Нетривиальные псевдохарактеры на группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512 543+512 543 76

Каган Дмитрий Зиновьевич

НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ПСЕВДОХАРАКТЕРЫ НА

ГРУППАХ

01 01 Об - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ ОЗОТ 1ТЬЫ

Москва 2007

003071759

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

доцент А.А Клячко

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Д И. Молдаванский

кандидат физико-математических наук, доцент Г.С Дерябина

Ведущая организация■ Тульский государственный

педагогический университет имени Л.H Толстого

Защита диссертации состоится 18 мая 2007г в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д 501 001 84 в Московском государственном университете имени M В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 18 апреля 2007г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001 84 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В НЛубариков

Общая характеристика работы Актуальность темы.

В этой работе исследуются нетривиальные псевдохарактеры на группах, возможность построения таких псевдохарактеров па тех или иных классах групп, их свойства и связи с другими характеристиками групп Вопросы о том на каких типах групп существуют нетривиальные псевдохарактеры и их свойства рассматривались во многих работах Существование нетривиальных псевдохарактеров связано с устойчивостью функциональных уравнений на группах, с ограниченными когомологиями групп и с шириной вербальных подгрупп

Понятие псевдохарактеров введено А.И Штерном в докладе "Устойчивость представлений и псевдохарактеры"в 1983 году. Вещественным квазихарактером, или просто квазихарактером, называется отображение из группы G в пространство действительных чисел R, удовлетворяющее следующему неравенству \f(xy) — f(x) — f(y) | < e для любых элементов х, у группы G и некоторого е > 0 Псевдохарактером на группе G называется квазихарактер /, для которого выполняется f{xn) = п/(х) для любого элемента х 6 G и любого целого числа п. Аддитивным характером группы называется отображение из группы G в R, для которого f(ab) = f(a) + f(b) при любых а,Ь £ G Нетривиальным называется псевдохарактер /, отличный от аддитивного характера, те для него существуют такие a,b Е G, что f(ab) ^ f {а) + f(b) А И Штерном доказана лемма о том, что для любого квазихарактера / на произвольной группе G функция <р(д) = hmn-t<xi\/nf(gn) является псевдохарактером на той же группе G

Понятие нетривиальных псевдохарактеров появилось как алгебраическое обоснование вопроса об устойчивости уравнений С. Уламом1 в списке нерешенных задач был поставлен вопрос о том, при каких условиях решения функционального неравенства ||f(xy) - f(x) - f{y)II < e, будут близки к решениям соответствующего функционального уравнения f(xy) — f(x) — f{y) = 0. Д Хайерсом2 было доказано, что отображение / из одного банахова пространства в другое, удовлетворяющее следующему свойству ||/(ху) — f(x) — f(y)II < е, является е—близким к некоторому аддитивному отображению I, для которого 1(ху) — 1(х) — 1(у) = 0 Отображение / из группы G считается е—близким к отображению I из той же группы G, если для любого элемента д группы G выполняется

1 Улам С Нерешенные математические задачи M , Нау*а, 1964г

2Яуег» D Н On tbe stability of the linear functional equations Proc Nat Acad Sa USA, 1941, V 27 N2,222-224

неравенство — ¿(g)|¡ < e В работах Бейкера, Лоуренса и Зорцитто3,

А И. Штерна4 и Лоуренса5 изучается вопрос об условиях совпадения решений функционального неравенства ||f(xy) — f(x) — /(у)|| < с с решением соответствующего функционального уравнения. В работе6 для любого числа п строится пример отображения / дискретной группы G, удовлетворяющего неравенству ||/(я2/) — /(х) — /(r/)|| < 1 /п, но не являющегося е—близким ни к какому представлению группы G.

Рассмотрение понятия нетривиального псевдохарактера

позволяет ответить на многие вопросы об устойчивости уравнений на группах и о существовании отображений из групп, "близких"к представлениям, но не являющихся ни представлениями, ни е—близкими к представлениям В работе В А Файзиева7 вводится определение (G, Т)— устойчивости для произвольной группы G и банахова пространства Т

Уравнение f(xy) — f(x) — f(y) = 0 называется (G,T)— устойчивым для произвольной группы G и некоторого банахова пространства Т, если для любого отображения / G —> Т такого, что для некоторого положительного е и любых х,у € G выполняется неравенство ||/(яу) — f(x) — /(у)[| < £, существует отображение I . G —» Т такое, что для некоторого положительного S и любых элементов х, у группы G выполняются неравенства ||/(а;) — i(x)|| < S и 1{ху) — 1{х) — 1(у) = 0. В диссертации показано, что из существования нетривиальных псевдохарактеров на некоторой группе G следует, что уравнение f{xy) — f(x) — f(y) = 0 не является (G, Т) — устойчивым для произвольного банахова пространства Т

Можно рассматривать квазихарактеры и псевдохарактеры из группы G в произвольное банахово пространство При этом, в определении квазихарактера неравенство |f(xy) — f(x) — f(y)\ < е заменяется на неравенство \\ip{xy) — ip(x) — ip(y)|| < e для некоторого положительного е и для любых элементов х,у € G В диссертации, в развитие работ А И Штерна и В А Файзиева, также доказывается, что, если на группе G существует вещественный нетривиальный псевдохарактер, то и для любого банахова пространства Е существует нетривиальный псевдохарактер из G в Е.

Также к понятию нетривиального псевдохарактера на группах приводит исследование когомологий Множество псевдохарактеров на произвольной группе G образует вещественное линейное пространство, обозначаемое

3Baker Y, Lammet Y, Zomtto j The stability of equation f(x + y) = /(x) f(y) Proc Amer Math Soc , 1979, 74, N2, P 242-246

ÁШтерн А Я Об устойчивости гомоморфизмов в группу Я*, Вестинк МГУ, 1982, N3 , с 29-32

5Lawrence Y The stability of multiplicative semigroup bomomoiphtsma to real normed algebras I Aequat Math 1985, v28, N11,2, P 94-101

eKtuhdan D On f representations Israel J Math , 1982, v 43, N4, p 315-321

Файзиеа В А Об устойчивости одного функционального уравнения на группа* УМН, 1993,48JÍ1,193-194

через PX(G) Подпространство аддитивных характеров обозначается через X(G) В работе РИ. Григорчука8 доказано, что выполняется изоморфизм пространств #$(G) = PX(G)/X{G), где H¡$(G) — ядро естественного отображения в H¡;n\G) —» H^(G,R), названное в работе8 сингулярной частью группы H¡,n\G) Таким образом факторпространство пространства псевдохарактеров по аддитивным характерам вкладывается во вторую группу ограниченных когомологий H^\G). Если на группе G существует нетривиальный псевдохарактер, то вторая группа ограниченных когомологий G нетривиальна Если факторпространство всех псевдохарактеров по аддитивным характерам PX(G)/X(G) имеет бесконечную размерность, то и dimH^[G) = оо

В серии работ В А Файзиева7,9,10,11'12, посвященных исследованию нетривиальных псевдохарактеров, доказано существование нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях неединичных групп, за исключением Zi * Z2 Также в статьях В А Файзиева исследуются пространства нетривиальных псевдохарактеров на свободных группах и полугруппах Построены пространства нетривиальных псевдохарактеров свободных произведений групп и полугрупп, а также рассмотрены нетривиальные псевдохарактеры полупрямых произведениях групп Кроме того, исследуются матричные отображения групп и их связи с нетривиальными псевдохарактерами на рассматриваемых группах

В работах РИ Григорчука8'13 доказывается существование нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях двух групп с объединенной подгруппой G = A *v В при условии, что объединяемая подгруппа является собственной в А и В и для одного из множителей, например, для А выполняется |А : V) > 3. Там же доказывается существование нетривиальных псевдохарактеров на HNN-расширении G =< Go, t\tAt~l = В > при условии, что группы An В являются собственными подгруппами в Go- В этих работах показано, что на таких типах групп, при вышеизложенных условиях, dimllj^rj (G) = оо Из вышеизложенных результатов следует, что группы с одним определяющим соотношением и не менее, чем тремя образующими, также обладают нетривиальными псевдохарактерами и для них также выполняется dimH^ (G) = оо В диссертации доказаны утверждения,

8 Gngorchvk R I Some resulta an bounded cohomology// Combinatorial and Geometric Group Theory Edinburg,1993,// London Math Soc Lecture Notes Ser V 284 Cambridge Cambridge University Press, 1994, P111-163

9Файзисв В А Двумерные вещественные треугольные хвазипредставления групп Фундаментальная н прикладная математика. 1995, 1, N4, 1129-1132

10Файзиев В А Псевдохарактеры на свободных группах н некоторых групповых конструкциях // УМН 1988, Т43, N5,

С 225-226

*1Файзисб В А Псевдохарактеры на свободных группах Рук. Деп в ВИНИТИ 6 02 1987, N877-B87,

13<Pateuee В Л Псевдохарактеры на полупрямых произведениях групп Матек заметки 1993, Т 53, N2, С 132-139

13Григорчук Р И Ограниченные когомологии групповых конструкций Математические заметки 1996 59, N4 546-550

которые, в некотором смысле, обобщают данный результат В частности, установлено существование нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях, где один из множителей - бесконечная циклическая группа Также установлено существование нетривиальных псевдохарактеров на аномальном произведении локально индикабельных групп при выполнении определенных условий

В работе Р.И Григорчука ставится вопрос о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением и двумя образующими В связи с этим, также ставится вопрос о существовании нетривиальных псевдохарактеров свободной группы, инвариантных относительно некоторого ее эндоморфизма Ответ на эти вопросы, затрагивающий большинство таких групп, дается в данной диссертации Также в диссертации полностью решен вопрос о условиях существования нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром

В работе В.Г Бардакова14 квазихарактеры используются при нахождении ширины различных вербальных подгрупп ^(С?) относительно множества V. В работе14 доказывается бесконечность ширины собственных (т е ф У(р2) ф е) вербальных подгрупп У{С) относительно конечного множества слов V для 1ШМ-расширений, свободных произведений с объединением и групп с одним определяющим соотношением В данной диссертации доказано, что если на группе С существуют нетривиальные псевдохарактеры, ширина любой собственной коммутаторной подгруппы (те порожденной элементами, принадлежащими коммутанту С) \/Г(С), содержащей коммутант С, относительно конечного множества слов из коммутанта V является бесконечной

Цель работы

Целью настоящей работы является разрешение вопроса о существовании нетривиальных псевдохарактеров на различных типах групп, таких, как аномальные произведения с бесконечной циклической группой, аномальные произведения локально индикабельных групп, группы с одним определяющим соотношением и двумя образующими, группы с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром Кроме того, одной из целей работы также является получение следствий о вторых группах когомологий рассматриваемых групп и ширине их коммутаторных вербальных подгрупп

х'в Г Бардаков О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций Алгебра и логика 1997 36, N5

Методы исследования.

В диссертации используются методы и результаты комбинаторной теории групп, в том числе исследования свободных произведений с объединением, 1ШМ-расширений и групп с одним определяющим соотношением Особенностью методов исследования во второй главе настоящей диссертации является сведение различных групп к свободным произведениям с объединением или НЫМ-расширениям В третьей главе используется метод подсчета функций, задаваемых на группе с помощью введенных в работе терминов, таких, как защищенные фрагменты и степенные ряды одного элемента группы в другом

Научная новизна

Основные результаты,полученные в данной работе, являются новыми и состоят в следующем

1 Доказано существование нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях групп, в которых один из множителей является бесконечной циклической группой, а другой не является нормальным замыканием никакого своего элемента, и для которого выполняется теорема о свободе, при некоторых условиях, накладываемых на аномалию

2 Доказано существование нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях локально индикабельных групп при различных условиях, накладываемых на эти группы

3 Доказано существование нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением и двумя образующими при некоторых условиях на определяющее соотношение.

4 Установлены условия существования нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром

5 Найдены условия на инъективные эндоморфизмы свободных групп, при которых существуют нетривиальные псевдохарактеры свободной группы, инвариантные относительно этих эндоморфизмов

6 Получены результаты о размерности вторых групп когомологий исследуемых групп.

7. Показано, что ширина любой собственной коммутаторной вербальной подгруппы У(С), содержащей коммутант С, относительно конечного порождающего множества слов V в исследуемых группах является бесконечной

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер Полученные в ней результаты и методы исследований могут быть применены в различных областях теории групп, теории когомологий и в исследованиях об устойчивости уравнений

Апробация диссертации.

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре "Теория групп"под руководством профессоров А Л Шмелькина, АЮ Ольшанского и доцента А А Клячко (2000г, 2003г, 2004г, 2005г), на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры на механико - математическом факультете МГУ им М В Ломоносова (2007г), а также на Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры ( Москва, 2004г)

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, список которых приводится в конце автореферата[1-4]

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, разделенных на 12 параграфов и списка литературы Общий объем диссертации составляет 127 страниц Библиография включает 37 наименований

Краткое содержание работы.

Во введении отражена история вопроса, приведены основные результаты, связанные с темой диссертации Также приводятся основные результаты диссертации и краткие идеи их доказательств

В главе 1 приводятся основные свойства псевдохарактеров, а также утверждения, связывающие существование на группе нетривиальных псевдохарактеров с другими важными характеристиками групп, о некоторых из которых уже говорилось в первом разделе автореферата Также приводятся различные варианты доказательства существования нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях с объединенной подгруппой и 1ШГ^-расширений В параграфе 1 1 даются некоторые общие утверждения о псевдохарактерах. Доказано, что, если на группе существует вещественный нетривиальный псевдохарактер, то на этой группе существуют нетривиальные псевдохарактеры в любое банахово пространство Доказано,

что существование нетривиальных псевдохарактеров на некоторой группе (3 влечет за собой (С, ^—неустойчивость уравнения /(ху) — /(х) — /(у) = О Рассмотрена связь нетривиальных псевдохарактеров с шириной вербальных подгрупп В параграфе 1 2 дается доказательство существования нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях с объединенной подгруппой, несколько отличное от доказательства Р.И. Григорчука В параграфе 1.3 приводятся два способа построения нетривиальных псевдохарактеров на 1Ш1Ч-расширениях. Псевдохарактеры HNN-pacшиpeний можно строить, используя определенные фрагменты в нормальных записях элементов, или используя только сигнатуры элементов а(д) = (е1: . ,е„), где д — Ы£' 1ц .. 1?пИ,п

В главе 2 рассматриваются аномальные произведения, приводятся теоремы и утверждения о существовании нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях различных групп Аномальным произведением АШВ групп А и В называется фактор-группа свободного произведения А* В по нормальному замыканию некоторого своего элемента го, который называется аномалией В параграфе 2.1 приводится конструкция С Д Бродского15, которая играет важную роль при доказательстве многих утверждений этой главы В этом параграфе вводятся функции Вп и Вк на группе Н— нормальном замыкании группы В в свободном произведении Р = А * В. Значениями этих функций являются элементы группы В Также в параграфе 2 1 рассматриваются ситуации, когда аномалия имеет минимальную длину, те ги = афх

Утверждение 2.1.1 Пусть С1 = А * В/ « го »,ю — а\Ъ\. Пусть также для групп А и В выполняются соотношения |А . < О! > | > 3, В ф< Ьх > . Тогда на группе С? существуют нетривиальные псевдохарактеры.

В параграфе 2 2 рассматриваются аномальные произведения бесконечной циклической группы А —< х > с группой В, для которой выполняется теорема о свободе Под теоремой о свободе понимается выполнение следующего свойства для группы В . пусть С = В * В * .. * В/ « ги » — свободное произведение нескольких изоморфных копий группы В, на которое наложено одпо дополнительное соотношение го, которое мы считаем циклически несократимым, тогда подгруппа, порожденная всеми копиями В, за исключением одной, элемент из которой входит в циклически несократимую запись го, является просто свободным произведением этих копий В частности, теорема о свободе выполняется для ло-

1ЪБродский С Д Урзяненяя над группами в группы с однии определяющим соотношением Сибирский математический журнал 1984 25, N2 84-103

кально индикабельных групп Локально индикабельной называется группа, в которой любая конечно порожденная подгруппа обладает гомоморфизмом на бесконечную циклическую группу В параграфе 2 2 приводятся доказательства утверждений о том, что при условиях произведение всех элементов группы А =< х >, входящих в запись аномалии w, равно 1, и выполняются некоторые условия для значений Bn(w) и Bk(w) на группе G = АтВ существуют нетривиальные псевдохарактеры Из этих утверждений вытекает основная теорема данного параграфа

Теорема 2.2.3. Пусть G = AWB — аномальное произведение групп А и В, где А =< х >, В — группа, которая не является нормальным замыканием никакого своего элемента, и для которой выполнена теорема о свободе; и w = xklb\... xklb[ — элемент свободного произведения F = А* В Пусть также сумма всех степеней элемента х, с которыми он входит в слово w, равна нулю. ]£j=i kt = 0 Тогда на группе G существует нетривиальный псевдохарактер

Эта теорема является, в некотором смысле, обобщением результата Р И Григорчука о существование нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением и не менее, чем тремя образующими(см ссылку 13) Из этой теоремы и предшествующих ей утверждений вытекают следствия о группе с одним определяющим соотношением и двумя образующими, рассматриваемой как аномальное произведение двух бесконечных циклических групп, и аномальном произведении локально индикабельных групп

Следствие 2.2.4. Пусть G =< х,у|г = 1 >, г = xklyTl.. xk,yr' и £¿=1 fei = 0 Если В'1 (г) =f у±г и Bk(r) ф у*1, то на группе G существуют нетривиальные псевдохарактеры

Следствие 2.2 5. Пусть группа G = AWB — аномальное произведение, где А и В — локально индикабельные группы, А — конечно-порожденная, и В не является нормальным замыканием одного своего элемента, w — aibi .. aibi. Пусть ai... щ G А, где А = АХ < х > . Тогда на группе G существует нетривиальный псевдохарактер

Следствие 2.2.6. Пусть G — аномальное произведение групп, удовлетворяющее всем условиям теоремы 2 2 3 или следствий Тогда dtmH$(G) = оо

Также для всех групп, удовлетворяющих теореме или следствиям параграфа 2 2, ширина вербальных подгрупп V(G), содержащих коммутант G', и определенных конечными собственными коммутаторными множествами слов V, бесконечна, а сами эти группы являются неаменабельными

В параграфе 2 3 приводятся утверждения о аномальных произведе-

ниях локально индикабельных групп и их доказательства Доказывается, что аномальное произведение двух локально индикабельных групп, одна из которых не является конечно порожденной, а другая не является циклической, обладает нетривиальными псевдохарактерами В главной теореме этого параграфа показано, что аномальное произведение бесконечной циклической группы А —< х > и локально индикабельной группы, которая не является циклической, обладает нетривиальными псевдохарактерами при условии, что сумма всех показателей степеней, с которыми х входит в запись w, равна 0 Также рассматриваются аномальные произведения локально индикабельных групп, в которых одна из групп - конечно порожденная При доказательстве утверждений этого параграфа используются две леммы, одна из которых содержится в работе M.Cohen и С Rourke16, а другая следует из работы А А Клячко 17

"Утверждение 2.3.1. Пусть G = AWB - аномальное произведение двух локально индикабельных групп А и В, где А не является конечно порожденной, В не является циклической и элемент w не лежит в группах А или В и не сопряжен с элементами из этих групп Тогда на группе G существует нетривиальный псевдохарактер.

Утверждение 2.3.2. Пусть G — AWB - аномальное произведение бесконечной циклической группы А =< х > и группы В— без кручения, на которой существует нетривиальный псевдохарактер, и, которая не является конечно порожденной Тогда на группе G также существует нетривиальный псевдохарактер

Теорема 2.3.3. Пусть G = AWB - аномальное произведение группы А —< х > и локально индикабельной группы В, причем В не является циклической группой, и элемент w не сопряжен с элементами из групп А или В. Пусть сумма всех р, из формулы w = хР1Ь\... xp,bi равняется О 52 рг = 0 Тогда на группе G существуют нетривиальные псевдохарактеры

Утверждение 2.3.4. Пусть G = AWB - аномальное произведение двух локально индикабельных групп А и В, где В не является циклической группой и элемент w = aibi afii не сопряжен с элементами из А или В Пусть А - конечно порожденная группа Пусть также произведение всех а, лежит в А а\ a; G А, где группа А получается из разложения А = А\ < х > Тогда на группе G существует нетривиальный псевдохарактер

Для групп, удовлетворяющих утверждениям и теоремам данного

le Cohen М М , Rourke С The surjectivity problem for one-generator, one-relator extensions of toreion-free groups // Geometry fc Topology 2001 V 5 P 127-142

17КллнкоА А Гипотеза КерверагЛауденбаха и копредсталления простых групп Алгебра и логика, Т44(2005), N4, с 399437

параграфа, выполняются условия на вторую группу их когомологий, а также свойства неаменабельности и бесконечной ширины собственных вербальных коммутаторных подгрупп, содержащих коммутант группы

Утверждение 2.3.5. Если для группы С выполняются условия утверждений 2.3 1, 2.3 4> или теоремы 2 3.3, то = оо Если

С удовлетворяет условиям утверждения 2.3 то

В главе 3 осуществлена попытка установить при каких условиях на группах с одним определяющим соотношением и двумя образующими существуют нетривиальные псевдохарактеры Для этого исследуются эндоморфизмы свободной группы Рассмотрим группу с двумя образующими и одним определяющим соотношением С =< £,а|г(<, а) = 1 > . С помощью различных преобразований, в том числе преобразований Тице, можно добиться того, чтобы один из порождающих, например входил в определяющее соотношение в суммарной нулевой степени. Группу с одним определяющим соотношением, в которой один из порождающих входит в определяющее соотношение в суммарной нулевой степени, можно представить в виде 1Ш1^-расширения18'19,20 Рассматриваемая группа С? =< (, а|г(£, а) = 1 > имеет представление в виде 1ШК-расширения <г,ак, . ,а„|в(а«:, ...,а„) = = а,+1,г = к, к + 1,.. ,п— 1 > с базой

< ак, . , ап|&'(а*,.. ,а„) = 1 > и изоморфными свободными подгруппами <ак,.. , а„_1 > и < ак+1, ...,а»>.

Согласно теореме о существовании нетривиальных псевдохарактеров на 1Ш1<?-расширениях(см ссылку 13), достаточным условием для этого является то, что обе изоморфные подгруппы — собственные. Можно показать(см ссылку 18), что обратное выполняется только, если определяющее соотношение й = 1 представляется в виде а„ — 1/(ак, . ,а„_1) или ак = и(ак+г, . ,а„) Будем, не нарушая общности рассуждений, рассматривать вариант, когда а^ = С/о (а*, ■ ■., ап-1) В дальнейшем, для удобства записи, будем считать, что к = О

В этом случае группа С? имеет следующее представление С =< ао,...,ап~1,Ц1а,-= а,,г = 1,. .,п— 1, ton-.it''1 — Щ > Тогда группа (3 является НЫГ^-расширением, в котором база совпадает с одной из изоморфных подгрупп Базой такого 1ДО1^-расширения будет свободная группа < ао, . , а„_ 1 >, а сопряжение этой группы с помощью проходной буквы I будет задавать эндоморфизм свободной группы, при котором ао а1,--.,Ог»-2 —► ап_1,а„_г —► и0(ак, ,а„_!) Этот

18 Малдоолнский Д И О некоторых подгруппах групп с одним определяющим соотношением Сиб матем журнал. 1967. 6, N6, с 1370-1384

™Магнус В, Каррас А , Солитер Д Комбинаторная теория групп М Наука,1974 ЛинЗон Р, Шупп П Комбинаторная теория групп М Мир,1980

эндоморфизм является мономорфизмом Рассмотрим ситуацию, когда в произвольном 1Ш1Ч-расширении одна из изоморфных подгрупп совпадает с базой <?1 = NNN(0, ЦЮ^1 = В), с изоморфизмом q . в —► В, тогда любой элемент группы С\ подставляется в виде к = 1~рд1к, д € С, р,к > 0. Если на группе С задан квазихарактер /, 1/(5152) — /(<7г) — /(#2)! < £, инвариантный относительно отображения (? —> В, то зададим функцию <р на группе С\ следующим образом для произвольного элемента Н = положим (р{К) = /(д) В диссертации доказано, что в этом случае функция <р является квазихарактером на группе Сг Согласно приведенной выше лемме, доказанной А.И Штерном, функция Д (д) = 1гтп^00(р(дп)/п, д 6 С? является псевдохарактером на группе С\.

Таким образом, вопрос о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением и двумя образующими сводится к вопросу о существовании нетривиальных псевдохарактеров свободной группы ,РП, инвариантных относительно определенного эндоморфизма При этом считаем, что п > 1. В противном случае, свободная группа является циклической, и нетривиальных псевдохарактеров на ней не существует В диссертации найдены некоторые условия, при выполнении которых вышеописанный псевдохарактер существует В параграфе 3 2 исследуются вышеописанные эндоморфизмы свободных групп и вводятся некоторые понятия, связанные с ними. При этом элементы свободной группы, и несократимые слова в алфавите ао,. . , ап-ъ выражающие эти элементы, не различаются Для произвольного элемента V 6 -Рп обозначим через элемент, в который при рассматриваемом эндоморфизме переходит и, через г^ - элемент, в который переходит «1, и так далее Само слово V можно обозначать также, как «о Если элемент у является образом некоторого элемента, то этот элемент обозначается, как г>_1 и называется откаткой элемента V. Например, С/0,-1 = ап-1 • Под следом г>,г(и5),3 > г буквы ь,г слова г>, в слове гл, будем понимать фрагмент чл,, который является образом буквы у1Г В диссертации доказывается, что в слове г>1+х однозначно определены следы каждой буквы слова V, для любых V 6 Рп, г > 0 Слово Щ разбивается на части С/о = С/01С/00С/02 Обозначим через С/оо часть слова С/о, которая содержит все буквы а^1, лежащие в Щи ограничена ими, через С/01 обозначим часть и0, лежащую слева от С/оо, а через V02 часть Щ, лежащую справа от С/оо В утверждениях и теоремах главы 3 элемент С/оо считается циклически несократимым

Основным результатом третьей главы является теорема о том, что если С/оо содержит а^ или Щ содержит при дополнительном условии

циклической несократимости С/о, то на группе Рп,п > 1 существует нет-

ривиальный псевдохарактер, инвариантный относительно рассматриваемого эндоморфизма

Каждая буква о,,г = 0,1,.. , п — 1 в произвольном образе > 0 некоторого слова V может получиться или из буквы элемента гл,_х или из буквы а„-1 в составе слова ¿/о Буква ад может появиться только вторым способом В данном параграфе исследуются возможные сокращения букв при переходах г;, —> г>,+1 Сокращения при таком переходе возможны только в двух случаях или когда в слове рг+1 две одинаковых буквы с противоположным знакам получаются разными способами, одно - прямым переходом, другое - в составе слова У^1, и эти буквы оказываются рядом или, если элемент Щ является циклически сократимым, а элемент V, содержит фрагменты, равные а^^.

Метод доказательства основной теоремы данной главы состоит в нахождении некоторого слова и € Рп, с помощью которого можно задать набор функций на одна из которых будет инвариантна относительно рассматриваемого эндоморфизма, и с ее помощью можно построить искомый нетривиальный псевдохарактер Для того, чтобы можно было построить набор функций, связанный с произвольным элементом свободной группы, вводятся некоторые технические понятия Степенным рядом некоторого слова VI в произвольном слове 11)} мы будем называть некоторое пересечение слова «х, и произвольной степени г^, обладающее свойством максимальности, или некоторый максимальный фрагмент слова лежащий также в слове т, Под V? подразумевается сколь угодно большая степень элемента и, Таким образом, степенной ряд и, в ги., имеет вид vlterulv^vlj^xgm, где г^еы и г\,ъедт. -произвольные конец и начало слова и,

Далее в параграфе 3 2 рассматривается, как при множественном применении рассматриваемого эндоморфизма, могут меняться, расширяться или сокращаться различные степенные ряды В лемме 1 показано, что если и,, г > 0 содержит букву Оп-1, то степенной ряд г>, в ш, при переходе —► г^+г не может расшириться на целую степень г>,+1 слева или справа Однако, это свойство обеспечивает относительную "неизменяемость"степенного ряда лишь при одном переходе Нужно найти элемент V € .Рп, такой, чтобы степенные ряды V, в произвольном слове го, при любом числе переходов не могли расшириться или сократиться на целые степени уг Для этого вводятся понятия защищенного и вполне защищенного фрагмента

Будем называть защищенным фрагментом Уыозе произвольного слова любой фрагмент, ограниченный буквами ао\ т. е начинающийся и кончающийся на букву а*1 Вполне защищенным фрагментом слова V, 6

будем называть защищенный фрагмент некоторого слова г»,, который при преобразовании и, —> г;,+1 переходит в такой фрагмент слова г;,+х, который сам содержит аналогичный защищенный фрагмент Следовательно, вполне защищенный фрагмент V, при преобразованиях, вызываемых сопряжением t, порождает новый, но идентичный себе вполне защищенный фрагмент в г>1+1 Таким образом, любой вполне защищенный фрагмент некоторого слова V, порождает целую систему вполне защищенных фрагментов во всех последующих гл,,^ > г, причем каждое у3 содержит, как минимум, один вполне защищенной фрагмент из этой системы Если слово V, содержит вполне защищенный фрагмент, то степенной ряд слова и,+с в слове и)]+с не может расшириться или сократиться на целые степени у1+с по сравнению со степенным рядом v, в ш, для любых го е с > О

Также рассматриваются возможные примеры вполне защищенных фрагментов, которые играют главную роль в определении условий основной теоремы данной главы В частности, если слово Г/оо содержит букву а^, то [/до само по себе является вполне защищенным фрагментом Если элемент Щ содержит в любой части своей записи то фрагмент произволь-

ного слова, графически равный части Щ, а именно фрагмент, графически равный С'оо^т^ог^оо) является вполне защищенным фрагментом при условии циклической несократимости Щ

Далее в диссертации для каждого элемента V свободной группы и для произвольного целого числа г > 0 строится набор слов У[г] Для любого г > 0 существует элемент V,. Рассмотрим минимальное слово вида г;,>еп<гг^>-2г1,1ьез,п, где р - заранее подобранное достаточно большое число, а отрезки и У11ьедгп содержат все вполне защищенные фрагменты, которые имеет V, В любом вполне защищенном фрагменте есть, по крайней мере, одна буква или слог, из которых получаются следующие, дальнейшие вполне защищенные фрагменты Обозначим через У[г] фрагмент рассматриваемого слова ограниченный крайними левой и правой такими

буквами или слогами. С помощью этого слова для каждого элемента свободной группы строится набор функций

Этот набор функций строится следующим образом Введем следующие функции на Рп = количеству непересекающихся фрагментов слова

ги е ,Р„, равных У,+1, яГ(гу) = количеству фрагментов слова т € равных V"1 Пусть функции

1

г/>+ (го) = Ьпг, (">;;)) = Ьт_,0+(го;))

= е рп, I = о, 1,

г

•ф~(ы) = (ад,)) = 11тп30~{и):>).

г

В диссертации доказано несколько утверждений о том, как влияет наличие у некоторого слова г> вполне защищенных фрагментов на переходы V, —» г»,+1- Показано, что если некоторый степенной ряд слова г>, в слове ги} содержит или не содержит буквы слова v,, из которых получаются некоторые вполне защищенные фрагменты слова г),+1, то степенной ряд ь,+х в 1/^+1, соответственно, содержит или не содержит эти вполне защищенные фрагменты (лемма 1 параграфа 3 2) Далее доказывается, что слово У[г + 1] содержит в себе фрагмент, графически равный за исключением,

возможно, нескольких букв по краям В частности, У [г 4- 1] содержит все вполне защищенные фрагменты, которые лежат в за исключением,

может быть, начала крайне левого и конца крайне правого такого фрагмента (утверждение 3 31) Отсюда следует утверждение 3.3 3

"Утверждение 3. 3. 3. Пусть - произвольные элементы группы Рп —< оо,ах,.. ,ап-1 >. Пусть для некоторого <? > 0 слово ьч содержит вполне защищенный фрагмент Если для некоторых г > >0

слово и)3 содержит фрагмент, графически равный У[г], то для любого в > 0,5<г — д, в < у, слово содержит фрагмент, графически равный

- 5]

Это утверждение позволяет получить различные неравенства с введенными функциями Кроме этого утверждения также доказано, что если элемент ги]+1 содержит в своей записи слово д > 0 а элемент 1)ч содержит вполне защищенный фрагмент, то слово ш, содержит в своей записи слово

— 1] Из этих утверждений получаются неравенства при условии, что элемент V € Рп, отвечает вышеизложенным требованиям

Теорема 3. 3. 5. Пусть V £ Рп и для некоторого ? > 0 содержит вполне защищенный фрагмент. Тогда для любого элемента ги € Рп выполняются следующие неравенства'

«,"+1(^+1) ^

для любых г > <7 — 1, ^ > 0

Если в последней теореме взять <7 = 1, то из этой теоремы будет следовать, что 0±(ю1+г) < в±(ш1) + Тогда для того, чтобы последовательности

в±(ш1) были монотонно невозрастающими для любого элемента свободной группы ю, достаточно, чтобы выполнялось равенство +1) = 0 для любого числа г > 0 Этого можно добиться, если подобрать такой элемент

14

V, что слово У[0] не может получиться в качестве фрагмента образа любого элемента при рассматриваемом эндоморфизме Из этих соображений получается одна из основных теорем главы 3

Теорема 3. 3. 8. Пусть С/од ф а о"1. Пусть V - некоторый элемент Рп, содержащий фрагмент, равный достаточно большой степени ао, причем в случае С/оо = ао,? Ф эта степень не делится на д Пусть, кроме того, для слова V слово у\ содержит вполне защищенный фрагмент. Тогда для любого ы 6 Рп 0+(ги3+1) < в+{ш3), в~(ш]+х) < в~(т}) для любого .7 > О, существуют пределы 1гт]0+(и>1) и 1гт}в~(и)3), и, таким образом, для любого ги £ имеют смысл функции ф+(ги) и ф~(ы)

Таким образом, при подходяще подобранном элементе V функции образуют невозрастающую и неотрицательную последовательность для любого элемента IV € Рп, и, следовательно, при таком V для любого элемента определены функции ф+(ги) и ф~(т) При этом функции ф+(и>) и 'ф~(и>) будут инвариантны относительно рассматриваемого эндоморфизма в силу своего определения, как предела других функций при множественном применении к элементам этого эндоморфизма Далее показано, что при условии £/оо - циклически несократимо и содержит букву или при

условии- а*^ € С/о, и слова С/о,С7оо являются циклически несократимыми, можно подобрать элемент V, удовлетворяющий всем условиям, которые излагались выше Пусть в = — й-, б = в+ — в~,ф = ф+ — ф~. С помощью леммы 3 параграфа 3 4 доказывается, что функции в{и)г) являются квазихарактерами на группе Рп, при условии, что все элементы У [г] удовлетворяют условию С'{ 1/2) В лемме 4 показано, что предел сходящейся последовательности квазихарактеров также является квазихарактером Для того, чтобы найти такой элемент, для которого все слова У [г] удовлетворяют условию С'( 1/2), используются тестовые элементы Если тестовые элементы при эндоморфизме свободной группы переходят в сопряженные себе, то эндоморфизм является автоморфизмом свободной группы Но это возможно только при условии С/(ю = ад:1, которое противоречит нашим условиям, накладываемым на слово С/о

В диссертации показано, что можно подобрать такой тестовый элемент V, который будет удовлетворять всем условиям теоремы 3 3 8, а также для которого все слова У[г] удовлетворяют условию С'( 1/2) Кроме того, элемент V можно подобрать так, чтобы функция ф = ф+ — ф~ принимала нулевые значения на всех степенях порождающих группы Рп. Таким образом, функция ф является квазихарактером на Рп, инвариантным относительно рассматриваемого эндоморфизма Как следует из предположения А И Штерна21, для любого квазихарактера / на произвольной группе функция

31 Штерн А И Квазяпредстааления и псевдоггредствления Функц аяализ я его пркл. 1991 'I'25, N2 70-73

15

(р[д) — limn-,00l/nf(gn) является псевдохарактером на этой группе При этом данный псевдохарактер принимает нулевые значения на всех порождающих группы Fn, но не является тождественно равным 0 на всей группе Fn, что обеспечивает его нетривиальность Этот псевдохарактер и является искомым Основная Теорема 3.4.2. Пусть Uoo - циклически несократимо Пусть f/oo содержит букву а^:^, или Щ содержит á^íj при дополнительных условиях Uq ф <1q1 , Uq - циклически несократимо Тогда на группе Fn,n> 1 существует нетривиальный псевдохарактер, инвариантный относительно эндоморфизма этой группы oq —> ai, , a„_2 —* о,n_i,an_i —► Uq

Значит, и на соответствующей группе с одним определяющим соотношением существует нетривиальный псевдохарактер В главе 3 также рассматриваются некоторые частные случаи групп с одним определяющим соотношением и двумя образующими Доказательство существования на этих группах нетривиальных псевдохарактеров более просто и не требует использования вполне защищенных фрагментов и других введенных в части 3 понятий.

Получен результат о условиях существования нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром В диссертации приведены два различных доказательства этого Этот случай рассмотрен полностью

Теорема 3.6.2. Пусть группа G - с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром Тогда на группе G существуют нетривиальные псевдохарактеры, за исключением следующих случаев группа G -циклическая; свободная абелева G =< t, a|ta — at >, G - метабелева, m e имеет представление вида G ~< t, a\tat"1 = a" > или G =< t, a\t2 = a2 >

Заметим, что из теоремы следует нетривиальные псевдохарактеры существуют на всех группах с одним определяющим соотношением, двумя образующими и нетривиальным центром, за исключением бесконечной циклической группы, свободной абелевой группы второго порядка и группы G —< t,a\t2 = a2 > . Последняя группа с помощью преобразования Тице а — at предсталяется в виде G =< t, a|íaí_1 = a-1 > . Метабелевы группы G —< t, a|íaí_1 = ap > имеют нетривиальный центр только, если р — ±1

Глава 3 имеет следующую структуру параграф 3.1 посвящен постановке задачи и обоснованию перехода от групп с одним определяющим соотношением к свободным группам и их псевдохарактерам В параграфе 3 2 вводятся понятия степенных рядов и защищенных фрагментов Также в этом параграфе рассматривается, как влияет эндоморфизм Fn, заданный сопряжением буквой t, на различные элементы свободной группы Параграф 3 3 посвящен рассмотрению наборов функций, связанных с произвольным элементом v £ Fn, и доказательству различных неравенств для этих функций

16

при наложении определенных условий на V и слова Щ, Г/оо В параграфе 3 4 подбирается удовлетворяющий всем условиям элемент V, и с его помощью доказывается главная теорема главы 3 Таким образом, в этом параграфе строится искомый нетривиальный псевдохарактер на инвариантный относительно рассматриваемого эндоморфизма этой группы В параграфе 3 5 рассматриваются некоторые частные случаи групп с одним определяющим соотношением и двумя образующими Также в этом параграфе задается нетривиальный псевдохарактер на свободном произведении произвольного числа бесконечных циклических групп и группы, на которой уже существует нетривиальный псевдохарактер Доказывается, что этот псевдохарактер инвариантен относительно эндоморфизма вышеописанного произведения, в определенном смысле аналогичного эндоморфизму, рассматриваемому на свободных группах Рп Параграф 3 6 посвящен рассмотрению групп с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром и полному описанию условий, при которых на них существует нетривиальный псевдохарактер

Автор искренне благодарит своего научного руководителя, кандидата физико-математических наук, доцента кафедры высшей алгебры А А Клячко за постановку задачи, внимательное руководство научной работой и множество полезных идей

Автор также выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору А.Л Шмелышну и доктору физико-математических наук, профессору А.Ю Ольшанскому за внимание к работе и полезные обсуждения

Автор признателен заведующему кафедрой высшей алгебры доктору физико-математических наук, профессору В Н Латышеву и всем сотрудникам кафедры за поддержку

Публикации автора по теме диссертации.

[1] Каган Д 3 О существовании нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях групп Вестник МГУ. 2004, N6, с 24-28

[2] Каган Д 3 Псевдохарактеры на аномальных произведениях локально индикабельных групп Фундаментальная и прикладная математика 2006, Т 12, выпуск 3, с 55-64

[3] Каган Д 3 Псевдохарактеры на группах с одним определяющим соотношением Деп в ВИНИТИ 1Ч1490-В2006, 29 страниц

[4] Каган Д 3 О существовании нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях групп Тезисы Международной алгебраической конференции Москва, 2004, с 60-62

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать /<! 01-/. О?

Формат 60 x 90 1 /16 Уел печ л /,£>

Тираж 100 эю Заказ <?/

Введение.

Понятие квазихарактера и псевдохарактера на группах.

Краткий обзор рассматриваемых вопросов и полученных результатов.

Глава 1. Псевдохарактеры на свободных произведениях и HNN-расширениях групп.

1.1 Некоторые общие утверждения о нетривиальных псевдохарактерах.

1.2 Нетривиальные псевдохарактеры на свободных произведениях с объединенной подгруппой.

1.3 Нетривиальные псевдохарактеры на HNN-расширениях групп.

Глава 2. Псевдохарактеры на аномальных произведениях групп.

2.1 Аномальные произведения и их свойства.

2.2 Нетривиальные псевдохарактеры на аномальных произведениях с бесконечной циклической группой.

2.3 Нетривиальные псевдохарактеры на аномальных произведениях локально индикабельных групп.

Глава 3. Псевдохарактеры на группах с одним определяющим соотношением и двумя образующими.

3.1 Преобразования группы с одним определяющим соотношением.

3.2 Эндоморфизмы свободной группы и связанные с ними понятия.

3.3 Функции на свободной группе, инвариантные относительно эндоморфизмов.

3.4 Псевдохарактеры и квазихарактеры на свободной группе, инвариантные относительно эндоморфизмов.

3.5 Частные случаи псевдохарактеров свободных групп, инвариантных относительно некоторых эндоморфизмов.

3.6 Нетривиальные псевдохарактеры на группах с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром.ИЗ

Понятие квазихарактера и псевдохарактера на группах.

В диссертационной работе рассматриваются вопросы о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением, на некоторых свободных конструкциях групп и на аномальных произведених различных групп, в том числе на аномальпых произведениях с бесконечной циклической группой и аномальных произведениях локально индикабельных групп, а также о существовании нетривиальных псевдохарактеров свободной группы, инвариантных относительно определенных ее эндоморфизмов.

Нетривиальные псевдохарактеры связаны со многими важными характеристиками групп, например, с вторыми группами когомологий, устойчивостью решений функциональных уравнений и неравенств на группах, шириной вербальных подгрупп.

Термины "псевдохарактер, "а также "квазихарактер "были введены А. И. Штерном па Ломоносовских чтениях в МГУ в 1983 году. Вещественным квазихарактером, или просто квазихарактером, называется отображение группы G в пространство действительных чисел R, удовлетворяющее следующему неравенству \f(xy)—f(x) —f(y) | < £ для любых элементов х, у группы G и некоторого е > 0. Псевдохарактером па группе G называется квазихарактер /, для которого выполняется f(xn) = nf(x) для любого элемента х € G и любого целого п. Нетривиальным называется псевдохарактер /, отличный от аддитивного характера, т.е. для него существуют такие элементы а, Ь G G, что f(ab) ф f(a) + f{b). Под аддитивным характером понимается такое отображение из группы G, для которого выполняется f(ab) = f(a) + f(b) при любых a,beG.

Можно задавать квазихарактеры и псевдохарактеры, как отображение в произвольное банахово пространство, а не только в пространство действительных чисел. Квазихарактером из группы G в произвольное банахово пространство Е называется отображение / из G в Е, удовлетворяющее следующему свойству: \\f(xy) - f(x) - f(y)|| < е для любой пары элементов х,у группы G и для некоторого положительного числа е. Псевдохарактером из группы G в произвольное банахово пространство Е называется такой квазихарактер / для которого выполняется f(xn) = nf(x) при любом элементе х группы G и для любого целого числа п. Определение нетривиального псевдохарактера, а также аддитивного характера в произвольное банахово пространство также аналогичны соответствующим определениям в вещественном случае. Таким образом, нетривиальные псевдохарактеры группы являются "почти" представлениями, на циклических подгруппах они являются представлениями, но при этом они все-таки не являются представлениями в полном смысле.

Если в качестве банахова пространства рассматривается пространство действительных чисел й, то получаются те вещественные квазихарактеры и псевдохарактеры, которые были определены выше. Как правило, вещественные квазихарактеры и псевдохарактеры называются просто квазихарактерами и псевдохарактерами. В диссертации показано, что если на некоторой группе существует нетривиальный вещественный псевдохарактер, то на этой группе существуют нетривиальные псевдохарактеры в любое банахово пространство. Таким образом, вопрос о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группе в произвольные банаховы пространства эквивалентен вопросу о существовании нетривиальных вещественных псевдохарактеров. Поэтому, в дальнейшем, в работе будет идти речь о вещественных квазихарактерах и псевдохарактерах. Вместо терминов: квазихарактер и псевдохарактер в некоторых работах употребляются термины: квазигомоморфизм и псевдогомоморфизм. Псевдохарактеры и квазихарактеры рассматриваются в работах В. А. Файзиева[11-17], Р. И. Григорчука[7, 8], А. И. Штерна[18), В. Г. Бардакова[9,10].

Понятие псевдохарактера возникло, как алгебраическое обоснование вопросов о функциональных уравнениях и неравенствах. Такое алгебраическое понятие, как псевдохарактер позволяет объяснить природу более широких вопросов, выходящих за рамки чисто алгебраических. Например, вопрос о том, при каких условиях решения неравенства ||f(xy) — f(x) — f(y)\\ < е при некотором положительном 6 близки к решениям уравнения f(xy) — f(x) — f(y) = 0 ставился во многих работах. В связи с результатами Д. Хайереа [1], С. Уламом [2] в списке нерешенных задач был поставлен вопрос о том, при каких условиях решения функционального неравенства \\f{xy)—f{x)—f(y)\\ < е, будут близки к решениям соответствующего функционального уравнения f(xy) — f(x) — f(y) = 0. В работах Бейкера, Лоуренса и Зорцитто [3], А. И. Штерна [4], и Лоуренса [5] изучается вопрос о том, при каких условиях решение функционального неравенства | \f{xy)—f(x)—f(y) 11 < е, совпадает с решением соответствующего функционального уравнения. В работе Каждана [6] для любого числа п построен пример такого отображения / дискретной группы G, которое удовлетворяет условию \\f{xy)-f(x)'f(y)\\ < 1/гс, но при этом не является е-близким ни к какому представлению этой группы для произвольного числа е. Отображение / из группы G можно назвать е—близким к отображению I из той же группы G, в то же пространство, если для любого элемента д группы G выполняется неравенство ||/(<?) — < е. Понятие вещественного псевдохарактера позволяет дать объяснение существованию отображений, удовлетворяющих условиям вида ||f(xy) — f(x) — f(y)\\ < е, но не близких ни к какому представлению. Существование или отсутствие таких отображений влечет за собой устойчивость или неустойчивость уравнения f{xy) - f(x) - f(y) = 0 на группе G.

Возникает вопрос о том, на каких типах групп будут существовать отбражения, "близкие"к представлениям, но при этом не являющиеся представлениями. Этот вопрос сводится к вопросу о существовании нетривиальных псевдохарактеров на этой группе. Если на группе существует нетривиальный псевдохарактер, то можно задавать и такие отображения. Это показано в данной работе, также как и связь существования нетривиальных псевдохарактеров с вопросом о устойчивости уравнений на группах. Все вещественные псевдохарактеры произвольной группы G образуют вещественное линейное пространство, которое обозначается PX(G), подпространство аддитивных характеров обозначим через X(G).

Как показано в статье Р. И. Григорчука[7] выполняется изоморфизм векторных пространств H$(G) = PX(G)/X(G), где Hj$(G) — ядро естественного отображения n-ой группы ограниченных когомологий в : H^\G) —» R), Если на некоторой группе существует нетривиальный псевдохарактер, то для этой группы пространство Hf\G) нетривиально. Если на некоторой группе размерность факторпространства

PX(G)/X(G) бесконечна, то пространство щ ^ (G) также имеет бесконечную размерность. Используя этот факт, в работе получены некоторые следствия о вторых когомологиях групп.

В работах В.Г. Бардакова [9, 10] исследуются вопросы, связанные с шириной вербальных подгрупп для свободных произведений с объединением, HNN-расширений и групп с одним определяющим соотношением. В частности, в них показано, что для любой вербальной подгруппы V(G) в вышеописанных типах групп, ширина V(G) относительно конечного собственного порождающего множества слов V бесконечна. Для этого используются квазихарактеры( в работах [9,10] используется термин "квазигомоморфизм"). В диссертации доказано, что если на группе существует нетривиальный псевдохарактер, ширина вербальной подгруппы V(G)} содержащей коммутант и определенной конечным собственным коммута-торным( т.е. все элементы из V принадлежат коммутанту G') множеством слов V, имеет бесконечную ширину относительно V. В частности, коммутант группы, на которой существует нетривиальный псевдохарактер, имеет бесконечную ширину относительно коммутаторов. Определение ширины вербальной подгруппы и собственного множества слов приводится в параграфе 1.1 в той части, в которой рассматриваются связанные с этим вопросом.

Существование нетривиальных псевдохарактеров на некоторых типах групп рассматривается и устанавливаются в многих работах. В работе В. А. Файзиева([11]) доказывается, что нетривиальные псевдохарактеры существуют на свободных произведениях неединичных групп, за исключением группы £2*^2- Там же доказано, что на разрешимых группах не существует нетривиальных псевдохарактеров. Более общий результат -нетривиальные псевдохарактеры не существуют на аменабельпых группах (см. [8],[25]). В статьях (см.[12],[13],[14]) В. А. Файзиева дается описание пространств псевдохарактеров свободной группы, свободных произведений групп. Также В.А. Файзиевым построено пространство псевдохарактеров группы SL(2, £)[14], пространства псевдохарактеров полупрямого произведения групп и свободного произведения полугрупп (см.[15],[16]). Исследуются также матричные отображения групп, аналогичные квазихарактерам([17]), и доказывается, что существование таких нетривиальных отображений связано с существованием нетривиальных псевдохарактеров на соответствующих группах.

В работах Р.И. Григорчука ([7, 8]) доказывается существование нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях групп с объединенной подгруппой и HNN-расширениях, при небольших ограничениях на эти группы. В этих работах также доказывается, что для таких групп при тех же условиях выполняется равенство dimH^{G) = оо. Как следствия этих результатов получается результат о том, что на группах с одним определяющим соотношением и не менее, чем с тремя образующими существуют нетривиальные псевдохарактеры, и для таких групп также выполняется dimH^iG) = оо В данной работе приводятся доказательства существования нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях групп с объединенной подгруппой и HNN-расширепиях, несколько отличные от приведенных в [7], [8].

Также многие результаты о псевдохарактерах на группах содержатся в работах А.И. Штерна (например, [18]). А.И. Штерном доказано утверждение о том, что для любого квазихарактера / на произвольной группе G функция (р(д) = lirnn->00l/nf(gn) является псевдохарактером на той же группе G (предложение Зб)[18]). Это утверждение часто используется при построении псевдохарактеров, в том числе, и в данной работе.

Результаты данной работы основаны на построении нетривиальных псевдохарактеров на свободных конструкциях, из которого выводятся утверждения о существовании нетривиальных псевдохарактеров на различных классах групп. Также делаются выводы о ширине вербальных подгрупп относительно собственных множеств слов в этих группах, о их когомологиях. Доказано существование нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях различных групп. Если группа G является аномальным произведением двух групп, одна из которых -бесконечная циклическая, а другая не является нормальным замыканием никакого своего элемента, и для нее выполнена теорема о свободе, тогда группа G обладает нетривиальным псевдохарактером при выполнении некоторого условия на аномалию. Понятие теоремы о свободе приводится в 2-ой главе данной диссертации. Устанавливается существование нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях локально индикабельных групп. Рассматривается большой класс групп с одним определяющим соотношением и двумя порождающими, и находятся условия существования на них нетривиальных псевдохарактеров. Тем самым дается частичный ответ на вопрос, поставленный Р.И. Григорчуком в [8]. При этом иссдедуются псевдохарактеры свободных групп, инвариантные относительно определенных эндоморфизмов, и получены некоторые результаты в этом направлении. Доказано, что любая группа с одним определяющит соотношением и нетривиальным центром, за исключением циклических групп, свободной абелевой группы второго порядка, групп, имеющих представление вида < a, t\tat~l = аР > и группы < t, a\t2 = а2 >, имеет нетривиальные псевдохарактеры. При доказательстве существования нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях локально индикабельных групп используется то, что для локально индикабельных групп выполняется теорема о свободе (это доказано С.Д. Бродским в [19]), и то, что любая конечно порожденная подгруппа локально индикабельных групп обладает гомоморфизмом па бесконечную циклическую группу.

В данной работе при исследовании свободных групп и их эндоморфизмов вводятся некоторые новые технические термины, такие как степенные ряды одного элемента в другом, защищенные и вполне защищенные фрагменты.

Основные результаты диссертации опубликованы, также изложены на международной алгебраической конференции и на семинарах "теория групп"и на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры в МГУ.

Перейдем теперь к более подробному изложению диссртации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 12 параграфов и списка литературы.

1. Hyers D.H. On the stability of the linear functional equations. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1941, V.27 N2, 222-224.

2. Улам С. Нерешенные математические задачи. М., Наука, 1964г.

3. Baker Y., Lawrence Y., Zorzitto f. The stability of equationf(x + y) = f(x) • f(y). Proc. Amer. Math. Soc., 1979, 74, N2, P.242-246.

4. Штерн А. И. // Об устойчивости гомоморфизмов в группу R*, Вестник МГУ, 1982, N3., с.29-32.

5. Lawrence Y. The stability of multiplicative semigroup homomorphisms to real normed algebras I. Aequat Math. 1985, v28, N11,2, P.94-101.

6. Kazhdan D. On e— representations. Israel J. Math., 1982, v.43, N4, p.315-321

7. Grigorchuk R.I. Some results an bounded cohomology// Combinatorial and Geometric Group Theory. Edinburg,1993;// London Math. Soc. Lecture Notes Ser. V.284. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, P.lll-163.

8. Григорчук P. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций // Математические заметки. 1996. 59, N4. 546-550.

9. В.Г. Бардаков. К теории групп кос. Мат. сб., 183, N6(1992), 3-42.

10. В. Г. Бардаков. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций. Алгебра и логика. 1997. 36 N5. 494-517.И. Файзиев В. А. Об устойчивости одного функционального уравнения на группах // Успехи мат. наук. 1993. Т.48, N1. 193-194.

11. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на свободных группах и некоторых групповых конструкциях.// УМН. 1988, Т.43, N5, С.225-226

12. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на свободных группах. Рук. Деп. в ВИНИТИ 6.02.1987, N877-B87,

13. Файзиев В. А. Описание пространства псевдохарактеров на группе SL(2,Z), Рук. Деп. в ВИНИТИ 6.02.1987, N877-B87, Функц. анализ и его прилож. 1992, Т.26, N4, С.77-79.

14. Файзиев В. А. Двумерные вещественные треугольные квазипредставленш групп. Фундаментальная и прикладная математика. 1995,1, N4,1129-1132.

15. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на свободных произведениях полугрупп. Функц. анализ и его прилож. 1987, Т.21, N1, С.86-87.

16. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на полупрямых произведенияхгрупп. Матем. заметки. 1993, Т.53, N26 С. 132-139

17. Штерн А. И. Квазипредставления и псевдопредствления. // Функц. анализ и его прил. 1991. Т.25, N2. 70-73.

18. Бродский С. Д. Уравнения над группами и группы с одним определяющим соотношением // Сибирский математический журнал. 1984. 25, N2. 84-103.

19. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп, 3-е издание, М., Наука, 1984.

20. Лшдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир,1980.

21. Магнус В., Каррас А., Солитер Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука,1974.

22. Молдовапский Д. И. О некоторых подгруппах групп с одним определяющим соотношением. Сиб. матем. журнал, 1967, Т.8, N6, с. 1370-1384

23. Shpilrain V. Generalized primitive elements of a free group. arXiv:math.GR/9605207vl 1996.

24. Johnson B.E. Cohomology in Banach Algebras// Amer. Math. Soc. Memoirs, 1972, V.127.

25. Gromov M. Volume and bounded cohomology// Publ. Math. IHES. 1982. V.56. P.5-100

26. Клячко А. А. Гипотеза Кервера-Лауденбаха и копредставления простых групп. Алгебра и логика, Т.44(2005), N4, с.399-437.

27. Cohen М. М., Rourke С. The surjectivity problem for one-generator, one-relator extensions of torsion-free groups // Geometry k Topology. 2001. V.5 P. 127-142.

28. Pietrowski A. The Isomorphism Problem for One-relator Groups with Non-trivial Centre. Math.Z.136, 95-106(1974) by Springer-Verlag 1974.

29. Ю.И. Мерзляков. Рациональные группы. 2-е изд., М., Наука, 1987.

30. Курош А.Г. Теория групп. М., Наука 1967.

31. Baumslag G. Groups with one defining relator. J. Avstralian Math. Soc., 4, N4(1964), 385-392.

32. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М., Наука, 1989.Список публикаций автора по теме диссертации.

33. Каган Д. 3. О существовании нетривиальных псевдохарактеров нааномальных произведениях групп. Вестник МГУ. 2004, N6, с. 24-28

34. Каган Д. 3. Псевдохарактеры на аномальных произведениях локально индикабельных групп. Фундаментальная и прикладная математика. 2006, Т.12, выпуск 3, с.55-64.

35. Каган Д. 3. Псевдохарактеры на группах с одним определяющим соотношением. Деп. в ВИНИТИ N1490-B2006, 29 страниц

36. Каган Д. 3. О существовании нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях групп. Тезисы Международной алгебраической конференции. Москва, 2004.