Классификационные проблемы в теории групп автоморфизмов многообразий малой размерности. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

КЛАССИФИКАЦИОННЫЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ГРУПП АВТОМОРФИЗМОВ МНОГООБРАЗИЙ МАЛОЙ РАЗМЕРНОСТИ

01.01.04 — геометрия и топология 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Малютин Андрей Валерьевич

2 2 ОКТ 7009

Санкт-Петербург

2009

003480297

Работа выполнена в лаборатории геометрии и топологии Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Нецветаев Никита Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор Куликов Виктор Степанович (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН)

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, Панин Иван Александрович (лаборатория алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН)

доктор физико-математических наук, профессор Пилюгин Сергей Юрьевич (Санкт-Петербургский государственный университет)

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 2009г. в часов на заседа-

нии совета Д 212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, ма-тематико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 191011, Университетская наб., 7/9.

Защита будет проходить в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В. А. Стеклова РАН по адресу: Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311.

Автореферат разослан ♦ (-С» о^г^Ц^ 2009г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.232.29 доктор физико-математических наук, ¡(¡у

профессор

' М г. Я

В. М. Нежинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследования автоморфизмов и групп (классов) шгоморфизмов многообразий малой размерности формируют обширную, 5урно развивающуюся область современной математики, находящуюся на ;тыке топологии, алгебры и теории динамических систем. Эта область ххватывает изучение групп гомеоморфизмов прямой и окружности1, теорию автоморфизмов поверхностей и теорию групп классов отображений юверхностей, важнейшим частным случаем которых являются группы кос \ртина2, — в силу чего указанная область тесно связана практически со 5семи разделами маломерной топологии (в первую очередь — с теорией гзлов и зацеплений), с дифференциальной и гиперболической геометрией, теорией ламинаций и теорией Тайхмюллера, с комбинаторной и геометри-геской теорией групп, теорией упорядоченных групп, и даже с криптографией.

Автоморфизмам и группам автоморфизмов многообразий размерно-:тей 1 и 2 посвящены фундаментальные работы Клейна, Фрике, Пушкаре, Гурвица, Дена, Данжуа, Александера, Нильсена, Артина, Ке-»екъярто, А.А.Маркова (мл.). Позже указанной проблематикой за-шмались В.Магнус, В.Бурау, Дж.Бирман, X.Цишанг, В.И.Арнольд, ".А.Маргулис, У.Тёрстон, О. Я.Виро, Ф. Гарсайд, В.Джонс, Э.Гиз и мно-ие другие. В последние десятилетия в этой области получены такие заме-[ательные результаты, как решение С. Керкхофом проблемы Нильсена о >еализации, открытие порядка Деорнуа, доказательство линейности групп кос (Д. Краммер, С. Бигелоу) и др. Решение подобного рода проблем требует самой разнообразной техники, а новые достижения теории (групп) .втоморфизмов применимы (и, как правило, имеют существенные след-твия) в смежных областях.

Вопросы классификации в исследуемой области (как и во многих дру-их разделах маломерной топологии, динамики, теории групп) являются ключевыми.

Для гомеоморфизмов одномерных и двумерных многообразий известны, соответственно, классификации Пуанкаре и Нильсена-Тёрстона, представляющие собой важные и полезные инструменты при решении самых различных задач. На основе классификации Нильсена-Тёрстона

1 Отметим, что в группу гомеоморфизмов прямой входят все счетные односторонне-инвариантно упорядоченные группы, а группа гомеоморфизмов окружности содержит группу изометрий гиперболической плоскости — вместе со всеми фуксовыми группами.

2 У групп кос, как и у всех групп классов отображений незамкнутых поверхностей, имеются естественные точные представления в группах гомеоморфизмов одномерных многообразий, что придает рассматриваемой области внутреннюю целостность.

H. В. Иванов, Дж. Бирман, А. Любоцкий и Дж. Маккарти3 получили серию классификационных теорем для подгрупп групп классов отображений поверхностей, дающую аналоги классических классификационных результатов теории линейных групп, в том числе аналог альтернативы Титса. Для групп, действующих на окружности, аналог альтернативы Титса, известный как альтернатива Гиза, был доказан в 2000 г. Г. А. Маргулисом4. Несомненно важным и актуальным представляется следующий шаг — построение эффективной классификации групп гомеоморфизмов маломерных многообразий (т. е. классификации маломерных топологических динамических систем или действий групп на многообразиях малой размерности).

К классификационным вопросам естественно примыкают теории всевозможных инвариантов. Одним из новейших направлений здесь является теория квази- и псевдохарактеров групп. Функционал ip : G —> R на группе G называется квазихарактером или квазиморфизмом, если множество

{у{аЪ) - <р{а) - <p(b) : a,b€G}

ограничено. Если, кроме того, для любых k € Z и а € G выполняется равенство ip(ak) = к<р(а), то ¡р есть псевдохарактер5.

Псевдохарактеры являются инвариантами сопряженности; они имеют непосредственное отношение к ограниченным когомологиям групп и широко применяются в геометрической теории групп. Хорошо известные примеры псевдо- и квазихарактеров, не являющихся гомоморфизмами, — число переноса Пуанкаре и функция Радемахера6. Теория псевдохарактеров активно развивается в течение последнего десятилетия. Псевдохарактеры групп кос и групп классов отображений поверхностей представляют особый интерес и применяются как в теории узлов, так и в маломерной динамике (Э. Гиз, Ж.-М. Гамбодо, К. Хонда, У. Казес, Г. Матис, С. Баадер и др.; см. также работы автора [1, 5, 9-12]). Как показывают представленные в диссертации результаты, теория псевдохарактеров тесно связана и с обсуждаемой ниже проблемой Маркова (как и с некоторыми родственными

3 См. монографию Н. В. Иванова Subgroups of Teichmüller modular groups, Transi, of Math. Monographs 115, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992, и указанную там литературу.

4 Альтернатива Гнэа-Маргулиса утверждает следующее: если группа G действует на окружности гомеоморфизмами, то либо на окружности существует G-инвариантная вероятностная борелевская мера, либо в G найдется свободная неабелева подгруппа; см. G. А. Margulis, Free subgroups of the homeomorphism group of the circle, C. R. Acad. Sei. Paris Ser I. Math. 331 (2000), 669-674; cp. JI. А. Бекларян, Группы гомеоморфизмов

прямой и окружности. Топологические характеристики и метрические инварианты, Успехи мат. наук 59:4 (2004), 3-68.

6 Также используется термин однородный квазиморфизм.

6 Отметим, что число переноса определено на группе гомеоморфизмов вещественной прямой, коммутирующих с единичным сдвигом, а функция Радемахера — на группе SL(2,Z), которая действует на окружности.

ей задачами), и с действиями групп кос и групп классов отображений поверхностей на окружностях и прямых, изучение которых является одним из центральных сюжетов работы.

Начиная с работ П. С. Новикова и А. А. Маркова, все возрастающее внимание в топологии малых размерностей привлекают также вопросы алгоритмической классификации. В теории автоморфизмов, групп классов отображений поверхностей и групп кос наряду с общими задачами алгоритмического характера (проблемы тождества и сопряженности в группе, их многочисленные обобщения и т. д.) рассматривается широкий круг специальных алгоритмических вопросов (таких как задачи распознавания типов автоморфизмов в классификации Нильсена-Тёрстона и распознавания сильной неприводимости автоморфизма, вычисление расстояний в комплексе кривых поверхности).

Среди имеющихся здесь сложных задач7 особое место занимает проблема Маркова о дестабилизируемости, состоящая в том, чтобы построить алгоритм, определяющий, применимо ли к классу сопряженности заданной косы преобразование дестабилизации. Эта проблема относится к представлению классических узлов и зацеплений в R3 с помощью кос и восходит к знаменитой работе А. А. Маркова «Uber die freie Äquivalenz der geschlossenen Zöpfe» 1936 года, в которой введены понятия стабилизации и дестабилизации кос и представлена теорема, утверждающая, что две косы ßi и ß2 задают одно и то же зацепление в том и только в том случае, когда от ßi можно перейти к ß2 с помощью конечной цепочки сопряжений, стабилизаций и дестабилизаций. Проблема о дестабилизируемости допускает переформулировки в терминах автоморфизмов поверхностей и действий групп классов отображений поверхностей на окружностях и прямых и имеет ряд родственных нерешенных задач как на алгебраическом, так и на топологическом уровне.

После того, как в 1968-1969 гг. Г. С. Маканин и Ф. Гарсайд решили для группы кос проблему сопряженности, проблема Маркова стала наиболее заметным препятствием к решению задачи алгоритмической классификации и эффективного распознавания узлов и зацеплений в М3 с помощью кос. Впервые алгоритм распознавания дестабилизируемости был предложен в 1980 г. Дж. Маккулом8, однако, как указал впоследствии сам Мак-кул9, его алгоритм опирался на ошибочное утверждение и оказался неве-

7 См., например, R.Kirby (Ed.), Problems in low-dimensional topology, Geometric Topology (Athens, GA, 1993), AMS/IP Stud. Adv. Math., vol. 2.2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, pp. 35-473, а также В. Färb (Ed.), Problems on mapping class groups and related topics, Proc. Symp. Pure Math. 74, Amer. Math. Soc., Providence, Ш, 2006.

8 J.McCool, On reducible braids, in S.Adian, W.Boone, G.Higman (Eds.), «Word Problems II» (Conf. on Decision Problems in Algebra, Oxford, 1976), Amsterdam: North-Holland, Studies in Logic and Foundations of Math., vol.95, 1980, pp. 261-295.

9 J.McCool, On reducible braids: Erratum, Cañad. J. Math. 34 (1982), 1398.

рен. В 2005 г. У. Менаско10 предложил алгоритм поиска дестабилизации, основанный на технике прямоугольных диаграмм узлов, принадлежащей И. А. Дынникову. Однако результат настоящей диссертации о существовании классов сопряженности кос, дестабилизируемых бесконечным числом различных способов, косвенно свидетельствует о том, что алгоритм Менаско также неверен11.

Еще одно современное направление в изучаемой области возникло на пересечении с теорией случайных блужданий на группах. В своих недавних работах случайные блуждания на группах (классов) автоморфизмов многообразий малой размерности исследовали А. М. Вершик, К. Сериес, В. А. Кайманович, Г. Мазур, В. Фарб, С. К. Нечаев, Р. Вуатюрье, А. Ю. Гросберг, Р. Бикбов, В. А. Клепцын, М. Б. Нальский, Т. Кайзер и др. Эта деятельность по преимуществу ориентирована на решение (типично классификационной) задачи описания вероятностных границ группы и, в первую очередь, границы Пуассона. В. А. Кайманович и Г. Мазур12 показали, что граница Пуассона группы классов отображений замкнутой поверхности реализуется в виде границы Тёрстона пространства Тайхмюлле-ра этой поверхности. Аналогичное описание границы в виде пространства действия группы имеет место и для случая незамкнутых поверхностей и групп кос13.

А. М. Вершиком и его школой были развиты мощные методы алгебраического описания (т. е. описания непосредственно в терминах самой группы — в терминах образующих и соотношений) границ с помощью стабильных нормальных форм. При этом для группы кос известно более десятка (типов) нормальных форм (формы Гарсайда14, Маркова-Ивановского15, Тёрстона16, Бирман-Ко-Ли17, Брессо18и др.19), однако проблема алгебраиче-

10 W.W.Menasco, Monotonia simplification and recognizing exchange reducibility, eprint arXiv:math/0507124.

11 Локализовать ошибку в препринте Менаско не представляется возможным, поскольку там содержится большое количество неточностей и неполных формулировок.

12 V. A. Kaimanovich, H.Masur, The Poisson boundary of the mapping class group, Invent. Math. 125 (1996), 221-264.

13 B.Farb, H.Masur, Superrigidity and mapping class groups, Topology 36 (1998), 11691176.

14 F. A. Garside, The braid group and other groups, Quart. J. Math. Oxford 20 (1969), 235-254.

15 А.А.Марков, Основы алгебраической теории кос, Тр. Матем. ин-та им. В. А. Сте-клова 16 (1945), 3-54.

16 D. В. A.Epstein, J. W. Cannon, D. F. Holt, S. V. F. Levy, M.S.Paterson, W.P. Thurston, Word processing in groups, Jonas and Bartlett Publ., Boston, MA, 1992.

17 J.S.Birman, S.J.Lee, K.H.Ko, A new approach to the word and conjugacyproblems in the braid groups, Adv. in Math. 139 (1998), 322-353.

18 X. Bressaud, A normal form for braid groups, J. Knot Theory Ram. 17 (2008), 697-732.

18 P.Dehornoy, Alternating normal forms for braids and locally Garside monoids, J. Pure

Appl. Algebra, 212 (2008), 2413-2439.

ского описания границы Пуассона для групп классов отображений и групп кос до последнего времени оставалась открытой.

Заметим, что — кроме классификационной тематики — задачу о стабильных нормальных формах в группах классов отображений и группах кос связывают с прочими вышеупомянутыми вопросами общие методы, применяемые при их исследовании и решении; в частности, при поиске стабильных нормальных форм удобно использовать представления групп классов отображений и групп кос в виде групп гомеоморфизмов окружности.

Цель работы. В диссертации развивается теория автоморфизмов и групп (классов) автоморфизмов многообразий размерности 1 и 2 (групп кос, групп классов отображений поверхностей, групп гомеоморфизмов прямой и окружности). Целью работы является получение новых результатов по следующим направлениям:

- классификация действий групп на одномерных многообразиях;

- развитие теории псевдохарактеров групп кос и групп классов отображений поверхностей;

- исследование преобразований кос (сохраняющих тип представленного косой зацепления) и вопросов о применимости различных преобразований к косам;

- изучение границ случайных блужданий, поиск стабильных нормальных форм в группах кос и группах классов отображений.

Методы исследования. В диссертации используются методы маломерной топологии, римановой геометрии, гиперболической геометрии, теории ламинаций, комбинаторной и геометрической теории групп, теории групп классов отображений поверхностей (в т. ч. классификация Нильсена-Тёр-стона), теории групп кос, а также специально развиваемая техника, в основе которой лежит рассмотрение действий группы классов отображений поверхности с краем на ассоциированных с такой поверхностью пространствах.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты.

1. Получена общая классификация действий групп на прямой и окружности. В частности, доказано, что всякое минимальное непрерывное действие группы на прямой (на окружности) либо сопряжено с действием изометриями, либо проксимально, либо накрывает некоторое проксимальное действие на окружности.

2. Введены новые типы левоинвариантных циклических порядков на свободных группах и изучены их свойства.

3. Описана структура пространства простых геодезических, выходящих из точки края метрически полной ориентированной гиперболической поверхности конечной площади с компактным геодезическим краем.

4. Определены и исследованы новые серии псевдохарактеров и инвариантов сопряженности на группах кос и на группах классов отображений поверхностей с краем.

5. Доказано, что любой узел в R3 представим косой, класс сопряженности которой дестабилизируем бесконечным числом различных способов.

6. В терминах псевдохарактеров групп кос найдены критерии простоты представленного косой зацепления, а также критерии неприменимости стандартных преобразований к классу сопряженности кос, из которых, в частности, следуют (в усиленном виде) гипотезы Менаско о применимости некоторых преобразований к косам.

7. Решена проблема Маркова о дестабилизируемости: построен алгоритм, определяющий, допускает ли класс сопряженности заданной косы дестабилизацию Маркова.

8. Доказано, что в группе кос Артина нормальная форма Маркова-Ивановского является стабильной (по отношению к случайпому блужданию с любым допустимым распределением).

Апробация работы. Результаты диссертации многократно докладывались и обсуждались на семинарах и конференциях, в том числе — на международных конференциях «The Algebra and Geometry around Knots and Braids» (Санкт-Петербург, сентябрь 2007 г.), «Leonard Euler and modern combinatorics. Applications to logic, representation theory, mathematical physics» (Санкт-Петербург, июнь 2007 г.), на серии семинаров университета Warwick (Великобритания), на международной российско-французской конференции «Autour des tresses» (Москва, ноябрь 2002 г.), на Петербургском топологическом семинаре им. В.А.Рохлина, на Петербургском геометрическом семинаре им. А.Д.Александрова, на Петербургском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фадцеева, на Петербургском семинаре по теории представлений и динамическим системам, на Московско-Петербургском семинаре по маломерной математике, на семинаре кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ «Некоммутативная геометрия и топология», а также были представлены на заседаниях Петербургского математического общества.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в различных областях топологии и динамики малых размерностей, теории узлов, гиперболической геометрии, геометрической теории групп, теории упорядоченных групп, теории псевдохарактеров, теории кос, при изучении групп классов отображений поверхностей и групп автоморфизмов одномерных многообразий, а также при изучении случайных блужданий на группах и их границ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12], список которых приведен в конце автореферата. Из них 7 публикаций [3, 5-10] — в журналах и изданиях, входящих в Перечень ВАК, и 3 [1, 2, 4] — в издании, входившем в предыдущий Перечень ВАК на момент публикации. В статье [3] соискателю принадлежат теорема 5.1 о применимости преобразований к косам, теорема 6.2 и следствие 6.3 о критериях простоты представленного косой зацепления; теорема 7.3 о минимальных косах принадлежит соавтору. В статье [8] соискателю принадлежат теорема 0.2 о поточечной сходимости и теорема 0.3 о стабильности нормальной формы; теорема 0.1 о границе Фюрстенберга принадлежит соавтору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 8 глав и списка литературы, содержащего 105 наименований. Общий объем диссертации составляет 455 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко излагается содержание диссертации и описывается ее структура.

Глава 1. Группы гомеоморфизмов прямой и окружности В главе 1 изучаются и классифицируются действия групп на одномерных многообразиях. Пусть С — произвольная группа. Действием группы (3 на топологическом пространстве X называется гомоморфизм из С в группу Нотео(Х) всех гомеоморфизмов пространства X. Если задано действие ф : С —► Нотео(Х), образ фд(х), где х 6 X, д е б, фд := ф(д), обозначается через д(х). Действие ф : С —> Нотео(Х) называется минимальным, если у каждой точки х € X орбита С(х) := {д(х) | д € (3} плотна в X.

Действие группы на хаусдорфовом топологическом пространстве X называется проксимальным, если для любой пары точек х, у е X найдется

последовательность {gkjkew в G такая, что последовательности {дк(х)}кек и {9к(у)}кеп сходятся к одной и той же точке в X. (Если ни для какой пары несовпадающих точек из X такой последовательности в G не найдется, действие называется дисталъпым.)

Пусть имеются действия ф : G -> Horneo (X) и ф : G Horneo (У) группы G на пространствах X и Y. Отображение / : X —► Y называют эквивариантным (по отношению к ф и ф), если g(f(x)) — J{g(x)) для любых х € X, g б G. Действия ф и ф называют сопряженными, если существует эквивариантный по отношению к ним гомеоморфизм / : X —>Y. Говорят, что ф полусопряжено с ф, если существует непрерывное сюръ-ективное отображение / : X —> Y, эквивариаптное по отношению к ф и ф (/ называется при этом полусопрягающим отображением). Основным результатом главы 1 является следующая теорема.

Теорема (1.1.1). Пусть X есть либо вещественная прямая, либо окружность. Пусть группа G действует на X гомеоморфизмами20, т. е. задан гомоморфизм ф : G —> Нотео(Х). Пусть действие ф минимально. Тогда выполняется одно и только одно из следующих условий:

(i) действие ф сопряжено с действием изометриями;

(ii) действие ф проксимально;

(iii) действие ф полусопряжено посредством неоднолистного накрытия X —* S1 с минимальным и проксимальным действием на окружности.

Для действий на окружности теорема 1.1.1 допускает слияние случаев (ii) и (iii) и принимает следующий вид:

Теорема (1.1.2). Каждое минимальное действие группы на окружности гомеоморфизмами либо сопряжено с изометринньм действием, либо полусопряжено посредством накрытия с проксимальным действием.

Из теоремы 1.1.1 выводится следующая классификация:

Следствие (1.1.3). Пусть группа G действует па окружности гомеоморфизмами, т.е. задан гомоморфизм ф : G —> Horneo(S1). Тогда выполняется одно и только одно из следующих условий:

(a) у действия ф найдется конечная орбита;

(b) действие ф полусопряжено с минимальным и изометричным действием на окружности посредством монотонного непрерывного полусопрягающего отображения степени 1;

20 Не обязательно сохраняющими ориентацию.

(с) действие ф полусопряжено с минимальным и проксимальным действием на окружности посредством монотонного непрерывного полусопрягающего отображения.

Схожая классификация (но включающая большее количество классов) тедует из теоремы 1.1.1 и для действий групп на прямой21.

Полученная классификация в определенном смысле обобщает класси-1икацию Пуанкаре (если рассматривать последнюю как классификацию зйствий на окружности бесконечной циклической группы) и дает ряд су-;ественных следствий об одномерных динамических системах и о струк-,'ре групп, действующих на одномерных многообразиях. К примеру, из эвой классификации следует, что любая одномерная динамическая систе-а может быть получена из одноточечной системы в результате не более зм трех элементарных (изометричных и проксимальных) расширений22.

Отметим, что для минимального действия на окружности условие прок-шальности является очень сильным:

[редложение (1.7.1). Пусть действие ф : С? —> Ношео^1) группы С на кружности минимально и проксимально. Тогда для любых собственного шкнутого подмножества V С 81 и непустого открытого подмнооке-тгва II С В1 найдется элемент д € С такой, что д(У) С ¡7.

Из предложения 1.7.1 нетрудно вывести, что группа, действующая на кружности минимально и проксимально, обладает свободной неабелевой одгруппой. Отсюда, в силу следствия 1.1.3, очевидно вытекает упоминав-[аяся выше альтернатива Гиза-Маргулиса.

Из полученной классификации следуют и другие замечательные аль-зрнативы. Так, если действие ф : С —* Нотео(Б') удовлетворяет усло-ию (а) или условию (Ь) следствия 1.1.3, то на З1 найдется б-инвариантная зроятностная борелевская мера; всякое же проксимальное действие груп-ы на окружности сильно проксимально в смысле Фюрстенберга; таким эразом, мы получаем следующую альтернативу (составляющие ее случаи е являются взаимоисключающими):

Всякое действие ф : б —» Нотео(§1) либо обладает инвариантной ве-оятностной борелевской мерой, либо полусопряжено с сильно прокси-юльным действием на окружности.

21 Поскольку, как хорошо известно, произвольное действие группы на прямой либо олусопряжено с минимальным действием на прямой (посредством монотонного непре-ывного полусопрягающего отображения), либо имеет орбиту, не обладающую точками гущепия (либо конечную — состоящую пе более чем из двух точек, либо бесконечную —

переводящуюся гомеоморфизмом в множество 2 С К).

22 Здесь имеются в виду стандартные расширения динамических систем по Фюрстен-бергу-Эллису.

Приведем еще одно связанное с теоремой 1.1.1 наблюдение. Пусть X есть либо прямая, либо окружность, и пусть действие ф : (3 —► Нотео(Х) минимально (как в условии теоремы 1.1.1). Пусть 2 — централизатор подгруппы 0(<?)пНотео+(Х) в группе Нотео(Х). Условия (¡), (ц) и (ш) теоремы 1.1.1 выражаются в терминах централизатора 2 следующим образом:

- для ф выполняется условие (1) 2 изоморфен абелевой группе Х\

- для ф выполняется условие (и) 2 тривиален;

- для ф выполняется условие (¡11) 2 есть циклическая группа (бесконечная при Х = Еи конечная при X — 81).

Глава 1 имеет следующую структуру:

В §1.1 формулируются основные результаты главы и обсуждаются их следствия.

В §1.2 даны основные определения.

В §1.3 доказано, что дистальные действия групп на окружности и прямой сопряжены с изометричными действиями.

§1.4 содержит несколько лемм, которые используются в доказательстве предложения из §1.5.

В §1.5 доказывается предложение о свойствах минимального действия группы на прямой, не являющегося ни проксимальным, ни дистальным.

В §1.6 показано, что минимальное и не дистальное действие группы на окружности полусопряжено посредством накрытия с минимальным и проксимальным действием.

В §1.7 доказывается предложение о свойствах минимальных и проксимальных действий групп на окружности.

В §1.8 из доказанного в предыдущих параграфах выводятся теорема 1.1.1 и следствие 1.1.3.

В §1.9 даны определения инвариантов Пуанкаре — числа переноса и числа вращения — и приведены их свойства.

В §1.10 доказываются утверждения о гомеоморфизмах окружности, используемые в главе 7 работы.

Глава 2. Поверхности и их автоморфизмы

Главы 2-4 работы посвящены поверхностям, их автоморфизмам и группам классов отображений. Главной целью в главах 2-4 является изучение действий группы классов отображений поверхности с непустым краем на некоторых ассоциированных с такой поверхностью пространствах. В первую очередь нас интересуют действия на пространствах, гомеоморф-ных окружностям и прямым. Исследование этих действий приводит нас к новым псевдохарактерам групп классов отображений и групп кос, а также

. решению проблемы Маркова о дестабилизируемости (глава 7). Содержа-ше глав 2-4 во многом ориентировано на изложение материала, требующегося в главе 7. Связанные с поверхностью пространства и структуры [зучаются в главе 3, а действия группы классов отображений на этих про-транствах — в главе 4. В главе 2 приводится ряд предварительных сведе-[ий из теории поверхностей, гиперболической геометрии, комбинаторной ■еории групп, теории гиперболических пространств и т. п.

Поверхностями мы называем двумерные многообразия (не обязатель-ю компактные и, возможно, имеющие непустой край). Класс всех связных риентируемых поверхностей, которые либо компактны, либо получены из :омпактных исключением конечного числа внутренних точек, обозначатся через 9К. Из классификации поверхностей известно, что каждая по-ерхность класса 9Л представима в виде связной суммы сферы с не более ем конечным количеством торов, а также замкнутых и открытых дисков, 'оворят, что поверхность Мгдр, являющаяся связной суммой сферы с д то-ами, d замкнутыми и р открытыми дисками, есть поверхность poda дер роколами (или выколотыми точками) и d компонентами края. Эйлерова арактеристика x(Mg,d,P) поверхности Mg¡d¡p равна 2 — (2д + d + р). По-ерхности класса Ш, имеющие отрицательную эйлерову характеристику, и называем гиперболичными. Класс гиперболичных поверхностей из ЯН, меющих непустой край, обозначается через 3Ль-

Поверхности, снабженные римановыми метриками постоянной гауссо-ой кривизны —1, как и сами такие метрики, принято называть гиперболи-ескими. Те гиперболические метрики, которые превращают поверхность метрически полное пространство конечного объема с геодезическим кра-м (как и сами гиперболические поверхности с такими метриками), мы азываем допустимыми. Как хорошо известно23, поверхность класса Ш бладает допустимыми гиперболическими метриками тогда и только то-ца, когда она гиперболична. Класс допустимых гиперболических поверх-остей, гомеоморфных поверхностям из Ш (соотв., Шь), обозначается в аботе через (соотв., SJl¿).

Для поверхности М с краем в диссертации рассматривается группа лассов отображений, тождественных па крае:

MCG(M, дМ) := Horneo (М, дМ) / Нотео0(М, дМ),

це Horneo(Aí, дМ) есть группа всех тех гомеоморфизмов поверхности М, оторые поточечно тождественны на дМ, а Нотеоо(М,ЗМ) — группа го-еоморфизмов, reí дМ изотопных тождественному.

23 См., например, X. Цшпанг, Э. Фогт, Д. Колдевай, Поверхности и разрывные группы, аука, М., 1988.

Глава 2 имеет следующую структуру:

§2.1 состоит из нескольких разделов, в которых излагаются сведения из неевклидовой геометрии, из теории гиперболических пространств по Громову, из комбинаторной и геометрической теории групп.

В §2.2 изучаются универсальные накрывающие пространства гиперболических поверхностей и их компактификации.

В §2.3 доказывается ряд лемм о кривых и геодезических на гиперболических поверхностях.

В §2.4 излагаются основы теории геодезических ламинадий на гиперболических поверхностях.

В §2.5 определяется действие автоморфизмов гиперболической поверхности на множестве геодезических и пространстве геодезических ламина-ций на этой поверхности и доказывается ряд утверждений, касающихся этого действия.

§2.6 посвящен классификации Нильсена-Тёрстона.

Глава 3. Структуры на поверхностях с краем

В главе 3 рассматривается ряд конструкций для гиперболических поверхностей класса 97$. Взяв поверхность М е и отметив точку х* на ее крае, мы изучаем следующую тройку объектов и связи между ними:

- фундаментальную группу РМ( .— -к\(М,х*) и ее гиперболическую компактификацию Рм> := РМ( и <ЭосГм,, где <9ТОРМ< — гиперболическая граница по Громову,

- семейство ГМ( всех (конечных и бесконечных) выходящих из ж* ориентированных геодезических на М (пространство Гм> естественным образом наделено топологией вещественной прямой);

- идеальную окружность 8М> над М, которая определяется следующим образом: заметим, что универсальное накрывающее поверхности М является гиперболическим по Громову пространством, его граница на бесконечности 5<„им гомеоморфна канторову множеству, гиперболическая компактификации Мм := \]м и доа\]м гомеоморфна замкнутому двумерному диску, а край Бм := 81]м = д\1м и <9юим го-меоморфен окружности; отметив на окружности некоторую точку х* из прообраза точки х„ мы полагаем := (8м,ё*).

Между перечисленными пространствами имеются естественные согласованные отображения: сопоставляя геодезической из Г.^ концевую точку выходящего из х* поднятия этой геодезической в им, мы получаем вложение Гм> —> 8М<; рассматривая концевые точки начинающихся в ¿с*

поднятий петель, представляющих элементы из , мы получаем вложение Н : —> 3М), которое продолжается до непрерывного отображения Н : —> (если М компактна, то Н также является вложением). Группа классов отображений МСв (М,дМ) естественным образом действует на пространствах Рм>, Гм< и 8М>, причем вышеописанные отображения эквивариантны по отношению к этим действиям. Пространства ^м,! > и канонические отображения между ними детально описаны в §3.1.

Трехуровневое пространство (Гм>, Гм>, ) обладает богатой структурой, которая и изучается в главе 3. Мы уделяем основное внимание тому, какую интерпретацию структуры и отношения между элементами того или иного пространства тройки (Рм<, ГМ(, БМ1) (как то: естественный циклический порядок на множестве точек окружности, групповая структура в Рм , отношения простоты и пересечения на геодезических) получают в других пространства тройки и как эти структуры взаимодействуют.

В §3.2 дается описание согласованных циклических и линейных порядков на пространствах , Гм< и . Циклический порядок на , индуцируемый описанным выше вложением К : ¥хи —> , называется геометрическим. Этот порядок инвариантен и по отношению к действию РМ) на себе левыми сдвигами, и по отношению к естественному действию на Рм< группы МСС (М,дМ). Мы также вводим на Б^ геометрический линейный порядок, определяя его как тот из линейных порядков на согласованных с геометрическим циклическим порядком, в котором тривиальный элемент группы минимален.

В §3.3 изучаются линейный и циклический геометрические порядки на группе . Мы доказываем ряд необходимых нам в дальнейшем свойств этих порядков.

В §3.4 на пространствах Гм<, Гм< и Бм> вводятся и изучаются согласованные операции спаривания гк В каждом из трех указанных пространств операция гп сопоставляет каждой упорядоченной паре элементов некоторое подмножество фундаментальной группы , которое мы называем множеством типов пересечений. Операция гЬ имеет геометрическую природу и наиболее естественно определяется для пар геодезических из Гм<. Родственная конструкция рассматривалась В. Г. Тураевым и О. Я. Виро24.

В §3.6 речь идет о типах простых замкнутых кривых и петель на поверхности. Вводится ряд вспомогательных определений.

В §3.7 доказывается одна лемма о взаимном расположении двух бесконечных геодезических лучей на гиперболической поверхности.

24 В. Г. Тураев, Пересечения петель в двумерных многообразиях, Матем. сб. 106(148):4(8) (1978), 566-588; В.Г. Тураев, О. Я. Виро, Пересечения петель в двумерных многообразиях. II. Свободные петли, Матем. сб. 121(163):3(7) (1983), 359-369.

Приведем подробнее содержание параграфа 3.5, где изучается структура подмножества простых геодезических в вышеописанном пространстве Г„..

Бесконечные простые геодезические из ГМ( классифицируются по виду их предельных множеств. В главе 2 работы показано, что предельное множество 1лт(£) у бесконечной простой геодезической £ е Тки либо пусто, либо является простой замкнутой геодезической, либо представляет собой минимальную совершенную геодезическую ламинацию. Если 1лт(£) пусто, то £ уходит в прокол; в этом случае мы говорим, что £ — простая уходящая в прокол геодезическая. Если 1лт(£) — простая замкнутая геодезическая, то £ спиралевидно сходится к 1лт(£); в этом случае мы называем £ спиралевидной геодезической. Если Ыт(£) — совершенная ламинация, будем говорить, что £ — совершенная геодезическая.

Для петли 7 £ ГМ) и числа к е 2 \ {0} мы обозначаем через -)к петлю из Гм<, представляющую элемент Vк, где V — элемент из тг\{М,х4), представленный петлей 7. В предыдущих параграфах работы показано, что для любой петли 7 € Гм> последовательность {чк}кеп сходится к некоторой точке прямой Гм<, т. е. к некоторой геодезической из Гм>; эта геодезическая обозначается через 7+°°.

Следствие (3.5.2). 1. Если простая петля 7 € Гм< не стягиваема к проколу, то геодезическая 7+0° 6 Гм> проста и спиралевидна, а если стягиваема, то 7+0° проста и уходит в прокол.

2. Если простая бесконечная геодезическая £ € Гм> спиралевидна, то имеется единственная простая петля 7 € такая, что £ = 7+0°, а если £ уходит в прокол, то имеются ровно две простые петли 71,72 € Гм. такие, что £ = 7^°° = 7^°°; при этом Ъ=Ъ1-

Для петли 7 е мы обозначаем через /7 открытый интервал25 прямой Гм>, ограниченный «точками» 7 и 7+0°.

Предложение (3.5.5). На прямой ГМ( интервалы семейства

{1-у | 7 — простая петля из Гм<}

попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством всех не являющихся простыми геодезических из Гм>.

Предложение 3.5.5 показывает, что множество всех не являющихся простыми геодезических в Гм< открыто (будучи объединением открытых интервалов), а множество всех простых геодезических в соответственно, замкнуто. Этот факт имеет ясную геометрическую интерпретацию.

25 Напомним, что пространство Гм> снабжено топологией прямой; соответствующие подмножества этой прямой мы называем интервалами.

Теорема (3.5.7). Пусть М„ = (М,х*) — ориентированная гиперболическая поверхность класса 9Я£ с отмеченной точкой х, £ дМ, TMt — пространство всех ориентированных геодезических на М* с началом в х*, Е*^ — множество всех простых совершенных геодезических из Гм<) а Ем — множество всех тех простых спиралевидных геодезических из , которые не сходятся к дМ. Предположим, что внутренность int(M) не гомеоморфна сфере с тремя проколами. Тогда:

1. Дополнение Гм> \ Е* ^ всюду плотно в Гм<, а его компоненты связности являются компактными невырожденными интервалами.

2. Множество Е^ совпадает с множеством концевых точек компонент из П, х Е„, .

М» м*

3. Множество Е* t U Е^ замкнуто и нигде не плотно в Гм<, не имеет изолированных точек и не ограничено ни с одной из сторон.

4. Во внутренности произвольной компоненты дополнения Ги< \ Е* содержится либо ровно две, либо ровно четыре простых петли и не более двух бесконечных простых геодезических.

Глава 4. Действия группы классов отображений поверхности

Приведем одну из ключевых конструкций главы 4, дающую некоторые из рассматриваемых в работе действий группы классов отображений поверхности с краем на прямой и окружности.

Пусть М — гиперболическая поверхность класса О» — одна из компонент края дМ. Тогда универсальное накрывающее UM поверхности М является гиперболическим по Громову пространством, его гиперболическая граница cLUM гомеоморфна канторову множеству, гиперболическая компактификация UM := UM U <9<„UM гомеоморфна замкнутому двумерному диску, а край SM := 9UM = 3UM U 3<)0UAi гомеоморфен окружности26.

Пусть I» — одна из компонент края d\JM, накрывающая компоненту О,. Тогда у произвольного гомеоморфизма ф s Homeo(М,дМ) имеется единственное поднятие ф :— фи в Uw, тождественное на I»; это поднятие единственным образом продолжается до гомеоморфизма ф : UM —* UM, а ограничение полностью определяется классом [ф] € MCQ(M,dM) и от

26 У этой конструкции имеется наглядная реализация: заметим, что UM изометрично вкладывается в гиперболическую плоскость Н2; отождествим UM с подмножеством в Н2; при этом край 3UM превращается в счетный набор попарно непересекающихся геодезических в Н2, дополнение Н2 ч UM является объединением попарно непересекающихся открытых гиперболических полуплоскостей, а граница переходит в множеством

предельных точек подмножества UM С Н2 на абсолюте.

выбора представителя ф € [ф] не зависит. Это дает нам действие на окружности _

As : MCG(M, дМ) - Homeo+(SM) {\ф} ^ ф\вм).

Действие As тождественно на дуге I, (и на ее замыкании clos(I»)), что дает нам действие

AR : MCG(AÍ, дМ) -» Homeo+(RM) ([ф] ^ ф\лм)

на гомеоморфной прямой дуге RM := SM \ clos(I*) окружности SM.

Действия As и AR точны.

Оказывается, действие AR накрывает еще одно действие группы MCG(M, дМ) на окружности: рассмотрим те скольжения универсального накрывающего UM, которые переводят I, в 1«; эти скольжения образуют бесконечную циклическую группу и индуцируют на RM некоторый набор гомеоморфизмов, которые мы называем целыми сдвигами на RM; факторизация дуги RM по этим целым сдвигам дает гомеоморфное окружности пространство sM, а действие AR коммутирует с целыми сдвигами и индуцирует тем самым действие

As : MCG(М, дМ) -> Нотео+(вм).

Приведенная конструкция позволяет также построить мономорфизм группы MCG(M, дМ) в группу27 Hómeó+(S1). Действительно: произвольный гомеоморфизм l между окружностями sM и S1 := R/Z поднимается до гомеоморфизма I между их универсальными накрывающими RM и R. При этом гомеоморфизме целые сдвиги прямой RM соответствуют целым сдвигам прямой R. Гомеоморфизм I переносит действие AR на прямую R, превращая его в действие I, о AR : МСG(M,dM) -* Homeo+(R). Поскольку АЕ коммутирует с целыми сдвигами на RM, действие о AR коммутирует с целыми сдвигами на R. Таким образом, ¿* о AR есть гомоморфизм из МСG(M, дМ) в Hóíneb+CS1).

Построенный гомоморфизм MCG(М,дМ) —* Homeo+(S1) позволяет определить на группе MCG(M,вМ) инвариант и :— им,о., называемый закрученностъю вдоль компоненты О». Закрученность определяется как композиция

w := т о lt о Ar : MCG(M, дМ) -> R, где т : H6mcó+(SI) —► R — число переноса Пуанкаре28.

27 Группа Hóméó+(S1) по определению состоит из гомеоморфизмов прямой, коммутирующих с единичным сдвигом.

28 Напомним, что для элемента / е Hóméó-^S1) число переноса т(/) определяется как предел

т(Л := hm —^-= hrn —¡—,

v ' k—*oo k k-><x> k

где г 6 R — произвольное (от выбора г число переноса не зависит).

Глава 5. Косы

Глава 5 посвящена косам, группам кос и преобразованиям кос.

§5.1 содержит классические определения и факты из теории групп кос. Приведем некоторые из них, фигурирующие далее в формулировках результатов. Группа кос Артина ранга п € N \ {1} определяется копред-ставлением

Вп := (сь • • •,&п-1 | = |г — з\ ^ 2; а^а^сп = а^а^ы).

Группа В\ тривиальна. Элементы групп . Вз, ... называются косами, а образующие о* — артипоескими образующими. Косы из Вп, п е К, называют косами индекса (или ранга) п. Класс сопряженности косы /3 € Вп обозначается через (3. Для произвольных то ^ п € N вложение Вт —► Вп, отправляющее ^ € Вт в сг{ е Вп (г б {!,...,т — 1}), называется каноническим. При фиксированном 71 € N подгруппа в ВП1 порожденная образующими {<Т| | г < г ^ з -1}, где г,« б N и г ^ в < п, обозначается через -В[г;(В[г.а] = В3-Т+1). Подгруппа В[\_4] обозначается через Вод. Через £ обозначается эпиморфизм из Вп в симметрическую группу 5„, переводящий <71 в перестановку (г, г+1). Гомоморфизм Е : Вп —> 5„ С дает действие группы Вп на множестве натуральных чисел. Для косы /3 образ числа г б N под действием перестановки £(/3) обозначается через /3(г). Ядром эпиморфизма £ : Вп —► 71 С ЭД, является группа крашеных кос Рп. Для чисел г < ^ € Ш полагаем

ау := <701+1 ■ • ■ О;2-1^7-2"'' аГ+1сгГ1-

Набор {а^, 1 ^ г < з ^ п} порождает Рп. Мы называем элементы ау образующими Маркова. Коса

Ап ■= {<71<72 ■ ■ ■ СГп-1){<7Ю2 ■ ■ ■ о„-2) ... (0102) (<71) е Вп

называется фундаментальной. При п ^ 3 коса € Вп порождает центр группы Вп- Гомоморфизм Вп —> Z) отправляющий все артиновские образующие в 1, обозначается чедэез ехр и называется экспоненциальной суммой. Класс сопряженности /3 косы /? индекса п называется расщепи-мым, если для некоторого г е {1,... ,п — 1} в /3 найдется коса из множества В[Т\В\г+1:„].

В §5.2 рассматривается стандартная геометрическая интерпретация кос и связанный с ней классический способ представления (изотопических типов) ориентированных узлов и зацеплений в К3 с помощью кос. Сопряженные косы представляют один и тот же класс зацеплений. Согласно теореме Александера, для любого ориентированного зацепления найдется представляющая его коса. В §5.2 также приводятся некоторые сведения из теории узлов и зацеплений.

§5.3 посвящен преобразованиям кос. Под преобразованиями кос понимаются частично определенные многозначные отображения на множестве В классов сопряженности групп кос всевозможных рангов. Преобразование называется допустимым, если связанные им классы представляют одно и то же зацепление. Если преобразование $: В —> В определено на классе /3, то говорят, что 3 применимо к (3 или что /3 допускает преобразование 5 (в определенных случаях для краткости мы говорим также, что (3 допускает если а € ЪФ), то говорят, что а получается из /3 преобразованием

Наиболее известными преобразованиями кос являются введенные А. А. Марковым стабилизация и дестабилизация. Положительной стабилизацией называется преобразование, применимое к любому классу сопряженности и переводящее класс /3 индекса п € N в класс а индекса п + 1 в том случае, если в /3 найдется коса 7 такая, что У<т„ е 2, где 7' есть образ косы 7 при каноническом вложении Вп —* Вп+1- Преобразование, переводящее класс сопряженности косы 7 (7 е Вп, п 6 М) в класс сопряженности косы Уст"1 е Вп+1, называется отрицательной стабилизацией. Преобразования, обратные положительной и отрицательной стабилизациям, называются, соответственно, положительной и отрицательной дестаби-лизациями. [Де)стабилизацией называется объединение29 положительной и отрицательной (де)стабилизаций.

Теорема (Марков). Два класса сопряженности кос представляют одно и то же зацепление в том и только в том случае, когда они связаны цепочкой стабилизаций и дестабилизаций.

В числе прочих мы рассматриваем введенные Бирман и Менаско преобразования рокировки30 и переворота. Пусть а, /3 — две косы индекса п ^ 2. Говорят, что класс а получается из /3 рокировкой, если найдутся 71,72 такие, что 71^-172^1 6 Д и 71^-172^-1 € а. Говорят, что

класс (3 косы /3 е Вп, п > 2, допускает переворот, если ¡3 содержит косу из множества

В работе также вводятся преобразования 2-стабилизации и 2-дестаби-лизации. Приведем понятие допустимости 2-дестабилизации. Класс ¡3 косы /3 € Вп, п ^ 4, допускает 2-дестабилизацию, если (3 содержит косу из множества

3<т£_2 (<5 е {+1,-1}). Кроме того, в §5.3 вводится понятие трафаретных преобразований кос.

29 Здесь имеется в виду естественная операция объединения на множестве частично определенных многозначных отображений.

30 Русский термин «рокировка» предложен И. А. Дынниковым.

В §5.4 вводится серия целочисленных инвариантов сопряженности в группе кос Вп (п € N). Определим на группе кос Вп семейство отображений

Xij : Вп Z, где г, j 6 N,

положив

г . / р если i1"'= + !}; I 0 в противном случае.

и

Xitj{aß) = Хтмл(а) +ХМ. Для произвольного А; е Z определим отображение

: Вп -» Z,

положив31

ад) := £ (1)

{(ij) I ^(¿)=Л

Предложение (5.4.4). Для любого к 6 Z отображение Хк : -» Z является инвариантом сопряженности в группе кос.

Инварианты используются в §5.5 в доказательствах. В §5.5 исследуется вопрос о ^мощности, а точнее — о конечности либо бесконечности множеств @(ß) и Э(/3) для косы ß е Вп, где &(ß) (соотв., Э(/3)) — множество всех тех классов сопряженности кос индексов (n + 1) (соотв., (п — 1)), которые получаются из класса ß стабилизацией (соотв., дестабилизацией). Доказываются следующие теоремы:

Теорема (5.5.3). Пусть коса ß индекса ^ 3 представляет узел32 (т. е. од-нокомпонентное зацепление). Тогда множество ©(/?) бесконечно33.

Теорема (5.5.6). Пусть коса ß представляет узел и имеет нечетный индекс, а класс ß допускает 2-дестабилизацию. Тогда множество 5Э(/3) бесконечно.

31 Если для косы ß, числа к и индексов inj выполняются и равенство ßk(i) = j, и равенство ßk(j) = ¿, то в сумму (1) в качестве слагаемых входят и Xij(ß), и совпадающий с ним Xj^(ß).

32 Данное требование равносильно тому, что перестановка 2(/3) является циклом длины п, где п — индекс косы ß.

33 Из теоремы 5.5.3 следует, в частности, что для произвольного узла К, представленного косой индекса к ^ 3, в группе Вп, п > к, найдется бесконечно много попарно несопряженных кос, представляющих К.

Отметим, что существование кос с бесконечным множеством 3) (/?) при первичном рассмотрении представляется неожиданным, поскольку дестабилизация, уменьшая индекс, должна, казалось бы, косу «упрощать». Теорема 5.5.6 позволяет для любого узла К строить примеры представляющих К кос с бесконечным множеством Э(/3). Действительно, возьмем произвольную представляющую К косу Р нечетного индекса п > 3; тогда коса /7+2 :— из ВпЛ 2 также представляет К, имеет нечетный индекс и 2-дестабилизируема, так что множество 33(/?+2) бесконечно. Одним из наиболее простых примеров кос, класс сопряженности которых дестабилизируется бесконечным числом различных способов, является представляющая тривиальный узел коса ахо^о^а^а^ог из В$.

В §5.6 изучается представление группы кос Вп (п > 2) в виде группы классов (тождественных на крае) отображений диска с п проколами. Взяв ориентированный снабженный гиперболической метрикой класса диск Д, с п проколами и отмеченной точкой х„ 6 сШ„ и зафиксировав изоморфизм между группой кос Вп и группой классов отображений МСС(Дг,ЗД,), мы отождествляем Вп с МСО(£>п,сШ„) и получаем тем самым возможность применить полученные в главах 2-4 результаты к группе кос. В частности, мы получаем набор связанных эквивариантными отображениями действий группы кос на отвечающих поверхности Д» одномерных многообразиях, на пространстве геодезических на Оп, а также на фундаментальной группе РСп := 7гх(М,х*) (которая изоморфна свободной группе ранга п). В мы выбираем свободную систему образующих (иь..., ип), с которой действие Вп на превращается в представление Артина. Напомним, что представление Артина точно и задается следующими соотношениями:

' щ, если г ф-3,3 + 1;

<У]{щ) — и»+ь если г = з\

если г — з + 1.

В §5.7 рассматривается перенос классификации Нильсена-Тёрстона с группы МСС(Б„, дВп) на группу кос и изучаются свойства кос, относящихся к различным типам. В классификации Нильсена-Тёрстона каждый гомеоморфизм поверхности относится к периодическому, приводимому либо псевдоаносовскому типу. Тип косы из Вп определяется как тип соответствующих ей гомеоморфизмов диска £)„.

Предложение. В группе кос Вп множество кос периодического типа совпадает с объединением классов сопряженности всевозмоокных степеней элементов 5п :— ... сгп-1 и 8т := оу5п.

В §5.7 также вводятся понятия сателлитов и компаньонов для кос приводимого типа. Пусть р е Вп — приводимая коса, С С О» - некоторая

геодезическая приводящая система для /? (т. е. для отвечающих косе ¡3 гомеоморфизмов диска Д,), М — компонента поверхности £>„ \ С, содержащая край дВп. Ясно, что М гомеоморфна диску с т < п проколами, а гомеоморфизмы соответствующего косе (3 класса в МСС(£>П, дБп) индуцируют некоторый класс д в группе МСС(М,дМ) ~ МСС(£)т, сШт). Пусть а — класс сопряженности в группе кос Вт, отвечающий элементу д. Будем говорить, что класс а является компаньоном для класса ¡3 (отвечающим приводящей системе С), а /3 является сателлитом для 2. Если коса /3 относится к приводимому непериодическому типу, то у нее имеется каноническая приводящая система; отвечающий этой системе компаньон мы называем главным компаньоном для ¡3.

В классе кос приводимого типа мы выделяем класс сложносостав-ных кос — в алгоритме распознавания дестабилизируемости кос (глава 7) этот класс рассматривается отдельно. Пусть /3 б Вп — приводимая коса, С С Бп — компонента геодезической приводящей системы С косы /3. Компонента С называется крашеной, если (3{С) = С. Косу мы называем сложносоставной, если она относится к приводимому непериодическому типу, нерасщепима, а в ее канонической приводящей системе есть крашеные компоненты.

Глава 6. Псевдохарактеры групп кос

В главе 6 изучаются псевдохарактеры групп кос. В §6.1 приводятся общие сведения из теории псевдохарактеров групп. Пусть С — произвольная группа. Функционал <р : -* М называется квазихарактером (или квази-морфизмом) с дефектом С, если выполняется следующее условие:

вир \ipigig2) - ¥>Ы1 = с <

визг^О

Если, кроме того, выполнено условие

V г 6%, дев: <р(д2) = Мд),

то <р называют псевдохарактером (или псевдоморфизмом). Как хорошо известно, каждый псевдохарактер является инвариантом сопряженности. Псевдохарактеры группы б образуют вещественное линейное пространство; это пространство обозначается через ТХ(С). Поскольку каждый гомоморфизм из С? в М является псевдохарактером с дефектом 0, пространство Нот(С,Е) вещественнозначных гомоморфизмов группы в является подпространством в ТХ{С).

В §6.2 вводится понятие ядерных псевдохарактеров групп кос, в терминах ядерных псевдохарактеров формулируются и доказываются признаки допустимости преобразований на классах кос и признаки простоты

представленных косами зацеплений. При п ^ 3 пространство псевдохарактеров VX(Bn) имеет бесконечную размерность. Пространство Hom(B„,R) при п > 2 имеет размерность 1. Поскольку В^ с* Z, пространство VX(B2) совпадает с Hom(-B2,R). Единственным (с точностью до умножения на константу) вещественнозначным гомоморфизмом (т.е. псевдохарактером с нулевым дефектом) для группы кос является экспоненциальная сумма. Другие описанные в литературе псевдохарактеры для Вп — закрученность (определение приведено ниже) и псевдохарактеры, соответствующие сигнатурам представленных косами зацеплений (сами сигнатуры являются квазихарактерами34).

Определение. Псевдохарактер tp : Вп -* R группы кос Вп называется ядерным, если ip принимает нулевое значение на всех косах подгруппы £[„_!] (которая, напомним, порождается артиновскими образующими о\,... ,сгп-2 и изоморфна группе кос B„_i).

Лемма (6.2.6). Псевдохарактер группы кос является ядерным тогда и только тогда, когда он принимает нулевое значение на каждой расщепи-мой косе.

Теорема (6.2.7, 6.2.9). Пусть п ^ Ъ, пусть tp : Вп -* R — ядерный псевдохарактер с дефектом Cv. Пусть /3 6 Вп и пусть \<р{Р)\ > Cv. Тогда класс сопряженности ¡3 не допускает ни дестабилизации, ни рокировки. Если \<р(/3)\ > 2Cv, то ¡3 не допускает переворота.

Теорема (6.2.8). Пусть n ^ 3 и пусть tp : Вп —► R — ядерный псевдохарактер с дефектом Cv. Пусть ¡3 6 Вп и пусть \<p{J3)\ > Cv. Тогда коса (3 представляет простое {т. е. нетривиальное, несоставное и нерасщепи-мое) зацепление35.

В §6.2 также представлена комбинаторная формула, задающая проекцию пространства псевдохарактеров VX(Bn) на подпространство ядерных псевдохарактеров. Формула использует специальную систему эндоморфизмов «высвобождения нитей» в группе крашеных кос Рп- Мы обозначаем эти эндоморфизмы RELy : Рп —Рп, J с {1,..., п}. (Система включает

34 См. J.-M. Gambaudo, É. Ghys, Braids and signatures, Bull. Soc. Math. France 133 (2005), no. 4, 541-579.

35 Зацепление L С S3 называется тривиальным, если найдется сфера S2 С S3 такая, что L С S2. Зацепление L С S3 называется расщепимым, если найдется сфера S2 С S3 s L, не ограничивающая шар (в S3 s L). Зацепление Le S3 называется составным, если найдется сфера S2 С S3, которая пересекается с зацеплением L в двух точках, разбивая его на два зацепления («тэнгла»), ни одно из которых не является незаузленной дугой. Зацепление называют простым, если оно не является ни составным, ни расщепимым, ни тривиальным.

2™ эндоморфизмов, — по числу подмножеств множества {1,... ,п}.) Определение гомоморфизмов ИЕЬу дается в форме следующего утверждения о существовании.

Предложение (6.2.11). В группе крашеных кос Рп с системой образующих Маркова {ау, 1 ^ г < ] < п} для произвольного подмножества 3 с {1,...,тг} существует единственный гомоморфизм ШИ^ : Рп —► Рп, удовлетворяющий следующему условию: для любых г < ] € {1,..., п}:

Определение. Для псевдохарактера ф: Вп~* R определим функционал Тф-. Вп~* R, положив для ß е Вп

(Здесь сумма берется по всем подмножествам множества {1,...,тг}; коса RELj(/3n!) определена, поскольку коса ßn- является крашеной.)

Теорема (6.2.13). 1. Для произвольного псевдохарактера ф е VX(Bn) функционал Тф является ядерным псевдохарактером.

2. Если псевдохарактер гр € VX(Bn) — ядерный, то Т^ = ф.

В §6.5 определяется вещественнозначный инвариант для кос, который мы называем закрученностъю, и доказывается ряд его ключевых свойств. Инвариант эффективно вычислим и имеет прозрачный геометрический смысл. На группе кос фиксированного индекса закрученность является ядерным псевдохарактером. Этот инвариант тесно связан с порядком Деорнуа (и порядками терстоновского типа вообще). В терминах закрученности устанавливаются ограничения на возможность проведения дестабилизации Маркова и преобразований Бирман-Менаско на классах сопряженности кос, составляющие содержание четырех гипотез Менаско из сборника проблем Кирби30, выводятся достаточные условия простоты представленного косой зацепления.

36 R.Kirby (Ed.), Problems in low-dimensional topology, Geometric Topology (Athens, GA, 1993), AMS/IP Stud. Adv. Math., vol. 2.2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, pp. 35-473.

RELj(ßij) =

1, если г € J или j € J; aij, если {¿, j} П J = 0.

Определение. В §5.6 для произвольного натурального п ^ 2 описан изоморфизм X: Вп~* МСС(Дг, сЮ„) между группой кос Вп и группой классов тождественных на крае отображений ориентированного диска Л„сп проколами. В §4.5 для группы классов отображений МСС(М,дМ) ориентированной гиперболичной поверхности М и компоненты ее края С* с дМ описан инвариант шм,о. ■ МСС(М, дМ) —► К (закрученность вдоль компоненты О,). Закрученность ш :— шп ио группе кос Вп определяется как композиция

Теорема (6.5.2). На группе кос Вп, п ^ 3, закрученность является ядерным псевдохарактером с дефектом 1.

Следствие (6.5.3). Пусть п > 3, /3 € Вп. Тогда:

1. Если |с^(/3)| > 1, то класс р не допускает ни дестабилизации, ни рокировки.

2. Если \и{Р)\ > 2, то класс р не допускает переворота.

Из следствия 6.5.3 вытекает справедливость четырех гипотез Менаско из сборника проблем Кирби, причем некоторых из них — в усиленном виде (за исключением гипотезы о периодических косах в части, касающейся переворота, — как показано в [1], эта часть гипотезы ошибочна).

Следствие (6.5.4). Пусть п ^ 3, ¡в е Вп. Если |ш(/3)| > 1, то Р представляет простое (т. е. нетривиальное, несоставное и нерасщепимое) зацепление.

Лемма (6.5.7). Закрученность всякой расщепимой косы равна нулю.

Лемма (6.5.9). Для любых Р\,Рг € Вп и произвольной артиновской образующей о* 6 Вп {г е {1,... ,п — 1}) выполняется неравенство

Теорема (6.5.11). Если класс сопряженности кос р является сателлитом класса а, то ы{Р) = и>(а).

Теорема (6.5.12). Закрученность любой косы есть рациональное число. Причем

V до„ о I: Вп-> Ж,

Косу Р е Вп называют положительной по Деорнуа, если для некоторого г е {1,..., тг — 1} она может быть записана словом в образующих {<т,+1, о,*1,,..., ^п-х} с обязательным участием сг/1. Для Р\,Р2 € Вп пишем ■< р2, если коса рх1р2 положительна по Деорнуа. Отноше-ше -< является линейным левоинвариантным порядком на группе кос37 е Вп: Р\ -< Ря Ф=Ф- аРх -< ар2) и носит название порядок Цеорнуа. Как известно (см. [3]), для произвольной косы /? е Вп найдется очевидно, единственное) г е 2 такое, что

)бозначим такое г (для данной р) через [Д|в. Георема (6.5.18). Для любой косы р верно:

Ш{Р)= 1ЬП

&-»оо /С

Теорема (6.5.20). 1. На группе кос В„ (п > 1) закрученностъ является единственным (с точностью до умножения на положительную константу) нетривиальным псевдохарактером, принимающим неотрицательные значения на всех косах, положительных по Деорнуа.

2. На группе кос Вп (п > 1) закрученностъ является единственным (с точностью до умножения на положительную константу) нетривиальным ядерным псевдохарактером, для которого выполняется свойство из леммы 6.5.9.

На практике закрученность косы может быть вычислена, например, с омощью известных алгоритмов сравнения кос в порядке Деорнуа: указание алгоритмы позволяют вычислять в группе кос вышеописанный функ-ионал [■ ]о, а как видно из следующего предложения, этого достаточно гся нахождения закрученности.

[редложение (6.5.22). Пусть ß € Вп. Тогда

W(ß)} =

N > N

nQw,

)e N = n2 — n + 1, а [■, •] С R — отрезок вещественной прямой.

37 Cm. P.Dehomoy, I.Dynnikov, D.Rolfsen, B. Wiest, Why are braids orderalle?, Panor. •nthfeses, vol. 14, Soc. Math. France, Paris, 2002.

Глава 7. Алгоритм распознавания дестабилизируемости

В главе 7 описывается алгоритм, определяющий, допускает ли класс сопряженности /3 заданпой косы /3 дестабилизацию. Точнее, мы описываем более информативный алгоритм, распознающий положительную дестаби-лизируемость. Чтобы выяснить, допускает ли /3 отрицательную дестабилизацию, достаточно применить алгоритм к обратной косе /З-1, поскольку, как следует непосредственно из определения дестабилизации, класс /3 допускает отрицательную дестабилизацию в том и только в том случае, когда /З-1 допускает дестабилизацию положительную.

Алгоритм строится на основе описанного в главе 5 представления группы кос Вп в виде группы классов отображений МСС(£>П, сШп) проколотого диска Д, и возникающих отсюда согласованных действий группы кос на различных связанных с поверхностью Д, пространствах; эти пространства изучаются — в общем случае произвольной гиперболической поверхности класса — в главе 3 работы, а действия на них группы классов отображений — в главе 4. Непосредственно в работе алгоритма участвуют лишь элементы свободной фундаментальной группы РСя := ^(Д^х*), х* е д0„, и действие группы кос на РСп (действие Артина), остальные же пространства и действия на них нужны для сопутствующих доказательств.

В §7.1 вводится понятие решений для косы, в терминах которых формулируется и доказывается критерий положительной дестабилизируемости класса сопряженности кос. Элемент ь € РСп называется решением3* для косы ¡3 е Вп, если V ф /3(г>), а на Вп найдутся представляющие элементы у и (3{ь) и пересекающиеся только в точке х, петли вида -у : [0,1] —> Д, (•■у(О) = 7(1) = х») с 7-1(2;,) = {0,1}. Решение V для косы /3 назовем положительным, если V -< Р(и) в геометрическом порядке39 па Рдп. Если решение и является простым элементом (т.е. если V представим простой петлей на Д), мы говорим, что V — простое решение.

Теорема (7.1.10). Пусть р € Вп. Тогда следующие условия равносильны:

1) класс /3 допускает положительную дестабилизацию; и) у р найдется положительное решение; ш) у Р найдется положительное простое решение.

38 Для этого определения важно, что х* лежит на крае сШп и что рассматриваются петли с = {0,1}, — пренебрежение любым из этих условий изменило бы смысл определения.

39 Геометрический порядок на фундаментальной группе ориентированной поверхности с краем вводится в §3.2; порядок зависит от ориентации поверхности, которая в данном случае выбирается таким образом, чтобы для произвольного V € выполнялось неравенство V =<; стДи).

редложение (7.1.9). У произвольной косы /3 е Вп и множество по-ожительных, и множество простых решений для р инвариантны под зйствием элементов централизатора косы /3. В частности, указанные тожества инвариантны под действием входящих в этот централиза-юр кос Р и .

[емма (7.1.6). Существует алгоритм, который по заданным косе Р € '„ и элементу у £ ГВп определяет, является ли у положительным решением для р.

В §7.2 изучается вопрос о дестабилизируемости классов кос периодиче-сого типа. Критерий дестабилизируемости из §7.1 и признаки недестаби-13ируемости из §6.5 дают следующую теорему.

еорема (7.2.1). Пусть коса Р е Вп относится к периодическому ти'/. Тогда класс р допускает положительную дестабилизацию в том и олько в том случае, когда

О < ехр(Р) <п2 - п.

В §§7.3-7.5 доказывается ряд вспомогательных технических утвержде-1й, вытекающих из результатов, полученных в предыдущих главах, и ¡обходимых для построения алгоритмической процедуры из §7.6 и до-□ательства ее свойств.

В §7.6 конструируется алгоритмическая процедура (фундаментальный коритм), позволяющая для заданной косы Р € Вп за конечное число ша-в проверять имеющие определенный (зависящий от р) вид бесконечные «множества элементов группы ГСп на наличие решений для р. Указание подмножества выпуклы по отношению к геометрическому порядку ^ I РСп и называются Р-допустимыми интервалами.

В §7.7 изучается вопрос о дестабилизируемости классов кос псевдоано-вского типа. Здесь доказывается, что для произвольной псевдоаносов-:ой косы р е Вп в ГПп найдется конечный набор Ер /3-допустимых ин-рвалов, обладающий тем свойством, что в случае, когда к Р применима шожительная дестабилизация (что в силу критерия из §7.1 равносильно ществованию в РГп простых положительных решений для /3), некото-ге из простых положительных решений для /3 содержатся в интервалах ,бора Нд. В §7.7 приводится алгоритм, вычисляющий по заданной псев-¡аносовской косе /3 конечный набор /3-допустимых интервалов, обладаю-ай указанным свойством. В комбинации с процедурой из §7.6 это дает горитм, распознающий положительную дестабилизируемость класса со-1яженности псевдоаносовской косы.

В §7.8 проводятся вспомогательные построения, необходимые для распознавания положительной дестабилизируемости приводимых сложносо-ставных классов кос.

В §7.9 изучается вопрос о дестабилизируемости классов кос приводимого типа. В частности, доказываются следующие теоремы.

Теорема (7.9.1). Пусть /3 — приводимая коса. Предположим, что у класса (3 имеется компаньон а, допускающий положительную дестабилизацию. Тогда и ¡3 допускает положительную дестабилизацию.

Следствие (7.9.3). Класс сопряженности несложносоставной и нерас-щепимой косы приводимого непериодического типа допускает положительную дестабилизацию тогда и только тогда, когда его главный компаньон допускает положительную дестабилизацию.

В §7.9 также выводится критерий положительной дестабилизируемости для сложносоставных кос (теорема 7.9.4). Отметим, что вопрос о дестабилизируемости расщепимого класса сопряженности очевидно сводится к вопросу о дестабилизируемости его «частей» и что критерий из следствия 7.9.3 охватывает наиболее важный случай приводимых кос, представляющих узлы (а не многокомпонентные зацепления), поскольку узел не может быть представлен ни сложносоставной, ни расщепимой косой.

В §7.10 приводится подробная схема алгоритма, определяющего, допускает ли класс сопряженности /3 заданной косы ¡3 положительную дестабилизацию. На начальном этапе своей работы этот алгоритм распознает тип заданной косы в классификации Нильсена-Тёрстона, затем переходит к соответствующему подалгоритму — для периодического, псевдоаносовского либо приводимого (непериодического) случая, — в каждом из этих случаев распознавая положительную дестабилизируемость с помощью процедур, описанных в предыдущих параграфах главы 7.

Отметим, что развитая в работе техника применима не только к распознаванию дестабилизируемости, но и к распознаванию некоторых других преобразований кос, а также к задаче определения сильной неприводимости автоморфизмов сферы с проколами40.

40 Автоморфизм поверхности называется сильно неприводимым, если каждая существенная простая замкнутая кривая переводится этим автоморфизмом в кривую, пересекающую — даже после произвольной изотопии — свой прообраз. Насколько известно автору, проблема распознавания сильной неприводимости не решена ни для одной неэлементарпой поверхности.

Глава 8. Случайные блуждания в группе кос

Глава 8 посвящена изучению границ случайных блужданий на группах ; широкого класса, содержащего группы кос Артина и группы классов ображений поверхностей определенного типа.

Пусть G — счетная группа, ц — вероятностная мера на G (мера /х на-гвается допустимой, если ее носитель порождает G как полугруппу). оавьш случайным блужданием на группе G с распределением у, (или, роче, ц-блужданием) называется марковский процесс с пространством стояний G, переходной вероятностью P{g,h) = p,(g~lh) и начальным со-оянием в единице группы. Реализации этого процесса называются тра-ториями блуждания. Соответствующая процессу марковская мера на остранстве траекторий Gz+ обозначается через РИ. Граница Пуассона (или граница-выход) д-блуждания в группе G опре-ляется как факторпространство пространства траекторий (Gz+, Plt) по остовому отношению эквивалентности (эквивалентными считаются тра-гории, имеющие одинаковые «хвосты», т. е. с некоторых моментов вре-ни совпадающие), что не дает прямого способа описания этой границы, (ин из подходов к алгебраическому описанию границы Пуассона состоит том, чтобы строить границу как предельное пространство для нормаль-х форм случайных элементов группы, состоящее из бесконечных слов и конфигураций более общего вида41.

Пусть S — некоторое множество элементов группы G, порождающее G i полугруппу, S* — множество всех конечных слов в алфавите, симво-VIи которого являются элементы множества S. Нормальной формой в дше G называют отображение 9t: G —► S* такое, что pro9t = id¿, где — отображение естественной проекции из S* в G, переводящее слово w2...wk е S* в элемент wi-w2---wk е G. Говорят, что последователь-лъ {Vi}iez+ слов из S* сходится на бесконечности, если для любого е N найдется такое N € N, что для каждого j > N. длина слова V¿ звышает к и начальные подслова длины к у слов Vj a Vn совпадают. Го-эят, что нормальная форма УХ: G S* стабильна по отношению к ц-/жданию (или ц-стабильна), если для Рм-п. в. траектории г — {r¿}iga+ ¡ледовательность слов {Tt(r¿)}¿e2+ сходится на бесконечности. Нормаль-i форма называется стабильной, если она р-стабильна для каждой долимой меры ¡i.

Одним из главных результатов главы 8 является теорема о стабильно-[ нормальной формы Маркова-Ивановского в группе кос. Эта нормаль-I форма представлена в работе А. А. Маркова [Mark]42. Она основана на

1 См. А. М. Вершик, Динамическая теория роста в группах: энтропия, границы, меры, Успехи мат. наук 55:4 (2000), 59-128.

! А. А. Марков, Основы алгебраической теории кос, Тр. Матем. ин-та им. В. А. Сте-ва 16 (1945), 3-54.

-нормальном ряде43 группы крашеных кос, последовательные факторы в котором есть свободные группы убывающих рангов, и описывается следующим образом. Рассмотрим в группе кос

Вп = {(Г 1, • • • , <Тп-1 | C.Cj = CTj-CT», |¿ - j\ > 2; CTiCTi+lCi = <7¿+i<7i<T¿+l)

семейство элементов {s¿j, 1 < i < j < n}, где

Sj¿ := aj-ia-j-2 • • • Cj+icr?^"1! • • • <J~l2cr~lv

При m e {2,...n} элементы набора {sji, 1 ^ i < j < m} порождают в Bn подгруппу крашеных кос Рт. Множество {smi, 1 < г < га} порождает подгруппу Fm-1, изоморфную свободной группе ранга т— 1, которая является нормальной подгруппой в Рт. Подгруппа Р2 = F\ изоморфна Z. Для каждого к € {3,... п} подгруппа Рк является полупрямым произведением подгрупп Fk-i и Рк-\\

Рк — Рк-1 X Рк-1-

Таким образом,

Рп = Рп—1 х (F„_2 XI з х (Fn_4 >1 • • • х í\)))

и произвольный элемент 7 € Р„ единственным способом записывается в виде

7 = ln-iln-2 • • • 7271) где 7¡ €

Нормальной формой Маркова-Ивановского в группе крашеных кос Рп мы называем отображение

где Vi — приведенная запись элемента 74 е в образующих {s(+i1 ^ j < г +1} и обратных к ним. Группа Рп является в Вп нормальной подгруппой индекса n!. Пусть Пп с Вп — произвольный набор представителей классов смежности нормальной подгруппы Рп в Вп- Тогда произвольный элемент Р Е Вп единственным способом записывается в виде jpirp, где 7^ € Р„ и ир е П„. Нормальной формой Маркова-Ивановского в группе кос Вп мы

43 Теорему о нормальном ряде, как и теорему о нормальной форме, А. А. Марков снабжает в скобках ссылкой на А. Ивановского (А. Ивановский — аспирант А. А. Маркова, погибший во время Великой Отечественной войны). Этот нормальный ряд фигурирует в последующих работах по группам кос и у других авторов, но, по-видимому, впервые он появился в указанной работе, и мы поэтому используем термин «нормальная форма Маркова-Ивановского».

бываем отображение44

леорема (8.1.3). В группе кос Артина нормальная форма Маркова-Ива-овского является стабильной (по отношению к случайному блужданию любым допустимым распределением).

Из теоремы 8.1.3 вытекает, что гиперболическая граница <9jF„_i свободой подгруппы 1 С Вп является факторпространством границы Пуас-эна группы кос Вп. Довольно сложное комбинирование (которое в ра-эте не приводится) этого результата с результатами В. А. Каймановича Г. Мазура45 показывает, что в случае блуждания по допустимой мере с энечным первым моментом граница dFn_j дает всю границу Пуассона.

Теорема 8.1.3 выводится из следующей теоремы, применимой не только группам кос, но и к группам классов отображений некоторых поверхно-?ей.

еорема (8.1.2). Пусть счетная группа Н с нормальной свободной неа-жвой подгруппой F представима в виде полупрямого произведения подтипы F и некоторой подгруппы А (т. е. Н = F х А). Пусть, кроме ого, в F найдется нетривиальный элемент, неподвижный по отноше-м к действию подгруппы А. Тогда для п. в. траектории т = {п}¿ez+ = 'iOii}iei+. (где ж, € F и оц € А) правого случайного блуждания с продольным допустимым распределением ß последовательность {xi}iez+ .ементов из F сходится в гиперболической компактификации F U 8F к 'которой точке w(t) гиперболической границы 3F.

14 В вышеуказанной работе [Mark] при определении нормальной формы А. А. Марков жеируег некоторый специальный набор представителей классов смежности подгруп-: Рп в Вп. В нашем случае выбор представителей классов смежности значения не еет. Кроме того, в [Mark] используется отличный от принятого выше порядок для эмпонеит» нормальной формы: рассматривается запись косы /3 € Вп в виде

гбор порядка следования компонент в нормальной форме Маркова-Ивановского во огих вопросах, очевидно, не имеет сколь-нибудь существенного значения, в [Mark] гадок устанавливается, по-видимому, из соображений удобства записи, а, скажем, татье В. В. Вершинина Braids, their properties and generalizations (Handbook of algebra, . 4. North-Holland, Amsterdam, 2006, pp. 427-465) форма Маркова-Ивановского опивается с использованием именно выбранного нами порядка. В контексте стабильности бор порядка имеет значение: нормальная форма Зв является стабильной при правом дадании; нормальная форма З'в стабильной не является (ни при правом, ни при ле-л блуждании).

5 V. A. Kaimanovich, H.Masur, The Poisson boundary of the mapping class group, Invent. ,th. 125 (1996), 221-264.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1] А. В. Малютин, Упорядочения па группах кос, операции над замкнутыми косами и подтверждение гипотез Менаско, Геометрия и топология. 5, Зап. научн. сем. ПОМИ 267 (2000), 163-169.

[2] А.В.Малютин, Быстрые алгоритмы распознавания и сравнения кос, Геометрия и топология. 6, Зап. научн. сем. ПОМИ 279 (2001), 197-217.

[3] А. В. Малютин, Н. Ю. Нецветаев, Порядок Деорнуа на группе кос и преобразования замкнутых кос, Алгебра и анализ 15:3 (2003), 170-187.

[4] А.В.Малютин, Граница Пуассона-Фюрстенерга локально-свободной группы, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы. IX, Зап. научн. сем. ПОМИ 301 (2003), 195-211.

[5] А.В.Малютин, Закрученность (замкнутых) кос, Алгебра и анализ 16:5 (2004), 59-91.

[6] А. В. Малютин, О количестве замкнутых кос, получаемых в результате однократных стабилизаций и дестабилизаций замкнутой косы, Алгебра и анализ 18:6 (2006), 205-218.

[7] А. В. Малютин, Классификация действий групп на прямой и окружности, Алгебра и анализ 19:2 (2007), 156-182.

[8] А. М. Вершик, А. В. Малютин, Граница группы кос и нормальная форма Маркова-Ивановского, Изв. РАН. Сер. матем. 72:6 (2008), 105-132.

[9] А.В.Малютин, Псевдохарактеры групп кос и простота зацеплений, Алгебра и анализ 21:2 (2009), 113-135.

[10] А. В. Малютин, Операторы пространств псевдохарактеров групп кос, Алгебра и анализ 21:2 (2009), 136-165.

Другие публикации:

[11] А. V. Malyutin, Destabilization of closed braids, in «Surveys in Contemporary Mathematics», London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol.347, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007, pp. 82-131.

[12] А. В. Малютин, Признаки простоты зацеплений в терминах псевдохарактеров, Геометрия и топология. 10, Зап. научн. сем. ПОМИ 353 (2008), 150-161.

Подписано в печать 18.06.2009. Формат 60 х 84 '/„■,. Объем 2 пл. Тираж 100 экз. Заказ 9.

Отпечатано в ООО «КОПИ-Р»

191119, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, д.20 Тел.:(812)712-50-05

Введение

1 Группы гомеоморфизмов прямой и окружности

§ 1.1 О классификации действий групп на прямой и окружности

§1.2 Предварительные сведения.

§1.3 Дистальные действия •.

§ 1.4 Несколько лемм.

§ 1.5 Минимальные действия на прямой, не являющиеся ни проксимальными, ни дистальными

§ 1.6 Минимальные недистальные действия на окружности

§1.7 Минимальные проксимальные действия на окружности

§ 1.8 Доказательства классификационных теорем.

§ 1.9 Инварианты Пуанкаре.

§ 1.10 Леммы о гомеоморфизмах и перемежающихся парах

2 Поверхности и их автоморфизмы. Общие сведения

§2.1 Вспомогательные определения и сведения.

2.1-а Сведения из неевклидовой геометрии.

2.1-Ь Гиперболические пространства по Громову.

2.1-е Сведения из теории групп.

2.1-d Сведения из комбинаторной геометрии поверхностей

2.1-е Группы классов отображений.

§ 2.2 Универсальные накрывающие и их компактификации

§2.3 Кривые и геодезические.

§ 2.4 Геодезические ламинации и лучи.

§2.5 Действие автоморфизмов на геодезических.

§ 2.6 Классификация Нильсена-Тёрстона.

3 Структуры на поверхностях с краем

§3.1 Техническая подготовка: описание основных пространств

§ 3.2 Ориентация и порядки.

§ 3.3 Свойства геометрических порядков.

§3.4 Пересечения и простота элементов.

§ 3.5 Структура множества простых геодезических.

§ 3.6 Типы петель и замкнутых кривых

§ 3.7 Одна гомологическая лемма.

4 Представления групп классов отображений поверхностей

§4.1 Действия группы классов отображений на

§4.2 Действие группы классов отображений на малой идеальной окружности.

§ 4.3 Некоторые дополнительные конструкции.

§ 4.4 Действия отдельных гомеоморфизмов.

§ 4.5 Закрученность гомеоморфизмов поверхности.

5 Косы

§5.1 Группы кос

§ 5.2 Геометрические косы и представление зацеплений косами

§ 5.3 Преобразования кос.

§5.4 Л'-инварианты.

§ 5.5 О количестве классов сопряженности кос, получаемых в результате однократных стабилизаций и дестабилизаций одного класса сопряженности.

§5.6 Косы и автоморфизмы диска.

§5.7 Классификация Нильсена-Тёрстона для кос.

6 Псевдохарактеры групп кос

§6.1 Сведения из теории псевдохарактеров

§ 6.2 Псевдохарактеры групп кос.

§ 6.3 Трансфер псевдохарактеров.

§6.4 Высвобождение нитей: доказательство теоремы 6.2.

§6.5 Закрученность кос

7 Алгоритм распознавания

Марковской дестабилизируемости

§ 7.1 Критерий дестабилизируемости.

§ 7.2 Дестабилизируемость кос периодического типа.

§ 7.3 Отображения Ц.

§ 7.4 Несколько вспомогательных лемм.

§ 7.5 Еще одна вспомогательная лемма.

§ 7.6 Фундаментальный алгоритм.

§ 7.7 Специальные системы интервалов для псевдоаносовских кос.

§ 7.8 Флип-кривые и звенья косы.

§ 7.9 Дестабилизируемость приводимых кос.

§7.10 Алгоритм распознавания Марковской дестабилизируемости

8 Случайные блуждания в группе кос

§8.1 Введение.

§8.2 Группа кос и нормальная форма Маркова-Ивановского.

Определения.

§ 8.3 Случайные блуждания на группе. Определения.

§ 8.4 Случайные блуждания на группе. Леммы.

§ 8.5 Достаточный признак /л-проксимальности.

§ 8.6 Свободная группа. Определения.

§ 8.7 Свободная группа. Леммы.

§8.8 Доказательство теоремы 8.1.1.

§ 8.9 Теорема о выборочной сходимости

§ 8.10 Доказательство теоремы 8.1.2.

§ 8.11 Стабильность нормальной формы Маркова-Ивановского

Исследования автоморфизмов и групп (классов) автоморфизмов многообразий малой размерности формируют обширную, бурно развивающуюся область современной математики, находящуюся на стыке топологии, алгебры и теории динамических систем. Эта область охватывает изучение групп гомеоморфизмов прямой и окружности1, теорию автоморфизмов поверхностей и теорию групп классов отображений поверхностей, важнейшим частным случаем которых являются группы кос Артина2, — в силу чего указанная область тесно связана практически со всеми разделами маломерной топологии (в первую очередь — с теорией узлов и зацеплений), с дифференциальной и гиперболической геометрией, теорией ламинаций и теорией Тайхмюллера, с комбинаторной'и геометрической теорией групп, теорией упорядоченных групп, и даже с криптографией.

Автоморфизмам и группам автоморфизмов одно- и двумерных многообразий посвящены фундаментальные работы Клейна, Фрике, Пуанкаре, Гурвица, Дена, Данжуа, Александера, Нильсена, Артина, Кере-къярто, A.A. Маркова (мл.). Позже указанной проблематикой занимались В. Магнус, В. Бурау, Дж. Бирман, X. Цишанг, В. И. Арнольд, Г. А. Маргу-лис, У. Тёрстон, О. Я. Виро, Ф. Гарсайд, В.Джонс, Э.Гиз и многие другие. В последние десятилетия в этой области получены такие замечательные результаты, как решение С. Керкхофом проблемы Нильсена о реализации, открытие порядка Деорнуа, доказательство линейности групп кос (Д. Краммер, С. Бигелоу) и др. Решение подобного рода проблем требует самой разнообразной техники, а новые достижения теории (групп) автоморфизмов применимы (и, как правило, имеют существенные следствия) в смежных областях.

1 Отметим, что в группу гомеоморфизмов прямой входят все счетные односторонне-инвариантно упорядоченные группы, а группа гомеоморфизмов окружности содержит группу изометрий гиперболической плоскости — вместе со всеми фуксовыми группами.

2 У групп кос, как и у всех групп классов отображений незамкнутых поверхностей, имеются естественные точные представления в группах гомеоморфизмов одномерных многообразий, что придает рассматриваемой области внутреннюю целостность.

Вопросы классификации в исследуемой области (как и во многих других разделах маломерной топологии, динамики, теории групп) являются ключевыми.

Для гомеоморфизмов одномерных и двумерных многообразий известны, соответственно, классификации Пуанкаре и Нильсена-Тёрстона, представляющие собой важные и полезные инструменты при решении самых различных задач. На основе классификации Нильсена-Тёрстона Н. В. Иванов, Дж. Бирман, А. Любоцкий и Дж. Маккарти3 получили серию классификационных теорем для подгрупп групп классов отображений поверхностей, дающую аналоги классических классификационных результатов теории линейных групп, в том числе аналог альтернативы Титса. Для групп, действующих на окружности, аналог альтернативы Титса, известный как альтернатива Гиза, был доказан в 2000 г. Г. А. Маргулисом4. Несомненно важным и актуальным представляется следующий шаг — построение эффективной классификации групп гомеоморфизмов маломерных многообразий (т. е. классификации маломерных топологических динамических систем или действий групп на многообразиях малой размерности). Один из основных результатов диссертации — классификация действий групп на прямой и окружности.

К классификационным вопросам естественно примыкают теории всевозможных инвариантов. Одним из новейших направлений здесь является теория квази- и псевдохарактеров групп. Функционал </э : £ —» М на группе (7 называется квазихарактером или квазиморфизмом, если множество р(аЬ) — у (а) — <р(Ь) : а, Ь е С} ограничено. Если, кроме того, для любых выполняется равенство <р{ак) = к<р(а), то </? есть псевдохарактер5.

Псевдохарактеры являются инвариантами сопряженности; они имеют непосредственное отношение к ограниченным когомологиям групп и широко применяются в геометрической теории групп. Хорошо известные

3 См. монографию Н.В.Иванова [60] и указанную там литературу.

4 Альтернатива Гиза-Маргулиса утверждает следующее: если группа С? действует на окружности гомеоморфизмами, то либо на окружности существует С-инвариантная вероятностная борелевская мера, либо в <? найдется свободная неабелева подгруппа; см. [92]; ср. [5].

5 Также используется термин однородный квазиморфизм. примеры псевдо- и квазихарактеров, не являющихся гомоморфизмами, — число переноса Пуанкаре и функция Радемахера6. Теория псевдохарактеров активно развивается в течение последнего десятилетия. Псевдохарактеры групп кос и групп классов отображений поверхностей представляют особый интерес и применяются как в теории узлов, так и в маломерной ; динамике (Э. Гиз, Ж.-М. Гамбодо, К. Хонда, У. Казес, Г. Матис, С. Баадер и др.; см. также работы автора [79, 83, 86, 87, 89, 90]). Как показывают представленные в диссертации результаты, теория псевдохарактеров тесно связана и с обсуждаемой ниже проблемой Маркова (как и с некоторыми родственными ей задачами), и с действиями групп кос и групп классов отображений поверхностей на окружностях и прямых, изучение которых является одним из центральных сюжетов работы.

Начиная с- работ П. С. Новикова и А. А. Маркова, все возрастающее г/ внимание в топологии малых размерностей привлекают также вопросы алгоритмической классификации. В теории автоморфизмов, групп классов отображений поверхностей и групп кос наряду с общими задачами алгоритмического характера (проблемы тождества и сопряженности в группе, их многочисленные обобщения и т.д.) рассматривается широкий круг специальных алгоритмических вопросов (таких как задачи распознавания типов автоморфизмов в классификации Нильсена-Тёрстона и распознавания* сильной неприводимости автоморфизма, вычисление расстояний' в комплексе кривых поверхности).

Среди имеющихся здесь сложных задач7 особое место занимает проблема Маркова о дестабилизируемости, состоящая- в том, чтобы построить алгоритм, определяющий, применимо ли к классу сопряженности заданной косы преобразование дестабилизации. Эта проблема относится к • представлению классических узлов и зацеплений в I3 с помощью кос и восходит к знаменитой работе А. А. Маркова [93] 1936 года, в которой введены понятия стабилизации и дестабилизации кос и представлена теорема, утверждающая, что две косы (3\ и 02 задают одно и то же зацепление в

6 Отметим, что число переноса определено на группе гомеоморфизмов вещественной прямой, ком-</ мутирующих с единичным сдвигом, а функция Радемахера — на группе которая действует ^ на окружности.

7 См., например, [68], а также [43]. том и только в том случае, когда от ß\ можно перейти к ft с помощью конечной цепочки сопряжений, стабилизации и дестабилизации. Проблема о дестабилизируемости допускает переформулировки в терминах автоморфизмов поверхностей и действий групп классов отображений поверхностей на окружностях и прямых и имеет ряд родственных нерешенных задач как на алгебраическом, так и на топологическом уровне.

После того, как в 1968-1969 гг. Г. С. Маканин и Ф. Гарсайд решили для группы кос проблему сопряженности, проблема Маркова стала наиболее заметным препятствием к решению задачи алгоритмической классификации и эффективного распознавания узлов и зацеплений в!3с помощью кос. Впервые алгоритм распознавания дестабилизируемости был предложен в 1980 г. Дж. Маккулом [95], однако, как указал впоследствии сам Мак-кул [96], его алгоритм в значительной степени опирался на одну ошибочную теорему Дж. Бирман [10] и оказался неверен. В 2005 г. У. Менаско8 предложил алгоритм поиска дестабилизации, основанный на технике прямоугольных диаграмм узлов, принадлежащей И. А. Дынникову. Однако результат настоящей диссертации о существовании классов сопряженности кос, дестабилизируемых бесконечным числом различных способов, косвенно свидетельствует о том, что алгоритм Менаско также неверен9.

В настоящей работе представлен алгоритм, распознающий деста-билизируемость класса сопряженности кос с помощью классификации Нильсена-Тёрстона и представления группы кос в виде группы гомеоморфизмов прямой. Развитая в работе техника применима не только к распознаванию дестабилизируемости, но и к распознаванию некоторых других преобразований кос, а также к задаче определения сильной неприводимости автоморфизмов сферы с проколами10. Кроме того, в диссертации получены критерии допустимости дестабилизации и других преобразований классов сопряженности кос в терминах псевдохарактеров.

8 W.W.Menasco, Monotonie simplification and recognizing exchange reducibility, arXiv:math/0507124.

0 Локализовать ошибку в препринте Менаско не представляется возможным, поскольку там содержится большое количество неточностей и неполных формулировок.

10 Автоморфизм поверхности называется сильно неприводимым, если каждая существенная простая замкнутая кривая переводится этим автоморфизмом в кривую, пересекающую — даже после произвольной изотопии — свой прообраз. Насколько известно автору, проблема распознавания сильной неприводимости не решена ни для одной неэлементарной поверхности.

Еще одно современное направление в изучаемой области возникло на пересечении с теорией случайных блужданий на группах. В своих недавних работах блуждания на группах (классов) автоморфизмов многообразий малой размерности исследовали А. М.Вершик, К. Сериес, В. А. Кайманович, Г.Мазур, Б.Фарб, С.К.Нечаев, Р. Вуатюрье, А. Ю. Гросберг, Р.Бикбов, В. А. Клепцын, М. Б. Нальский, Т. Кайзер и др. Эта деятельность по преимуществу ориентирована на решение (типично классификационной) задачи описания вероятностных границ группы и, в первую очередь, границы Пуассона. В. А. Кайманович и Г. Мазур [63] показали, что граница Пуассона группы классов отображений замкнутой поверхности реализуется в виде границы Тёрстона пространства Тайхмюллера этой поверхности. Аналогичное описание границы в виде пространства действия группы имеет место и для случая незамкнутых поверхностей и групп кос [44].

А. М.Вершиком и его школой были развиты мощные'методы алгебраического описания (т.е. описания непосредственно в терминах самой группы — в терминах образующих и соотношений) границ с помощью стабильных нормальных форм. При этом для группы кос известно более десятка (типов) нормальных форм (формы Гарсайда [51], Маркова-Ивановского [94], Тёрстона [40], Бирман-Ко-Ли [12], Брессо [22] и др. [36]), однако проблема алгебраического описания границы Пуассона для групп классов отображений и групп кос до последнего времени оставалась открытой. В настоящей работе в развитие подходов А. М. Вершика и X. Фюрстенберга получен ряд новых результатов о границах; в частности, мы показываем, что в группе кос нормальная форма Маркова-Ивановского стабильна. Эти результаты в комбинации с результатами В. А. Каймановича и Г. Мазура позволяют дать алгебраическое описание границы Пуассона для групп кос и для групп классов отображений некоторых поверхностей.

Заметим, что — кроме классификационной тематики — задачу о стабильных нормальных формах в группах классов отображений и группах кос связывают с прочими вышеупомянутыми вопросами общие методы, применяемые при их исследовании и решении; так, при поиске стабильных нормальных форм удобно использовать представления групп классов отображений и групп кос в виде групп гомеоморфизмов окружности.

В настоящей работе развивается теория автоморфизмов и групп классов) автоморфизмов многообразий размерности 1 и 2 (групп кос, групп классов отображений поверхностей, групп гомеоморфизмов прямой и окружности). Целью работы является получение новых результатов по следующим направлениям:

- классификация действий групп на одномерных многообразиях;

- развитие теории псевдохарактеров групп кос и групп классов отображений поверхностей;

- исследование преобразований кос (сохраняющих тип представленного косой зацепления) и вопросов о применимости различных преобразований к косам;

- изучение границ случайных блужданий, поиск стабильных нормальных форм в группах кос и группах классов отображений.

Среди полученных в работе результатов отметим следующие.

1. Получена общая классификация действий групп па прямой и окружности. В частности, доказано, что всякое минимальное непрерывное действие группы на прямой (на окружности) либо сопряжено с действием изометриями, либо проксимально, либо накрывает некоторое проксимальное действие на окружности.

2. Введены новые типы левоинвариантных циклических порядков на свободных группах и изучены их свойства.

3. Описана структура пространства простых геодезических, выходящих из точки края метрически полной ориентированной гиперболической поверхности конечной площади с компактным геодезическим краем.

4. Определены и исследованы новые серии псевдохарактеров и инвариантов сопряженности на группах кос и на группах классов отображений поверхностей с краем.

5. Доказано, что любой узел в М3 представим косой, класс сопряженности которой дестабилизируем бесконечным числом различных способов.

6. В терминах псевдохарактеров групп кос найдены критерии простоты представленного косой зацепления, а также критерии неприменимости стандартных преобразований к классу сопряженности кос, из которых, в частности, следуют (в усиленном виде) гипотезы Менаско о применимости некоторых преобразований к косам.

7. Решена проблема Маркова о дестабилизируемости: построен алгоритм, определяющий, допускает ли класс сопряженности заданной косы дестабилизацию Маркова.

8. Доказано, что в группе кос Артина нормальная форма Маркова-Ивановского является стабильной (по отношению к случайному блужданию с любым допустимым распределением).

Общей отправной точкой для всех присутствующих в работе сюжетных линий послужила одна восходящая к работам Нильсена специальная конструкция (отдельно описанная ниже), дающая серию представлений групп классов отображений поверхностей с краем в виде групп гомеоморфизмов прямой и окружности. Так, попытка классификации именно этих представлений привела в итоге к вышеупомянутой общей классификации действий произвольных групп на прямой и окружности. Из этой же конструкции при обращении к классическим инвариантам Пуанкаре возникли и исследуемые в работе псевдохарактеры групп. В случае групп кос изучение именно этих представлений и связанных с ними псевдохарактеров дало алгоритм распознавания марковской дестабилизируемости и критерии допустимости преобразований, доказывающие гипотезы Менаско. Представления той же серии и их связь с автоморфизмами свободной группы и нормальной формой Маркова-Ивановского позволяют обнаружить на группах кос и группах классов отображений семейство стабильных функционалов, при изучении которого и были получены представленные в работе результаты о случайных блужданиях и их границах (хотя приведенные ниже соответствующие доказательства из технических соображений и проводятся исключительно в терминах автоморфизмов свободной группы).

Приведем краткое содержание работы по главам.

1. J.W.Alexander, A lemma on system of knotted curves, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 9 (1923), 93-95.

2. J. W. Alexander, A proof and extension of the Jordan-Brouwer separation theorem, Trans. Amer. Math. Soc. 23 (1922), 333-349.

3. E.Artin, Theorie der Zopfe, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 4 (1925), 47-72.

4. S. Baader, Asymptotic Rasmussen invariant, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345:4 (2007), 225-228.

5. JI. А. Бекларян, Группы гомеоморфизмов прямой и окружности. Топологические характеристики и метрические инварианты, Успехи мат. наук 59:4 (2004), 3-68.

6. R. Bell, D. Margalit, Injections of Artin groups, Comment. Math. Helv. 82:4 (2007), 725-751.

7. M. Bestvina, K. Fujiwara, Bounded cohomology of subgroups of mapping class groups, Geometry and Topology 6 (2002), 69-89.

8. M. Bestvina, M. Handel, Train-tracks for surface homeomorphisms, Topology 34:1 (1995), 109-140.

9. J.S.Birman, Braids, links, and mapping class groups, Ann. of Math. Stud., vol.82, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1974.

10. J. S. Birman, Errata for "Braids, links and mapping class groups", Errata: On the conjugасу problem in the braid group, Canad. J. Math. 34:6 (1982), 1396-1397.

11. J.S.Birman, Т. E. Brendle, Braids: a survey, in "Handbook of Knot Theory", W. Menasco, M. Thistlethwaite, eds., Amsterdam: Elsevier B.V., 2005, pp. 19-103.

12. J. S. Birman, S. J. Lee, К. H. Ко, A new approach to the word and conju-gacy problems in the braid groups, Adv. in Math. 139:2 (1998), 322-353.

13. J. S. Birman, W. W. Menasco, Studying links via closed braids I: A Fini-teness Theorem, Pacific J. Math. 154:1 (1992), 17-36.

14. J. S. Birman, W. W. Menasco, Studying links via closed braids II: On a theorem of Bennequin, Topology Appl. 40 (1991), 71-82.

15. J. S. Birman, W. W. Menasco, Studying links via closed braids III: Classifying links which are closed 3-braids, Pacific J. Math. 161:1 (1993), 25-113.

16. J. S. Birman, W. W. Menasco, Studying links via closed braids IV: Split links and composite links, Inv. Math. 102 (1990), 115-139.

17. J.S.Birman, W. W. Menasco, Erratum: studying links via closed braids IV, Inv. Math. 160:2 (2005), 447-452.

18. J.S.Birman, W. W.Menasco, Studying links via closed braids V: Closed braid representations of the unlink, Trans. Amer. Math. Soc. 329:2 (1992), 585-606.

19. J.S.Birman, W.W.Menasco, Studying links via closed braids VI: A non-finiteness theorem, Pacific J. Math. 156:2 (1992), 265-285.

20. J. S. Birman, W. W. Menasco, Stabilization in the braid groups I: MTWS, Geometry and Topology, 10 (2006), 413-540.

21. F. Bonahon, Geodesic laminations on surfaces, in "Laminations and foliations in dynamics, geometry and topology (Stony Brook, NY, 1998)", Contemp. Math. 269; Amer. Math. Soc., 2001, 1-37.

22. X. Bressaud, A normal form for braid groups, J. Knot Theory Ram. 17:6 (2008), 697-732.

23. К.С.Браун, Когомологии групп, Наука, М., 1987.

24. L. E. J. Brouwer, Uber die periodischen Transformationen der Kugel, Math. Ann. 80 (1919), 39-41.

25. A. M. Вершик, Динамическая теория роста в группах: энтропия, границы, примеры, Успехи мат. наук 55:4 (2000), 59-128.

26. A. M.Vershik, S.K.Nechaev, R. Bikbov, Statistical properties of locally free groups with applications to braid groups and growth of random heaps, Comm. Math. Phys. 212:2 (2000), 469-501.

27. S.K.Nechaev, A. Yu. Grosberg, A. M.Vershik, Random walks on braid groups: Brownian bridges, complexity and statistics, Journal of Physics A Math. Gen. 29 (1996), 2411-2433.

28. V. V. Vershinin, Braids, their properties and generalizations, Published in the Handbook of Algebra, Handbook of algebra, vol.4. North-Holland, Amsterdam, 2006, pp. 427-465.

29. R.D.Canary, D.B.A.Epstein, P.Green, Notes on notes of Thurston, in "Analytical and Geometrical Aspects of Hyperbolic Spaces", Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987, 3-92.

30. D. I. Cartwright, P. M. Soardi, Convergence to ends for random walks on the automorphism group of a tree, Proc. Amer. Math. Soc. 107 (1989), 817-823.

31. A. Casson, S. Bleiler, Automorphisms of surfaces after Nielsen and Thurston, London Math. Soc. Stud. Texts, vol.9, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1988.

32. A. Constantin, B. Kolev, The theorem of Kerekjdrto on periodic homeo-morphisms of the disc and the sphere, Enseign. Math. (2) 40 (1994), 193204.

33. M. Dehn, Papers on group theory and topology, Springer-Verlag, New York, 1987.

34. P. Dehornoy, I. Dynnikov, D. Rolfsen, B. Wiest, Why are braids orderable?, Panor. Syntheses, vol. 14, Soc. Math. France, Paris, 2002.

35. P. Dehornoy, I. Dynnikov, D. Rolfsen, B.Wiest, Ordering braids, Math. Surveys and Monographs, vol.148, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008.

36. P. Dehornoy, Alternating normal forms for braids and locally Garside monoids, J. Pure Appl. Algebra, 212:11 (2008), 2413-2439.

37. Y. Derriennic, Entropie, théorèmes limites et marches aléatoires, Probability measures on groups, vol. VIII (Oberwolfach, 1985), Lecture Notes in Math., 1210, Springer-Verlag, Berlin, 1986, 241-284.

38. J. Dyer, E. Grossman, The automorphism groups of the braid groups, Amer. J. Math. 103 (1981), no. 6, 1151-1169.

39. I. A. Dynnikov, Arc-presentations of links. Monotonie simplification, Fund. Math. 190 (2006), 29-76.

40. D. B. A. Epstein, J.W.Cannon, D.F.Holt, S. V.F.Levy, M. S. Paterson, W.P.Thurston, Word processing in groups, Jones and Bartlett Publ., Boston, MA, 1992.

41. I. V. Erovenko, On bounded cohomology of amalgamated products of groups, Int. J. Math. Math. Sci. 2004 (2004), no. 40, 2103-2121.

42. JI. Зибенман, Возвращение к теореме Осгуда-Шёнфлиса, Усп. мат. наук, 60:4(364) (2005), 67-96.

43. В. Farb (Ed.), Problems on mapping class groups and related topics, Proc. Symp. Pure Math. 74, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006.

44. B. Farb, H. Masur, Superrigidity and mapping class groups, Topology 36:6 (1998), 1169-1176.

45. B.Farb, D.Margalit, A primer on mapping class groups, working draft, 2008.

46. A. Fathi, F. Laudenbach, V. Poenaru (eds.), Travaux de Thurston sur les surfaces, Séminaire Orsay, Astérisque, vol. 66-67, Soc. Math. France, Paris, 1979.

47. V. A. Faiziev, The Stability of the Equation f(xy) — f(x) — f{y) = 0, Acta Math. Univ. Comenianae 69:1 (2000), 127-135.

48. H. Furstenberg, A Poisson formula for semi-simple Lie groups, Ann. of Math. (2), 77:2 (1963), 335-386.

49. H. Furstenberg, Random walks and discrete subgroups of Lie groups, Adv. Probab. Related Topics, voll, Dekker, New York, 1971, 1-63.

50. H. Furstenberg, Boundary theory and stochastic processes on homogeneous spaces, Harmonic analysis on homogeneous spaces (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVI, Williamstown, MA, 1972), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1973, 193-229.

51. F. A. Garside, The braid group and other groups, Quart. J. Math. Oxford20 (1969), 235-254.

52. J.-M. Gambaudo, E. Ghys, Commutators and dijfeomorphisms of surfaces, Ergodic Theory Dynam. Systems 24:5 (2004), 1591-1617.

53. J.-M. Gambaudo, Ё. Ghys, Braids and signatures, Bull. Soc. Math. France 133:4 (2005), 541-579.54. Ё. Ghys, Groups acting on the circle, Enseign. Math. (2) 47 (2001), 329407.

54. Э.Гис, П.деляАрп, Гиперболические группы по Михаилу Громову, Мир, М., 1992.

55. R. I. Grigorchuk, Some results on bounded cohomology, Combinatorial and geometric group theory (Edinburgh, 1993), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol.204, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, 111-163.

56. M. Gromov, Hyperbolic groups, Essays in group theory, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer-Verlag, New York, 1987, 75-263.

57. K. Honda, W. Kazez, G. Matic, Right-veering diffeomorphisms of compact surfaces with boundary /, Invent. Math. 169:2 (2007), 427-449.59