Некоторые вопросы теории алгебр Клиффорда, возникающие в теории поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Широков Дмитрий Сергеевич

Некоторые вопросы теории алгебр Клиффорда, возникающие в теории поля

01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 МАР 7073

Москва — 2012

005050291

005050291

Диссертационная работа выполнена в отделе математической физики М<. матического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

Марчук Николай Гурьевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Павлов Владимир Петрович кандидат физико-математических наук, Долгополов Михаил Вячеславович Ведущая организация: Механико-математический факультет

Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Защита диссертации состоится 21 марта 2013 г. в 14 ч. 00 м. на заседа нии Диссертационного совета Д.002.022.02 при Математическом институт им. В.А. Стеклова РАН по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва ГСП-1, ул. Губкина, д.8 (9 этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического ин ститута им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан «Д^Ам^ 2013 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д.002.022.02, доктор физико-математических наук

Ю.Н.Дрожжинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В настоящее время алгебры Клиффорда1 активно используются во многих разделах математической физики. Алгебры Клиффорда применяются в теории поля, робототехнике, обработке сигналов и изображений, механике, космической динамике, электродинамике, геометрии, химии.

В науке разработан ряд математических понятий и моделей, которые широко используются в геометрии и физике: комплексные числа, кватернионы, векторная алгебра, матричная алгебра, тензорная алгебра, алгебра дифференциальных форм. Каждая из этих моделей имеет прямую связь с алгебрами Клиффорда. Например, комплексные числа и кватернионы являются частными случаями вещественной алгебры Клиффорда Cf^{p, q) (имеют место изоморфизмы алгебр ß®(0,1) ~ С и Q®(0,2) ~ Н). Алгебры Клиффорда в случае разных сигнатур изоморфны различным матричным алгебрам над полем вещественных чисел, комплексных чисел, либо над телом кватернионов. Внешняя алгебра (или алгебра Грассмана) является вырожденным случаем алгебры Клиффорда (ей соответствует нулевая квадратичная форма). Кроме того, рассматривается обобщение алгебр Клиффорда - алгебры Атьи-Келера2, которые являются также и обобщением алгебры дифференциальных форм. Таким образом, алгебры Клиффорда представляются содержательным алгебраическим объектом, который может быть полезен в различных областях математической физики3.

Обсудим подробнее развитие теории алгебры Клиффорда. В 1843 году Гамильтоном4 были введены кватернионы, которые сразу же нашли применение в различных областях механики и физики. В 1844 году Грассман5 ввел понятие внешней алгебры. В 1878 году Клиффорд объединил в своих исследованиях идеи Гамильтона и Грассмана и рассмотрел новые объекты -Геометрические алгебры, которые впоследствии стали называться алгебрами Клиффорда. В 1880-1886 алгебры Клиффорда были независимо введены Рудольфом Липшицем6. Липшиц также нашел первое применение алгебр Клиффорда в геометрии, описав вращения в евклидовом пространстве при помощи спинорной группы. Дальнейшее развитие алгебр Клиффорда связано

'W.K. Clifford, "Application of Grassmann's Extensive Algebra", American Journal of Mathematics, 1:4 (1878), 350-358.

2D. Ivanenko D., L. Landau, "Zur theorie des magnetischen electrons"Z.Pbys. (I), 48 (1928), 340-348; E. Kahler, Randiconti di Mat. (Roma) ser. ó, 21 (1962), 425.

3D. Hestenes, G. Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus. A UniSed Language for Mathematical Physics, Fund. Theor. Phys., D.Reidel Publ., Dordrecht, 1984.

4W.R. Hamilton, "On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra", РЫ1. Mag. (3), 25 (1844), 489-495.

5H. Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, Verlag von Otto Wigand, Leipzig, 1844.

6R. Lipschitz, Untersuchungen über die Summen von Quadraten, Max Cohen und Sohn, Bonn, 1886.

с целым рядом известных математиков и физиков - Т. Валеном, Э. Картаном, Э. Уиттом, К. Шевалле, М. Риссом и другими. Отметим также известную работу Атьи, Ботта и Шапиро7, которая внесла значительный вклад в развитие теории алгебр Клиффорда.

Существенное влияние на развитие алгебр Клиффорда оказало уравнение Дирака8 для электрона (1928), к которому алгебра Клиффорда имеет непосредственное отношение. Уравнение Дирака записывается с использованием -комплекснозначных матриц (гамма-матриц Дирака), которые удовлетворяю1: тем же определяющим соотношениям, что и генераторы алгебры Клиффорда C¿{ 1,3). Связь алгебр Клиффорда со спинорами привлекла внимание к теории алгебр Клиффорда со стороны многих физиков и математиков.

Современный период развития теории алгебр Клиффорда можно отнест! к последним 30 годам. С 1985 года каждые три года проходит конференци? по алгебрам Клиффорда и приложениям (ICCA9). Кроме того, каждый год проходит ряд конференций по более узким областям, связанным с приме нением алгебр Клиффорда в математической физике. С 1990 года выходит журнал, посвященный алгебрам Клиффорда и их применениям (ААСА10), с 2012 года выходит журнал по Клиффордову анализу11.

В 1936 году В. Паули12 доказал теорему о гамма-матрицах Дирака. Теорема утверждает, что два набора из четырех квадратных комплексных матрш четвертого порядка, которые антикоммутируют между собой и их квадраты равны либо единичной матрице, либо единичной матрице с обратным знаком, связаны преобразованием подобия, причем матрица подобия единственна с точностью до умножения на ненулевое комплексное число. Эт< теорема играет важную роль при изучении различных вопросов, возникающих в теории поля13. Например, с помощью теоремы Паули доказывается лоренц-инвариантность уравнения Дирака, описывается связь спинорных и ортогональных групп, вводится понятие спиноров Майорана. Имеются общеизвестные утверждения, которые в некотором смысле обобщают теорему Паули на случай произвольной размерности. А именно, методами теории представлений можно показать, что алгебра Клиффорда имеет единственное (с точностью до эквивалентности) неприводимое представление в случае четной размерности и два неприводимых представления в случае нечетной размер-

7M.F. Atiyah, R. Bott, A. Shapiro, "Clifford modules", Topology 3, suppl.l (1964), 3-38.

8P.A.M. Dirac, "The quantum theory of electron", Proc. Roy. Soc. London Ser. A 117 (1928), 610-624.

'International Conference on Clifford Algebras, последняя конференция прошла в Bauhaus-University, Weimar, Germany, 2011.

10 Advances in Applied Clifford Algebras, издается издательством Birkhauser, http: / / springer.com /birkhauser/physics/journal/6

11 Clifford Analysis, Clifford Algebras and their applications, http://www.cliff0rdanal3-sis.com

12W. Pauli, "Contributions mathématiques a la theorie des matrices de Dirac", Ann. Inst. H. Poincare, 6:2 (1936), 109-136.

13H.H. Боголюбов, A.A. Логунов, А.И. Оксак, И.Т. Тодоров, Общие принципы квантовой теории поля, Наука, М., 1987.

ности. Данные утверждения применяются в различных вопросах математической физики, в частности, в теории суперсимметрии.

В настоящей диссертации доказываются утверждения, обобщающие теорему Паули. А именно, дан ответ на более общий вопрос (который не всегда сводится к рассмотрению представлений) о связи двух наборов элементов алгебр Клиффорда, удовлетворяющих определяющим антикоммутационным соотношениям. Сделаны обобщения на случай алгебр Клиффорда произвольных (четных и нечетных) размерностей над полем вещественных и комплексных чисел. Показано, что в нечетном вещественном случае существует 4 (а в комплексном 6) варианта связи между двумя наборами элементов, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям алгебры Клиффорда. В отличие от теоремы Паули, применяемой для 4-мерного пространства Мин-ковского, где связь осуществляется преобразованием подобия, в случае произвольной нечетной размерности два набора связаны преобразованием подобия с точностью до умножения на элемент алгебры Клиффорда /31"'n7i...„, который может принимать 4 (или 6 в комплексном случае) различных значения. Кроме того, во всех случаях (четной и нечетной размерностей) указаны явные алгоритмы вычисления элемента алгебры Клиффорда, осуществляющего эту связь.

Отметим несколько направлений, связанных с применением обобщенной теоремы Паули (ОТП).

Первое направление заключается в изучении n-мерного уравнения Дирака, в частности, вопрос об инвариантности уравнения при псевдоортогональных (в частном случае, лоренцевых) преобразованиях. В настоящее время активно используется трехмерное уравнение Дирака для графена. Таким образом, уравнение Дирака представляет интерес не только в случае четных, но и в случае нечетных размерностей. Локальная обобщенная теорема Паули используется при изучении систем уравнений Дирака-Максвелла и Дирака-Янга-Миллса14.

Второе применение относится к изучению связи спинорных и ортогональных групп. С помощью ОТП автором предложено альтернативное доказательство теоремы о двулистных накрытиях ортогональных групп спинор-ными в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства (без использования теоремы Картана-Дьедонне, которая обычно используется). Кроме того, с помощью обобщенной теоремы Паули предложен явный алгоритм вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп при двулистном накрытии.

Третье применение возникает при изучении n-мерных спиноров. Дано описание элементов, осуществляющих обобщения дираковского, майоранов-ского и зарядового сопряжений от спинора в случае произвольных размерно-

14N.G. Marchuk, D.S. Shirokov, "Local generalized Pauli's theorem", 2012, arXiv:math-ph/1201.4985.

стей и сигнатур пространства. Отметим, что в случае четных размерностей рассмотрено по два аналога сопряжения каждого вида. В связи с вопросом с существовании спиноров Дирака, Вейля, Майорана и Майорана-Вейля в формализме алгебр Клиффорда в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства возникает возможность применения ОТП в теории суперсимметрии. Отметим классические работы по суперсимметрии и супергравитации Шерка, Глиоззи, Оливе (1977)15, Куго и Таундсена (1983)16.

В настоящей работе при всех рассмотрениях используется аппарат алгебр Клиффорда. Рассматриваются алгебры Клиффорда над полем вещественных и комплексных чисел произвольных размерностей и сигнатур. Этот аппарат представляется более естественным и удобным (например, по сравнению с матричным аппаратом) при рассмотрении перечисленных выше вопросов. При описании n-мерных спиноров существенную роль играет структура алгебр Клиффорда, которая подчиняется 8-периодичности Картана-Боттг (имеют место изоморфизмы C£R(pi,qi) ~ C¿®(p2,(?2) в случае п = pi + q\ = Р2 + <22 И Pi - qi = Р2 - 92 mod 8).

Цель работы.

В данной диссертационной работе исследуются некоторые вопросы теории алгебр Клиффорда, возникающие в математической физике, в частности, в теории поля. Целью работы является установление связи между двумя наборами элементов алгебры Клиффорда, удовлетворяющих определяющим антикоммутационным соотношениям алгебры Клиффорда, и нахождение алгоритма вычисления явного вида элемента алгебры Клиффорда, осуществляющего эту связь. Еще одна цель - применение полученных результатов для изучения связи спинорных и ортогональных групп, а именно, получение явной формулы для вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем:

• дано обобщение теоремы Паули для гамма-матриц Дирака на случай вещественных и комплексных алгебр Клиффорда произвольных (четных и нечетных) размерностей; получен явный алгоритм, который позволяет вычислить элемент, осуществляющий связь между двумя наборами

16F. Gliozzi, J. Sherk,, D. Olive, "Supersymmetry, supergravity theories and the dual spinor model", Nuclear Phys. В., 122:2 (1977), 253-290.

16T. Kugo, P. Townsend, "Supersymmetry and the Division Algebras", Nuclear Phys. B, 221:2 (1983), 357-380.

элементов алгебры Клиффорда, удовлетворяющих определяющим антикоммутационным соотношениям;

• предложен метод вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам соответствующих ортогональных групп при двулистном накрытии;

• развит метод усреднения из теории представлений конечных групп для алгебр Клиффорда (сверток, построенных по двум наборам антиком-мутирующих элементов).

Основные методы исследования.

В диссертации используются различные методы из алгебры, теории представлений и дифференциальной геометрии. В частности, используется метод усреднения из теории представлений конечных групп.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты применяются при изучении п-мерных спиноров Вейля, Майорана и Майорана-Вейля. Результаты используются при изучении связи спинорных и ортогональных групп и при изучении гг-мерного уравнения Дирака.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Ломоносовские чтения (2008), механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова;

• Вторая и Третья Международные Конференции по Математической Физике и ее Приложениям (Самара, 2010, 2012);

• Девятая Международная Конференция по Алгебрам Клиффорда и Приложениям (ICCA 9) (Веймар, Германия, 2011);

• Восьмой Международный Конгресс ISAAC (The International Society for Analysis, its Applications and Computation), (Москва, 2011);

• The 5th conference on Applied Geometric Algebras in Computer Science and Engineering (AGACSE), (La Rochelle, France, July, 2012);

• Школа-семинар "Взаимодействие математики и физики: новые перспективы" для студентов, аспирантов и молодых исследователей, (Москва, август, 2012);

и семинарах:

• семинаре отдела математической физики МИАН (руководители: акад. РАН В.С.Владимиров, член-корр. РАН И.В.Волович);

• семинаре отдела теоретической физики МИАН (руководитель: акад. РАН А.А.Славнов);

• научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механике математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (руководители: профессора кафедры);

• спецсеминаре "Классическая и квантовая динамика в задачах математической физики" (при НОЦ МИАН) (руководители: акад. РАН В.В.Козлов, член-корр. РАН И.В.Волович, д.ф.-м.н. С.В.Козырев, д.ф.-м.н. О.Г.Смолянов);

• семинаре под руководством проф. кафедры ТФФА О.Г. Смолянова на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.

На основе результатов диссертации автором был прочитан полугодовой курс в НОЦ при МИАН "Алгебры Клиффорда и спиноры".

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в 8 работах автора. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Объем диссертации — 151 страница , библиография включает 56 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дан краткий обзор результатов работы.

В главе 1 рассматриваются алгебры Клиффорда произвольной размерности над полем вещественных или комплексных чисел, вводятся необходимые для дальнейшего изложения понятия и фиксируются обозначения.

Алгебра Клиффорда С£¥(р, q) рассматривается как линейное пространство над полем вещественных F = R или комплексных F = С чисел размерности 2" с фиксированным базисом

{eA} = {e,ea,ea^, ..., е1""}, сц < а2 < ...,

занумерованным упорядоченными мультииндексами А длины от 0 до п, с введенной операцией Клиффордова умножения, где е - единичный элемент, выполнены свойства дистрибутивности, ассоциативности, а также следующие правила для умножения генераторов еа:

eaeb + ebea = 2riabe, а, Ъ = 1,..., п,

еа> ... eak = ea'-a\ 1 < сц < ... ak < n,

где т} = ||г7аЬ|| = diag(l,..., 1, —1,..., —1) - диагональная матрица размера n, у которой на диагонали стоят р штук +1 и q штук — 1, р + q = п.

Глава также содержит несколько результатов автора. В частности, рассмотрен вопрос о введении структуры унитарного пространства (о введении эрмитова скалярного произведения) на алгебре Клиффорда [1]. Описан метод построения матричных представлений комплексных алгебр Клиффорда с помощью эрмитова идемпотента и связанного с ним левого идеала [1]. Введено понятие кватернионного типа элементов алгебры Клиффорда [2], [7], [8].

Произвольный элемент алгебры Клиффорда раскладывается по базису следующим образом

U = ие + uaea + uaia2ea,a2 + ... + Щ...пе1~п, иА S F.

a\<d2

Здесь и далее подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.

Векторные подпространства, натянутые на элементы е"1-"йк, занумерованные упорядоченными мультииндексами длины к, обозначаются через q) и называются подпространствами элементов ранга к. Алгебра Клиффорда является Z2 - градуированной алгеброй (супералгеброй), т.е. представима в виде прямой суммы

cf{p, q) = alven(p, q) © aldd(P> 9) = © al(p, ?) e ф сеЦр, д)

к—even к—odd

с соответствующими свойствами для перемножения четных и нечетных элементов.

Отметим, что центр алгебры Клиффорда С£р(р, д) совпадает с подпространством 0?о(р, д) в случае четного и и с подпространством д) ф &п(Р> я) в случае нечетного п.

Для элементов алгебры Клиффорда и £ С£¥{р, д) вводятся операции проектирования на подпространства элементов ранга 0 и тг, первая из которых называется операцией взятия следа

Тг (£/) = и, тт(и) = Щ...П.

В главе 2 рассматриваются операции, которые назовем свертками (или усреднениями) в алгебрах Клиффорда. Рассмотрим алгебру Клиффорда а¥[р, д), в которой имеем два различных набора элементов

/Г, а=1,2,...,п, (1)

удовлетворяющих определяющим соотношениям

уУ + 7<у = 277аЬе, /За/Зь + /?ь/?а = " (2)

Рассмотрим свертки вида

Т = РаР1а, д = 7 лсрл, (3)

где подразумевается суммирование по упорядоченному мультииндексуЛ длины ОТ О ДО п И 7л = 7о,...ак = 1ак--- 7о = ЧаЬ7Ъ = (т")"1- Длина МуЛЬТИ-индекса А обозначается через |Л|.

Сформулированы и доказаны следующие утверждения, которые используются впоследствии при доказательстве обобщенной теоремы Паули. Приведем некоторые из этих утверждений.

Теорема 1 1. В случае алгебры Клиффорда С£¥(р,д) четной размерности п = р ■+ д для элементов (3) имеем

<2Г = Г<2 = 2пТг(СГ)е = 2"Тг(ГС)е = = 2"Тг(^д)е = 2"Тг(д.Р)е.

2. В случае алгебры Клиффорда С£¥(р, д) нечетной размерности п = р+д для элементов (3) имеем

дТ = ТС} = 2"(Тг(СТ)е + ■к(ОТ)е1"'п),

где также имеем Тг(бТ) = Тг(ГС) = Тг(<^) = Тг(^<5) и тг(СГ) = тг (ГС) = тг(д^) = тг(^д).

Теорема 2 Рассмотрим алгебру Клиффорда (р, д) произвольной конечной размерности п = р 4- д и выражение вида

Т =

где Р - произвольный элемент алгебры Клиффорда (р,д) и наборы (1) удовлетворяют соотношениям (2).

1. Если п - четно, то среди элементов уА всегда найдется такой элемент .Р, что Т отличен от нулевого элемента.

Причем Р найдется среди { гуА, \А\ - четный }, если /31™п ^ — -у1-™ и найдется среди { \А\ - нечетный}, если /З1-™ ф у-".

2. Если п - нечетно и /З1-" ф то среди элементов 7А всегда найдется такой элемент Р, что Т отличен от нулевого элемента.

Причем Р найдется среди { гуА, - четный} и среди { /уА, -нечетный}.

В главе 3 дается обобщение теоремы Паули на случай вещественных и комплексных алгебр Клиффорда произвольных размерностей и сигнатур. Приведем основные результаты этой главы.

Будем обозначать через X множество мультииндексов длины от 0 до п

1={0, 1, ..., п, 12, 13, ..., 1...п},

где 0 - пустой мультииндекс. Также введем обозначения

^Еуеп = {А £ 1, \А\- четно}, Хыа = {А еТ, \А\ - нечетно}.

Теорема 3 Пусть С£¥(р, д) - вещественная (или комплексная) алгебра Клиффорда четной размерности п = р + д. Пусть два набора элементов (1) алгебры Клиффорда С£¥(р, §) удовлетворяют соотношениям (2).

Тогда оба набора генерируют базисы алгебры Клиффорда и существует единственный, с точностью до умножения на ненулевое вещественное (соответственно комплексное) число, обратимый элемент алгебры Клиффорда Т € С£т(р,д) такой, что

1а = Т~1раТ, Уа = 1,...,п.

При этом, элемент Т имеет вид

Т = /3^X4,

где Р - такой элемент из множества

: • {jA, A G IEven}, если /З1-" Ф -у1™»,

• {7Л, A £ Том}, если /З1-" ф у1"", что Ф 0.

Заметим, что в случае четной размерности п из определяющих антикоммутационных соотношений следует, что набор уа генерирует базис алгебры Клиффорда. В случае нечетного п это не всегда верно (см. Теоремы 4 и 5). Например, в случае алгебры Клиффорда (2,1) набор элементов 71 = е1, 72 = е2, 73 = е12 удовлетворяет соотношениям yayb + ybya = 2г]аЬе, но не генерирует базис в С£ш(2,1).

Теорема 4 Пусть Cim(p,q) - вещественная алгебра Клиффорда нечетной размерности п = p + q. Пусть два набора элементов (1) алгебры Клиффорда CiR(p,q) удовлетворяют соотношениям (2).

Тогда в случае алгебры Клиффорда CiR(p, q) сигнатуры р — q = 1 mod 4 элементы у1-" и либо принимают значения ie1"'71 и тогда соответствующие наборы генерируют базис алгебры Клиффорда, либо принимают значения ±е и тогда наборы не генерируют базис. В этом случае реализуются случаи 1, 2, 3, 4В случае алгебры Клиффорда C£R(p,q) сигнатуры р — q = 3 mod 4 элементы -у1-" и /З1-™ всегда принимают значения ie1" *1 и соответствующие наборы всегда генерируют базис алгебры Клиффорда. В этом случае реализуются только случаи 1 и 2.

Утверждается, что существует единственный, с точностью до умножения на обратимый элемент центра алгебры Клиффорда, обратимый элемент алгебры Клиффорда Т такой, что

1) 7a = T~lpaT, Va = 1,..., n

тогда и только тогда, когда /З1-71 = у1-" (в этом случае оба набора генерируют базисы, либо оба не генерируют);

2) та=-Т~10аТ, Va = 1,... ,п

тогда и только тогда, когда /З1-" = — -у1™" (в этом случае оба набора генерируют базисы, либо оба не генерируют);

3) 7а = el-nT~lpaT, Va=l,...,n

тогда и только тогда, когда /З1-" = (в этом случае один из наборов

генерирует базис, а другой - нет);

4) 7° = —е1'"пТ~^раТ, Уа=1,...,п.

тогда и только тогда, когда /З1-" = (в этом случае один из

наборов генерирует базис, а другой - нет].

Заметим, что все четыре случая имеют единую запись в виде

Кроме того, в случае вещественной алгебры Клиффорда сигнатуры р — q = 1 mod 4 элемент Т, о существовании которого говорится во всех четырех случаях теоремы, имеет вид

т= J2

где в качестве F подойдет элемент из множества

{7Л + 7В, А,В £ XEven}-

В случае вещественной алгебры Клиффорда сигнатуры р — q = 3 mod 4 элемент Т, о существовании которого говорится в 1-2 случаях теоремы, имеет вид

Т= £ PaF1a,

ASlEven

где F - такой элемент из множества

{7Л, А Е IEven},

Теорема 5 Пусть C£c(p,q) - комплексная алгебра Клиффорда нечетной размерности п — p + q. Пусть два набора элементов (1) алгебры Клиффорда dc(p,q) удовлетворяют соотношениям (2).

Тогда в случае алгебры Клиффорда С£с(р, q) сигнатуры р — q = 1 mod 4 элементы у1-71 и /З1'"™ либо принимают значения ie1"'" и тогда соответствующие наборы генерируют базисы алгебры Клиффорда, либо принимают значения ±е и тогда наборы не генерируют базис. В этом случае реализуются 1, 2, 3 и 4 случаи теоремы.

В алгебре Клиффорда C£c(p,q) сигнатуры p — q = 3 mod 4 элементы 71-" и /31~"п либо принимают значения ie1'"" и тогда соответствующие наборы генерируют базисы алгебры Клиффорда, либо принимают значения ±ге и тогда наборы не генерируют базис. В этом случае реализуются 1, 2, 5 и 6 случаи теоремы.

Утверждается, что существует единственный, с точностью до умножения на обратимый элемент центра алгебры Клиффорда, обратимый элемент алгебры Клиффорда Т такой, что

1) 7 a = T~lpaT, Va=l,...,n

тогда и только тогда, когда 0l-n = у1-" (в этом случае оба набора генерируют базисы, либо оба не генерируют);

2) 7 ° = -Г-^Т, Va= 1,...,п

тогда и только тогда, когда /З1-™ = —у1-" (в этом случае оба набора генерируют базисы, либо оба не генерируют);

3) 7а = е1-пТ~1раТ, Va = 1,..., п

тогда и только тогда, когда /З1-" = gi-n^i-" (в этом случае один из наборов генерирует базис, а другой - нет);

4) 7а = —е1"'пТ~1раТ, Va = 1,..., п

тогда и только тогда, когда /З1-™ — —е1-п71 (в этом случае один из наборов генерирует базис, а другой - нет);

5) 7° = iei'"nT~1/3aT, Va = 1,... ,п

тогда и только тогда, когда /З1-" = (в этом случае один из набо-

ров генерирует базис, а другой - нет);

6) 7а = -ге1-пТ~1 раТ, Va = 1,..., п

тогда и только тогда, когда /З1-" = —¿е1 -пу1-п (в этом случае один из наборов генерирует базис, а другой - нет).

Заметим, что все шесть случаев имеют единую запись в виде

1а = {р1~пъ...п)Т'1рат.

Кроме того, элемент Т, о существовании которого говорится во всех шести случаях теоремы, имеет вид

>4eZEven

где в качестве F подойдет элемент из множества

{уА + 7В, А, В е lEven}.

В главе 4 обобщенная теорема Паули применяется при изучении связи спинорных и ортогональных групп.

Рассмотрена псевдоортогональная группа

0(р, q) = {А 6 Mat(n, Ж) | АТг/А = 77}

и ее подгруппы (специальная, ортохронная, ортохорная и специальная орто-хронная)

ЭОСр.д) = {А 6 О(р,д) | веЪ Л = 1}, От(р,д) = {А е 0(р,д) \ А\;* > 1},

ом д) = {Ае О(Р, д) I А£\-;;пп > 1}, 80П(Р, д) = {Л е БОСр, д) \ А\ 'рр > 1},

где А^'"^ - минор (определитель матрицы, составленной из элементов матрицы А, стоящих на пересечении строк с номерами к},... /с,- и столбцов с номерами ¿1,.../¿).

Также рассмотрено 5 спинорных групп

Рш(р,д) = {ТеГ±\Т~Т=±е} = {ТеГ±\Т~хТ = ±е},

Рщ(р,д) = {ТеГ±\Т~Т=+е},

Рш^.д) = {Т е т±\Т~хТ = +е},

Эрш (р,д) = {ГеГ+|Г~Г==±е} = {ТеГ+|:Г~лГ = ±е},

Бртп(р,д) = {Т 6 Г+|Т,~Т' = +е} = {Т Е г+|Т"~лТ' = +е},

являющиеся подгруппами группы Липшица

Г ±{р,д) = {Т е се1;еи(р,д) е С^р^ТхТ-1 € С$(р,д)},

где знаком х, стоящим у различных множеств, означает взятие подмножества из обратимых элементов, и Г+(р, д) = С£^еп{р, <?) П Г±(р, д).

Здесь используются следующие линейные операции четностного сопряжения и реверса в алгебрах Клиффорда

и^ — и |ео_+_еа, и = и\еа1-аг—>еаг...еа1 •

Рассмотрим гомоморфизм (называемый измененным присоединенным действием,)

аа:<3?Кх(р,д) ЕпсЗ«ж(р, д), ' Г 1->ас1г, аАти = ТхиТ~\ иеаш(р,д).

В настоящей главе предложено альтернативное (без использования теоремы Картана-Дьедонне, которая обычно используется) доказательство теоремы о двулистных накрытиях 5 ортогональных групп соответствующими

спинорными группами в случае произвольных размерностей и сигнатур про-

х

странства (гомоморфизмом, осуществляющим накрытие, является ас!). При этом основном инструментом при доказательстве выступают доказанные в главе 3 обобщения теоремы Паули.

Кроме того, с помощью обобщений теоремы Паули получен явный алгоритм вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп при двулистном накрытии. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 6 1) Рассмотрим вещественную алгебру Клиффорда (%R(p,q)

четной размерности п и ортогональную матрицу Р S О(p,q). Предъявим

л

алгоритм для вычисления элементов ±Т 6 Pin(p, q): ad (±Г) = Р.

Рассмотрим набор элементов алгебры Клиффорда (3a = pleh, Р = ||р£||. Сначала находим элемент Т 6 Г± (единственный с точностью до умножения на ненулевую вещественную константу) среди элементов вида

• Т = ¡3A Fe а, если /З1-" = е1-п,

• Т = (-1)|Л|/3AFeA, если /З1"" = -е1"", где F - такой элемент из множества

• {еА,АеХEven}, если /З1-" = е1-",

• {еА, A G lodd}, если /З1-" = -е1-",

что построенный по нему Т отличен от нуля.

Далее принимаем во внимание условия Т~Т = ±е (или Т~АТ = ±е) и находим два элемента ±Г из группы Pin(p, q), соответствующие матрице Р при двулистном накрытии.

2) В случае нечетного п действуем аналогичным образом. Находим элемент Т 6 Г* среди элементов

Т= £ ¡3AFeA,

где F такой элемент из : • {еА, А е lEven}, если /З1-" = е1-",

• {еА, А е lodd}, если /З1"".= -е1-",

0.

Далее накладываем условия Т~Т = ±е (или = ±е) и получаем

два элемента ±Т из группы Pin(p, q), соответствующие матрице Р при двулистном накрытии.

В главе 5 иллюстрируется применение обобщенной теоремы Паули при рассмотрении n-мерных спиноров в формализме алгебр Клиффорда, в частности, при рассмотрении аналогов дираковского, майорановского и зарядового сопряжений в случае произвольных размерностей и сигнатур.

Изучен вопрос об инвариантности n-мерного уравнения Дирака относительно произвольных ортогональных преобразований. С помощью обобщенной теоремы Паули показано, что n-мерное уравнение Дирака инвариантно

относительно преобразований из группы О (р, д) в случае четного п и относительно преобразований из группы ЭО(р, д) в случае нечетного п.

Дано описание элементов, осуществляющих обобщения дираковского, зарядового и майорановского сопряжений в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства.

Отметим, что некоторые аспекты, связанные с тг-мерными спинорами, представлены (иногда в другом формализме) в литературе. Дано более полное математическое описание теории п-мерных спиноров Вейля, Майорана и Майорана-Вейля в случае произвольных размерностей и сигнатур. Излагается альтернативная точка зрения на поставленные вопросы, представлено несколько обобщений известных результатов. При этом ключевую роль в рассмотрениях играют обобщенные теоремы Паули, с помощью которых связываются операции над матрицами с операциями над элементами алгебры Клиффорда.

Список публикаций по теме диссертации.

Marchuk N.G., Shirokov D.S. Unitary spaces on Clifford algebras // Advances in Applied Clifford Algebras. 2008. V.18, №2. P.237-254.

Широков Д.С. Классификация элементов алгебр Клиффорда по ква-тернионным типам // ДАН. 2009. Т.427, №6. С.758-760.

Shirokov D.S. A classification of Lie algebras of pseudo-unitary groups in the techniques of Clifford algebras // Advances in Applied Clifford Algebras. 2010. V.20, №2. P.411 - 425.

Широков Д.С. Теорема о норме элементов спинорных групп // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. 1(22). С.165-171.

Широков Д.С. Обобщение теоремы Паули на случай алгебр Клиффорда // ДАН. 2011. Т.440, №5. С. 1-4.

Shirokov D.S. On some relations between spinor and orthogonal groups // p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications. 2011. V.3, №3. P.212-218.

Shirokov D.S. Quaternion typification of Clifford algebra elements // Advances in Applied Clifford Algebras. 2012. V. 22, №1. P.243-256.

Shirokov D.S. Development of the method of quaternion typification of Clifford algebra elements // Advances in Applied Clifford Algebras. 2012. V.22, №2. P.483-497.

Российская академия наук Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

На правах рукописи

04201356426

Широков Дмитрий Сергеевич

Некоторые вопросы теории алгебр Клиффорда, возникающие в теории поля

Специальность 01.01.03 - математическая физика

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук

Н. Г. Марчук

Москва - 2012

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Некоторые свойства алгебр Клиффорда 19

1.1 Понятие алгебры Клиффорда с фиксированным базисом ..........19

1.2 Классификации элементов алгебр Клиффорда по рангам, четности и кватернионным типам............................................22

1.3 Операции сопряжения и взятия следа от элемента алгебры Клиффорда ......................................................................23

1.4 Структура унитарного (евклидова) пространства на алгебре Клиффорда ......................................................................26

1.5 Периодичность Картана-Ботта, матричные представления алгебр Клиффорда................................................................28

1.6 Метод задания матричного представления алгебр Клиффорда с помощью эрмитова идемпотента и левого идеала..........32

Глава 2. Техника сверток в алгебрах Клиффорда 35

2.1 Теорема о свертке элементов базиса фиксированного ранга .... 36

2.2 Свертки по всем элементам базиса ....................................38

2.3 Свертки по четным или нечетным элементам базиса........39

2.4 Свертки по элементам базиса фиксированного кватернионного типа 41

2.5 Метод усреднения в теории представлений конечных групп .... 43

2.6 Теоремы о коммутировании элементов базиса алгебры Клиффорда 46

2.7 Второй базис в алгебре Клиффорда..................48

2.8 Обобщенные свертки в алгебре Клиффорда..........................55

2.9 Обобщенные свертки по мультииндексам с четной и нечетной длиной .....................................62

Глава 3. Обобщение теоремы Паули на случай вещественных и

комплексных алгебр Клиффорда 64

3.1 Теорема Паули в случае размерности 4................................64

3.2 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда четной размерности в общей постановке....................65

3.3 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда четной размерности в случае наборов нечетных элементов......... 68

3.4 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда нечетной размерности в случае наборов нечетных элементов ......71

3.5 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда нечетной размерности в общей постановке.................76

3.6 Обобщенная теорема Паули в терминах матриц........... 85

3.7 Локальная обобщенная теорема Паули................90

3.8 Обобщенная теорема Паули и след от элемента алгебры Клиффорда 94

3.9 Обобщенная теорема Паули и определитель от элемента алгебры Клиффорда................................96

Глава 4. Применение обобщенной теоремы Паули при описании

связи спинорных и ортогональных групп 102

4.1 Псевдоортогональная группа и ее подгруппы ............102

4.2 Применение обобщенной теоремы Паули для изучения группы Липшица и группы Клиффорда....................106

4.3 Спинорные группы как подгруппы группы Липшица........111

4.4 Теоремы о норме элементов спинорных групп............113

4.5 Сюръективные отображения спинорных групп на ортогональные . 117

4.6 Двулистные накрытия ортогональных групп спинорными, связность и односвязность спинорных групп...............121

4.7 Вычисление элементов спинорных групп по элементам ортогональных групп..............................123

Глава 5. Применение обобщенной теоремы Паули при изучении

n-мерного уравнения Дирака и описании n-мерных спиноров 125

5.1 n-мерное уравнение Дирака в матричном формализме и в формализме алгебр Клиффорда........................126

5.2 Спиноры Дирака в формализме алгебр Клиффорда........128

5.3 Инвариантность уравнения Дирака при ортогональных преобразованиях .................................130

5.4 Спиноры Вейля в формализме алгебр Клиффорда.........131

5.5 Согласованность матричных операций и операций в алгебрах Клиффорда................................132

5.6 Дополнительные сигнатуры алгебры Клиффорда..........134

5.7 Обобщение дираковского сопряжения.................136

5.8 Обобщение майорановского сопряжения и теорема о дополнительной сигнатуре алгебры Клиффорда..................139

5.9 Обобщение зарядового сопряжение, спиноры Майорана и Майорана-Вейля в формализме алгебр Клиффорда...............144

Список литературы 147

Введение

Актуальность темы.

В настоящее время алгебры Клиффорда [17] активно используются во многих разделах математической физики. Алгебры Клиффорда применяются в теории поля, робототехнике, обработке сигналов и изображений, механике, космической динамике, электродинамике, геометрии, химии. Алгебры Клиффорда претендуют на роль некоторого универсального математического аппарата для математической физики [30], [29].

В науке разработан ряд математических понятий и моделей, которые широко используются в геометрии и физике: комплексные числа, кватернионы, векторная алгебра, матричная алгебра, тензорная алгебра, алгебра дифференциальных форм.

Каждая из этих моделей имеет прямую связь с алгебрами Клиффорда. Например, комплексные числа и кватернионы являются частными случаями вещественной алгебры Клиффорда С£ш(р,д) (имеют место изоморфизмы алгебр С£ш(0,1) ~ С и ал(0,2) ~ И). Алгебры Клиффорда в случае разных сигнатур изоморфны различным матричным алгебрам над полем вещественных чисел, комплексных чисел, либо над телом кватернионов. Внешняя алгебра (или алгебра Грассмана) является вырожденным случаем алгебры Клиффорда (ей соответствует нулевая квадратичная форма). Кроме того, рассматривается обобщение алгебр Клиффорда - алгебры Атьи-Келера [31], [33], которые являются также и обобщением алгебры дифференциальных форм. Таким образом, алгебры Клиффорда представляются содержательным алгебраическим объектом, который может быть полезен в различных областях математической физики.

Обсудим подробнее развитие теории алгебры Клиффорда. В 1843 году Гамильтоном [28] были введены кватернионы, которые сразу же нашли применение в различных областях механики и физики. В 1844 году Грассман [27] ввел понятие внешней алгебры. В 1878 году Клиффорд объединил в своих исследованиях идеи Гамильтона и Грассмана и рассмотрел новые объекты - Геометрические алгебры, которые впоследствии стали называться алгебрами Клиффорда. В 1880-1886 алгебры Клиффорда были независимо переоткрыты Рудольфом Липшицем [37]. Липшиц также нашел первое применение алгебры Клиффорда в геометрии, описав вращения в евклидовом пространстве при помощи спинор-ной группы. Дальнейшее развитие алгебр Клиффорда связано с целым рядом

известных математиков и физиков - Т. Валеном, Э. Картаном [7], Э. Уиттом, К. Шевалле [16], М. Риссом [43] и другими. Отметим также известную работу Атьи, Ботта и Шапиро [13], которая внесла значительный вклад в развитие теории алгебр Клиффорда.

Существенное влияние на развитие алгебр Клиффорда оказало уравнение Дирака [20], [21] для электрона (1928), к которому алгебра Клиффорда имеет непосредственное отношение. Уравнение Дирака записывается с использованием 4 комплекснозначных матриц (гамма-матриц Дирака), которые удовлетворяют тем же определяющим соотношениям, что и генераторы алгебры Клиффорда Ci{ 1, 3). Связь алгебры Клиффорда со спинорами привлекла внимание к теории алгебр Клиффорда со стороны многих физиков и математиков [2], [10], [11], [6].

Современный период развития теории алгебр Клиффорда можно отнести к последним 30 годам. С 1985 года каждые три года проходит конференция по алгебрам Клиффорда и приложениям (ЮСА1). Кроме того, каждый год проходит ряд конференций по более узким областям, связанным с применением алгебр Клиффорда в математической физике. С 1990 года выходит журнал, посвященный алгебрам Клиффорда и их применениям (ААСА2), с 2012 года выходит журнал по Клиффордову анализу3.

В 1936 году В. Паули [41] доказал свою так называемую фундаментальную теорему о гамма-матрицах Дирака. Теорема утверждает, что два набора из четырех квадратных комплексных матриц четвертого порядка, которые антикомму тиру ют между собой и их квадраты равны либо единичной матрице, либо единичной матрице с обратным знаком, связаны преобразованием подобия, причем матрица подобия единственна с точностью до умножения на ненулевое комплексное число. Эта теорема играет важную роль при изучении различных вопросов, возникающих в теории поля [1]. Например, с помощью теоремы Паули доказывается лоренц-инвариантность уравнения Дирака, описывается связь спинорных и ортогональных групп, вводится понятие спиноров Майорана. Имеются общеизвестные утверждения, которые в некотором смысле обобщают теорему Паули на случай произвольной размерности. А именно, методами теории представлений можно показать, что алгебра Клиффорда имеет единственное (с точностью до эквивалентности) неприводимое представление в случае четной размерности и два неприводимых представления в случае нечетной размерности. Данные утверждения применяются в различных вопросах математической физики, в частности, в теории суперсимметрии.

В настоящей диссертации доказываются утверждения, обобщающие теорему Паули. А именно, дан ответ на более общий вопрос (который не всегда сводится

international Conference on Clifford Algebras, последняя конференция прошла в Bauhaus-University, Weimar, Germany, 2011.

2Advances in Applied Clifford Algebras, издается издательством Birkhausen http: //springer. com/birkhauser /physics/journal / б

3"Clifford Analysis, Clifford Algebras and their applications", http://www.cliffordanalysis.com

к рассмотрению представлений) о связи двух наборов элементов алгебр Клиффорда, удовлетворяющих определяющим антикоммутационным соотношениям. Сделаны обобщения на случай алгебр Клиффорда произвольных (четных и нечетных) размерностей над полем вещественных и комплексных чисел. Показано, что в нечетном вещественном случае существует 4 (а в комплексном 6) варианта связи между двумя наборами элементов, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям алгебры Клиффорда. В отличие от теоремы Паули, применяемой для 4-мерного пространства Минковского, где связь осуществляется преобразованием подобия, в случае произвольной нечетной размерности два набора связаны преобразованием подобия с точностью до умножения на элемент алгебры Клиффорда /З1 "71 п, который может принимать 4 (или 6 в комплексном случае) различных значения. Кроме того, во всех случаях (четной и нечетной размерностей) указаны явные алгоритмы для вычисления элемента алгебры Клиффорда, осуществляющего эту связь.

Отметим несколько направлений, связанных с применением обобщенной теоремы Паули (ОТП).

Первое направление заключается в изучении п-мерного уравнения Дирака, в частности, вопрос об инвариантности уравнения при псевдоортогональных (в частном случае, лоренцевых) преобразованиях. В настоящее время активно используется трехмерное уравнение Дирака для графена. Таким образом, уравнение Дирака представляет интерес не только в случае четных, но и в случае нечетных размерностей. Локальная обобщенная теорема Паули используется при изучении систем уравнений Дирака-Максвелла и Дирака-Янга-Миллса [52].

Второе применение относится к изучению связи спинорных и ортогональных групп. С помощью ОТП автором предложено альтернативное доказательство теоремы о двулистных накрытиях ортогональных групп спинорными в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства (без использования теоремы Картана-Дьедонне, как делается в стандартном изложении). Кроме того, с помощью обобщенной теоремы Паули предложен явный алгоритм для вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп при двулистном накрытии.

Третье применение возникает при изучении п-мерных спиноров.Дано описание элементов, осуществляющих обобщения дираковского, майорановского и зарядового сопряжений от спинора в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства. Отметим, что в случае четных размерностей рассмотрено по два аналога сопряжения каждого вида. Изучен вопрос о существовании спиноров Дирака, Вейля, Майорана и Майорана-Вейля в формализме алгебр Клиффорда в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства. В связи с этим вопросом возникает возможность применения ОТП в теории суперсимметрии. Отметим классические работы по суперсимметрии и супергравитации Шерка, Глиоззи, Оливе (1977) [26], Куго и Таундсена (1983) [34].

В настоящей работе при всех рассмотрениях используется аппарат алгебр Клиффорда. Рассматриваются алгебры Клиффорда над полем вещественных и

комплексных чисел произвольных размерностей и сигнатур. Этот аппарат представляется более естественным и удобным (например, по сравнению с матричным аппаратом) при рассмотрении перечисленных выше вопросов. При описании n-мерных спиноров существенную роль играет структура алгебр Клиффорда, которая подчиняется 8-периодичности Картана-Ботта (вещественные алгебры Клиффорда CiR(pi, gi), Ciu(p2, Я2) одной размерности п = pi qi = Р2 + Ч2 и сигнатур pi - qi = р2 — q2 mod 8 изоморфны).

Цель работы.

В данной диссертационной работе исследуются некоторые вопросы теории алгебр Клиффорда, возникающие в математической физике, в частности, в теории поля. Целью работы является установление связи между двумя наборами элементов алгебры Клиффорда, удовлетворяющих определяющим антикоммутационным соотношениям алгебры Клиффорда, и найти алгоритм для вычисления явного вида элемента, осуществляющего эту связь. Еще одна цель - применение полученных результатов для изучения связи спинорных и ортогональных групп, а именно, получить явные формулы для вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем:

• дано обобщение теоремы Паули для гамма-матриц Дирака на случай вещественных и комплексных алгебр Клиффорда произвольных (четных и нечетных) размерностей; получен явный алгоритм, который позволяет вычислить элемент, осуществляющий связь между двумя наборами антиком-мутирующих элементов;

• предложен метод вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам соответствующих ортогональных групп при двулистном накрытии;

• развит метод усреднения из теории представлений конечных групп для алгебр Клиффорда (сверток, построенных по двум наборам антикомму-тирующих элементов).

Основные методы исследования.

В диссертации используются различные методы из алгебры, теории представлений и дифференциальной геометрии. В частности, используется метод

усреднения из теории представлений конечных групп. Используется результат о введении структуры унитарного пространства (о введении эрмитова скалярного произведения) на алгебрах Клиффорда [1].

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты применяются при изучении n-мерных спиноров Вейля, Майорана, и Майорана-Вейля. Результаты используются при изучении связи спинорных и ортогональных групп, при изучении n-мерного уравнения Дирака.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Ломоносовские чтения (2008), механико-математический факультет МГУ;

• Вторая Международная Конференция по Математической Физике и ее Приложениям (Самара, 2010);

• Девятая Международная Конференция по Алгебрам Клиффорда и Приложениям (ICCA 9) (Веймар, Германия, 2011);

• Восьмой Международный Конгресс ISAAC (The International Society for Analysis, its Applications and Computation), (Москва, 2011);

• The 5th conference on Applied Geometric Algebras in Computer Science and Engineering (AGACSE), (La Rochelle, France, July, 2012);

• Школа-семинар "Взаимодействие математики и физики: новые перспективы" для студентов, аспирантов и молодых исследователей, (Москва, август, 2012);

• Третья Международная Конференция по Математической Физике и ее Приложениям (Самара, 2012);

и семинарах:

• семинаре отдела математической физики МИАН (руководители: акад. В.С.Владимиров, член-корр. РАН И.В.Волович);

• семинаре отдела теоретической физики МИАН (руководитель: акад. А.А.Славнов);

• научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (руководители: профессора кафедры);

• спецсеминаре "Классическая и квантовая динамика в задачах математической физики" (при НОЦ МИАН) (руководители: акад. В.В.Козлов, член-корр. РАН И.В.Волович, д.ф.-м.н. С.В.Козырев, д.ф.-м.н. О.Г.Смолянов);

• семинаре под руководством проф. кафедры ТФФА О.Г. Смолянова на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.

На основе результатов диссертации автором был прочитан полугодовой курс в НОЦ при МИАН "Алгебры Клиффорда и спиноры".

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в 8 работах автора. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Объем диссертации — 151 страница , библиография включает 56 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы дис