Теоретико-групповое описание инверсии пространства, обращения времени и зарядового сопряжения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Алгебры Клиффорда

1. Определение алгебры Клиффорда

2. Группы Клиффорда-Липшица

3. Структура алгебр Клиффорда

4. Спинорные поля Дирака-Хестенса и минимальные левые идеалы алгебр з и се 4Д

Глава 2. Группы Дабровского

1. Обобщение групп Дабровского и фундаментальные автоморфизмы алгебр Клиффорда

2. Дискретные симметрии над полем F = R.

3. Структура неравенства Pin(p, q) ф. Pin(g,p)

4. Дискретные преобразования и группы Брауэра-Уолла

Глава 3. Гомоморфизм б : Cn+i —> С„ и фактор-алгебры Клиффорда

1. Фундаментальные автоморфизмы нечетномерных алгебр Клиффорда

2. Дискретные симметрии многочастичной системы

Глава 4. Группа Лоренца

1. Конечномерные представления группы Лоренца и комплексные алгебры Клиффорда

2. Псевдоавтоморфизм А —> Л и зарядовое сопряжение

3. Дискретные симметрии на пространствах фактор-представлений группы Лоренца

4. Фактор-представление и поле нейтрино

Важность дискретных преобразований пространства-времени общеизвестна, начальные главы практически всех учебников по квантовой теории начинаются с описания дискретных симметрий, а знаменитая СРГ-теорема составляет один из краеугольных камней квантовой теории поля. Кроме того, с зарядовым сопряжением С связано фундаментальное понятие антиматерии. Требование инвариантности относительно каждого из дискретных преобразований ведет к определенным следствиям, которые можно проверять на опыте. Так, из ивариантности относительно СРТ-преобразования вытекает равенство масс и полных времен жизни частиц и античастиц, из инвариантности относительно обращения времени Т - определенные соотношения между сечениями прямых и обратных процессов, из инвариантности относительно зарядового сопряжения С - отсутствие процессов, запрещенных законом сохранения зарядовой четности, равенство сечений заря-дово сопряженных процессов, из инвариантности относительно инверсии пространства Р и обращения времени Т - отсутствие электрического дипольного момента у частиц т.д. Как следует из опыта, для процессов, обусловленных сильным и электромагнитным взаимодействиями, существует инвариантность относительно всех дискретных преобразований. В отличие от сильного и электромагнитного взаимодействий, для слабого взаимодействия, как показывает эксперимент, отсутствует инвариантность относительно инверсии пространства Р, но имеет место инвариантность относительно комбинированного преобразования CP и, следовательно, согласно СРТ-теореме, относительно обращения времени Т. Существуют также экспериментальные свидетельства, подтверждающие нарушение CP-инвариантности (распад нейтральных iC-мезонов). Все это вместе показывает, что анализ дискретных симметрий позволяет вскрыть наиболее глубокие структурные характеристики материи.

Однако, исторически сложившаяся практика определения дискретных симметрий из анализа релятивистки-инвариантных уравнений не дает возможности построения полной и последовательной теории дискретных преобразований, прежде всего, на пространствах представлений группы Лоренца и соответственно группы Пуанкаре. В рамках стандартного подхода, исключая хорошо изученный случай спина j — 1/2 (уравнение Дирака), остается совершенно неясной ситуация с определением дискретных симметрий для полей с высшим спином j > 1/2. Данная ситуация, безусловно, является свидетельством отсутствия полностью удовлетворительного формализма для описания полей с высшим спином (ни подход Рариты-Швингера [121], ни подход Баргмана-Вигнера [23], ни формализм Вайнберга [141] не свободны полностью от внутренних противоречий и трудностей). Первая попытка выхода из создавшейся ситуации (к сожалению, оставленная физиками без должного внимания) была предпринята Гельфандом, Минлосом и Шапиро [6]. В подходе Гельфанда-Минлоса-Шапиро дискретные симметрии представляются внешними ин-волютивными автоморфизмами группы Лоренца и определяются на пространствах всех конечномерных представлений этой группы. В последнее время идеи Гельфанда-Минлоса-Шапиро получили развитие в работах Бухбиндера, Гитмана и Шелепина [31, 76], где дискретные симметрии, представляемые как внешними так и внутренними автоморфизмами, распространяются на пространства представлений группы Пуанкаре.

Дискретные симметрии Р и Т преобразуют пространство и время (два самых фундаментальных понятия в физике), но в четырехмерном континууме Минковского пространство и время не являются отдельными и независимыми друг от друга сущностями, они неразрывно связаны и представляют собой единое целое (континуум). Поэтому преобразование одного (пространства или времени) индуцирует преобразование другого, и невозможно изменяя одно не изменить другое. Следовательно, дискретные симметрии должны выражаться такими преобразованиями континуума, которые затрагивали бы всю его структуру целиком, но при этом сохраняли ли бы существенно дискретный характер. Единственными кандидатами на роль таких преобразований являются автоморфизмы. Так возникает идея представления дискретных симметрий автомофизмами группы Лоренца (группы вращений четырехмерного континуума) в подходе Гельфанда-Минлоса-Шапиро, или автоморфизмами группы Пуанкаре (группы движений четырехмерного континуума) в подходе Бухбиндера-Гитмана-Шелепина.

Другим альтернативным подходом является алгебраическая схема описания дискретных симметрии, предложенная автором в [135, 137] и рассматриваемая в натоящей диссертации, где дискретные симметрии представляются фундаментальными автоморфизмами алгебр Клиффорда. Так, инверсии пространства Р соответсвует автоморфизм * (инволюция), обращению времени Т - антиавтоморфизм ~ (обращение), а комбинации РТ - антиавтоморфизм -к (сопряжение). Теоретико-групповая структура дискретных преобразований является центральным моментом в настоящей работе. Элементам конечной группы, образованной дискретными преобразованиями, сопоставлены фундаментальные автоморфизмы алгебр Клиффорда. В свою очередь, множество фундаментальных автоморфизмов, дополненное тождественным автоморфизмом, образует конечную группу Aut(С£), для которой в силу теоремы Веддербарна-Артина существует матричное представление. Центральную роль играет изоморфизм {1 ,Р,Т,РТ} ~ Aut(G?).

Начальной точкой исследования является расширение схемы Дабровского [51] дискретных преобразований. Согласно Минковскому, структура пространственно-временного континуума задается четырехмерной псевдоевклидовой геометрией, при этом линейные преобразования переменных ж, у, z, t, оставляющие инвариантной форму х2 + у2 ■+ z2 — c2t2, образуют общую группу Лоренца G. Общая группа Лоренца G состоит из собственной группы Лоренца Go и трех отражений (дискретных преобразований) Р, Т, РТ (Р - пространственное отражение, Т - обращение времени, РТ - так называемое полное отражение). В свою очередь, преобразования Р, Т и РТ, дополненные тождественным преобразованием, образуют конечную группу (группу отражений). Таким образом, общая группа Лоренца представляется полупрямым произведением Со О {1, Р,Т, РТ}. Аналогично, группа 0(р, q) линейных ортогональных преобразований вещественного пространства произвольного числа измерений представляется полупрямым произведением связной компоненты Oo(p,q) и подгруппы дискретных преобразований.

Далее, с каждым векторным пространством ассоциирована алгебра Клиффорда, в рамках которой определяется группа Клиффорда-Липшица, являющаяся двукратным накрытием ортогональной группы. В соответствии с квадратами элементов подгруппы дискретных преобразований (а = Р2, Ъ = Т2, с = (РТ)2) существуют восемь двукратных накрытий (групп Дабровского) ортогональной группы, определяемых сигнатурами (а, 6, с), где й,&,с£ {—, +}- Такова вкратце стандартная схема описания дискретных преобразований (схема Дабровского) многомерных пространств, в частном случае пространства-времени Минковского. Однако, в данной схеме имеет место существенная неполнота, а именно, группа Клиффорда-Липшица является внутренним понятием алгебры Клиффорда (множество всех обратимых элементов), в то время как подгруппа дискретных преобразований, не имеющая алгебраического референта в схеме Дабровского, вводится ad hoc, извне, при этом выбор той или иной сигнатуры (а, Ь, с) дискретной группы ничем не обусловлен. Более того, по умолчанию считается, что для любой сигнатуры (p,q) векторного пространства существуют все восемь сигнатур (а, 6, с).

Целью исследования является построение полной и непротиворечивой теории дискретных преобразований как для пространства-времени так и для пространств любого числа измерений и любой сигнатуры. При этом во главу угла ставится теоретико-групповое рассмотрение проблемы. А именно, пространство-время рассматривается как пространство фундаментального представления группы Лоренца, а многомерные пространства как пространства конечномерных представлений этой же группы. Таким образом, главной целью исследования является построение теории дискретных преобразований на пространствах конечномерных представлений группы Лоренца (соответственно группы Пуанкаре). Согласно Вигнеру, квантовая система, описываемая неприводимым представлением группы Пуанкаре, называется элементарной частицей. Следовательно, дискретные преобразования, определенные для некоторого неприводимого представления группы Лоренца (Пуанкаре), задают дискретные симметрии некоторой элементарной частицы. Наибольшее значение спина частиц, известное из эксперимента, равно 6. Спин элементарной частицы обычно ассоциируется с весом неприводимого представления, но, как уже говорилось выше, на данный момент не существует полностью удовлетворительного формализма для описания полей с высшим спином. Построение такого формализма является одной из главных задач квантовой теории поля. Однако, одно уже ясно сегодня: дискретные симметрии в будущем формализме будут представляться автоморфизмами группы Лоренца (группы Пуанкаре, алгебры Клиффорда), поэтому настоящее исследование следует также рассматривать как определенный шаг в этом направлении.

Другой целью, полная реализация которой выходит за рамки данной диссертации, является объединение пространственно-временных и внутренних симметрий элементарных частиц. Как известно, стандартным подходом в этом направлении является поиск некоторой объединяющей группы, включающей в себя в качестве подгруппы группу Пуанкаре и группу (или группы) внутренних симметрий (SU(2), SU(3) и т.д.). Однако, в этом подходе остается неясным физический смысл объединенной группы. В качестве альтернативы стандартному подходу в настоящей работе рассматривается комплексная алгебраическая структура, ассоциированная с системой конечномерных неприводимых представлений группы Лоренца. Связка конечномерное представление группы Лоренца + комплексная алгебра Клиффорда служит теоретической базой для объединения пространственно-временных и внутренних симметрий. Как известно, алгебра октав (октонионы), принцип тройственности, группа Spin(8), задающие основу алгебраического описания симметрий кварков (работы Гюнайдина и Гюрши), находят полное описание в рамках восьмимерных алгебр Клиффорда. Алгебра октав О, или алгебра чисел Кэли [36], является ещё одной гиперкомплексной системой, но в отличии от алгебр Клиффорда, неассоциативной. Тем не менее, существует октонионное представленрге алгебр Клиффорда [112, 113, 114, 115, 106]. Далее, ввиду того, что группа автоморфизмов алгебры О совпадает с исключительной группой G2, содержащей группу SU(3) в качестве подгруппы, Гюнайдин и Гюрши [79, 80, 81, 82] предприняли попытку связать цветовую симметрию кварков SU(3) с алгебраической структурой полей, построенных на октони-онах. Как известно, существуют только четыре алгебры с делением (теорема Фробе-ниуса) R, С, Н, О. Первые три (К и С - поля вещественных и коплексных чисел, Н - алгебра кватернионов) являются простейшими алгебрами Клиффорда, алгебра октав О, как уже отмечалось выше, допускает представление в рамках восьмимерных алгебр Клиффорда. В [62] рассматривается алгебра А = R ® С ® Н ® ©, являющаяся тензорным произведением всех четырех альтернативных алгебр с делением, показывается, что группа SU(3) X SU(2) xU( 1) стандартной модели электрослабых взаимодействий Салама-Вайнберга возникает как подгруппа группы автоморфизмов алгебры А. В [62] строятся проекционные операторы, разлагающие алгебру А на мультиплеты стандартной модели, которые согласуются со структурой поколений элементарных частиц. Таким образом, можно сказать, что алгебры Клиффорда являются своего рода объединяющей базой, на основе которой различные алгебраические структуры, связанные с так называемыми внутренними симметриями элементарных частиц, соединяются в одно целое.

Теоретическую основу диссертационного исследования составляют алгебры Клиффорда. Теория алгебр Клиффорда выбрана не случайно. Как известно, алгебры Клиффорда представляют одну из главных, базовых, конструкций математического аппарата квантовой теории поля. Так, известные 7-матрицы, при помощи которых записывается уравнение Дирака, образуют алгебру Клиффорда четвертого ранга над полем комплексных чисел. В свою очередь, спиновые матрицы Паули образуют алгебру бикватернионов (комплексная алгебра Клиффорда второго ранга). Существует глубокая связь между конечномерными представлениями группы Лоренца и комплексными алгебрами Клиффорда. Алгебры Клиффорда лежат в основании определения проективных (спинорных) представлений симметрической группы, ведущих к теоретико-групповому описанию метода вторичного квантования, - метода, составляющего ядро квантовой теории поля.

В связи с этим уместно привести краткий обзор теории алгебр Клиффорда и ее связей с теоретической физикой. В историческом аспекте алгебры Клиффорда имеют существенно геометрическое происхождение [45], поскольку они являются синтезом исчисления кватернионов Гамильтона [84] и теории протяженности Грассмана [77] и в силу этого самим Клиффордом назывались геометрическими алгебрами [46]. Далее, Липшиц [100] показал, что алгебры Клиффорда тесно связаны с изучением групп вращений многомерных пространств. После основополагающих работ Картана [35], Витта [144] и Шевалле [40] теория алгебр Клиффорда приняла свой современный вид [50, 118, 103]. Несмотря на то, что алгебры Клиффорда (или системы гиперкомплексных чисел) известны в математике с середины XIX столетия, однако применение гиперкомплексных чисел (в первую очередь алгебр Клиффорда) в физике началось в конце 20-х годов XX столетия после работы Дирака по теории электрона [60], в которой были введены 7-матрицы. Как известно, на основании уравнения Дирака было предсказано существование позитрона, и тем самым было введено в физику фундаментальное понятие антиматерии. В теории Дирака волновая функция электрона является спинором, который в свою очередь является вектором матричного представления алгебры Клиффорда (в данном случае алгебры Дирака). Появилось понятие спинорной структуры материи, являющейся по терминологии Пенроуза структурой светового конуса [116] (в согласии с Картаном спинор есть изотропный вектор, принадлежащий к квадрике-абсолюту пространства, примером квадрики-абсолюта в физике является световой конус пространства-времени Минковского). Благодаря этому алгебры Клиффорда проникли в общую теорию относительности в виде так называемого формализма Ныомена-Пенроуза. Появилось понятие спинорной структуры на спин-многообразии, было дано определение оператора Дирака, действующего на сечениях спинорного расслоения (возникла спинорная геометрия [104], которая в последующем послужила отправной точкой к созданию таких бурно развивающихся в последнее время течений в современной теоретической физике как некоммутативная геометрия [47] и теория инвариантов Сейберга-Виттена [127]). С другой стороны, задолго до появления квантовой механики алгебры Клиффорда уже присутствовали в физике, хотя и в несколько завуалированной форме. А именно, математический аппарат классической электродинамики, векторный анализ, созданный Гиббсом и Хэвисайдом, берет свое начало от исчисления кватернионов Гамильтона, а алгебра кватернионов является одной из простейших алгебр Клиффорда. В силу этого существует кватернионное описание классической электродинамики (работы Мерсье 30-х годов [107]). Таким образом, математическая структура главного физического поля, каким является вне всякого сомнения электромагнитное поле, полностью определяется в рамках алгебры Клиффорда. По аналогии с этим была предпринята попытка создания кватернионного описания квантовой механики (так называемая кватернионная квантовая механика [18]).

Изоморфизм {1,.Р, Т, РТ] ~ Aut(GI) позволяет при анализе групповой структуры дискретных преобразований использовать методы теории алгебр Клиффорда. Прежде всего, это позволяет классифицировать группы дискретных преобразований на абелевы Z2 <Е> Z2, Z4 и неабелевы Z)4, Q4, а также установить зависимость между конечной группой и сигнатурой пространства в случае поля вещественных чисел. При этом зарядовое сопряжение С появляется как псевдоавтоморфизм комплексной алгебры Клиффорда. Анализ строения фактор-алгебр Клиффорда позволяет определить новый класс фактор-представлений группы Лоренца, соответствующих физическим полям с нарушенной группой отражений.

По мнению автора научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

• Представление базовых дискретных симметрий квантовой теории поля, таких как инверсия пространства Р, обращение времени Т и зарядовое сопряжение С, фундаментальными автоморфизмами алгебр Клиффорда.

• Исследование групповой структуры дискретных преобразований методами теории алгебр Клиффорда.

• Определение дискретных симметрий для полей с произвольным спином.

• Описание физических полей, соответствующих частицам с нарушенной группой отражений, с помощью фактор-представлений группы Лоренца.

• Описание поля нейтрино в рамках фактор-представления группы Лоренца и определение уравнений Вейля-Хестенса для нейтринного поля.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на IV международной конференции "Геометризация физики" (Казанский госуниверситет, 4-8 октября 1999г.), на международной конференции "Геометрия и приложения" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 13-16 марта 2000г.), на Третьей сибирской конференции "Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 20-22 июня 2000г.), а также на межрегиональной научно-методической конференции "Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса" (Анжеро-Судженск, 18 ноября 2000г.).

Заключение

Теоретико-групповое описание фундаментальных дискретных симметрий пространства-времени (инверсии пространства Р, обращения времени Т и их комбинации РТ), а также зарядового сопряжения С, на протяжении всей работы являлось главной темой исследования. Перечислим теперь основные результаты, полученные в ходе предпринятого исследования:

• Установлен изоморфизм между группой фундаментальных автоморфизмов {Id,*, ~ {I, W, Е, С} алгебр С£РЛ, Сп и дискретной группой отражений {1,Р,Т,РТ} векторных пространств С71; где Р - инверсия пространства, Т - обращение времени, a I, W, Е, С соответственно матричные представления фундаментальных автоморфизмов алгебр С£рл и Сп.

• Показано, что фундаментальные автоморфизмы Л —> Л, Л —» Л*, Л —> Л, Л —> Л* комплексных алгебр Клиффорда Сп образуют группы, изоморфные конечным группам Z-2 ® Z2 и Qa/Ъ2 (теорема 2.1).

• Найдено обобщение группы Дабровского Pina'b'c(ra, С) ~ (sP'no(n>Q®° ' ' ) посредством установления связи между символами (а, Ь, с) и размерностью комплексного пространства С1, при этом а = P2,b = Т2, с = (РТ)2 и {1 ,Р,Т,РТ} ~ {I, W, Е, С} (теорема 2.2).

• В зависимости от структуры колец делений К = fC£p,qf вещественных алгебр Клиффорда С£рл найдена полная классификация групп автоморфизмов Aut(CS?Pi9) (всего 8 различных групп, каждая из которых изоморфна одной из следующих конечных групп: Z2 ® Z2, Z4, D4/Z2, Q4/Z2 (теорема 2.3)).

• Над полем вещественных чисел F = К в зависимости от структуры колец делений алгебр С£рл установлено соответствие между 8 двукратными накрытиями Pina,b'c(p, q) ~ (Spi"o(p^)0CI ' ' ) ортогональной группы 0(p,q) и 8 типами вещественных алгебр Клиффорда (теорема 2.4).

Показано, что структура неравенства Pin(p, q) ф Pin(g,p) полностью определяется двукратным накрытием Са,ь,с подгруппы дискретных преобразований ортогональной группы 0(р, q). В связи с этим проведена классификация 8 вещественных типов алгебр Клиффорда на взаимно противоположные и нейтральные. С помощью пакета CLIFFORD системы Maple V исследована структура неравенства Pin(3,l) ф Pin(l,3), где Pin(3,l) и Pin(l,3) - два различных двукратных накрытия группы Лоренца.

Рассмотрена связь дискретных преобразований с группами Брауэра-Уолла и периодичностью Атьи-Ботта-Шапиро в теории алгебр Клиффорда. Определены обобщенные группы Брауэра-Уолла ®Zs и BW^b'c ~ Z2. Приведены диаграммы Траутмана для обобщенных групп.

Найдены условия для переноса фундаментальных автоморфизмов нечегномерных алгебр Клиффорда над полями F = I и F = € при гомоморфных отображениях

1 и Сп > Сп1 соответственно на фактор-алгебры 1 и £С„1 (теорема 3.2). Определены фактор-группы Pinb(p — l,g), Pinb(p,q - 1), Pin6(n — 1,C), Pinfe'c(n — 1, С), где p -f - нечетные числа (теорема 3.3). Рассмотрены дискретные симметрии, соответствующие этим группам.

Рассмотрена связь между комплексными алгебрами Клиффорда С„ и конечномерными представлениями собственной группы Лоренца O0(l,3) ~ SL(2;C)/Z2. Определены физические поля как полуцелого так и целого спина в терминах алгебр Сп, Сп и С„ф> Сп, соотвествующих конечномерным представлениям S'0'^ и ф группы SL(2; С. В качестве примера рассмотрены основные физические поля такие как скалярное поле Паули-Вайскопфа, нейтринное поле Вейля, электрон-позитроиное поле Дирака и электромагнитное поле Максвелла. Определены дискретные симметрии для полей с произвольным спином. Показано, что фундаментальные автоморфизмы комплексных алгебр С71, ассоциированных с системой конечномерных представлений собственной группы Лоренца Оо(1,3), заданные в спинорном представлении, индуцируют дискретные симметрии на пространствах (спинпространствах) конечномерных представлений группы 0о(1? 3). Таким образом, установлена связь между алгебраической схемой описания дискретных симметрий и подходами Гельфанда-Минлоса-Шапиро и Бухбиндера-Гитмана-Шелепина.

• Зарядовое сопряжение С представлено псевдоавтоморфизмом А —» А алгебры Сп, задающим комплексное сопряжение на совокупности комплексных алгебр Клиффорда, ассоциированной с системой конечномерных неприводимых представлений группы Лоренца. Найдено строение спинорного представления псевдоавтоморфизма А —>■ А (теорема 4.2).

• Показано, что соотношение антикоммутации CP = —PC (Р - инверсия пространства, С - зарядовое сопряжение), справедливое для квантовой теории поля Баргмана-Вайтмана-Вигнера, в которой бозоны и антибозоны имеют взаимно противоположные внутренние четности, имеет место только в случае когда оператор С является произведением нечетного числа вещественных матриц.

• Определены фактор-представления группы Лоренца, соответствующие комплексному типу п = 1 (mod 2). Исследована структура фактор-представлений x£)(i>i) в зависимости от строения фактор-алгебр бС2 (теорема 4.3). При этом фактор-представления ассоциируются с физическими поля с нарушенной группой отражений, т.е. такими полями, для которых какая-либо дискретная симметрия запрещена.

• Поле нейтрино рассмотрено в рамках фактор-представления х £>j°!l//2', для которого операция Р (инверсия пространства) не определена. С позиции интерпретации Фейнмана-Штюкельберга показано, что поле, описываемое фактор-представлением является CP-инвариантным. Вводится уравнение Вейля-Хестенса дф(х)f2l = 0, где ф(х)

Рассмотрим теперь возможности дальнейшего развития и обобщения полученных результатов. Вне всякого сомнения, что дальнейшее развитие и приложения рассмотренного здесь алгебраического представления дискретных симметрий лежат в направлении теоретико-группового описания квантовой теории поля, базирующегося на группе Пуанкаре и интерпретации Вигнера элементарной частицы как конечномерного неприводимого представления группы Пуанкаре [142, 105, 14, 97, 111]. В связи с этим следует отметить недавно появившуюся статью Бухбиндера, Гитмана и Шелепина [31], в которой дискретные симметрии представляются автоморфизмами группы Пуанкаре. Подход Бухбиндера-Гитмана-Шелепина базируется на интерпретации Вигнера [76] и является попыткой обобщения дискретных симметрий на пространства представлений группы Пуанкаре. Как известно, связная компонента группы Лоренца (собственная группа Лоренца) изоморфна группе SL(2, С) ~ Spin+(1, 3) и в согласии с теоремой 2.4 двукратное накрытие общей группы Лоренца имеет вид Pina,fe'c(l, 3) ~ (Spm+(i^3)®c-^а,ь,с ДВуКрахное накрытие подгруппы дискретных преобразований, изоморфное в зависимости от сигнатуры (a, b, с) одной из следующих конечных групп: С-~ С-'-'"1" ~ Z2 (g> Z2, ~ Q4, ~ £>4 В нотации Чемблина [38] a = Р2,Ъ = Т2,с = (РТ)2. Далее, в согласии с [109, 110] группа Пуанкаре задается следующим полупрямым произведением Spin+(1, 3) 0Г4, где Т4 - подгруппа четырехмерных трансляций. Следовательно, двукратное накрытие группы Пуанкаре, дополненной дискретными преобразованиями, имеет вид Pina' ,с(1, 3)©Г4 (здесь уже содержится удвоение представления, введенного Вигнером при рассмотрении дискретных симметрий [143], поскольку для группы Гаусса-Клейна имеем Z2 0 Z2 — C£lfi). Далее, в силу определения (1.10) автоморфизмы группы Клиффорда-Липшица задаются фундаментальными автоморфизмами алгебры С£рТаким образом, фундаментальные автоморфизмы алгебры пространства-времени C£it3 индуцируют автоморфизмы двукратного накрытия группы Пуанкаре Pina'6,c(l, 3) ©Т4, т.е. существует взаимнооднозначное соответствие между Аи^С^з) и автоморфизмами в подходе Бухбиндера-Гитмана-Шелепина пространств представлений группы Пуанкаре.

1. В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Квантовая электродинамика (М.: Наука, 1989).

2. В.В. Варламов, Оператор Дирака на поверхностях погруженных в 4-мерные многообразия, Тезисы докладов международной конференции "Геометрия и приложения", с. 84-85 (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 13-16 марта 2000г.).

3. В.В. Варламов, Дискретные симметрии на пространствах фактор-представлений группы Лоренца, Математические структуры и моделирование Вып. 7, с. 114-127, 2001.

4. И.М. Гельфанд, Р.А. Минлос, З.Я. Шапир о, Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения (М.: Физматлит, 1958).

5. Э. Картан, Теория спиноров (М.: ИЛ, 1947).

6. Ф. Клейн, О геометрических основаниях лоренцовой группы, в кн. "Новые идеи в математике", вып. 5, С.-Пб., 144-174, (1914).

7. А.П. Котельников, Принцип относительности и геометрия Лобачевского, в сб. "In memorial Lobatchevskii", Казань, 1927, 2, 37-66.

8. М.А. Наймарк, Линейные представления группы Лоренца (М.: Физматлит, 1958).

9. П.К. Рашевский, Теория спиноров. Успехи мат. наук, 10, вып. 2 (64), (1955).

10. Б.А. Розенфельд, Неевклидовы геометрии, М., Гостехиздат, 1955.

11. Ю.Б. Румер, Спинорный анализ. ОНТИ, M.-JL, 1936.

12. Ю.Б. Румер, А.И. Фет, Теория групп и квантованные поля. М.: Наука 1977.

13. R. Ablamowicz, Clifford algebra computations with Maple, Proc. Clifford (Geometric) Algebras, Banff, Alberta Canada, 1995. Ed. W.E. Baylis, Birkhauser, Boston, 463-501 (1996).

14. R. Ablamowicz, Spinor Representations of Clifford Algebras: A Symbolic Approach, CPC Thematic Issue 'Computer Algebra in Physics Research', Physics Communications 115, 510-535 (1998).

15. R. Ablamowicz, CLIFFORD Maple V package for Clifford algebra computations, Ver.4, http://math.tntech.edu/rafal/cliff4/.

16. S. Adler, Quaternion Quantum Mechanics and Quantum Fields (Oxford Univ. Press, 1995).

17. D.V. Ahluwalia, M.B. Johnson, T. Goldman, A Bargmann-Wightman-Wigner Type Quantum Field Theory, Phys. Lett. B316(l), 102-108 (1993).

18. L.J. Alty, A. Chamblin, Spin Structures on Kleinian Manifolds, Class. Quantum Grav. 11, 2411-2415, (1994).

19. L.J. Alty, A. Chamblin, Obstructions to Pin Structures on Kleinian Manifolds, J. Math. Phys. 37, 2001-2011 , (1996).

20. M.F. Atiyah, R. Bott, A. Shapiro, Clifford modules, Topology, 3, (Suppl. 1), 3-38, (1964).

21. V. Bargmann, E.P. Wigner, Group theoretical discussion of relativistic wave equations, Proc. Nat. Acad. USA 34, 211-223 (1948).

22. A.O. Barut, R. Raczka, Theory of Group Representations and Applications (PWN, Warszawa, 1977).

23. I.M. Benn, R.W. Tucker, An Introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics (Adam Hilger, Bristol, 1987).

24. M. Blau, L. Dabrowski, Pin structures on manifolds quotiented by discrete groups, J. Geometry and Physics 6, 143-157, (1989).

25. A. Borel, F. Hirzebruch, Characteristic classes and homogeneous spaces, Amer. J. Math. 80, 458-538, 81, 315-382, 82, 491-504 (1958, 1959, 1960).

26. R. Brauer, H. Weyl, Spinors in n dimensions, Amer. J. Math. 57, 425-449 (1935).

27. P. Budinich, A. Trautman, An introduction to the spinorial chessboard, J. Geometry and Physics 4, 363-390 (1987).

28. P. Budinich, A. Trautman, The Spinorial Chessboard (Springer, Berlin, 1988).

29. I.L. Buchbinder, D.M. Gitman, A.L. Shelepin, Discrete symmetries as automorphisms of proper Poincare group, preprint hep-th/0010035 (2000).

30. M. Cahen, S. Gutt, A. Trautman, Pin structures and the modified Dirac operator, J. Geometry and Physics 17, 283-297 (1995).

31. M. Cahen, S. Gutt, A. Trautman, Pin structures and the Dirac operator on real projective spaces and quadrics, in Clifford Algebras and Their Applications in Mathematical Physics (V. Dietrich et al. (eds.), 391-399.

32. S. Carlip, C. De Witt-Morette, Where the Sign of the Metric Makes a Difference, Phys. Rev. Lett. 60, 1599-1601 (1988).

33. E. Cartan, Nombres complexes, in J. Molk, ed. : Encyclopedic des sciences mathematiques, Tome I, Vol.1, Fasc 4, art. 15, pp. 329-468 (1908).

34. A. Cayley, On Jacobi's elliptic functions and on quaternions, London-Edinburgh-Dublin Phil. Magaz. 26(3), 208-211 (1845).

35. A. Chamblin, Some Applications of Differential Topology in General Relativity, J. Geometry and Physics 13, 357-377 (1994).

36. A. Chamblin, On the Obstructions to Non-Cliffordian Pin Structures, Commun. Math. Phys. 164, 67-87, (1994).

37. A. Chamblin, On the Superselection Sectors of Fermions, preprint DAMTP R-97/4; hep-th/9704099, (1997).

38. C. Chevalley, The Algebraic Theory of Spinors (Columbia University Press, New York, 1954).

39. C. Chevalley, The construction and study of certain important algebras, Publications of Mathematical Society of Japan No 1 (Herald Printing, Tokyo, 1955).

40. J.S.R. Chisholm, R.S. Earwell, Properties of Clifford Algebras for Fundamental Particles, in Clifford (Geometric) Algebras, ed. W. Baylis (Birkhauser, 1996), pp. 365-388.

41. У. Choquet-Bruhat, С. De Witt-Morette, M. Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds and Physics (North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1982).44 4546