Устойчивость и неустойчивость по Уламу функциональных уравнений и приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

□03481783

ФАЙЗИЕВ ВАЛЕРИЙ АВГАНОВИЧ

УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО УЛАМУ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность 01.01.01 — математический анаяш

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических паук

Воронеж - 2009

003481789

Работа выполнена в Тверской государственной сельскохозяйственной академии

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Бардаков Валерий Георгиевич,

доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич,

доктор физико-математических наук, профессор Мухамадиев Эргаш Млрзосвич

Ведущая организация:

Институт Математики с ВЦ УНЦ РАН

Защита состоится 17 ноября 2008 т. в 15 часов 10 мин. на заседании совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г.Воронеж, Университетская пл.1, ауд.314

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан

октября 2009 года

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ-мат наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. Часть первая. Об устойчивости функциональных уравнений. В 1940 году известный американский математик С. Улам поставил следующую задачу: "Если мы заменим функщюналыюе уравнение функциональным неравенством, то при каких условиях решения последнего будут близки к решениям исходного уравнения?"Сама постановка задачи имеет практическую направленность. Если решать уравнение численными методами, используя компьютер, то так как в процессе вычислений появляются погрешности. то возникает вопрос насколько "численное решение"уравнения отличается ог его истинного решения. Вопрос Уяама стал отправной точной для нового направления в функциональном анализе - Теории утойчивости функциональных уравнений. В настоящее время это быстро развивающаяся область. На данную тематику опубликованы сотни статей и несколько монографий. Опишем некоторые из таких результатов, которые являются отправными точками в наших исследованиях.

Понятие гомоморфизма является важнейшим в математике. Если речь идет о гомоморфизме из одной группы или полугруппы в другую, то отображение f : S—г Si является гомоморфизмом, если оно удовлетворяет условию

(1) ф(ху) = ЦхЩу), Vx,yeS.

То есть гомоморфизм - эхо отображение, удовлетворяющее функциональному уравнению (1). В теории функциональных уравнений соотношение (1) называется уравнением Коши. Если полугруппа Si является аддитивной с операцией " + *, то уравнение (1) переписывается в виде

(2) Цху) = у(х) + -ф(у), Wx,yeS. или же в виде

(3) ф(ху)-Щх)-ъ(у) = 0, Vx.yeS.

Применительно к функциональному уравнениию (1) вопрос Улама можно сформулировать так. Пусть даны группа G'i, метрическая группа (G2, d) и положительное число е. Существует ли S > 0 такое, что если / : Gi —> G¡ удовлетворяет условию d(f(xy), f(x)f(y)) < S для любых х.у £ G], то существует гомоморфизм Т : 6\ —> С2 такой, что d( f(x), Т(х)) < г для любых х, у £ GY?

В случая положительного ответа на предыдущий вопрос говорят, что гомоморфизмы G] —> C-z устойчивы или, что функциональное уравнение Коши (1) устойчиво. Первый положительный ответ был дан Хайерсом в 1941 г. Рассмотрим аддитивное уравнение Коши

(4) фу) = р(х) + <р{у).

Теорема 0.1 (Д.Хайерс). Пусть Е1.Е2 банаховы пространства и f : Е\ Е-2 удовлетворяет условию: существует г > 0 такое, что

(5) ■ Ü f{x + у) -f(x) -/(?;) II <£ для всех х,у е Тогда существует Т : Е] E¿ такое, что

(6) Т(.т + у) - Т[х) - Т(у) = 0 для всех т, у € Е\ и

(7) || /(г) - Т(х) || < £ для всех ге£,.

В 1978 год)7 Т.М.Расспас получил следующее обобщение теоремы Хайерса позволяющее разнице Коши быть неограниченной.

теорема 0.2 (Расспас). Пусть Е,,Ео банаховы пространства и f : Е\ —» E-¡

удовлетворяет условию:

(8) || f(x + у) - f(x) - ¡(y) И < с(||.т||» + IMP') Для всех х. у G £],

где е up такие постоянные, что г > 0 и 0 < р < 1. Тогда существует Т : E-¡ —* E'¿ такое, что

T(x-i-y)-T{x)-T{y) = 0 для всех х,у е Ех

и

WTW-fm^keW.

где к зависит от р и £.

После результата Хайерса было опубликовано большое количество статей, обобщающих проблему Улама и теорему Хайерса.

Определение 0.3. Пусть G произвольная полугруппа и В банахово пространство. Будем говорить, что yjxieneuue (4) устойчиво для пары (G, В), если для любой функции f : G —> В такой, что

|J/(xy) - /(х) - /Ы|| < S. х, у е G для некоторого 5 > 0. существует решение уравнения (4) такое, что

||/(i) - е(т)|| < г, Vi е G для некоторого s. зависящего только от д.

Секехиди и Форти показали, что уравнение (4) устойчиво на аменабельных группах и полугруппах. Теперь возник естественный вопрос: существуют ли группы или полугруппы дня которых уравнение (4) не является устойчивым? 1985 году Форти построил пример, иоказывющий, что уравнение Коши (4) в общем случае не является устойчивым.

Начиная с 1978 годатематика "аппроксимативных гомоморфзмовпинхенсииио изучалась многими математиками. Изучению аппроксимативно мультипликативных функций из вектороного пространства в множество вещественных чисел посвящена статья Бсйкера, Лоуренса и Зорщгтто(1979). В этой статье было установлено, что если S > 0 и функция / : V —► R удовлетворяет соотношению

\f(xy) - f(x)f(y)\ < S, для любых ,т, у е V.

то либо /-ограниченная функция, либо

(9) f{xy) = f(x)f{y), для любых х,у е V.

В работе Бейкера(1980) данный результат был обобщен да случай, когда функция / определяется на полугруппе. В работе Лоуренса (1985) были рассмотрены отображения / : S —» А полугруппы S в комплексную нормированную алгебру А. удовлетворяющие неравенству

II 1{ху) - f(x)f(y)II < 5. А'ш любых х, у 6 V,

и некоторого d > 0. Была доказана устойчивость уравнения (9) в случае, когда S коммутативная полугруппа и .4 = Д/2(С)-нормированная алгебра 2x2 матриц с комплексными элементами.

В литературе закрепилась следующая терминология. Когда рассматривается вопрос об устойчивости с ограниченной правой частью нсравенства(как в теореме

0.1. неравенство (5)). то говорят об устойчивости по Уламу-Хайерсу. Когда же правая часть неравенства (как в теореме 0.2, неравенство (8)) неограниченна, то говорят об обобщенной устойчивости или устойчивости по Уламу-Хайерсу-Рассиасу.

Для описания отправных точек Части 2 диссертации отметим, что вопрос Улама допускает следующую физическую трактовку. Если у группы симметрии описания некоторой физической системы существуют квазипредставления, т.е. отображения в группу обратимых непрерывных линейных операторов в некотором топологическом векторном пространстве с равномерно малой разностью (скажем, не превосходящей точности измерений) между образом произведения и произведением образов, и если не существует "достаточно близких"обычных представлений группы симметрии в том же топологическом векторном пространстве, то интерпретация эксперимента может оказаться более сложной, чем в случае, когда близкое представление но тем или иным причинам заведомо существует, и это может потребовать тщательного различения истинных симметрии (связанных с "законами природы") и "квазисимметрнй".

В 1932 г. Радемахер построил почти аддитивное отображение Ф группы 51.(2,2) в группу целых чисел 2Г,(а именно, выполняется неравенство ¡Ф(дцй) — Ф(51)~Ф(.9г)| 2 3, <й</2 € ££(2, ¿Г)). Отсутствие ненулевых аддитивных гомоморфизмов 2) —> 2 было уже общеизвестно. Аналогичные отображения групп дня различных целей строили и 1968 году Ремтулла, в 1972 г. Б.Э. Джонсон в 1978 г. Р. Брукс, но алгебраический смысл таких отображений оставался неясным до 1983 г.. когда А.И.Шторном было введено понятие псевдохарактера.

Оказалось, что некоторые группы имеют даже одномерные нетривиальные квазипредставления. Исторически первыми объектами этого рода были их одномерные вещественные аддтивные аналоги - псевдохарактеры. Напомним, что вещественная функция / на группе в называется (вещественным) квазпхаракте-ром на этой группе, если числовое множество {/(51.92)-Др1) — /(.92). <?ь.9г € <->} ограничено, и квазихарактер / называется псевдохарактером на С , если Дх") = п/(:г) для любых ¿' е О и п £ 2. Понятие псевдохарактера (применявшееся с 1988 г. в ряде работ Баварда, Бессопа, Боурмчи, Барге под названием однородного квазиморфизма) оказалось весьма продуктивным в теории ограниченных кого-мологий(Громов Барге, Маининг, Монод, Штерн) . в теории групп диффеоморфизмов в спмплектической геометрии, в комбинаторной теории групп и в теории

представлений групп и заслужило популярность, достаточную для отдельной пояснительной публикации в Notices of the Amer.math.soc.

В семидесятые годы появились и первые работы, посьященны не обязательно одномерным объектам, которые теперь называются почти представлениями и квазипредставлениямн К. Грове, Г. Кархер и Э. Ру доказали в 1974 г., что непрерывное отображение Т компактной топологической группы G в пространство ограниченных операторов в банаховом пространстве Е, удовлетворяющее условию \\T{gh) — T(g)T{h, )|| < s для всех д, h € G, является малым возмущением обычного непрерывного представления lpynnw G и величина возмущения зависит от г. В 1977 г. П.де ла Харп и М.Каруби получили этот результат другим способом с более точной количественной оценкой. В 1982 г. появилась статья Д. Каждана, в которой был приведен вопрос, который Каждан приписал В. Мильману: верно ли, что для любого (не обязательно непрерывного) отображения одной ортогональной группы в другую с равномерно малой разностью между образом произведения и произведением образов существует равномерно близкий обычный гомоморфизм? Автор рассматривал только случай непрерывных отображений и повторил результат Грове, Кархера и Ру.

В теории отображений, близких к представлениям (почти представлений, аппроксимативных представлений, квазипредставлений, цсевдопредставлений п т. д.) за последние 25-30 лет достигнуты значительные результаты и созданы технические приемы, имеющие нетривиальные приложения в алгебре и топологии - от ограниченных когомологий до симплектической геометрии. Этот материал нелегко организовать. Здесь мы отметим только один замечательный результат А.И.Штерна. А именно, в 2007 г. им было дано полное (положительное) решение упомянутой выше задачи Мильмана-Каждана 1982 г.

Для Части 3 отправной точкой является теория условных функциональных уравнений, которая имеет давнюю и богатую историю. Здесь мы упомянем только одпо условное уравнение - альтернативное уравнение Коши.

(Ю) f(xy) - fix) - fiV) Ф 0 j\xy) - f(x) - f(y) = 1.

Впервые альтернативное уравнени Коши, которое рассматривается в третьей главе диссертации, появилось в работе Гера. Затем это уравнение изучалось в статьях Кукзмы, Паганони, Форти. Сначала уравнение (10) было решено на бесконечной циклической полугруппе, затем на бесконечной циклической группе, затем на абелевых группах и, наконец, в 1987 году в статье Форти дается решение

этого на группах над которыми аддитивное уравнение Коши устойчиво. На 44-м Международном симпозиуме по функциональным уравнениям был поставлен вопрос о решении уравнения (10) над группам« в полугруппами над которыми урвнение Коши не является устойчивым. Также была поставлена задача о решении этого уравнения на свободных полугруппах.

Перейдем к Части 4. Если (7 - некоторая группа, порожденная множеством А, то всякий элемент д е С представим в виде

(И) д ■■■01", € А. £¡=±1.

Ясно, что такое представление не единственное. Длиной (или Л-длиной) 1.а{з) элемента д относительно множества А называется длина кратчайшего представления (11). Шириной группы С относительно множества порождающих А называется

А) =аир/л(;;).

гео

Д/1Я вербальных подгрупп произвольной группы традиционно вызывают интерес вопросы вычисления ширины вербальных подгрупп и длины элементов относительно тех или иных подмножеств. Пусть р свободная группа счетного ранга и V ее подмножество. Напомним, что вербальной подгруппой У(С) группы С относительно множества теоретико-групповых слов V называется подгруппа, порожденная множеством значений слов из V на группе С, т. е.

¥(0) =< Цй, За,.... <?т.н)1'' 6 V", д е С > .

Шириной \\ч(1((7, V) вербальной подгруппы относительно множества слов V называется наименьшее тени +оо такое, что всякий элемент подгруппы К(б) записывается в виде произведения < т значений слов из У*1. Термин "ширина"введен Ю.И. Мерзляковым в 1967 , хотя ширина вербальных подгрупп исследовалась и в более ранних работах. Так Шода (1936) изучал коммутаторную ширину группы 5^.n(F) для алгебраически замкнутого ноля Я. Ширина вербальных подгрупп исследовалась также в .работах Г. Хигмана, Б. Нейман п X. Нейман (1949), Ито (1951), Ф. Холла (1959 ) и многих других авторов. Ю. И. Мерзляков установил, что всякая вербальная подгруппа алгебраической группы С? < С1В(П), где П - алгебраически замкнутое поле бесконечной степени трансцендентности над простым подполем, имеет конечную ширину относительно любого слова v. Ряд работ посвяшен исследованию ширины коммутанта некоторых классических групп относительно коммутатора = х~ху~1ту. Например,

Томпсон доказал, что если Р - поле, то упс\{СЬп(Р). г) = 1, т<1{31п(Р), |>) < 2 при любом п > 2. Гоу доказал, что ширина коммутанта симплекти-

ческой группы не превосходит 2 при любом п > 1. Иго установил, что при п > 5 всякий элемент из коммутанта симметрической группы является коммутатором.

Некоторые авторы изучали вопрос о ширине вербальных подгрупп различных групповых конструкциях таких как свободное произведение с объединением, НХМ-расширение, расширение, сплетение к т. д. В этом направлении А.Х.Рем-тулла доказал, что: 1) в нетривиальном свободном произведении А * В ширина всакой собственной вербальной подгруппы v(A * В) относительно слова V бесконечна тогда п только тогда, когда ¡„4| > 3 и \В\ > 2; 2) коммутант любой конечно порожденной разрешимой группы ступени разрешимости < 3 имеет конечную ширину.

В работах X. С. Аламбергенова и В. А. Ромааькова , а также Акхаван-Малаери и Ремтуллы найдена ширина коммутанта свободной иилыютснтной группы. Е. Г. Смирнова исследовала ширину вербальных подгрупп относительно слов х",п 6 N в свободной двуступенно нилыштентной группе ранга п. Некоторые авторы( Ю. С. Семенов, Н. Н. Ренин, В. Г. Дурнев и В. К. Шалашов) изучали вербальные подгруппы в группе кос В„. В полном объеме задача о ширине вербальной подгруппы в группах кое была решена В.Г.Бардаковым. Им было доказано, что для любого п > 3 ширина собственной вербальной подгулны в В„, определенной конечным множество.« слов, бесконечна. Одним из обобщений группы кос являются группы Артина. В.Г.Бардаковым установлено, что многие группы Артина не имеют собственных вербальных подгрупп конечной ширины. Им также было доказано, что всякая вербальная подгруппа группы сопрягающих автоморфизмов СЬз,п > 2, определенная конечным собственным множеством слов V, имеет бесконечную ширину. Много работ посвящено вычислению ширины линейных групп относительно различных множеств порождающих. Перечислим некоторые из них. Картер и Келлер доказали, что ширина группы 51„(0), где О - колыю целых чисел алгебраическою числового поля, относительно множества элементарных трансвекций, конечна. В работе С. И. Адана и Мсшшке дано более простое доказательство этого факта для случая, когда О - кольцо целых рациональных чисел 2. К. X. Закирьянов установил конечность ширины пшплектической группы 5р2„('0); п > 3. относительно множества элементарных

матриц. Аналогичные результаты для некоторых групп Шевалле над тем же кольцом О получил О. Н. Тавгень. С другой стороны, ван дер Каллен доказал, что если Г - ноле бесконечной степени трансцендентности над своим простым подполем, то группа г|) при п > 2 имеет бесконечную шнрину относитель-

но множества элементарных трансвекций. В.Г.Бардаковым било установлено, что ширина группы SL„(Z), относительно множества коммутаторов не превосходит 10 прн всех п > 3. (Известно, что при п — 2 эта ширина бесконечна). Тем самым улучшена оценка М. Ньюмена : ширина группы не превосходит

с1п(н) +40, где с — 21п(3/2). Далее будем считать, что V - конечное, собственное (т. е. вербальная подгруппа \''(Р) нетривиальна и отлична от всей группы /") множество слов. Ширина вербальных подгрупп свободных произведений с объединением исследовалась в работах Р. И. Григорчука , И. В. Добрыниной. Кроме того Р. И. Григорчук изучал ширину вербальных подгрупп НМК-расши-рсний относительно коммутаторного множества слои. Наиболее общий результат здесь прииадлежет В.Г. Бардакову. Им доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 0.24. Преть группа С = ^(Я, Г1 М- = В,<?) является НИИ-расширением группы Н со связанными собственными подгруппами А и В. Тогда для всякого конечного собственного слов V ширина вербальной подгруппы. бесконечна.

Цель работы. Целью диссертации является: исследование проблем устойчивости функциональных уравнений, доказательство устойчивости по Уламу и обобщенной устойчивости различных функциональных уравнений на различных классах групп и полугрупп, обобщению результатов об устойчивости многих известных специалистов в этой области таких как Чанг, Чунг. Сун Мо, Саху, Фехнср, Янг, Скоф, Т. Рассиас, Дж.Рассиае. Описание пространств квази- и псевдохарактеров на различных классах групп и полугрупп. Решение проблемы поставленной на 44-м Международном Симпозиуме по Функциональным Урав-нениям(США, 2006) о решении альтернативного функционального уравнения Коши в неустойчивом случае. Исследование ширины вербальных подгрупп и других множеств на некоторых классах групп.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории групп, классической теории групп, функционального анализа.

и

Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях в теории устойчивости функциопаль-ных уравнений па группах и полугруппах, в теории ограниченных когомологий, в современном функциональном анализе и теории групп. Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Аппробация. Результаты диссертации докладывались на всесоюзной конференции по дифференциальным и функциональным уравнениям в Душанбе (1987), на Межународной конференции в Уфе(2007), на Международных симпозиумах по функциональным уравнениям: в Луисвилле(США, 2006), в Бельско-Бяла(Полыпа, 2007), Опава(Чехия, 2008). Они неоднократно обсуждались на специализированных семинарах: семинар по функциональному анализу(Матема-тический ин-т, Душанбе), семинар по функциональному анализу и функциональным уравнениям (университет Луисвилли, США), семинар но функциональному анализу н дифференциальным уравнениям (Вологодский Технический Университет), семинар по функциональному анализу (Воронежский Государственный Университет).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 28 статьях. Список этих работ приведен в автореферате. Из этих работ статьи [1]-[21] опубликованы в журналах из списка ВАК. Из совместных работ [17|, ¡19]-|21j, [25]-[28]в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех частей, разбитых па 19 глав и изложена на 365 страницах. Список литературы содержит 239 наименований.

Часть первая. Для того, чтобы перейти от вопроса об обощешюй устойчивости уравнения (3) и других уравнений таких как: уравнение Йенсена

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(12)

f(xy) + f(xy-') = 2f(x),

квадратичное уравнение

(13)

уравнение Дригаса

ñry) + f (*!/-*) = 2f(x)+2f (у),

(Ы)

f(xy) + /fof1) = 2/(i) + f(y) + f(y-'),

(16)

Дат/) - Дз-гГ') = 2 Г (у).

обобщенное уравнение Коши

(17)

рассматриваемых ранее на нормированных пространствах к аналогичному вопросу на группах и полугруппах, мы будем рассматривать полугруппы наделенные полувесами. Григорчуком Р.И. (аддитивным) полувесом на полугруппе 5 названа неотрицательная вещественная функция 7 определенная на 5, и удовлетворяющая неравенству:

для некоторого неотрицательного числа (]. Полувес 7 называется весом, если <1 = 0. Если же ,5 является группой, н дополнительно 7(х~1) = 7(х),У,г 6 8, то полувес 7 называется симметричным. Полагая 7(.т) не с, для некоторого с > 0 получим постоянный вес на 5. Из каждого полувеса 7 можно получить вес, полагая -}'(х) = 7(.т) + ^. Важным примером весовой функции на группе является следующий. Пусть С произвольная группа и X множество ее образующих, такое, что А'-1 = А". Каждый элемент д е С молот быть представлен в виде

(18) д = 81в2■•■«*. где 5, £ Л".

Вообще говоря, такое представление не единственно. Назовем длиной элемента д относительно множества Л" минимальное к среди всех представлений д в виде (18), обозначим полученное число через 7(<?). Легко видеть, что функция 7 является весом на группе б. В четвертой части диссертации в связи с решением задачи о ширине вербальной подгруппы, будут «роится специального рода полувеса на группах.

Григорчуком Р.И. рассматривались некоторые аспекты применения теории весов в различных областях: веса и свойство "тихоновости", веса и гармонические функции, веса и ограниченные когомологии, алгебры Берлинга.

В первой части диссертации показано как применение весовых функций позволяет обобщить понятие обобщенной устойчивости на неабелевы группы и

1{ху) < 7(я) + 1{у) + <1, У.т, у е 5,

полугруппы. До этого вопросы об обобщенной устойчивости ставились только для уравнений рассматриваемых над нормированными пространствами. Всюду ниже в первой части диссертации (за исключением главы, посвященной квадратичному у равнению) под (/' будет пониматься функция из RjJ" = [0,+00) в а+(множество вещественных положительных чисел) удовлетворяющая условиям:

1) р - возрастающая функция,

2) vihbi) < p(tl)p(t-2), дяя любых ti,ti € Н+,

3) lb(ti + <2) < $(ti) + '¿•(<2),ДЛЯ любых ti. i2 e B+.

4) lim^ = 0.

(->30 I.

В главе посвященной Уравнению Коша вводятся понятия 7)-квазиадди-тивного отображения и (V1,7)-нсевдоадцитивного отображения.

определение 0.4. Пусть S произвольная полугруппа и Е банахово пространство. Пусть функции р и 7 удовлетворяют условиям выше. Будем говорить, что отображение / : 5 —f Е является (Ф,у)-квазиаддитивньш, если существуют неотрицательные, айв такие, что

(19) ИД*») - /(*) - f(M <о + 0 (i-Ых)) + #У(У))] Varies.

Ясно, что множество всех {ф. 7)-аддптивиых отображений из S в Е- является вещественным линейным пространством относительно обычных операций. Обозначим его через KAM^(S; Е). Подмножество КAM^(S\ Е), состоящее из функций, удовлетворяющих дополнительному условию /(а'") = п/(х) для любых х 6 S и п € N обозначим через PAM^niß\E). А подмножество, состоящее из функций /, таких, что для каждой из которых существуют cij и 0j такие, что

(20) И/МН^ + М'Ы*)) Vies,

обозначим через B^(S). Через Hom(S,Е) обозначим множество аддитивных отображений S в Е. Рассмотрим уравнение Коши

(21) /М-/(*)-/(»)= О,

где f : S Е.

Определение 0.5. Будем говорить, что уравнение Коши (ф, ~{)-устойчиво для, пары (S,E), если для любой функции /, удовлетворяющей соотношению

I \fixy) - f(x) - fiy) ¡| <0 + е Шх)) + ФЬШ Vx,yes

найдется аддитивное отображение Ь : Б -* Е-, такое, что для некоторых о'. & справедливо неравенство

.'/(.г) - к{х)\\ <а+ в'1/1(7(2;)) Ух е 5.

Полагая 7 = с, получим определение устойчивости по Хламу. Поэтому все теоремы о -^-устойчивости будут справедливы и в случае устойчивости по Уламу.

ТЕОРЕМА 1.3. Справедливо следующее разложение КАМ^&Е) - РАМф^Е) Ф В^Е).

Из этой теоремы следует, что уравнение Кошп (#\7)-устойгшво для пары (5, Е) в том и только в том случае, когда справедливо равенство РАМфЛ(Б, Е) = 7/о?п(5', Е). Далее доказываются следующие теремы об устойчивости.

ТЕОРЕМА 1.11. Пусть 5 произвольная полугруппа и Е]: Е2 банаховы пространства. Тогда уравнение Коши является (ф.'^-устойчивым для пары (5, Е{) в том и только в том случае, когда оно устойчиво для пары (£>, £-2).

Учитывая последнюю теорему можно говорить об (ф. 7)-устойчивости не указывая банахово пространство, в котором принимает значение функция / из уравнения (21).

ТЕОРЕМА 1.17. Для любых функций ф и у, удовлетворяющих определениям выше, уравнение Коши (ф,1))- устойчиво для любой разрешимой группы.

Доказывается, что класс групп для которых уравнение Коши является (ф, 7) -устойчивым замкнут относительно полупрямых проювдений. Устанавливается, что в общем случае уравнение Коши не является (ф.,'))- устойчивым, а затем доказывается теорема вложения о том, что всякую группу можно вложить в такую, над которой уравнение Коши будет {ф.7)- устойчивым.

Уравнение Йенсена

(22) /(ху) + /(«Г1) - 2Дх) = 0.

определение 0.6. Пусть С произвольная группа и Е банахово пространство. Пусть функции -ф и 7 удовлетворяют, условиям выше. Будем говорить, что отображение / ; (7 —» Е является (ф,у)~квазийенсеновш1, если существуют неотрицательные а и 0 такие, что

(23) ||}{ху) + /ОгГ1) - 2/(ж)Ц < а + в + МО»))] V*. у е С.

Ясно, что множество всех (ф, 7')-квазийеисеновых отображений из С в Е является вещественным линейным пространством относительно обычных операций. Обозначим его через КЛ\1гЛ(С]Е). Подмножество К.}МЧ,..(С;Е), состоящее из функций, удовлетворяющих дополнительному условию /(х") = п/(.т) для любых х 6 С и п £ N обозначим через Е). А подмножество, состоящее

из функций /, таких, что для каждой из которых существуют «] и такие, что

(24) 11/(1)11 <01+01^(7(1)) ^х 6 С.

Обозначим через Вфг:(0). Через .1(0, Е) обозначим множество решений уравнения (22), где / : О —■• Е. А его подмножество состоящее из функций /, удовлетворяющих дополнительному условию /(1) = 0, обозначим через ,7о(С,Е).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.7. Будем говорить, что уравнение. Нежена является устойчивым для пары (О, Е), если для любой функции /, удовлетворяющей соотношению

т*У) + Л*»"1) - 2/(у)!1 <а + в Ш*)) + Ух-У^О

найдется € Е) такое, что для некоторых а', В' справедливо неравенство

¡|/(*) - М*)11 <«' +Vz е а.

ТЕОРЕМА 1.25. Справедливо следующее разложение

М^в, Е) = Р.1М^(в, Е) © Е).

Отсюда следует, что Уравнение Йснсена (ф, 7)-устойчиво для пары (<3,-Е) в том и только в том случае, когда справедливо равенство PJAÍ^Л (С, Е) = МС,,Е).

ТЕОРЕМА 1.32. Пусть С группа и Еу, Ео банаховы пространства. Тогда уравнение Йенсена (р. у) -устойчиво дм пары (С,Е\) в том. и только в том случае, когда оно устойчиво дм пары (С, Ег).

Учитывая последнюю теорему можно говорить об 7)-устойчивостм уравнения Йенсена не указывая банахово пространство, в котором принимает значение функция / из уравнения (22).

ТЕОРЕМА 1.34. Для любых функции ф м 7, удовлетворяющих определениям выше, уравнение Йежена (ф, 7)- устойчиво для нилъпотенгпной группы ступени три. Далее устанавливается, что в общем случае уравнение Коши не является

{Ф> l)r устойчивым, а затем доказывается теорема вложения о том, что всякую группу можно вложить в такую группу, над которой уравнение Йсисена будет (ф, 7)- устойчивым.

В главе, посвященной Квадратичному уравнению

(25) /(.ту) + /Оп,"1 ) - 2}(х) - 2{{у) = 0.

под функцией ф будет пониматься возрастающая функция из rJ = [0, +00) в Е+, удовлетворяющая условию: tp(ti + <2) < P(h) + V'fra), для любых ti,t2 € R+.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.8. Пусть G произвольная группа п Е банахово пространство. Пусть функции ф и 7 удовлетворяют условиям выше. Будем говорить, что отображение / : G —> Е является (v. 7)-квазиквадратичным, если существуют неотрицательные а и 0 такие, что

(26) Щху) + Цху'1) - 2f(T) - 2/(1)11 <а + 0 [,;(-,( г)) + t-(7(i/))] Vx. у £ G.

Ясно, что множество всех (ф, 7)-квазиквадратичных отображений нз G в Е является вещественным линейным пространством относительно обычных операций. Обозначим его через /vQ,;,.7(G; Е). Подмножество KQ^{G\Е), состоящее из функций, удовлетворяющих дополнительному условию /(.г") = fr/(.r) для любых х € G и п £ N обозначим через PQ^(G; Е). А подмножество, состоящее из функций /, таких, что .для каждой из которых существуют aj и 0\ такие, что

(27) \\№\\<а1 + 9Ш>Ш) VxeG

обозначим через BPn(G,E). Через Q(G, Е) обозначим множество решений уравнения (25), где / : G —> Е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.9. Будем говорить, что квадратичное уравнение является (Ф:7) -устойчивым для пары (G,E), если для любой функции /, удовлетворяю щей соотношению

II/(•«/) + Л«г1) - 2 f(y) - 2/(0)11 <а + в Шх)) + '¿'(7(i/))] V.T. у в G

найдется квадратичное отображение ¡1:0—* Е, такое, что для некоторых а', в1 сщх1ведлпво неравенство

¡!/(.т) - Л(.т)1| < а' + 9' ¿(7М) VI е О.

Полагая 7 = с. получим определение устойчивости по Уламу. Поэтому все теоремы о (ё',7)-устойчивоети будут справедливы и в случае устойчивости по Уламу.

ТЕОРЕМА 1.44. Справедливо следующее разложение Е) = Р0^[0, Е) © В*,,«?, Е).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Квадратичное уравнение (ф, 7)-устойчиво для пары ((?, Е) в том и только о том случае, когда справедливо равенство Е) —

С!(С,Е).

Дале доказывается, что квадратичное уравнение является (ф. 7)-устойчивым на абелевых группах. Пусть К произвольное поле и К* его мультипликативная группа. Пусть Ь'Т(3. А')- группа унитреугольных 3x3 матриц, Г(2, К)- группа треугольных 2x2 матриц, Т(3,А')- группа треугольных 3x3 матриц. Доказывается. что квадратичное уравнение является {ф, 7)-устойчивым на выше перечисленных группах.

Уравнение Дригаса

Мы рассмотрим следующую систему функциональных уравнений:

Г Пху) + /(атГ') - 2/(1) - }{у) - }{у-1) = О, 28 {

I ЯУ-1^) + /(У*"') " 2Д.Г-') - ¡(у) - /(»"') = 0.

для любых х.у € О. Здесь / : С —> К (множество вещественных чисел) неизвестная функция. Заменяя х на а'~1 и у на у'1 во втором уравнении (28). получаем

{/(IV) + /(«Г1) - Ш-г) - /(у) - /(г;-1) = о, (29) {

I /(!№) + /(¡Г1*) - 2/(х) - }(у) - /(у-1) = 0.

Таким образом система (28) эквивазднтна системе (29). В диссертации изучается система (29) на группах.

Будем говорить, что система (29) устойчива, если для любого /. удовлетворяющего системе неравеств

Г 1/(31/) + ПлГ1) - 2/(1) - /(?/) - /(у-1)! < <5 + 0К;'(7(.г)) + рЫУ))]; (30) <

I !/Ы + /(гГ'х) - 2/(х) - /(у) - /(?Г')| < « + ОШ*)) + гН->(»))1 для некоторых неотрицательных чисел Лив существуют ср, решение (29) и неотрицательные числа (>1 и такие, что

\Ях)~ф)\<б1 + в1ч:ЬП): Ут е с.

Покачано, что система (29) не является устойчивой в общем случае. Доказана ее устойчивость на абелевых группах и на группе т(3, к). Доказано, что всякая группа может быть вложена в такую группу, над которой система (29) является устойчивой.

Уравнение Уайтхеда

Полугруппы. В главе, посвященной уравнению Уайтхеда, рассматривается вопрос об устойчивости но Уламу функционального уравнения (15) для пары (5, Е), когда 5 является полугруппой, а Е- вещественным банаховым пространством. Установливается, что, в общем случае, уравнение (15) не является устойчивым на полугруппе. Однако это уравнение (15) является устойчивым на периодических и абелевых полугруппах. Также установлено, что любая полугруппа с левым (правым ) сокращением может быть вложена в полугруппу с левым (правым) сокращением нал которой уравнение (15) является устойчивым.

Группы. Вопрос о ( у. ^-устойчивости уравнения (15) рассматривался на группах. Доказана (и. ^-устойчивости этого уравнения на нилыютентных ступени два группах и на группе Т{3, К). Применяемый метод позволяет изучать на устойчивость уравнения Уайтхеда на иолугрунах (заметим, что методы в стат ьях Юнга, Фехнера и Чанга позволяли изучать уравнение Уайтхеда только на векторных пространствах или абелевых группах). Полученные результаты обобщают результаты Юнга, Фехнера и Чанга.

Уравнение типа Иенсепа

(31) /(х?/)-/(.ту-1) = 2/(?/).

Рассматривается вопрос об устойчивости по Уламу на группах. Ранее вопрос об устойчивости этого уравненя рассматривался только когда областью определения

функции / было нормированное пространство. В диссертации показано, что в общем случае уравнение (31) не является устойчивым. Доказано, что уравнение

(31) является устойчивым на нилыютентных ступени два группах и на группах С£(п.С). 51(п,С) и Т(п.С), здесь С-множество коплексных чисел. Также устанавливается, что всякая группа может быть вложена в группу, над которой уравнение (31) является устойчивым.

Обобщенное уравнение Коши. Пусть п € Дг. Под обобщенным уравнением Кошн на полугруппах будем понимать следующее уравнепие

(32) /(х'У) -пД.т) ~пПу) -0.

Рассматривается вопрос об устойчивости по Уламу на группах. Показано, что в обшем случае то уравнение не является устойчивым. Доказано, что уравнение

(32) является устойчивым на нпльпотентных ступени два группах. Также устав-ливается, что всякая группа может быть вложена в группу, над которой уравнение (32) является устойчивым.

Часть вторая. Квазихарактеры и псевдохарактеры. Свободные произведения полугрупп Доя полугруппы 5 через КХ(3) и РХ{Б) будем обозначать множества се квази- и псевдохарактеров соответст венно. Пусть С;,)' 6 I некоторое множество полугрупп и С = ЭД^ в,- их свободное произведение. Пусть для каждой полугруппы выбрано по одному элементу /,- € Л'Л"(С,-). Свободной суммой семейства /¡, г £ / назовем функцию ¿р = определенную так: если д имеет редуцированную форму

9 = <>,С;2 сц €

то полагаем

п

(33) = £/*(«*)•

к= 1

Функция <£ является квазихарактером в том и только в том случае, когда множество {|!/;||. ) £ /} ограничено. Здесь = еир{|/(.ту) — /(т) — /Су)|, х.у £ (?<}. Обозначим через КХ0(С) подпространство А'Л'(С), состоящее из функций / таких, что /1 у = 0. Подмножество КХ(С), состоящее из функций, определенных формулой (33) обозначим через I{X(G¿)). Заметим, что если 6

РХ(С;), V; £ I, то функция (33) не обязана быть псевдохарактером. С другой стороны, функция определенная формулой = ^^(х2"), уже

является псевдохарактером полугруппы С, таким что = /¡, Уг £ }. Эту

функция ф назовем свободной суммой семейства псевдохарактеров {/ь i € /}. Л множество всех псевдохарактеров, полученных таким образом, обозначим через FS(n;eiPX(G,)).

ЛЕММА 2.4. 1. Всякий квазихарактер полугруппы G представляется и единственным образом в виде суммы

(34) Дх) = ?(х)+-ф(х),

где ip 6 FS([\;eIKX{Gt)), ф € KX„(G).

2. Всякий псевдохарактер полугруппы G представляется единственным образом в виде суммы

(35) № = Ф) + Ш, гдеуге FSWi6lPX(Gi)), Ф € PX0(G).

Квазихарактеры полугруппы G, пулевые па множестве X = ЦПространство таких квазихарактеров обозначается через KX0(G) и имеет следующее описание. Пусть Xf = G<. Каждый элемент из пату группы G является словом в алфавите А' =

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.10. Под редуцированной формой элемента у из G — Ф будем понимать его представление в виде

(36) a = tic,---c,„

где Ci 6 X и С-i и Ci+\ не принадлежат одному и тому же X(,..

Определим множество "начал"и множество "копдов"слова (36) следующим образом:

(37) В(у) = { cl,ßic2,...,cic2---cn-i }.

(38) E(g) = { с2 • • • Сп, cs • • ■ с„,.... с„-,с,„ с„ }.

Под длиной элемента у понимается число = п. Пустое слово в алфавите X обозначим через Д. Положим | А | = 0. Для редуцированное формы (36) полагаем у — Cj и у = с„. Если |</| = п > 2 и g и у принадлежат разным А, будем говорить, что слово (36) циклически приведено.

Обозначим через И' множество всех редуцированных слов в алфавите X длины большей единицы. Подмножество И", состоящее из слов длины п, обозначим через ТУ,,. Слово w € И7 назовем простым, если его нельзя представить

в виде ш = где п > 2. Обозначим через V множество простых циклически приведенных слов таких, что если и> £ V, то > 2, Подмножество IV*. состоящее из циклически редуцированных слов обозначим через с(Л"). Для произвольного слова 1С £ И' и любого редуцированного слова и € О обозначим через т),г(и) число вхождений и- в и. Очевидно, что г;„, является квазихарактером С. причем

Для любого слова v положим B(v) = В (у) U {v}, E(v) = E{v) U {«}. Пусть и = ni ■ - ■ on_ia„, v = 6162 • • • бь, редуцированные слова в алфавите X и к' £ И'*. Пусть существуют вхождения № в tro. Рассмотрим одно из этих вхождений. Будем говорить, что данное вхождение положительно лежит на стыке uXv, если:

1. или |«|>| = 2 и существуют щ £ Е{и) и d, £ B(t>). такие, что w = «i'i'i-

2. или !ш;| = 1 и w — (ii ■ ■ • пп_1(гцЬх)Й2 • • -6,-, причем j>l,n>i.

3. или ¡ш;| = 1 и w — <tj ■ ■ ■ u„_i(c7„6i), причем a„bi ф а,,.

4. или ¡ürj = 1 и w = (ОяЬ^Ьг ■■•bj, причем a„b i ф Ьу.

Будем говорить, что данное вхождение отрицательно лежит на стыке ui.t-', если:

5. или ¡ш)| = 1 и ш •— ftf • • • a„-ia„, причем a„b) ф а.„. С. или ji№| = 1 и w = bilh - • ■ bj, причем onhi ф bt.

Ha множестве И-' определим меры ¡JH,v(w) следующим образом: Для любых u,v £ G полагаем: ;/-,,.„(«.') = разности числа положительных и отрицательных вхождений слова w в слове tiv, содержащихся на стыке ulv. Далее, если одно из слов и или v пусто, то полагаем /i»,t.(tt>) = 0 для любого w £ W.

ЛЕММА 2.7. Для любого w € TV н любых u.v £ G справедливо соотношение

Обозначим через KLt,(G) множество функций А : IT' —• R, удовлетворяющих условию: множество

(39)

|'?ш(ш;) - - »?u.(t')l < М - 1; Vm, v £ G.

(40)

)/„,(«■) - vJu) - 77,Дг;) = /wfu?)-

(41)

ограничено.

ТЕОРЕМА 2.6. 1. Функция

(42) у = £ A(w)ih

«eiv

является квазихарактерам полугруппы G о тол» и только в том случае, когда А € KLlt(G).

2. Всякий коозиха]шктер f полугруппы G — П*е/ представляется и единственным способом в виде

(43) / = ?+£ А(иОг;,,,,

ц-glV

где ф € FS(n;e/ KX(G,)), a А £ KL„(G).

Псевдохарактеры свободных произведений полугрупп. Базисные псевдохарактеры.

Для любого w £ W такого, что B(w) П Е(н>) — 0 определим функцию е„, : с(Х) —* R формулой

(44) е„(и) = гу{и) + (ш).

Теперь продолжим функцию е.е на всю полугруппу G следующим образом. Если слово и не является циклически приведенным, тогда и — a¡i!a, где aj.a € -Y» для некоторого k е J. В этом случае слово vaa¡ циклически приведено. По определению полагаем

ew(aiva) = еи.(та i).

Для любого приведенного слова и = O1O2 •••оя положим Ti = А, если ju| < 2; если же |«| > 3, то положим íí = о2 ■ • • o„_i. Введем обозначение

(45) <Л,,«(ш) = fij.a«(t») + /«штдйй(и') - <■<««(«') - /'.,«(«')•

Положим ;vt.(tt') = ¿;„.„(ш) + louv^,v(w) - ши,и{ш) -«;„,„(«••).

ЛЕММА 2.8. Для любого w € И' такого, что B(w) П £(w) = 0 фунщия ew является псевдохарактером.

На множестве всех редуцированных слов в алфавите X введем отношение сопряженности ~ полагая i~jb том и только в том случае, когда х получается из у циклической перестановкой букв.

ЛЕММА 2.13. Если V € IV простой циклически приведений элемент длины не меньшей двух, то V сопряжен с некоторым элементом и~ из с(Х) таким, что ВЫ) П £(ш) = 0.

Мвожество Р-простых, циклически приведенных слов распадается на классы сопряженных элементов. Выберем в каждом таком классе по одному элементу и: такому, что В(ь;) Л Е{и;) = 0. Полученное множество представителей обозначим через Р. Обозначим через РЬи(0) множество функций X : Р —* Я, удовлетворяющих условию: множество

ограничено.

ТЕОРЕМА 2.7. 1. Функция f = Еюер А(?г)еи, является псевдохарктерам полугруппы С в том и только в том случае, когда А € РЬ„{0).

2. Всякий псевдохарактер / полугруппы О = представляется и

единственным способом в виде

Далее во второй части диссертации дается описание пространств квазл- и псевдохарактеров на свободных произведениях групп. Свободные группы и полугруппы являются частными случаями свободных произведений и поэтому их пространства квази- и псевдохарактеров подпадют под описание изложенное выше. С другой стороны, онп обладают своим собственными, более естественными алфавитами, над котором многие простроения и оценки значительно урощаются. Далее во второй части диссертации дается еще один иохход к описанию пространств псевдохарактеров свободных произведений двух групп нлп полугрупп. Этот подход использует метод вложения свободной полугруппы в свободное произведение групп и полугрупп. В четвертой части диссертации используется этот метод для решения вопроса о ширине вербальной подгруппы для одного класса расширений свободных произведений групп. Также описывается пространство псевдохарактеров на одном типе расширений свободных произведений групп. Для свободных произведений произвольного множества

где ф е Г5(П*е/ PX{GiY), а А е Р1ДО.

полугрупп описывается пространство псевдохарактеров инвариантных относительно инъективных эндоморфизмов, оставляющих неподвижными сомножители. Укажем несколько приложений псевдохарактеров к почти представлениям групп.

Пусть И гильбертово пространство и пусть II(Н) группа унитарных операторов Н, снабженная топологией индуцированной нормой. Если Н п - мерное, п е Лг, то и(Н) обозначим через [/"(«).

Определение- 0.11. Пусть 0 < е < 2. Пусть Т отображение группы О в 1>(Н). Будем говорить, что Т является ¿ -представлением, если для любого х, у из группы <3 справедливо соотношение

ЩхЮ — Т{.с)1 (у). ■■■

В статье, о которой уже говорилось выше, Каждан, изучая е-иредегавяе-ния интересовался, в частности, следующим вопросом. Пуст], р : С —> Ь'(Н) некоторое с - представление с малым е. Верно ли, что р близко к некоторому представлению тг группы С в II, то есть, существует некоторое малое <5 > 0 такое что !|р(х) - гг(х)|| < 8 для всех х € С ? Отвечая да этот вопрос Каждан для любого е е (0,1) и любого натурального числа п > % построил пример отображения р группы Г =< .т, у.а.Ь || х~1у~'ху<Г1Ь~ЛаЪ > в Щп) такого, что для любого гомоморфизма тт : Г —> Г/(п) справедливо соотношение ||р - тг;| = 8ир{||р(1-) - 7г(.т)||; хеГ}>1

Используя исевдохарактеры можно следующим образом усилить пример Каждана. Будем говорить что группа С принадлежит классу К если каждая неединичная фактор группа С имеет элемент порядка два. Например, если С разлагается в свободное произведение 2-групп.

ТЕОРЕМА 2.58. Пусть II гильбертово пространство и и{11) группа его унитарных операторов. Предположим что группы .4 « В принадлежат классу К. и что порядок группы В больше двух. Тогда свободное произведение С = /1 * В име.ст следующее свойство. Для. любого е > 0 существует отображение Т : О —> Ь'(Н) удовлетворяющее условиям :

1) \\Т(ху) - Т(х)-Т(у)I! < Е, Vх,Чу € С;

2) для любого представления тг: в —► и{Н) ещмведливо соотношение

8ир{||Г(ж) — тг(:г)'| ..г € О} = 2.

Оказывается условие компактности в результете полученным Харда и Каруби. о котором упоминалось во введение, существенно. Покажем это. Очевидно, что если / 6 P.Y(G), и отображение группы G в GL(2,C), определенное формулой

(46) ГЫ ( I ff ) ,

то существует с > 0 такое, что Т удовлетворяет соотношению

(47) тху)-Т(х)ТШ<с Vs. у eG.

Пусть 7Г : д ( ^ ' ] гомоморфггзм группы G в GL(2.С). Справедливо V ¿(.9) -)(0) J

следующее предложение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.18. Пусть группа G имеет нетривиальный псевдохарактер /. Тогда для любого гомоморфизма тг : G —> GL(2,С) справедливо соотношение

(48) sup{\\T(g) - тг(д)\\. 9 е G} = ос, где Т определяется формулой (46).

Двумерные вещественные треугольные квазппредставлепия групп.

Под двухмерным вещественным треугольным квазипредставленисм группы G будем понимать отображение Т : G —► Т(2, R), удовлетворяющее условию: если

ft(<?) f(g)

(49) Ф(я)=, „

о р{д)

то а и в гомоморфизмы группы С г: II" и для некоторого с > 0 и любых х,у € С справедливо соотношение

||Ф(.г(/) - Ф(т)Ф(г/)!| < с.

Для краткост и двумерное вещественное треугольное квазипредставление, группы С будем называть просто квазипредставлепием, а квазипредставление с диагональными матричными элементами а и 0 будем называть (а, /^-квазнпредставлепием. Будем говорить, что квазипредставленпе Ф тривиально, если либо оно является представлением, либо оно ограничено. Известно, что если Ф-такое (а. /})-квазипредставление, что хотя бы одна из функций а или ¡3 неограничена, то Ф является представлением. Таким образом, если Ф нетривиальное квазипредставление, определенное равенством (49), то о и в- ограниченные гомоморфизмы

группы G в R*, а / - неограниченная функция. Обозначим через е гомоморфизм G в #*, сопоставляющий каждому элементу единицу. Автором в статье 1994 года был установлен следующий факт.

ЛЕММА 2.83. Если а и д- ограниченные гомоморфизмы группы G в R* и Ф-нетривиальное (а, ß)-квазипредставление группы G, тогда либо о = В, либо а = е либо ¡3 = с.

Поэтому, задача об описании двумерных вещественных треугольных квазипредставлений группы сводится к задаче об описании четырех пространств вещественных функций / определенных на G, удовлетворяющих, соответственно, следующим условиям:

1. множество Л/ifG) — ^/(жу) - f(x) - f(y), х.у е g| ограничено;

2. множество Ma.a(G) = {/(¿у) - a(x)f{y) - a(y)f(x), г,у 6 gJ ограничено;

3. множество Ma t(G) = -|/(iy) — aix)f(y) — f(x), х. у € g| ограничено;

4. множество Mia(G) = |/(.ту) - f(x) - ai^x)f(y). x,y € G j ограничено.

Ясно, что Mi - KX(G)

Пусть а ограниченный гомоморфизм G —> К* и а. такой элемент группы G, что а(а) = —1. Пусть Н = Кета, тогда G = Н\_\а11. Обозначим через РХ(Н,а) подпространство РХ(Н), состоящее из нсевдохарактеров группы Н инвариантных относительно автоморфизма, индуцированного сопряжением в группе G элементом а.

ЛЕММА 2.84. Л-/„,а(С) = РХ(Н. а) ф B{G).

Обозначим через РХ(Н, —а) подпространство РХ(Н), состоящее из псевдохарактеров /. удоачетворяющих соотношению f(ha) = —/(Л), V/г е II.

ЛЕММА 2.85. = РХ(Н, -а) ф B(G).

Аналогично доказывается следующая лемма.

ЛЕММА 2.86. Mf.a(G) = РХ(Н, -а) е B(G).

Таким образом описание нетривиальных квазипредставленнй группы G свелось к описанию пространств РХ[Н, а) и РХ(Н, —а).

Квазипредставления свободной группы. Пусть F свободная группа с множеством свободных образующих У, мощность которого больше единицы.

Используя метод Нильсена можно показать, что множество M = {d = a2,bx — х.Ст = usa ; x e Z] начнется системой свободных образующих для груины Я.

Описание пространства РХ(Н, а). Обозначим через у автоморфизм группы Н, индуцированный сопряжением элементом а в группе F. Из соотношений

a~ida = d, a~*hxa = a~lxa = а~2аха = dr1^. a'laxaa = ха2 = bxd следуют равенства

Обозначим через А группу автоморфизмов группы ff, порожденную 7 и внутренними автоморфизмами группы Н. Пусть Л = А/Inn Н. Тогда порядок группы А равен двум. Из соотношений (50) следует, что для любого слова у в алфавите М справедливо неравенство |?'т| < 2|р|. Таким образом, для описания пространства РХ(Н.а) = РХ(Н,А) можно применить метод, использованный ранее в части 2 диссертации для описания пространств псевдохарактеров конечных расширений свободной группы.

Описание пространства РХ{Н,—а). Для всякого w 6 Т+ определим функцию aw но формуле aw = е*—ej. Так как сопряжение элементом а2 в группе F индуцирует внутренний автоморфизм группы Я, то справедливо равенство

Из (52) видно, что aw принадлежит пространству PX(H.-j). Далее имеем <т7(ш-|) - а7(гг) - <т"(г) = fv(-M') - еи.(и) - e«,(v) - eZ(uv) + еЦи) - él(v)

Обозначим через Т^ подмножество Т+, состоящее из элементов и?, удовлетворяющих условию: ш сопряжен в группе Я с элементом гг7. Пусть Т+ = Т+\7$. Легко видеть, что для любого и> 6 'Т* справедливо равенство аф(и;) = 1. Положим ПЦ,„И = ©„.„(г»;) — в„-,.,л(и!). Обозначим через множество вещественных

функций Л на Т} . удовлетворяющих условию: множество

(50)

(Г = d. bl=drlcx. с± = bj.

(51) аЦи) = еЦ-и) - el2(v) = е7 (и) - е,Ди) = -ош(и).

ограничено.

ТЕОРЕМА 2.60. Всякий элемент f пространства РХ{Ы. —и) представляется и единственным образом в виде

Часть третья. Об альтернативном уравнении Коши. Альтернативным уравнением Коши над полугруппой S называется следующее функциональное уравнение

(52) [f(ту) - f(x) - fiy)} lf(xy) -fix) - fiy) - 1] = 0, Ух,у £ 5. Это уравнение может' быть переписано в виде

(53) Дху) - fix) - /(у) е М := {0л }, Ух, у е 5.

Откуда видно, что всякое решение этого уравнения является кази.чарактером полугруппы S, и поэтому, как показано в частях 1 и 2, представляется в виде суммы псевдохарактера и ограниченной функции.

Отвечая на вопрос проф.Гэра. в третьей главе диссертации приводится пример простейшей полугруппы, над которой аддитивное уравнение Коши не является устойчивым и описывается множество всех решений альтернативного уравнения Коши над згой полугруппой. Эта полугруппа S задается двумя образующими а, Ь и двумя определяющими соотношениями а2 = а, I? = Ь. Затем дается полное решение альтернативного уравнения Коши над этой полугруппой. Из определяющих соотношений следует, что пространство аддитивных характеров полугруппы S рано нулю. С другой стороны установлено, что пространство ее псевдохарактеров одномерно. Базисный псевдохарактер полугруппы 5 обозначается через ф. Установлено, что если некоторая функция tp является решением уравнения (53), то она однозначно представляется в виде <р — сгф + 6, где « 6 { q € N }, а 5 ограниченная функция. Установлено, что для каждого рационального числа вида а = ±| существует- конечное число ограниченных функций ¿(причем все эти функции предъявляются) таких, что сумма аф 4- 6 является решением уравнения (53). Полученное множество решений показывает впечатляющую разницу между решениями уравнения (53) в устойчивом и неустойчивом случаях.

Далее в третьей части диссертации решается более общая задача, чем та которая поставлена Форти. А именно дается полное описание мпожества решений

альтернативного уравнения Коши над свободными полугруппами произвольного ранга и более того над свободными произведениями произвольного множества полугрупп. Средства для решения этих задач созданы во второй части диссертации.

В Четвертой части диссертации вводится понятие ¿-гомоморфизма группы <3 в полугруппу 5 с инволюцией и снабженную метрикой .). Доказывается существование таких ¿-гомоморфизма на свободную полугруппу с инволюцией для группы С, представимой в виде свободного произведения групп Л и В с объединенной подгуппой Ы, причем А ф Н, а число двойных смежных классов 2? по Я не меньше трех. И для группы С представимой в виде ЯЛгЛ?-расширендя, у которого связанные подгруппы являются собственными подгруппами базовой группы. Затем, используя существование таких ¿-гомоморфизмов, следующая теорема.

ТЕОРЕМА 4.10. Пусть группа С является свободным произведением групп А и Б с объединенной подгуппой Я, либо Н NN-расширением !1 удовлетворяет условиям из предыдущего абзаца. Тогда для всякого конечного собственного слов V" ширина вербальной подгруппы I '(С!) бесконечна.

Заметим, что когда б является ЯЛчЛГ-расширением. то эта теорема совпадает с теоремой 0.24

Также устанавливается бесконечность ширины вербальной подгруппы. на одном классе полупрямых произведений групп с инвариантным множителем разложимым в свбодпое произведение двух групп. Теорема 4.10 обобщает результаты работ Р. И. Грнгорчука , И. В. Добрыниной и Ремтуллы. В статьях В.Бардакова, В.Шинльрайна и В.Толстых (2005) и В.Бардакова и В.Толстых(2006) было введено понятие палиндромных элементов в совободных произведениях групп, обобщающее соответствующее понятие для свободных групп. Напомним, что в свободном произведении С — А* В элемент у называется палиндромным, если для несократимого слова и = аА... а,,-!^-!««,, его представляющего, выполняется равенство

(54) «Л ... = ... Мь

Была доказана теорема о том, что если А п В неединичные группы и порядок хотя бы одной изих больше двух. Тогда ширина множества палиндромныхелов в й бесконечна. В четвертой части диссертации этот результат обобщается

следующим образом. Пусть группа С является либо свободным произведением с объединением б = .4 *ц В, причем Н собственная подгруппа в А и В и число двойных смежных классо В по II больше двух, либо НКМ-расширением С =< В, t~1At = В, а >, причем А а В собственные подгруппы в О.

Определение 0.12. Элемент д е С? назовем палиндромным, если или

1. д 6 .4 и В в случае свободного произведения с объединением, д £ О - в случае II NN -расширения,

или

2. среди всех редуцированных форм, представляющих д имеется такая С1С2 ■ •' что слово с„ ■ ■ ■ С2С1 также редуцировано и

С1С2---Сп = Сп---С2С1.

ТЕОРЕМА 4.13. Множество палиндромных слов имеет бесконечную ширину в б.

Далее для случая п = 2 обобщается упомянутый выше результат Каллеиа, а именно утанавливается, что для любого поля К ширина множества элементарных трасвекций в группе йЦ2, К\х\) бесконечна.

Автор выражает искреннюю благодарность А.И.Штерну, иод чьим руководством он начал заниматься вопросами, рассматриваемыми в этой диссертации.

Список основных публикаций по теме диссертации.

Статьи в рецензируемых научных журналах, включенных в реестр ВАК МОиН РФ:

1. Файзиев В.А. Псевдохарактеры на свободных произведениях полугрупп/ В.А.Файзиев // Функц. анализ и его прилож. -1987.- Ко.1.-0. 80-87.

2. Файзиев В.А. Псевдохарактеры на свободных группах и некоторых групповых конструкциях/В.А. Файзиев // Успехи Мат. наук.-1988.- 43- N0.0 -С.225-226.

3. Файзиев В.А. О пространствах псевдохарактеров на свободных произведениях полугрупп/В.А. Файзиев // Матем. Заметки. -1992,- 52, N0. 6.-С. 126-137

4. Файзиев В.А. Псевдохарактеры на группе SL(2,Z)/В.А. Файзиев // Функд. Анализ и его ирилож. -1992.- No.4.-C.77-79

о. Файзиев В.А. Об одной теореме Харпа и Каруби/В.А. Файзиев /7 Успехи матем.наук, -1993.-No.2.-C.203-204.

С. Файзиев В.А. Псевдохарактеры на полупрямых произведениях полугрупп/ В.А.Файзиев // Матем. заметкп.-1993.- 53, No.2. -С. 132-139.

7. Файзиев В.А. Об устойчивости одного функционального уравнения па группах/ В.А. Файзиев // Успехи мат. паук. -1993.- 48, No.l. -С.193-194.

8. Файзиев В.А., Псевдоха[ю.ктеры, на свободных группах/В.А. Файзиев // Известия РАН, серия матем,- 1994,- 58, No. 1. -С.121-143.

9. Файзиев В.А.. Описание пространства псевдохарактеров свободной полугруппы ранга два инвариантных относительно одной полугруппы эндоморфизмов /В.А. Файзиев // Фунц, анатаз и его прилож. -1994.- 28, No. 1, -С.85-87.

10. Faiziev V.A., Psendocharacters on free semigroups /V.A. Faiziev // Russ. J. Math. Phys.-1995- 3, No.2, -pp.191-206.

11. Файзиев B.A., Двумерные вещественные треугольные квазипредставления групп/В.А. Файзиев // Фундаментальная и пркладная матем.-1995.- 1 ,No.4. -С.1129-1132.

12. Файзиев В,А., Двумерные вещественные треугольные квазипредставления свободной грутти/В.А. Файзиев // Доклады РАН.-1997.- т. 355, No.6.-C.737-739.

13. Faiziev V.A., Pseudocharacters on free products of groups/V.A. Faiziev// Russ. J. Math. Phys. -1997,- 5, No.l. -C.3-8.

14. Faiziev V.A., Pseudocharacters on free semigroups invariant with respcct to their automorphism groups/V.A. Faiziev// Proc.Amer.Math. Soc. -1998.- 126, No.2. -pp.333-342.

15. Faiziev V.A., On almost representations of groups/V.A. Faiziev// Proc. Amer. Math. Soc.-1999.- 127, No.l. -C.57-61.

16. Faiziev V.A.. Description of pseudocharacters:s spo.ce of free products of groups/V.A. Faiziev// Math. Ineq. And Appl.-2000.- 2, -C.269-293.

17. Faiziev V.A., The space of (if', 7) additive mappings of semigroups /V.A. Faiziev, Tii.M.Rassias and P.K.Sahoo// 1hins.Amer.MatJi.Soc. -2002,- v.354,110.ll, -pp.4455-1472.

18. Файзиев В.А., Об устойчивости уравнения Йенсена иа группах, Доклады РАН. -2002.- 386. -N 6. -С.

19. Faiziev V.A. and P.K.Sahoo, Description the pseudocharacter space and the problem of expressibility for som.e groups/V.A. Faiziev and P.K.Sahoo// Journal of Algebra. -2002,- v.250,2, -C. 603- 637.

20. Файзиев B.A. . О пространстве псевдойснсеповых функций на группах / В.А.Файзиев, П.К.Саху// Алгебра и Анализ. -2002,- v.14, е 6. -С.205-234.

21. Faiziev V.A. , On the stability о} a Jensen type junctional equation on groups/V.A. Faiziev and P.K.Sahoo/'/ Bulletin of the Korean Mathematical Society. -2005.- v.42,no.4. -pp.759-778.

Публикации в других изданиях

22. Faiziev V.A., Pseudocharacters on a class oj extension of free groups/YA. Faiziev// New York Journal of Math. -2000.- 6. -pp.135-152.

23. Faiziev, V.A. The stability of the equation f(xy) — f(x) — f(y) — 0 on groups /V.A. Faiziev// Acta Math. Univ. Comenianae.-2000.- 1. -pp.127-135.

24. Faiziev, V.A.The problem of expressibility is some amalgamated product of groups/ V.A. Faiziev// Austral. Journ.Math.-2001.- 71. -pp.105-115.

25. Faiziev V.A., On the space of (p.^)-pseudo-Jensen mappings on Groups/V.A. Faiziev, Sahoo P.K./// Nonlinear Funct. Anal. And Appl.-2006.- vol.11, no.5, -pp.759791.

26. Faiziev V.A., On Drygas functional equation on groups/V.A. Faiziev, P.K. Sahoo // Internationa! Journal of Applied Mathematics and Statistics. -2007.- V.7.-no.Fe07. -pp.59-69.

27. Faiziev V.A., On the stability of Drygas functional equation on groups/V.A. Faiziev, P.K. Sahoo // Banach Journal of Math.Analisis.-2007.- v.l.- no.l. -pp.43-55.

28. Faiziev V.A. Stability of Drygas functional equation on T(3,R) /V.A. Faiziev, P.K.Sahoo // International Journal of Applied Mathematics and Statistics. -2007.-7, no.Fe07, 70-81.

ФАЙЗИЕВ ВАЛЕРИЙ АВГАНОВИЧ

УСТОЙЧИВОСТЬ II НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО УЛАМУ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Формат 6048 1/16. Бумага типографская. Гарнитура шрифта «Times» Печать ризографическая Усл. печ. л. 2,1. Тираж 100 экз. Заказ 392.

Издательство ТГСХА «АГРОСФЕРА» Россия, 170904. г. Тверь, п. Сахарово, Ул. Василевского, д. 7. Тел. (4822)53-12-36

1. Введение

Часть 1. Об устойчивости функциональных уравнений на группах и полугруппах

Глава 1. О (t/j, 7)-устойчивости аддитивного уравнения Коти

1. Пространство (ф, 7)— псевдоаддитивных отображений

2. Устойчивость

3. Полупрямые произведения и разрешимые группы

Глава 2. О пространстве (ф. 7)—псевдойенсеновых функций

1. Пространство (-0,7)—псевдойенсеновых функций

2. Устойчивость

3. Теорема о вложении

Глава 3. О (ф, 7)-устойчивости квадратичных отображений

1. Введение

2. Предварительные результаты

3. Устойчивость

4. Вложение

Глава 4. О устойчивости уравнения Дригаса на группах

1. Устойчивость

2. Теорема о вложении

Глава 5. Об устойчивости уравнения Уайтхсда 1^

1. Разложение

2. Устойчивость

3. Вложение

4. Неабелевы группы

Глава 6. Об устойчивости уравнения типа Йснсена на группах

1. Введение

2. Предварительные факты

3. Устойчивость

4. Некоторые классические группы:

GL(n, С), SL(n, С), Т(щ С)

5. Теорема вложения

Глава 7. Об устойчивости обобщенного уравнения Коши на группах f(xny") - nf(x) - nf(y) =

1. Предварительные результаты

2. Устойчивость

3. Метабелевы группы

4. Сплетения

5. Теорема вложения

Часть 2. Квазихарактеры и псевдохарактеры на группах и полугруппах

Глава 8. Определение и свойства псевдохарактеров

Глава 9. Свободные произведения полугрупп

1. Псевдохарактеры свободных произведений полугрупп 1G

2. Квазихарактеры и псевдохарактеры полугрупп с инволюцией

3. Типовая полугруппа

Глава 10. Свободные произведения групп

1. Предварительные сведения

2. Псевдохарактеры свободных произведений групп

Глава 11. Квази- и псевдохарактеры на свободных полугруппах

1. Предварительные утверждения относительно свободных полугрупп

2. Описание пространства псевдохарактеров свободных полугрупп

Глава 12. Псевдохарактеры па свободных произведетгях полугрупп

Глава 13. Описание пространства псевдохарактеров свободного произведения групп, с использованием свободной полугруппы

1. Газложение пространства РХ(А * В) в прямую сумму пространств PX(A)1PX{B):PX(D:-1)

2. Описание пространства PX{D, —1)

Глава 14. Псевдохарактеры на одном виде полупрямых произведений групп

1. Полупрямые произведения

2. Описание пространства РХ(Z), —1, Т)

3. Описание пространства РХ(Т ■ H)

Глава 15. Псевдохарактеры на некоторых расширениях свободных групп

1. Вспомогательные предложения о свободных группах

2. Предварительные сведения

3. Псевдохарактеры свободных групп

4. Псевдоахарактерьт на некоторых расширениях свободных групп 2^

5. Псевдохарактеры свободных произведений полугрупп, инвариантые относительно инъективных эндоморфизмов

6. Некоторые примениния псевдохарактеров

Часть 3. Об альтернативном уравнении Коши

Глава 16. Решение альтернативного уравнения Коши на полугруппе S =< а2 — а, Ь2 — Ь >

1. Ограниченные решения уравнения (636)

2. а =

3. а =

4. а =

5. а = -2.

6. а — иррациональное число

7. а — рациональное число

8. о; — отрицательное число

9. а < 0, а = -1 — А, А =

10. Рассмотрим случай: а = —А,; Л =

11. Таблица для А = Д/ - разности Коши функци /

12. а— положительное число

13. Решение уравнения в случае, когда ск = ^

14. Решение уравнения в случае, когда а — —

15. Решение уравнения в случае, когда а = | = ^¿т

16. Решение уравнения когда а = —1( следовательно д > 3)

Глава 17. Об альтернативном уравнени Коши на свободных произведениях полугрупп и свободной полугруппе

1. Альтернативное уравнение на типовой полугруппе

2. Квазихарактеры на свободной полугруппе

3. Решение альтернативного уравнения

Часть 4. Ширина вербальной подгруппы некоторых групп

Глава 18. О ширине вербальной подгруппы группы О = Т ■ Н

Глава 19. О почти гомоморфизмах на свободный моноид

1. Метрика на *)

2. Биполярные структуры

3. О ширине вербальной подгруппы групп с биполярной структурой

4. О ширине одного множества в свободных произведениях с объединенной подгруппой

5. Замечание о ширине вербальной подгруппы 1Ш1Ч-расширений

В 1940 году известный американский математик С. Улам поставил следующую задачу: "Если мы заменим функциональное уравнение функциональным неравенством, то при каких условиях решения последнего будут близки к решениям исходного уравнения?"Сама постановка задачи имеет практическую направленность. Если решать уравнение численными методами, используя компьютер, то так как в процессе вычислений появляются погрешности, то возникает вопрос насколько "численное решение "уравнения отличается от его истинного решения. Вопрос Улама стал отправной точной для нового направления в математике -Теории утойчивости функциональных уравнений.

В настоящее время это быстро развивающаяся область. На данную тематику опубликованы сотни статей и несколько монографий.

§1 Уравнение Коши. Понятие гомоморфизма является важнейшим в математике. Если речь идет о гомоморфизме из одной группы или полугруппы в другую, то отображение ф : <5 —> является гомоморфизмом, если оно удовлетворяет условию

1) ф(ху) = ф(х)ф(у), Ух, у е 5.

То есть гомоморфизм - это отображение, удовлетворяющее функциональному уравнению (1). В теории функциональных уравнений уравнение (1) называется уравнением Коши. Если полугруппа ^ является аддитивной с операцией " + ", то уравнение (1) переписывается в виде

2) ф{ху) = ф{х) + ф(у), у е Б. или же в виде

3) ф(ху) - ф{х) - ф{у) = 0, Уж, у е 5.

Применительно к функциональному уравнениию (1) вопрос Улама можно сформулировать так. Пусть даны группа (?х, метрическая группа (б^оО и положительное число е. Существует ли 6 > 0 такое, что если / : —»• С2 удовлетворяет условию с1(/(ху),/(¿)/(/у)) < 5 для любых х,у € то существует гомоморфизм Т : —>• G2 такой, что с1(/(х),Т(х)) < е для любых х,у £ С?]? См. Улам (1960) или (1974) для обсуждения подобных проблем, а так же Хайерс (1941, 1983), Хайерс и Улам (1945, 1947), Рассиас (1978), Акзель и Домбрес (1989).

В случае положительного ответа на предыдущий вопрос говорят, что гомоморфизмы 01 —У С2 устойчивы или , что функциональное уравнение Коши (1) устойчиво. Первый положительный ответ был дан Хайерсом [121] в 1941 г. Рассмотрим аддитивное уравнение Коши

4) (р(ху) = <р(х) + (р(у).

Теорема 0.1 (Д.Хайерс). Пусть Е\,Е2 банаховы пространства и / : —Е2 удовлетворяет условию: существует е > 0 такое, что

5) || ¡(х + у) - /(ж) - ¡{у) || < е для всех х, у € Ег. Тогда существует Т : Ег —>• такое, что

6) Т{х + у)- Т(х) - Т(у) = 0 для всех х, у е Ех и

7) Il f(x) - T(x) H < e для всех x e EL.

Если внимательно просмотреть доказательство теоремы Хайерса, то можно заметить, что она остается справедливой, если под Е\ будет пониматься не только банахово пространство, но любая абелева полугруппа S. Таким образом получается, что гомоморфизмы из абелевой полугруппы в банахово пространство устойчивы.

В 1978 году Т.М.Рассиас [177] получил следующее обобщение теремы Хайерса позволяющее разнице Коши быть неограниченной

ТЕОРЕМА 0.2 (Рассиас). Пусть Ei,E2 банаховы 71ространства и / : Ei —у Е2 удовлетворяет условию:

8) || f(x + и)- f(x) - f{y) У < s (IbH* + IМП для всех x, у G Еи где е и р такие постоянные, «что £>0и0<р<1.

Тогда существует Т : Ei —Е2 такое, что

Т(х + у)~ Т(х) - Т{у) = 0 для всех x, у G Ех и

T(x)-f{x)\\<ke\\x\\>, где к зависит от pue.

После результата Хайерса было опубликовано большое количество статей, обобщающих проблему Улама и теорему Хайерса. См. [86]-[92], [122|-[129], [177|-[188], [190], [191], [193], [194], [201],[202],[203],[210],[211].

Определение 0.3. Пусть G произвольная полугруппа а В банахово пространство. Будем говорить, что уравнение (4) устойчиво для пары (G,B) если, djin любой функции / : G —»■ В такой, что f(xy) — f(x) — f(y)\\<ô, х,у G G для некоторого Ô > О, существует решение ср уравнения (4) такое, что f(x)-tp(x)\\<e,' Ухе G для нскоторогое зависящего только от 6.

Форти ([90]) установил, что если В\, В2 банаховы пространства, тогда уравнение (4) устойчиво для пары (G, В\) в том и только в том случае когда оно устойчиво для пары (G,B2)■ В силу этого замечания мы будем говорить просто об устойчивости уравнения (4) для группы или полугруппы G. Таким образом теорема Хайерса утверждает, что уравнение (4) устойчиво для любой коммутативной полгруппы G. В [202] Секехиди обобщил результат Хайерса используя метод инвариантных средних.

ТЕОРЕМА 0.4. Пусть G аменабельная слева(справа) полугруппа, тогда уравнение (4) устойчиво для G.

Теперь возник естественный вопрос: существуют ли группы или полугруппы для которых уравнение (4) не является устойчивым? Учитывая теорему Секехиди, такие группы нужно искать среди неаменабельных. Действительно, в 1985 году Форти [89] построил пример, показывющий, что уравнение Коши (4) в общем случае не является устойчивым.

Начиная с 1978 года тематика "аппроксимативных гомоморфзмов"интенсивно изучалась многими математиками. Изучению аппросксимативно мультипликативных функций из вектороного пространства в множество вещественных чисел посвящена статья Бейкера, Лоуренса и Зорцитто [51] (1979). В этой статье было установлено, что если 5 > 0 и функция / :V —» R удовлетворяет соотношению

IКХУ) ~ f(-r)f(y) 1 < Для любых т, у € V, то либо /-ограниченная функция, либо

9) f(xy) = f(x)f(y), для любых х,у е V.

В следующей работе Бейкера [52] данный результат был обобщен на случай, когда функция / определяется на полугруппе . В работе Лоуренса (1985) были рассмотрены отображения / : S —» А полугруппы S комплексную нормированную алгебру А, удовлетворяющие неравенству f(xy) - f(x)f{y)\\ < 5, для любых ,г,у е У, и некоторого S > 0. Была доказана устойчивость уравнения (9) в случае, когда S коммутативная полугруппа и А = М2(С)-нормированная алгебра 2x2 матриц с комплексными элементами.

В литературе закрепилась следующая терминология. Когда рассматривается вопрос об устойчивости с ограниченной правой частью неравенства(как в теореме 0.1, неравенство (5)), то говорят об устойчивости по Уламу-Хайерсу. Когда же правая часть неравенства (как в теореме 0.2, неравенство (8)) неограниченна, то говорят об обобщенной устойчивости или устойчивости но Уламу-Хайерсу-Рассиасу. и и

§2 Уравнение Иенсена. Уравнением Иенсена называется следующее уравнение. ю) 2/(нг) =/(*■) + /(*)■

Положим ^тр = и, = V, тогда уравнение (10) можно переписать в виде

2f(u) = f{u + v) + f(u,-v).

Последнему уравнению можно придать вид

11) f(xy) + f(xy-l)=2f(x), которое можно рассматривать над любой группой. Это уравнение рассматривалось в статьях Акселя, Чунга, Нг [46],[69] [166].Вопрос об устойчивости уравнения (11) рассматривался в статьях Юнга, Коминека, Ли, Янг, Лакзковича, Табора [141], [147],[152], [210], [151], [201]. Во всех этих статьях областью определения функции / была либо абелева группа либо некоторое ее подмножество. Юнгом в [141] была доказана следующая теорема

ТЕОРЕМА 0.5. Пусть Е± нормированное пространство и Е2 банахово пространство. Пусть р положительное число такое, что р ф 1 пусть 5 > 0 и в > 0. Предполоэюиль, что отображение / : —»■ Еч удовлетворяет неравенству

12) ||2/((*• + у)/2) - f(x) - f(y)|| < 5 + 0(||оГ + |МГ) для любых х, у б Е]. Тогда существует единственное аддитивное отобраэюение Т * Ei —^ Е2 такое, что

13) \\f(x)-T(x)\\ < 5+ ||/(0)|| + Т±-в\\х\\>, если р < 1, или np-l

14) Ц/(ж)-Г(ж)Ц< 2plie\\xf, если р>1, для всех х £ Ei.

§3 Квадратичное функциональное уравнение.

15) f(x + у) + f(x -у)- 2 /(ж) - 2 }{у) = О имеет решения вида /(.г) = сж2, где с произвольная постоянная и / вещественная функция вещественной переменной. Пусть Е нормированное просрапство с нормой ||.||. Известно,что для того норма х —У ||ж|| задавалась скалярным произведением необходимо и достаточно что бы, она удовлетворяла функциональному уравнению

II/(X + у) II2 + II fix - у) II2 - 2||/(ж)||2 - 2||/(у)||2 = 0, Vx,y е Е, то есть, что бы функция х —> ||ж|| являлась решение уравнения (15). Авторы Хосзу [117] и Курепа [149] изучали связь между биморфпзмам и решениями уравнения (15). Известно (см[46]), что если Е1.Е2 банаховы пространства, а функция / : Е\ —> Е2 удовлетворяет уравнению (15), то существует, единственный симметричный биморфизм В : Ei х Ei —> Е? такой, что /(ж) = В (ж, ж). Первый результат об устойчивости уравнения (15) был получен в Скоф [193].

Теорема 0.6. Пусть G абелева группа v Е банахово пространство. Если для некоторого 6 > 0 функция f : G Е удовлетворяет неравенству

16) Ых + у) + fix - у) - 2 fix) - 2/(у)|| < S для любых х,у G G, тогда существует единственная квадратичная функция q : G —Е такая, что

17) II <| j для всех х € G.

Кзервиком в статье [67] был получен следующий результат об обобщенной устойчивости.

Теорема 0.7. Пусть Ei нормированное пространство и Е2 банахово пространство. Пусть е > О, р ф 2 вещественные чиспа. Предполоо1сим, что отображение f : Ei —> Е2 удовлетворяет неравенству

18) || fix + у)+ fix -у)- 2 fix) - 2/Q/) || < е + (||ж|Г + ||ур) для любых ж, у € Ei. Тогда сугцествует единственное квадратичное отобрао/сение g : Ei —> Е2 такое, что

19) ||/(ж) - gix)\\ < ске\\х\\р, для всех х Е Ei, если р > 0 и для всех х £ Е\ \ {0}, если р < 0. Причем, если р < 2, то с — f — если же р > 2, то с — 0, к =

Квадратичное уравнение на произвольной группе принимает вид

20) fixy) + fixy'1) - 2fix) - 2fiy) = 0.

Янг [210] доказала устойчивость этого уравнения на аменабельных группах.

§4 "Уравнение Дригаса. Дригас в [74] получил теорему характеризующую в духе Жордана-Неймана [137] пространства с квазискалярным произведением. В его характеризации функциональное уравнение + /(„) = Нее - ») + 2 {/ - / } играет важную роль. Если мы заменим у на —у в этом уравнении и сложим полученное уравнение с предыдущим, то получим

21) /О + у) + J(x -у) = 2f{x) + /О;) + /(-у).

Функциональное уравнение Дригаса (21) на произвольной группе G принимает вид

22) /Осу) + /(ху-1) - 2/0) - f(y) - fbr1) = О для любых х, у £ G. Саху, Каннаппан, Ибанкс [81] изучали систему функциональных уравнений

23) f(xy) + ¡{ху-1) - 2/0) - f(y) - ¡(у'1) = 0, f(zyx) = f(zxy) для любых x,y,z G G. Было показано, что общее решение этой системы / : G —К (поле с характеристикой отличной от двух) (23) задается в виде

J(x)=H(x,x)+A(x) где Н : G х G —К симметричный биморфизм и А : G К гомоморфизм.

Вопрос об устойчивости уравнения (22) рассматривался Юнгом в [140]. Им была доказана следующая теорема об устойчивости.

ТЕОРЕМА 0.8. Пусть Е\ и £72 векторное и банахово пространства соответственно. Если функция / : Е\ Ei удовлетворяет неравенству

24) ||/(Ж + у) + f(x - у) - 2/0) - f(y) - f(-y) || < для некоторого е > 0 и всех х, у g Е\, то существуют единственная аддитивная А : Ег —> i?2 и единственная квадратичная Q : Е\ Ео функции такие, 'что

25) \\J(x)-Q(x)-A(x)\\<fs, для всех х G Е±.

§5 Уравнение Уайтхеда. Уравнение Уайтхеда

26) /О + y + z) + /О) + f(y) + f(z) = /О + У) + /О/ + z) + f(z + х). впервые появилось в статье Уайтхеда [209] в процессе решения чисто топологической задачи) и там же было дано общее решение в случае когда / отображает абелеву группу в множество вещественных чисел и удовлетворяет дополнительному условию f(—x) = /О). На заседании Американского Математического

Общества проф. Е. Диба из университета в Хьюстоне поставил вопрос об отыскании общего решения функционального уравнения (26). Каннаппан [143] установил, что в случае, когда ¥— векторное пространство, а к—поле характеристики .те равной двум, то общее решение / : V —* К этого уравнения представляется в виде f(x) = B(x,x) + A(x) где В : ¥ х V —» К симметричный биморфизм, а А : ¥ —> К аддитивная функция.

Устойчивость по Уламу-Хайерсу уравнения (26) изучалась Юнгом [138]. Им был получен следющий результат.

Теорема 0.9. Пусть ¥ вещественное норлшровенное пространство, а X вещественное банахово пространство. Пусть / : V —> X удовлетворяет неравенствам

27) ||f(x + y + z) + f(x) + f(y) + f(z) - f(x + y)~ f(y + z)~ f(z + x)\\ < 5 и

28) \\f(x)-f(-x)\\<e для некоторого 5, в > 0 и любых x,y,z Е ¥. Тогда сущетвует единственное квадратичное отобралсение Q : ¥ —>• X, удовлетворяющее соотношению

29) \\f(x)-Q(x)\\<35 для любых х G ¥.

Там же в [138] была установлена другая теорема, в которой условие || f(x) — /(—ж)|| < в заменено таким ||/(а;) +/(—эг)\\ < 0.

Фехнером в [86] была установлена устойчивость функционального уравнения (26) на абелевых группах. Вопрос об обобщенной устойчивости уравнения (26) рассматривался Чангом в [65].

Теорема 0.10. Пусть ¥ вещественное нормированное пространство, а X вещественное банахово пространство. Пусть Н : —Ш+ т,акая функция, что H(tu, tv, tw) < tpH(u, v, и)) для всех t, м, v, w £ R+ и для некоторого p € Ж. Далее пусть Е : Ш+ —Ш+ удовлетворяет соотношению E(tx) < tqE(x) для всех t,x G R+. Пусть р, q < 1 вещественные числа и f : ¥ —»• X такое отобрао/сение, что

II f(x + y + z)+f(x) + f(y) + f(z)

30) - f(x + у) - f(y + z)~ f(z + а0|| < Я(||п;||, |Ы|, |И) и

31) \\f{x) - f(-x)\\ < E{\\x\\) для некоторого 5,9 > 0 и всех х, y,z G ¥. Тогда существует единственное квадратичное отображение Q : ¥ -> X которое удовлетворяет условию

32) ИД*) - <9(.г)|| < Nb И) + 2|,Л0),| для всех х Е ¥.

Функциональное уравнение (26) принимает форму

33) f(xyz) + f(x) + /Ы + f(z) = f(xy) + f(yz) + f(xz) на произвольной группе G или полугруппе S. Мы будем использовать мультипликативную запись для произведения элементов из полугруппы S. В первой части диссертации будет рассматриваться вопрос об устойчивости уравнения (33) на полугруппах и группах- не обязательно абелевых. и

§6 Об устойчивости уравнения типа Иенсена на группах. Уравнением типа Иенсена называется следующее уравнение В статье [182] рассматривался вопрос об устойчивости уравнения типа Иенсена

34) =/(*)-/(У) : Ж —М. Полагая \{х + у) = и и ~(х — у) = V уравнение (34) можно переписать в виде

2/(«) = /(« + «)-/(«-«).

Последнее эквивалентно следующему уравнению

35) Джу) - /Осу"1) = 2/(у) и может быть рассмотрено над произвольной группой, решения этого уравнения, когда / принимает значение в абелсвой группе, описаны в статье Чунга. Вопрос

06 устойчивости этого уравнения (35) в случае, когда областью определения / было нормированное пространство рассмотрен Дж.Рассиасом. В первой части диссертации рассматривается рассматривается вопрос об устойчивости уравнения типа Иенсена (35) над произвольной группой.

1.1. Результаты главы I. Для того, что бы перейти от вопроса об обобщенной устойчивости уравнений (3), (11), (20), (22), (33), (35), рассматриваемых ранее на нормированных пространствах к аналогичному вопросу на группах и полугруппах, мы будем рассматривать полугруппы наделенные полу весами. В статье Григорчука Р.И. [14], (аддитивным)полувесом па полугруппе £ названа неотрицательная вещественная функция 7 определенная на Б, и удовлетворяющая неравенству:

7(ху) < ч(х) + 7(у) + (I, \/ж, у е Б, для некоторого неотрицательного числа (I. Полувес7 называется весом, если с1 = 0. Если же 5 является группой, и дополнительно 7(ж-1) = 7(ж),Уж Е то полувес

7 называется симметричным. Полагая 'у(х) = с, для некоторого с > 0 получим постоянный вес на в. Из каждого полувеса 7 можно получить вес, полагая 7'(ж) = 7(ж) + й. Важным примером весовой функции на группе является следующий. Пусть (7 произвольная группа и X множество ее образующих, такое, что А'-1 = X. Каждый элемент д Е С может быть представлен в виде

36) д ~ 6*152 ■■■вк, где вг 6 X.

Вообще говоря, такое представление не единственно. Назовем длиной элемента д относительно множества X минимальное к среди всех представлений д в виде (36), обозначим полученное число через 7(д). Легко видеть, что функция 7 является весом на группе С. В четвертой главе диссертации в связи с решением задачи о ширине вербальной подгруппы, будут строи тся специального рода веса на группах.

В статье [14] рассматриваются некоторые аспекты применения теории весов в различных областях: веса и свойство "тихоновости", веса и гармонические функции, веса и ограниченные когомологии, алгебры Берлинга.

В первой главе диссертации показано как применение весовых функций позволяет обобщить понятие обобщенной устойчивости на неабелевы группы и полугруппы. До этого вопросы об обобщенной устойчивости ставились только для уравнений рассматриваемых над нормированными пространствами.

1.1.1. Уравнение Коши. В этой главе вводятся понятия (ф,7)-квазиаддитивно-го отображения и (ф, 7)—псевдоаддитивного отображения. Эти понятия включают понятие псевдохарактера и понятие ^-аддитивного отображения. Последнее было введено в [128] и [129].

Всюду ниже под ф будет пониматься функция из Rq = [0, +оо) в Е"1" (множество вещественных положительных чисел) удовлетворяющая условиям:

1) *ф - возрастающая функция,

2) i/>(tit2) < ф(Ч) ф{Ь2), для любых tx, t2 е

3) ф(Ь + t2) < ф{к) + Ф{р2),для любых tu t2 € М+,

4) ЦтШ = 0. t—>00 t определение 0.11. Пусть S произвольная, полугруппа и Е банахово пространство. Пусть функции фи 7 удовлетворяют условиям выше. Будем говорить, что отображение / : S —Е является (ф,/у)-квазиаддитивпым, если существуют неотрицательные а и 9 такие, что

37) \\f(xy) - f(x) - f(y)у <а + в [ФШ) + ФШ)] S.

Ясно, что множество всех (ф, 7)-аддитивных отображений из S в Е является вещественным линейным пространством относительно обычных операций. Обозначим его через KAM^n[S] Е). Подмножество К АМф^^Б] Е), состоящее из функций, удовлетворяющих дополнительному условию f(xn) = nf(x) для любых х G S и п е п обозначим через РАМфа{3\Е). А подмножество, состоящее из функций /, таких, что для каждой pi3 которых существуют а\ и в\ такие, что

38) H/(s)ll<ai + 0i4K7(aO) V® G 5.

Обозначим через Через Hom(S,E) обозначим множество аддитивных отображений S в Е. Рассмотрим уравнение Коши

39) f(xy) - f(x) - /(у) - 0, где f:S->E. определение 0.12. Будем говорить, что уравнение Коши (ф,^)-устойчиво для пары (S,E), если для любой функции f, удовлетворяющей соотношению f(xy) - f(x) - f(y) II < а + в [ФШ) + ФШ)] Ух, у е S найдется аддитивное отобраоюение h : S —Е, такое, что для некоторых а\0' справедливо неравенство

НДж) - едц < ог + в1 ф(ф)) Ух е s.

Полагая 7 = с, получим определение устойчивости по Уламу. Поэтому все теоремы о (ф, 7)-устойчивости будут справедливы и в случае устойчивости по Уламу. теорема 0.13. Справедливо следующее разложение КАМф^(Б, Е) = РАМфп(в, Е) е Вфл(Б, Е) теорема 0.14. Уравнение Коши (ф, 7) -устойчиво для пары (S,E) в том и только в том случае, когда справедливо равенство РАМф)7

Дале доказывются следующие теремы об устойчивости.

Теорема 0.15. Уравнение Коши является (ф,^)-устойчивым для пары () в толь и только в том случае, когда 0710 устой-чиво для пары (5,В).

Учитывая последнюю теорему можно говорить об (ф, 7)-устойчивости не указывая банахово пространство, в котором принимает значение функция / из уравнения (39). С использованием теоремы 0.23 Доказывается, что для любых функций ф и 7, удовлетворяющих определения выше, уравнение Коши (ф,^)— устойчиво для любой разрешимой группы. Доказывается, что класс групп для которых уравнение Коши является (ф, 7)- устойчивым замкнут относительно полупрямых произведений. Устанавливается, что в общем случае уравнение Коши не является (ф,^)- устойчивым, а затем Доказывается теорема вложения о том, что всякую группу можно вложить в такую, над которой уравнение Коши будет {Ф-* 7)~ устойчивым.

1.1.2. Уравнение Иенсеиа.

40) 1(хУ) + 1(ХУ~1) ~ 2/(ж) = 0.

Определение 0.16. Пусть С произвольная группа и Е банахово пространство. Пусть функции фи 7 удовлетворяют условиям выше. Будем говорить, что отображение / : О —Е является (ф,^у)-квазийенсеновым, если существуют неотрицательные айв такие, что

41) \\1{ху) + /(.г1Г1)-2/(ж)|| <а + в[ф(у(х))+фШ)] Ух:у £ О.

Ясно, что множество всех (ф, 7)-квазийепсеновых отображений аз О в Е является вещественным линейным пространством относительно обычных операций. Обозначим его через К,1МфП{(}]Е). подмножество К,1МфП(0]Е), состоящее из функций, удовлетворяющих дополнительному условию /(ж74) = п/(ж) для любых ж € и п £ п обозначим через РЛ{С] Е). А подмножество, состоящее из функций /, таких, что для каждой из которых существуют и в\ такие, что

42) ||/(ж)|| <а! + 010(7(*))

Обозначим через Через Е) обозначим множество решений уравнения (40), где / : —» Е. А его подмножество состоящее из функций /, удовлетворяющих дополнительному условию /(1) = 0, обозначим через ,10(О,Е).

Определение 0.17. Будем говорить, что уравнение Йенсеиа (ф,^)-устойчиво для пары (С,Е), если для любой функ/11 ии, /; удовлетворяющей соотношению жу) + /(жу-1) - 2/0/)II < а + в [ФЫх)) + ФЫу))} \/х,у £ С найдется \г £ ./(С, Е) такое, что для некоторых а', в' справедливо неравенство ж) - ВД|| < а' + в'ф(ф)) Уж € С.

Полагая 7 = с. получим определение устойчивости по Уламу. Поэтому все теоремы о (^^-устойчивости будут справедливы и в случае устойчивости по Уламу. В главе, посвященной устойчивости уравнения Иенсена, сначала доказываются следующие две вспомогательные теоремы.

Теорема 0.18. Справеливо следующее разлооюение

Е) = Е) ф ВФа(Сг, Е).

Теорема 0.19. Уравнение Йенсена (ф,^)-устойчиво для пары (С,^) в том и только в том случае, когда справедливо равенство Р1Мхр^(0,Е) = «/оЕ).

Учитывая последнюю теорему можно говорить об (ф, 7)-устойчивости уравнения Йенсена не указывая банахово пространство, в котором принимает значение функция / из уравнения (40). С использованием теоремы 0.23 Доказывается, что для любых функций ф и 7, удовлетворяющих определениям выше, уравнение Йенсена (ф, 7)- устойчиво для нильпотентной группы ступени три.

Устанавливается, что в общем случае уравнение Йенсена не является (ф, 7)-устойчивым, а затем Доказывается теорема вложения о том, что всякую группу можно вложить в такую, над которой уравнение Йенсена будет (ф, 7)- устойчивым.

1.1.3. Квадратичное уравнение.

43) Джу) +-Д.Т/Г1) - 2/(ж) - 2/0/) = 0. .

Определение 0.20. Пусть С? произвольная группа а Е банахово пространство. Пусть функции ф и 7 удовлетворяют условиям выше. Будел1 говорить, что отображение / : С —> Е является (ф^)-квазиквадратичным, если существуют неотрицательные айв такие, что

44) \\/(ху) + /(ху-1) - 2/(ж) - 2/(у) || < а + в [■0(7(ж)) + ^Ш)] Ут, у £ С.

Ясно, что множество всех (ф, 7)-квазиквадратичньтх отображений из С? в Е является вещественным линейным пространством относительно обычных операций. Обозначим его через Е). Подмножество К(£.фа{0\ Е), состоящее из функций, удовлетворяющих дополнительному условию /(жп) = ?г2/(ж) для любых х £ С? и п £ п обозначим через РС}.фа(0', Е). А подмножество, состоящее из функций /, таких, что для каждой из которых существуют ах и в\ такие, что

45) ||/(ж)|| <а1 + в1 ф{7(ж)) Уж £ О

Обозначим через Д/,17(С?, Е). Через 0,Е) обозначим множество решений уравнения (43), где / : О —>■ Е.

Определение 0.21. Будем говорить, что квадратичное уравнение является {Ф-> 7) устойчивым для пары (С, Е), если для любой функции f, удовлетворяющей соотношению

I\fixy) + /(ж/у-1) - 2/(ж) - 2/(у)|| <а + в [ФЫх)) + ФЫу))] Уж, у £ О найдется квадратичное отображение Н : 6? —> такое, что для некоторых а', 9' справедливо неравенство ж) - /г(ж)|| < о' + 9'ф(7(ж)) Уж £ С.

Полагая 7 = с, получим определение устойчивости по Уламу. Поэтому все теоремы о (^^-устойчивости будут справедливы и в случае устойчивости по Уламу.

ТЕОРЕМА 0.22. Справеливо следующее разлооюение К<2Ф„(С, Е) = Е) е Е)

ТЕОРЕМА 0.23. Квадратичное уравнение (ф, 7)-устойчиво для пары {0,Е) в т,ом и только в том случае, когда справедливо равенство РС^^^С, Е) — (¿(О, Е).

Дале Доказывается, что квадратичное уравнение является (ф, 7)-устойчивым на абелевых группах. Пусть К произвольное поле и К* его мультипликативная группа. Пусть UT{3, К)- группа унитреугольных 3x3 матриц, Т(2, К)- группа треугольных 2x2 матриц, Т(3,К)— группа треугольных 3x3 матриц. Доказывается, что квадратичное уравнение является (ф,7)-устойчи вым на выше перечисленных группах.

1.1.4. Уравнение Дригаса. Мы рассмотрим следующую систему функциональных уравнений: f46) [ 1Ы + /tar1) - 2/(.т) - Ду) - /(у-1) = О,

1 /(у-1®-1) + /(уаГ1) ~ У {х-1) - /(у) - /(у-1) = 0. для любых .г-, у G G. Здесь / : G —> M (множество вещественных чисел) неизвестная функция. Заменяя ж на ж-1 и у на у-1 во втором уравнении (46), получаем 7) f + /О^Г1) - 2/(z) - /(у) - /(у-1) = о,

1 /Ы + /ОТ1®) ~ 2/(ж) - /(у) - /(у"1) = 0.

Таким образом система (46) эквивалентна системе (47). В диссертации изучается система (47) на группах.

Будем говорить, что система (47) устойчива, если для любого /, удовлетворяющего системе неравеств

48) i {f{XV) + f{Xy l) ~ 2/(ж) " 1{У) " /(У1)1 - S + в[Ф{Ф)) + МчМУ' \ IПух) + /(у-1®) - 2/(ж) - /(у) - /(у-1)! < 5 + в[ф(ф)) + ФШ)] для некоторых неотрицательных чисел S и 0 существуют (р, решение (47) и неотрицательные числа 5i и в\ такие, что

Дж) - ф)\ <51 + ехф{7(ж)), Уж G G.

Показано, что система (47) не является устойчивой в общем случае. Доказана ее устойчивость на алевых группах и на группе Т(3,К). Доказано, что всякая групп может быть вложена в такую группу, над которой система (47) является устойчивой.

1.1.5. Уравнение Уаигпхеда.

1.1.6. Полугруппы. В настоящем параграфе мы рассмотрим вопрос об устойчивости функционального уравнения (33) для пары (S, Е), когда S является полугруппой, а Е вещественным банаховым пространством.

Установлено, что , в общем случае, уравнение (33) не является устойчивым на полугруппе . Однако это уравнение (33) является устойчивым на периодических и абелевых полугруппах. Также установлено, что любая полугруппа с левым (правым ) сокращением может быть вложена в полугруппу с левым (правым) сокращением над которой уравнение (33) является устойчивым.

1.1.7. Группы. Вопрос о (ф, 7)-устойчивости уравнения (33) рассматривался на группах. Доказана (ф, 7)-устойчивости этого уравнения на нильпотентньгх ступени два группах и на группе Т(3,К).

Применяемый метод позволяет изучать на устойчивость уравнения Уайтхеда на полугрупах (заметим, что методы в статьях [138], [86] и [65] позволяли изучать уравнение Уайтхеда только на векторных пространствах или абелевых группах). Полученные результаты обобщают результаты статей [138], [65] и [86].

1.1.8. Уравнение типа Иенсена.

49) /(ху) - Д-г-гГ1) = 2/(2/).

Рассматривается вопрос об устойчивости по Уламу на группах. Ранее вопрос об устойчивости этого уравненя рассматривался только когда областью определения функции / было нормированное пространство. В диссертации показано, что в общем случае уравнение (49) не является устойчивым. Доказано, что уравнение (49) является устойчивым на нильпотентных ступени два группах и на группах С?1/(п, С), БЬ(п, С) и Т(п, С), здесь С-множество коплексных чисел. Также уставливается, что всякая группа может быть вложена в группу, над которой уравнение (49) является устойчивым.

1.1.9. Обобщенное уравнение Коши. Пусть п Е N. Под обобщенным уравнением Коши на полугруппах будем понимать следующее уравнение

50) /(®пу")~п/(®)-п/Ы = 0.

Рассматривается вопрос об устойчивости по Уламу на группах. Показано, что в общем случае то уравнение не является устойчивым. Доказано, что уравнение (50) является устойчивым на нильпотентных ступени два группах. Также уставливается, что всякая группа может быть вложена в группу, над которой уравнение (50) является устойчивым.

1.2. Глава 2. И человек, и измерительные приборы допускают ошибки. В связи с этим естественный математический интерес, связанный с объединением идей симметрии и близости, имеет и физический смысл, который можно описать следующим образом. Если у группы симметрии описания некоторой физической системы существуют квазииредставления, т.е. отображения в группу обратимых непрерывных линейных операторов в некотором топологическом векторном пространстве с равномерно малой разностью (скажем, не превосходящей точности измерений) между образом произведения и произведением образов, и если не существует "достаточно близких"обычных представлений группы симметрии в том же топологическом векторном пространстве, то интерпретация эксперимента может оказаться более сложной, чем в случае, когда близкое представление по тем или иным причинам заведомо существует, и это может потребовать тщательного различения истинных симметрии (связанных с "законами природы") и "квазисим-метрий".

Но опыт надолго опередил понимание. Дедекинд, готовя к изданию тексты Римана в семидесятые годы XIX века, вычислил то, что теперь называется суммами или символом Дедекинда [73]. В 1932 г. Радемахер [174] придал результату другую форму и явно указал, что построенное им отображение Ф группы БЬ(2, Z) в группу целых чисел Z, равноценное символу Дедекинда, ("символ Радемахера", участвующий в формуле для действия модулярной группы рта логарифм //-функции Дедекинда), почти аддитивно (а именно, выполняется неравенство |Ф(#1<72) — Ф(<7г) — Ф(<7г)| < 3, (]\д2 £ ¿>1/(2, ). Отсутствие ненулевых аддитивных гомоморфизмов 5Х(2, Z) —> Z было уже общеизвестно, но явной реакции на открытие не последовало. С конца 30-х и начала 40-х годов Д. Хайерс и С. М. Улам и их последователи интересовались аддитивной задачей -и получили ряд условий существования аддитивного отображения нормированных пространств, близкого к данному почти аддитивному отображению. ,В 1942 г. родственная задача об условиях близости к обычным матричным единицам приближенного решения уравнений в матрицах, выражающих соотношения между матричными единицами конечномерной алгебры матриц, рассматривалась фон Нейманом [165] (см. русский перевод в [29]), готовившим технические средства для изучения гиперфинитных факторов (влияние этой работы па последующие исследования в этом направлении обсуждается в комментариях А. М. Вершика [10] к книге [29]), а Д. Монтгомери и JI. Циппин [161] доказали теорему о тривиальности малых возмущений компактных подгрупп групп Ли. Положительные результаты в задачах Хайерса, Улама и фон Неймана привели к полному забвению результата Радемахера, но он был почти переоткрыт в 1972 г., когда Б.Э. Джонсон [132] построил отображение / свободной группы с двумя образующими i<2 в Е, родственное символу Радемахера (это видно из вычислений в [195] и [38]), удовлетворяющее условию ¡¡(9192) ~ /(<7i) ~ 1Ы)\ < б, <71,02 G и не являющееся ограниченным возмущением обычного аддитивного гомоморфизма (а затем практически этот же контрпример был переоткрыт Р. Бруксом [64] в 1978 г. при занятиях ограниченными когомологиями), С другой стороны Ремтулла в 1968 году [175] строил подобные отображения для решения задачи о ширине вербальной подгруппы в свободном произведении групп, но алгебраический смысл таких отображений оставался неясным до 1983 г., когда Штерном было введено понятие псевдохарактера [39].

Оказалось, что некоторые группы имеют даже одномерные нетривиальные квазипредставления (причем ограничение такого отображения на любую амена- 1 больную подгруппу может быть представлением этой подгруппы). Исторически первыми (и простейшими) объектами этого рода были их одномерные вещественные аддитивные аналоги - псевдохарактеры. Напомним, что вещественная функция / на группе G называется (вещественным) квазихарактером на этой группе [36], [38], если числовое множество {/(#1#2) - /(.<7i) - /(02), 91,92 G G} ограничено, и квазихарактер / называется псевдохарактером на G , если /(х11) — 7if(x) для любых ж G G и п G Z. Понятие псевдохарактера (применявшееся с 1988' г. в ряде работ под названием однородного квазиморфизма [59],[60], [62],[55],[56]) оказалось весьма продуктивным в теории ограниченных когомологий [55], [56], [119]. [120], [155], [159], [160], [171], |196], [197], [198], [40], [199], , в теории групп диффеоморфизмов [99], [71], в симплектической геометрии [61],[85], [86],[78], [172], [173], [189], в комбинаторной теории групп (см. [119], [120],[159], [160],[40], а также работу [109]и в теории представлений групп [41],[42], [43], [200], и заслужило популярность, достаточную для отдельной пояснительной публикации в Notices of the Amer.math.soc.[148[. В семидесятые годы появились и первые работы, посвященны не обязательно одномерным объектам, которые теперь называются почти представлениями и квази представления ми (в зависимости от того, выполняется условие близости образа произведения и произведения образов элементов на множестве образующих или равномерно на всей группе). К. Грове, Г. Кархер и Э. Ру [113] доказали в 1974 г., что непрерывное отображение Т компактной топологической группы G в пространство ограниченных операторов в банаховом пространстве Е, удовлетворяющее условию ||T(gh) — T(g)T(h, )|| < е для всех g,h G G, является малым возмущением обычного непрерывного представления группы G и величина возмущения зависит от е (интересное приложение результата Грове, Карчера и Ри к строению компактных групп автоморфизмов n-мерных комплексных многообразий указано в [114]). В 1977 г. П. де ла Харп и М. Каруби [121] получили этот результат другим способом с более точной количественной оценкой. В 1982 г. появилась статья Д. Каждана [145], в которой был приведен вопрос, который Каждан приписал В. Мильмаиу: верно ли, что для любого (не обязательно непрерывного) отображения одной ортогональной группы в другую с равномерно малой разностью между образом произведения и произведением образов существует равномерно близкий обычный гомоморфизм? Автор рассматривал только случай непрерывных отображений и повторил результат Грове, Кархера и Ру [112]; в статье рассматривался также соответствующий вопрос для аменабельных групп, но, Каждан полагал, что применение инвариантного среднего к непрерывной функции двух переменных по одному из переменных дает непрерывную функцию одного переменного, что не так даже для почти периодических функций. (Как отмечено в [44], эта операция взятия среднего даже рте всегда переводит непрерывную функцию в борелев-скую.) Кроме того, метод де ла Гарпа и Каруои не допускал непосредственного распространения на аменабельный случай (за пределы праворавномерно непрерывных отображений), и задача о структуре квазипредставлений общих аменабельных локально компактных групп казалась очень трудной. Исключительно важную роль сыграла возможность перехода к языку групповых алгебр.

Еще в 1972 г. Б. Э. Джонсон [131] ввел аменабельные банаховы алгебры (банахова алгебра А называется аменабелъной, если любое дифференцирование В из А в дуальный банахов А-модуль X* имеет вид 0(а) = ах — ха для некоторого х из X*) и доказал, что локально компактная группа аменабелыга тогда и только тогда, когда ее групповая алгебра Ь1(С1) аменабельна [131], а в 198687 гг. ввел "аппроксимативно мультипликативные"функционалы и отображения банаховых алгебр и, в частности, доказал, что для любого аппроксимативно мультипликативного отображения аменабельной банаховой алгебры в банахову алгебру, являющуюся дуальным банаховым пространством, существует близкий гомоморфизм ([132],[133] , см. также [134], [135]). В частности, отсюда следует утверждение о существовании представлений, близких к данному почти представлению аменабельной локально компактной группы в сопряженном банаховом пространстве.

В теории отображений, близких к представлениям (почти представлений, аппроксимативных представлений, квазипредставлений, псевдопредставлений и т. д.) за последние 25-30- лет достигнуты значительные результаты и созданы технические приемы,-имеющие нетривиальные приложения в алгебре и топологии - от ограниченных когомологий до симплектической геометрии. Этот материал нелегко организовать.

Здесь мы отметим только один замечательный результат Штерна. А именно, в [45] им было дано полное (положительное) решение упомянутой выше задачи Мильмана-Каждана 1982 г. Им быдо доказано, что любое (не обязательно непрерывное) отображение одной ортогональной группы в другую, с равномерно малой разностью между образом произведения и произведением образов, равномерно близко к обычному (и тем самым непрерывному) гомоморфизму одной группы в другую (напомним, что для непрерывных отображений задача была положительно решена еще Грове, Кархером и Ру в 1974 г.).

1.3. Глава 3. Теория условных функциональных уравнений имеет давнюю и богатую историю. Мы здесь упомянем лишь несколько примеров условных уравнений связанных с уравнение Коши. В работе [78] (см. также [57], [75], [101]) авторы рассматривали условное функциональное уравнение Микусинского fix + у) ф 0 fix + у) = /(.т) + /(у). Каннаппан и Кучма решили в [143] уравнение fix + у) - afix) - bf(y) Ф 0 fix + у) = fix) + /(у). Гэр и Домбрес исследовали в [75] и [76] ж) + /Ы Ф 0 fix + у) = /(.г) + /(у). и я) + /(у) Ф О, /(.г + у) ^ 0 fix + у) = fix) + /(у).

Впервые альтернативное уравнени Коши, которое рассматривается в третьей главе диссертации, появилось в работе Гэра [103], посвященной более общему, чем все указанные выше уравнения, условному функциональному уравнению Коши. Всюду в диссертации под альтернативным уравнение Коши понимается следующее условное функциональное уравнение 1

51) fix + у) ф fix) + /(у) + 1 fix + у) = fix) + /(у).

Ясно, что аддитивные функции являются решениями этого уравнения. В работе Гэра [103] приведен пример не аддитивного решения этого уравнения. Затем это уравнение изучалось в статьях [150], [169], [169], [93] [93]. Сначала уравнение (51) было решено на бесконечной циклической полугруппе , затем на бесконечной циклической группе, затем па абелевых группах и; наконец, в 1987 году в статье Форти [89] дается решение этого на группах над которыми аддитивное уравнение Коши устойчиво.

На 44-м Международном симпозиуме по функциональным уравнениям профессор Гэр - один из ведущих специалистов в мире по функциональным уравнениям, обратил внимание на то, что с 1987 года нет существенных результатов в решении альтернативного уравнения Коши на группах и полугруппах. Затем им была поставлена задача о решении альтернативного уравнения Коши хотя бы над какой-нибудь группой или полугруппой, над которой уравение Коши не устойчиво. Известный итальянский математик профессор Форти на том же симпозиуме напомнил, что над свободной полугруппой ранга два уравнение Коши не является усточивым и поставил задачу: "Решить альтернативное уравнени Коши над свободной полугруппой ранга два".

В третьей главе диссертации приводится пример простейшей полугруппы над которой аддитивное уравнение Коши не является устойчивым и пространство адд-тивных характеров которой равно нулю. Затем дается полное решение альтернативного уравнения Копш над этой полугруппой.

Далее в третье главе решается более общаяя задача, чем та которая поставлена Форти. А именно дается полное описание множества решений альтернативного уравнения Коши над свободными полугруппами произвольного ранга и более того над свободными произведениями произвольного множества полугрупп. Средства для решения этих задач созданы во второй главе диссертации.

1.4. Глава 4. Для вербальных подгрупп произвольной группы традиционно вызывают интерес вопросы вычисления ширины вербальных подгрупп и длины элементов относительно тех или иных подмножеств.

Пусть F свободная группа счетного ранга и V ее подмножество. Напомним, что вербальной подгруппой V(G) группы G относительно множества теоретико-групповых слов V называется подгруппа, порожденная множеством значений слов из V на группе G, т. е.

V(G) =< v(gug2,. .,g,,(v)\v EV,geG> см. [22] c.143). Шириной wid(G, V) вербальной подгруппы V(G) относительно множества слов V называется наименьшее т G nU+oo такое, что всякий элемент подгруппы V(G) записывается в виде произведения < т значений слов из У±г.

Термин "ширина"введен Ю.И. Мерзляковым (1967) в работе [27[ (см. также [[28], §12]), хотя ширина вербальных подгрупп исследовалась и в более ранних работах. Так Шода (1936) изучал коммутаторную ширину группы SLn(F) для алгебраически замкнутого поля F. Ширина вербальных подгрупп исследовалась также в работах Г. Хигмана, Б. Нейман и X. Нейман (1949), Ито (1951), Ф. Холла (1959 ) и многих других авторов.

Наиболее общий результат о ширине вербальных подгрупп принадлежит Ю. PI. Мерзлякову [27]: всякая вербальная подгруппа алгебраической группы G < GLn(Q), где Q - алгебраически замкнутое поле бесконечной степени трансцендентности над простым подполсм, имеет конечную ширину относительно любого слова v. В других работах выбирались конкретные группы G, слова v и давались оценки ширины wid(G, V).

Ряд работ посвящен исследованию ширины коммутанта некоторых классических групп относительно коммутатора v = x~1y~lxy. Например, Томпсон [204[ доказал, что если F - поле, то wid(GLn(F),v) — 1, wid(SLn(F),v) < 2 при любом п > 2. Гоу [117] доказал, что ширина wid(5p27») коммутанта симплектической группы не превосходит 2 при любом п > 1.

Ито [131] доказал, что при п > 5 всякий элемент из коммутанта симметрической группы Sn является коммутатором. Оре [168] обобщил этот результат на группу подстановок счетного множества. Отметим, что проблема вычисление ширины симметрической и знакопеременной группы, а также линейной группы над конечным полем представляет интерес для криптографии (см. [11]).

В [[2], лемма 1] показано , что ширина wid(G, V), вообще говоря, зависит от множества V, а не только от подгруппы V(G). Поэтому, говоря о наиболее употребительных вербальных подгруппах, мы будем иметь в виду ширину относительно их естественного задания, например, для коммутанта - относительно коммутатора [х, у] — х~1у~1ху, а для s-й степени - относительно слова Xs

Некоторые авторы изучали вопрос о ширине вербальных подгрупп различных групповых конструкциях таких как свободное произведение с объединением, HNN-распшрение, расширение, сплетение и т. д.

В этом направлении Ремтулла [175[, [176] доказал, что 1) в нетривиальном свободном произведении А* В ширина всякой собственной вербальной подгруппы v(A * В) относительно слова v бесконечна тогда и только тогда, когда \А\ > 3 и

В\ > 2;

2) коммутант любой конечно порожденной разрешимой группы ступени разрешимости < 3 имеет конечную ширину.

В [32] установлено, что ширина всякой вербальной подгруппы полициклической группы конечна. В работах X. С. Аламбергенова и В. А. Романькова [1], а также Акхаван-Малаери и Ремтуллы [49] найдена ширина коммутанта свободной нильпотентной группы. Е. Г. Смирнова [34] исследовала ширину вербальных подгрупп относительно слов хп,п £ N в свободной двуступенно нильпотентной группе 2 ранга п. Она доказала, что \\чс1(.Л/7112, х2к) = 2[п/2] + 1 при п > 2, к > 1 и wid(iVn!2,ж2fc+1) = 1 при всех натуральных п и к.

Обобщением понятия пшриньт вербальной подгруппы является понятие ширины группы относительно фиксированного множества порождающих. Если О - некоторая группа, порожденная множеством А, то всякий элемент д £ С представим в виде

52) д = а^ ■ • • а£кк, щ £ А, е{ = ±1.

Ясно, что такое представление не единственное. Длиной (или Л-длиной) 1л(д) элемента д относительно множества А называется длина кратчайшего представления (1). Шириной группы (7 относительно множества порождающих А называется ту1с1((т,у1) = вир 1А(д), т. е. наибольшая длина элемента, если такой элемент существует и А) = оо в противном случае.

Если мы рассмотрим свободную группу^ с конечным или счетным множеством порождающих X = х2, ■ ■ ■ }, то длина произвольного элемента из Г относительно множества X находится довольно легко. Проблема вычисления длины относительно других множеств порождающих может оказаться нетривиальной задачей. Так Р. И. Григорчук и П. Ф. Курчанов [13] построили алгоритм, позволяющий вычислять длину 1у{д) произвольного элемента д £ ^ относительно множества = {Г1х?/\тег,/€Р, г = 1, 2, • • • }.

А. Ю. Ольшанский [167] установил связь проблемы вычисления длины в свободной группе с проблемой равенства слов. в некоторой группе. Пусть Рп -свободная группа степени п с множеством свободных порождающих Х1,х2: • • • , хп и Я — {г\,г2,. ,гт} - некоторое множество слов из Рп. Введем множество = {Г1 А! \ kezj е г = 1,2,-- - ,т}.

Очевидно, группа < ¿7 > совпадает с нормальным замыканием множества Я в группе Рп.

Если элемент д из Еп не лежит в группе < ^ >, то положим 12(д) = оо. А. Ю. Ольшанский доказал, что алгоритм вычисления Z- длины в группе Рп существует тогда и только тогда, когда в группе gr(a'l, хо, ■ ■ ., хп || гх, г — 2,., гт) разрешима проблема равенства.

Символом с1(д) будем обозначать коммутаторную длину неединичного элемента д из коммутанта С группы С, т. е. с1(д) = 1к(д) где К - множество коммутаторов в группе О. Вопрос о вычислении коммутаторной длины в произвольно!-! группе (7 сформулировал М. Громов [[120], р. 145]. В частности, он спрашивал: как связана с1(д) и с1(д1П) для натурального т и д £ С .

По-видимому, первый алгоритм вычисления коммутаторной длины в свободной группе был построен Голдстейном и Тернером [108|. Затем Каллер [73] дал другой алгоритм вычисления коммутаторной длины, который может быть использован не только для свободных групп, по и для свободных произведений. Кроме того, он установил, что если а и Ъ - свободные порождающие свободной группы ^2, то для всякого натурального гпт справедливо равенство с1([а,Ь]т) = [т/2] 4- 1. Еще один алгоритм вычисления коммутаторной длины можно извлечь из работы

А. Ю. Ольшанского [30]. Все эти алгоритмы, в той или иной степени, используют геометрические соображения: графы в работе [107], диаграммы на ориентируемых поверхностях в работах [72] и [30]. Бардаков В.Г. в [7] построил алгебраический алгоритм вычисления коммутаторной длины произвольного элемента V Е Р', где Р- свободная неабелева группа.

Из других результатов отметим сле/1ующие. Шютценберже установил, что если г ^ еига > 1,то с1(гт) > 1. Отвечая на вопрос Эдмундсаи Розенбергера, в работе [71] установлено, что при т > 3 для всякого иеединичного г £ Е' справедливо неравенство с1(гт) > 2. В этой же работе описаны все элементы, имеющие коммутаторную длину 2, а в работе А. Вдовиной [208] построен алгоритм, позволяющий находить слова заданной коммутаторной длины. Дункан и Хоуе [79] установили неравенство с1(гт) > (т + 1)/2.

Некоторые авторы изучали вербальные подгруппы в группе кос. Группа кос Вп была введена Э. Артином в 1925 г. Группа Вп задается множеством порождающих сгх, сг2,., сг711 и определяется соотношениями

7гсгг-+1егг = -сгг-+1<т^+1, г = 1,2, • • • ,п — 2, (Гц7$ = (Jjcr¡, \г — /; | >2

Группа Вп широко используется в теории узлов, так как проблема классификации узлов сводится (по теореме А. А. Маркова) к ряду алгебраических проблем, связанных с группами Вп. Г. С. Макании сформулировал следующий вопрос:* "Построить косу, принадлежащую коммутанту группы кос и не являющуюся коммутатором" (см. [17, вопрос 6.22]). Ю. С. Семенов [33] указал в элемент, равный произведению двух коммутаторов и не сводящийся к одному коммутатору: Н. Н. Репин [31] показал, что относительно слова [х, у] коммутанты групп В3 и имеют бесконечную ширину, а затем В. Г. Дурнев и В. К. Шалашов [18] установили, что и любая собственная вербальная подгруппа этих групп, определенная конечным множеством слов, имеет бесконечную ширину. Их доказательство основано на том, что группы и В4 допускают гомоморфизм на свободное произведение * а всякая собственная вербальная подгруппа свободного произведения А * В, > 2, \В\ > 3, определенная конечным множеством слов, имеет бесконечную ширину. При п > 5 гомоморфизма группы Вп на такое свободное произведение не существует [17], поэтому необходимы существенно иные соображения. В полном объеме задача о ширине вербальной подгруппы в группах кос была решена Бардаковым в [2]. Им было доказано, что для любого п > 3 ширина собственной вербальной подгруппы, определенной конечным множеством слов, бесконечна.

Одним из обобщений группы кос являются группы Артина. В работе [4] утановлено, что многие группы Артина не имеют собственных вербальных подгрупп конечной ширины. Ранее это было известно только для коммутанта группы /г(р) при нечетном р относительно коммутатора [15]. В 2002 году В.Н.Безверхний и И.В.Добрыпина [9] получили аналогичные для двупорождепных групп Артина.

В работе [8] изучалась группа сопрягающих автоморфизмов. В частности было доказано, что всякая вербальная подгруппа группы сопрягающих автоморфизмов С&2,п > 2, определенная конечным собственным множеством слов V, имеет бесконечную ширину.

Хорошо известно (см. например, [[22], с. 25]), что всякая матрица из общей линейной группы ОЬп(Р) над полем Е представима в виде произведения элементарных трансвекций и диагональной матрицы, причем из самого доказательства легко вытекает оценка числа элементарных траисвекций, требующихся для такого разложения. Это число зависит только от п и не зависит от самой матрицы.

Много работ посвящено вычислению ширины линейных групп относительно различных множеств порождающих. Перечислим некоторые из них. Картер и Келлер [69] доказали, что ширина группы ЗЬп{0), где О - кольцо целых чисел алгебраического числового поля, относительно множества элементарных тран-свекций, конечна. В работе С. И. Адяна и Меннике [34] дано более простое ч доказательство этого факта для случая, когда О - кольцо целых рациональных чисел Z. К. X. Закирьяпов |19| установил конечность ширины симплектической группы п > 3, относительно множества элементарных матриц. Аналогичные результаты для некоторых групп Шевалле над тем же кольцом О получил О. Н. Тавгень [35]. С другой стороны, ван дер Каллен [142] доказал, что если Р - поле бесконечной степени трансцендентности над своим простым поднолем, то группа БЬп(Р[х]) при п > 2 имеет бесконечную ширину относительно множества элементарных трансвекций.

В работе [76] было установлено, что ширина группы БЬп(Е), относительно множества коммутаторов не превосходит 10 при всех п > 3. (Известно, что при п = 2 эта ширина бесконечна). Тем самым улучшена оценка М. Ньюмена [163]: ширина группы не превосходит с1п(г?) + 40, где с = 21п(3/2).

Далее будем считать, что V - конечное, собственное (т. е. вербальная подгруппа У(Р) нетривиальна и отлична от всей группы 7*1) множество слов. Ширина вербальных подгрупп свободных произведений с объединением исследовалась в работах Р. И. Григорчука [12], И. В. Добрыниной |16]. Р. И. Григорчук [12], используя связь между второй группой ограниченных когомологий (? = Щ,г(^) группы £ и шириной коммутаторных вербальных подгрупп группы он получил частичный ответ на вопрос из препринта |5], а точнее, доказал, что если группа (9 = А *н В удовлетворяет условиям из предыдущего абзаца, а У -коммутаторное множество слов, то ширина \\чс1(С?, V) бесконечна. Кроме того Р. И. Григорчук изучал ширину вербальных подгрупп НЫГ^-расширений относительно коммутаторного множества слов. В.Г.Бардаковым в [5] рассматривался вопрос о ширине вербальной подгруппы 1ШМ-расширений. Им была доказана следующая теорема.

Теорема 0.24. Пусть группа С? является НИИ-расширением группы П со связанными подгруппами собственными подгруппами А и В. Тогда в = ^(Я, = Б, (р)

Тогда для всякого конечного собственного ¿множества слов V ширина вербальной подгруппы V(С) бесконечна.

В четвертой главе диссертации вводится понятие (¿-гомоморфизма группы (5 в полугруппу Б с инволюцией и снабженную метрикой (/(.,.). Затем, используя существование таких (¿-гомоморфизмов, общим способом доказываются Теорема 0.24 и следующая теорема.

Теорема 0.25. Пусть группа О является свободным произведением групп А и В с объеданегтой подгруппой Н, причель А ^ Н, а число двойных смеоюных классов В по II не меньше трех. Тогда для всякого конечного собственного миоэ1ссства слов V ширина вербальной подгруппы У(С) бесконечна.

Также устанавливается бесконечность ширины вербальной подгруппы на одном классе полупрямых произведений групп с инвариантным множителем разложимым в свбодное произведение двух групп. Теорема 0.25 обобщает результаты работ Р. И. Григорчука [12], И. В. Добрыниной [16[ и Ремтуллы [175].

В статьях [53, 54] было введено понятие полиндромических элементов в свободных произведениях групп, обобщающее соответствующее понятие для свободных групп. Напомним, что в свободном произведении G = А * В элемент д называется полиндромическим, если для представляющего этот элемент несократимого слова v = aibi. an-ibn-ian выполняется равенство

53) aibi. a„i6nian = an6„iarai. bLaь

Была доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 0.26. Пусть А и В неединичные группы и порядок хотя бы одной из них больше двух. Тогда ширина миооюества полиндромических слов в G бесконечна.

В четвертой главе диссертации этот результат обобщается следующим образом. Пусть группа G является либо свободным произведение с объединением G — А^н В, причем Н собственная подгруппа в А и В и число двойных смежных классо В по Н больше двух, либо HNN-расширением G =< D,t~xAt = В, а >, причем А и В собственные подгруппы в D.

Определение 0.27. Элемент g 6 G назовем полиндромическиль, если или

1. g £ A U В в случае свободного произведения с объединением, g € D - в случае HNN-расширения, или

2. среди всех редуцированных форм, представляющих g имеется токая cic2 • • • сП; что слово сп ■ ■ • С2С1 такоюе редуцировано и cic2 • • • Сп = Сп ■ ■ • C2Ci.

G.

Теорема 0.28. Множество полиндромических слов имеет бесконечную ширину в G.

Для случая п — 2 обобщается упомянутый выше результат Каллена [142], а именно утапавливается, что для любого поля К ширина множества элементарных трасвекций в группе SL(2,K[x]) бесконечна.

Автор выражает искреннюю благодарность А.И.Штерну, под чьим руководством он начал заниматься вопросами, рассматриваемыми в этой диссертации.

1. Аламбергепов Х.С., Романьков В.А. О произведении коммутаторов в группах , Деп в ВИНИТИ, 1985, П.4566-В85.

2. Бардаков В.Г. К теории групп кос, Матем. сб.,183, #1(1992), 3-42.

3. Бардаков В.Г. О разложении автоморфизмов свободных модулей на простые множители, Известия РАН, серия математическая, 59, #1(1995), 109-128.

4. Бардаков В.Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Лртина, Групповые и метрические свойства отображений: Сборник работ, посвященных памяти Ю.И.Мерзлякова, НГУ, Новосибирск, 1995, 8-18.

5. Бардаков В.Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Н NN -расширений, Препринт Института математики СО РАН, Новосибирск, 1995, 25с.

6. Бардаков В.Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций , Алгебра и логика, 36, #5(1997), 494-517.

7. Бардаков В.Г. Вычисление коммутаторной длины в свободных группах, Алгебра и логика. 39, #4(2000), 379-424.

8. Бардаков В.Г. Строение группы сопрягающих автоморфизмов , Алгебра и логика, 42, #5(2003), 515-541.

9. Безверхний B.H., Добрынина И.В. Решение проблемы конечной ширины в группах Артина с двумя образующими, Чебышевский сборник, Тула, 3, #1(2002), 11-16.

10. А.М.Вершик, Комментарии к русскому переводу,Дж.фон Нейман, Избранные труды по функциональному анализу, т.1, Наука,М.,1987, 372-374.

11. Глухоi>, М.М., Зубов А.Ю. О длинах симметрических и знакопеременных групп подстановок в различных системах образующих, Матем. вопросы киберн.,8, #1(1999), 5-32.

12. Григорчук Р.И. Ограниченные когомологии групповых конструкций,, Матем.заметки,59,#4(1996), 546-550.

13. Григорчук Р.И., Курчанов П'.Ф. О ширине элементов в свободных группах, Укр.матем.журн., 43, #7-8(1991), 911-918.

14. Григорчук Р.И. Весовые функции на группах и критерий аменабельности Матем.заметки,60, 3(1996), 383-395.

15. Гринблат В.А. О коммутаторных уравнениях в группх Артина конечного типа. Международ.конф.по алгебра: Тез.доклю по теории групп, Новосибирск, (1989), 37.

16. Добрынина И.В. О ширине свободных произведений с объединашем, Матем.заметки, 68, #3(2000), 353-359.

17. Дурнев В.Г. О ширине коммутанта группы кос Вз и В4, Деп.в ВИНИТИ, 1987, #4040-В87.

18. Дурнев В.Г., Шалашов В.К. О ширине коммутанта группы кос В3 и В4, 19-я Всесоюзн.алгебр.конф.Львов, 1987, 89.

19. Закирьянов К.Х. Конечность ширины сгшплектической группы над колъца.'ш алгебраических чисел относительно элементарных матриц, Алгебра и логика, #6(1985), 667-673.

20. Н. Иванов, Основы теории ограниченных когомологий, Записки научных семинаров Лениградского отдлеленшГ Математического института им.В.А.Стеклова, АНСССР, 143 (1985), 69-109.

21. Н. Иванов, Вторая группа ограниченных когомологий, Записки научных семинаров Лениградского отдлеления 'Математического института им.В.А.Стеклова, АНСССР, 167 (1988), 117-120.

22. Карганолов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп, 4-е изд., M., Наука, 1996.

23. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, 15-е изд., Новосибирск, Ин-т матем.СО РАН, 2002.

24. Линдон Р., Шупп П. 'Комбинаторная теория групп ', М.: Мир, 1980

25. Магрус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп, М., Наука, 1974.

26. Масси У., Столлингс Дж. 'Алгебраическая топология ', М.: Мир, 1977

27. Мерзляков Ю.И. Алгебраические линейные группы как полные группы автомофизмов и замкнутость их вербальных подгрупп, Алгебра и логика, G, if 1(1967), 83-94.

28. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы, 2-е изд. М., Наука, 1987.

29. Дж.фон Нейман, Избранные труды по функциональному анализу, т.1, Наука,М.,1987.

30. Ольшанский А.Ю. Диаграммы гомоморфизмов групп поверхностей, Сиб.матем.журнал, 30, # 6(1989), 150-171.

31. Репин Н.Н. О коммутаторных уравнениях в группах В3 и , Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1986, 114-117.

32. Романьков В.А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп , Алгебра и логика, 21, #1, (1982), 60-72 Тула, 1986, 114-117.

33. Семенов IO.C. О коммутаторах в группах кос, 10-й Всесоюзн. симп. по теории групп. Минск, 1986, 207.

34. Смирнова Е.Г. Шгфина степени свободной нильпотентной группы ступени два, Сиб. матем.журн., 41, #1, (2000), 206-213.

35. Тавгень О.Н. Ограниченная поромсдаемость групп Шевале над кольцами S-целых алгебраических чисел, Известия АН СССР, Серия математическая, 54, #1, (1990), 97-122

36. Л.И.Штерн,Квазипредставления и псевдопредставления, Функц. анализ и его прилож. 25 , 2(1991), 70-71.

37. А.И.Штерн, Об операторах в пространстве Фреше, подобных изометриям, Вестн.МГУ. сер.1. Матем.,мех., 1991, 4,;б7-70.

38. А.И. Штерн, псевдохарактер, определенный символом Радемахера ,УМН, т.45, 3(1990), 197— 198.

39. А.И. Штерн, Устойчивость представлений и псевдохарактеры ,Ломоносовские чтения, МГУ,М., 1983.

40. А.И. Штерн, Структурные свойства и ограниченные вещественные непрерывные 2-когомологии локально компактных групп. Функц.анализ и его прилож. 356 4(2001), 67-80.

41. А.И. Штерн, Деформация неприводимых унитарных представлений дискретной серии эрмитово симметрических простых групп Ли в классе чистых псевдопредставлений, Матем.заметки, 75, 3(2003), 478-480.

42. А.И. Штерн, Структурные свойства и ограниченные вещественные непрерывные 2-когомологии локально компактных, групп, Функц.анализ и его прилож. 356 4(2001), 67-80.

43. А.И. Штерн, Проективные представления и чистые псевдопредставления эрмитово симметрических простых групп Ли , Матем.заметки, 78, 1(2005), 140-146.

44. A.I.Shtern,Цроблелш Каэкд'ана-Милъмана для полупростых компактных группа Ли, Успехи Мат.Наук 62, 1(2007), 123-190.

45. Aczel, J. and Dhombres J. Functional Equations in Several Variables., Cambredge University Press, Cambredge. 1989, v. 31

46. J. Aczel, J. K. Jung and C. T. Ng, Symmetric second differences in product form on groups, In Topics in Mathematical Analysis, Tli. M. Rassias (ed), 1989, 1-22.

47. Adjan, S.I., and Mennicke, Jens lOn bounded generation of SLfn.Z)', Internat. J. Algebra Compnt. (4) 2 (1992), 357-355.

48. Akliavan-Malayeri M., Rhemtulla A. ' Commutlator length of Abelian-by-nilpotent groups'', Glasg. Math.J.,40 1 (1998), 117-121.

49. R. Baer, Facrorization of n-soluble and n-nilpotent groups, Proc. Amer. Math. Soc. 45 (1953), 15-26.

50. Baker, .7., Lawrence, L., Zorzitto, F. The stability of the equation f(x + y) = f(x) ■ f(y), Proc. Amer. Math. Soc. 1979, 74, no. 2, p 242-246

51. Baker, J. The stability of the cosine equation , Proc. Amer. Math. Soc. 1980, 80, no. 3, p 411-416

52. Bardakov V., Shpilrian V., Tolstykh,V. On the palindromic and primitive width of a free groups , J. Algebra 285 (2005), no. 2, 574-585.

53. Bardakov V., Tolstykh,V. The palindromic width of a free product of groups. J. Anst. Math. Soc. 81 (2006), no. 2, 199-208.

54. J.Barge, É Chys, Surfaces et cohomologie bourée, Invent,Math., 92, 3 (1988), 509-526.

55. J.Barge, É Chys, Cocycles d'Euler et de Maslov, Math.Ann.,294, 2 (1992), 235-265.

56. K.Baron, R.Ger On Mikusinski-Pexider functional equation, Colloq.Math., 28(1973), 307-312.

57. C.Bavard Longueur stable des commutateurs, Enseign.Math (2), 37, 1-2(1991), 109-150.

58. G.Besson Sur la cohomologie bornée, , Séminaire sur la cohomologie bornée, Ecole Norrn.Sup.Lyon, Roport, Février 1988.60. P.Biran,M.Entov, L.Polterovich, Calabi quasimorphism for the symplectic bail, Commun.Contemp.Math., G, 5(2004), 793-802.

59. A.Bouarich Suites exactes en cohomologie bornée, réelee des groupes discrets, C.R.Acad,Sei,Paris Sér, I Math., 320, 11(1995), 1355-1359.

60. D.G.Bourgin, Classes of trans format ions and bordering transformation, Bull. Amer. Math. Soc. 57(1951), 223-237

61. R. Brooks,Some remarks on bouded cohoinology, Riemann surfaces and related topics, Proceedings of the 1978 Stony Brook conference"(State Univ.New Yourk, Stony Brook, NY, 1978) , Ann. of math.Stud,. 97, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1981, 53 63.

62. R. Brooks and C. Series, Bounded cohomology for surface groups, Topology, 23 (1984), 29-36.

63. I.-S. Chang aud H.-M. Kim, Hyers-Ulam-Rassias stability of a quadratic functional equation, Kyungpook Math. J. 42 (2002), 71-86.

64. P.W.Clioleva, Remarks on the stability of functional equations, Aequationcs Math., 27 (1984), 7686.

65. ST.Czerwik, On the stability of the quadratic mapping in norrned spaces, Abh. Math. Sem. Univ Hamburg, 62 (1992), 59-64.

66. Carter D and Keller C. 1 Bounded elementary generation of SLn(0)\ Amer.J.Math., 103, 3 (1983), 673-687.

67. J. K. Chung, B. R. Ebanks, C. T. Ng and P. K. Sahoo, On a quadratic-trigonometric functional equation and some applications, Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995), 1131-1161.70. É Chys, Groups acting on circle, Eiseing.Math.(2),47, 3-4(2001), 329-407.

68. Corneford J.A., Comoford L.P.,Jr. and Edmunds C.C. 'Powers as product of commutators', Communications in algebra, 19, "2 (1991),- 675-684.

69. Culler M. ' Using surfaces to solve equations in free groupsTopology, 20, 2 (1981), 133-145.

70. R.Dedekind, Erläuterungen zu den Fragmenten XXVIII, B.Riemaim, Collected works(Gesammelte mahtematishe Worke und wissenshaftlicher Nahlaß), Dover, new York, NY, 1953, 466-478.

71. H. Drygas, Quasi-inner products and their applications, In : Advances in Multivariate Statistical Analysis (ed. A. K. Gupta), Reidel Publ. Co., 1987, pp. 13-30.

72. J.Dhombres, R.Ger Equations de Cauchy conditionnelles, C.R.Acad.Sci.Paris, 208(1975), 513-515.

73. J.Dhombres, R.Gcr, Conditional Cauchy equations, Glasnki Mat.

74. D.McDuff Asurvey of the topological properties of symlectomorphism groups, Topology, geomer-ty and quantum field theory, London Math.Soc. lecture Note Ser., 308, Cambredge Univ.Press, Cambridge, 2004, 173-193.

75. L.Dubikajtis, C.Ference, R.Ger, M.Kuczma On Mikusinski's functional equation, Ann.Polon.Math., 28(1973), 39-47.

76. Duncan A.J. and Howie J. lThe genious problem for one-relator products of locally indicable groups', Math.Z., 208, 2 (1991), 225-237.

77. H.Drljevic, On the stability of the functional quadratic on A-orthogonal vectors, Publ. Inst. Math.(Beograd) (N.S.), 36(50) (1984), 111-118.

78. B. R. Ebanks, PL. Kannappàn and P. K. Sahoo, A common generalization of functional equations characterizing normed and quasi-inner-product spaces, Canad. Math. Bull. 35 (1992), 321-327.

79. Ellers, Erich W. 'Products of transvections in one conjuqacy class in the symplectic group ouer GF(3)\ Linear Algebra Appl. 202 1994, 1-23.

80. E. W. Ellers, Products of transvections in one conjugacy class in the symplectic group over GF(3), Linear Algebra Appl. 202 (1994), 1-23.

81. M.Entov,, Commetator length of simplectomorphisms, Comment.Math.Helv.,79, 1(2004), 58-104.

82. M.Entov, L.Polterovich, Calabi quasimorphism and quantum homology, Int.Math.Res.Not. 30, (2003), 1635-161676.

83. W. Fechner, On the Hyers-Ulam stability of functional equations connected with additive and quadratic mappings, J. Math. Anal. Appl. 322 (2006), 774-786.

84. I.Fenyô, Osservazioni su alcuni teoremi di D.H.Hyers, Istit. Loinbardo Accad. Sci. Lett. Rend., A 114 (1980), (1982) , 235-242.

85. R.Fisclier, Gy.Muszély, On some new generalizations of the functional equation of Cauchy, Canad.Math.Bull. 10(1967), 197-205.

86. G. L. Forti, Remark 11 In: Report of the 22nd Internat. Symp. on Functional Equations, Aequa-tiones Math. 29 (1985), 90-91.

87. Forti, G. L. The stability of homomorphisms and amenability, Abh. Vath. Sem. Univ. Hamburg 1987, 57,215-226.

88. Forti, G. L. Sulla stabilitd degli omomorfismi e sue applocazioni aile equazilni funczionali , Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 1988, 58, p 9-25(1990)

89. Forti, G.L. Hyers-Ulam stability of functional equations in several variables, Aequationes Math. 50, (1995), p 143-190.

90. G.L. Forti On an alternative functional equation related to the Cauchy equation, Aequationes Math., 24(1982), 195-206.

91. G.L. Forti, L.Paganoni A method of solving a conditional Cauchy equation on abelian groups, Ai.n. Mat. Pura Appl. IV, 127(1981), 79-99.

92. K.Fujiwara, The second bounded cohornology of an amalgamated free product of groups, Trans. Amer. Math. Soc. 3 (2000), 1113-1129.

93. Z. Gajda, On stability of additive mappings, Internat. J. Math. &; Math. Sci. 1991, 14, pp. 431-434

94. J. A. Gallian and M. Reid, Abelian Forcing sets, Amer. Math. Monthly, 100 (1993), 580-582.

95. J.-M.Gambaudo, E Chys, Commutators and diffeomorphisms of surfaces, Ergodie Theory Dy-nam.Systems, 24, 5 (2004), 1591-1617.

96. P.Gavruta, An answer to a question of John M. Rassias concerning the stability of Cauchy equation. In: Advances in Equations and nequalities, Hadronic Math. Series, U.S.A., 1999, 67-71.

97. P. Gavruta, A generalization of the Hyers-Ulam-Rassias stability of approximately additive mappings, J. Math. Anal. Appl. 184 (1994), 169-176.

98. R. Ger, Functional inequalities stemming from stability questions, In: General Inequalities 6 (ed. W. Walter), Birkhauser, Basel, 1992, pp. 227-240.

99. R.Ger, 0?i some functional equations with a restricted domain, Fund.Math., 89(1975), 131-149.

100. R.Ger, On an alternative functional equation, Aequationes Math.

101. R.Ger, On a method of solving of conditional Cauchy equations, Univ.Beograd.Publ.Elektrotehn.Fak.Ser.Mat.Fiz., no.544-576(1976), 159-165.

102. E. Ghys, Groupes d'homeomorphisms du cercle et cohomologie bornee, In: The Lefschetz centennial conference, part III (Mexico City 1984), Contemporary Math., 58, III, Amer. Math. Soc. (1987), 81-105.

103. Griffiths, H.B. <A note on commutators in free products\ Proc. Cambridge Phil. Soc. (2) 50 (1954), 178-188.

104. M. Gromov, Volume and bounded cohornology, Publ. Math. IHES, 56 (1982), 5-100.

105. Gromov M. lHyperbolic groups', in: Essay in Group Theory, Ed S.M.Gersten, Math.Sci.Res.Iust.Publ. 8, Springer, New-York, 1987, 75-263

106. Gromov M. 'Asymptotic invariants of infinite groups', London Nath.Soc.Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press, 1993.

107. K.Grove, H.Karclier.j E.A.Ruh Jacobi fields and Finsler metrics on compact Lie groups with an applicatioîi to differentiable pinching problems, Math.Ann.,211, 1(1974), 7-21.

108. D.Ma, Upper semicontinuity ofisotropy and automorphism groups, Math.Ann.,292, 3(1992), 533545.

109. P.de la Harpe, M.Karoubi, Représentations approchées d'un groupe clans une algégre de Banach , Mauuscripta Math.,22, 3(1971), 293-310.

110. P.M. Gruber, Stability of Isometrics, Trans.Amer. Math. Soc., U.S.A., 245 (1978), 263-277.

111. Gow R. 'Commutators in the symplectic groups', Arch.Math., 50, 3 (1988), 204-209.

112. M.Hosszu 'A remark on the square-norm', Aequationes Math., 2(1963), 190-193.

113. M.Gromov, Volume and boutded cohomology, Publ.Math.Inst.Hautes Études Sci., 56, (1982), 5-163.

114. Hyers, D.H. On the stability of the linear functional equation, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 1941, 27, no. 2, p 222-224

115. Hyers,D.H., Ulam, S.M. On approximate isometry, Bull. Amer. Math. Soc. 1945, 51, p 228-292

116. Hyers, D.H. , Ulam, S.M. Approximate isometry on the space of continuous functions, Ann. of Math. 1947, 48, no. 2 , p 205-209

117. Hyers, D.H. The stability of ho?nomorphisms and related topics, In: Global Analysis Analysis on Manifolds(Th.M.Rassias, eds.) Teubner, Leipzig 1983, p 431-434

118. Donald H. Hyers, and Themistocles M. Rassias Approximate homomorphisms , Aequationes Mathematicae 1992, 44, p 125-153

119. D.H. Hyers, G.Isac and Th. M. Rassias Topics in Nonlinear Analysis and Applications, World Scientific Publ.Co, 1997

120. D.H. Hyers, G.Isac and Th. M. Rassias Stability of Functional Equations in Several Variables, Birkhauser, Boston, Basel, Berlin, 1998

121. G. Isac, and Th. M.Rassias On the Hyers Ulam stability of i/>-additive mappings , Journal of Approximation Theory 1993, 72, p 131-137

122. G. Isac, and Th. M. Rassias Stability of tp-additive mappings: Applications , International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 1996, 19, p 219-228

123. Ito N.A. 'A theorem of alternating group An, (n > 5/, Math.Japan,. 2, 2, 1951, 59-60.

124. B.E. Johnson , Cohomology in Banach algebras, Mem.Amer.Math.Soc. 127, Amer.Math.Soc., Providence, RI, 1972.

125. B.E. Johnson Approximately multiplicative functional, J.London Math.Soc. (2), 34, 3(1986), 489-510.

126. B.E. Johnson perturbations of multiplication and homomorphisms, Deformation theory of algebras and structures and applications(II Ciocco, 1986), NATO adv.Sci.Inst.Ser.C Math.phys.Sci., 247, Kluwer Acad. Puble., Dordrecht, 1988, 565-579

127. B.E. Johnson ,Approximate diagonals and cohomology of certain annihilator Banach algebras , Amer.J. Math.Soc., 94(1986), 685-698.

128. B.E. Johnson ,Derivations from L1 (G) into Ll(G) and L°°, Harmonic analysis (Luxemburg , 1987), Lecture Notes in Math., 1359, Springer, Berlin,1988, 56*5- 579.

129. G. Baumslag, Wreath product and p-groups, Proc. Camb. Phil. Soc. 55 (1959), 224-231

130. P. Jordan, J.von Neumann On inner products in linear metric spaces, Proc. London Math. Soc. , 36(1935), 719-726.

131. S.-M. Jung, On the Hyers-Ulam stability of the functional equations that have the quadratic property, J. Math. Anal. Appl. 222 (1998), 126-137.

132. S.-M. Jung, Stability of the quadratic equation of Pexider type, Abh. Math. Sern. Univ. Hamburg 70 (2000), 175-190.

133. S.-M. Jung and P.K. Sahoo, Stability of a functional equation of Drygas, Aequationes Math. 64 (2002), 263-273.

134. S. M. Jung Hyers-Ulam-Rassias Stability of Jensen's equation and its application, Proc. Anier. Math. Soc. 126, no.11 (1998),-3137-3143.142. van der Kallen W. lSL^(Cx\) does not have bounded word length'', Lect.Notes, 366, 1982, 357361.

135. PI. Kannappan, Quadratic functional equation and inner product spaces, Results Math. 27 (1995), 368-372.

136. PL.Kannappan, M.Kuczma On a functional equation related to the Cauchy equation, Ann.PoIon.Math., 30(1974), 49-55.

137. Kazlidan, D. Oji e-representations , Israel J. Math. 1982, 43, no. 4, p 315-323

138. G.-H. Kim, On the stability of the quadratic mapping in normed spaces, Internat. J. Math. & Math. Sci. 25 (2001), 217-229.

139. Z. Kominek, On a local stability of the Jensen functional equation, Demonstratio Math. 22 (1989), 199-507.

140. D.Kotschik, What is. a quasi-morphism? , Notices Amer.Math.Soc., 51,2(2004),208-209.

141. S.Kurepa 1 Quadratic and sesquilinëar Junctionals'', Glasnik Mat.-Fiz. Astr., 20(1965), 79-93.

142. M.Kuczma, Functional equations on restricted domains, Aequationes Math. 18(1978), 1-34.

143. M. Laczkovich, The local stability of convexity, affinity and the Jensen equation, Aequationes Math. 58 (1999), 135-142.

144. Y. Lee and K. Jun, A Generalization of the Hyers-Ulam-Rassias Stability of Jensen's equation, J. Math. Anal. Appl. 238 (1999), 305-315.

145. F. Levi, Notes on group theory, I, VII, J. Indian Math. Soc. 8 (1944), 1-7 and 9 (1945), 37-42.

146. Y. Li, The hyperccntre and the n-centre of the unit group of an integral group ring, Can. J. Math. 50 (1998), 401-411.

147. J.F.Maiming, Geometry of pseudocharacters, Geom. Topol., 9()2005), 1147-1185.

148. S. Matsumoto, Numerical invariants for semiconjugacy of homeomorphisms, Proc. of the AMS, 98 (1986), 163-165.

149. S. Matsumoto and S. Morita, Bounded cohomology of certain groups of homeomorphisms, Proc. Amer. Math. Soc., 94 (1985), 539-544.

150. Y. Mitsumatsu, Bounded cohomology and il-homology of surfaces, Topology, 24, #4 (1984), 465-471.

151. N.Monod, Continuous bounded cohomology of locall compact groups, Lecture Notes in Math., 1758, Springer-Verlag, Berlin, 2001.

152. N.Monod, B.Rémy, Boundedly generated groups with pseudocharacter(s), Appendix to J.F.Manning, "Quasi-actions on trees and property(QFA)"J.London Math.Soc.(2), 73, 1(2006), 104-108

153. D.Montgomery , L.Zippin, A theorem on Lie groups, Bull.Amer.Math.Soc. 48(1942), 448-452.

154. H. Nagao lOn GL(2,Kx.)', J.Poly. Osaka Univ., 10(1959), 117-121.

155. Newman M. 1Unimodular commutators', Proc.Amer.Math.Soc., 101, 4(1987), 605-609.

156. В. H. Neumann Adjunction of elements to groups, J. London Math. Soc. 18(1943), 12-20

157. J. von Neumann, Approximative properties of matrices of high finite order, Port.Math., 3(1942), 162; рус.пср.: "Аппроксимативные свойства матриц высокого конечного порядка", Избранные труды по функциональному анализу, т.1, Наука,М.,1987, 277-328.

158. С. Т. Ng, Jensen's functional equation on groups, Aequationes Math. 39 (1999), 85-99.

159. Ol'shanskii A.Yu. 'On calculation of width in free groups', London Math.Soc.Lecture Note Series, 204, Cambridge University Press, 1995, 255-258.

160. Ore S. 'Some remarks on commutators', Proc.Amer.Math.Soc., 2, (1951), 307-314.

161. L.Paganoni Soluzione di una equaxione finxionale su dominio ristretto, Boll.Un. Mat.Ital.(5), 17-B(1980) 979-993.

162. L. Paganoni On an alternative Cauchy equation , Aequationes Math., 29(1985), 214-221.

163. J.-C.Picaud, Cohomologie bornée des surfaces et courants géodésiques, Bull.Soc.Math.France, 125, 1(1997),115-142.

164. L.Polterovich, Z.Rudnik Stable mixing for cat maps and quasi-morphisms of the modular group, Ergodic Theory Dinamic Systems, 24, 2(2004),609-619.

165. P.Py Quasimorphisms et invariant de Calabi, Ann.Sci. École Norm.Sup.(4),39,1()2006,177-195.

166. H.Radeinacher,Zur Theorie der Modulfunktionen, J.Reine Angew.math, 167(1932), 312-336.

167. Rhemtulla A.H. 'A problem of bounded expressibility in free products', Proc.Cambridge PHil.Soc., 64, 3 (1969), 573-584.

168. Rhemtulla A.H. 'Commutators of certain finitely generated solvable groups', Canad. J.Math., 21, 5 (1969), 1160-1164.

169. Th. M. Rassias On the stability of the linear mapping in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 1978, 72, p 297-300

170. Th. M. Rassias and J. Tabor eds. Stability of Mappings of Hyers-Ulam Type, Hadronic Press Inc., Florida 1994

171. Th. M. Rassias, Problem 16, in : Report of the 27th Internat. Symp. on Functional Equations, Aequationes Math. 1990, 39, p. 309

172. Th. M. Rassias, On modified Hyers-Ulam sequence, J. Math. Anal. Appl. 1991, 158, pp. 106-113

173. T.M.Rassias,77te problem .of S:M. Ularn for approximately multiplicative mappings, J.Math.Anal.Appl.,246, 2(2000),352-378 1-2(1999), 157-162.

174. J.M. Rassias, On Approximation of Approximately Linear Mappings by Linear Mappings, J. Funct. Anal. 46 (1982), 126-130.

175. J.M. Rassias, On Approximation of Approximately Linear Mappings by Linear Mappings, Bull. Sc. Math. 108 (1084) ,'445-446.

176. J.M. Rassias, Solution of a Problem of Ulam, J. Approx. Th. 57 (1989), 268-273.

177. J.M.Rassias, On the stability of a rnulti-dimensional Cauehy type functional equation, "Geometry, Analysis and Mechanics", World Sci. Publ. Co., 1994, 365-376.

178. J.M.Rassias, On the Ulam stability of mixed type mappings on restricted domains, J.Math.Anal.Appl. 276(2002),747-762

179. J.M.Rassias and M.J.Rassias, On the Ulam stability of Jensen and Jensen type mappings on restricted domains, J.Math.Anal.Appl. 281(2003), 516-524.

180. J.M.Rassias, Asymptotic behavior of mixed type functional equations, Austral. J.Math. Anal. Applications, 1(2004),issue 1,1-21

181. A.Sambusetti Minimal entropy and symplical volume, Manuscripta Math.99 , 4,(1999), 541-560.

182. P. Semil,Hyers-Ulam stability of isornetries o Banach spaces, Aequationes Math.,58, 1-2(1999), 157-162.

183. P. Semrl,Almost multiplicative functions and almost linear multiplicative functions, Aequationes Math.,63, 1-2(2002), 180-192.

184. J.-P.Serre, Trees , Springer-Verlag, Berlin heidelberg New Yourk , 1980.

185. F.Skof, Sull', approssimazione delle applicazioni localmente ?- additive, Atti Accad. Sci. Torino CI. Sci. Fis. Mat. Natur., 117 (1983), 377-389.

186. F. Skof, Proprieta locali e approssimazione di operatori, Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 53 (1983), 113-129.

187. A.I.Shtern,Quasisymmetry. i, Russ.J.Math.phys., 2, 3(1994), 353-382,

188. A.I.Shtern,Remarks on pseuocharacters and the real continuous bounded cohomology of connected locally compact groups, Sib 228 Preprint no. 289, Technishe Univcritat, Berlin, 1997.

189. A.I.Shtern,Bounded continuous real' 2-cocycles on simpy connected simple Lie groups and their applications, Russ.J.Math.phys., 8, 1(2001), 122-133.

190. A.I.Shtern,Remarks on pseudocharacters and the real continuous bounded cohomology of connected cocaly compact, Ann. Global Anal.Geom., 20, 3(2001), 199-221.

191. A.I.Shtern,^. criterion for the second real continuous bounded cohomology of a locally compact group to be finite-dimentional, Noncommutative geometry and operator if-theory, Acta Appl. Math., 68, 1-3(2001), 105-121.

192. A.I.Shtern,Projective irreducible unitary representations of hermitian symmetric simple Lie groups are geneted by pure pseucorepresentation, Adv,Stud.Contemp.Math(Kyungshang), 9, 1(2004), 1-6.

193. J. Tabor and J. Tabor, Local stability of the Cauchy and Jensen equations in function spaces, Aequationes Math. 58 (1999), 296-310.

194. Szekelyhidi L. Note on a stability theorem, Canad. Math. Bull. 1982, 25, p 500-501

195. Szekelyhidi, L. Ulam's problem, Hyers's solution and to where they led, In: Functional Equations and Inequalities, Th.M. Rassias (ed), Kluwer Academic Pablishers, 2000, pp.259-285.

196. Thompson R.C. ''Commutators in the special linear and general linear groups Trans.Amer.Math.Soc., 101, 1 (1961), 16-33.

197. Ulam S.M. A collection of mathematical prolblems, Interscience Publ. New York 1960

198. Ulam S.M. Sets, numbers and universes, Mass. Inst, of Thech Press, Cambredge, MA 1974

199. S.M. Ulam, A collection of mathematical problems, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No.8, Interscience Publishers, New York,1960; Problems in Modern Mathematics, Wiley and Sons, New York, 1964,Chapter VI.

200. Vdovina A.A. 'Constructing of orientable Wicks forms and estimation of their number Communications in algebra, 23, 9 (1995), 3205-3222.

201. J. H. C. Whitehead, A certain exact sequence, Ann. of Math., 52 (1950), 51-110.

202. D. Yang, Remarks on the stability of Dry gas' equation and the Pexider-quadratic equation, Aequationes Math. 68 (2004), 108-116.

203. D. Yang, The stability of the quadratic functional equation on amenable groups, J. Math. Anal. Appl. 291 (2004), 666-672.Работы автора по теме диссертации

204. Файзиев В.А. Псевдохарактеры на свободных произведениях полугрупп, Фупкц. анализ и его при лож., 1987, 1, с. 86-87.

205. Файзиев В.А. Псевдохарактеры па свободных группах и некоторых групповых конструкциях, Успехи Мат. наук. 43, No.5, 225-226 (1988).

206. Файзиев В.А. О пространствах псевдохарактеров на свободных произведениях полугрупп, Матем. Заметки 1992, 52, по. 6, pp. 126-137

207. Файзиев В.А. Псевдохарактеры на группе SL(2,Z), Функц. Анализ и его прилож., 1992, е 4 с.77-79

208. Файзиев В.А. Об одной теореме Харпа it Каруби, Успехи матем.паук, 1993 е 2 с.203-204

209. Файзиев В.А. Псевдохарактеры на полупрямых произведениях полугрупп, Матем. заметки 53, No.2, 132-139 (1993).

210. Файзиев В.А. Об устойчивости одного функционального уравнения на группах, Успехи мат. наук 48, No.l, 193-194 (1993).

211. Файзиев В.А., Псевдохарактеры на свободных группах, Известия РАН, серия матем. 58, no. 1, (1994), 121-143.

212. Файзиев В.А., Описание пространства псевдохарактеров свободной полугруппы ранга два инвариантных относительно одной полугруппы jндоморфизмов , Фунц, анализ и его прилож.,28, no. 1, (1994), 85-87.

213. Файзиев В.А., Pseudocharacters on free semigroups, Russ. J. Math. Phys. 3, No.2, pp. 191-206 (1995)

214. Файзиев B.A., Двумерные вещественные треугольные квазипредставления групп, Фундаментальная и пркладнан матем., 1, по. 4(1995), 1129-1132.

215. Файзиев В.А., Двумерные вещественные треугольные квазипредставления свободной группы, Доклады РАН, т. 355, по. 6, 737- 739 (1997)

216. Файзиев В.А., Pseudocharacters on free products of groups, Russ. J. Math. Phys. 5, No.l, 3-8 (1997).

217. Faiziev V.A., Pseudocharacters on free semigroups invariant with respect to their automorphism groups, Proc.Amer.Math. Soc. 126, No.2, 333-342 (1998).

218. Faiziev V.A., On almost representations of groups, Proc. Amer. Math. Soc. 127, No.l, 57-61 (1999).

219. Faiziev V.A., Pseudocharacters on a class of extension of free groups, New York Journal of Math. 6, (2000), 135-152

220. Faiziev V.A., Description of pseudocharacters's space of free products of groups, Math. Ineq. And Appl. 2, (2000), 269-293.

221. Faiziev, V.A. The stability of the equation f(xy) — /(x) — f(jj) = 0 on groups , Acta Math. Univ. Comenianae 1(2000), pp. 127-135

222. Faiziev, V.A.The problem of expressibility is some amalgamated product of groups, Austral. Journ.Math. 71(2001),ppl05-115

223. Faiziev V.A., Th.M.Rassias and RK.Sahoo, The space of (?/>, 7) additive mappings of semigroups , Trans.A1ner.Math.S0c, 2002, v.354, no.ll, pp.4455-4472

224. Файзиев В.А., Об устойчивости уравнения Йенсена на группах, Доклады РАН, 386 (2002), N 6, стр.

225. Faiziev V.A. and P.K.Sahoo, Description the pseudocharacter space and the problem of expressibility for some groups, Journal of Algebra, v.250(2002),2, pp. 603- 637

226. Файзиев В.А. , Саху П.К., О пространстве псевдойенсеновых функций на группах, Алгебра и Анализ, v. 14(2002), е 6 , 205-234

227. Faiziev V.A. and P.K.Sahoo, On the stability of a Jensen type functional equation on groups, Bulletin of the Korean Mathematical Society, 2005, v.42(2005),no.4,759-778

228. Faiziev V.A. and P.K.Sahoo, On the space of (ф,^-pseudo-Jensen mappings on Groups, Nonlinear Funct. Anal. And Appl., vol.11, no.5, (2006), pp 759-791

229. Faiziev V.A. and P.K.Sahoo,' On Drygas functional equation on groups, International Journal of Applied Mathematics and Statistics, V.7(2007), no.Fe07, 59-69

230. Faiziev V.A. and P.K.Sahoo, On the stability of Drygas functional equation on groups, Banach Journal of Alath.Analisis, v.l, no.l, (2007), pp 43-55

231. СЦ2,Кх.) = ОЬ(2,К)*т{2,к)Т(2,К[х\),

232. Аламбергенов Х.С., Романьков В.А. О произведении коммутаторов в группах /Х.С. Аламбергенов , В.А. Романьков Деп. в ВИНИТИ, 1985, N.4566-B85.

233. Бардаков В.Г. К теории групп кос/В.Г.Бардаков // Матем. сб.-1992,- N.l(183).-C.3-42.

234. Бардаков В.Г. О разложении автоморфизмов свободных .модулей на простые мно: пел ьтели / В. Г. Б ардаков // Известия РАН, серия математическая.-1995.-N.1(59).-С.109-128.

235. Бардаков В.Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Артина /В. Г. Б ар д ако в // Групповые и метрические свойсгва отображений: Сборник работ, посвященных памяти Ю.И.Мерзлякова, НГУ. Новосибирск.-1995-С.8-18.

236. Бардаков В.Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых групп HNN-расширений/В.Г.Бардаков // Препринт Института математики СО РАН, Новосибирск,-1995,- 25с.

237. Бардаков В.Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций /В.Г.Бардаков // Алгебра и логика.-1997,- N.5(360)-C.494-517.

238. Бардаков В.Г. Вычисление коммутаторной длины в свободных группах /В.Г.Бардаков // Алгебра и логика.-2000.-^4(39).-С.379-424.

239. Бардаков В.Г. Строение группы сопрягающих автоморфизмов /В.Г.Бардаков // Алгебра и логика.-2003-N .5 (42) .-С. 515-541.

240. Безверхний В.Н. Решение проблемы конечной ширины в группах Артина с двумя образую-г^г/лш/В.Н.Безверхний ,И.В. Добрынина // Чебыгаевский сборник, Тула.-2002.-N.1 (З).-С.И-16.

241. Вершик A.M. Комментарии к русскому переводу,Дэю.фон Нейман, Избранные труды по функциональному анализу/A.M.Вершик // Т.1.- Наука,М.-1987.-С.372-374.

242. Глухов М.М. 0 длинах симметрических и знакопеременных групп подстановок в различных системах образующих/М.М.Глухов, А.Ю.Зубов // Матем. вопросы киберн.-1999.-Ю(8).-С.5-32.

243. Григорчук Р.И. Ограниченные когомологии групповых конструкций/ Р.И.Григорчук// Матем .заметки.-1996.-К.4(59).-С.546-550.

244. Григорчук P.IL, Курчанов П.Ф. О ширине элементов в свободных группах/ Р.И.Григорчук, П.Ф.Курчанов// Укр.матем.>Kypi.-1991.-N.7-8(43).-С.911-918.

245. Григорчук Р.И. Весовые функции на группах и критерий аменабельности / Р.И.Григорчук//Матем.заметки.-1996.-Ю(60).-С.383-395.

246. Гринблат В.А. О коммутаторных уравнениях в группх Артина конечного типа/ В.А.Гринблат// Меж;iyнарод.конф.по алгебра: Тез.доклю по теории групп, Новосибирск,-1989.-С.37.

247. Добрынина И.В. О ширине свободных произведений с объединением/ И.В.Добрынина// Матем.заме:кп.-2000.-1Ч.З(68) .-С.353-359.

248. Дурнев В.Г. О ширине коммутанта группы кос B:i и Вд/В.Г.Дурнев; 1987. Деп.в ВИНИТИ, N. 1040-В87.

249. Дурнев В.Г. О ширине коммутанта группы кос Дз и Вл/В.Г.Дурнев, В.К.Шалашов// 19-я Всесоюзн.алгебр.конф .-Львов, 1987.-С.89.

250. Закирьянов К.Х. Конечность ширины симплектической группы над кольцами алгебраических чисел относительно элементарнг>/х матриц/К.Х.Закирьянов// Алгебра и логика.-1985.-К6.-С.667-673.

251. Н.В.Иванов, Основы теории ограниченных когомологии Записки научных семинаров Лениградского отдлеления Математического института им.В.А.Стеклова, АНСССР/Н.В.Иванов//-1985.- N.143.-C.69-109.

252. Н.В.Иванов, Вторая группа ограниченных когомологий Записки научных семинаров Лениградско! о отдлеления Математического института им.В.А.Стеклова, АНСССР/Н.В.Иванов//-1988.- N.167.-C.117-120.

253. Каргаполов М.II. Основы теории групп, 1-е изд./М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков.- М., Наука, 1996.-240с.

254. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, 15-е изд., Новосибирск, Ин-т матем.СО РАН, 2002.

255. Линдон Р. Комбинаторная теория групп ./Р.Линдон ,П. Шупп.- М.: Мир, 1980.-320с.

256. Магнус В. Комбинаторная теория групп ./В.Магнус., А.Каррас, Д.Солитэр.- ,М., Наука, 1974.-320С.

257. Масси У. 'Алгебраическая топология './У.Масси., Дж.М. Столлингс.- М.: Мир, 1977.-224.

258. Мерзляков Ю.И. Алгебраические линейные группы как полные группы автомофизмов и замкнутость их вербальных подгрупп /Ю.И.Мерзляков// Алгебра и логика.- 1967.-N.6(1).-С.83-94.

259. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы, 2-е изд./Ю.И.Мерзляков,- М., Наука, 1987.

260. Нейман Дж.фон, Избранные труды по функциональному анализу.-т1,/Дж.фон Нейман,-Наука,М.,1987.

261. Романьков В.А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп /В.А.Романьков// Алгебра и логика -1982.-N.21(l).-C.60-72 Тула, 1986, 114-117.

262. Семенов Ю.С. О коммутаторах в группах кос/Ю.С.Семенов// 10-и Всесоюзн. симп. по теории групп. Минск.-1986.-С.207.

263. Смирнова Е.Г. Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени <?ва/Е.Г.Смирнова // Сиб. матем.журн.-2000.-К.41(1).-С.206-213.

264. Тавгень О.Н. Ограниченная порождаемость групп Шевале над кольцами S-целых алгебраических чисел/О.Н.Тавгень// Известия АН СССР, Серия математическая.-1900.-N.54(l).-C.97-122.

265. Штерн А .И. Квазипредставления и псевдопредставления /А.И.Штерн // Функц. анализ и его прилож.-1990.-.М.25(2).-С.70-71.

266. А.И.Штерн Об операторах в пространстве Фреше, подобных изометриям/А.И.Штерн // Вестн.МГУ. cep.l. MareM.,Mex.-1991-N.4-C.67-70.

267. А.И. Шаерн, псевдохарактер, определенный символом Радемахера /A.II.LIIi ерн //УМН,-1990-N.45(3)-C.197-198.

268. А.И. Штерн, Устойчивость представлений и псевдохарактеры /А.И.Штерн // Ломоносовские чтения, МГУ,М.-1983.

269. А.И. Штерн, Структурные свойства и ограниченные вещественные непрерывные 2-когомологии локально компактных групп/AM.Штерн // Функц.анализ и его ирилож.-2001-N.35(4)-C.67-80.

270. А.PI. Штерн, Деформация неприводимых унитарных представлений дискретной серии эрмитово симметрических простых групп Ли в классе чистых псевдопредставлений/А.И.Штерн // Матем.заметки.-2003-.Ч.75(3)-С.478-480.

271. А.И. Штерн Структурные свойства и ограниченные вещественные непрерывные 2-когомологии локально компактных групп/А.И.Штерн // Функц.анализ и его прилож-2001-N.35(4)-C.67-80.

272. А.И. Штерн Проективные представления и чистые псевдопредставления эрмитово симметрических простых групп Ли /А.И.Штерн // Матем.заметки.-2005-1чт.78(1)-С.140-146.

273. Штерн AM.Проблема Каэ\сдана-Мильмана для полупростых компактных группа Ли/А.И.Штерн // Успехи MaT.HayK.-2007-N.62(l).-C.123-190.

274. Aczel, J. and Dhombres J. Functional Equations in Several Variables./J.Aczel, J. Dhombres J.// Cambredge University Press, Cambredge.-1989.- v.31

275. Adjan S.I. 'Ort bounded generation of SL(n,Z)'/S.I.Adyan, and J.Mennicke// Internat. J. Algebra Comput.-1992.-N.4(2).-C.357-355.

276. Akhavan-Malayeri M., Rhemtulla A. ' Commuttator length of Abelian-by-nilpotent groups'/M.Akhavan-Malayeri, A.Rhemtulla // Glasg. Math.J.-1998.-N.40(l).-C.117-121.

277. Baer R. Facrorization of n-soluble and n-nilpotent groups/R. Baer// Proc. Amer. Math. Soc.-1953.-N.45.-C.15-26.

278. Baker, J. The stability of the equation f{x + y) = f(x) ■ f(y)/ J.Baker, L.Lawrence, F.Zorzitto// Proc. Amer. Math. Soc.-1979.-N.74(2).-C.242-246

279. Baker, J. The stability of the cosine equation / J.Baker// Proc. Amer. Math. Soc.-1980.-N.80(3).-C.411-416.

280. Bardakov V. On the palindromic and primitive width of a free groups /V.Bardakov, V.Shpilrian, V.Tolstykh// J. Algebra.- 2005.-N.285(2).-C.574-585.

281. Bardakov V. The palindromic width of a free product of groups. /V.Bardakov, V.Tolstykh//J. Aust. Math. Soc.-2006.-N.81(2).-C.199-208.

282. Barge J.Surfaces et cohomologie bouréejJ.Barge, É Chys,// Invent,Math.-1988.-N.92(3).-C.509-526.

283. Barge J. Cocycles d'Euler et de Maslov/J.Barge, É Cliys,// Math.Ann.-1992.-N.294(2).-C.235-265.

284. Baron K.On Mikusinski-Pexider functional equation/K.Baron, R.Ger//Colloq.Math.-1973.-N.28.-C.307-312.

285. Baumslag G, Wreath product and p-groups/G. Baumslag// Proc. Camb. Phil. Soc.-1959.-N.55.-C. 224-231.

286. Bavard C. Longueur stable des commutateurs/C.Bavard // Enseign.Math.-1991.-N.37(2).-C.109-150.

287. Besson G. Sur la cohomologie bornée, / G.Besson// Séminaire sur la cohomologie bornée, École Norm.Sup.Lyon, Roport, Février 1988.

288. Biran P., Entov M., Polterovich L. Calabi quasimorphism for the symplectic ball/P.Biran,M .Entov, L.Polterovich// Commun.Contemp.Math.-2004.-N.6(5).-C.793-802.

289. Bouarich A .Suites exactes en cohomologie bornée, réelee des groupes discrets/A. Bouarich// C.R.Acad,Sei,Paris Sér, I Math.-1995.-N.320(ll).-C.1355-1359.

290. D.G.Bourgin D.G. Classes of transformations and bordering transformation/D.G.Bourgin// Bull. Amer. Math. Soc.-1951.-N.57.-C.223-237.

291. Brooks R. Bounded cohomology for surface groups/R. Brooks and C. Series// Topology-1984.-N.23.-C.29-36.

292. Chang I.-S.Hyers-Ulam-Rassias stability of a quadratic functional equation/I.-S. Chang and H.-M. Kim// Kyungpook Math. J.-2002.-N.42.-C.71-86.

293. Choleva P.W. Remarks on the stability of functional equations /P.W.Choleva// Aequationes Math.-1984.-N.27.-C.76- 86.

294. Czerwik ST. On the stability of the quadratic mapping in normed spaces/ST.Czerwik// Abh. Math. Sem. Univ Hamburg.-1992.-N.62.-C.59-64.

295. Carter D. 1 Bounded elementary generation of 5Ln(0)'/D.Carter and C.Keller // Amer.J.Math.-1983.-N.103(3)-C.673-687.

296. Chung J.K. On a quadratic-trigonometric functional equation and some applications/J. K. Chung,B. R. Ebanks, C. T. Ng and P. K. Sahoo// Trans. Amer. Math. Soc.-1995.-N.347.-C. 1131-1161.

297. Chys É Groups acting on circlc/É Chys,// Eiseing.Math.-2001.-N.47(2).-C.329-407.

298. Comeford J.A. 1 Powers as product of commutators/J.A.Comeford, L.P.Comeford,C.C.Edmunds//, Communications in algebra.-1991.-N.19(2).-C.675-684.

299. Culler M. ' Using surfaces to solve equations in free groups '/M.Culler // Topology.-1981.-N.20(2).-C.133-145.

300. R.Dedekind, Erläuterungen zu den Fragmenten XXVIII, B.Riemann/R.Dedekind,// Collected works (Gesammelte mahtematishe Worke und wissenshaftlicher Nahlaß)/ Dover, new York, NY, 1953.-C.466-478.3V3G0

301. Drygas H. Quasi-inner products and their applications/ H. Drygas//: Advances in Multivariate Statistical Analysis (ed. A. K. Gupta)/ Reidel Publ. Co., 1987.-C.13-30.

302. Dhombres J.Equations de Cauchy conditionnelles/J.Dhombres, R.Ger//C.R.Acad.Sci.Paris.-1975.-N.208.-C.513-515.

303. Dhombres J. Conditional Cauchy equations/J.Dhombres, R.Ger// Glasnik Mat.

304. McDuff D.Asurvey of the topological properties of symlectomorphism growp.s/D.McDuff // Topology, geomerty and quantum field theory, London Math.Soc. lecture Note Ser.-2004.- 308, Cambredge Univ.Press/ Cambridge, 2004.-C.173-193.

305. Dubikajtis L. On Mikusinski's functional egwaii'on/L.Dubikajtis, C.Ference, R.Ger, M.Kuczma// Ann.Polon.Math.-1973.-N.28.-C.39-47.

306. Duncan A.J.£ The genious problem for one-relator products of locally indicable groups '/A.J.Duncan and J. Howie// Math.Z.-1991.-N. 208(2) .-C.225-237.

307. Drljevic H.On the stability of the functional quadratic on A-orthogonal vectors/H.Drljevic//Publ. Inst. Math.(Beograd) (N.S.).-1984.-N.36(50).-C.111-118.

308. Ebanks B. R. A common generalization of functional equations characterizing normed and quasi-inner-product spaces / B. R. Ebanks, PL. Kannappan and P. K. Sahoo,// Canad. Math. BuIL-1992.-N.35.-C.321-327.

309. Ellers 'Products of transvections in one conjugacy class in the symplcctic group over Gir'(3)/Ellers, Erich W.// Linear Algebra Appl.-1994.-N.202.-C.l-23.

310. Ellers E.W., Products of transvections in one conjugacy class in the symplectic group over GF{3)/E. W. Ellers// Linear Algebra Appl.-1994.-N.202.-C.l-23.

311. Entov M.Commutator length of simplectomorphisms/Entov M.// Comment.Math.Helv.-2004.-N.79(l).-C.58-104.

312. Entov M.Calabi quasimorphism and quantum homology/M.Entov, L.Polterovich//Int.Math.Res.Not.-2003.-N.30.-C.1635-161676.

313. Fechner W. On the Hyers-Ulam stability of functional equations connected with additive and quadratic mappings¡VJ. Fechner// J. Math. Anal. Appl.-2006.-N.322.-C.774-786.

314. Fenyo I.Osservazioni su alcuni teoremi di D.H.Hyers /I.Fenyo//, Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend.-1980.-N.A 114.-C.235-242.

315. Fischer R. On some new generalizations of the functional equation of Cauchy/R.Fischer, Gy.Muszely// Canad.Math.Bull.- 1967.-N.10.-C.197-205.

316. Forti G.L. Remark 11 In: Report of the 22nd Internat. Symp. on Functional Equations/G. L. Forti// Aequationes Math.-1985.-N.29.-C.90-91.

317. Forti G. L. The stability of homomorphisms and amenability/G. L. Forti// Abh. Vath. Sem. Univ. Hamburg.-1987.-N.57.-C.215-226.

318. Forti, G. L. Sulla stabilita degli omomorfismi e sue applocazioni alle cquazilni funczionali /G. L. Forti// Rend. Sem. Mat. Fis. Milano.-1988.-N.58.-C. 9-25.

319. Forti, G.L. Hyers-Ulam stability of functional equations hi several variables/G. L. Forti// Aequationes Math.-19995.-N.50.-C.143-190.

320. Forti G.L. On an alternative functional equation related to the Cauchy equation/G. L. Forti// Aequationes Math.-1982.-N.24.-C.195-206.

321. Forti G.L. A method of solving a conditional Cauchy equation on abelian groups/G. L. Forti, , L.Paganoni// Ann. Mat. Pura Appl. IV.-1981.-N.127.-C.79-99.

322. Fujiwara K. The second bounded cohomology of an amalgamated free product of groups/K.Fujiwara// Trans. Amer. Math. Soc.-2000.-N.3.-C.1113-1129.

323. Gajda Z. On stability of additive mappings/Z. Gajda// Internat. J. Math. &; Math. Sci.-1991.-N.14.-C.431-434.

324. Gallian J.A. Abelian Forcing sets, Amer. Math. Monthly/ J. A. Gallian and M. Reid// .-1993.-N.100.-C.580-582.

325. J.-M.Gambaudo, E Chys, Commutators and diffeomorphisrns of surfaces, Ergodic Theory Dy-nam.Systems, 24, 5 (2004), 1591-1617.

326. Gavruta P. An answer to a question of John M. Rassias concerning the stability of Cauchy equation/P.Gavruta//. In: Advances in Equations and nequalities/ Hadronic Math. Series, U.S.A.-1999.-C.67-71.

327. Gavruta P.j4 generalization of the Hyers-Ulam-Rassias stability of approximately additive mappings /P. Gavruta// J. Math. Anal. Appl.-1994.-N.184.-C.169-176.

328. Ger R.Functional inequalities stemming from stability questions/R. Ger// In: General Inequalities 6 (ed. W. Walter)/ Birkhauser, Basel.-1992.-C.227-240.jm

329. Ger R.On some functional equations with a restricted domain/R. Ger//Fund.Math.-1975.-N.89.-C.131-149.

330. Ger R. On an alternative functional equation/R. Ger// Aequationes Math.-1995.-N32.-C. 17-28.

331. Ger R. On a method of solving of conditional Cauchy equations/R. Ger// Univ.Beograd.Publ.EIektrotehn.Fak.Ser.Mat.Fiz.-1976.- N.544-576.-C.159-165.

332. Ghys E., Groupes d'homeomorphisms du cercle et cohomologie bornee/E. Ghys// In: The Lef-schetz centennial conference, part III (Mexico City 1984), Contemporary Math., 58, III, Amer. Math. Soc.-1987.-C.81-105.

333. Griffiths, H.B. 'A note on commutators in free products '/Griffiths, H.B.// Proc. Cambridge Phil. Soc.-1954.-N.50(2).-C.78-188.

334. Goldstein R.Z. 'Applications of topological graph theory to group theory'/R.Z. Goldstein, E.C. Turner // Math.Z.-1979.-N.165(1).-C.1-10.

335. Grigorchuk R.I., Some results on bounded cohomology/R. I. Grigorchuk// Combinatorial and geometric group theory (Edinberg, 1993), 111-163, London Math.Soc.Lecture Note Ser.-1994.-N.204.-C.111-163.

336. Gromov M., Volume and bounded cohomology/M. Gromov// Publ. Math. IHES.-1982.-N.56.C.5-100.

337. Gromov M. lHyperbolic groups/M. Gromov// in: Essay in Group Theory, Ed S.M.Gersten, Math.Sci.Res.Inst.Publ. 8, Springer/ New-York/-1987.-C.75-263.

338. Gromov M. 'Asymptotic invariants of infinite groups/M. Gromov// London Nath.Soc.Lecture Note Series, 182/Cambridge University Press-1993.

339. Grove K.Jacobi fields and Finsler metrics on compact Lie groups with an application to differen-tiable pinching problems/K.Grove, H.Karclier., E.A.Ruh // Math.Ann.-1974.-N.211(l).-C.7-21.

340. Ma D. Upper semicontinuity of isotropy and automorphism groups/D.Ma// Math.Ann.-1992.-N.292(3).-C.533-545.

341. Harpe P.de la.Représentations approchées d'un groupe dans une algégre de Banach /P.de la Harpe, M.Karoubi// Manuscripta Math.-1973.-N.22(3).-C.293-310.

342. Gruber P.M. Stability of Isometries/P.M. Gruber// Trans.Amer. Math. Soc., u.s.A.-1978.-N.245.-C.263-277.

343. Gow R. ' Com imitators in the symplectic groups'/R. Gow // Arch.Math.-1988.-N.50(3).-C.204-209.

344. Tlosszii M. 'A remark on the square norm/M.Hosszti//Aequationes Math.-1963.-N.2.-C.190-193.

345. Gromov M. Volume and boutded cohomology/M.Gromov// Publ.Math.Inst.Hautes Études Sci.-1982.-N.56.-C.5-163.

346. Gromov M.Positeve curvature, macroscopic dimension, spectral gaps and higher signatures/M.Gromov / / Funct.analysis on the eve of the 21th century, vol.II(New Brunswick, NJ,1993), progr.Math.,132, Birchauser, Boston,MA.-1996.-C.1-213.

347. Harpe P./ de la Harpe, P., Karoubi, M.// Represéntations approchées d'un groupe dans tme algèbre de Banach Manuscripta math.-1977.-N.22.-C.297-310.

348. Hyers D.H. On the stability of the linear functional equation/D.II. Hyers// Proc. Nat. Acad. Sci. USA.-1941.~N.27(2).-C.222-224

349. Hyers D.II. On approximate isometry/D.H. Hyers, S.M. Ulam // Bull. Amer. Math. Soc.-1945.-N.51.-C.228-292.

350. Hyers, D.H., Ulam, S.M. Approximate isometry on the space of continuous functions /D.H. Hyers, S.M. Ulam // Ann. of Math.-1947.-N.48(2).-C.205-209.

351. Hyers, D.H. The stability of homomorphisms and .-elated topics/D.H. Hyers, S.M. Ulam // In: Global Analysis Analysis on Manifolds(Th.M.Rassias, eds.)/ Teubner, Leipzig.-1983.-C.431-434.

352. Hyers Donald H. Approximate homomorphisms /Donald H. Hyers, and Themistocles M. Ras-sias// Aequationes Mathematicae.-1992.-N.44.-C.125-153.

353. Hyers D.H. Topics in Nonlinear Analysis and Applications/ D.H. Hyers, G.Isac and Th. AI. Rassias// World Scientific Publ.Co, 1997

354. D.H. Hyers, G.Isac and Th. M. Rassias Stability of Functional Equations in Several Variables/D.H.// Birkhauser, Boston, Basel, Berlin.-1998.

355. Isac G. On the Hyers-Ulam stability of if; additive mappings / G. Isac, and Th. M. Rassias// Journal of Approximation Tlieory.-1993.-N.72.-C.131-137.

356. Isac G. Stability of ij>-additive mappings: Applications / G. Isac, and Th. M. Rassias// International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences.-1996.-N.19.-C.219—228.

357. Ito N.A. 'A theorem of alternating group An, (n > 5//N.A.Ito//Math.Japan.-1951.-N.2(2).-C.59-60.

358. Johnson B.E.Cohomology in Banach algebras/ B.E. Johnson // Mem.Amer.Math.Soc. 127/ Amer.Math.Soc., Providence, RI.-1972.

359. Johnson B.E. Approximately multiplicative functionals/ B.E. Johnson // J.London Math.Soc.-1986.-N.34(2).-C.489-510.

360. Johnson B.E. Approximate diagonals and cohomology of certain annihilator Banach algebras / B.E. Johnson // Amer.J. Math.Soc.-1986.-N.94.-C.685-698.

361. Johnson B.E. Derivations from Ll(G) into Lx (G) and L°°/ B.E. Johnson // Harmonic analy-sis(Luxemburg , 1987), Lecture Notes in Math., 1359/ Springer, Berlin.-1988.-C.565- 579.

362. Jordan P. On inner products in linear metric spaces /P. Jordan, J. von Neumann// Proc. London Math. Soc.-1935.-N.36.-C.719-726.

363. Jung S.-M. On the Hyers-Ulam stability of the functional equations that have the quadratic property/S.-M. Jung// J. Math. Anal. Appl.-1988.-N.222.-C.126-137.

364. Jung S.-M. Stability of the quadratic equation of Pexider type/S.-AI. Jung// Abh. Math. Scm. Univ. Hamburg.-2000. -N.70.-C.175-190.

365. Jung S.-M. Stability of a functional equation of Drygas/S.-M. Jung, P.K. Salioo// Aequationes Matli.-2002.-N.64.-C.263-273.

366. Jung S.-M. Hyers-Ulam-Rassias Stability of Jensen's equation and its application/S.-M. Jung// Proc. Amcr. Math. Soc.-1998.-N.64(ll).-C.3137-3143.

367. Kallen W. 1 SLn(Cx\) does not have bounded word length''/ van der Kallen W.// Lecfc.Notes.-1982.-N.366.-C.-357-361.

368. Kannappan PI. Quadratic functional equation and inner product spaces Results Math./PI. Kannappan//.-19D5.-N.27.-C.368-372.

369. Kannappan PI. On a functional equation related to the Cauchy equation/PI. Kannappan, M.Kuczma// Ann.Polon.Math.-1974.-N.30.-C.49 55.

370. Kazhdan D. On e-representations / D.Kazhdan // Israel J. Math. 1982.-N.43(4).-C.315-323.

371. Kim G.-H. On the stability of the quadratic mapping in normed spaces/G.-H. Kim //Internat. J. Math. & Math. Sci.-2001.-N.25.-C.217-229.

372. Kominek Z. On a local stability of the Jensen functional equation/Z. Kominek// Demonstratio Math.-1989.-N.22.-C.199-507.

373. Ivotschik D. What is . a quasi-morphism? /D.Kotschik// Notices Amer.Math.Soc.-2004.N.51(2).-C.208-209.

374. S.Kurepa 'Quadratic and sesquilinear functionals'/S.Kurepa// Glasnik Mat.-Fiz. Astr.-1965.-N.20.-C.79-93.

375. Kuczma M. Functional equations on restricted domains/M.Kuczma// Aequationes Math.-1978.-N.18.-C.1-34.

376. Laczkovich M. The local stability of convexity, affinity and the Jensen equation/M. Laczkovich// Aequationes Math.-1999.-N.58.-C. 135-142.

377. Lee Y. A Generalization of the Hyers-Ulam-Rassias Stability of Jensen's equation/Y. Lee and K. Jun// J. Math. Anal. Appl.-1999.-N.238.-C.305-315.

378. Levi F. Notes on group theory, I, VII / F. Levi// J. Indian Math. Soc.-1944.-N.8-C.l-7 and -1945.-N.9-C.37-42.

379. Li Y. The hypercentre and the n-centre of the unit group of an integral group ring/ Y. Li// Can. J. Math.-1998.-N.50.-C.401-411.

380. Manning J.F. Geometry of pseudocharacters/J.F.Manning// Geom. Topol.-2005.-N.9.-C.1147-1185.

381. Matsumoto S. Numerical invariants for semiconjugacy of homeomorphisms/S. Matsumoto// Proc. of the AMS.-1986.-N.98.-C. 163-165.

382. Matsumoto S. Bounded cohomology of certain groups of homeomorphisms /S. Matsumoto and S. Morita// Proc. Amer. Math. Soc.-1985.-N.94.-C.539-544.

383. Mitsumatsu Y., Bounded cohomology and Cl-homology of surfaces/Y. Mitsumatsu// Topology.-1984.-N.24(4) .-C.465-471.

384. Monod N. Continuous bounded cohomology of locall compact groups/N.Monod// Lecture Notes in Math., 1758, Springer-Verlag, Berlin, 2001.я*363

385. Monod N.Boundedly generated groups with pseudocharacter(s)/N.Monod, B.Rémy // Appendix to J.F.Manning, "Quasi-actions on trees and property(QFA) "J.London Math.Soc.-2006.-N.73(2).-C104-108.

386. Montgomery D., Zippin L. A theorem on Lie groups /D.Montgomery , L.Zippin// Bull.Amer.Math.Soc.-1942.-N.48.-C.448-452.

387. Nagao H. 'On GL(2.Kx.)'/ H. Nagao// J.Poly. Osaka Univ.-1959.- N.10.-C. 117-121.

388. Newman M. 'Unimodular commutators'/Ш. Newman // Proc.Amer.Math.Soc.-1987.-N.101(4).-C.605-609.

389. Neumann В. H. Adjunction of elements to groups/В. H. Neumann// J. London Math. Soc.-1943.-N.18.-C.12-20.

390. Ng С. Т. Jensen's functional equation on groups/С. T. Ng// Aequationcs Math.-1999.-N.39.-C.85-99.

391. Ol'shanskii A.Yu. 'On calculation of width in free groups'/A.Yu.Ol'shaiiskii // London Math.Soc.Lecture Note Series.-204.-Cambridge University Press.-1995.-C.255-258.

392. Ore S. 1Some remarks on commutators'/Ore S.// Proc.Amer.Math.Soc.-1951.-N.2.-C.307-311.

393. Paganoni L. Soluzione di una equaxione finxionale su domimo ristretto/L.Paganoni// Boll.Un. Mat.Ital.-1980.-N.5.( 17-B) .-C. 979-993.

394. Paganoni L. On an alternative Cauchy equation /L.Paganoni// Aequationes Math.-1985.-N.29.-C.214-221.

395. Picaud J.-C. Cohomologie bornée des surfaces et courants géodésiques/J.-C.Picaud// Biill.Soc.Math.France.-1997.-N.125(l).-C.115-142.

396. Polterovich L. Stable mixing for cat maps and quasi-morphisms of the modular proup/L.Polterovich, Z.Rudnik // Ergodic Theory Dinamic Systems.-2001.-N.24(2).-C.609-619.

397. Py P. Quasimorphisms et invariant de Calabi/P.Py // Ann.Sci. École Norm.Sup.-2006.-N.39(4).-C.177-195.

398. Rademacher II.Zur Theorie der Modidfurddionen /11 .Rademacher// J.Reine Angew.math.-1932.-N.167.-C.312-336.

399. Rheintulla A.H. 'A problem of bounded expressibility in free products /A.H.Rhemtulla // Proc.Cambridge PHil.Soc.-1968.-N.3.-C.573-584.

400. Rhemtulla A.H. ' Commutators of certain finitely generated solvable groups '/A.H.Rhemtulla // Canad. J.Math.-1969.-N.21(5).-C.1160-1164.

401. Th. M. Rassias, Problem 16, in : Report of the 27th Internat. Symp. on Functional Equations/Th. M. Rassias// Aequationes Math.-1990.-N.39.-C.309

402. Th. M. Rassias, On modified Hyers-Ulam sequence /Th. M. Rassias// J. Math. Anal. Appl.-1991.-N.158.-C.106-113.

403. T.M.Rassias, The problem of S.M. Ulam for approximately multiplicative mappings/Th. M. Rassias// J.Math. Anal. Appl.-2000.-N.246(2) .-C.352-378.

404. J.M. Rassias, On Approximation of Approximately Linear Mappings by Linear Mappings/J. M. Rassias// J. Funct. Anal.-1982.-N.46.-C.126-130.

405. J.M. Rassias, On Approximation of Approximately Linear Mappings by Linear Mappings/J. M. Rassias// Bull. Sc. Math.-1984.-N.108.-C.445-446.

406. J.M. Rassias, Solution of a Problem of Ulam/.l. M. Rassias// J. Approx. Th.-1989.-N.57.-C.268-273.

407. J.M.Rassias, On the stability of a multi-dimensional Cauchy type functional equation/J. M. Rassias// "Geometry, Analysis and Mechanics", World Sci. Publ. Co.- 1994.-C.365-376.

408. J.M.Rassias, On the Ulam stability of mixed type mappings on restricted domains/J. M. Rassias// J.Math.Anal.Appl.-2002.-N.276.-C. 747-762.

409. J.M. Ras si as and M.J.Rassias, On the Ulam stability of Jensen and Jensen type mappings on restricted domains/J. M. Rassias// J.Math.Anal.Appl.-2003.-N.281.-C.516-524.

410. J.M.Rassias, Asymptotic behavior of mixed type functional equations/J. M. Rassias// Austral. J.Math. Anal. Applications.-2004.-N.l.-C.1-21.

411. Sambusetti A.Minimal entropy and symplical volume/A. Sambusetti / / Manuscripta Math-1999.-N.99(4).-C.541-560.

412. Semrl P.Hyers-Ulam stability of isometries of Banach spaces/P. Semrl// Aequationes Math.-1999.-N.58(l-2).-C. 157-162.

413. Semrl P .Almost multiplicative functions and almost linear midtiplicative functions /P. Semrl// Aequationes Math.-2002.-N.63(l-2).-C.180-192.

414. J.-P.Serre, Trees , Springer-Verlag, Berlin heidelberg New Yourk , 1980.

415. Skof F., Sullapprossimazione delle apphcazioni localmente ?- additive/F.Skof// Atti Accad. Sci. Torino CI. Sci. Fis. Mat. Natur.-1983.-N.117.-C.377-389.

416. F. Skof, Proprieta locali e approssimazione di opcratori/F.Skof// Rend. Sem. Mat. Fis. Milano.-1983.-N.53.-C.113-129.

417. Shtern A.I.Quasisymmetry. //A.I.Shtern// Russ.J.Math.phys.-1994.-N.2(3).-C.353-382.

418. Shtern A.I.Remarks on pseuocharacters and the real continuous bounded cohomology of connected locally compact groups/A.I.Shtern// Sfb 228 Preprint no. 289, Technishe Univeritat, Berlin, 1997.

419. Shtern A.I .Bounded continuous real 2-cocycles on simpy connected simple Lie groups and their applications/A.I.Shtern// Russ.J.Math.phys.-2001 .-N.8(l).-C.122-133.

420. Shtern A.I.Remarks on pseudocharacters and the real continuous bounded cohomology of connected cocaly compact/A.I.Shtern// Ann. Global Anal.Geom.-2001.-N.20(3).-C.199-221.

421. Shtern A.I.^4 criterion for the second real continuous bounded cohomology of a locally compact group to be finite-dimentional/A.I.Shtern// Noncommutative geometry and operator if-theory, Acta Appl. Math.-2001.-N.68(1-3) .-C.105-121.

422. Shtern A.I .Projective irreducible unitary representations of hermitian symmetric simple Lie groups are geneted by pure pseucorepresentation/A.I.Shtern// Adv,Stud.Contemp.Math(Kyungshang).-2004.-N.9(l).-C.l-6.

423. Tabor J. Local stability of the Cauchy and Jensen equations in function spaces /J. Tabor and J. Tabor// Aequationes Math.-1999.-N.58.-C.296-310.

424. Szekelyhidi L. Note on a stability theorem/ L. Szekelyhidi // Canad. Math. Bull.-1982.-N.25,-C.500-501.

425. Szekelyhidi, L. Ulam's problem, Ilyers's solution and to where they led/ L. Szekelyhidi // In: Functional Equations and Inequalities, Th.M. Rassias (ed), Kluwer Academic Pablishers.-2000-C.259-285.

426. Thompson R.C. ' Commutators in the special linear and general linear groups '/R.C.Thompson // Trans. Amer .Math.Soc.-1961.-N.101(1).-C. 16-33.

427. Ulain S.M. A collection of mathematical prolblems/ S.M. Ulam // Interscience Publ. New York 1960

428. Ulam S.M. Sets, numbers and universes/ S.M. Ulam // Mass. Inst, of Thech Press, Cambredge, MA 1974

429. S.M. Ulam, A collection of mathematical problems/ S.M. Ulam // Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No.8, Interscience Publishers, New York,1960; Problems in Modern Mathematics, Wiley and Sons, New York, 1964,Chapter VI.

430. Vdovina A.A. ' Constructing of orientable Wicks forms and estimation of their number ' / A.A. Vdovina// Communications in algebra.-1995.-N.23(9).-C.3205-3222.

431. Whitehead J. H. C. A certain exact sequence/3. H. C. Whitehead// Ann. of Math.-1950.-52.-C.51-110.

432. Yang D. Remarks on the stability of Drygas' equation and the Pexider-quadratic equation/D. Yang // Aequationes Math.-2004.-N.68.-C.108-116.

433. Yang D. The stability of the quadratic functional equation on amenable groups/D. Yang //J. Math. Anal. Appl.-2004.-N.291.-C.666-672.Работы автора по теме диссертации

434. Файзиев В.А. Псевдохарактеры на свободных произведениях полугрупп/ В.А.Файзиев // Функц. анализ и его прилож. -1987.- е 1.-С. 86-87.

435. Файзиев В.А. Псевдохарактеры па свободных группах и некоторых групповых конструкциях /В. А. Файзиев // Успехи Мат. наук.-1988.- 43- No.5 -С.225-226.

436. Файзиев В.А. О пространствах псевдохарактеров на свободных произведениях полугрупп/В.А. Файзиев // Матем. Заметки. -1992.- 52, по. 6. -С. 126-137

437. Файзиев В.А.Псевдохарактеры на группе SL(2,Z)/В.А. Файзиев // Функц. Анализ и его прилож. -1992.- е 4. -С.77-79

438. Файзиев В.А. Об одной теореме Харпа и Каруби/В.А. Файзиев // Успехи матем.наук, -1993.- е 2. -С.203-204.

439. Файзиев В.А. Псевдохарактеры на полупрямых произведениях полугрупп/ В.А.Файзиев // Матем. заметки.-1993 53, No.2. -С.132-139.

440. Файзиев В.А. Об устойчивости одного функционального уравнения на группах/ В.А. Файзиев // Успехи мат. наук. -1993.- 48, No.l. -С.193-194.

441. Файзиев В.А. Псевдохарактеры на свободных группах/В.А. Файзиев // Известия РАН, серия матем.- 1991,- 58, no. 1. -С.121-143.

442. Файзиев В.А. Описание пространства псевдохарактеров свободной полугруппы ранга два инвариантных относшпелъно одной полугруппы эндоморфизмов /В.А. Файзиев // Фунц, анализ и его прилож. -1994 28, no. 1, -С.85-87.

443. Faiziev V.A. Pseudocharacters on free semigroups /V.A. FaTziev // Russ. J. Math. Phys.-1995.-3, No.2, -pp.191-206.

444. Файзиев В.А. Двумерные вещественные треугольные квазипредставления групп/В.А. Файзиев // Фундаментальная и пркладная матем-1995- 1, по. 4, -С.1129-1132.

445. Файзиев В.А. Двумерные вещественные треугольные квазипредставления свободной группы/В.А. Файзиев // Доклады РАН.-1997,- т. 355, по. 6. -С.737- 739.

446. Faiziev V.A. Pseudocharacters on free products of groups/V.A. Faiziev// Russ. Л. Math. Phys. -1997.- 5, No.l. -C.3-8.

447. Faiziev V.A. Pseudocharacters on free semigroups invariant with respect to their automorphism groups/V.A. Faiziev// Proc.Amer.Math. Soc. -1998.- 126, No.2. -pp.333-342.

448. Faiziev V.A. On almost representations of groups/V.A. Faiziev// Proc. Amer. Math. Soc.-1999.-127, No.l. -C.57-61.

449. Faiziev V.A. Description of pseudocharacters '''s space of free products of groups/V.A. Faiziev// Math. Ineq. And Appl.-2000.- 2, -C.269-293.

450. Faiziev V.A.The space of (V>,7) additive mappings of semigroups /V.A. Faiziev, Th.M.Rassias and P.K.Sahoo// Trans.Amer.Math.Soc. -2002,- v.354, no.ll, -pp.4455-4472.

451. Файзиев В.А. Об устойчивости уравнения Йенсена на группах /В. А. Файзиев// Доклады РАН. -2002.- 386. -N 6. -С.

452. Faiziev V.A. Description the pseudocharacter space and the problem of cxpressibility for some groups/V.A. FaTziev and P.K.Sahoo// Journal of Algebra. -2002.- v.250,2, -C. 603- 637.

453. Файзиев В.А. , О пространстве псевдойенсеновых функций на группах/ В.А.Файзиев, П.К.Саху// Алгебра и Анализ. -2002.- v.14, е 6. -С.205-234.

454. Faiziev V.A. On the stability of a Jensen type functional equation on groups/V.A. Faiziev and P.K.Sahoo// Bulletin of the Korean Mathematical Society. -2005.- v.42,no.4. -pp.759 778.

455. Faiziev V.A., Pseudocharacters on a class of extension of free groups/V.A. Faiziev// New York Journal of Math. -2000.-N.6-C. 135-152.

456. Faiziev, V.A. The stability of the equation f(xy) f(x) — f(y) — 0 on groups /V.A. Faiziev// Acta Math. Univ. Comenianae.-2000.- 1.-C.127-135.

457. Faiziev, V.A. The problem of express ibility is some amalgamated product of groups / V.A. Faiziev// Austral. Journ.Math.-2001.- 71. -pp.105-115.

458. Faiziev V.A. On the space of {rij},^)-pseudo-Jensen mappings on Groups/V.A. Faiziev, Sahoo P.K.// Nonlinear Funct. Anal. And Appl.-2006.- vol.11, no.5, -pp.759-791.

459. Faiziev V.A., On Drygas functional equation on groups/V.A. Faiziev, P.K. Sahoo // International Journal of Applied Mathematics and Stafistics.-2007.- V.7.- no.Fe07. -pp.59-69.

460. Faiziev V.A. On the stability of Drygas functional equation on groups /V.A. Faiziev, P.K. Sahoo // Banach Journal of Math.Analisis.-2007.- v.l.- no.l. -pp.43-55.

461. Faiziev V.A. Stability of Drygas functional equation on T(3,R) /V.A. Faiziev, P.K.Sahoo // International Journal of Applied Mathematics and Statistics. -2007.-7, no.Fe07, 70-81.