Новые симметрии в электродинамике и квантовой теории тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СИММЕТРИИ В 4-МЕРНОМ

ПРОСТРАНСТВЕ СОБЫТИЙ

1.1. Обобщенный модифицированный алгоритм Ли

1.2. Уравнение Даламбера

1.2.1. Симметрии типа р=1. Лоренц-инвариантность уравнения Даламбера (23). 1.2.2. Симметрии типа р=2. Галилей-инвариантность уравнения Даламбера (26).

1.3. Уравнения Максвелла

1.3.1. Симметрия типа р=1. Лоренц-инвариантность уравнений Максвелла (30). 1.3.2. Симметрия типа р=2. Галилейинвариантность уравнений Максвелла (33). 1.3.3. Галилеева симметрия подсистем уравнений Максвелла (43).

1.4. Уравнение Шредингера

1.4.1. Симметрия типа р=1. Галилей-инвариантность уравнения

Шредингера (46). 1.4.2. Симметрия типа р=2.Лоренц-инвариантность уравнения Шредингера (48).

1.5. Максимальная размерность групп симметрии и алгебр инвариантности исследуемых уравнений

1.5.1. Максимальная линейная группа симметрии уравнений Даламбера, Максвелла и Шредингера при р=(1;2) (53). 1.5.2. Алгебра инвариантности уравнений Даламбера, Максвелла и Шредингера при р-*» (55). 1.5.3. Сопоставление симметрий (57).

1.6. Обобщенный метод замены переменных

1.7. Замена переменных в уравнении Даламбера

1.7.1. Условия симметрии общего вида (61). 1.7.2. Линеаризованные условия симметрии (63). 1.7.2.1. Симметрия уравнения Даламбера относительно преобразований координат из группы Вейля (63). 1.7.2.2. Симметрия уравнения Даламбера относительно преобразований координат из конформной группы (64). 1.7.2.3. Симметрия уравнения Даламбера относительно произвольных, обратимых преобразований пространства-времени (67). 1.7.3. Сравнение результатов исследования симметрий уравнения Даламбера обобщенным модифицированным методом Ли и обобщенным методом замены переменных (68).

Глава 2. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СИММЕТРИИ В 5-МЕРНОМ

ПРОСТРАНСТВЕ СОБЫТИЙ С НЕИНВАРИАНТНОЙ СКОРОСТЬЮ СВЕТА

2.1. Пятимерное пространство событий

2.2. Алгебра инвариантности уравнений Даламбера, Шредингера

Максвелла и

2.3. Подалгебра Вирасоро

2.4. Конечномерные преобразования света пространства-времени-скорости

2.5. Конечномерные преобразования пространства-времени-скорости света с кинематической параметризацией скорости света

2.6. Групповые свойства кинематических преобразований скорости света.

2.7. Некоторые общие свойства движений в 5-мерном пространстве событий

Глава 3. ДИСКРЕТНЫЕ СИММЕТРИИ.

3.1. Восьмимерная группа дискретных преобразований пространства-времени-скорости света

3.2. Дискретные симметрии в классической теории

3.2.1. Уравнения Максвелла (90). 3.2.2. Уравнения Даламбера (95). 3.2.3. Уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле (96). 3.2.4. Уравнение светового конуса (97).

3.3. Дискретные симметрии в квантовой теории

3.3.1. Уравнение Даламбера (98). 3.3.2. Уравнение

Клейна-Гордона-Фока (99). 3.3.3. Релятивистское уравнение Шредингера (100). 3.3.4. Нерелятивистское уравнение Шредингера (102). 3.3.5. Уравнение Дирака. Связь преобразования инверсии скорости света с зарядовым сопряжением (103). 3.3.6. Уравнение Дирака для заряженной частицы со спином 1/2 в электромагнитном поле (106). 3.3.7. Инверсия скорости света и трансформационные свойства постоянной Планка и постоянной тонкой структуры (110). 3.3.8. Инверсия скорости света и электронно-позитронные состояния (112). 3.3.9. Сопоставление операций сопряжения заряда в классической и квантовой теории (118).

- 3

Глава 4. ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА И ДАЛАМБЕРА

4.1. Уравнения Максвелла. Преобразования полей, условия инвариантности, Б и О матрицы.

4.2. Свойства 0 и О матриц. Реализация матриц.

4.3. Инфинитезимальные матрицы. Алгебры матриц.

4.4. и(2)Хи(2)ХЩ2)Хи(2) - симметрия уравнений Максвелла.

4.5. Переход к х-пространству.

4.6. Связь с предыдущими исследованиями.

4.6.1. и(1)XII(1) - симметрия уравнений Максвелла (133). 4.6.2. и (2) Х11(2) - симметрия уравнений Максвелла (134). 4.6.3. Бесконечная группа внутренних симметрий уравнений Максвелла (134).

4.7. Внутренние симметрии уравнения Даламбера для свободного электромагнитного поля.

Глава 5. РЕЛЯТИВИСТСКИ ИНВАРИАНТНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

5.1. Формулировка уравнений. Трансформационные свойства электромагнитного поля

5.2. Общие свойства уравнений

5.3. Нелинейные уравнения электродинамики и вариационный принцип

Глава 6. СВЯЗЬ НОВЫХ СИММЕТРИЙ С ФИЗИКОЙ.

6.1. Специальная теория относительности с неинвариантной скоростью света.

6.1.1. Введение (143). 6.1.2. Теоретические исследования возможности нарушения постулата инвариантности скорости света (144). 6.1.3. Преобразования пространства-времени-скорости света (152). 6.1.4. Групповые свойства (153). 6.1.5. Трансформационные свойства 3-скорости и направляющих косинусов (154). 6.1.6. Кинематические эффекты (156). 6.1.7. Объяснение классических экспериментальных фактов (159). 6.1.8. Принцип наименьшего действия. Обобщенные импульс и энергия (163). 6.1.9. Уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле (164).

6—1.-1-0.—Уравн^ншЫМаксвелла—(165).—6.1.14^—Трансформационные свойства импульса, энергии, плотности тока и напряженности

- 4 электромагнитного поля (165). 6.1.12. Интерпретация теории (166). 6.1.12.1. Масштабная инвариантность электродинамики (166). 6.1.11.2. Инвариантность электродинамики относительно абсолютного значения скорости света (167).

6.2. Локальная специальная теория относительности.

6.2.1. Возможное экспериментальное наблюдение сверхсветового движения (176). 6.2.1.1. Мюонное нейтрино - сверхсветовая частица? (176). 6.2.1.2. Сверхсветовые частицы в мезонных пучках ОИЯИ? (177). 6.2.1.3. Сверхсветовые частицы в широких атмосферных ливнях (178). 6.2.1.4. Сверхсветовые частицы при регистрации антипротонов (179). 6.2.1.5. Сверхсветовое расширение внегалактических -радиоисточников (179). 6.2.1.6. Квазар QSO PKS 2134+004 - скорость света 440 ООО км/сек? (180).

6.2.2. Преобразования пространства-времени-скорости света, совместные с активной точкой зрения (181). 6.2.3. Формально-математическое построение теории (183). 6.2.4. Локальный принцип относительности и уравнения движения (184). 6.2.5. Общие свойства движения в локальной специальной теории относительности (187). 6.2.6. Интегрирование уравнений движения заряженной частицы (194). 6.2.6.1. Заряженная частица в постоянном однородном электрическом поле (194). 6.2.6.2. Заряженная частица в постоянном однородном магнитном поле (196).

6.2.7. Распад и рождение новых частиц (198). 6.2.7.1. Распад нестабильных частиц (198). 6.2.7.2. Рождение новых частиц (199).

6.2.8. Локальная СТО и эксперимент (200). 6.2.9. Обсуждение (213).

6.3. Единое время Ньютона в классической электродинамике

6.3.1. Расширенная группа Галилея (216). 6.3.2. Инварианты расширенных преобразований Галилея (218). Элементы физической интерпретации (219). 6.3.3.1. Интерпретация, аналогичная СТО (219). 6.3.3.2. Интерпретация, отличная от СТО (221).

6.4. Модель электронно-фотонного вакуума Дирака

6.5. Электростатика: нелинейное уравнение Лапласа-Пуассона

6.5.1. Уравнение со сферической симметрией (231). 6.5.2. Модель с гауссовским распределением плотности заряда в линеаризованной теории (235). 6.5.3.Модель с гауссовским распределением плотности заряда в нелинейной теории (236). 6.5.3.1. Эффективный электрический заряд (236). 6.5.3.2. Электростатический потенциал и электрическое поле (237). 6.5.3.3. Интегрирование нелинейного уравнения для функции z(t) методом Эйлера (238). 6.5.4. Сопоставление с классической линейной электростатикой (240). 5.4.5. Сопоставление с электростатикой Борна-Инфельда (242).

6,-5.-6,—Сопоставление—с—модифицированным—законом—Кулона-неквантовой электродинамике (245).

- 5

Симметрийные свойства уравнений теоретической и математической физики содержат важную информацию об объектах исследований и оказывают существенное влияние на естественно-научные представления в физике. Примером может служить релятивистское учение о пространстве-времени, возникшее, как известно, в результате исследований пространственно-временных симметрий уравнений Максвелла.

Для изучения симметрий предложено несколько приемов: метод замены переменных [249], алгоритм Ли [28, 105], модифицированный алгоритм Ли [128, 228], теоретико-алгебраический подход [93, 216], алгоритмы поиска обобщенных [28, 106] и нелиевых [125, 127] симметрий, методы построения ренормгруппы [134, 215] и группы условных симметрий [16, 131, 229]. Ниже мы остановимся на методах, которые в той или иной степени будут использоваться в настоящей работе.

0.1. Метод замены переменных

Метод исходит из возможности замены переменных в дифференциальном уравнении в частных производных (ДУЧП)

Аф(х) =0,

0.1) где А -дифференциальный оператор в пространстве переменных (х). По определению, преобразования х' = х'(х) называется преобразованием симметрии уравнения (0.1), если в результате совокупных операций х'=х'(х), ф'=ф'(Ф) вид уравнения остается неизменным [17, 249]:

Аф(х)=0 А'=А. х'=х'(х), ф'=ф'(ф)

А'ф' (х)=0,

0.2)

Здесь вид оператора А' в штрихованных переменных должен совпадать с оператором А в переменных нештрихованных. Переход уравнения (0.1) в себя достигается в результате наложения определенных условий на функции х'=х'(х) и пересчета полей ф в поля ф'. Требование инвариантности уравнения (0.1) приводитктому, что пространственно-временные преобразования х'=х'(х) образуют группу, а

- 7 поля ф(х) преобразуются по представлению этой группы [10, 17].

Остановимся на некоторых публикациях, как известных, так и мало известных, где эффективно использовался метод замены переменных, и которые имеют прямое отношение к теме настоящей работы.

В 1887 г. появилась статья профессора Геттингенского университета В. Фойгта "О принципе Доплера" [249]. Статья посвящена математическому описанию эффекта Доплера в теории распространения упругих колебаний. Введя однородные преобразования пространственно-временных переменных, Фойгт потребовал, чтобы уравнение Даламбера []ф(х)=0 (П=А), описывающее распространение колебаний скалярного поля ф'=ф, переходило в себя при неизменной скорости распространения волнового процесса, которую Фойгт обозначил буквой ш. Это оказалось возможным, если на на коэффициенты линейного преобразования пространственно-временных переменных наложить некоторые условия (условия инвариантности). Иными словами, на примере поля ф, преобразующегося по скалярному представлению группы Лоренца ф'=ф [17, 108], Фойгт по сути дела ввел:

- постулат постоянства скорости распространения волнового процесса ш'=ш вне зависимости от выбора инерциальной системы отсчета;

- постулат инвариантности уравнения распространения поля в произвольной инерциальной системе отсчета Пф(х, t)=0 [] 'ф' (х', t')=0.

По современным представлениям свойством глобальной инвариантности в инерциальных системах отсчета обладает единственная скорость -скорость света "с", с которой и следует отождествить введенную Фойгтом величину ш, т. е. ш=с. В результате Фойгту удалось впервые установить в качестве группы симметрии уравнения Даламбера группу прямого произведения l^XAj (L6 шестимерная группа Лоренца, At -группа масштабных преобразований) и ее подгруппу LtХА± с параметром масштабного преобразования р специального вида p=pv = (l-f52)1/2 [107]. Соответствующие пространственно-временные преобразования Фойгта могут быть записаны в виде x'=x-Vt; у' = (1~Р2 )1/2у; z'=(l-p2 )1/2z; t'=t-xV/c2, (0.3) где, как обычно, V - скорость инерциальной системы отсчета К' относительно системы К, p=v/c.

Вторично аналогичные преобразования были получены в 1951 г. президентом Испанской национальной академии наук Палакиосом [230], а затем Гордоном [183]. От преобразований (0.3) они отличаются выбором

- 8 параметра р: pPG=pv"1)~1/2) вследствие чего преобразования Палакиоса-Гордона являются обратными по отношению к преобразованиям Фойгта: x'=(x-Vt)/(l-£2); у'=у/(1-|32)1/2; z'=z/(l-f52 )1/2; t' = (t-xV/c2)/(1-|32).

0.4)

Работа Фойгта долгое время оставалась незамеченной. Ее пионерский характер и значимость для теории симметрии уравнений электродинамики были осознаны уже после создания специальной теории относительности [107, 153, 181, 247]. Известность же обрели преобразования из группы LiXAj, введенные в 1904 г. Лоренцем [91] и в 1905 г. Пуанкаре [111]: x'=p(x-Vt)/(l-p2)1/2; у'=ру; z'=pz; t'=p(t-xVt/c2 )/(l-j$2 )1/2, (0.5) где 0<р<оо. Именно относительно этих преобразований посредством метода замены переменных была показана инвариантность уравнений Максвелла в [91, 111].

В 1905 г. Эйнштейн [137], исходя из физических предпосылок, с самого начала положил масштабный фактор р=1, и также с помощью метода замены переменных провел доказательство инвариантности уравнений в рамках подгруппы .

Как известно, основополагающие работы классиков релятивизма [91, 111, 137], каждая по своему, имеют непреходящее значение. Среди них, например, статья Пуанкаре замечательна во многих отношениях. Она содержит современное определение группы LeXAj как группы инвариантности уравнения светового конуса c2t2-x2=0. Определение сформулировано на языке базисных генераторов группы, приведена ее алгебра Ли в 4-мерном пространстве с метрикой gab=(+,~>-)» Даны формулировка принципа относительности, а также другие подробности математического и физического характера, проанализированные в [89].

В 1909 г. Каннингхем [159] и Бейтмен [140] тоже посредством метода замены переменных установили инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований обратных радиус-векторов хк '==хк/х2=-хк/(х12+х22+х32+х42), (0.6) где х1>2 3 = (х, у, z), x4=ict, к=1,2,3,4. В сочетании с предыдущим это означает, что была установлена и инвариантность уравнений относительно

- 9

15 -мерной конформной группы С15 [127].

В 1910 г. была опубликована работа Умова [122]. Подобно Фойгту, Умов исходил из симметрии уравнения Даламбера. Однако вместо линейных, он рассматривал пространственно-временные преобразования общего вида, которые мы запишем как хк'=хк'(хА,х2,х3,х4). В результате было показано, что уравнение Даламбера для поля с трансформационными свойствами ф'=ф инвариантно относительно преобразований из группы Вейля №11 = (Ь6, Т^Д^ [24], которая является подгруппой конформной группы. Полученный Умовым результат, очевидно, носит менее общий характер. Тем не менее его работа содержит важный методический элемент (преобразования общего вида х'=х'(х)), который нам потребуется в дальнейшем.

Позднее отмеченные свойства уравнений электродинамики были подтверждены во многих исследованиях. Стало также понятным, что уже работы Каннингхема [159] и Бейтмена [140] можно истолковать как указание на то, что группа конформных преобразований С15 является максимальной группой симметрии уравнений Максвелла в пространстве Минковского М4 [20, 27, 33, 99, 127].

Это означает, для поиска иных пространственно-временных симметрий в электродинамике необходимо либо обратиться к обобщенным или нелиевым группам преобразований типа [28, 106, 125], либо модифицировать определение симметрии, либо перейти к пространствам, отличным от М4. Именно на этом пути были получены новые результаты в теории симметрии уравнений Максвелла. Нелиевы симметрии опубликованы в монографиях Фущича и Никитина [127, 128]. Результаты, связанные с модификацией определения симметрии, и с обращением к пространствам, отличным от М4, были получены в исследованиях [36-44, 46-48, 50-60, 64, 70, 71, 79, 80, 200, 201, 204-206, 208, 210, 211, 213] и являются предметом настоящей работы.

0.2. Алгоритм Ли

Так принято называть метод исследования симметрийных свойств как линейных, так и нелинейных ДУЧП, предложенный Софусом Ли в конце 19 века и развитый в трудах его последователей. Ниже мы будем придерживаться версии алгоритма, изложенной в монографиях [28, 83, 131].

В отличие от метода замены переменных, подход Ли основан на

10 образах и аппарате дифференциальной геометрии и использует иные, но согласующееся с методом замены переменных, критерии инвариантности. Например, критерием инвариантности функции F(x) относительно преобразований х'=х'(х) из группы Ли является обращение в нуль соотношений £padF/dxa=0, где Q.p=4ad/dxa - генераторы алгебры, индуцирующие группу Ли, по дважды повторяющемуся индексу производится суммирование, 0<р<™ - размерность группы [28, 106]. В случае произвольной системы дифференциальных уравнений, которую запишем как

F(x,<p(x),d<p(x)>0

0.7) ситуация более сложная. Симметрийный анализ проводится не в Еп(х), а в расширенном пространстве Еп (х)ХУт (<р), где х=(х°,.,х11-1) совокупность пространственных, ф=(ф1 ,., ср"1) - совокупность полевых переменных, рассматриваемых как переменные независимые. Критерием инвариантности системы (0.7) относительно группы преобразований й х'=х' (х,ф); ф'=ф'(х,ф),

0.8) индуцированных генераторами алгебры Ли типа

Х=£а (х, ф) d/dxa + (х, ф) d/&pA,

0.9) является выполнение условия инвариантности Ли [28, 83, 131]

XF|F = 0=0.

0.10)

Здесь а=0,.,п-1; А=1,.,т; по дважды повторяющемуся индексу производится суммирование, X - Б-ое продолжение оператора X [28, 83, 131] 3

Х=Х + 1ьАЙ/ЙфьА + tbeM/CkPb/ + .,

0. И) где переменные фьа, %ca (b, с=0,. ,п-1), и функции tbA, lbcA даются формулами [28, 83, 131]

ФьА=йфА/йхь; фЬсА=й2фА/йхьйхс; .;

- и

1ьА=0ь(пА)-ФаАСь(4а); 1ьсА=0с(1ьА)-ФьаА0с(^а); • дъ=а/ахъ + + фь/а/йф/ +(0.12)

Порядок продолжения в определяется порядком исследуемых дифференциальных уравнений (0.7) [131].

Из условия инвариантности (0.10) путем приравнивания к нулю коэффициентов, стоящих перед переменными ха, фА, ФьА, ф^а,., рассматриваемых как независимые [28], может быть получена линейная система дифференциальных уравнений, которую называют определяющей, и которая используется для вычисления функций (х,ф) и т^ (х, ф). При этом алгебра Ли операторов (0.9) называется максимальной в смысле Ли алгеброй инвариантности системы уравнений (0.7) [28, 131].

Исследование симметрийных свойств ДУЧП методом Ли вылилось в самостоятельное направление в математической физике. Последовательное изложение, многочисленные результаты исследований как линейных, так и нелинейных уравнений в частных производных, а также перспективы развития метода опубликованы в монографиях Овсянникова [105], Ибрагимова [28], Олвера [106], Фущича, Штеленя и Серова [131].

Применительно к теме настоящей работы отметим, что лиевский анализ симметрийных свойств свободных уравнений электромагнитного поля был впервые осуществлен Мархашовым [99], Даниловым [20] и Ибрагимовым [27]. Результаты анализа в части пространственно-временных симметрий совпали с данными метода замены переменных и соответствуют алгебре Ли конформной группы С15. Сверх того было установлено существование двух дополнительных генераторов алгебры Ли из группы и(1)хи(1) [20, 271:

Х16=1 (Нкс1/с1Ек - Екй/йНк); Х17=1 (Нкй/сЖк + Екй/с1Ек); (0.13)

Х^ 5 , Х^ 7 ] =0.

Здесь Ек и Нк - компоненты электромагнитного поля Е и Н, к=1,2,3. Поскольку получившаяся 17 - мерная алгебра Ли является максимальной [28, 127], то метод Ли позволил исчерпывающе описать симметрию уравнений свободного электромагнитного поля в классе алгебр и групп Ли в пространстве М4(х)ХУ6(Е, Н). В этом и состоит принципиальная ценность полученных результатов [20, 27].

12

0.3. Теоретико-алгебраический анализ

В ряде случаев нет необходимости проводить трудоемкие вычисления, присущие методу замены переменных и методу Ли. Достаточно провести расчеты на алгебраическом уровне. В этом случае эффективным является метод анализа, который принято называть теоретико-алгебраическим, и который основан на следующем понимании симметрии.

Пусть дано уравнение (0.1). По определению, операторы Ц8, где 0<з<оо, является симметрией, или операторами симметрии уравнения Аф(х)=0, если при любом значении индекса "в" они переводят решение уравнения в решение, то-есть ф(х)^ф'3=а8ф(х) такое, что АС1зФ(х)=0 [9395, 216].

Такому пониманию симметрии соответствует коммутационное соотношение [93-95]

А, 0.3]ф(х)=0, (0.14) которое подразумевает, что операторы А и 0.3 перестановочны не тождественно, а на множестве решений уравнения Аф=0 [93-95, 216]. Если совокупность образует алгебру, то как и в методе Ли ее называют алгеброй инвариантности уравнения Аф=0. Операторы 0.3 могут порождаться как пространственно-временными переменными, так и переменными полевыми. В первом случае говорят о пространственно-временных симметриях, во втором - о внутренних, или динамических симметриях. Определение (0.14) во главу ставит не само уравнение и сохранение его инвариантного вида как это присуще методу замены переменных и методу Ли, а множество решений, как бы заменяющих исходное уравнение.

В силу компактности, прагматичности и удобства определение (0.14) получило самое широкое распространение. В отечественной литературе оно было впервые сформулировано в работах Малкина и Манько [93, 95], Манько [94], Додонова, Малкина и Манько [163], Лезнова, Манько и Савельева [87], Фущича [125], Фущича и Никитина [127]. Из западной литературы можно сослаться, например, на публикацию Кирьякополуса [216] и монографию Барута и Рончки [4]. Метод теоретико-алгебраического анализа с успехом применялся во многих задачах, например, для изучения симметрии атома водорода, квантового осциллятора, нерелятивистской частицы в магнитном поле, симметрии

- 13 уравнения Шредингера, релятивистских волновых уравнений [95], уравнений классической электродинамики и квантовой механики [127, 128].

Может показаться, что теоретико-алгебраический подход и алгоритм Ли не связаны между собой. Однако это не так, поскольку операторы (0.9) переводят решение системы (0.7) в решение [28, 127] в соответствии с определением симметрии (0.14). Поэтому алгоритм Ли можно рассматривать как конструктивный способ нахождения дифференциальных операторов симметрии Qs, замыкающихся в некоторую алгебру Ли. В то же время достаточно ясно, что область действия определения (0.14) шире, нежели условия инвариантности (0.10), поскольку условию (0.14) могут удовлетворять операторы, замыкающиеся не только в алгебру Ли, но и другие виды алгебр, или не образовывать никаких алгебр. Кроме того, операторы симметрии Q.s могут принадлежать не только множеству дифференциальных операторов первого порядка типа (0.9), но и множеству операторов более сложного вида. К этой возможности мы обратимся несколько позже.

0.4. Модифицированный алгоритм Ли

Это упрощенный вариант классического алгоритма Ли. Проиллюстрируем его на примере симметрийного анализа линейного ДУЧП, следуя публикации [228] и монографии [128].

Пусть дано уравнение

L(x, й)ф(х)=0,

0.15) где Ь(х,й) - линейный дифференциальный оператор. Воспользуемся теоретико-алгебраическим определением симметрии (0.14), и перепишем его в эквивалентной операторной форме

L, CL ] =Хо (x)L,

0.16) где Х8(х) - неизвестная функция (в общем случае - дифференциальный оператор). Опустим для упрощения индекс "э" и будем искать операторы симметрии 0. в виде, подобном (0.9), но только не в расширенном, а в координатном пространстве переменных И"(х):

14

СКа (х) d/dxa+n(x).

0.17)

Подставляя о, в операторное равенство (0.16), и приравнивая коэффициенты при одинаковых производных в левой и правой частях получившегося соотношения, может быть получена определяющая система линейных дифференциальных уравнений для отыскания неизвестных функций 4а(х), -Т1(х) и Х(х). После интегрирования системы, общий вид операторов должен быть записан в виде линейной комбинации набора базисных элементов Ц3, 0.р, принадлежащих алгебре Ли [128, 228]: где Cgpq - структурные постоянные алгебры, которая образует максимальную алгебру инвариантности исследуемого уравнения (0.15) [128].

Модифицированный алгоритм Ли в изложенной версии был предложен Нидерером [228] для анализа симметрийных свойств уравнения Шредингера. Было установлено, что симметрией уравнения является алгебра Ли группы Шредингера Sch13 [128, 188, 228, 253]. Последовательное изложение алгоритма, и его применение для анализа уравнений квантовой теории содержатся в монографии Фущича и Никитина [128].

Воспользуемся определением симметрии (0.14). В лиевском подходе и его модификации необходимо, что бы операторы симметрии 08 удовлетворяли коммутационным соотношениям (0.18). Нарушение этого требования, очевидно, будет означать обращение к симметриям нелиевского типа, например, к алгебрам инвариантности типа Грассмана, супералгебрам и т.д. С другой стороны, для отыскания симметрий, не укладывающихся в классический или модифицированный алгоритм Ли, можно и не выходить за пределы множества алгебр Ли. Для этого необходимо лишь существенно расширить класс искомых операторов симметрии и включить в их число не только дифференциальные операторы первого порядка, но и дифференциальные операторы более высоких порядков. Теоретические основы такого подхода изложены, например, в монографиях Ибрагимова [28] и Олвера [106]. Обобщение подразумевает, чтобы операторы симметрии типа (0.9) включали производные не только по

Q.s , Q.p ] CSpq Qq ,

0.18)

0. 5. Обобщенные и нелиевы симметрии

- 15 пространственно-временньм и полевым переменным ха и фа, но и по пространственно-временным производным от полевых переменных [28, 106]. Соответственно усложняются и продолженные операторы типа (0.11). Так найденные симметрии именуются обобщенными [106], а соответствующие им преобразования - контактными [28]. Их применение в теории ДУЧП раздвигает границы симметрийного анализа и подробно изложены в [28, 106].

Иной подход к отысканию дополнительных симметрии был предложен Фущичем [125], а затем Фущичем и Никитиным [127]. Авторы сформулировали алгоритм, подразумевающий следующую расчетную схему.

- Осуществляется переход к импульсному пространству посредством преобразования Фурье. Симметрийный анализ уравнения Аф(х)=0 производится на фурье-образах решений ф(р).

- Ищется возможно более широкий класс операторов СЦр), образующих замкнутую алгебру, и удовлетворяющих определению симметрии Ь(р)Ц(р)ф(р)=0 в импульсном пространстве.

- Производится идентификация алгебры.

- Посредством обратного преобразования Фурье вычисляются операторы симметрии СЦх) в исходном координатном пространстве.

- С помощью формулы Кемпбелла-Хаусдорфа находится совокупность пространственно-временных преобразований х'=ехр(гдС1)хехр (-10(1) =х+

Ц, х] + (1/2!) (1д)2 [(![<}, х]] +(1/3!) (Ш3 [й[(Н(1,х]]]+., образующих группу, соответствующую найденной алгебре инвариантности.

- Строится совокупность преобразований полевых переменных ф'=ехр(-ш(х))ф(х).

Здесь д -групповой параметр; Ц -оператор из множества генераторов Од искомой алгебры; х -независимая переменная; ф(х) -полевая функция.

Обращение к преобразованию Фурье позволяет естественным образом ввести в теорию не только дифференциальные операторы высших порядков, но и операторы интегродифференциального типа, что существенно обогащает информацию о симметрийных свойствах исследуемых уравнений. Симметрии подобного рода были названы авторами [125, 127] нелиевыми. Они очевидным образом коррелируют с обобщенными симметриями из монографий [28, 106].

Реализация приведенной схемы в виде конкретного алгоритма содержится в [125]. Применение алгоритма, например, к уравнениям Максвелла позволило установить, что помимо конформной симметрии они обладают также восьмимерной группой внутренних симметрий и(2)ХЩ2)

- 16

127], содержащей в качестве подгруппы ранее найденную с помощью алгоритма Ли двупараметрическую группу U(1)XU(1). Позднее результат [127] был обобщен в работах [45, 65, 66, 202], где в качестве конечномерной группы внутренних симметрий получена 16 -мерная группа U(2)XU(2)X U(2)XU(2), включающая группу U(2)XU(2) как подгруппу.

0.6. Условные симметрии

Обратимся к системе дифференциальных уравнений (0.7). Критерием инвариантности этой системы относительно алгебры Ли операторов (0.9) является выполнение условия Ли (0.10). Следуя [131], введем некоторый новый оператор Y, подобный оператору X из формулы (0.9), но не принадлежащий множеству операторов X. С помощью формул, аналогичных (0.11) и (0.12), построим продолженный Y-оператор, и подействуем им на систему (0.7). Поскольку для операторов Y условие инвариантности Ли не выполняется, то в результате будем иметь [131]:

YF|f = 0=F1 (x,ip,dq>), ' (0.19) S где Fj (х, ф, йф) - некоторая новая система дифференциальных уравнений относительно переменных х и функций ф. По определению, исходная система F (х, ф, dip) =0 называется условно инвариантной относительно операторов Y, не принадлежащих алгебре инвариантности операторов X, если выполняется совместное с исходной системой дополнительное условие [131]

Fj (х, ф, с£ф) =0 (0.20)

Здесь совместность означает существование общего решения ф, принадлежащего и системе F(x, ф, йф)=0, и системе F4 (х,<р, йф)=0.

Условные симметрии дополняют классические, найденные посредством алгоритма Ли, и образуют новый класс симметрий. Понятие условной симметрии было предложено и успешно использовалось в исследованиях ряда авторов, например, Воробьева [16], Олвера и Розенау [229], Фущича, Штеленя и Серова [131]. Оно непосредственно связано с алгоритмом Ли, и составляет дополнение к нему.

17 ж * *

Итак, мы коротко рассмотрели метод замены переменных, стандартный алгоритм Ли, модифицированный алгоритм Ли, теоретико-алгебраический подход, методы поиска обобщенных и нелиевых симметрий, понятие условной симметрии. Рассмотренные методы, естественно, не исчерпывают всех возможностей, известных в литературе, например [26, 134, 215]. При этом следует иметь в виду, что ни один из подходов не является универсальным. Он может быть более продвинутым и освоенным, но не всеобщим. Напротив, совокупность результатов, полученных разными методами, как правило, частично пересекающихся, а по большей части различных, следует рассматривать как более полную информацию о симметрийных свойствах изучаемых объектов.

Одной из задач настоящей работы была разработка алгоритма симметрийного анализа, выходящего за границы изложенных выше методов, и получение на этой основе новых результатов.

18

- 247 -Глава 7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение кратко изложим результаты, выходящие за рамк\ устоявшихся представлений, и которые условимся называть новыми.

ФОРМАЛЬНО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Алгоритм исследования симметрийных свойств ДУЧП. Предложен алгоритм для изучения обобщенных, нелиевых симметрий линейных дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) типа Ь<р(х)=0 в теоретической и математической физике. Основными отличительными признаками алгоритма являются:

- переход к операторам симметрии 0.(р), удовлетворяющим перестановочным соотношениям более высокого порядка, нежели первый р=1: [ЬЕЬ. [Ь,а(Р)].]](рраз)Ф(х)=0;

- введение в закон преобразования поля <р'(х')=Ф(х)ф(х) некоторой весовой функции Ф(х), не являющейся компонентой поля;

- интерпретация системы зацепляющихся уравнений АФ(х)ф(х)=0, Ьф(х)=0, где АФ(х)ф(х)=0 получено из исходного уравнения Ь'ф'(х')=0 путем замены переменных х'=х'(х), как условия перехода в себя уравнения исходного Ь'ф'(х')=0 Ьф(х)=0, Ь'=Ь.

Применение алгоритма. Обобщенные, нелиевские симметрии уравнений Максвелла и Шредингера. Применение предложенного алгоритма к уравнениям Максвелла и Шредингера позволило установить, что в дополнение к известным, стандартным (р=1) симметриям в смысле Ли относительно преобразований из группы Лоренца (для уравнений Максвелла) и группы Шредингера (для уравнения Шредингера), уравнения Максвелла обладают нелиевской симметрией относительно пространственно-временных преобразований из группы Галилея, а уравнение Шредингера - относительно пространственно-временных преобразований из группы Лоренца при р=2. Галилеевская и релятивистская симметрия уравнений Максвелла и Шредингера являются частной реализацией более общей нелиевской симметрии типа р=2 относительно 20-мерной группы неоднородных преобразований 1СЬ(4,Ю в действительном пространстве Я4(х). При устремлении порядка коммутационного соотношения р к бесконечности уравнение Даламбера (вытекающее из уравнений Максвелла) и уравнение Шредингера проявляют

- 248 симметрию относительно бесконечной алгебры Ли, содержащей алгебр групп 1СЬ(4,И), Галилея, Лоренца и Пуанкаре как подалгебры.

Симметрия уравнений Максвелла в 5-пространстве с непрерывной скоростью света. Установлена дополнительная симметрия уравнений '' Максвелла в смысле Ли, но в пространстве более высокой размерности, нежели пространство Минковского. Вместо последнего введено 5-мерное пространство событий V5 с) с непрерывной скоростью света в интервале |с|<», которое содержит пространство Минковского как подпространство на гиперплоскости с=сопз1;. Показано, что в пространстве Ч5 {1,х,с) уравнения Максвелла обладают симметрией относительно пространственно-временных преобразований с нарушенной инвариантностью скорости света, порождаемых алгеброй Ли прямой суммы подалгебры конформной группы А15, и бесконечномерной подалгеброй алгебры Вирасоро АУ1г, индуцированной " генераторами типа Хт= ст [сйс-Мь+ли^+х-У)], где |т|<оо, N=0,11,12,., [Хт, Хп] = (п-т)Хт+п, [Хт,0р]=0, №р,0<,]=Ср(1зС1д, 0.р = (сыРа,МаЬ,С,с-мКа) - генераторы конформной алгебры, Срдз - структурные постоянные, р, ц, з=1, 2,.,15.

Минус с" симметрия уравнений Максвелла и Дирака. Частным проявлением установленной симметрии является свойство инвариантности уравнений Максвелла и Дирака относительно дискретного преобразования с^с'=-с в 5-пространстве, состоящем из двух подпространств Минковского на гиперплоскостях +с и -с. В этом пространстве группа Лоренца образует прямое произведение с группой инверсии скорости света; оператор зарядового сопряжения в квантовой теории и оператор преобразования полевых функций, индуцируемый инверсией с-»-с, связаны между собой.

Новая алгебра внутренних симметрий уравнений Максвелла. К новой симметрии внутреннего типа относится нелиевская симметрия уравнений Максвелла относительно бесконечной совокупности преобразований в пространстве решений - образов Фурье полей Е и Н. Множество 6X6 инфинитезимальных матриц У^м и соответствующих этим преобразованиям, обладают перестановочными свойствами, удовлетворяющими и алгебре Ли, и алгебре Грассмана и допускают объединение в единую супералгебру [У,У]=У, (2,г)=У. При

Ь=М=М=(0,1) здесь содержатся 16-мерные подалгебры операторов У000, у.

100 У

111

-о о о г!

00

Среди них 16-мерная под

Ли изоморфна алгебре Ли группы и(2)Хи(2)Хи(2)Х(Д2) и включает 8-подалгебру группы преобразований и(2)ХЩ2) Фущича-Никитина; 2-подалгебру преобразований и(1)хи(1) Данилова-Ибрагимова. Ча случаем преобразований полей, индуцированных рассматриваемой алгеб являются также дуальные преобразования Е-±Н, Н-*±(-Е) Лармора-райнич

Нелинейное обобщение уравнений Максвелла. С помощью стайДаРтно метода замены переменных показано, что уравнения Максвелла допускаю нелинейное обобщение, отличное от модели Борна-Инфельда: Е=4?г;Р' УхЕ—с^Н/с, V- Н=0, УХН=йгЕ/с+4лМ. Здесь Р^Ф^ , 12 )р(х) - эффективное значение плотности исходного (затравочного) электрического заряда ч,

12)р(х)у/с - эффективное значение плотности тока, Ф(11«12) некоторая функция от инвариантов поля •

Предложенное нелинейное обобщение реализует принцип самодействия: затравочный заряд генерирует электромагнитное поле, которое в свою очередь воздействует на исходный заряд, изменяя его плотность и величину до достижения равновесия с генерирующими полями. В результате эффективный электрический заряд, по крайней мере частично, обретает полевую природу - свойство, отсутствующее в электродинамике линейнои. Уравнения обладают Лоренц, Пуанкаре и конформной инвариантностью и переходят в уравнения линейной электродинамики при Ф=1.

В результате можно заключить, что понятие симметрии зависит от определения симметрии, выбранного алгоритма, размерности пространства, типа операторов симметрии и соответствующих им алгебр. Разделение уравнений на релятивистски-инвариантные и галилей-инвариантные имеет смысл только при понимании симметрии в смысле Ли, когда р^1- в более общем случае, когда р>1, уравнения проявляют симметрийные свойства, согласующиеся и с принципом относительности в релятивистской, и в галилеевской, и в возможно иной версии, закодированной в порядке коммутационного соотношения [1ЛЬ[Ь. [Ь, Ц(р) ]. ]](р-раз> Ф<х)=0

250

1. Аронсон Э.Б., Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии в квантовой теории. В сб.: ЭЧАЯ, т. 5, вып. 1, 1974, с. 122-171.

2. Афанасьев Г.Н. О дополнительных интегралах движения в классической и квантовой механике. Препринт ОИЯИ Р2-10360.- Дубна: 1977, 18 с.

3. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1969, с. 505-511.

4. Барут А., Рончка Р. Теория представления групп и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1980, с. 9.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1951, с. 450.

6. Беляев Б.Н. О случайных флуктуациях скорости света в вакууме. -Изв. ВУЗов, Физика, 1980, N 11, с. 37-42.

7. Бергман П.Г. Введение в теорию относительности. М.: И-Л, 1947, с. 337, 359.

8. Березин А.Б., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Кватернионы в релятивистской физике. Минск: Наука и Техника, 1989, с. 114-115.

9. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. Часть 1. М.: Наука, 1968.

10. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1973, с. 17-20.

11. Богословский Г.Ю. О специальной релятивистской теории анизотропного пространства-времени. ДАН, 1973, т. 213, вып. 5, с. 1055-1058.

12. Бонч-Бруевич А.М., Молчанов В.А. Новый оптический релятивистский опыт. Оптика и спектроскопия, 1956, т. 1, вып. 2, с. 113-124.

13. Боргардт A.A. Волновые уравнения фотона. ЖЭТФ, 1958, т. 34, вып. 5, с. 1323-1325.

14. Бунятов С.А., Залиханов Б.Ж., Курбатов B.C., Халбаев А. Сцинтилляционные спектрометры по времени пролета. ПТЭ, 1978, N 1, с. 23-25.

15. Васильев Б.Н. Об экспериментальной проверке постулата изотропности скорости света. Сообщение ОИЯИ Р13-9411. - Дубна: 1975, 6 с.

16. Воробьев Е.М. Частичные симметрии систем дифференциальных уравнений. ДАН, 1986, т. 287, N 3, с. 536-539.

17. Гельфанд И.М., Минлос P.A., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М.: ФМ, 1958, с. 274-279.

18. Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика. М.: Наука, 1987, с. 210-225.

19. Гинзбург В.Л., Манько В.И. Релятивистские волновые уравнения с внутренними степенями свободы и партоны. ЭЧАЯ, 1976, т. 7, вып. 1, с. 4-20.258

20. Данилов Ю.А. Групповые свойства уравнений Максвелла и Навье-Стокса. Препринт ИАЭ-1452. - М.: 1967, 15 с.

21. Давыдов A.C. Квантовая механика. М.: Наука, 1973, с. 66, 673.

22. Демичев А.П., Нелипа Н.Ф., Чайчиан М. Инвариантные операторы неоднородных групп. V. Группа Вейля. Вестн. Моск. Ун-та., сер. Физика, Астрономия, 1980, т. 21, N 5, с. 20-23.

23. Джэкив 3. Знакомьтесь с масштабной симметрией. УФН, 1973, т. 109, вып. 4, с. 744-755.

24. Дирак П.A.M. Теория позитрона. В кн.: Проблемы новейшей физики. Атомное ядро. Сборник докладов I Всесоюзной ядерной конференции. -Л.-М.: ГТТИ, 1934, с. 129-154.

25. Жакоб М., Ландшофф П. Внутренняя структура протона. УФН, 1981, т. 133, вып. 3, с. 505-524.

26. Желобенко Д.П. Трансвекторные алгебры в теории представлений и динамические симметрии. В кн.: Теретико-групповые методы в физике, т. 2. Труды третьего семинара, Юрмала, 22-24 мая 1985 М.: Наука, 1986, с. 5-21.

27. Ибрагимов Н.X. Групповые свойства волновых уравнений для частиц с нулевой массой. ДАН, 1968, т. 178, N 3, с. 566-568.

28. Ибрагимов Н.X. Группы преобразований в математической физике.- М.: Наука, 1983. с. 19-30, 152-154.

29. Иваненко Д., Соколов А. Классическая теория поля. М.-Л.: Гостехиздат, 1951, с. 199-211.

30. Кадомцев Б.Б., Келдыш Л.В., Кобзарев И.Ю., Сагдеев Р.З. По поводу статьи A.A. Тяпкина "Выражение общих свойств физических процессов в пространственно-временной метрике специальной теории относительности". УФН, 1972, т. 106, вып. 4, с. 617-659.

31. Каньяк Бернар. Атомные или молекулярные часы. В сб.: Время и современная физика. М.: Мир, 1970, с. 64-80.

32. Конопельченко Б.Г. Группы симметрии в квантовой теории поля. -Препринт ИЯФ 75-101. Новосибирск, 1975, 60 с.

33. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.-М.: Наука, 1984, с. 155, 794.

34. Котельников Г.А. Применение группы конформных преобразований для построения релятивистских теорий. Препринт ИАЭ-2306. - М.: 1973, 8с.;- Препринт ИАЭ-2475. - М.: 1974, 20 с.259

35. Котельников Г.А. О симметрии уравнений Максвелла с неинвариантной скоростью света. Препринт ИАЭ-2813. - М.: 1977, 14 с.

36. Котельников Г.А. О допущении неинвариантности скорости света в уравнениях Максвелла и возможных физических последствиях. -Препринт ИАЭ-2883. М.: 1977, 7 с.

37. Котельников Г.А. О возможности астрофизического приложения групп преобразований с неинвариантной скоростью света. Препринт ИАЭ-3035. - М.: 1978, 5 с.

38. Котельников Г.А. Распространение света и движение свободной материальной частицы в 5-мерном пространстве с неинвариантной скоростью света. Препринт ИАЭ-3201. - М.: 1979, 7 с.

39. Котельников Г. А.- Об интерпретации Р^оХД1! -инвариантной схемы с непостоянной скоростью света. Препринт ИАЭ-3205.- М.: 1979, 7 с.

40. Котельников Г.А. Квазары как объекты с видимым сверхсветовым расширением. Обзор ИАЭ. - М.: 1979, 37 с.

41. Котельников Г.А. Реализация гипотезы Дирака о зависимости фундаментальных констант от времени в схеме с неинвариантной скоростью света. Изв. ВУЗов, Физика, 1979, N9, с. 93-95.

42. Котельников Г.А. Групповые свойства волнового уравнения с неинвариантной скоростью света. ТМФ, 1980, т. 42, N 1, с. 139-144; Доклад на сессии Отделения ЯФ АН СССР, МИФИ, М., 1-4 фев. 1978 г.

43. Котельников Г.А. О симметрии уравнений свободного электромагнитного поля. В кн.: Теоретико-групповые методы в физике, т. 1. Труды международного семинара, Звенигород, 28-30 нояб. 1979-М.: Наука, 1980, с. 203-211.

44. Котельников Г.А. Уравнения электродинамики с неинвариантной скоростью света. Изв. ВУЗов, Физика, 1981, N 10, с. 46-51.260

45. Котельников Г.А. Галилеева симметрия уравнений Максвелла в классической электродинамике. Изв. ВУЗов, Физика, 1985, N 8, с. 78-83.

46. Котельников Г.А. Галилеева симметрия уравнений Максвелла. Приложение общих соотношений к конкретным примерам. В сб.: ВАНТ, сер. Общая и ядерная физика, вып. 4(33) М.: 1985, с. 18-19.

47. Котельников Г.А. Пространственно-временные преобразования расширенной группы Галилея, совместные с постулатом инвариантности скорости света и единым временем Ньютона. В сб.: ВАНТ, сер. Общая и ядерная физика, вып. 4(33) М.: 1985, с. 20-21.

48. Котельников Г.А. Уравнение Ньютона в Галилей-инвариантной электродинамике. В сб.: ВАНТ, сер. Общая и ядерная физика, вып. 4(33) М.: 1985, с. 21-22.

49. Котельников Г.А. Принцип относительности Галилея в классической электродинамике. Препринт ИАЭ-4275/1. - М.: 1986, 8 с.261

50. Котельников Г.А. Группа Галилея в исследованиях симметрийных свойств уравнений Максвелла. Общие соотношения. В кн.: Теретикогрупповые методы в физике, т. 1. Труды третьего семинара, Юрмала, 22-24 мая 1985 М.: Наука, 1986, с. 466-479.

51. Котельников Г.А. Группа Галилея в исследованиях симметрийных свойств уравнений Максвелла. Конкретные примеры. В кн.: Теретикогрупповые методы в физике, т. 1. Труды третьего семинара, Юрмала, 22-24 мая 1985 М.: Наука, 1986, с. 479-490.

52. Котельников Г.А. Плоские продольные волны в решениях уравнений Максвелла. Препринт ИАЭ-4317/1. - М.-ЦНИИатоминформ: 1986, 8 с.

53. Котельников Г.А. Новое решение уравнений Максвелла: плоские продольные электромагнитные волны. Веб.: ВАНТ, сер. Общая и ядерная физика, вып. 4(40) М.: 1987, с. 58-59.

54. Котельников Г.А. Допплеровская интерпретация сверхсветового расширения квазара 3C273. В сб.: ВАНТ, сер. Общая и ядерная физика, вып. 2(42) М.: 1988, с. 3-4.

55. Котельников Г.А. Новая алгебра внутренних симметрий уравнений Максвелла. Письма в ЖЭТФ, 1989, т. 50, N 6, с. 265-267.

56. Котельников Г.А. Квазар 3C273 гораздо ближе? В сб.: Экспериментальные тесты теории гравитации. М.: Изд. Мое. Унив., 1989, с. 218 -229. - Препринт ИАЭ-4405/1. - М.: 1987, 16 с.

57. Котельников Г.А. Разложение преобразований обратных радиус-векторов на совокупность преобразований из группы Вейля. В сб.: ВАНТ, сер. Ядерно-физические исследования (Теория и эксперимент), вып. 2 М.: 1990, с. 8-9.262

58. Котельников Г.А. Разложение преобразований обратных радиус-векторов на совокупность преобразований из группы Вейля. Конформная размерность электромагнитного поля. Изв. ВУЗов, Физика, 1990, N 5, с. 9-13.

59. Котельников Г.А. Галилеева симметрия в классической электродинамике. Препринт ИАЭ-5162/1. - М.: 1990, 16 е.; Стендовый доклад на 18-ом Международном коллоквиуме "Теоретико-групповые методы в физике", М., 4-9 июня 1990.

60. Котельников Г.А. Инвариантность уравнения светового конуса относительно преобразований Галилея. В сб.: ВАНТ, сер. Ядерно-физические исследования (Теория и эксперимент), вып. 5 (13)- М.: 1990, с. 47-48.

61. Котельников Г.А. О некоторых экспериментальных следствиях Галилейинвариантной электродинамики. В сб.: ВАНТ, сер. Ядерно-физические исследования (Теория и эксперимент), вып. 5(13)- М.: 1990, с. 49-50.

62. Котельников Г.А. Импульс и энергия свободной частицы в Галилей-инвариантной электродинамике. В сб.: ВАНТ, сер. Ядерно-физические исследования (Теория и эксперимент), вып. 11(19)- М. : 1990, с. 75-76.

63. Котельников Г.А. Специальная теория относительности с неинвариантной скоростью света. В сб.: ВАНТ, сер. Ядерно-физические исследования (Теория и эксперимент), вып. 11(19)- М.: 1990, с. 76-77.

64. Котельников Г.А. Преобразования дискретной симметрии в классической электродинамике. В сб.: ВАНТ, сер. Ядерно-физические исследования, вып. 3 М.: 1992, с. 14-15.

65. Котельников Г.А. Симметрия уравнений квантовой теории относительно операции инверсии скорости света. В сб.: ВАНТ, сер. Ядерно-физические исследования, вып. 3 М.: 1992, с. 15-16.

66. Котельников Г.А. Новые алгебры инвариантности уравнений Максвелла. В сб.: ВАНТ, сер. Ядерно-физические исследования, вып. 3 М.: 1992, с. 16-17.

67. Котельников Г.А. Инверсия знака скорости света новое преобразование дискретной симметрии в электродинамике. - Изв. ВУЗов, Физика, 1992, N 12, с. 69-72.

68. Котельников Г.А. Единое время Ньютона в классической электродинамике. Препринт ИАЭ-5609/1 М.: 1993, 9 с.; Доклад на Международной конференции "Ньютон и проблемы механики твердых и деформируемых тел", Санкт-Петербург, 22-27 марта 1993.

69. Котельников Г.А. Алгоритм исследования и симметрии свободного уравнения Шредингера. Препринт ИАЭ-5730/1. - М.: 1994, 18-е.263

70. Котельников Г.А. К нелинейной электродинамике. Изв. ВУЗов, Физика, 1995, N 2, с. 116-119.

71. Котельников Г.А. Продолжено изучение "минус с" симметрии. В кн.: 1997 Годовой отчет РНЦ "Курчатовский Институт", РНЦ КИ, 1998, с. 163-164.

72. Кузнецов Г.И., Москалюк С.С., Смирнов Ю.Ф., Шелест В.П. Графическая теория представлений ортогональных и унитарных групп и ее физические приложения. Киев: Наукова Думка, 1992. - 287 с.

73. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973, с. И, 143-154.

74. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976, с. 455.

75. Лапковский А.К. Релятивистская кинематика, неевклидовы пространства и экспоненциальное отображение. Минск: Наука и Техника, 1985, с. 199-213.

76. Лезнов А.Н., Манько В.И., Савельев М.В. Солитонные решения нелинейных уравнений и теория представлений групп. В кн.: Труды ФИАН, т. 165. М.: Наука, 1986, с. 75-77.

77. Логунов A.A. Основы теории относительности. (Конспект лекций). -М.: Изд. Моск. Унив., 1982, с. 13.

78. Логунов A.A. К работам Анри Пуанкаре "О ДИНАМИКЕ ЭЛЕКТРОНА". М.: ИЯИ, 1984, 96 с.

79. Лойде Р.К.Р. О внутренних симметриях релятивистских волновых уравнений. Изв. ВУЗов, 1983, N 8, с. 111-112.

80. Лоренц Г.А. Электромагнитные явления в системе, движущейся с любой скоростью, меньшей скорости света. В кн.: Принцип относительности.• М.: Атомиздат, с. 67-86.

81. Лукьянов В.К., Поль Ю.С. Упругое и неупругое рассеяние электронов атомными ядрами. В сб.: ЭЧАЯ, т. 5, вып. 4, с. 955-1022.

82. Малкин И.А., Манько В.И. Симметрия атома водорода.- Письма в ЖЭТФ, 1965, т. 2, N 5, с. 230-234.

83. Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния в квантовой теории. Автореферат дис. . д-ра физ.-мат. наук. М.:ФИАН, 1972.

84. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.: Наука, 1979. - с. 17-19.

85. Мамаев A.B. Сущность третьей теории пространства-времени. -Приложение к журналу нетрадиционных идей. Вып. 3. Теория относительности: за и против. Сборник докладов Всесоюзной конференции ФЕНИД-91, т. 1. Гомель: 1991, с. 101-110.

86. Мамаев A.B. Эксперименты, опровергающие специальную теорию относительности. В Кн.: Проблемы пространства и времени в современном естествознании. Ч. 2 С.-Петербург, 1993, с. 192-197.264

87. Манько В.И. Интегралы движения и симметрия квантовых систем. В кн.: Теоретико-групповые методы в физике, т. 1. Труды международного семинара, Звенигород, 24-26 нояб. 1982 М.: Наука, 1983, с. 405-419.

88. Мархашов Л.М. О конформно-инвариантных движениях материальной точки. Прикладная математика и механика, 1966, т. 30, вып. 1, с. 4-13.

89. Матвеенко Л.И. Видимые сверхсветовые скорости разлета компонент во внегалактических объектах. УФН, 1983, т. 140, вып. 3, с. 463-501.

90. Миллер М.А., Сорокин Ю.М., Степанов Н.С. Ковариантность уравнений Максвелла и сопоставление электродинамических систем. УФН, 1977, т. 121, вып. 3, с. 525-538.

91. Мозалев В.П. Способ выявления анизотропии пространства. Изв. ВУЗов, 1980, N 12, с. 82-83.

92. Николенко В.Г., Попов A.B., Самосват Г.С. Поиски относительной анизотропии скорости света и скорости нейтронов. Препринт ОИЯИ РЗ-11652. - Дубна: 1978, 12 с.

93. Нимбуев Б.Ш. Инвариантное время, "серпуховской эффект" и квазар ЗС 279. Улан-Уде, 1996, 12 с.

94. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 400 с.

95. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. - с. 162-179.

96. Паули В. Теория относительности. М.-Л.: Гостехиздат, 1947, с. 24, 282.

97. Петрашень М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике. М.: Наука, 1967, с. 61, 270-281.

98. Плетюхов В.А., Стражев В.И. О дополнительной симметрии релятивистских волновых уравнений. Изв. АН БССР, сер. Физ.-Мат. Наук, N 2, с. 103-108.

99. Покровский Ю.Е., Селихов A.B. Введение в современные представления о структуре и взаимодействии адронов. Часть 1. Кварковая структура адронов, квантовая, хромодинамика и скейлинг Бьеркена. Обзор ИАЭ им. И.В. Курчатова. - М.: 1988, 117 с.

100. Пуанкаре А. О динамике электрона. В кн.: Принцип относительности.- М.: Атомиздат, 1973, с. 90-93: с. 118-161.

101. Пуанкаре А. Настоящее и будущее матаматической физики. В кн.: Принцип относительности. М.: Атомиздат, 1973, с. 27-44.

102. Стражев В.И., Томильчик Л.М. Электродинамика с магнитным зарядом.- Минск: Изд. Наука и Техника, 1975. 335 с.265

103. Стражев В.И., Плетюхов В.А. Диальная симметрия релятивистских волновых уравнений. - Acta Phys. PoIónica, 1981, v. B12, N 7, p. 651-664.

104. Стражев В.И., Школьников В.А. О поляризационной симметрии векторных полей. Изв. ВУЗов, Физика, 1082, N 7, с. 77-80.

105. Стражев В.И., Школьников П.Л. 0 поляризационных симметриях релятивистских волновых уравнений. - Изв. ВУЗов, Физика, 1982, N И, с. 74-78.

106. Страховский Г.М., Успенский A.B. Экспериментальная проверка теории относительности. УФН, 1965, т. 86, вып. 3, с. 421-432.

107. Стрельцов В.Н. К вопросу об определении понятий одновременности и расстояния. Сообщение ОИЯИ Р2-11084. - Дубна: 1977, 10 с.

108. Стрельцов В.Н. Об инвариантности уравнения Дирака относительно е-преобразований. Сообщение ОИЯИ Р2-11552. - Дубна: 1978, 8 с.

109. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972, с. 276, 403.

110. Тяпкин A.A. Выражение общих свойств физических процессов в пространственно-временной метрике специальной теории относительности. УФН, 1972, т. 106, вып. 4, с. 617-659.

111. Умов H.A. Единообразный вывод преобразований, совместных с приннципом относительности. В кн.: Избранные сочинения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950, с. 492-499.

112. Фок В.А. Теория Эйнштейна и физическая относительность. М.: Знание, 1967, 40 с.

113. Фущич В.И., Никитин А. Г. Групповые свойства уравнений Максвелла. В сб.: Теоретико-групповые свойства в математической физике. -Киев, Институт математики АН УССР, 1978, с. 45-80.

114. Фущич В.И. О новом методе исследования групповых свойств дифференциальных уравнений в частных производных. В сб.: Теоретико-групповые методы в математической физике. Киев, Институт математики АН УССР, 1978, с. 5-44.

115. Фущич В.И. New Nonlinear Equation for Electromagnetic Field Having Velocity Different from с. ДАН Укр., 1992, N 4, с. 24-27.

116. Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений Максвелла. Киев: Наукова Думка, 1983. - с. 5-12.

117. Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1990. - с. 7-21.

118. Фущич В.И., Сегеда Ю.Н. О новой алгебре инвариантности свободного уравнения Шредингера. ДАН, 1977, т. 232, N 4, с. 800-801.

119. Фущич В.И., Цыфра И.М. О симметрии нелинейных уравнений электродинамики. ТМФ, 1985, т. 64, N 1, с. 41-50.266

120. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова Думка, 1989. - с. 5-11, 281-282.

121. Хамермеш М. Теория групп и ее приложение к физическим проблемам.- М.: Мир, 1966, с. 549-571.

122. Швебер С., Бете Г., Гофман Ф. Мезоны и поля, т. 1. М.: ИЛ, 1957, с. 18-59, 171-173.

123. Ширков Д.В. Ренормгруппа Боголюбова. УМН, 1994, т. 49, N 5(299), с. 147-164.

124. Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. М.: Наука, 1975.

125. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. М.: Наука, 1969, с. 185-192, 344.

126. Эйнштейн А. К электродинамике движущегося тела. В кн.: Принцип относительности. М.: Атомиздат, 1973, с. 97-117.

127. Эйнштейн А. Принцип относительности. Петроград: Научное книгоиздательство, 1923, с. 8-11.

128. Alvager Т., Nilsson А., Kjellman J. A Direct Terrestrial Test of the Second Postulate of Special Relativity.- Nature, 1963, v. 197, N, p. 1191.

129. Alvager Т., Farly F.J.M., Kjellman J. Wallin I. Test of the Second Postulate of Special Relativity in the GeV Region. Phys. Lett., 1964, v. 12, N , p. 260-262.

130. Bateman H. The Transformation of the Electrodynamical Equations.- Proc. Lond. Math. Soc., 1909, v. 8, N 1050, p. 223-264.

131. Barut A.0., Haugen R.B. Theory of the Conformally Invariant Mass.- Annals of Phys., 1972, v. 71, p. 519-541.

132. Barut A.O., Xu Bo-wei. Conformal Covariance and the Probability Interpretation. Phys. Lett., 1981, v. 82A, N 5, p. 218-220.

133. Bellac M. Le, Levy-Leblond J.M. Galilean Electromagnetism. -Nuovo Cim., 1973, v. 14B, N 2, p. 217-234.

134. Bogoslovsky G.Yu. A Special-Relativistic Theory of the Locally Anisotropic Space-Time. Nuovo Cim., v. 43B, N 2, p. 99-133.

135. Born M., On the Quantum Theory of the Electromagnetic Field. -Proc. Roy. Soc. 1934, V. A143, N 848, p. 410-437.

136. Born M., Infeld L. Foundations of the New Field Theory. Proc. Roy. Soc. 1934, V. A144, N 852, p. 425-451.

137. Boulware D.G., Brown L.S., Peccei R.D. Deep-Inelastic Electroproduction and Conformal Synnetry. Phys. Rev. D, 1970, v 2, N 2, p. 293-298.

138. Cabibbo N., Ferrari E. Quantum Electrodynamics with Dirac Monopoles. Nuovo Cim., 1962, v. XXIII, N 6, p. 1147-1154.

139. Caldirola P. Chronon in Quantum Theory. Lett. Nuovo Cim., 1977, V. 18, N 15, p. 465-468.- 267

140. Callegari G., Fortlni P., Maccaferri M. Conformal Covarlance of Dirac-Maxwell and t'Hooft-Polyakov Monopole Theries. Nuovo Cim., 1986, v. 92A, N 2, p. 201-209.

141. Carruthers P. Broken Scale Invariance in Particle Physics. -Phys. Reports (Sec. С of Phys. Lett.), 1971, v. 1, N 1, p. 1-29.

142. Cashmore D.J. Integrable Transformations between Moving Observers. Proc. Phys. Soc., 1963, v. 81, p. 181-185.

143. Chang T, Maxwell's Equations in Anisotropic Space. Phys. Lett., v. 70A, N 1, p. 1-2.

144. Chang T. A Suggestion to Detect the Anisotropic Effect of the One-Way Velocity of Light. J. Phys. A: Math. Gen., 1980, v. 13, L207-L209.

145. Chiu C.B., Hsu J.P., Sherry T.N. Predictions of Variations of the Speed of Light Measured by Stable Clocks. Phys. Rev. D, 1977, V. 16, N 8, p. 2420-2423.

146. Clay R.W., Crouch P.C. Possible Observations of Tachyons Associated with Extensive Air Showers. Nature, 1974, v. 248, N 5443, p. 28-30.

147. Cooper J.C. Have Faster-Than-Light Particles Already Been Detected? Found. Phys., 1979, v. 9, N 5/6, p. 461-337.

148. Cunningham E. The Principle of Relativity in Electrodynamics and an Extension thereof. Proc. Lond. Math. Soc., 1909, v. 8, N 1041, p. 77-98.

149. Dewan E.M. Remarks on the Derivation of the Lorentz Transformation. Nuovo Cim., 1961, v. XXII, N 5, p. 943-957.

150. Dickens R.J., Malin S.R.C. A Test of the Ritz Theory of Light Propagation. The Observatory, 1975, v. 85, N 949, p. 260-262.

151. Dodonov V.V., Malkin I.A., Man'ко V.I. Invariants, Green Functions and Coherent States of Dynamical Systems. Teor. Mat. Fis. (USSR), 1975, V. 24, N 2, p. 164-176.

152. Dodonov V.V., Mizrahi S.S. Uniform Nonlinear Evoluation Equations for Pure and Mixed Quantum States. Annals of Phys., 1995, v. 237, N 2, p. 226-268.

153. Edwards W.F. Special Relativity in Anisotropic Space. Amer. J. Phys., 1963, v. 31, p. 482-489.

154. Everett A.E. Tachyon Behavior in Theories with Broken Lorentz Invariance. Phys. Rev. D, 1976, v. 13, N 4, p. 795-805.

155. Feenberg E. Distant Synchrony and One-Way Velocity of Light. -Found. Phys., 1979, v. 9, N 5/6, p. 329-337.

156. Filippas T.A., Fox J.G. Velocity of Gamma Rays from a Moving Source. Phys. Rev., 1964, v. 135, N 4B, p. B1071-B1075.

157. Flato M., Simon J., Sternheimer D. Conformal Covariance of Field Equations. Annals of Phys., 1970, v. 61, p. 79-97.268

158. Flidrzynski A., Nowick A. Can an Anisotropic Effect of the One-Way Velocity of Light Really Be Measured? J. Phys.A: Math. Gen., 1982, V. 15, p. 1051-1052.

159. Foldy L.L. Synthesis of Covarlant Particle Equations. Phys. Rev., 1956, v. 102, N 2, p. 568-581.

160. Fujiwara K. Is the Light Velocity In Vacuum Really a Constant? Possible Breakdown of the Linear w-k Relation at Extremely High Frequencies. -Found. Phys., 1980, v. 10, N3/4, p. 309-331.

161. Fulton Т., Rohrlich F., Wltten L. Conformal Invariance In Physics. Rev. Modern Phys., 1962, v. 34, N 3, p. 442-457.

162. Fulton Т., Rohrlich F., Wltten L. Physical Consequences of a Co-ordinate Transformations to a Uniformly Accelerating Frame. -Nuovo Clm., 1962, v. XXVI, N 4, p. 652-671.

163. Fushchlch V.I. P, T, С Properties of the Polncare' Invariant Equations for Massive Particles. Lett. Nuovo Clm., 1973, v. 6, N 4, p. 133- 137.

164. Fushchlch V.I. On the Additional Invariance of the Dlrac and Maxwell Equations. Lett. Nuovo Clm., 1974, v. 11, N 10, p. 508-512.

165. Fushchlch V.I., Nikitin A.G. On the New Invariance Group of Maxwell Equations. Lett. Nuovo Clm., 1979, v. 24, N 7, p. 220-224.

166. Fushchlch V.I., Nikitin A.G. On the New Invariance Algebras of Relativistic Equations of Massless Particles. J. Phys. A: Math. Gen., 1979, v. 12, N6, p. 747-757.

167. Galkin M.G. An Invariance Property of the free Electromagnetic Field. Amer. J. Phys., 1965, v. 33, N 11, p. 958-960.

168. Giannetto E., Maccarrone G.D., Mignani R., Recami E. Are Muon Neutrinos Faster-Then-Light Particles? Phys. Lett. B, 1986, v. 178, N 1, p. 115-120.

169. Giannoni C. Clock Retardation, Absolute Space and Special Relativity. Found. Phys., 1979, v. 9, N 5/6, p. 427-444.

170. Gluckman A.J. Coordinate Transformations of W. Voigt and the Principle of Special Relativity. Amer. J. Phys., 1968, v. 36, N 3, p. 226-231.

171. Goldin G. A., Svetlichny G. Nonlinear Schrodinger Equations and the Separation Property. J. Math. Phys., 1994, v. 35, N 7, p. 3322-3332.

172. Gordon C.N. An Alternative Deduction from the Michelson-Morley Experimenr. Proc. Phys. Soc., 1962, v. 80, N 3, p. 569-592.

173. Gordon C.N. The Identification of a Preferred Inertial Frame. -Found. Phys., 1975, v. 5, N 1, p. 173-183,269

174. Gron 0. Speed of Light as Neasured by Stable Clocs According to Special Relativity. Phys. Rev. D, 1978, v. 17, N 6, p. 16661668.

175. Gross D.J., Wess J. Scale Invariance, Conformai Invariance, and the High-Energy Behavior of Scattering Amplitudes. Phys. Rev. D, 1970, V. 2, N 4, p. 753-764.

176. Gulati S. On "Common Time" in the Four-Dimensional Symmetry Framework. Indian J. Theor. Phys., 1980, v. 28, N 2, p. 121-124.

177. Hagen C.R. Scale and Conformai Transformations in Galilei-Covariant Theory. Phys. Rev. D, 1972, v. 5, N 2, p. 377-388.

178. Hsu J.P. New Four-Dimensional Symmetry. Found. Phys., 1976, v. 6, N 3, p. 317-339.

179. Hsu J.P., Underwood J.A. General Flat Four-Dimensional World Pictures and Clock Systems. Found. Phys., 1978, v. 8, N 11/12, p. 833-843.

180. Hsu J. P. The Analysis of Time: Is the Relativistic Time Unique? -Found. Phus., 1979, v. 9, N 1/2, p. 55-69.

181. Hsu J.P. Questions on Universal Constants and Four-Dimensional Symmetry from a Broad Viewpoint. Nuovo Cim., 1983, v. 74B, N 1, p. 67-82.

182. Isham C.J., Salam A., Strathdee J. Spontaneous Breakdown of Conformai Symmetry. Phys. Lett., 1970, v. 31B, N 5, p. 300-302.

183. Ives H. E. The Measurement of the Velocity of Light by Signals Sent in One Direction. J. Opt. Soc. Amer., 1948, v. 38, N 10, p. 879-884.

184. Jorio M. Di. The Theory of Restricted Relativity Independent of a Postulate on the Velocity of Light. Nuovo Cim., 1974, v. 22B, N 1, p. 70-78.

185. Jorio M. Di. Reply to the Letter of Comment on Di Jorio's Article "The Theory of Restricted Relativity, Independent of a Postulate on the Velocity of Light". Lett. Nuovo Cim., 1978, v. 21, N 11, p. 387-389.

186. Kalotas T.M., Lee A.R. On the Constancy of the Velocity of Light. Found. Phys., 1978, v. 8, N7/8, p. 603-607.

187. Kastrup H.A. Some Experimental Consequences of Conformai Invariance at Extremely High Energies. Phys. Lett., 1962, v. 3, N 2, p. 78-80.

188. Kastrup H.A. Position Operators, Gauge Transformations, and the Conformai Group. Phys. Rev., 1966, v. 143, N 4, p. 1021-1071.270

189. Kotel'nikov G.A. The Modified Maxwell Equations in 5-Dimensional Space with Noninvariant Velocity of Light. Preprint IAE-3284/1.- M.: 1980, 19 p.; Доклад на сессии Отделения ЯФ АН СССР, ИТЭФ, М., 23-27 марта 1981.

190. Kotel'nikov G.A. Equations of Electrodynamics with Noninvariant Velocity of Light. Sov. Phys. J., 1981, v. 24, N 10, p. 938202. Kotel'nikov G.A. On the Symmetry of Equations of the Free

191. Electromagnetic Field. Nuovo Cim., 1982, 72 B, N 1, p. 68-78.

192. Kotel'nikov G.A. New Algebra of Internal Symmetries of Maxwell's Equations. JETR Lett., 1989, v. 50, N 6, 1990, p. 293-296.

193. Kotel'nikov G.A. The Sign Invertion of the Speed of Light is the New Transformation of Discrete Symmetry in Electrodynamics. In: Symmetry Methods in Physics. Proceedings of the Fifth Workshop, Obninsk, July 1991 Obninsk: 1992, p. 252-254.

194. Kotel'nikov G.A. Algorithm for Research of Mathematical Physics Equations Symmetries. Symmetries of the free Schroedinger Equation. Preprint IAE-5778/1, M., 1994, 21 p.; http://xxx.lanl. gov/abs/quant-ph/9612049, 14 p.

195. Kotel'nikov G.A. Nonlinear Maxwell Equations. Preprint IAE-5881/1. M., 1995, 7 p.; J. Nonlinear Math. Phys. (Ukr.), 1996, v. 3, N3-4, p. 391-395; http://xxx.lanl.gov/abs/physics/ 9612002, 6 p.

196. Kovalev V.F., Pustovalov V.V., Shirkov D.V. Group Analysis and Renormgroup Symmetries. Preprint JINR E5-96-209, Dubna: 1996, 31 p.

197. Kyriakopoulos E. Dynamical Groups and the Bethe-Salpeter Equation. Phys. Rev., 1968, v. 174, N 5, p. 1846-1859.

198. Loiseau J. L'effet Doppler et le decalage vers le rouge en mecanique rationelle: applications et verifications experimentales. Applied Opticd, 1968, v. 7, N 7, p. 1391-1400.

199. Loiseau J. Une experience permettant de confirmer que la Vitesse de la lumiere recue de la QSO PKS 2134+004 est superieure a 440,000 km/sec. Applied Optics, 1972, v. 11, N 2, p. 470-472.

200. Mack G. Partially Conserved Dilatation Currents. Nucl. Phys. B5, 1968, p. 499-507.272

201. Mack G., Salam A. Finite-Component Representations of the Conformal Group. Annals of Phys., 1969, v. 53, p. 174-202.

202. Mac Gregor M.H. Generalization of the Postulates of Special Relativity. Lett. Nuovo Cim., 1985, v. 43, N 1, p. 49-54.

203. Mackinnon L. A Fundamental Equation in Quantum Mechanics? Lett. Nuovo Cim., 1981, v. 32, N 10, p. 311-312.

204. Mansouri R. Some Dynamical Aspects of a Test Theory of Special Relativity. Z. Naturforsch., 1979, v. 34a, N 11, p. 1355-1358.

205. Mansouri R. Broken Lorentz Invariance and Conventionality of Clock Synchronization. -Phys. Lett., 1979, v. 71A, N2,3, p. 177-178.

206. Marinov S. The Experimental Verification of the Absolute Space-Time. Theory-1. Intern. J. Theor. Phys., 1975, v. 13, N 3, p. 189-212.

207. Marinov S. The Coordinate Transformations of the Absolute SpaceTime Theory. Found. Phys., 1979, v. 9, N 5/6, p. 445-460.

208. Newman D., FordG.W., Rich A., Sweetman E. Precision Experimrntal Verification of Special Relativity. Phys. Rev. Lett., 1978, v. 40, N 21, p. 1355-1358.

209. Niederer U. The Maximal Kinematical Invariance Group of the Free Schrodinger Equation. Helv. Phys. Acta, 1972, v. 45, N 5, p. 802-810.

210. Olver P.J., Rosenau P. The Construction of Special Solutions to Partial Differential Equations. Phys. Lett., 1986, v. 114A, N 3, p. 107-112.

211. Palacios J. Revision de la teoria de la relatividad. Revista de la Real Academia de Ciencias, Madrid, 1957, v. 51, p. 21-101; The Relativistic Measures and Units. - Nuovo Cim., 1966, v. XLIII A, N 2, p. 413- 422.

212. Patty C.E. Electromagnetic Behavior in Superluminal Interactions: the Classical Electromagnetic Problem. Nuovo Cim., 1982, v. 70B, N 1, p. 65-79.

213. Pocci G., Sjodin T. Outline of a Relativistic Theory for a Non-Lorentzian Ether.- Nuovo Cim., 1981, v. 63B, N 2, p. 601-615.

214. Podlaha M. Lorentz Theory, Palacios Theory and Interferometrical Experiments. Nuovo Cim., 1969, LXIVB, N 1, p. 181-187.

215. Prokhovnik S.J. The Empty Ghost of Michelson and Morley: A Critique of the Marinov Coupled-Mirrors Experiment. Found. Phys., 1979, v. 9, N 11/12, p. 883-896.

216. Rapier P.M. An Extension of Newtonian Relativity to Include Electromagnetic Phenomena. Proc. IRE, 1961, v. 49, Nov., p. 1691-1692.273

217. Rapier P.M. A Proposed Test for the Existance of a Lorentz-Invariant Aether. Proc. IRE, 1962, v. 50, N 2, p. 229-230.

218. Rembielinsky J. The Relativistic Ether Hypothesis. Phys. Lett., 1980, V. 78A, N 1, p. 33-36.

219. Romain J.E. On Some Misconceptions About Relativistic Coordinate Transformations. Nuovo Cim., 1963, v. XXX, N 5, p. 1254-1270.

220. Rosen J. Transformation Properties of Electromagnetic Quantities under Space Invertion, Time Reversal, and Charge Conjugation. -Amer. J. Phys., 1973, v. 41, N 4, p. 586-588.

221. Ruebenbauer K. Isotropy of the Velocity of Light. Intern. J. Theor. Phys., 1980, v. 19, N 3, p. 217-218.

222. Sadeh D. Experimental Evidence for the Constancy of the Velocity of Gamma Rays, Using Annihilation in Flight. Phys. Rev. Lett., 1963, V. 10, N 7, p. 271-273.

223. Schommers W. Inertial Frames of Reference: Mass Coupling to Space and Time. Intern. J. Theor. Phys., 1981, v. 20, N 6, p. 411-431.

224. Sjodin T. On the Suppositions Necessary to Derive the Lorentz Transformation Formulae: a Comment on Di Jorio'o Article. Lett. Nuovo Cim., 1977, v. 18, N 8, p. 241-244.

225. Sjodin T. Synchronization in Special Relativity and Related Theories. Nuovo Cim., 1979, 1979, v. 51B, N 2, p. 229-246.

226. Sjodin T., Podlaha M.F. On the Impossibility of Measuring the One-Way Velocity of Light by Means of the Stellar Aberration. -Lett. Nuovo Cim., 1981, v. 31, N 13, p. 433-436.

227. Spavieri G. Nonequivalence of Ether Theories and Special Relativity. Phys. Rev. A, 1986, v. 34, N 3, p. 1708-1713.

228. Strauss M. On the Voigt-Palacios-Gordon Transformations and Kinematics Implied by It. Nuovo Cim., 1965, v. XXXIX, N 2, p. 658-666.

229. Todorov I.T. Conformal Invariant Quantum Field Theory. (Lecture Notes). Phys. Inst. Bulg. Acad. Science, E2-6642 - Sofia: 1972, 52 p.

230. Voigt W. Ueber das Doppler'sche Princip. Nachr. K. Gesel. Wiss. Georg-Augusts-Univ., Gottingen, 1887, N2, s. 41-52.

231. Vrcelj Z. A Criticizm of the " Absolute Space-Time Theotry". -Found. Phys., 1978, v. 8, N 9/10, p. 797-800.

232. Wess J. On Scalar Transformations. Nuovo Cim., 1959, v. XIV, N 3, p. 527-531.

233. Wess J. The Conformal Invariance in Quantum Field Theory. Nuovo Cim., 1960, v. XVIII, N6, p. 1086-1107.- 274

234. Xu Bo-wei. The Maximal Kinematical Group Sehrodinger Equation. J. Phys. A: Math. L123-L124.

235. ДОПОЛНЕНИЕ. Дополнительная литература к Главе 6

236. Д-1. Басов Н.Г., Крохин О.Н., Ораевский А.Н., Страховский Г.М., Чихачев Б.М. О возможности исследования релятивистских эффектов с помощью молекулярных и атомных стандартов. -УФН, 1961, т. 75, вып. 1, с. 3-59.

237. Д-2. Таблицы физических величин. Справочник под редакцией академика И.К. Кикоина. М., Атомиздат, 1976, 1006 с.

238. Д-3. Климец А.П. Физика и философия. Поиск истины. 1997, 124 с. с. 19.

239. Д-4. Ковнер. Электронная теория и теория относительности. Саратовский Унив., 1967, 298 с.

240. Д-5. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой теории. М., Наука, 1972, 439 с.

241. Д-6. Молчанов А.Г. Опытная проверка постулатов специальной теории относительности. УФН, 1964, т. 83, вып. 4, с. 753-755.

242. Д-7. Молчанов Ю.Б. К вопросу об определении одновременности с помощью транспортировки часов. В кн.: Эйнштейновский сборник 1971. М., Наука, 1972, с. 226-253.

243. Д-8. Санников-Проскуряков С. С. Универсальные константы физики. В сб.: Аксиоматическая теория времени или что такое Бог с точки зрения физики. Березники, Россия, 1998, с. 72-76.

244. Д-9. Спасский Б.И. История физики. Ч. 2, Раздел шестой. Изд. Моск. Унив., 1964, с. 144-200.

245. Д-10. Страховский Г.М., Успенский A.B. Экспериментальная проверка теории относительности. УФН, 1955, т. 86, вып. 3, с. 421-432.

246. Д-11. Тейлор Э., Уилер Дж. Физика пространства-времени. М., Мир, 1971, 320 с. с.305.

247. Д-12. Франкфурт У.И. Специальная и общая теория относительности. Исторические очерки. М., Наука, 1972, 332 с.

248. Д-13. Шноль С.Э., Коломбет В.А., Пожарский Э.В., Зенченко Т.А., Зверева И.М., Копрадов А.А. О реализации дискретных состояний в ходе флуктуаций в макроскопических процессах. УФН, 1998, т. 168, N 10, с. 1129-1140.

249. Д-16. Carswell В., Hewett P. The Universe at High Redshift. Nature, 1990, v. 343, 11 Jan., p. 117-118.

250. Д-17. Cederholm J.P., Townes C.H. A New Experimental Test of Special Relativity. Nature, 1959, v. 184, N 4696, p. 1350-1351.

251. Д-18. Champeney D.C., Moon P.B. Absence of Doppler Shift for Gamma Ray Source and Detection on Same Circular Orbit.- Proc. Phys. Soc., 1961, V. 77. p. 350-352.

252. Д-19. Champeney D.C., Isaak G.R., Khan A.M. An "Aether Drift" Experiment Based on the Mossbauer Effect. Phys. Lett., 1963, v. 7, p. 241-243.

253. Д-20. Comblley F., Farley F.J.M., Field J.H., Picasso E. g-2 Experiments as a Test of Special Relativity. Phys. Rev. Lett., 1979, v. 42, N 21, p. 1383-1385.

254. Д-22. Dickens R.J., Malin S.R.C. A Test of the Ritz Theory of Ligt Propagation. The Observatory, 1965, v. 85, N 949, p. 260-262.

255. Д-23. Epstein E.E. Atomic Hydrogen in Galaxies. Astroph. J., 1964, V. 69, N 7, p. 490-520.

256. Д-24. Hafele J.C. Relativistic Behaviour of Moving Terrestrial Clocks.- Nature, 1970, v. 227, N 5255, p. 270-271.

257. Д-25. Kennedy R.J., Thorndike E.M. Experimental Establishment of the Relativity of Time. Phys. Rev., 1932, v. 42, N 3, p. 400-418.

258. Д-26. Khalfin L.A. New Method for Investigation of М2де from Tririum ß-Spectrum Experimental Data and Solution of the Negative M2fie Puzzle. PDMI Preprint-8/1996, May, 1996.

259. Д-27. Kotel'nikov G.A. Universal Newton Time in Classical Electrodynamics. Elements of Physical Interpretation. Preprint IAE-6073/1, M., 1998, 22 p.; http://xxx.lanl.gov/abs/physics/ 9802038, 13 p.; Galilean Electrodynamics в печати.

260. Proc. Roy. Soc., 1962, v. A270, p. 306-314. ¿1-31. Moller C. On the Possibility of Terrestrial Tests of the General Theory of Relativity. Nuovo Cim., Ser. 10, Suppl., 1957, v. 45, p. 381-398.-32. Rees M.J. Appearence of Relativistically Expanding Radio

261. Nature, 1963, v. 197, N 4872, p. 1040. £-36. Wick G. The Clock Paradox Resolved. New Scientist, 1972, v. 53, N 781, p. 261-263.