Гамильтонов формализм Де Дондера-Вейля в теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

I. Введение

II. Глава 1. Теория Де Дондера - Вейля и форма Пуанкаре-Картана

1.1 Гамильтонова формулировка полевых уравнений до Де Дондеру - Вейлю

1.2 Форма Пуанкаре-Картана и Гамильтоиовы полевые уравнения Де Дондера-Вейля . .,.<.

III.

Глава 2. Основные структуры Гамильтонова формализма ДВ • ' ■ .

2.1 Полисимплектмческая форма . .^.

2.2 Градуированная каноническая симметрия х 2.3 Скобки мультивекторных полей и форм

2.4 Пред-гамильтоновы поля

IV. Глава 3. Алгебраические свойства градуируемой скобки Пуассона

3.1 Градуируемая алгебра Ли

3.2 Обобщенные алгебры Герштенхабера. 3.2.1 Правило Лейбница высшего порядка

3.2.2 Правое градуированное правило Лейбница

3.3 Ко-внешнее произведение и алгебра Герштенхабера

V. Глава 4. Уравнения движения в терминах скобки Пуас

4.1 Уравнения движения Гамильтоновых (п - 1) - форм . 48 ' • 4.2 ДВ полевые уравнения в формулировке скобки Пуассона и канонически сопряженные переменные

4.3 Сохраняющиеся токи.

4.4 Уравнения движения форм произвольной степени . 53 4.5 Дальнейшие обобщения алгебры Гамильтоновых полей

VI. Глава 5. Негамильтоновы формы

5.1 Негамильтоновы формы и мультиБекторно-значные формы

5.2 Некоммутативная алгебра Герштенхабера горизонтальных форм VII.

Глава 6. ■ Некоторые приложения

6.1 Взаимодействующие скалярные поля.

6.2 Электромагнитное поле

6.3 Струна Намбу-Гото.

6.4 Поле Дирака.

VIII. Обсуждение и заключение

Гамильтонов формализм основан на представлении уравнения движения в форме первого порядка и преобразовании Лежандра. Математические структуры, появляющиеся в такой формулировке динамики имеют фундаментальное значение в широкой области приложений от изучения' интегрируемых систем до квантования.

Известное обобщение. Гамильтонова формализма на теорию поля основано на функциональных дифферевлдальньж уравнениях первого порядка по частным производным но времени. Эта формулировка требует явного выделения времени, или эволюционной переменной, и ведет к идее поля как динамической системы с континуально бесконечным числом степеней свободы. Эта точка зрения успешно применяется в многочисленных приложениях, в частности, в каноническом квантовании в теории поля. Хотя она и нарушает дух теории относительности,' делая явное различие между пространственными координатами и временем, этой формулировке можно дать ковариантную форму, версия которой обсуждена, например в [1]. Другие обсуждения Гамильтонова формализма в теории поля и дальнейшие детали могут быть найдены, например, в [2, 3, 4, 5]. Заметим, что в рамках этого подхода геометрические построения классической механики могут в принципе быть расширены на теорию поля, используя функционально - аналитические структуры бесконечно - мерных геометрий, однако применимость таких построений часто ограничена, как, например, показывают известные трудности в геометрическом квантовании теории поля. Также не очевидно, что каноническое квантование, основанное на стандартном Гамилътоновом формализме, который требует, чтобы пространство-время было, топологически, прямым произведением пространства и времени, является адекватным для теорий, подобных Общей Теории Относительности.

Однако, существует другая формулировка полевых уравнений, в форме дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, построение которой также подобно тому, как строится Гамнлътонова формулировка в механике, но которая соблюдает явно симметрию между пространством и временем . Эта формулировка менее известна в теоретической физике, несмотря на то, что ее существенные элементы появились более шестидесяти лет назад в статьях Де Дондера [6], Каратеодори [8], Вей ля [7] и других по вариационному исчислению, (см., например, [9, 10, 11, 12] для дальнейших ссылок). В этом подходе обобщенные координаты - полевые переменные. уа (не полевые конфигурации уа{ х ) !) и множество п импульсо-подобных переменных, названных здесь полиимпульсами, рга :— дЬ/д(д{уа), связаны (здесь { = 1 - пространственно-временной индекс), подобно механике, ковариантным преобразованием Лежаядра: д{уа —» рха, Ь(уа, д-1уа, хг) Нт(уа,рга,хг) ргадгУа — Ь, где последнее выражение определяет ковариантный теоретико-полевой аналог канонической функции Гамильтона, которую мы называем Гамильтоновой функцией Де Дондера - Вейля (ДВ). В отличие от Гамильтоновой плотности в стандартном Гамилътоновом формализме, которая является компонентой Г0° тензора энергии-импульса, ДВ Гамильтонова функция - скаляр, прямая физическая интерпретации которого не очевидна. Интересно то, что в терминах, введенных выше переменных, полевые уравнения Эйлера- Лаграгоха принимают форму системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (см. уравнения (1.3) ниже), которые естественно обобщают Гамильтоновы канонические уравнения движения с механики на теорию поля. Эта форма полевых уравнений является полностью пространственно-временно' симметричной'и, кроме того, сформулирована в конечно-мерном ко-'вариантном аналоге фазового пространства - пространстве переменных уа к рга, которое мы называем мпогоимпульсным фазовым пространством ( В наших более ранних статьях использовался термин "фазовое пространство ДВ"). Таким образом, теория поля появляется как своего рода обобщенная Гамкльтонова система со многими "временами", роль которых играют как пространственные, так и временные переменные, трактуемые полностью симметричным способом. При этом заметим, что ДВ Гамильтонова функция не генерирует временную эволюцию поля из начальных данных Копти, а скорее управляет пространственно-временным изменением, или развитием, поля.

Заметим также, что существует теория Гамильтона-Якоби, связанная с ДВ Гамильтоновой формулировкой полевых уравнений (см., например, [9,10]). Эта теория сформулирована в терминах ковариантного дифференциального уравнения в частных производных для п функции Гамильтона-Якоби 3%(уа,хг): д;8г = Нщ$(уа,рга := даБ\ хг), которое сводится к обычному уравнению Гамильтона-Якоби в механике, при П = 1.

Из-за фундаментальных особенностей, которые сформулированы выше, будем называть обсуждаемый здесь формализм Гамильтоновой формулировкой ДВ. Удивительно, что основные элементы возможно- . го канонического формализма, основанного на этой формулировке," и даже существование некоторых из них, довольно плохо поняты. Фактически, когда" представляемая работа была начата в 1992 году, было даже не очевиден©, действительно ли ДВ формулировка полевых уравнений -может обеспечить отправную точку для обобщения канонического' формализма на теорию поля, которое сохраняло бы явную. . ковариантность и обладало бы соответствующим ковариантным аналогом симплектической или Пуассоновой структуры, скобками Пуассона и связанными с ними геометрическими построениями, а также возмож-: ностьк) представлять канонические полевые уравнения ДВ в терминах' соответствующих скобок. В представляемой диссертации мы надеемся заполнить'этот пробел в нашем понимании классической теории поля.

•>-■ Отметим, что' каноническая теория ДВ является, фактически, лишь самый "простым представителем целого набора ковариантных канонических формулировок теорий поля, в многоимпульсном аналоге' фазового пространства, которые основаны на различных выборах " Лепэ-жевых эквивалентов" так называемой формы Пуанкаре-Картана (см., например, [10, 19, 20, 23]) ж на .различных определениях многоимпуль-сов. Известная каноническая теория Каратеодори [8, 9, 10, 23] является другим интереснь1м примером такой формулировки. Обсуждение соответствующих более общих "многоимпульсных канонических теорий" для.полей,"как мы предлагаем назвать их, оставлено вне рамок представляемой диссертации.

Несмотря на все привлекательные особенности многоимпульсных канонических теорий, таких как конечно- мерность и явная ковариантность, которые кажутся особенно интересными в контексте канонического анализа и квантования общей относительности и теории струи и мембран (заметим, что никакие ограничения на глобальную гиперболичность пространства-времени в многоимпульсных формулировках не подразумевается), их приложения пока еще довольно редки. Следующие статьи содержат некоторые приложения к классической теории поля [26, 27, 28], калибровочным полям [29, 30], классической бозон-ной струне [34, 35, 36, 37, 38], общей теории относительности [39, 40, 41], и интегрируемым системам [42, 43]. Несколько интересных примеров также рассмотрено в [22]. .

Для возможных приложений в теории поля важно понимание взаимосвязей между многоимпульсными каноническими теориями и стан- . дартным Гамильтоновым формализмом. Недавнее обсуждение этой совокупности вопросов может быть найдено в статьях Готея [21] (см. также [22] и [24]). Заметим также, что стандартная функциональная 7

Гамильтонова форма полевых уравнений может в принципе быть получена непосредственно из ковариантных Гамильтоновых уравнений ДВ [25]. Среди вопросов, относящихся-к хгоиложениям многоимпульсных канонических теорий, один из наиболее интересных касается возможности развития полевого квантования, стартующего с ДВ Гамильто-новой формулировки или более общей многоимпульсной канонической теории. Действительно, насколько необходимо сперва расщеплять пространство-время,, чтобы получить Гамильтонову формулировку, а затем квантовать" поле согласно стандартным предписалиям квантовой , теории и затем доказывать, что процедура совместна с релятивистской инвариантностью?' Возможно ли, развить изначально ковариантное по-. левое квантование, основанное на многоимпульсной ковариантнойГа-мильтоновой'структуре, без того, чтобы нарушить симметрию между пространством и временем, и затем, в случае необходимости, получить результаты, в частной системе отсчета, из явно ковариантной формулировки квантово - полевой динамики.

Другой вопрос - существует ли своего рода квази-классический переход из некоторой формулировки квантовой теории поля к уравнениям Гамильтона-Якоби, соответствующим различным многоимпульсным каноническим формулировкам классических полей (см. [9, 10]). В то время, как связь между уравнением Гамильтона-Якоби и уравнением Шредингера в квантовой механике - хорошо известный факт, который лежит в основе квази-классического приближения Бомов-ской интерпретации квантовой механики, подобная возможная связь между уравнением Гамильтона-Якоби ДВ к квантовой теорией поля все еще остается полностью неисследованной. В этом контексте стоит напомнить, что, исторически аргументы, основанные на теории Гамильтона-Якоби, привели Шредингера к его известному уравнению, и Уилера к уравнению Уилера - Де Витта в квантовой гравитации. Совершенно естественно спросить, может ли ДВ уравнение Гамильтона8

Якоби, также помочь нам выявить новые аспекты квантовой теории поля. .

Очевидно, чтобы исследовать вопросы, изложенные выше, надо получить более глубокое понимание тех геометрических и алгебраических структур классической многоимпульсной канонической теории полей, чьи аналоги в механике формируют классическую основу процедур квантования. Эта диссертация может рассматриваться как шаг в этом направлении.

Рассмотрим раннюю историю вопросов, затрагиваемых в представляемой диссертации. Первая попытка обобщить элементы канонического формализма механики, а именно уравнение Гамильтона-Якоби, на системы, описываемые многомерными вариационными задачами, т.е. на теорию поля, была сделана Вольтеррой (1890) [13] ( см. также статью Фреше (1905) [14]). Его функциональное исчисление по существу лежит в основе современного подхода к каноническому формализму в теории поля. Первое реальноеиспользование обобщения этого сорта было сделано'в каноническом квантовании теории поля благодаря Гейзенбергу и Паули [15]. Влияние работы Вольтерра на их подход очевидно из их переписки. конца' 20-х годов, в которой они часто упоминают о "Volterra Mathematik" как о средстве реализации их идеи относительно обобщения квантовой механики на теорию поля. Позднее, в диссертации Де Дондера (1911) и его книге [6], первоначальн изданной в 1930 году, был развит другой подход к обобщению Гамильтонова и Гамильтон-Якобиевого формализма на многомерные вариационные задачи, который затем был развит Вейлем (1935) [7]. Примерно в тоже время Каратеодори (1929) [8] предложил другой подход к теории Гамильтона-Якоби для полей. Дальнейшие обсуждения могут быть найдены в более поздних статьях Вёрнера [16], Хёлдера [17], Лепажа [18] и других. В частности, Лепаж показал что, на языке представляемой работы , различные канонические теории для полей могут быть включены в более общую схему, использующую язык дифференциаль9 ных форм ж обобщенные интегральные инварианты, представленные' ранее Э. Картаном. Дальнейшие детали могут быть найдены в статье [10] 'и книге [12]. Естественная задача построения квантовой теории поля, основанной на вышеупомянутых расширениях Гамильтонова формализма на теорию поля, была поставлена ж кратко обсуждалась в середине тридцатых годов в двух статьях Борна [44] и Вейля [45]. По причинам, не полностью ясным автору, задача фактически не упоминалась в дальнейшей литературе до начала семидесятых годов, когда наметился значительный прогресс в понимании дифференциально-геометрических структур, лежащих в основе теории Де Дондера - Вейля (см., например, [46, 47, 48, 49] и более ранние статьи Дедеккера [50], который исследовал более общие Лепажевы канонические теории, а также недавнюю статью Готэя [19].) Одним из результатов этого периода является так называемый мультисимплектический формализм [48], развитие которого, однако, кажется никогда не преследовало большей концептуальной цели, чем просто установление ковариантной основы для стандартной симплектической структуры в теории поля. Последняя цель достигнута теперь другим (но не несвязанным) способом в [1]. Связь между мультисимплектическим формализмом и структурой стандартного "мгновенного" Гамильтонова формализма интенсивно обсуждалась также'В [21, 22, 24]. Известные ранее попытки [52, 46, 48, 49] рассмотреть падавоё. квантование с точки зрения'мультисимплектической ;; формулировки''концентрировались, по существу, только на установле-гнии связей: с: обычной формулировкой,- основанной на стандартном Га-хмильтон^ привели ' к новым идеям. Интересная попытка Гсоздать' квШтование теории поля, полностью основанное на многоимпульсной канонической структуре, была предпринята, Гюнте-ром в".[54], .'-который использовал свою собственную геометрическую ■■ версию^ теории ;Де ; Дондера-Вейля - так называемый "полисимплек-тический Гамильтонов'формализм" [53]. К сожалению, идеи его крат

10 кого сообщения [54] не были развиты до той степени, чтобы было бы возможно сравнение с результатами обычной квантовой теории поля. Несколько других недавних обсуждений задачи квантования в рамках полиимпульсной формулировки'можно найти в [31, 32, 33].

Главное препятствие на пути к построению полевого квантования, основанного па полижмпульсной Гаммльтоновой формулировке - это отсутствие соответствующего обобщения скобки Пуассона. В рамках мультисимплекткческого формализма. [2-0, 21, 22, 26, 48], который тесно связан с канонической теорией ДВ, скобка Пуассона, определенная на формах степени- (п — 1) соответствующих наблюдаемым в теории поля, была предложена в [47, 48, 49] (см. также [52] и недавнюю статью [55]). Однако, как это отмечено в [47], соответствующее построение оказалось слишком ограниченным, чтобы воспроизвести алгебру наблюдаемых или токов в теориях достаточно общего вида. Кроме того, оно не приводит к представлению Гамильтоновых уравнений ДВ в терминах скобки Пуассона. Кроме того, тождество Якоби для этой скобки выполняется только по модулю точных форм (см., например, [47, 22]), хотя этот факт и может оказаться интересным с точки зрения гомотопических алгебр Ли. Другие подходы [56], [57], [53], позволяют, в принципе, записать Гамильтоновы полевые уравнения ДВ в скобковой формулировке, но алгебраические свойства соответствующих скобок, введенных этими авторами, и, следовательно, их адекватность для квантования, остаются неясными. Другое обсуждение ковариантной скобки Пуассона в теории поля может быть также найдено в [58].

Цель представленной работы - развить те элементы канонической теории ДВ . для' полей, аналоги которых в Гамильтоновом формализме механики важны для канонического или геометрического квантования. В частности^ это включает в себя симплектическую форму, скобку. Пуассона,. понятие';канонически сопряженных переменныхи1. иредста

1д - размерность пространства-времени

11 влеиие уравнений движения в терминах скобки Пуассона. Вероятно нет более надежной основы для рассмотрения этой задачи, чем исходить из наиболее фундаментального объекта любой канонической теории -п-формы Пуанкаре-Картана (ПК) - и попытаться развить последующие элементы формализма, ища подходящие обобщения на формулировку ДВ теории поля соответствующих элементов канонического ^ формализма механики.( представленных, например, в классических руководствах [2, 59]).

Структура диссертации следующая. В главе 1 мы напомним ДВ формулировку полевых уравнений и понятие формы ПК . Затем, мы продемонстрируем как Гамил I/гоновы полевые уравнения ДВ непосредственно следуют из формы ПК. Это рассмотрение приводит нас к подходящему обобщению на теорию поля понятия канонического Гамиль-тоиова векторного поля. Мы находим, что последнее является мультивектором степени п, который уничтожает внешний дифференциал формы ПК. Интегральные «-поверхности этого мультивекторного поля в расширенном полиимпульсном фазовом пространстве теории ДВ представляют экстремали вариационной задачи, описывающей поле, т.е. решения полевых уравнений. Мы подчеркиваем, что (так называемые) вертикальные компоненты мультивекторного поля, содержат, по существу, всю информацию относительно уравнений движения.

Последний факт ведет нас в главе 2 к понятию полисимплекгпиче-ской формы степени (п + 1), которая выдвинута как обобщение сим-плехтической формы на ДВ Гамильтонову формулировку теории поля. Чтобы обосновать понятие полисимплектической формы, понятия вертикального мультивектора и вертикального внешнего дифференциала, используемые в последующих построениях, обсуждаются здесь с более формальной точки зрения, чем это принято в остальной части диссертации. В разделе 2.2 мы вводим понятие обобщенной производной Ли относительно мультивекторного поля, которое позволяет нам

12 обобщить каноническую симметрию симплектической формы на поли-симплектическую форму. Эта симметрия позволяет нам ввести отображение из так называемых Гамильтоновых горизонтальных форм ( которые играют роль динамических переменных) на вертикальные мультивекторные поля ( которые обобщают Гамильтоновы векторные поля в механике) и ввести в разделе 2.3 скобки на Гамильтоновых мультивекторных полях и Гамильтоновых формах. Мы показываем, что пространство (локально) Гамильтоновых мультивекторных полей является Ъ - градуированной алгеброй Ли.

Алгебраические свойства скобковой операции на Гамильтоновых формах, называемые градуированной скобкой Пуассона, обсуждаются в главе 5. Мы сначала показываем, что пространство Гамильтоновых форм является Ъ - градуированной алгеброй Ли относительно градуированной скобки Пуассона. Затем мы обсуждаем два обобщения свойства дифференцирования обычной скобки Пуассона на градуированную скобку Пуассона. Это ведет к тому, что мы называем, соответственно, алгеброй Герштенхабера высшего порядка и правой алгеброй Герштенхабера, как возможным обобщениям алгебры Пуассона на Гамильтонову формулировку ДВ теории поля. Это обобщение, однако, требует расширения схемы на негамильтоновы формы (которые не могут быть отображены на мультивекторные поля), потому что пространство Гамильтоновых форм не замкнуто относительно внешнего произведения. В разделе 3.3 мы вводим " ко-внешнее " произведение на пространстве Гамильтоновых форм, и показываем, что последнее является алгеброй Герштенхабера относительно градуированной скобки Пуассона и ко-виеншего произведения. Существование мультивекторных аннигиляторов нолисимплектической формы, называемых пред-гамильтоновыми полями, и связанные с этим вопросы обсуждены в разделе 2.4.

Градуированная скобка Пуассона форм используется в главе 4 для формулировки уравнений движения Гамильтоновых форм степени (п—

13 ч

1) б терминах скобок Пуассона. В качестве побочного продукта дается обобщение понятий интеграла движения и канонически сопряженных переменных на формулировку ДВ. Мы также представляем простые теоретико-полевые обобщения теоремы Пуассона и Гамильтоно-вой теоремы Нетер. В разделе 4.4 скобковая форма уравнений движения распространена на горизонтальные формы произвольной степени. Для этой цели вводится скобка с формами степени п, которая требует дополнения пространства Гамильтоновых мультивекторных полей вертикально-векторно-значньши горизонтальными один-формами. Мы показываем, что уравнения движения могут быть написаны в терминах скобки с п -формой ДВ Hvol, где vol - форма объема в пространствевремени, а затем обсуждаем вопросы, касающиеся алгебраического за/ N ' мыкания вышеупомянутого дополнения.

В главе о дается обобщение градуированной скобки Пуассона на произвольные горизонтальные формы. Здесь мы обсуждаем новую алгебраическую структуру, которая включает предыдущую структуру на Гамильтоновых формах - так называемую некоммутативную алгебру Герштенхабера. В главе 6 рассматривается несколько примеров приложения нашей градуированной скобки Пуассона на формах к системе взаимодействующих скалярных полей, электродинамике, струне Намбу-Гото и спи-норным полям Дирака.

В главе 7 дано общее обсуждение результатов, которое также включает связь градуированной скобкой Пуассона на формах со стандартной скобкой Пуассона на функционалах, и намечаются перспективы дальнейших представленных исследований.

В Приложении приводятся некоторые детали вычисления, касающегося переформулировки полевых уравнений ДВ как уравнений для интегральных п-мерных поверхностей тг-векторного поля, аннигилирующегося каноническую (п + 1) форму, а также вычисления, касающегося градуированного правила Лейбница высшего порядка.

14 I