Исследование кванторополевых моделей с нетривиальными геометрическими свойствами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

р ] р ~ На правах рукописи

2-94-9

ФУРСАЕВ Дмитрий Владимирович

УДК 539.12.01

ИССЛЕДОВАНИЕ КВАНТОВОПОЛЕВЫХ МОДЕЛЕЙ С НЕТРИВИАЛЬНЫМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 1994

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований

Научный руководитель:

чпен-корреспондент РАН, профессор

В.Г.Кадышевскпп.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

А.Н.Лезнов,

член-корреспондент АН Армении, профессор

Р.М.Мурадян.

Ведущая оргашгаапия: Математический институт РАН им. Сте-клова, Москва.

Защита диссертации состоится 1994 г. в /£

часов на заседании специализированного совета К 047.01.01 при Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований (141980 г.Дубпа, Московский обл.)-

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ.

Автореферат разослан 199-1 г.

Ученый секретарь gj ¿г*^

специализированного сонета ЛТФ ОПЯН ___

доктор фпапко-матсматпчсских наук А.Е.Дорохов

ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В настоящее время свойства и закономерности, наблюдаемые в экспериментах с элементарными частицами, наиболее полно могут быть объяснены локальной лагранжевой квантовой теорией поля (КТП), обладающей релятивистской и калибровочной симметрией.

Применительно к физике высоких энергий существуют, среди прочих, по крайней мере, три важных направления развития КТП. Это создание более фундаментальной теории, обобщающей, в частности, стандартную модель, адекватное описание сильных взаимодействий на основе квантовой хромодинамики (КХД) и изучение квантовых эффектов в ранней Вселенной. Укажем причины, определяющие актуальность этих исследований.

1. Как известно, в рамках стандартной модели сильных и электрослабых взаимодействий имеется целый ряд принципиальных вопросов, например, таких как происхождение калибровочной группы или причина несохранения СР-четностп. Кроме того, эта модель оперирует с огромным числом свободных параметров (массы частиц, константы связи, углы смешивания), значения которых устанавливаются лишь экспериментально. Эти и другие проблемы стимулируют поиск новой более универсальной теории, обобщающей стандартную модель и применимой к области сверхвысоких энергий.

2. Существует множество доводов, например, результаты экспериментов по глубоконеупругому рассеянию, в пользу того, что квантовая хромодинамика адекватно описывает процессы, происходящие при сильных взаимодействиях частиц. Она успешно работает в той области, где бегущая константа связи мала и кварки являются асимптотически свободными, что позволяет применять для расчетов теорию возмущений. Однако остаются важные задачи, для решения которых необходимо использовать непертурбативные методы. Главная из них - это последовательное описание динамики адронов на основе КХД как связанных кварковых состояний, а также объяснение механизма конфайнмента, "удержания цвета" на больших расстояниях.

3. Наконец, отметим, что в последнее время возникло и активно развивается направление исследований, использующее методы физики

элементарных частиц и квантовой теории поля в космологии. Ранняя Вселенная - это та естественная и, по-видпмому, единственная "лаборатория" , где могли существовать частицы ультравысокнх энергий 1012-1015 ГэВ, достаточных для непосредственной проверки единых теорий всех фундаментальных взаимодействий. Более того, космология дает возможность проводить серьезный отбор среди вновь предлагаемых моделей, а использование результатов квантовополевых теорий, в свою очередь, позволяет ответить на ряд принципиальных вопросов о самой Вселенной.

Темой настоящей диссертации является исследование ряда квантовополевых моделей, имеющих непосредственное отношение к перечисленным проблемам и обладающих интересными геометрическими свойствами.

Основные оадачи диссертации

1. Найти новые альтернативные формулировки калибровочной теории с импульсным пространством постоянной кривизны радиуса М, который трактуется как новый универсальный масштаб в области высоких анергий - "фундаментальная масса".

2. Исследовать эволюцию струноподобных когерентных возбуждений в абелевых калибровочных теориях и вопрос о применимости метода сильной связи для решения проблемы конфайнмента в калибровочных моделях на решетке.

3. Изучить особенности конечнотемпературной квантовой теории в статическом пространстве де Спттера.

4. На примере квантовой теории в пространстве-времени массивной идеально тонкой космической струны исследовать специфические квантовые эффекты, обусловленные конусоподобными сингулярностями фонового пространства.

Научные результаты и новизна

В диссертации получены следующие результаты:

1. Найдена новая формулировка калибровочной теории с импульсным пространством постоянной кривизны, основанная на переходе к

координатному пространству с помощью разложения по представлениям группы движения ^-пространства.

2. Полностью исследована эволюция струноподобных когерентных возбуждений калибровочного поля в электродинамике со статическими источниками. Показано, что в непрерывной электродинамике данные возбуждения неустойчивы и после излучения избыточной энергии превращаются в кулоновское поле источников, а в электродинамике Вильсона на решетке эти возбуждения стабильны в пределе сильной связи.

3. Показано, что сильный конфайнмент, случай, когда статические силы между зарядами описываются линейно растущим потенциалом, в электродинамике Вильсона на решетке не реализуется даже в пределе сильной связи.

4. Получены однопетлевые выражения для эффективного потенциала и полной, интегральной, энергии в конечнотемпературной скалярной теории поля в статическом пространстве де Ситтера, которые позволяют анализировать фазовую структуру теории вблизи температуры Хоукинга и в низкотемпературном пределе.

5. Свойства эффективного потенциала исследованы для модели Аф* в пространстве де Ситтера. Установлено что, дискретная симметрия классической теории ф —> -ф всегда спонтанно нарушена в вакуумном состоянии, но восстанавливается при температуре Хоукинга, если кривизна пространства достаточно велика.

6. Показано, что в конечнотемпературной теории в статических пространствах с горизонтом событий интегральные величины типа эффективного действия на поверхности бифуркации горизонта приобретают дополнительные однопетлевые расходимости. В частности, это приводит к зависимости интегральной величины конформной аномалии следа тензора энергии-импульса от температуры, что установлено непосредственным вычислением.

7. Получено обобщенное асимптотическое разложение для следа ядра теплопроводности оператора Лапласа на конусе.

8. Вычислено однопетлевое эффективное действие скалярного поля, окружающего космическую струну и показано, что конические особенности пространства-времени приводят к появлению расходимостей действия на мировой поверхности струны , которые устраняются перенормировкой ее натяжения.

9. Установлена аналогия между квантовой теорией на простран-

ствах с коническими особенностями и квантовой теорией в присутствии границ. В обоих случаях однопетлевое эффективное действие включает расходящиеся поверхностные функционалы, причем перенормировкой последних можно устранить неинтегрируемую локальную сингулярность плотности энергии системы и получить конечную полную энергию.

10. Показано, что благодаря квантовым поправкам эффективное натяжение космической струны ¡зависит от средней величины окружающего ее поля.

Практическая ценность диссертации. В диссертации исследован ряд квантовополевых моделей, имеющих приложение в калибровочных теориях и космологии.

В частности, найдена новая формулировка калибровочной теории с импульсным пространством постоянной кривизны радиуса М, который играет роль универсального высокоэнергетического масштаба теории. С этой точки зрения, предлагаемая схема может оказаться полезной для поиска адекватного обобщения существующих моделей на область сверхвысоких энергий.

Выполненное исследование стуноподобных когерентных возбуждений калибровочного поля в КЭД со статическими источниками, включающее исследование электродинамики Вильсона на решетке, важно для последующего анализа эволюции и взаимодействия калибровочно-ннварпантных нелокальных полевых структур в более сложной, неабе-левой теории. Примером такой структуры в квантовой хромодпнамике может служить упрощенная модель мезона — пара кварка и антн-кварка, соединенных между собой "струной".

Начатое в диссертации изучение особенностей конечнотемператур-ной теории в статическом пространстве де Снттера имеет непосредственное приложение к космологии ранней Вселенной, привлекающей в последнее время внимание многих специалистов в области КТП. В частности, дальнейшее развитие этих результатов дало бы возможность исследовать фазовую структуру реалистических моделей Великого объединения применительно к ранней стадии эволюции Вселенной в произвольном состоянии, как это было сделано для температуры Хо-укпнга.

Наконец, результаты диссертации, касающиеся квантовых эффек-

tod в окрестности космических струн, позволяют выявить детали взаимодействия струн с окружающими пх полями. Учет этих эффектов необходим, поскольку подобные протяженные объекты могут служить источником первичных возмущений плотности вещества в ранней Вселенной, ответственных за образование галактик.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, указанных в списке публикаций. Они докладывались на семинарах в Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, в университете г.Неаполя, в Институте физики Макса Планка в г.Мюнхене, на XVIII Международном коллоквиуме "Теоретико-групповые методы в физике" (Москва, 1990), на 25-ой Международной конференции по физике высоких энергий (Сингапур, 1990), на Международном семинаре "Кварки-92" (Звенигород, 1992), на Российской гравитационной конференции (Пущино, 1993), на Международном семинаре "Методы симметрии в физике" (Дубна, 1993) и на Международном фрндмановском семинаре по гравитации и космологии (Санкт-Петербург, 1993).

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырехглав основного содержания, заключения, шести приложений и одного рисунка, содержит список литературы (97 ссылок). Объем диссертации 123 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор известных результатов, формулируются и обосновываются задачи диссертации, а также излагается ге краткое содержание.

В главе 1 найдена новая формулировка калибровочной теории с нмпульсным пространством Лобачевского

р1-р\-р1-р1-р\ = м2 , ръ>м ,

эадиус кривизны которого, параметр М, трактуется как фундаментальная масса. Отличие нового подхода заключается в том, что для толучения конфигурационного представления (КП) здесь использовано

обобщенное преобразование Фурье основанное на разложении по представлениям группы преобразовании р-пространства (по когерентным состояниям группы 50(1,4)).

В разделе 1 дается определение и изучаются свойства обобщенного интегрального преобразования Фурье на пространстве Лобачевского

Ядро этого преобразования играет роль плоских волн в обычном Фурье-анализе. Координатами нового КП являются вещественный параметр г и компоненты единичного 4-вектора п. Поэтому в плоском пределе М —► оо данная схема совпадает с евклидовой теорией поля, формулируемой в сферических координатах. В этом же разделе найден дифференциально-разностный оператор, выполняющий в новом конфигурационном представлении роль оператора Лапласа.

Используя этот лапласиан, в разделе 2 вводится положительно определенное действие для мультиплета неэрмитовых скалярных полей. Свойство положительности действия можно установить непосредственнс в КП, если деформировать контур интегрирования по параметру г в комплексную плоскость.

Калибровочные преобразования и поля, адекватные новому конфигурационному представлению, вводятся в разделе 3. Преобразования калибровочных переменных, представляющих в данной схеме аналог радиальной и угловой компонент векторного поля, существенно модифицируются и выглядят как комбинация обычных янг-миллсовских преобразований и преобразований, характерных для теории векторного поля на решетке.

В разделе 4 построен функционал действия калибровочных полей. Его особенность состоит в том, что в пределе, когда константа самодействия д стремится к нулю (в абелевом пределе), этот функционал может быть представлен как действие калибровочно-инвариантных декартовых векторных полей. Последнее совпадает по форме с действием для скалярного мультиплета, рассматриваемого во втором разделе.

О < г < оо, п2 = п2 + п1 + п\ + п\ = 1 .

В разделе 5 обсуждается возможность аналогичной формулировки калибровочной теории со сферическим импульсным пространством. Показано, что, поскольку обобщенное интегральное преобразование Фурье здесь неунитарно, получаемые в такой схеме функционалы действия для различных полей теряют свойство положительной определенности. Последнее обстоятельство делает этот подход менее привлекательным.

Глава 2 диссертации посвящена исследованию эволюции струнопо-добных когерентных возбуждений калибровочного поля в калибровочных теориях, которые описываются экспоненциальными контурными интегралами (упорядоченными экспонентами)

Сама по себе постановка этой задачи достаточно сложна. К счастью, имеются точно решаемые калибровочные модели, где подобные струны существуют и где этот вопрос может быть исследован полностью. Это свободная квантовая электродинамика и квантовая электродннамиха со статическими источниками.

Сначала в разделе 1 этой главы в качестве примера изучается эволюция произвольных когерентных возбуждений безмассового скалярного поля и демонстрируется их неустойчивость. Все расчеты затем легко обобщаются на электродинамику и позволяют выяснить судьбу "замкнутых струн" ехр{г§ А^йх^) в свободной КЭД.

В разделе 2 решается проблема об эволюции "струны" в модели со статическими источниками ("струна с зарядами на концах"), которая важна для понимания природы этих возбуждений. Показано, что такие "струны" не сохраняют своей формы, превращаясь после излучения избыточной энергии в поле двух кулоновских источников.

В разделе 3 обсуждаются когерентные струноподобные возбуждения калибровочного поля в электродинамике Вильсона на решетке. В отличие от непрерывного случая эти возбуждения стабильны в пределе сильной связи. Поэтому в этом пределе имеет место закон площадей Вильсона, который обычно интерпретируется как конфайнмент теории. Показано, однако, что метод сильной связи не может быть использован для решения вопроса о конфайнменте, поскольку появление устойчивых струноподобных возбуждений не исключает другие

калибровочные конфигурации с меньшей энергией, отвечающие куло-новскому взаимодействию зарядов.

В 4 разделе следуют заключительные замечания по этой главе.

В главе 3 изучается скалярная квантовал теория поля в статическом пространстве де Ситтера при произвольной температуре, обозначаемой далее через /З-1. Анализ скалярного случая оказывается сравнительно простым и может помочь понять особенности более реалистических, калибровочных теорий. Эта глава построена следующим образом.

В разделе 1 описывается специфика квантования скалярного поля п каноническое распределение в статическом пространстве де Ситтера радиуса а с метрикой

ds2 = cos2 xdt2 - a2(dx2 + sin2 xd02 + sin2 x sin2 0d£2) ,

где -oo <t< +oo, -7г < x < 7г, 0 < < 7г. В этом пространстве можно ввести оператор энергии системы, который разделяется на две коммутирующие части, заданные в разных причинно не связанных частях пространства |xl < 7г/2 и |х| > тг/2. Это позволяет формулировать для каждой области независимые представления тепловых средних функциональными интегралами

<Ó>p=Zpl jD<t>0[4>] , Zp = jБф ,

где Sp((¡)) - классическое действие теории. Оказывается, что интегрирование в них идет по полевым переменным, помещенным на компактное 4-мерное пространство с евклидовой снгнатурой. Это пространство можно представить как "бесконечно обернутую" вокруг себя вдоль направления "мнимого" времени г гиперсферу 54 радиуса а, на которой отождествляются точки (т,х') и (г + в, х'). При температуре Хо-укинга, когда ¡3 = 2па = пространство S^ превращается в 4-сферу S4. В общем случае оно имеет конические особенности на двумерной поверхности, где векторное поле Киллннга, генирирующее трансляции вдоль т, равно нулю.

В разделе 2 на основе интегральных представлений для средних вводится конечнотемпературный эффективный потенциал У(ф,/3). Изучение спектра оператора Лапласа на Sí позволяет найти выражение для

У(ф,Р) в однопетлевом приближении в виде разложения в ряд по температуре ¡3~х. Для этой цели мы используем метод регуляризации с помощью обобщенной (^-функции. В этом же разделе получены удобные для анализа однопетлевые выражения для потенциала V(ф,/3) и энергии поля (на единицу объема) Е(ф,(3) в деспттеровски-инварнантном состоянии

У{<р,рн) = У{<р)-

(47г)2а4

Д2 Д

+Т2 д2 + 72А + О^К2)

Е&М = + —-¿Д2 + ^гД

1 2 . 41 д 973

(4тг)2 а* 1 8 '144 5760 (9 - д) (I - д) [0(3/2 + х/Д) + 0(3/2 - >/Д) - 1ое(м2а2)

12 \4

и состоянии статического вакуума

1/((^з,оо) = Д(у,оо) =

-™ - - N - <" - 1Н"("»""

+Мд2 + Ид + 1ое(/'2"'2) -1 + и)] + ">"»<

(17(у) ~ классическая потенциальная энергия, Д ^ 9/4 - а2У"(^)). Показано, что в пределе асимптотически малой кривизны пространства (а —► оо) они совпадают с вакуумным эффективным потенциалом в пространстве Мпнковского.

В качестве демонстрации применения этих рез^ультатов в разделе 3 изучается фазовая структура в конкретной модели самодействующего скалярного поля Хфл в зависимости от кривизны пространства и температуры. Показано, что в состоянии статического вакуума симметрия, присущая классической теории, всегда спонтанно нарушена. С другой стороны, при температуре Хоукннга устойчивая симметричная фаза появляется при некоторой достаточно большой кривизне пространства.

В разделе 4 изучаются масштабные свойства теории и получено выражение для интеграла конформной аномалии тензора энергии-импульса. Демонстрируется, что наличие горизонта событий, ограничивающего статическую систему отсчета, приводит к специфическому эффекту - зависимости интегральной аномалии от температуры

причем при температуре Хоукпнга восстанавливается стандартный результат. Это соответствует появлению в интегральных величинах типа эффективного действия или полной энергии дополнительных ультрафиолетовых расходимостей, заданных на двумерной поверхности бифуркации горизонта.

Формальной причиной возникновения этих поверхностных расходимостей является наличие конических особенностей сферической области на которой заданы переменные интегрирования в функциональном интеграле для средних. Их последствия в "чистом виде" можно обнаружить, анализируя квантовые эффекты на конусе. Такой конической геометрией обладает пространство-время вокруг массивной бесконечно тонкой струны. Исследованию вакуумных квантовых эффектов около космических струн посвящена глава 4.

Для изучения однопетлевых расходимостей, порождаемых сингуляр-ностями пространства, в разделе 1 получено обобщенное асимптотическое разложение для следа ядра теплопроводности оператора Лапласа на конусе. Тепловые коэффициенты этого разложения в вершине конуса имеют особенность типа дельта-функции.

Используя этот результат, в разделе 2 получено однопетлевое эффективное действие скалярного поля, окружающего бесконечно тонкую космическую струну. Этот функционал кроме стандартного вклада включает дополнительное расходящееся выражение, поверхностное действие, заданное на мировой поверхности струны. Показано, что в данном случае от поверхностных расходимостей можно избавиться перенормировкой параметра натяжения струны, причем полная перенормированная энергия после этого оказывается конечной. Кроме того, демонстрируется, что благодаря квантовым поправкам эффективное натяжение f^eff космической струны зависит от средней величины окру-

жающего ее поля (р п для модели Аф4 имеет вид

=/«- ¿^ад к+v/2) (bg (т2+тУ/2) -1) .

где С2{а) - некоторая дробно-рациональная функция от классического параметра натяжения /t, а т - масса поля.

Результаты этого раздела указывают на интересную аналогию с квантовой теорией на пространстве с границами, на которых возникают дополнительные расходимости, приводящие к перенормировке так называемого действия поверхностной гравитации. В разделе 3 эта аналогия продолжается еще дальше и демонстрируется, что конечность полной перенормированной энергии есть результат сокращения известной неинтегрпруемон особенности в плотности энергии поля с контрчленом в "голом" натяжении струны.

В разделе 4 следует краткое обсуждение этих эффектов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации и намечены нерешенные проблемы.

Технические детали вынесены в приложения. В приложении А вводится определение декартовых компонент калибровочного поля, рассматриваемого в главе 1. Приложение В содержит некоторые определения, необходимые в главе 2 для исследования КЭД на решетке. Спектр оператора Лапласа на пространствах S'J найден в приложении С. В приложениях D и Е обсуждаются свойства (-функции при ¡3 ~ Зи и ¡3 = оо (см. главу 3). Наконец, в приложении F сравниваются свойства (-функций на конусе и на пространстве

Список публикаций

1. Кадышевский В.Г., Фурсаев Д.В. Об одном обобщении калибровочного принципа в области высоких энергии: ТМФ 1990. т.83. с.197-206.

2. Fursaev D.V. Kadyshevsky V.G., Ibadov R.M. The rotation invariant gauge model with the compact momentum space: Pioc. of the 25 Int. Conf. on High Energy Physics, Singapore 1990, v.2. p.928-932.

3. Fursaev D.V., Prokhorov L.V., Shabanov S.V. String-like excitations in QED: Mod. Phys. Lett. 1992. v.A7 p.3441-3447.

4. Прохоров JI.В., Шабанов С.В., Фурсаев Д.В. Струноподобные возбуждения в квантовой электродинамике и метод сильной связи: ТМФ 1993. т.97. с.373-385.

5. Fursaev D.V., Miele G. Finite-temperature scalar held theory in static de Sitter space: Phys. Rev. 1994. v.D49. p.987.

6. Fursaev D.V. The heat kernel expansion on a cone and quantum fields near cosmic strings: preprint JINR E2-93-291, Dubna 1993.

7. Fursaev D.V. Local and global quantum effects near cosmic strings: Письма ЖЭТФ 1993. т.58. c.481-487.

Рукопись поступила в издательский отдел 14 января 1994 года.