Инфракрасные сингулярности в эффективном поле в квантовой электродинамике при конечной температуре тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Никитин Владимир Валерьевич

Инфракрасные сингулярности в эффективном поле в квантовой электродинамике при конечной температуре.

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 б МАЙ ¿013

Москва 2013

005059079

005059079

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского Государственного Университета имени М. В .Ломоносова.

Научный руководитель: Пронин Петр Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент

Официальные оппоненты: Ахмедов Эмиль Тофик

доктор физико-математических наук, Институт теоретической и экспериментальной физики имени А.И. Алиханова

Никитин Николай Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики атомного ядра и квантовой теории столкновений физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова

Ведущая организация: ГОУ высшего профессионального

образования "Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова"

Защита состоится 23 мая 2013 г в 15:30 на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физический факультет, ЮФА.

С диссертацией можно ознакомиться в Отделе диссертаций Научной библиотеки МГУ имени М.В. Ломоносова (Ломоносовский просп., д. 27).

Автореферат разослан «22» апреля 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10

доктор физико-математических наук,-=-^___

профессор: р) ~---П. А. Поляков

Общая характеристика работы Актуальность проблемы

Инфракрасные сингулярности являются характерной чертой квантово-полевых моделей, содержащих частицы с нулевой массой. Их интерпретация является важным вопросом при рассмотрении многих физических явлений. Хорошо изучена роль в процессах рассеяния. В частности, в квантовой электродинамике наличие инфракрасных сингулярностей связано с тем, что процессы взаимодействия заряженных частиц сопровождаются рождением неограниченного числа фотонов сколь угодно малой энергии, которые не могут быть зарегистрированы в силу конечности разрешающей способности приборов. Другими словами, экспериментально измеряемой величиной в этом случае является инклюзивное сечение рассеяния, т.е. сумма сечений всех процессов, отличающихся друг от друга лишь рождением произвольного числа мягких фотонов. Математически это выражается в появлении инфракрасные расходимостей в амплитудах рассеяния, которые сокращаются при вычислении инклюзивного сечения, в то время как вероятность любого процесса с излучением фиксированного числа безмассовых частиц оказывается равной нулю. Этот результат известен как теорема Блоха-Нордсика.

Однако вопрос о возможном проявлении инфракрасных особенностей в процессах, которые не сводятся к рассеянию частиц, остается открытым. Для его исследования необходимо рассматривать объекты, отличные от ¿■-матрицы. Одним из них является эффективное, или среднее, поле. Эффективное поле играет важную роль при описании таких физических явлений как спонтанное нарушение симметрии в электрослабой теории, образование кварк-глюонной плазмы в хромодинамике, рождение пар частица-античастица и др. Тем не менее, аппарат среднего поля является гораздо менее разработанным, чем 5-матричный. В частности, вопрос об исследовании инфракрасных сингулярностей в эффективном поле обходился большинством авторов. Однако, в отличие от инклюзивных сечений, эти особенности не сокращаются, следовательно, их интерпретация в данном случае иная, нежели при рассмотрении процессов рассеяния.

Таким образом, вычисление инфракрасно-сингулярных вкладов в эффективное поле играет важную роль как с точки зрения предсказания возможных физических эффектов, так и с точки зрения развития формализма

среднего ПОЛЯ. Цель работы

Цель работы заключается в выяснении влияния инфракрасных эффектов на эволюцию электрона, погруженного в тепловую баню фотонов, с помощью аппарата эффективного поля. Конечные температуры рассматриваются продиктовано физическими условиями, которые имеют место в эксперименте: равновесное излучение, пусть и очень низкой температуры, всегда присутствует и может оказывать существенное влияние на наблюдаемые величины.

Научная новизна

Анализ показывает, что инфракрасные особенности в эффективном поле приводят к наличию расходящихся интегралов, только если рассматривать эволюцию системы заряженных частиц, являющейся источником поля, на бесконечном промежутке времени. Это связано с тем, что за конечный промежуток времени система может излучить лишь конечное число фотонов. Отсюда следует, что, хотя подход, основанный на процедуре адиабатического выключения взаимодействия на бесконечных временах, широко распространен в квантово-полевых расчетах (эта процедура используется, в частности, при построении 5-матрицы), в присутствии безмассовых частиц использование понятия удаленного прошлого требует специального обоснования. Теорема Блоха-Нордсика дает такое обоснование в случае 51-матрицы, однако эффективное поле необходимо рассматривать на конечных интервалах времени.

Для решения поставленной задачи в диссертации предложена техника, основанная на методе Швингсра-Кслдыша и формализме реального времени, позволяющая вычислять квантовые средние неравновесной системы, эволюционирующей в тепловой бане в течение конечного промежутка времени. Показано, что в среднем поле имеет место факторизация инфракрасных особенностей, аналогичная той, которая возникает при расчете амплитуд рассеяния. Это позволяет вычислить инфракрасно-сингулярный вклад, представляющий собой одну из ведущих при больших временах поправок в эффективное поле, с учетом всех порядков теории возмущений. В диссертации проделан соответствующий расчет, произведен анализ по-

лученного результата и дана его физическая интерпретация в терминах термализации состояния электрона.

В связи с исследуемыми проблемами в диссертации также рассмотрен вопрос о калибровочной зависимости эффективного поля, создаваемого квантовыми объектами. В частности, показано, что в отличие от случая классического источника, в данной задаче оказывается невозможным произвести фиксацию калибровочной свободы, не нарушив явную Лоренц-инвариантность модели вследствие необходимости рассматривать эволюцию системы на конечном временном интервале..

Научная и практическая ценность

Результаты диссертации важны как с фундаментальной, так и с прикладной точек зрения. С одной стороны, предложено решение одной из существенных проблем формализма эффективного поля — учета инфракрасных сингулярностей. С другой стороны, предсказаны физические эффекты, проявляющиеся на расстояниях порядка ~ 0.1Ч-1 нм. Такой характерный пространственным масштаб встречается при исследовании многих объектов: квантовых точек, углеродных нанотрубок, сверхтонких пленок и др. Развитые в диссертации методы открывают новые возможности для вычислений радиационных поправок в этих задачах.

Апробация

Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• семинар под рук. д. ф.-м. н., проф. Бооса Эдуарда Эрнстовича (ОЭФ-ВЭ НИИЯФ МГУ им. М.В.Ломоносова)

• семинар под рук. д. ф.-м. н., проф. Морозова Алексея Юрьевича (ИТ-ЭФ им. А.И. Алиханова)

• семинар под рук. д. ф.-м. н., проф. Смирнова Александра Дмитриевича (Ярославский Государственный Университет им. П.Г. Демидова)

• семинар лаборатории теоретической физики (ЛТФ им. H.H. Боголюбова ОИЯИ, Дубна)

• научная конференция "Ломоносовские чтения" 2009, 2013 года

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы и четырех приложений. Объем диссертации составляет 126 страниц текста.

Содержание работы

Во введении дастся краткий обзор литературы по тематике диссертации, формулируются цели исследования, обосновывается актуальность поставленной задачи и описывается структура диссертационной работы.

В главе 1 приведены краткие сведения об инфракрасных особенностях в 5-матричном формализме, производится обзор работ, посвященных проблеме.

Доказательство теоремы Блоха-Нордсика для квантовой электродинамики в сокращенном виде приводится в § 1.1. Показывается, что инфракрасные расходимости, возникающие в отдельных диаграммах при интегрировании по петлевым импульсам, сокращаются лишь при вычислении инклюзивного сечения. При этом его значение Г зависит от разрешающей способности прибора, которая характеризуется минимальным возможным значением энергией регистрируемых им фотонов Е, следующим образом

Гд — значение сечения рассеяния, вычисленное без учета инфракрасных фотонов, Л — условное пороговое значение энергии, отделяющее мягкие и жесткие фотоны, и сокращающееся при подстановке явного выражения для Гд, а показатель степени А всегда положителен. Рассматривается вопрос о регуляризации электронных пропагаторов, лежащих на массовой оболочке. Вводится новый тип регуляризации — Л-регуляризация — имеющая ряд преимуществ по сравнению с известными при исследовании инфракрасных особенностей в эффективном поле.

§ 1.2 посвящен инфракрасным особенностям в других моделях. Даются краткие сведения о коллинеарных расходимостях в хромодинамике и электродинамике с бсзмассовыми заряженными частицами. Приводится обобщение теоремы Блоха-Нордсика для квантовой гравитации.

В главе 2 даны общие сведения о формализме эффективного поля в квантовой теории.

В § 2.1 обсуждается вопрос об измеримости поля. Показывается, что для его полного описания необходимо выйти за рамки ¿"-матричного формализма. Вводится понятие эффективного поля — математическое ожидание оператора некоторой измеряемой физической величины.

В § 2.2 описывается формализм Швингера-Келдыша, позволяющий вычислить значение эффективного поля в частности и, в более общем случае, функции Грина статистичсской системы

= 2)...^(гп))> ,

где угловые скобки означают усреднение по заданному состоянию системы, а ^т(^тп) — операторы наблюдаемых величин. Метод излагается в двух случаях: на бесконечном интервале времени и на конечном временном промежутке. В первом из них вычисления основываются на понятии удаленного прошлого и диаграммная техника принимает наиболее простой вид. Рассмотрение же конечных интервалов времени позволяет исследовать более широкий круг задач. В частности, как отмечалось ранее, оно необходимо для решения поставленной в диссертации задачи.

В § 2.3 изложены основы формализма вещественного времени в квантовой теории при конечной температуре, позволяющий вычислять функции Грина равновесных систем. Этот метод также в диссертационном исследовании для учета влияния тепловой бани на электрон.

В § 2.4 описываются открытые вопросы формализма эффективного поля. Одним из таких вопросов является проблема калибровочной и пара-метризационной зависимостей эффективных величин. Наиболее остро она встает при рассмотрении квантовой гравитации и нсабслсвых калибровочных полей.

Другим существенным вопросом является проблема интерпретации инфракрасных особенностей в эффективном поле, т.е. вычисления влияния на него инфракрасных эффектов. В большинстве предыдущих исследований авторы обходили эту проблему, вычисляя эффективное поле, создаваемое классическим источником. Это позволяло рассматривать задачу на бесконечном интервале времени. Однако, для исследования поля, создаваемого элементарными частицами, и влияния на него инфракрасных эффектов, необходимо отказаться от рассмотрения удаленного прошлого. Диссерта-

ция посвящена решению этой проблемы, но также затрагивает и первый из сформулированных вопросов.

В главах 3-5 излагаются основные результаты диссертации.

Глава 3 посвящена постановке задачи и построению формализма для ее решения.

В § 3.1 формулируется математическая задача о вычислении эффективного тока и электромагнитного поля нсрелятивистского электрона массы т, погруженного в тепловое излучение с температурой Т < тпс2. Для задания начального условия обосновывается возможность использования предположения, что в некоторый (начальный) момент времени £0 электрон и фотонное поле статистически независимы. Это допущение означает, что начальная матрица плотности представляет собой прямое произведение электронной £>0 и фотонной е~Рн*/7< матриц плотности (здесь /3 = 1 /Т — обратная температура, К — нормировочная постоянная). Тогда эффективное значение некоторой физической величины, задаваемой оператором ^ (например, электромагнитного тока.'^(х) = ■ф(х)-у,1'ф(х)) в произвольный момент времени определяется как

где С/(г,£0) — оператор эволюции на интервале (¿0, Тг означает след по всем электронным и фотонным состояниям. Величина представляет собой матрицу плотности системы в произвольный момент времени £ > £0. Электронная матрица плотности при £ > ¿о получается из нее, если взять слсд по фотонным состояниям:

= к-1!^ ИмоЬе-^гл^)) .

Действительно, так как при условии Т тс2 можно пренебречь рождением электрон-позитронных пар, то начальное состояние переводится оператором эволюции в одноэлектронное состояние. Заметим, что таким образом определенная матрица плотности электрона включает в себя все радиационные поправки, связанные с взаимодействием электрона с фотонами, в том числе с рассеянием тепловых фотонов на электроне и излучение фотонов электроном. Это видно из ТОГО, что сумма в написанном выражении производится по всем возможным фотонным состояниям.

Оказывается целесообразным сформулировать инфракрасную проблему в терминах матрицы плотности электрона. А именно, в § 3.1 показывается, что инклюзивное сечение рассеяния связано только с диагональными

(а) (6) (с) (¿)

Рис. 1. Диаграммы, представляющие однопетлевой вклад в эффективное электромагнитное поле заряженной частицы. Незакрашенный кружок отвечает точке наблюдения.

элементами этой матрицы, в то время как эффективное поле зависит также и от ее недиагональных компонент. Это означает, что сокращение инфракрасно сингулярных при £о —* — оо, 4 -¥ +оо вкладов, следующее из теоремы Блоха-Нордсика и се обобщения на случай конечной температуры, имеет место лишь для диагональных элементов матрицы плотности. Другими словами, рассмотрение эффективного поля дает важную информацию о системе, которая не содержится в ¿'-матрице.

§ 3.2 посвящен особенностям формализма Швингера-Келдыша на конечном интервале времени в случае квантовой электродинамики. Исследуется вопрос фиксации калибровочной свободы теории. Указываются принципиальные трудности, препятствующие проведению этой процедуры ко-вариантным образом, в силу которых одной из наиболее удобных оказывается калибровка Кулона, допускающая каноническое квантование. А именно, показывается, что после перехода к калибровке Лоренца методом Фаддеева-Попова в эффективном лагранжиане возникает нековариантный член (последнее слагаемое):

Ц = Ь - 2£ - еф^фА-'д^А,

где Ь — лагранжиан классической электродинамики, £ — весовой множитель.

В § 3.3 приведены правила теории возмущений, доказывается эквивалентность калибровок Кулона и Лоренца. Следуя методу Швингера-Келдыша, каждой вершине взаимодействия приписывается индекс 1 или 2. Пропагаторы приобретают 2 х 2-матричную структуру, причем пропа-гатор типа (а/?) соединяет вершины типа а и /3, где а,/3 = 1,2. Точке наблюдения приписывается индекс 1.

Отличие от стандартной формулировки метода Швингера-Келдыша проявляется прежде всего в том, что пропагаторы фотона вычисляются

при конечной температуре вследствие наличия равновесного излучения. Кроме того, так как задача рассматривается на конечном интервале времени, то ¿-функции в вершинах, выражающие закон сохранения энергии-импульса, заменяются выражениями

Д(«) , Д(и) = --^-(2тг)3^3)(и),

Шо

где Ь — время измерения. Это сглаживание приводит к тому, что эффективные электромагнитное поле и ток оказываются инфракрасно-конечными, и исследование инфракрасных особенностей на конечных временах не требует введения дополнительной регуляризации.

Важным отличием диаграммного представления эффективного поля в используемом аппарате от ¿'-матричной диаграмматики является отсутствие внешних фотонных линий, соответствующих излученным фотонам и фотонам тепловой бани — влияние последних неявно представлено внутренними фотонными линиями. С этим напрямую связано несокращение инфракрасных особенностей в эффективном поле, так как при расчете инклюзивного сечения рассеяния именно интегралы по импульсам внешних фотонных линий, соответствующих неконтролируемому излучению, сокращают инфракрасные расходимости, возникающие при интегрировании по импульсам виртуальных фотонов в петлях. Например, в однопетлевом приближении эффективное электромагнитное поле заряженной частицы представлено диаграммами на рис. 1. Инфракрасные сингулярности в диаграммах (а)-(с) не сокращаются. Многие авторы, обходя эту проблему, исследовали лишь поле классического источника, тем самым ограничиваясь рассмотрением диаграммы (с1).

В § 3.3 обсуждаются причины указанных различий диаграммных техник и показывается, каким образом соотношение унитарности позволяет установить связь между диаграмматиками в ¿'-матричном формализме и аппарате Швингера-Келдыша.

Также в § 3.3 освещены вычислительные тонкости, связанные с правилом обхода полюсов в фейнмановских диаграммах, приведен простой пример вычисления в построенном формализме, демонстрирующий, каким образом в калибровке Лоренца восстанавливается закон Гаусса.

Глава 4 посвящена вычислению вклада инфракрасных особенностей в эффективное поле и интерпретации полученного результата в физических терминах. Общий вид инфракрасно сингулярных диаграмм, дающих вклад

в среднее значение тока, представлен на рис. 2. В § 4.1 произведено прямое суммирование этих диаграмм как при конечной температуре, так и в вакуумном случае. Выделена ведущая асимптотика при больших временах и показано, что она определяется эффектами, связанными с тепловой баней фотонов. Полученный результат можно записать в терминах электронной матрицы плотности в картине Шредингера, которая в импульсном представлении с учетом инфракрасных эффектов принимает вид

e{t\q,q + p)= exp (-QpH) eipotgo(<7, q + p), (1)

где

3 m2'

Po — £g+p — £g, Eq = \/q2 + тп2 — энергия электрона с импульсом q, а = e2/47r — постоянная тонкой структуры (спиновые индексы опущены). Из этой формулы следует, что инфракрасные эффекты приводят к подавлению недиагональных элементов матрицы плотности. Иными словами, происходит декогеренция состояния электрона, т.е. запутывание его с состоянием фотонного поля. Этот эффект в дальнейшем называется инфракрасной тпермализацией. Он имеет место как при конечной, так и при нулевой температуре, хотя в последнем случае процесс протекает гораздо медленнее (недиагональные элементы матрицы плотности электрона экспоненциально зависят от времени при конечной температуре и степенным образом в вакууме).

С другой стороны, вклады в диагональные элементы матрицы плотности e{t\q, q) инфракрасно-конечны. Это означает, что инфракрасные особенности не меняют функцию распределения электрона по импульсам. В соответствии с обсуждением в § 3.1 исчезновение инфракрасно-сингулярных вкладов при р = 0 является частным случаем теоремы Блоха-Нордсика.

В § 4.2 предложен непертурбативный метод вычисления асимптотики эффективного поля при больших временах, позволяющий получить приближенное уравнение для матрицы плотности электрона, описывающее инфракрасную термализацию, не прибегая к явному суммированию диаграмм во всех порядках теории возмущений:

^g{t; q,q+p)= [ip0 - ©р2] g{t] q,q+P)•

г

Рис. 2. Общий вид диаграммы, дающий инфракрасно сингулярный вклад в эффективный ток. т — число фотонных линий, соединяющих различные электронные линии, г (/) — число фотонных линий, начинающихся и закапчивающихся на одной и той же входящей (исходящей) электронной линии.

Это уравнение справедливо на масштабах времен > т, где г удовлетворяет условиям ТУо 1, е2Тто -С 1. Его решение, очевидно, имеет вид (1).

Физический смысл полученных результатов раскрыт в § 4.3. Показано, что инфракрасная термализация приводит к дополнительному расползанию электрона, которое накладывается на обычное квантово-механическое размазывание. Этот процесс носит необратимый характер, количественное выражение которого можно дать в терминах квантовой энтропии состояния электрона, 5 = —1Тг(д 1п д) : при больших временах се рост приближенно описывается формулой

где Д2 — дисперсия импульса электрона.

Именно это необратимое расползание приводит к необходимости рассмотрения задачи о вычислении эффективного поля на конечном временном интервале. Действительно, его наличие означает, что невозможно приготовить пространственно локализованную при конечных временах заряженную частицу, оперируя только свободными состояниями этой частицы в удаленном прошлом.

В этом же параграфе демонстрируется связь инфракрасных сингуляр-ностей с флуктуациями электромагнитного поля, спектральный состав которых дается формулой

51 ~ - 1п-- при £ —> оо

2 7Г

(2)

Даются качественные оценки влияния этих флуктуаций на движение электрона, согласующиеся с точным результатом (1).

Далее в § 4.3 исследуется роль рассматриваемых эффектов в термализа-ции электрона в тепловой бане фотонов. Показывается, что в этом процессе могут быть выделены две составляющие: инфракрасная термализация и обычная релаксация по импульсам электрона. Первый из них заключается в диагонализации матрицы плотности электрона, в то время как второй связан с диагональными ее компонентами, значения которых на временной бесконечности даются распределением Больцмана.

§ 4.4 посвящен возможным наблюдаемым эффектам, связанным с инфракрасными сингулярностями. Влияние тепловых фотонов низкой энергии на эволюцию локализованного электрона демонстрируется на примере гауссового волнового пакета. Получается выражение для плотности заряда с учетом инфракрасной термализации, которое дается временной компонентой эффективного тока

где — дисперсия электрона без учета радиационных поправок. Демонстрируется, что влияние необратимого расползания пренебрежимо мало на фоне квантово-механичсского расползания за исключением специальных случаев. А именно, если приготовить волновой пакет таким образом, чтобы его дисперсия уменьшалась со временем (такую ситуацию можно реализовать, например, используя магнитные линзы), то инфракрасная термализация будет определять нижнюю границу ее значения.

Также рассматривается двухщелевой эксперимент в тепловой бане. Прямым вычислением показывается, что инфракрасные особенности приводят к размазыванию интерференционной картины электронов, и получаются формулы, описывающие это явление. Эффект становится значительным, если

тт

~ Ю20 К/см ■ эВ1//2,

т/е Г2

г — промежуток между интерференционными максимумами, Ь — характерное расстояние, проходимое электроном в тепловой бане (температура Т выражена в Кельвинах, энергия электрона е — в электронвольтах, а г и Ь — в сантиметрах). Произведенные оценки показывают, что, хотя в

большинстве экспериментов (например, в классическом опыте Дэвиссона и Джермера) инфракрасной термализацией можно пренебречь, рассматриваемый эффект может быть зарегистрирован с использованием современного оборудования1.

В § 4.5 получаются и анализируются тождества, накладываемые на значение эффективного поля калибровочной инвариантностью теории. Аргументируется, что более целесообразно в данном случае рассматривать закон сохранения тока, нежели тождества Уорда, запись которых в импульсном представлении затруднена в задачах на конечном временном отрезке. На основе закона сохранения тока выведена формула, дополняющая результаты §§ 4.1 и 4.2.

Для составления целостной картины влияния тепловой бани фотонов на движение электрона в главе 5 в рамках формализма эффективного поля произведен анализ релаксации распределения электрона по импульсам, задаваемого диагональными элементами матрицы плотности. Показано, что метод, развитый в § 4.2, позволяет получить уравнение Больцмана, описывающее рассматриваемый процесс.

В приложении А на простом примере, раскрывающем роль нековариант-ного слагаемого в калибровке Лоренца, продемонстрировано использование построенной в главе 3 техники.

Приложение В дополняет § 4.3.3. Рассматривается частный случай, позволяющий вычислить значение энтропии электрона, применимое в более широком интервале времени, нежели асимптотика (2).

В приложении С результат, полученный в § 4.5 исходя из калибровочной симметрии теории, проверяется явным вычислением.

Приложение Б посвящено исследованию инфракрасных особенностей в рамках формализма эффективного поля на бесконечном интервале времени. Показывается, что используя А-регуляризацию, введенную в § 1.1, можно произвести качественную оценку инфракрасной термализации, согласующуюся с результатами § 4.1.

В приложении Е, дополняющем § 4.5, тождества Уорда получены в формализме Швингсра-Келдыша на конечном временном интервале.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

разрешающая способность современных электронных микроскопов, использующих магнитные линзы, достигает нескольких апгстрем.

Основные положения, выносимые на защиту

• Впервые самосогласованным образом получено конечное значение эффективного поля электрона с учетом взаимодействия с низкоэнергетическими фотонами. Показано, что для этого необходимо рассматривать задачу на конечном интервале времени. Вычислено влияние инфракрасных сингулярностсй на эффективное электромагнитное поле и электромагнитный ток электрона в двух случаях: в вакууме и в тепловой бане фотонов.

- Доказана факторизация инфракрасных вкладов в эффективное поле.

— Доказана калибровочная независимость результата.

• Раскрыт физический смысл инфракрасных особенностей в среднем поле.

— Показано, что взаимодействие с мягкими фотонами приводит к дскогеренции электронного состояния. Математически это выражается в диагонализации матрицы плотности электрона, которая имеет место как при конечной температуре, так и в вакууме. При наличии равновесного излучения недиагональные компоненты матрицы плотности уменьшаются со временем по экспоненциальному закону, а в вакуумном случае — лишь по степенному.

- Доказана необратимость влияния инфракрасных эффектов на эволюцию электрона и вычислен их вклад в квантовую энтропию.

• Показано, что термализация разреженного электронного газа в равновесном излучении может быть представлена в виде двух независимых процессов: обычной релаксации распределения по импульсам, обусловленной электрон-фотонным рассеянием, и инфракрасной термализа-ции, связанной с низкочастотными флуктуациями электромагнитного поля. Первый процесс описывается диагонализацией электронной матрицы плотности, второй — кинетическим уравнением для ее диагональных компонент.

• Описаны возможные физические эффекты, связанные с инфракрасными особенностями в эффективном поле. Показано, что, несмотря

на малость этих эффектов, они могут быть зарегистрированы с помощью современных измерительных приборов уже при температурах Т ~ 100 К. Получено явное выражение, описывающее интерференцию электронов в двухщелсвом эксперименте с учетом инфракрасных сингулярностей.

• Исследованы особенности техники Швингера-Келдыша на конечном интервале времени, возникающие при ее применении в квантовой электродинамике. Показана невозможность произвести фиксацию калибровки, не нарушив явную Лорснц-инвариантность модели.

• Предложен непертурбативный метод вычисления асимптотики эффективного поля на больших временах. С его помощью вычислен ведущий инфракрасный вклад в эффективное поле электрона при конечной температуре. Также продемонстрировано, каким образом разработанный метод может быть использован для исследования релаксации по импульсам и получения уравнения Больцмана без предположения о квазиклассичности электрона.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях:

1. Kazakov К. A., Nikitin V. V. On the infrared singularity of the effective electromagnetic field of free electrons // J. Phys. A: Math. Theor. - 2011. - 44. - Pp. 315402-315430.

2. Kazakov K. A., Nikitin V. V. An Interpretation of the infrared singularity of the effective electromagnetic field // Europhys. Lett. - 2010. - 92. - P. 61001. -6 pp.

3. Kazakov K. A., Nikitin V. V. Large-time evolution of electron in photon bath // Ann. Phys. - 2012. - 327. - Pp. 2914-2945.

и в сборнике тезисов докладов:

4. Казаков К. А., Никитин В. В. Декогсренция электрона при взаимодействии с квантовыми флуктуациями электромагнитного поля // Ломоносовские чтения - 2013. Секция физики. Сборник тезисов докладов. — Москва, Физический факультет МГУ, 2013. - С. 141-144.

Подписано к печати Э.2. 0^4-, Tiçedk І00 Згааз

Отпечатано н отделе оперативной печати фкзнческаго факультета ЇУІГУ

МОСКОВСКИМ ОРДЕНА ЛЕНИНА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет Кафедра теоретической физики

04201356443 На ПраВаХ РУК0ПИСИ

Никитин Владимир Валерьевич

Инфракрасные сингулярности в эффективном поле в квантовой электродинамике при конечной температуре.

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат физ.-мат. наук доцент Пронин П.И.

Москва 2013

Содержание

Введение 5

1 Инфракрасные особенности в Б-матрице 14

1.1 Квантовая электродинамика....................................14

1.1.1 Лямбда-регуляризация....................................15

1.1.2 Факторизация инфракрасных вкладов..................16

1.1.3 Инфракрасные радиационные поправки................19

1.1.4 Излучение мягких фотонов. Сокращение инфракрасных расходимостей........................................22

1.1.5 Альтернативные регуляризации ........................24

1.2 Дальнейшее развитие проблематики............................26

2 Эффективное поле в квантовой теории 30

2.1 Измеримость поля................................................30

2.2 Методы вычисления эффективного поля. Формализм Швингера-Келдыша..............................................31

2.2.1 Основы метода............................................32

2.2.2 Формализм Швингера-Келдыша на бесконечном временном интервале ........................................34

2.2.3 Формализм Швингера-Келдыша на конечном временном интервале ............................................36

2.3 Квантовая теория при конечной температуре. Формализм вещественного времени..............................................37

2.4 Открытые проблемы формализма эффективного поля .... 41

2.4.1 Проблема калибровочной зависимости..................41

2.4.2 Инфракрасные расходимости............................42

3 Электрон в тепловой бане. Постановка задачи 44

3.1 Модель ............................................................44

3.2 Фиксация калибровочной свободы на конечном интервале времени............................................................47

3.3 Теория возмущений ..............................................52

3.3.1 Правила Фейнмана........................................52

3.3.2 Правила обхода полюсов в фейнмановских диаграммах 56

4 Инфракрасные эффекты 58

4.1 Инфракрасные сингулярности в эффективном токе..........59

4.1.1 Приближения..............................................60

4.1.2 Факторизация инфракрасных особенностей............62

4.2 Альтернативный метод рассмотрения инфракрасных эффектов. Уравнение для матрицы плотности электрона............71

4.3 Физический смысл инфракрасных сингулярностей............75

4.3.1 Качественное рассмотрение инфракрасной термализа-

ции..........................................................75

4.3.2 Инфракрасная термализация и релаксация по импульсам ....................................................77

4.3.3 Квантовая энтропия состояния электрона..............78

4.4 Физические эффекты, связанные с инфракрасными сингу-лярностями........................................................79

4.4.1 Необратимое расползание волнового пакета............79

4.4.2 Дифракция электронов..................................81

4.5 Калибровочные симметрии в эффективном поле..............84

5 Релаксация электрона по импульсам 86

Заключение 91

А Закон Гаусса в калибровке Лоренца 94

В Квантовая энтропия в случае гауссового пакета 97

С Инфракрасные сингулярности и закон сохранения тока 102

D Инфракрасные особенности в эффективном поле на бесконечном интервале времени 108

D.1 Вклад от диаграмм, содержащих вершины типа 2............110

D.2 Факторизация инфракрасных особенностей.......... 113

D.3 Модификация Л-регуляризации................. 115

Е Тождества Уорда в формализме Швингера-Келдыша на бесконечном интервале времени 118

Литература 120

Введение

Квантово-полевые модели, содержащие частицы с нулевой массой, занимают особое место в квантовой теории. В силу несохранения числа частиц их взаимодействие сопровождается рождением произвольного числа квантов безмассового поля. Как известно, это приводит к появлению инфракрасных расходимостей при расчете радиационных поправок к физическим процессам1. Значительное количество экспериментальных приложений квантовой теории поля связано с процессами рассеяния, поэтому наибольшее внимание уделялось исследованию инфракрасной проблемы в ¿'-матричном формализме. Так, в электродинамике было показано, что сечение рассеяния с образованием фиксированного числа безмассовых частиц, вычисленное с учетом радиационных поправок от виртуальных фотонов во всех порядках теории возмущений, равно нулю. С другой стороны, конечная разрешающая способность приборов не позволяет детектировать фотоны сколь угодно малой энергии. Поэтому инклюзивная вероятность, т.е. сумма вероятностей перехода в состояния, отличающиеся друг от друга лишь числом и энергиями мягких ненаблюдаемых фотонов, которая только и измеряется в экспериментах, является конечной величиной. Таким образом, расходимости, возникающие в результате интегрирования по малым импульсам виртуальных и излученных фотонов, сокращаются. Этот результат был впервые получен в работе [4] в рамках упрощенной модели электромагнитных взаимодействий, в которой, в частности, не учитывалось рождение электрон-позитронных пар, и известен как теорема Блоха-Нордсика. Впоследствии было получено обобщение этой теоремы на случай полной электродинамической теории [5,6], а также гравитации [7] и полей Янга-Миллса [8-11].

Указанные результаты справедливы в рамках Б-матричного формализма. Однако, не все физические процессы сводятся к рассеянию частиц. В

1 Одними из первых это отметили авторы работ |1-3]

частности, в работах [12,13] показано, что для измерения электромагнитного поля с максимальной точностью, определяемой соотношением неопределенностей, необходимо использовать макроскопический прибор. Отсюда следует, что изучая рассеяние элементарных частиц в данном поле, нельзя получить полную информацию о нем. Помимо этого, попытки вычислить поле исходя из значений 5-матричных элементов также встречают ряд принципиальных трудностей. Например, в электродинамике ¿"-матричное определение потенциала было предложено в работе [14], а для гравитационного поля — в [15]. Однако во втором случае было показано, что, используя упомянутый метод, невозможно получить однозначное значение поля [16-18]. Таким образом, для вычисления поля целесообразно рассматривать величины, отличные от матрицы рассеяния. Так как все статистические свойства электромагнитного поля содержатся в его операторе, полное его описание может быть получено в терминах квантовых средних значений произведений полевых операторов. Тогда результат [12,13] гарантирует, что все предсказания, полученные таким путем, могут быть проверены экспериментально. Одной из наиболее важных величин такого сорта является математическое ожидание самого оператора поля, называемое также средним, или эффективным, полем.

Эффективное поле играет важную роль при описании таких физических явлений как спонтанное нарушение симметрии в электрослабой теории, образование кварк-глюонная плазмы в хромодинамике, рождение пар частица-античастица и др. Тем не менее, аппарат среднего поля является гораздо менее разработанным, чем ¿"-матричный формализм. В частности, одна из открытых проблем заключается в том, что, в отличие от инклюзивных сечений рассеяния, инфракрасные сингулярности в эффективном поле не сокращаются. Однако проблема их интерпретации и исследования связанных с ними физических эффектов обходилась в большинстве работ. Например, если масса частиц достаточно велика, то можно формально пренебречь инфракрасно-расходящимися радиационными поправками. Предположения такого рода лежат в основе классического вычисления [19, 20] эффективного электромагнитного поля статического точечного источника, его обобщений [21,22], а также расчетов гравитационного поля [23-27]. Таким образом, авторы перечисленных работ вычисляли эффективное поле, создаваемое классическим источником, тем самым оставляя открытым вопрос о расчете поля, создаваемого элементарными частицами.

Другой важной проблемой является вопрос о калибровочной зависимости, т.е. зависимости эффективного поля от вспомогательных условий, накладываемых для фиксации калибровочной свободы. В квантовой электродинамике получен ряд существенных общих результатов в этой области. А именно, в общей форме доказана калибровочная независимость таких эффективных величин как лагранжиан Гейзенберга-Эйлера и среднее поле, создаваемое классическим источником [28-31]. Тем не менее, в квантовой гравитации вопрос остается открытым. Попытки получить значение значение эффективного метрического тензора, калибровочную зависимость которого можно было бы устранить соответствующим диффеоморфизмом пространства-времени, пока не увенчались успехом [23-25,32-40]. Проблема имеет место и в теориях с полями Янга-Миллса, калибровочная зависимость эффективного потенциала в которых исследовалась в работах [29,41-51].

Таким образом, вычисление инфракрасно-сингулярных вкладов в электромагнитном поле играет важную роль как с точки зрения предсказания возможных физических эффектов, связанных с ними, так и с точки зрения развития формализма среднего поля. Действительно, ряд общих открытых вопросов теории, таких как калибровочная зависимость и измеримость поля, решены в рамках квантовой электродинамики. И решение оставшейся проблемы инфракрасных особенностей будет гарантировать наличие физического смысла результатов расчета эффективного поля заряженных частиц.

Целью диссертационной работы является выяснение влияния инфракрасных эффектов на эволюцию электрона посредством изучения создаваемого им эффективного электромагнитного поля. Как будет показано, инфракрасные эффекты существенно усиливаются при наличии равновесного излучения, поэтому предметом исследования будет электрон, погруженный в тепловую баню фотонов. Рассмотрение конечных температур является также необходимым с принципиальной точки зрения, так как равновесное излучение, пусть и очень низкой температуры, всегда присутствует в эксперименте.

Анализ показывает, что инфракрасные особенности в эффективном поле приводят к наличию расходящихся интегралов, только если рассматривать эволюцию системы заряженных частиц, являющейся источником поля, на бесконечном промежутке времени. Действительно, из соотноше-

ния неопределенностей следует, что для излучения фотона энергии ш необходимо время порядка 1 /и. Если же система эволюционирует в течение времени т, то за этот конечный промежуток времени возможно излучение лишь конечного числа фотонов, энергия которых больше или порядка 1/т. Таким образом, рассматривая систему на конечном интервале времени, мы вводим эффективное обрезание импульсов инфракрасных фотонов на масштабе 1/т. Отсюда следует, что, хотя подход, основанный на процедуре адиабатического выключения взаимодействия при Ь —> — оо, широко распространен в квантово-полевых расчетах (эта процедура используется, в частности, при построении •Б'-матрицы), в присутствии безмассовых частиц использование понятия удаленного прошлого требует специального обоснования. Теорема Блоха-Нордсика дает такое обоснование в случае 5-матрицы, однако эффективное поле необходимо рассматривать на конечных интервалах времени.

Для решения поставленной задачи в диссертации предложена техника, основанная на методе Швингера-Келдыша [52,53] и формализме реального времени [54,55], позволяющая вычислять квантовые средние неравновесной системы, эволюционирующей в тепловой бане в течение конечного промежутка времени. Как будет показано, в среднем поле имеет место факторизация инфракрасных особенностей, аналогичная той, которая возникает при расчете амплитуд рассеяния. Это позволяет вычислить инфракрасно-сингулярный вклад, представляющий собой одну из ведущих при больших временах поправок в эффективное поле, с учетом всех порядков теории возмущений. В диссертации проделан соответствующий расчет, произведен анализ полученного результата и дана его физическая интерпретация в терминах термализации электрона.

В связи с исследуемыми проблемами в диссертации будет рассмотрен также вопрос о калибровочной зависимости эффективного поля, создаваемого квантовыми объектами, который, в отличие от случая классического источника, не разрешается работами [28-31]. А именно, будет показано, что при рассмотрении эволюции системы на конечном временном интервале оказывается невозможным произвести фиксацию калибровочной свободы, не нарушив явную Лоренц-инвариантность модели.

Работа была выполнена на кафедре теоретической физики Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова. По теме диссертации опубликовано 3 статьи [129-131]. Основные результаты диссертации

докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• семинар под рук. д. ф.-м. н., проф. Бооса Эдуарда Эрнстовича (ОЭФ-ВЭ НИИЯФ МГУ им. М.В.Ломоносова)

• семинар под рук. д. ф.-м. н., проф. Морозова Алексея Юрьевича (ИТ-ЭФ им. А.И. Алиханова)

• семинар под рук. д. ф.-м. н., проф. Смирнова Александра Дмитриевича (Ярославский Государственный Университет им. П.Г. Демидова)

• семинар лаборатории теоретической физики (ЛТФ им. H.H. Боголюбова ОИЯИ, Дубна)

• научная конференция "Ломоносовские чтения" 2009, 2013 года [132]

Объём и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка ис-. пользуемой литературы и четырех приложений.

В главе 1 приведены краткие сведения об инфракрасных особенностях в ¿"-матричном формализме, производится обзор работ, посвященных проблеме.

Доказательство теоремы Блоха-Нордсика для квантовой электродинамики в сокращенном виде приводится в § 1.1. Рассматривается вопрос о регуляризации электронных пропагаторов, лежащих на массовой оболочке. Вводится новый тип регуляризации — Л-регуляризация — имеющая ряд преимуществ по сравнению с известными при исследовании инфракрасных особенностей в эффективном поле.

§ 1.2 посвящен инфракрасным особенностям в других моделях. Даются краткие сведения о коллинеарных расходимостях в хромодинамике и электродинамике с безмассовыми заряженными частицами. Приводится обобщение теоремы Блоха-Нордсика для квантовой гравитации.

В главе 2 даны общие сведения о формализме эффективного поля в квантовой теории.

В § 2.1 обсуждается вопрос об измеримости поля. Показывается, что для его полного описания необходимо выйти за рамки ¿"-матричного формализма. Вводится понятие эффективного поля.

В § 2.2 описывается формализм Швингера-Келдыша, позволяющий вычислить значение эффективного поля. Метод излагается в двух случаях: на бесконечном интервале времени и на конечном временном промежутке — в той форме, в которой он использован в диссертационном исследовании.

В § 2.3 изложены основы формализма вещественного времени в квантовой теории при конечной температуре, который впоследствии используется при исследовании влияния тепловой бани на электрон.

В § 2.4 описываются открытые вопросы формализма эффективного поля. Одним из таких вопросов является проблема калибровочной и парамет-ризационной зависимостей эффективных величин. Она имеет место при рассмотрении квантовой гравитации и неабелевых калибровочных полей. Другим существенным вопросом является проблема интерпретации инфракрасных особенностей в эффективном поле и вычисления влияния на него инфракрасных эффектов. Диссертация посвящена решению этой проблемы, но также затрагивает и первый из сформулированных вопросов.

В главах 3-5 излагаются основные результаты диссертации.

Глава 3 посвящена постановке задачи, а также построению формализма для ее решения.

В § 3.1 формулируется математическая задача о вычислении эффективного тока и электромагнитного поля электрона в тепловой бане. Устанавливается связь этих величин с матрицей плотности электрона.

§ 3.2 посвящен особенностям формализма Швингера-Келдыша на конечном интервале времени в случае квантовой электродинамики. Исследуется вопрос фиксации калибровочной свободы теории. Указываются принципиальные трудности, препятствующие проведению этой процедуры кова-риантным образом. А именно, после перехода от калибровки Кулона к калибровке Лоренца методом Фаддеева-Попова в эффективном лагранжиане возникает нековариантный член.

Правила теории возмущений приведены в § 3.3. Обсуждаются их отличия от соответствующих правил в 5-матричном формализме. Доказывается эквивалентность калибровок, рассмотренных в предыдущем параграфе.

Глава 4 посвящена вычислению вклада инфракрасных сингулярностей в эффективное поле и интерпретации полученного результата в физических терминах. В § 4.1 инфракрасные поправки в эффективный ток вычислены прямым суммированием диаграмм как при конечной температуре, так и в вакуумном случае. Выделена ведущая асимптотика при больших временах и показано, что она определяется эффектами, связанными с тепловой баней фотонов. Дана интерпретация полученного результата в терм