форм, то есть Bv(8) — dim{ker Ир П Лр}. Можно найти Вр) исследуя вакуум функции Гамильтона Ир — 0, переписываемое в виде Qpp = 0, Qpp — 0, так что данные состояния определяют рамоновсюм сектор. В стандартном комплексе де Рама Вр это просто числа Бетти с суммой х — £2n(—1 )РВР равной эйлеровой характеристике М2". Индекс Виттена Тг(—1)с равен эйлеровой характеристике М2п, так что мы можем заключить, что критерий для режимов в гамильтоновых системах, которые были связаны с нарушением суперсимметрии, это индекс Виттена. Мы заключаем, что режимы движения связаны с топологией М2п. В гамильтоновой механике указанное вакуумное уравнение играет роль условия эргодичности, Lp(a) = 0, которое теперь расширено на р-гост (р-формовые) распределения р = р{а,с). Исследова-

кия физических состояний показали, что нормируемые решения исходят из 2п-гост сектора и имеют специфически вид гиббсовского состояния, характеризующего термодинамическое равновесие, р = кКп cxp(-ßH). Заметим, что в случае /? —> 0 мы воспроизводим классические интегральные инварианты Пуанкаре и Кр являются фундаментальными БРСТ-инвариантными (топологическими) наблюдаемыми теории, {Q, Кр} = 0.

Совокупность действительных полей составляющих систему типа Ландау-Гинзбурга следующая: поле а', два антикоммутирующих поля d и с,-, поле q\ и вспомогательное поле h' — v'>djH(a), которое является производной "суперпотенциала" II(а) и ответственно за члены взаимодействия. Мы выбираем суперполе в следующей форме: X' = a'(t) + i(j\<i(t) + + zOiOibj'3 qj(t), где 0/, I — 1,2, являются действительными антикоммутирую-щими параметрами, и компоненты поля это совокупность БРСТ-дублетов. Явно ковариантный лагранжиан может быть записан с помощью кова-риантных производных в суперпространстве с локальными координатами (t, 61,62) и суперпотенциала W(X), который является действительным полиномом по X. В терминах компонент лагранжиан имеет вид

£ = - а1'dtq> + ¿(c;<V + с'3(с,) + diW(a)uijqj - 1ы"с{дкд}У/{а)ск. (1)

С идентификацией W = Н(а) этот лагранжиан воспроизводит первоначальный лагранжиан. Таким образом, мы заключаем, что можно начать с одномерной N = 2 модели Ландау-Гинзбурга и получить при помощи топологического твиста когомологическую теорию с готовой фиксацией калибровки.

Основными элементами данной d, — 1, N — 2 теории являются аналоги киралыюго и актикирального кольца (топологически твистованных) двумерных N = 2 моделей. Мы проводим соответствие между основными рамоновскими состояниями и киральными полями при помощи выбора канонического основного состояния |0), с идентификацией <р,|0) = Ю + Qß|А). Подобно этому, имеется естественный изоморфизм между анти-киральными полями и сопряженными состояниями |г). В терминах формулировки Ландау-Гинзбурга киральное кольцо состоит из полиномов по модулю соотношения d,W(а) — 0, которое определяет критические точки гамильтонового потока. Внутреннее произведение на пространстве основных состояний, соответствующих полям Ф, и <р], имеет вид g,j — (j\i), и геометрически играет роль метрики в ассоциированном пространстве Гильберта, в то время как {i\j) дает топологическую метрику щ — {ф,ф,)юр-

Возмущение, сохраняющее суперсимметрию действия может быть записано с использованием (анти-)киральных полей. Рассмотрим деформацию гамильтониана Н(а) —>- Н(а) — StpP{a), где Р(а) локальный поликомом и 8tр - константа связи, параметризующая деформацию. Это ве-

дет к следующему возмущепию действия: /сЙ\£ —»• ¡йЬС, + Нр / (¡¡Ор, где Ор — гд,^'1 д, Р(а) — С{и'1дкд!Р(а)ск, Прямые вычисления показывают, что Ор БРСТ- и анти-БРСТ-замкнут. Нетривиальное топологическое возмущение может иметь место только если член деформации не БРСТ-точный коцикл. Можно непосредственно убедиться, что Ор = з(с{и>'1д] Р(а)), так что не имеется не-тривиальных топологических возмущений, исходящих из деформации суперпотенциала. Однако, суперсимметрия оказывается чувствительной к деформации. Проверим условие когда деформация Ор сохраняет суперсимметрию: {<^р,Ор} = — г/З'ЛЛ;с',Нд]Р), {(}$, Ор} = 1/Зштпстдп(ш'}д{Нд1Р). Достаточным условием, чтобы эти коммутаторы были равны нулю является то, что скобка Пуассона, {Я, Р}рь = и/'1д,Лд]Р, постоянна. Следовательно, эти уравнения представляют связь между суперсимметрией и интегрируемостью. Рассмотрим теперь деформацию сим-плектического тензора. При инфинитезимальном преобразовании —> (а)> видно, что С)а инвариантен, в то время как Ор меняется па величину ¿Яр = с,+ /?%//) = /?€], где К = ^Мс.су, и е^с>к = Для сохранения /V = 2 суперсимметрии, А'6 должен коммутировать с <5,5, [<5д,= С{ЩскШк1 . Данный коммутатор равеп нулю, если и только если б'7(а) является замкнутой 2-формой, так что это вариация симплекти-ческой структуры. Как следствие, данная вариация сохраняет также БРСТ-и анти-БРСТ-симметрии. В общем случае, как показано, суперсимметрия сохраняется, если скобка Схоутена между е. и и равна нулю.

Нильпотентная внешняя производная па внешней алгебре в пространстве отображения из окружности Б1 в Т" АРП дается выражением (I = ¡<И(с'д/да' + дЧтобы описать решения уравнения Гамильтона, = /г'. мы рассматриваем внутреннее умножение по векторному полю г; = (9(а' — Л', с^ + с^д^п1), так что эк/нгпариантная внешняя производная имеет вид

<Э„ = / сИ(с{д/да{ + д.Э/Эс,- + (9,а1' - Л'')ту + + с, дкУ )тг'"). (2)

В общем, БРСТ-инвариантные наблюдаемые, представляющий интерес, имеют вид О а = А;1...1р(а)с'- • • • с'*, и являются р-формами на М2п, А € Лр. Можно найти, что {ф, О а} = 0, если и только если Л замкнута, так как {|?1 ^д} = О^л- Следовательно, БРСТ-наблюдаемые соответствуют кого-мологии де Рама и образуют классическое когомологическое кольцо И над М2п, которое является аналогом киралыгого кольца (топологически твисто-ванной) двумерной N — 2 суперсимметричной модели. БРСТ-наблюдаемые связапы непосредственно с БРСТ-инвариантными состояниями.

Основное поле а'(£) характеризуется гомотопическими классами отображения М1 —>■ М2". Ясно, что это классы отображения 51 —» АГ211, которые являются классами сопряженных элементов фундаментальной гомо-

топической группы 1Г\(М2п). Поля тогда характеризуются соответствующими представлениями а группы (М2л). Следовательно, коэффициенты нильнотентного когомологического кольца 72. берут значения в линейных расслоениях Еа, ассоциированного с представлениями а. Таким образом, мы должны исследовать специально (квази-)периодические траектории в М2л, характеризуемые периодом Т; для данною случая мы также пишем £ £ 51. Общая корреляционная функция тогда имеет вид {Оа^х) - ■ ■ Наша цель состоит в том, чтобы найти вклад в эту

корреляционную функцию на 51 данного гомотопического класса отображения 51 —> М2п. Стандартная техника с пространством модулей М, состоящим из полей а'(£) вышеупомянутого топологического типа, может быть использована здесь вследствие БРСТ-симметрии. Мы получаем известную формулу (0Ах(М) ■ ■ ■ Сд^ОпОЬ1 = #(Е'В П/^), связывающую корреляционные функции с индексом пересечений. Инварианты Пуанкаре Кр соответствуют гомотопически тривиальному сектору, так как ищ - постоянные коэффициенты. Корреляционные функции могут быть при этом записаны в виде /М2» Ау Л ■ ■ ■ А Ат., а топологическая метрика щ = i A¡ А А^.

Особый вид наблюдаемых, соединяющих БРСТ- и анти-БРСТ-сектора, Ыа = ■ • • с1р(5(а(£о) — С10)с': ■■•с'' можно интерпретировать как оператор, рождающий р гостов (р-форму объема в ТМ2п) в некоторый момент времени и и точке ап € М2п и затем уничтожающий их в некоторый более поздний момент времени £. Корреляционная функция (¿//1(0)51 == Гр(Т, ац) не зависит от специфического времени. Старшие показатели Ляпунова высших порядков (р > 1), чьи положительные значения указывают на хаос, могут быть вычислены при помощи этой корреляционной функцией. Функция распределения для р-форм секторов ZP(T) = ТгЯ1 ех\>(—Щр1,), может быть выражена в терминах Г? в следующем нормированном виде: Zp(T) = Тг5:Гр(£, а)/Тг5'Л, где Тгьч обозначает функциональный интеграл по всем решениям а', характеризуемым периодом Т. Явное вычисление может быть сделано, например, реализацией М2п в виде накрывающего пространства, / : М2'1 —> У2п, для подходящего линейно связного многообразия У2я, имеющего ту лее фундаментальную группу, что и б'1, к) — ^(З1, ¿о), и имеет вид: 2р(Г) = £9б<з ГР(Т, ад). являясь конечной, если О = ж 1(У2™, ¿о)//,7г1(М2п, а0) - конечная группа монодромии.

В четвертой главе - Функциональный БРСТ-подход к квантово-механическим системам на фазовом пространстве - исследована формулировка квантовой механики на фазовом пространстве, в которой (1) проанализирована связь между формулировкой Бонна-Кубо и символьным исчислением Вейля-Вигнера-Мойала; (и) Дается интерпретация в терминах некоммутативной геометрии фазово-пространственного представления

квантовой механики; (iii) Исследован гармонический осциллятор, как обычный так и ^-деформированный, в фазовом пространстве посредством операторов рождения и уничтожения; (iv) Найдено, что формулировка Боппа-Кубо это представление символьного исчисления в терминах некоммутиру-ющих координат. Вигнеровский оператор для g-деформированного гармонического осциллятора пропорционален третьей проекции оператора сферического углового момента алгебры sug(2); (v) Установлена связь фоков-ского пространства для гармонического осциллятора и двойного пространства Гильберта в конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала; (vi) Предложено квантовое обобщение классического условия эргодичности; (vii) Анализируется квантово-деформированное внешнее дифференциальное исчисление на расширенном фазовом пространстве (символьное исчисление) в квантовой механике. Исследована роль новых переменных расширенного фазового пространства; (viii) Разработан функциональный БРСТ-подход к квантовой механике на фазовом пространстве.

В п.4.1.2.1 мы кратко описываем формулировку Боппа-Кубо квантовой механики в фазовом пространстве. В исследовании вигнеровского представления квантовой механики, Боли и Кубо начинали с классического гамильтониана Я(р, q) и использовали переменные Р = р — ~d/dq, Q = g + уЭ/Эр, Р* = р + уdjdq, Q* = q — '-jd/dp вместо обычных (p,q) и получили вигнеровский оператор Ii'*_ и вигнеровский оператор плотности W+ в следующей форме: W± = Н(Р, Q) ± H(P*,Q*). Эти операторы входят соответственно в уравнение Вигнера ikdtp ~ W-p и уравнение Блоха-Вигнера dpF 4- ¿W+F — 0, где р = р(р,я) это вигнеровская функция распределения и F = F(p, q, р', q'; ¡3) - вигнеровская матрица плотности. Естественно рассматривать вышеупомянутую формулировку в терминах некоммутативной геометрии. Используя обычное обозначение ф' = (pi, ...,рп, ql, ■■ ■, ?"), Ф' € М2п, первый шаг состоит в расширении фазового пространства М2" па (ко-)касательное фазовое пространство ТМ2п и определении комплексных координат Ф'± = ф' i: —ш'^д/дф1, где ыч - фундаментальный симплектиче-CKirii тензор. Мы видим непосредственно, что эти координаты некоммутативны, [Ф'±, Ф4] = ±ihw'>, и не перемешиваются при эволюции, [Ф±, Ф^] = 0. Витнеровские операторы это сумма и разность между двумя гамильтонианами соответственно, W± — #"(Ф_) ± #(Ф+). В классическом пределе вигнеровские операторы воспроизводят Лиувиллиан L и гамильтониан: = -ifiL + 0(h2), W+ = 2 II(Plq) + 0(h2\ где L~ 4 = ~h'di - производная Ли вдоль гамильтонова векторного поля h' = ш'3 д} II. Согласно комплексному характеру переменных Ф± можно определить инволюцию J, действующую как комплексное сопряжение J : Ф'± —>■ Ф'т, и отвечающую соцряжепию между двумя фрагментами физической динамики.

В п.4.1.2.2 анализируется символьное исчисление Вейля-Вигнера-М ой ал а в квантовой механике. Для построения формулировки квантовой механики в фазовом пространстве Вейль и Вигнер предложили символьное отображение, связывающее с каждым оператором А, действующим на гильбертовом пространстве, символ А(ф) - функцию на фазовом пространстве А(ф) = .чутЬ(А). В частности, эрмитовы операторы отображаются в действительные функции, и наоборот. Произведением на С(М2п), делающим символьное отображение алгебраическим гомоморфизмом, является произведение Мойала, [А* В)(ф) = зутЬ(АВ) = А(ф)ехр[^д{Ш^д^]В(ф). Произведение Мойала ассоциативно, но очевидно некоммутативно и представляет в пространстве С(М2п) некоммутативное свойство алгебры операторов и нелокальный характер квантовой механики. Скобка Мойала {Д В}ть — ¿¡-(А *В—В*А) это символ коммутатора между двумя операторами и сводится к обычной скобке Пуассона {., в классическом пределе. Таким образом, алгебра (С(М2п), {, },„ь) это алгебра квантовых наблюдаемых, которая может быть непрерывно сведена к алгебре (С(М2п), {, }рб) классических наблюдаемых. Символьное отображение уравнения фон Неймана записывается в виде ¿'¡р(<^, ¿) = —{р,Н}ть. В классическом пределе это уравнение воспроизводит уравнение Лиувилля классической механики. Таким образом, символьное исчисление может рассматриваться как гладкая деформация классической механики с неассоциативной алгеброй скобок Пуассона классических наблюдаемых, А(ф),... и ассоциативной коммутаторной алгебры квантовых наблюдаемых, А,...

В п.4.1.2.3 мы обсуждаем модулярное сопряжение и унитарные преобразования. Предложено квантово-мехапическое расширение классического условия эргодичности.

Операторы ¿у и Д/, действующие как левое и правое умножение с символом /, соответственно, Ь;д = /*<?, й¡д = д * /, формируют две взаимно коммутирующие замкнутые алгебры Аг, и А в., которые являются изоморфными алгебре скобок Мойала на С{М2п). Кроме того, Ь/ и Я/ могут быть представлены при помощи произведения Мойала в следующем виде: Ь; =: /(Ф!|_) В.; =: /(Ф'_) :, где : ...: обозначает нормальное упорядочение символов. Линейные комбинации операторов, Ур — ± Я/), для действительной функции / генерируют неунитарные, д йдО, и унитарные, д —> 11ди~1, преобразования, соответственно, где V - унитарный оператор. Мы видим, что вигнеровские операторы 1У±, данные в формулировке Боппа-Кубо, можно выразить как = Ьц ± Нп — гКУ^, так что вигне-ровское уравнение может быть записано в виде д\р = УЦр, где Н - гамильтониан. Таким образом, мы можем сделать вывод, что эти представления обеспечивают связь между формулировками Боппа-Кубо и Вейля-Вигнера-

Мойала. Оператор У^ не имеет аналога в геометрии фазового пространства классической механики, так как У^ расходится при Н —> 0. Однако, ИьУ* является ./-инвариантом и имеет классический предел ШУ* = 2/ + 0(й2), так что г'ЙУд" = = 2Я + 0(Ь?) просто пропорционален гамильтониану. В уравнении Блоха-Вигнера гЬУ^ играет роль гамильтониана при определении матрицы плотности в квантовой статистике. Оператор У^ имеет интерпретацию как кваптово-дефоршгроваяяая производная Ли вдоль га-мильтонова векторного поля согласно. Кроме того, в квантовой механике ^-инвариантность оператора V/" обеспечивает унитарность эволюции, благодаря вигнеровскому уравнению.

Обычное определение топологического пространства М эквивалентно определению коммутативной алгебры А, благодаря идентификации А = С(М) с алгеброй С(М) непрерывных комплекснозначных функций на М (соответствие Гельфанда). И наоборот, пространство М может быть понято как спектр алгебры А, то есть точки х € М это неприводимые представления алгебры вследствие соотношения х[/] = /(ж), / € А. Следующий шаг состоит в том, что можно считать, что алгебра А — некоммутативная, и затем рассматривать некоммутативную версию пространства М. В частности, классическое понятие точки х € М изменяется в некоммутативной геометрии согласно фундаментальному соответствию Гельфанда.

Специфичный пример, который мы рассматриваем для наших целей, это некоммутативное векторное расслоение. В классической геометрии сечения векторного расслоения Е над многообразием М играют, в физическом контексте, роль полей материи. Для нашего рассмотрения важно отметить, что пространство £ сечений является бимодулем над алгеброй А = С(М) функций на М. В некоммутативном случае имеются левый и правый модули над некоммутативной алгеброй А вместо бимодуля. То есть для сг £ £ и/еД/аиа/ не имеют смысла как элементы 8. Можно выбрать для удобства правый модуль и тогда можно охарактеризовать некоммутативное векторное расслоение как факторный свободный модуль Ат, то есть как (правый) проективный модуль над алгеброй .4, £ = РА™, для некоторого проектора Р, Р2 = Р и некоторого целого числа тп. В символьном исчислении мы имеем, очевидно, £= А, где А — (С(М2п), *) — некоммутативная алгебра с произведением Мойала. Сечения это функции на М2п, действующие левыми и правыми умножениями и образующие, соответственно, левый и правый ./{-модули. Модулярное сопряжение действует согласно J : А ® А -¥ А ® А, (Ь, Р) (Р, Р) и £ это факторизация £ = А ® А/3. Для Л-моду лей, являющихся утггальнмют, необходимо, чтобы выполнялись соотношения; * / = / и / * Уд = /, V/ € С(М2п), где 1г,д это левый и правый "единичные" элементы £. Так как £ = А, то

мы имеем фактически /ь = /л = / € С(М2п) так что вышеупомянутые условия можно записать в виде /*/—/* / = 0, / */ + /*/ = 2/. Эти уравнения могут быть переписаны как У^I = С, гйУ^Г = 2/, V/ € С(М2п). Представление Боппа-Кубо обеспечивает реализацию пространства представления алгебры А с переменными Ф^, которое обобщает обычное М2л на некоммутативный случай.

Квантово-механический аналог классического условия эргодичности предложен в виде У^р = 0. В классическом пределе это уравнение воспроизводит обычное уравнение, Ьр = 0, где Ь обозначает Лиувил-лиан, чьи невырожденные собственные функции с нулевыми собственными значениями описывают эргодические гамильтоновы системы. Это условие может быть также переписано в представлении Боппа-Кубо как Н(Ф+)р(ф) = Н(Ф-)р(ф), то есть голоморфный и антиголоморфный гамильтонианы имеют один и тот же спектр.

В п.4.1.2.4 мы исследуем трансляционные операторы в фазовом пространстве.

В п.4.1.3.1 мы представляем главные свойства одномерного осциллятора в терминах операторов уничтожения и рождения в фазовом пространстве.

Мы определяем две пары операторов рождения и ушхчтожения, а± и а+, следуя формулировке Боппа-Кубо. Эти операторы удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям. Голоморфный и анти-голоморфный гамильтонианы Бопна-Кубо для гармонического осциллятора тогда имеют вид Я(Р,<3) = + §), Н(Р*,д*) = + §) и вигнеров-

ский оператор принимает следующий вид: = Нш(а— а!а_) = Ь,ш(п\ — п3). В двухчастичном фоковсхом пространстве Тг 0 Т-1 с базисом |п! п2), операторы действуют согласно а1|я1 п2) — л/щ + 1|п1 + 1П2), а+|п1п2> = п2 — 1). Тогда вигнеровский оператор имеет следу-

ющие собственные значения У/^щп^) — (п! — гг2) ] гг ¡^ щ),. Собственные функции вигнеровского оператора имеют следующий вид: <рП1пг(р> ч) — I ¿р0(1до Т+{р0, до)<роп2{р, ч)<Ртчо{р, ?), где Т это оператор трансляций и

и тот же самый вид для <роП2 с заменой П] —> п2 и (3).

Действие трансляционных операторов Боппа на функции (3) получено в виде: Т±(р0,да)<рщ0(р, ц) = ехр(±£(у0?-?ор))<р»1о(р+ро, ?+?о)- Коммутаторы принимают вид: [Т±(р1,91),Г±(р2,дз)] = ±2г ^(рхд2-д^Щрг +р2, + д2). Трансляционные операторы коммутируют, когда %(р:дз — йРг) = т/, I € 2. Это условие подобно условию квантования магнитного потока для

Рщ о =

1 1 ^ 2 тгш

(3)

двумерного электронного газа в однородном магнитном поле. Вырожденность уровней энергии гармонического осциллятора в фазовом пространстве связана с решеточной структурой. Это свойство аналогично периодичности магнитной группы. Чтобы ввести решеточную структуру фазового пространства явно, можно начать с вакуумного состояния, которое характеризуется нулевым угловым моментом, и определить четыре набора функций = ехр(гА Д°)Г+ (К*)р0о (Ф) ■ и просуммировать по всем четырем точкам двумерной решетки. Ячейка модуля в определении каждого Ёа имеет 41 потоков квантов проходящих через нее.

В общем аспекте в^-конструкция специально нацелена для определения некоммутативной меры и топологии. С ^-конструкция обеспечивает бракетное усреднение вместо обычного взятия следа в термополевой теории, в которой имеют дело со смешанными состояниями. Эта конструкция использует представление двойного гильбертова пространства состояний, ||Л» = Е Аа$\а) 0 \в) € 11 <53 11. Так, в частности, среднее А дается выражением (А) = {(р1/2\\А® 1\\р1/2)), где I тождественный оператор. Оператор модулярного сопряжения У действует на двойном гильбертовом пространстве, меняя два гильбертова пространства местами. Эволюция вШ-плотности дается уравнением г'ЩЦуО1/2)) = Н~\\р112)), Здесь, ОИЗ-гамильтониан Н~ = Н®1 — 3{Еи может быть очевидно ассоциирован с вигнеровским оператором V/- = гНУ}]. Согласно анализу осциллятора в фазовом пространстве, собственные функции (рщ0 и <Роп2 могут быть приписаны указанным двум фрагментам двойного гильбертова пространства. Также, двойное гильбертово пространство связано с двойным фоковским пространством Т\ ® с оператором модулярного сопряжения 17, действующим на Т\ ® Т-1 путем перестановки фоковских пространств.

В п.4.1.3.2 мы исследуем ^-деформированный гармонический осциллятор в фазовом пространстве.

д-Деформированные коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения Боппа-Кубо имеют вид: Ь^Ъ^. — \b~tb- = д"1, 64.64; — = д"2. Процедура бозонизащш этих операторов дает следу-

ющие выражения для 5-деформированных операторов (д-бозоны):

6_ =

["1+1] _ л+

--0-, О- —

Щ + 1 ^

[Й1 + 1] , _ йГ+Т- ~ N

■а+, о+ — I

[п2+1] П2 + 1 '

(4)

где [х] = (д1 — д *)/(д — д-1). Благодаря этим определениям мы можем непосредственно найти следующие коммутационные соотношения: = [й) + 1], = [п,], Ь+6+ = [щ + 1], 6|6+ = [тг2]- Ясно, что 6| = 6±, если q £ Я или } £ 51. д-Бозонные операторы действуют на фоковское пространство Я) ®?2 с базисом \щ п2) = В после-

дующем мы рассматриваем алгебру, образуемую генераторами J+ = 6-6+ и J- — 6+61. Мы нашли, что [,/+, 3-] = [2/3] и = где 2 Л =

п1—п2. Эти соотношения эквивалентны стандартным коммутационным соотношениям квантовой алгебры еич(2) в реализации Кулиша-Решетихина-Дринфельда-Джимбо, согласно которым 2) может быть реализована как два коммутирующих набора д-бозонов. Мы видим, что вигнеровский оператор для гармонического осциллятора пропорционален третьей проекции (д-деформированного) оператора сферического углового момента = 2Ы73. Действительно, в зи(2)-обозначениях для базисного вектора |П1П3), т) = I»! п2), з = |(п! + п2), т = - п2), операторы и Л действуют на пространстве Тх ® Т1 согласно 3-\}тп) — + т][у — т +т — 1), = )/[; — + я» - 1]|7 + 1)) = т\] т). Для фиксирован-

ного значения 2] 6 2 вектора |ш) охватывают неприводимые представления {]) квантовой алгебры вщ(2). Мы полагаем, что д не является корнем из единицы. Согласно этому зарядовый оператор ] = ¿(щщ) коммутирует с -4,3, и¡У т) = т). Вигнеровский оператор плотности может быть идентифицирован следующим образом. Основной факт состоит в том, что вектор ¡щщ) = \] гп) может представляться также как базисный вектор |к 1) для неприводимого представления, принадлежащего положительному дискретному ряду алгебры зид(1,1) к .50,(2, П.) с гиперболическим угловым моментом к = ^(«1 —гг2—1) = т— и третьей проекцией I = |(п1-ЬГ42+1) = ] + В частности, третья проекция оператора гиперболического углового момента А'3 действует согласно А'з I) = 1\к /). Таким образом, вигнеровский оператор плотности Цг+ — Н(Ф_) + #(Ф+) = Ли(пх + + 1) может быть непосредственно идентифицирован с К?;. \У+ = 2ЬыК$.

Некоммутативная алгебра Л это алгебра функций на фазовом пространстве с произведением Мойала. Правый и левый .4-модули переставляются модулярным сопряжением У, так что пространство сечений £ имеет вид игральной симметрии согласно некоммутативности фазового пространства.

В п.4.2 мы представляем БРСТ-подход к квантовой механике в фазовом пространстве. Теория получена Л-деформацией когомологической классической механики. Мы используем расширенное фазовое пространство, предоставляемое функциональной формулировкой, в котором мы вводим вторую симплектическую структуру и используем мойаловскую Й-деформацию.

Симплектическое многообразие М2п может рассматриваться как кокаса-тельное расслоение (М2п,Мл,Т*Мп,и) с базой М", слоем Т*МП, и фундаментальной симплектической 2-формой и. Полагая фазовое пространство М2п в качестве базы, мы рассматриваем кокасательное расслоение Ми, а именно, (МЛп, М2п, Т*М2п, П), где 2-форма и определяет симплектическую структуру на М',п и полагается замкнутой, <¿0 = 0, и невырожденной.

В локальных координатах на А/4п, А" = (§(,..., <?2ш ■ • •, а2п), А 6 М4", а е М2я, д € Т*М2", 2-форма Г! представляется как О = ^П^ХаЛс1Хь. Кока-сательное расслоение М4л можно считать фазовым пространством второго поколения, оборудованного раситрегтимп скобками Пуассона =

РдаО,аЬдьО, где 9„ = 0/3А", принимая во внимание последовательность

м- (М3я, м\т;м», {, }и) (м4я, м2\ т;м2я, {, }0). (5)

Естественная проекция р определена как р : (?, я) —>• (0, а). Духовые и антидуховые поля, как грассмановы переменные, могут быть естественно добавлены к симплектической структуре на МАп расширением М*п на суперпространство М4" 14п с координатами А* = (А°, с,, с3), к, I = 1... 8п, если оснастить его (супер)симплектической структурой, определенной блочно-диашнальной матрицей ¿г' = сНа§(Пс6,1Ы), где 1Ы - единичная 4п х 4п матрица.

Мы используем мойаловскую Й-деформацию скобок Пуассона, которая играет роль алгебры квантово-механических наблюдаемых, Алгебра, лежащая в основе гамильтоновых векторных нолей, [/г/, /г5] = это алгебра Ли, благодаря антикоммутативности ^-деформированных скобок. Квантово-мехапические свойства теор!ш таким образом закодированы в этих скобках и Й-деформация сохраняет структуру алгебры Ли классического формализма (где стандартная алгебра Пуассона-Ли заменяется на алгебру Мойала-Ли). Этот факт является наиболее существенным для дальнейших выводов.

Наша цель теперь состоит в том, чтобы использовать симплектическую структуру Г2 на М4п, представленную выше. Для определения расширенных мойаловских скобок мы используем симплектическую структуру на МАа {Р\ = 81п(^даПаЬд1,)С, с лежащим в основе /¿-деформированным произведением F * в = ^ ехр(уЗаГ20бЭь)О. Тогда при 7г-деформации последовательность отображений (5) остается той же самой, со скобками Пуассона, замененными на Л-деформированные скобки Пуассона. Так как /г-деформированные произведения функций, /(а) * д(а) и Р(Х) * £?(А), некоммутативны, мы имеем дело фактически с некоммутативными кокаса-тельными расслоениями М2п и М4п. При подключении грассмановой части расширенный скобки Мойала становятся градуированными скобками {ВДла = ^япфкйк1д,)С, где 8к = д/д\к.

Коммутатор производных Ли на М2" вместе с лежащей в основе Н-деформированной алгеброй гамильтоновых векторных полей может быть представлен как й-деформированная скобка Пуассона на М1п, то есть [4^4,] {4г,4Ллй' ляя горизонтальных гамильтоновых векторных полей к'(Х) на Мы. то есть полей, ортогональных к слоям Т*М2п. Мы

требуем, чтобы симплектические диффеоморфизмы в расслоении (М4я, Í2) сохраняли симплектическую структуру на базе (М2п,и>), то есть, чтобы при естественной проекции выполнялись следующие два требования: (i) Р ' {j }hñ {i (ii) р : ha(X) ~t h'{a). Здесь, гамильтоново векторное поле на М4и это h"(X) = ílabdbH(X) так что р : Н(А) Н(а). Условие (i) обеспечивает так называемое условие горизонтальности: q, = с,- = é — 0. Зависящая от духов часть Tit, фиксируется единственным образом, благодаря условию БРСТ-инвариантности. А именно, результат имеет вид Wh{q,a) = q¡h'h + ic¡dkh'hiгде Нц(д,а) = (f{x)/x)H(a) = ¿i duexp[—hxu)H(a) = ¿{ duH(a' — hq^'u) - /г-деформированный классический гамильтониан, f(x) = sh(a;), х = ftg.w'-'Sj, и h\ = {J'djHh{q,a) -Й-деформированное гамильтоново векторное поле. Данная функция Гамильтона - это ñ-деформированная версия функции Гамильтона Ж, и играет ту же самую роль в когомологической квантовой механике как Л в когомологической классической механике. В бездуховой части эта функция Гамильтона воспроизводит вигнеровский оператор. В рассматриваемой теории состояния определены вигнеровской р-духовой плотностью р = p(a,c,t), а уравнение потока имеет вид dtp = {р, H}t¡u = Икр- Единственное отличие от классического случая может возникнуть в результате БРСТ-преобразования деформированного гамильтонова векторного поля h'¡u sh\ — дкЬ\сл. Это означает, что БРСТ-симметрия сохраняется при ft-деформации и Hh является БРСТ-инвариантом.

В пятой главе - Непотенциальная теория рассеяния - исследуется теория рассеяния, основанная на формализме адронной механики, которая является '/'-операторной деформацией стандартной квантовой механики, (i) Построено решение обобщенного уравнения Шредингера, (ii) найдены обобщенный свободный пропагатор и (iii) решение обобщенного уравнения Липпмана-Швингера для сепарабельных потенциалов, (iv) Проведены расчеты иепотенциалыюй длины рассеяния для потенциала Ямагучи в задаче рассеяния нейтрона на протоне при частном выборе изотопического оператора, (v) Разработан формализм непотенциальной теории рассеяния для частиц со спином и вычислена амплитуда рассеяния для спина 1/2 и трех частных случаев изотопического оператора, (vi) Разработано Т-изотопическое обобщение теории полиномов Лежандра, функций Бесселя и Якоби.

В п.5.1 мы рассматриваем упругое Т-изотопическое рассеяние протона на нейтроне в триплетном состоянии S-n в рамках адронной механихи, которая используется для объяснения непотенциальных эффектов.

В п.5.1.2 мы вычисляем свободный пропагатор в координатном и импульсном представлениях, чтобы найти общее решение изотопически обоб-

щенното уравнения Шредингера (изо-Шредингера). Для нахождения асимптотики волновой функции зашпием уравнение изо-Шредингера в виде (Е* — Нй)Тф = Уф, где V(r) - известная функция. Общее решение для этого уравнения имеет вид

■ф(г) = фа(г) + / df G+(E±; г- ^ТУ^Тф^), (6)

где фа - общее решение уравпения (Ё± — Но)Тфа = 0. Здесь Gq (Ё*-, г — ?) - функция изо-Грина, которая удовлетворяет следующему неоднородному уравнению: (Ё* - Я0)ТС^"(£±; г- г*) = ¿(г- г*), где Ё± = lim,^* ± г?)/, ¿(г — г1) = 1&(г — г1), и / = Т-1 - изотопический единичный оператор. Из уравнения (6), прямые вычисления ведут к следующему виду свободного изо-пропагатора: Gq — //(л — ТН0), и аналогично можно найти, что G+ = //(г — где мы обозначили z = — Я0.

В п.5.1.3 мы рассматриваем общее решение уравнения изо-Шредингера, непотенциальную амплитуду рассеяния и представляем решение и амплитуду для частных выборов Т. Мы можем записать формальное общее решение уравнение изо-Шредингера как уравнение изо-Лшшмана-Швингера для ф+(г), то есть

\Ф+(Г)) = \Ш) + / ^(r\GtmmP)V(r')T(P)\i,+(r')). (7)

Используя г-представление Gq(z), мы имеем

' Wa( )) + J2^2^ArV{T)J-oo (2mi - р2Т(р)) ' W

Чтобы выполнять дальнейшие вычисления необходимо задание частного вида Т. Мы рассматриваем случаи Т(р) = const и Т(р) = 1 + а2р2, где а = const.

В п.5.1.4 мы исследуем уравнение изо-Лишшана-Швингера для матрицы рассеяния, общее решение на оболочке для сепарабельного потенциала, и иепотенциальную длину рассеяния. Уравнение изо-Лшшмана-Швингера для J(z) вне оболочки:

<Р1Ш = <р|%>+~ /0°°(Р(9)

Мы решаем уравнение (9) на оболочке, используя сепарабельность потенциала. Длина рассеяния а получена в виде а = У(0)/(1 -f тВ/2тг2), благодаря соотношениям f(9, tp) = J(p)/4тг и а = —/(0).

В п.5.1.5 мы вычисляем длину рассеяния для потенциала Яма-гучи и частных случаев изотопического оператора Т(р). Интеграл В

содержит два характерных объекта, потенциал V(p,p) и изотонический оператор Т(р), частные виды которых должны быть определены, чтобы получить итоговые формулы для длины рассеяния а. Мы берем потенциал Ямагучи V(p, р) для процесса пр-рассеяния, V(p, р) =

и РассматРиваем ТРИ частных случая Т(р). (а) Т(р) = Г0 = const. Мы имеем о = (1 + к0)2/(1 ~ 0 + «о^о)2), (Ь) Г(р) =

1 + а2р2 (а - константа). После утомительных, но прямых вычислений мы получаем а = (1 + к0)2/(1 - ((1 + к0)2(1 + а2) ~ а2)), (с) Т(р) = 1 + co.s(ap)n (а - константа, п > 2). Мы имеем а = (1+ Kq)2/(1 - ((1 + «о)2 + 8к0(1 + ко)2 sb(t"a)e + sin 2(¿a)n)).

В п.5.2 мы рассматриваем Г-изотопическое рассеяние двух частиц с изо-спинами s¡ и s2.

В п.5.2.2 мы разрабатываем формализм для описания Т-изотопического (непотенциального) рассеяния частицы с изо-спином на бесспиновой частице. Возьмем начальную волновую функцию системы ф*, в виде (Т-изотонического) произведения (изо-)свободной волны, характеризующей относительное движение с импульсом к и изоспиновой функции (p^kf¡ = ехр{гкТ{к)г} * где х? ~ собственная функция изоспиновых операторов s2 и s¡, а р пробегает 3 проекции спина. Тогда описание рассеяния может быть проведено следующим образом: Щр(г) — m-;¡(r) + / ó+(r — г') * V(r') * Пропагатор может быть представлен в диагональном

виде в изоспиновом пространство. Решение ассоциированного уравнения изо-Липпмана-Швингера для матрицы рассеяния J в этом случае аналогично бессниновому случаю. Длина рассеяния á¡, = —/Д0,0), тогда имеет вид = (0¡ J|0)/4ít. Дифференциальное сечение при фиксированных значениях проекций спина имеет вид: а(р —> ¡i') — ¡//,¿(6, ф)\2, Если проекции не фиксированы, тогда сечение должно быть усреднено по начальным проекциям и просуммировано по конечным проекциям.

В п.5.2.3 мы обобщаем эти результаты на случай двух частиц с изо-спином. Представим волновые функции каналового (изо-)спина Xsn с помощью (Т-изотопических) правил сумм xs¡1 = Ziil^{sip1S2P2\sp)RxSlfllRxSl^-Мы показываем, что рассеяние для различных каналов не зависят друг от друга. Таким образом, рассеяние частиц со спином может быть описано в терминах рассеяния частицы со спином на бесспиновой частице:

cr{pip2 = ¡jy^oiД Р-

В п.5.2.4 мы делаем краткий обзор проблемы собственных значений (изо-)спиновых операторов. Обобщение обычной теории спина основано на специально введенной матрице спинов R, которая выбрана диагональной.

П.5.2.5 посвящен Т-изотопическому рассеянию частиц со (изо-)спинами si = s2 = 1/2. Мы получили, что /„<,„>^(6, Ф) = Cfa(9, ф)Ех%„, где /0{в, ф)

- непотенциальная амплитуда рассеяния для бесслиновой частицы. Для определения / необходимо найти С и х?^- Для этого мы рассматриваем изотопическое произведение коэффициентов Клебша-Гордана, которое найдено в виде Т.¡¡и'!/ ¿ч ДОг = Для триплетного состояния 5; имеется три симметричных функции спина, в то время как для синглет-ного состояния мы имеем антисимметричную функцию спина, которые мы вычислили, используя изотопическое обобщение алгебры сг-матриц. Используя полученные выражения для функций спина, мы записываем три-плетную и синглетную непотенциальные амплитуды ¡(в, ф)и-Р1 и /(в, ф),пд1-Мы показали, что непотенциальные амплитуды рассеяния для триплет-ных и синглетных состояний отличаются только общим знаком минус, как это имеет место в обычной потенциальной теории. Однако, обратим внимание, что этот результат следует из выбора диагонального вида матрицы К Внедиагональные члены в Л могут нарушить такое соответствие между амплитудами для синглетных и триплетных состояний. Мы также представляем результаты вычислений для триплетной и сияглетной амплитуд рассеяния для пр-рассеяшм с тремя специфическими выборами (а)-(с) изотопического элемента Т(к).

В п.5.3 мы рассматриваем Ли-изотопическое (Т-) обобщение полиномов Лежацдра, Якоби и функции Бесселя. Дается детальное описание и неприводимые представления группы £"0(3) вращений трехмерного изо-евклидового пространства и группы, локально изоморфной ей, 50(2), состоящей из изоунитарпых изоунимодулярных 2x2 матриц. Т-изогопические обобщения групп 50(3) и 5(7(2) представляют интерес в многочисленных исследованиях, известных в литературе. В предыдущих пп. мы исследовали непотенциальную теорию рассеяния при нулевом угловом моменте. С физической точки зрения интерес состоит в том, что Т-обобщения полиномов Лежандра, а также специальных функций, таких как функции Бесселя, Якоби и Ханкеля, необходимо использовать в формулировке пепо-тенциальной теории рассеяния когда рассматривается ненулевой угловой момент. Кроме того, изучение обобщений специальных функций является необходимым элементом для формулировки соответствующей трехчастич-ной задачи рассеяния, рассмотрение которой является весьма важным для описания процессов рассеяния с участием легких ядер, по которым имеются обширные экспериментальные данные.

В п.5.3.2 мы устанавливаем определение и свойства группы 57/(2).

В п.5.3.3 мы рассматриваем унитарные неприводимые представления (ЯЛ) группы 51/(2).

В п.5.3.4 мы вычисляем матричные элементы 7}(й) унитарных НП

группы 8и(2) и получаем определение полиномов изо-Лежандра Р'тп(г)\

р> _ ,—я»-о д5-25+3}+(т+п)/2

* тп - I

(/ + т)!(/ 4- п)! V Д-1 — ¿/

х у _('+№_1£У (Ю)

где Д = й<Л ||/||, / =

В п.5.3.5 мы выводим основные свойства полиномов изо-Лежандра. В п.5.3.б представлены функциональные связи, которым подчиняются поликомы изо-Лежандра.

В п.5.3.7 представлены определения специальных функций изо-Якоби, изо-Лежандра и изо-Бесселя и их некоторые основные свойства. Полученные нами в результате построения неприводимых представлений группы ф 11(2) изоунимодулярных квазиунитарных матриц и группы М(2) движений изо-евклидовой плоскости, аналогично исследованию полхшома изо-Лежандра в пп.5.3.2-5.3.6. Функции изо-Бесселя определяются согласно

д 2 2л-

]п(х) = ~!ехр{гД2г2_21/2 втрД'/2] - гА3'2пв}М, (11)

о

где п это целое число. Функции изо-Якоби В'тп(г) определяются выражением

д4+/ 2-п

В'тп(9йФ соз[гтД1/'2]) = ^—1 Л?ехр{г'Д3/2(т - тг)б}

о

Мди12 соз[ггД1/2] - гд^'2 8т[ггД^2] ехр{гДе})'+" (12)

х(л"1/2 созргД1'2] - 1д?1'2 вт^гД1^2] ехр{—гД#})'-п.

Теорема сложения функций изо-Якоби аналогична теореме сложения для полинома изо-Лежандра 1юп(г). Рекуррентные соотношения выводятся из теоремы сложения такие же как и рекуррентные соотношения для Р4„(г). Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция изо-Лежандра В/(2), имеет вид

(РА2 - ¿у)<РВ1/(1г2 + ИМВ^йг = (1 +

1)/ДВ,.

В Заключении формулируются выводы.

Основные результаты диссертации

1. В рамках Ли-изотоиического обобщения теории относительности и теории гравитации развит формализм и проанализированы феноменологические наблюдаемые следствия малых деформации метрики Минковского.

2. Построено векторно-неметрическое обобщение пространства Вейля, проанализирована соответствующая неметрическая теория гравитации и квантовая электродинамика на фоне векторной неметричности в однопетлсвом приближении, что дало наблюдаемые ограничения на параметр неметричности.

3. Разработан расширенный параметризованный пост-ньютоновский формализм в финслеровой теории гравитации и проанализированы наблюдаемые следствия, предсказаны новые гравитационные эффекты и получены наблюдаемые ограничения на фишслеровы параметры.

4. В рамках фипслерова Ли-изотоиического подхода объяснена аномальная зависимость от энергии некоторых фундаментальных параметров мезонной К°-К" системы.

5. Доказано выполнение принципа Паули в рамках адронной механики.

6. В рамках адронной механики разработана интерпретация модели адро-низации кварков в процессе распада очарованных мезонов, основанная на включении неунитарности эволюции посредством выбора гауссовского вида для Г-изотопического элемента.

7. Построено суперсимметричное расширение адронной механики.

8. Предложен и развит функциональный БРСТ-подход к гамильтоновым и биркгоффовым динамическим системам, в рамках которого установлено, что итоговая теория является топологической квантовой теорией поля и описывается чистой калибровкой, имеется связь между топологией фазового пространства (индекс Виттена) и интегрируемостью системы, корреляционные функции БРСТ-наблюдаемых равны индексу пересечения, имеются гомотопически нетривиальные инварианты Пуанкаре, когомологический класс симплектической 2-формы связан с репараметризационной инвариантностью теории.

9. Построена формулировка когомологической гамильтоновой механики в терминах модели Ландау-Гинзбурга и эквивариантной внешней производной, позволившая установить, что исследуемая модель описывается суперпотенциалом.

10. Установлена связь различных формулировок квантовой механики на фазовом пространстве и сформулировано условие квантовой эргодичности.

11. Построена модель ^-деформированного квантово-механического гармонического осциллятора на фазовом пространстве, в рамках которой установлено, что операторы Вигнера соответствуют генераторам квантовой

группы SUq(2).

12. Предложен и развит функциональный БРСТ-подход к квантовой механике на фазовом пространстве, в котором должно быть использовано условие согласованности симплектических структур, что дает возможность построить квантовый (деформированный) гамильтониан, обладающий необходимыми симметриями.

13. Проведено последовательное построение непотенциальной квантовой теории рассеяния, основанной на формализме адронной механики, и получены амплитуды процессов двухчастичного рассеяния бесспиновых и спиновых частиц.

14. Построено обобщение теории полиномов Лежандра, функций Бесселя и Якоби в рамках Т-изотопической деформации, что дает необходимый аппарат для развития непотенциальной теории рассеяния при ненулевом угловом моменте.

Публикации по теме диссертации

1. А.К.Арынгазин, Г.С.Асанов, "Финслерова геометризация внутренних симметрии физических полей", Сб. трудов 6-ой Советской гравитационной конференции "Современные проблемы теории относительности и гравитации", Москва, 1984, с.321.

2. A.K.Aringazin and G.S.Asanov, "Finslerian Post-Riemannian Corrections to the Equations of Geodesies", General Relativity and Gravitation 17 (1985) 1153-1163.

3. А.К.Арынгазин, Г.С.Асанов, "Наблюдаемые пост-ньютоновские эффекты, возникающие из статических четно-степенных финслеровых метрических функций", Вестник Московского университета, Сер. Физ. Астрон., 28 (1987) 12-17.

4. A.K.Aringazin and G.S.Asanov, "Problems of Finslerian Theory of Gauge Fields and Gravitation", Reports on Mathematical Physics 25 (1988) 183-241.

5. А.К.Арынгазин, "Прецессия гироскопа для нерегулярных обобщенных финслеровых метрик", Изв. вузов, Сер. Физ. Астрон., 5 (1989) 91-95.

6. A.K.Aringazin, "Lie-Isotopic Finslerian Lifting of the Lorentz Group and Blokhintsev-Redei-like Behavior of the Meson Life-Times and of the Parameters of the K° - K° system", Hadronic J. 12 (1989) 71-74.

7. A.K.Aringazin, "Post-Newtonian Analysis of the Generalized Finsler Metrics", Abstracts of Contrib. Papers. Intern. Conf. on General Relativity and Gravitation GR-12, Boulder, Univ. of Colorado, 1989, Vol. 1. p.352.

8. A.K.Aringazin, "Lie-lsotopic Finslerian Lifting of the Lorentz Group and Anomalous Behavior of the Meson Life-Times and of the Parameters of the

1С —К11 system", Abstracts of Contrib. Papers. Intern. Conf. on General Relat. and Gravit. GR-12, Boulder, Univ. of Colorado, 1989, Vol.1, p.351.

9. A.K.Aringazin, "Validity of the Pauli's Principle in the Exterior Branch of Hadronic Mechanics", Hadronic J. 13 (1990) 183-190.

10. A.K.Aringazin, A.Jannussis, D.F.Lopez, M.Nishioka, and B.Veljanoski, "Santilli's Lie-isotopic Generalization of Galilei's and Einstein's Relativities in Classical Mechanics: A Review of Their Mathematical Foundation, Physical Applications and Proposed Experiments", Preprint of Inst, for Basic Research (Cambridge, MA) IBR-TP-901 (1990) 352 pp.

11. A.K.Aringazin, "Supersymmetric Hadronic Mechanical Harmonic Oscillator", Hadronic J. 13 (1990) 263-276.

12. A.K.Aringazin, A.Jannussis, D.F.Lopez, M.Nishioka, and B.Veljanoski, "Need for Mathematical Studies on Santilli's Lie-isotopic Relativities", Algebras, Groups & Geometries 7 (1990) 211-300.

13. A.K.Aringazin and A.L.Mikhailov, "Matter Fields in Space-Time with Vector Non-metricity", Classical and Quantum Gravity 8 (1991) 1685-1700.

14. A.K.Aringazin, A.Jannussis, D.F.Lopez, M.Nishioka, and B.Veljanoski, "Addendum et Errata for the article 'Need for Mathematical Studies on Santilli's Lie-isotopic Relativities'", Algebras, Groups & Geometries 8 (1991) 77-83.

15. A.K.Aringazin, "Lie-isotopic Approach to a New Hadronization Model", Hadronic J. 14 (1991) 531-539.

16. A.K.Aringazin, A.Jannussis, D.F.Lopez, M.Nishioka, and B.Veljanoski, Santilli's Lie-isotopic Generalization of Galilei's and Einstein's Relativities, (Kostarakis Publishers, Athens, 1991) 392 pp.-fxi (монография).

17. A.L.Mikhailov and A.K.Aringazin, "Vcctor-Nonmetric Gravity", Abstracts of Contrib. Papers. Intern. Conf. on General Relativity and Gravitation GR-13, Cordoba, Argentina, 1992, Vol.1, p.247.

18. A.L.Mikhailov and A.K.Aringazin, "Some Invariant Tensors of the SpaceTime with Vector Non-Metricity", In: Abstracts of Contrib. Papers of the Intern. Conf. in memory of Lobachevski, Kazan, Russia, 1992, p.151.

19. А.Л.Михайлов, А.К.Арынгазин, "Аналог тепзоров Вейля в пространстве-времени с векторной пеметричностыо", Высшая школа - народному хозяйству Чувашии, Естественные науки, Чувашский госу1гиверситет, Чебоксары, 1992, с.45.

20. A.KAringazin and A.L.Mikhailov, "Invariant Tensors of the Space-Time with Vector Non-Metricity", Algebras, Groups k. Geometries 10 (1993) 73-76.

21. A.K.Aringazin, "Some Remarks on Lie-Isotopic Lifting of Minkowski Metric", Hadronic J. 16 (1993) 195-206.

22. A.K.Aringazin, "Supersymmetric Properties of Birkhoffian Mechanics", Hadronic J. 16 (1993) 385-409.

23. A.K.Aringazin, "BRS and Anti-BRS Invariant States in Path Integral Approach to Hamiltonian and Birkhoffian Mechanics", Phys. Lett. В 314 (1993) 333-335.

24. A.K.Aringazin, V.V.Arkhipov, and A.S.Kudusov, "Cohomological Approach to Hamiltonian Systems", Invited paper, in: Proc. Intern. Workshops, 7-13 August 1995, Monteroduni, Italy, 22 pp.

25. A.K.Aringazin, "Supersymmetry of the Lie-Isotopic Generalization of Hamiltonian Mechanics", In: Proc. of Annual Conf., May 24-31,1993, Karaganda, Kazakhstan, p.37.

26. A.K.Aringazin and K.M.Aringazin, "Universality of the Lie-Isotopic Symmetries for Deformed Minkowsldan Metrics", Invited paper, in: Proc. of Intern. Conf. 'Frontiers of Fundamental Physics', September 27-30, 1993, Olympia, Greece (Plenum Press, New York 1994) pp.153-162.

27. A.K.Aringazin, K.M.Aringazin, S.Baskoutas, G.Brodimas, A.Jannussis, and K.Vlachos, "q-Deformed Harmonic Oscillator in Phase Space", Invited paper, in: Proc. of Intern. Conf. 'Advances in Fundamental Physics', eds. M.Barone and F.Selleri, (Hadronic Press, Palm Harbor 1995) pp.329-348.

28. A.K.Aringazin, K.M.Aringazin, and V.Arkhipov, "BRST Symmetry in Cohomological Classical Mechanics", Hadronic J. 17 (1994) 429-439.

29. A.K.Aringazin, V.V.Arkhipov, and A.S.Kudusov, "Superfield Representation of Cohomological Hamiltonian Systems", Межвузовский сб. научных трудов, Карагандинский ГУ, Караганда, 1995, 9 стр.

30. A.K.Aringazin, D.A.Kirukhin, and R.M.Santilli, "Nonpotential Two-Body Elastic Scattering Problem", Hadronic J. 18 (1995) 245-255.

31. A.K.Aringazin, D.A.Kirukhin, and R.M.Santilli, "Nonpotential Elastic Scattering of Spinning Particles", Hadronic J. 18 (1995) 257-269.

32. A.K.Aringazin, D.A.Kirukhin, and R.M.Santilli, "Introduction to Nonpotential Scattering Theory", Invited paper, in: Proc. Intern. Workshops, 7-13 August 1995, Monteroduni, Italy, 24 pp.

33. A.K.Aringazin and D.A.Kirukhin, "Isotopic Generalization of the Legendre, Jacobi, and Bessel Functions", Algebras, Groups & Geometries 12 (1995) 255305.

34. A.K.Aringazin, "Functional approach to phase space formulation of quantum mechanics", in: Proc. of the XVIII Workshop on High Energy Physics and Field Theory, June 26-30, 1995, Protvino, Russia, eds.V.A.Petrov, A.P.Samokhin, R.N.Rogalyov (IHEP, Protvino, 1996) pp.322-327.

35. A.K.Aringazin, V.V.Arkhipov, and A.S.Kudusov, "BRST Approach to Hamiltonian Systems", Preprint KSU-DTP-10/96, 39 pp.

Арыкгазнн Ас^ар Каиапняулм

МАТЕРИЯЛАР АРАСЫНДАГЫ ОЗАРА ЭСЕРГЕ, ГАМИЛЬТОН ЖЭНЕ КВАНТ ЖУЙЕЛЕРШЕ ФУНКЦИОНАЛДЫК, ДЕФОРМА-циялы^тэал КрЛДАНУ

01.04.02 - теорнялм^ физика Жумыстыу так,ъ1рм(1ы класс и калы к; жлнс кваитты^ жунслерге функ-.ионалды^ деформациялы1$ тэс1Л £«лдану. Жумыстыц нспзп ма^гатм фуик-1ИоиалдЫ£ жене деформацмдлы^ гэс1\дерд! колдана отырып, жалнмланган еорияим куру жане жете талдау. Бул теориялар ар^млм материалар ара-:ында!Ы нзара эссрд», классикалм^ ж<эне квантты£ куПмлыстарды к,арастыру-Эсы журпз1лгсн жуммстарга ар налган зсргтсу, улкен Г»сс баммнен турады: I) арнайы жанс жалим салмстырмалы теориям м талдау, 2) адрондм£ меха-1ИКа, 3) гамильтон жунелерше функционалды% тэси крлдану, 4) фазалы!$ <е»рет!ктердеп ккангтм£ жуйелсргс функционалы^ тэс!л »$олдану, ?) яотемцналдм емес шатырау теорнясы.

\рнайм жаие жалим салмстырмалм теорияга Ли-нэотопты£ кортынды бе-рЬ\ген жане Мннковскин метрнкасыны»^ феноменологиялык нэтижесше талдау жасалган.Метрнкалы^ емес (SVN) вектор кешспк-уакыты усынылып БХ'Г^-дег» нркгпк материя жаие кианттм^ электродинамика тсориясы дамыгылгап. Фннслер гравитация теориясм унии кен,гг1\е параметрленген пост-ньютон (РР]%') формализмы жасалып ж«*»»р 5айкалтан РРГчт-Нг*тижес! талданган. Ан-изотоптмк фннслер т<*с(ли< колдана отырып, К-К-жунесшдеп функционал дм пара мет рлерд>ц аномал дм £ янсргетикага тауелди«Г1не тусппктемс берьлген. Адронды^ механика да Паули нрништтц орыидалатмпдмгм дэлелденген. Ад рои механикасм чармныц ыдырауында кнантгардм адронизациялау модели« тус»нд>ругс 1$оАданган. Суперсимметриялык адрои механикасм ода и ар! ке1ит1лгеи. БРСТ-тлсгл» Гамильтон жние Биркгофф жуйелерте ^олданмп, кен,ейтиген жанс асгоуиирлашан тоиологиялмк, кнант ор1с теорнясы нактмланмп, талдангаи. Ландау-! ннэПург тужмрммдамасм жане бул модель уши* иккнкармапттмк тумндамагы Гн-рьлм-н. Кнанттык мехапикапьщ фазалм£ кенк*т«кт«* <*ртурл| тужырымдамасмнмн Ланланысы аимкталган ж ли с к на и« ттык нр годика сын ьш шартм умнын ли. Фаиалык кец,1ст1ктсг I гармониялы^ осниллятордмп ц-де форма ни нем жан-жакты талкмлаш а н. Фазалык ке-н»ст1ктег! кнанттык, механика» !»! ЬРСТ-т^спш колдану ар^ылм жсте зерттел-ген. Адрондмк мсханикага нсггзделс «тырм», потенциал емес шашырау тео-рисы жасалган «*р» сниигдо ж^не С(гип жа»дайында гк|г»нлшскт!к шашырау амплитуда см ссеитг» шм» а р!ИЛ1 ан. Т-и:+<»топтык деформация Лежаидр и<»лииомдармнын, Ье< < ель ж^н»* Я коГ»н функпиялармпми теория-чары дам »»и

Aringazin Ascar Kanapievich FUNCTIONAL DEFORMATIONAL APPROACH TO GRAVITY, HAMILTONIAN AND QUANTUM SYSTEMS Doctor of Science Degree in Physics and Mathematics Speciality 01.04.02 - Theoretical Physics SUMMARY

The topic of the work is functional deformational approach to dynamical systems, both classical and quantum. The main aim of the work is to construct and elaborate generalised theories based on functional and deformational approaches, and to investigate with the help of these theories gravitational, classical and quantum phenomena.

Investigations made in the work are divided to five big sections concerning (1) Generalisations of special and general relativities, (2) Hadronic mechanics, (3) Functional approach to Hamiltonian systems, (4) Functional approach to quantum mechanical systems in phase space, and (5) Nonpotential scattering theory.

Lie-isotopic generalization of special and general relativity, and analysis of phenomenological implications of the deformed Minkowskian metrics are given. Space-time with vector non-metricity (SVN) is suggested, and theory of matter fields and quantum electrodynamics in SVN are elaborated. Extended parametrised post-Newtonian (PPN) formalism for Finslerian theory of gravitation is elaborated, and PPN observational effects are analysed. Lie-isotopic Finslerian approach has been used to explain anomalous energy dependence of fundamental parameters of K° — A'0 system. Validity of Pauli's principle in hadronic mechanics is proven. Hadronic mechanics has been used to present an interpretation of the model of quark hadronization in charm decay. Supersymmetric hadronic mechanics has been developed.

BRST approach to Hamiltonian and Birkhoffian systems has been developed, and the associated topological field theory model has been analysed in detail. Landau-Ginzburg and equivariant differential formulations for this model are given. Relationship between various formulations of phase space quantum mechanics has been established, and quantum ergodicity condition is suggested. g-Deformed harmonic oscillator in phase space has been analysed in detail. BRST approach to quantum mechanics in phase space has been elaborated. Nonpotential scattering theory based on hadronic mechanics is developed, and two-particle scattering amplitudes have been calculated for spin and spinless cases. Theory of Legendre polynomials, and Bessels and Jacobi functions within the framework of T-isotopic deformation has been elaborated.