Делокализация и конкуренция: коллективная динамика осцилляторных ансамблей с нелинейной связью и беспорядком тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ИВАНЧЕНКО Михаил Васильевич

ДЕЛОКАЛИЗАЦИЯ И КОНКУРЕНЦИЯ: КОЛЛЕКТИВНАЯ ДИНАМИКА ОСЦИЛЛЯТОРНЫХ АНСАМБЛЕЙ С НЕЛИНЕЙНОЙ СВЯЗЬЮ И

БЕСПОРЯДКОМ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 з ОКТ 2011

Нижний Новгород - 2011

4857172

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им.

Н.И. Лобачевского

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор В.Д. Шалфеев

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Д.И. Трубецков доктор физико-математических наук, профессор В.Я. Демиховский доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Белых

Ведущая организация:

Институт прикладной физики РАН

Защита состоится «2» ноября 2011 г. в {6_ часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.07 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского (603950, Н. Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп. 1, ауд. 420)

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан « СЛ^^Л 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

В.В. Черепенников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы:

Коллективная динамика ансамблей систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, является одной из фундаментальных задач нелинейной физики. Интенсивные исследования в этой области, ведущиеся на протяжении более 20 лет, связаны с высокой степенью актуальности для целого спектра прикладных задач: от исследования колебательных режимов в решетках микро- и наномеханических осцилляторов и динамики атомарных конденсатов в решеточных оптических структурах до анализа механизмов регуляции клеточного состава адаптивной иммунной системы и коллективных эффектов в социо-экономических моделях.

Методы, традиционные для радиофизики (в первую очередь, теория колебательно-волновых процессов), являются мощным инструментом в решении этих задач. К настоящему моменту их применение позво-[ило достигнуть значительного прогресса в изучении и понимании процессов конкуренции и синхронизации в живых системах, локализации и 1аспространения волновых пакетов в физических системах, структурооб-!азования в сложных ансамблях различной природы.

Оказалось, что во многих случаях названные эффекты неразрыв-ю связанны. Наиболее ярким примером, пожалуй, является классическая роблема резонансного взаимодействия в системе трех мод-сцилляторов с квадратичной нелинейностью в функции связи. Различие колебательные режимы обмена энергией между модами, вытекающие из соотношений Мэнли-Роу, (преимущественное сохранение энер-ии в низкочастотных модах, возбуждение низкочастотных мод за счет ерекачки энергии из высокочастотной) можно рассматривать и как кон-уренцию, и как процессы модовой локализации-делокализации энер-ни1.

1 Отметим, что эффекты конкуренции и локализации возникают и в пространственно-непрерывных средах, описываемых уравнениями в частных производных (конкуренция мод, динамика солитонов, бризеров, кинков, сопутст- и. вующая локализация в прямом и обратном пространстве), составляя, однако, \ . / отдельную фундаментальную физическую проблему, которая в настоящей \ работе не рассматривается. ^

Вместе с тем следует констатировать значительный пробел в теории этих явлений, связанный с тем, что указанные коллективные эффекты преимущественно изучались в рамках упрощенных моделей: либо пространственно-однородных систем, либо ансамблей с линейным взаимодействием между элементами ансамблей. Это было продиктовано высокой сложностью даже упрощенных задач, как для теоретического, так и для численного анализа. В большинстве реальных систем, однако, принципиальную роль играют как беспорядок (пространственная неоднородность параметров), так и нелинейность межэлементных связей.

На сегодняшний день прогресс в решении целого ряда задач физики, биологии и социо-экономики невозможен без разработки теории коллективной динамики — делокализации и распространения волновых пакетов, конкуренции и структурообразования — в колебательных ансамблях с одновременным присутствием как беспорядка, так и нелинейного взаимодействия.

Одной из основополагающих работ в области колебательно-волновой динамики нелинейных систем является исследование Э. Ферми, Д. Пасты и С. Улама (1954), в котором рассмотрена задача о делокализации энергии, сосредоточенной в низкочастотных модах в модели атомарной цепочки с нелинейными связями. Авторы предполагали, что именно нелинейное взаимодействие между элементами (приводящее к неинтегрируемости уравнений) лежит в основе детерминистического механизма термализации системы, равнораспределения энергии по всему спектру. Однако численные эксперименты показали, что энергия остается локализованной в нескольких низкочастотных модах на протяжении всего времени интегрирования, практически полностью возвращаясь к начальному распределению с некоторой периодичностью.

Потребовалось несколько десятилетий активных исследований (Ф.М. Израйлев, А.М. Косевич, Ю.А. Косевич, Л.И. Маневич, Д.Л. Ше-пелянский, Б.В. Чириков, G. Benettin, J. Ford, L. Galgani, A. Giorgilli, H. Kantz, M. Kruskal, A.J. Lichtenberg, R. Livi, S. Paleari, T. Penati, A. Ponno, A. Scotti, N. Zabusky и др.), чтобы установить, что существуют так называемые пороги слабой и сильной стохастичности по энергии, выше первого из которых колебания становятся хаотическими, оставаясь локализованными в низкочастотных модах, а выше второго происходит быстрая делокализация за счет развитого динамического хаоса, изучить зависимость этих порогов от размера системы и временных масштабов делокализации от энергии.

Однако, несмотря на усилия большого числа исследователей, последовательную теорию парадокса Ферми-Паста-Улама (ФПУ) долгое время построить не удавалось. В 2005 году было обнаружено существование q-бризеров в колебательной цепочке ФПУ — точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве, что позволило объяснить все основные особенности парадокса (М.В. Иванченко в соавторстве с С. Флахом и О.И. Канаковым [20]). Прикладная значимость этого результата стимулировала разработку общей теории q-бризеров: в системах с произвольным порядком нелинейности, двумерных и трехмерных решетках, в присутствии беспорядка (пространственной неоднородности) и применение к исследованию процессов делокализации, коллективных механических колебаний и теплопроводности в структурированных низкоразмерных наномасштабных системах.

Локализация энергии в прямом пространстве нелинейных колебательных решеточных систем также имеет длительную историю исследований. Было установлено наличие долгоживущих колебательных возбуждений — диксретных брюеров - амплитуда которых спадает экспоненциально по мере удаления от центральной точки: сначала как приближенных решений в численных экспериментах (A.A. Овчинников, S.J. Sievers, S. Takeno, К. Kisoda), а затем как точных периодических траек-орий системы (S. Aubry, R.S. МасКау). Оказалось, что присутствие дис-ретных бризеров существенно влияет на распространение волновых па-етов, делокализацию энергии из начального локализованного возбужде-:ия: делокализуется только часть энергии, а остальная остается в виде олгоживущего бризерного решения (SJ. Sievers, S. Takeno).

Несмотря на интенсивные исследования, делокализация и распро-транение волновых пакетов в нелинейных системах с беспорядком ос-ается нерешенной проблемой (Б.Л. Альтшулер, И.Л. Алейнер, Д.М. асько, Ю.А. Косевич, Л.И. Маневич, A.C. Пиковский, S. Aubry, S. ishman, S. Flach, M. Johansson, D. Krimer, S. Kopidakis и др.). В линей-ом случае одномерных и двумерных решеток осцилляторов с беспоряд-ом все моды являются экспоненциально локализованными в прямом ространстве (так называемая андерсоновская локализация), а, следова-;льно, начальные волновые пакеты остаются локализованными. Нели-ейность приводит к взаимодействию между модами и, потенциально, к елокализации и распространению волновых пакетов. Однако результаты залитических и численных исследований в этой области противоречи-

вы, а эксперименты хоть и показывают локализацию света и атомарных конденсатов в пространственных решетках, на настоящий момент недостаточно продолжительны, чтобы делокализация могла бы наблюдаться.

Конкурентная динамика характерна не только для физических, но и живых систем. Ее проявления на клеточном и молекулярном уровнях лежат в основе механизмов регуляции и функциональности. Многочисленные эксперименты позволяют все лучше объяснять физическую и химическую природу этих взаимодействий, однако их кооперативные эффекты по-прежнему практически не изучены. Основные успехи были достигнуты в нейродинамике и исследовании роли синхронизации в когнитивных функциях мозга (B.C. Анищенко, В.В. Астахов, Б.П. Безручко, В.Н. Белых, Е.В. Волков, A.C. Дмитриев, A.A. Короновский, А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, А.Ю. Лоскутов, В.В. Матросов, В.И. Некоркин, В.Б. Казанцев, Г.В. Осипов, A.C. Пиковский, Д.Е. Постнов, М.И. Рабинович, М. Розенблюм, Н.Ф. Рульков Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов, В.Г. Яхно, Н. Abarbahel, S. Boccaletti, B.G. Ermentrout, E.M. Izhekevich, M. Hasler, J. Kurths, Y. Kuramoto, U. Parlitz, L. Pécora, S. Strogatz и др.).

Роль конкуренции в нейродинамических процессах также становится все более ясной (B.C. Афраймович, A.A. Короновский, А.Ю. Лоскутов, В.И. Некоркин, В.Б. Казанцев, Г.В. Осипов, М.И. Рабинович, Н.Ф. Рульков Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов, В.Г. Яхно, Н. Abarbahel, E.M. Izhekevich, R. Huerta, Т. Nowonty и др.), однако остается существенный пробел в понимании аналогичных процессов в ансамблях нейронов с генерацией сложных хаотических колебаний с несколькими характерными временными масштабами.

Гораздо меньше известно о роли конкуренции в процессах развития, роста и регуляции многоклеточных систем со сложной неоднородной структурой нелинейных взаимодействий, например иммунной системы (Г.А. Бочаров, Е.В. Волков, А. Заикин, A.A. Романюха, Л. Цим-ринг, R. de Boer, J. Carneiro, С. Grebogi, E. Frey, J. Garcia-Ojalvo, J. Kurths, G. Lythe, C. Molina-Paris, A. Perelson и др.). Классические результаты вымирания или сосуществования видов в традиционных экологических моделях типа Лотки-Вольтерра не могут быть непосредственно использованы здесь в силу ограничений малой размерности и (или) глобальной архитектуры связей. Современные математические теории химических реакций и экологического разнообразия видов учитывают подвижность клеток и пространственную неоднородность концентраций взаимодействующих и конкурирующих видов, однако ограничиваются малым числом

популяций. Механизм динамического кластерообразования, недавно предложенный для описания дифференциации клеток в развивающихся тканях, учитывает многокомпонентность клеточных систем, однако исследован только в рамках приближения глобальной связи.

Схожая ситуация сложилась и в нелинейной динамике социо-экономических систем, где основные результаты в изучении структур пространственно-временной активности достигнуты в допущениях глобальной связи между элементами ансамбля, идентичности элементов, простых, преимущественно линейных функций связи, а во многих случаях анализируется сложная структура сетей взаимодействия, но не динамика.

Именно эти обстоятельства определяют актуальность темы диссертационной работы.

Цель диссертационной работы состоит в разработке теории коллективных динамических явлений делокализации и конкуренции в ансамблях консервативных и диссипативных систем с нелинейной связью и беспорядком и ее применении для исследования процессов теплопроводности и распространения волновых пакетов в низкоразмерных физических решеточных системах, формирования и регуляции адаптивной иммунной системы, генерации структур последовательной активности в нейронных ансамблях, закономерностей принятия координированных решений в ансамблях взаимодействующих активных элементов.

Методы исследования и достоверность научных результатов.

Представленные в работе результаты получены с использованием методов нелинейной теории колебаний в сочетании с методами численного моделирования. Их достоверность подтверждается согласованностью аналитических и численных результатов; воспроизводимостью результатов численного моделирования; воспроизводимостью результатов на базе различных математических моделей; соответствием экспериментальным и численным результатам, известным из литературы.

Научная новизна.

• Проблема перехода от локализации к делокализации энергии в модовом пространстве решена в работе для широкого класса колебательных решеток с акустическим типом спектра (с произвольным порядком нелинейности в функции взаимодействия, для

решеток различной размерности). Для этого развита теория q-бризеров — точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве, получены условия их неустойчивости и делокализации, показана их определяющая роль в процессах обмена энергией между взаимодействующими модами.

Впервые разработан численный алгоритм нахождения q-бризеров и определения их устойчивости в цепочках с произвольным порядком нелинейности с применением параллельного программирования (стандарт MPI), позволяющий исследовать q-бризеры в цепочках большого размера, используя высокопроизводительные компьютерные системы.

Теория q-бризеров распространена на случай пространственного беспорядка и решеток с оптическим типом спектра. Исследован вклад беспорядка в процессы делокализации и развития неустойчивости q-бризеров; показано, что в низкочастотной части спектра слабонелинейных акустических цепочек с беспорядком в пределе бесконечного размера существует зона локализованных q-бризеров, в оптических цепочках наличие пространственного беспорядка приводит к исчезновению подобной зоны при увеличении размеров системы. Предложен метод управления устойчивостью q-бризеров за счет создания пространственных неодно-родностей определенного вида.

Впервые проведено аналитическое исследование режимов теплопроводности в нелинейных цепочках с беспорядком. Предсказано существование переходов между режимами изолятора, нормальной теплопроводности и двух видов аномальной в зависимости от размеров системы и средней энергии. Теоретические результаты нашли подтверждение в численных экспериментах. Проведенные численные эксперименты также позволили впервые показать связь характеристик неравновесного процесса распространения волновых пакетов и равновесного процесса теплопроводности. Сделан существенный шаг вперед в теории конкуренции в многокомпонентных клеточных системах с неоднородной случайной структурой связей, установлены свойства масштабирования характеристик процесса конкуренции с размером ансамбля, обнаружен новый тип переходной переключательной динамики, не

требующий существования устойчивых гетероклинических последовательностей. Анализ модели развития и регуляции иммунных Т-клеток позволил впервые оценить ключевые биологические параметры: вероятность распознавания Т-клеткой антигенного профиля и среднее число клонотипов Т-клеток, конкурирующих за профиль.

• Разработана теория формирования структур переключательной активности в малых ансамблях нейронных осцилляторов с многомасштабными колебаниями и конкуренцией. Получены режимы моно- и бистабильности паттернов, показана структурная устойчивость переключательной активности по отношению к неидентичности параметров нейронных осцилляторов.

• Установлена и проанализирована связь между переходом от локализации к делокализации возмущений, вызываемых одиночной пространственной неоднородностью, и переходом от мелкомасштабных пространственных структур к крупномасштабным в цепочечных и решеточных системах с беспорядком. Впервые обнаружена хаотическая пространственная бифуркация, вызванная нелинейным характером связи между элементами.

Практическая значимость состоит в том, что полученные результаты применимы в широком спектре физических, биологических и социо-экономических задач, где и нелинейное взаимодействие, и беспорядок неотъемлемо присутствуют и определяют коллективную динамику.

Делокализация q-бризеров описывает разрушение линейчатого спектра колебаний при превышении некоторого порога по нелинейности (энергии), что отвечает на вопрос о рабочем квазилинейном диапазоне решеток микро и наноэлектромеханических осцилляторов — перспективных устройств в задачах обработки информации, фильтрации в гигагерцовом диапазоне, прямого измерения масс молекул.

Анализ зависимости ширины зоны локализованных q-бризеров от размеров системы и средней энергии позволяет предсказать различные режимы теплопроводности в нанотрубках и нанопроводах, их характеристики. Полученные теоретические результаты согласуются с данными недавних физических экспериментов.

Теория распространения волновых пакетов в нелинейных средах с беспорядком тоже предсказывает и объясняет особенности переноса

энергии в наноразмерных системах, что актуально для задачи теплоотво-да в наноэлектронике. Кроме того, она описывает имеющиеся и предсказывает новые результаты по динамике Бозе-Эйнштейн конденсатов в оптических решетках — в экспериментах, которые широко рассматриваются как «макроскопическая лаборатория квантовой физики».

Теория конкуренции в многокомпонентных биологических клеточных системах позволяет выявлять механизмы регуляции клеточного состава. В рассмотренном частном случае ансамбля Т-лимфоцитов — определить некоторые важнейшие биологические параметры иммунной системы (недоступные для прямого экспериментального измерения) на базе имеющихся экспериментальных данных. В перспективе, совокупность фундаментальных теоретических знаний и адекватных математических моделей может дать инструмент прогнозирования клеточной динамики, иммунного ответа, анализа тактики лечения заболеваний.

Теория формирования структур последовательной активности беретов в нейронных ансамблях с конкуренцией применима в задачах нейродинамики (обработки и хранения информации нейронными ансамблями), а также для разработки алгоритмических принципов искусственных интеллектуальных систем.

Полученные результаты в области структурообразования в математических моделях взаимодействующих активных элементов, при интерпретации задачи в терминах взаимодействия покупателей на рынке, дают представление о возможных режимах коллективного принятия решений в зависимости от пространственной неоднородности, силы и типа нелинейной связи. На этом основании могут формулироваться рекомендации качественного характера о тактике эффективного управления для регулятора рынка.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Переход от локализации к делокализации энергии в модовом пространстве в широком классе колебательных решеток (с произвольным порядком нелинейности в функции взаимодействия, для решеток различной размерности) отвечает разрушению локализации точных периодических решений — q-бpизepoв.

2. Делокализация д-бризеров происходит при увеличении энергии, а также при увеличении размеров системы, когда порядок нелинейности потенциала взаимодействия меньше определенного порогового значения. Увеличение размерности решетки затрудняет

делокализацию. Долгоживущие возбуждения, локализованные в модовом пространстве, присутствуют и в термализованных решетках, а их характеристики и существование могут быть качественно объяснены теорией ц-бризеров.

3. ц-Бризерные решения существуют в нелинейных решеточных системах с пространственным беспорядком, как с акустическим, так и с оптическим спектрами линейных колебаний. Увеличение силы беспорядка приводит к переходу от локализации к делока-лизации энергии в модовом пространстве. В пределе малых энергий в системах с акустическим спектром зона я-бризерных решений сохраняется при произвольно большой длине цепочки, в системах с оптическим спектром — разрушается при превышении некоторого порога по длине, зависящего от силы беспорядка.

4. Беспорядок может как понижать порог неустойчивости ц-бризеров по нелинейности, так и увеличивать, в зависимости от конкретной реализации. Возможно управление порогом устойчивости за счет создания пространственных неоднородностей.

5. Теория ц-бризеров описывает различные режимы теплопроводности в моделях низкоразмерных наномасштабных атомарных структур с нелинейностью и беспорядком (цепочка-изолятор, нормальная теплопроводность, два режима аномальной теплопроводности с доминированием эффектов беспорядка и нелинейности соответственно), переходы между ними при изменении средней энергии и размеров системы.

6. Конкуренция за стимулы выживания в многокомпонентных неоднородных клеточных ансамблях является эффективным механизмом регуляции численности и селекции наиболее функциональных семейств (клонотипов) клеток. Зависимость доли вымирающих клонотипов и характерного времени переходных процессов масштабируются с увеличением размеров ансамбля; характеристики остаются постоянными, если фиксированы интенсивные параметры биграфа связанности ансамбля.

7. Конкуренция за стимулы выживания в многокомпонентных ансамблях является механизмом возникновения длительной переходной переключательной динамики.

8. В малых ансамблях нейроноподобных осцилляторов характеристики автономных беретов определяют генерацию структур последовательной пространственно-временной активности. Как в

случае широких, так и узких беретов их характеристики сильно зависят от силы конкурентного взаимодействия; во втором случае возникает бистабильность берстовых последовательностей. Генерируемые пространственно-временные последовательности берстовых колебаний структурно устойчивы по отношению к неидентичности параметров индивидуальных нейронов.

9. Ансамбли частотно-управляемых осцилляторов с нелинейной характеристикой связи и пространственной неоднородностью параметров в случае конкурентного взаимодействия демонстрируют развитие коротковолновых пространственных неустойчивостей; когда взаимодействие носит кооперативный характер, слабая связь приводит к образованию мелкомасштабной кластерной структуры, а сильная связь — к укрупнению кластеров. Процесс делокализации, перехода от локальной динамики к крупномасштабной, происходит при увеличении силы связей.

10. Сложная нелинейная связь между элементами в ансамблях фазо-управляемых осцилляторов может привести к возникновению хаотической пространственной бифуркации, координата которой в пространстве оказывается фактически непредсказуемой, поскольку определяется хаотической пространственной динамикой.

Личный вклад автора. Результаты, опубликованные в статьях [1,3,4,5-9,15] получены лично автором. В совместных статьях [2,10,14,18,23,24] роль автора в выборе направлений исследований и постановке основных задач, получении и обсуждении результатов была ведущей; научные результаты в статьях [11-13,16,17,19-22] получены на паритетных началах с соавторами.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных научных семинарах, конференциях и симпозиумах «Topical Problems of Nonlinear Wave Physics» (Нижний Новгород, 2005), « 10th Experimental Chaos Conference» (Catania, Italy, 2008), «Dynamics in Systems Biology» (Aberdeen, UK, 2009), «Advanced Workshop on Anderson Localization, Nonlinearity and Turbulence: a Cross-Fertilization» (Trieste, Italy), «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2010), «Physics of Immunity: Complexity Approach» (Dresden, Germany, 2011), «Noise in Non-equilibrium Systems: From Physics to Biology» (Dresden, Germany, 2011).

Материалы диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры теории колебаний ННГУ, отделения НОЦ по нанотехнологиям на Биологическом факультете МГУ, Мах Planck Institute for the Physics of Complex Systems (Dresden, Germany), University of Leeds (United Kingdom), Institute for Nonlinear Science (University of California San Diego, USA).

По теме диссертации опубликованы 24 научных статьи в ведущих международных и российских рецензируемых физических журналах из списка ВАК [1-24], и 9 прочих печатных работ [25-33].

Исследования, результаты которых вошли в диссертационную работу, выполнялись при поддержке грантов РФФИ (02-02-17573-а, 05-02-19815-MF-a, 05-02-90567-NNS-a, 06-02-16499-а, 06-02-16596-а, 07-02-01404-а, 10-02-00865), EPSRC Ref. EP/G059780/1, INTAS Ref. No. 0483-2816, ФПЦ "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России", контракты 14.740.11.0075, П2308.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Диссертация содержит 337 страниц, включая 102 рисунка и список литературы из 198 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, раскрыта научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Приводятся положения, выносимые на защиту, а также сведения об апробации результатов.

В первой главе развита теория делокализации в пространственно-однородных колебательных решетках различной размерности с нелинейной связью общего вида. Исследованы свойства q-бризеров — точных периодических решений обобщенной модели Ферми-Паста-Улама (ФПУ) с нелинейностью произвольного порядка:

К = *я+1 - + + %[{ха+1 - хп + (*„_, - )r~' I (1) где хп - отклонение п-го осциллятора из состояния равновесия, х ~ коэффициент нелинейности, у - порядок нелинейности, а граничные условия

N

имеют вид х0 =xN+l =0. Замена переменных xn(t) = ^Qq(t)zni4), где

q=\

г =

N + 1

■вш

г лпд л N +1

линеиные моды, задает переход в пространст-

во линейных мод, в котором динамические уравнения приобретают вид

системы осцилляторов с дальнодеиствующеи нелинейной связью:

Г.,.. ^-.0»« I <2>

к=I

где £У„ = 2зт

2(ЛГ + 1)

- частоты линейных мод, а коэффициенты меж-

[у! 2-1]

модовых связей равны С?|^^ (-1)т^?±<?|±...±<7у_1,2т(^+1)-

т=0 ±

Продолжение линейных мод в нелинейный режим (аналитически - асимптотическим методом Линштеда-Пуанкаре, численно - вариантом

метода Ньютона-Рафсона) позволяет получить точные периодические решения, экспоненциально локализованные в модовом пространстве, названные я-бризерами. (Параллельная реализация численного алгоритма позволила исследовать устойчивость таких решений в больших цепочках, содержащих несколько тысяч элементов.)

В случае у = 3 (т.н. модель а-ФПУ), распределение энергии я-бризера с центральной модой <70 в модовом пространстве имеет вид

ш

о 0.1

0.05

О 5 10 15

I х 10*

Рис.1. Динамика энергий низкочастотных мод (1) для начальных условий эксперимента ФПУ (осциллирующие кривые) и точного ц-бризерного решения. Здесь

а=0.25, Еп = 0.077, N=32 %

Е =Л2п-2пгЕ

"Яо

л =

Чо 5 я—1)2,...,

2

л д0

(3)

Легко видеть, что бризер является локализованным при А,<1, а при увеличении энергии, коэффициента нелинейности, либо размера системы делокали-зуется. Численные эксперименты свидетельствуют о линейной устойчивости q-бризеров в модели а-ФПУ. Поскольку свойства этих периодических решений отражают локальную структуру фазового пространства системы (1), траектории с начальными условиями в окрестности ч-бризера будут оставаться локализованными в модовом пространстве в течении длительного времени, если q-бpизep локализован (как в исходном эксперименте ФПУ, см. рис. 1) и делокализовываться при делокализации q-бpизepa. Этот результат решает проблему ФПУ — порога термализации системы (появления сильного хаоса) и разрушения спектра, близкого к линейному в цепочечных системах.

В случае произвольного порядка нелинейности энергия мод, соседних с центральной модой д0 q-бpизepa принимает вид:

Рис. 2. Эволюция числа эффективно возбужденных мод из начального одномодового

возбуждения Р = (х Е^ /(^ ЕС[ )2) , д0 = 1,

Чк-!)<?„

- Л1гЕ%

Ку ~ '

Ыс(/-Г2)2

Д. у/2-1

(4)

2^ж2Ч1к{к-2){И + \У'2-ъ где к=4, 6, ..., у для четных у, и к=Ъ, 5, ..., у - для нечетных. Таким образом, существует пороговое значение порядка нелинейности у=6, ниже которого q-бpизepы делокализуются с увеличением размера цепочки, а выше которого - локализуются. Кроме того, для четных у можно показать неустойчивость q-бpизepoв при

2-2)2 (Г'1)1 ЕГП~Х

(су/2

Г-2

2/~57Г2

>1,

(5)

(ЛГ + 1)Г/2-3

что также разграничивает низкие и высокие порядки нелинейности значением у=6. В первом случае порог неустойчивости по энергии (или не-

о

о--10

20 со

О -30

ш

30

10

Рис. 3. Распределение энергии ц-бризера в модовом пространстве двумерной оешетки

линейности) уменьшается с увеличением размеров системы, во втором - увеличивается.

Гипотеза о связи устойчивости и локализации ц-бризеров и явления ФПУ (локализации энергии в исходных модах) нашла очередное подтверждение в прямых численных экспериментах, где был обнаружен предсказанный переход от делокализации исходного одномодового возбуждения к локализации при увеличении порядка нелинейности (рис. 2). Таким образом, установлено, что в цепочках больших размеров порог делокализации ц-бричеров (а также, термализации и разрушения линейчатого спектра), потеря устойчивости полностью определяется членами взаимодействия с показателями нелинейности у=3,4,5.

Вопросы делокализации и неустойчивости q-бpизepoв исследованы в двумерных и трехмерных решеточных системах (пример двумерного q-бpизepa представлен на рис.3). Было показано, что при увеличении размерности решетки локализационные свойства q-бpизepoв улучшаются, что указывает на увеличения порога термализации в таких системах. Кроме того, продемонстрировано существование решений, близких к q-бризерам в переходных и равновесных процессах. Показано, что при достаточно низкой энергии системы в модовом пространстве, особенно в низкочастотной области спектра, наблюдаются долгоживущие возбуждения отдельных мод. Такие траектории могут оказывать существенное влияние на процессы переноса энергии в системе, например, на характеристики теплопроводности.

Во второй главе построена теория q-бpизepoв в пространственно-неоднородных решетках, исследованы явления делокализации и развития неустойчивости этих решений в системах с двумя основными типами линейного спектра: акустическим (модель ФПУ) и оптическим (модель цепочек дискретных нелинейных уравнений Шредингера (ДНУШ)).

(6)

(7)

Беспорядок здесь вводится как случайная пространственная неоднородность в коэффициентах связи

*„=(! + Окя)(дся+1 -х„) + (1 + Экп_,){хп_х -х„) +

(цепочка ФПУ) и

1уп = (1 + Икп )у/п+, + (1 + £>*;_, + |:V»

(цепочка ДНУШ), моделируя дислокации в кристаллических атомарных решетках или неоднородность в оптических решетках, удерживающих Бозе-Эйнштейн конденсаты.

Показано, что в обоих случаях ц-бризеры сохраняют локализацию в модовом пространстве, если сила пространственного беспорядка достаточно мала. Получены оценки на поправки в распределении энергии в модовом пространстве, возникающие за счет беспорядка: так для системы (6) средняя энергия моды, соседней с центральной, задается

Е+1~Е1?д02(М+1)/96,

Ч -15

-25-

а средние энергии высокочастотных мод Ч» Чо

Рис. 4. Распределение энергии q-бpизepa в имеют ВИД

модовом пространстве в зависимости от силы Ед ~ В2Е2% /+1) 5 ЧТо беспорядка (модель ФПУ) согласуете! с численными

результатами (штрихованные линии на рис. 4).

Фундаментальным свойством систем с акустическим спектром является то, что в пределе N —> даже при большой силе

1.001 1.0005 г

0.9995 0.999

0 D=0

■ D=0.002

1 D=0.0035 □ D=0.005

i§e52SSt|li

8g

Hill

0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

Р

Рис. 5. Уменьшение и увеличение порога не-

устойчивости а-бризера по нелинеиности

, Г., , беспорядка в низкочастот-

(мультипликаторы 6>1) в зависимости от „ _

с- , АттлАч ной области спектра суще-

реализации беспорядка (модель ФПУ) * -1

ствует зона ц-бризеров шириной Яс ос л/УУ, которые близки к q-бризерным решениям пространственно-однородной задачи, локализованных в модовом пространстве и делокализованных в прямом пространстве. В следующей главе, этот результат окажется ключевым в анализе теплопроводности в таких системах. Напротив, в системах с оптическим спектром существует порог по силе беспорядка, при превышении которого все q-бpизepы делокализуются в модовом пространстве. Решения, делокализованные в прямом пространстве, исчезают, что обусловливает нормальную теплопроводность.

Анализ устойчивости q-бpизepныx решений обнаружил, что беспорядок может не только уменьшить порог неустойчивости по параметру нелинейности, но и увеличить его, в зависимости от конкретной реализации (рис. 5). Среднее значение порога неустойчивости при этом остается приближенно равным порогу в системе без беспорядка, а дисперсия растет с увеличением беспорядка.

Линейный характер зависимости порога неустойчивости от случайных коэффициентов связи между осцилляторами, задающими беспорядок, позволил рассмотреть задачу о собственном вкладе пространственных гармоник беспорядка в поправки к порогу неустойчивости. Оказалось, что основное влияние на порог неустойчивости q-бpизepa с центром в моде Чо оказывают пространственные гармоники с волновыми числами в диапазоне [2^0 - 2;2<?0 + 2], причем знак поправки от каждой

из них определяется их пространственной фазой. Этот результат позволяет сформулировать принцип управления устойчивостью q-бpизepoв с помощью задания пространственных неоднородностей определенного профиля.

В третьей главе теория q-бpизepoв в системах с беспорядком была применена для исследования процессов делокализации и переноса энергии. Установлено, что беспорядок индуцирует «границу подвижности» в спектре, разделяя его на зоны делокализованных ~ л/^ ) и локализованных (дс < д < N ) в прямом пространстве мод. Эти моды

определяют механизмы теплопроводности нелинейных пространственно-дискретных систем с беспорядком. Делокализованные моды обеспечивают баллистический транспорт энергии между термостатами на концах

цепочки, что приводит к нарушению закона Фурье (точнее, его аналога для колебательных решеток), аномальной теплопроводности, выражающейся в степенной зависимости коэффициента теплопроводности от размеров системы: K^Na, « >0. Локализованные моды в присутствии нелинейности обеспечивают диффузионный транспорт энергии, отвечающий нормальной теплопроводности г°с №. Кроме того, нелинейность приводит к образованию третьего канала теплопроводности, в котором энергия поступает в делокализованные моды не напрямую из термостатов (прямой поток может быть мал вследствие большого входного сопротивления), а через «нагретые» локализованные моды.

Теоретический и численный анализ позволил установить, что, в зависимости от соотношения управляющих параметров - средней плотности энергии («температуры») Т и размера системы N - реализуются следующие режимы теплопроводности (рис.6): (а) цепочка-изолятор (при очень низких температурах, когда из-за большого входного сопротивления коэффициент теплопроводности для канал делокализованных мод убывает с увеличением размеров системы, остальные же каналы неэффективны), (б) нормальная теплопроводность (при увеличении температуры возрастает эффективность передачи тепла через канал локализованных мод, и он становится доминирующим), (в) аномальная теплопроводность первого рода (доминирует третий канал теплопроводности), (г)

аномальная теплопроводность второго рода (режим сильного хаоса, в котором эффекты нелинейного взаимодействия между модами доминируют над эффектами беспорядка). Переходы между этими режимами могут оказаться наблюдаемы в экспериментах, связанных с определением коэффициента теплопроводности нанотрубок и нанопроводов.

Для неравновес-

Рис. 6. Зависимость коэффициента теплопроводности от длины цепочки для различной средней плотности энергии в системе

ных процессов переноса энергии, а именно, делокализации начальных возбуждений, исследованы различные пределы: сильной нелинейности и сильного беспорядка. В первом случае установлено, что ключевое влияние на перераспределение энергии оказывают дискретные бризеры -точные периодические решения, локализованные в прямом пространстве. В одномерных решетках, в зависимости от типа собственного потенциала осциллятора, бризеры могут либо поддерживать область с ненулевой средней энергией, будучи на ее краях и эффективно рассеивая волновые пакеты, не давая им выйти наружу, либо просто накапливать часть энергии, препятствуя ее делокализации и перераспределению в холодные области цепочки. В двумерных решетках бризеры рассеивают волновые пакеты не так эффективно и не могут удерживать их внутри некоторой нагретой области, однако по-прежнему аккумулируют часть энергии.

Для систем с сильным беспорядком решена задача об андерсеновской локализации в нелинейных системах. Было показано, что андерсеновские моды линейной системы с беспорядком делокализуются с ненулевой вероятностью для любого произвольно малого значения энергии (либо, что эквивалентно, нелинейности). При превышении определенного порога по энергии локализованные решения с центром в одной моде перестают существовать с вероятностью 1. С увеличением энергии вероятность существования многомодовых локализованных возбуждений стремится к нулю экспоненциально. Эти результаты согласуются с численными экспериментами по делокализации компактных возбуждений.

Наконец, получила подтверждение теоретически предсказанная зависимость между равновесными характеристиками переноса энергии (коэффициентом теплопроводности) и характеристиками делокализации волновых пакетов (типами субдиффузии в зависимости от энергии волнового пакета). Полученная зависимость коэффициента теплопроводности от температуры согласуется с результатами теоретического анализа.

В четвертой главе развита теория конкуренции за «стимулы выживания» в многокомпонентных сетях, моделирующих динамику популяции «наивных» Т-лимфоцитов:

А

~^N=2103, Q=5104 -4-N=2103, Q=5103 л N=2103,Q=5-102

№=2-102, Q=5-103 N-2-102, Q=5102 О N=2-102, Q=5-101

... N=2-102, Q=5-102, p'=p/10

p-p/10

N=2102, Q=5-103,

агрегированный коэффициент, учитывающий гибель Т-клеток, развитие в клетки памяти, миграцию новых

няя численность г-го кло-нотипа Т-клеток (полное число N), ц -

где п. - сред-

10^ 10"3 10Г2 10 ' 10°

р

Рис. 7. Зависимость и скейлинг доли вымирающих клоноти-

пов Ро от их исходного числа А', полного числа стимулов клеток из ти~ выживания () и вероятности распознавания клонотипом мУса> У - коэф-

множество стимулов выживания, распознаваемых Т-клетками /-го клоно-типа (полное число Q).

В данной модели удается получить замкнутое уравнение, описывающее динамику размера всей популяции Т-клеток и его стационарное значение. Также можно показать, что единственными аттракторами в системе могут являться состояния равновесия. Продемонстрировано, что конкуренция приводит к экспоненциально быстрому вымиранию значительной части клонотипов и является механизмом выживания наиболее эффективных из них. В отсутствие существенной конкуренции распределение размеров клонотипов аппроксимируется биномиальным распределением. При усилении конкуренции оно сменяется бимодальным с максимумом в нуле и некотором ненулевом значении. Показано, что зависимость доли вымирающих клонотипов от вероятности распознавания клонотипом какого-либо набора антигенов имеет минимум, приблизительно соответствующий началу эффективной конкуренции, и максимум при вероятности распознавания порядка 1 (Рис. 7). Найден закон приближенного скейлинга этой зависимости для систем (биграфов) различного размера (pN = const, pQ = const), что позволяет использовать ре-

стимула выживания р

фициент рождения, <2, -

зультаты моделирования сравнительно небольших ансамблей для анализа процессов в ансамблях с числом популяций, близким к физиологическому.

Калибровка модели по экспериментально полученным физиологическим параметрам позволила впервые получить оценку для вероятности распознавания рецептором Т-клетки презентуемого антигенного

профиля р « 1.5 -КГ7 и коэффициент перекрытия ниши клонотипов Т-

клеток У~15. Было обнаружено, что времена переходных процессов могут быть сравнимы по длительности с временем существования организма. Это позволяет выдвинуть гипотезу о том, что гомеостатичесткое состояние ансамбля Т-клеток, наблюдаемое у здорового взрослого человека, в действительности представляет собой сложных переходный процесс конкуренции клонотипов, в то время как полное число Т-клеток остается приблизительно постоянным. Проверка этой гипотезы ожидается уже в ближайшее время с развитием экспериментальных техник выделения антиген-специфичных клонотипов. Обнаруженный тип последовательной переходной динамики существенно расширяет представления о конкуренции в сложных ансамблях, где до сих пор необходимым считалось существование устойчивых гетероклинических последовательностей.

В пятой главе исследованы динамические механизмы генерации структур последовательной пространственно-временной активности в ансамбле трех нейроноподобных осцилляторов с собственными береговыми колебаниями и конкуренцией. Для описания динамики каждого осциллятора использовалась математическая модель Ходжкина-Хаксли нейрона пилорического генератора центральных паттернов омара (физиологические параметры взяты из литературы). Динамика ингибитор-ных синапсов описывалась одной из общепринятых кинетических моделей, основанной на законе Ома для зависимости потенциала постсинап-тической мембраны и нелинейной зависимости переменной активации ионных каналов от потенциала пресинаптического нейрона. Максимальная проводимость ингибиторных синапсов в направлении «против часовой стрелки» была больше, чем в противоположном (рис.8). Было известно, что при отсутствии собственных берстовых колебаний в нейронах в таком ансамбле устанавливается переключательная берстовая активность в последовательности 1-2-3.

Рис. 8. Топология ансамбля нейронов (большие сферы) с ингибитор-ными синапсами (малые сферы). В направлении «по часовой стрелке» связь слабее

Приведенные численные результаты показывают, что широкие автономные береты приводят к конкуренции собственного и коллективного механизмов генерации. В результате форма беретов существенно изменяется при увеличении силы связи. При этом образуется упорядоченная последовательность беретов, характеристики которой (такие как период, среднее число спайков в берете) очень восприимчивы к уровню ин-гибирования (Рис.9). Узкие автономные береты приводят к кооперативному типу взаимодействия механизмов генерации. В результате характеристики беретов также сильно зависят от проводимости ингибиторных синапсов, однако во всем диапазоне силы связи присутствует бистабиль-ность берстовых последовательностей (Рис.9). Для обоих типов взаимодействия механизмов генерируемые пространственно-временные структуры берстовых колебаний оказываются чрезвычайно устойчивы: даже если один из нейронов выведен в режим периодических спайков, оставшиеся два нейрона вновь возбуждают в нем береты, и наблюдаемые коллективные колебания практически не отличаются от случая идентичных

нейронов.

В шестой главе исследованы принципы конкурентного и кооперативного взаимодействия, механизмы де-локализации и генерации пространственных структур в цепочках и ре-

0.2

д[ц5]

1С. 9. Зависимость частоты беретов от максимальной прово-1мости ингибиторных синапсов: при величине гиперполя-пующего тока /=-8.0 пА наблюдается бистабильность (мар-ры «о» и «х»), при /=-8.0 пА наблюдается бистабильность юледовательных переключений (маркеры «о» для последо-тельности 1-2-3 и «х» для 3-2-1), при /=-3.0 пА моноста-шьность (маркеры «Д» для 1-2-3)

тетках частотно- и фазо-управляемых осцилляторов с нелинейным типом связи. В примере цепочки частотно-управляемых осцилляторов динамические уравнения имеют вид

хп + хп+ф(хп)=Гп+тхп+])+*ф(х„_,), (9)

где Хп - безразмерная расстройка частот п-й системы и опорного сигнала, уп =ХИ(0), Ф(Х„) = /2Х„/(1 + /?|Х„|) - нелинейная характеристика

частотного дискриминатора, д, К - коэффициенты связи.

Подобная модель допускает интерпретацию в терминах динамики рынка взаимодействующих покупателей, принимающих решение покупать (при Хп > 0) или не покупать (при Xп < 0) некий товар или услугу. С течением времени система (9) достигает состояния равновесия, пространственная структура может быть весьма сложной.

В случае конкурентного взаимодействия (6, к < 0) типичным является развитие коротковолновой пространственной неустойчивости. Начальные структуры при этом разрушаются, а при дальнейшей эволюции формируется шахматный паттерн (противоположные решения о покупке у соседей). Этот режим можно интерпретировать как результат обмена негативной информацией между индивидуумами, недоверия или целенаправленного обмана, в общем случае заключающийся в потере возможности принятия адекватного коллективного решения.

В случае, когда обмен информацией носит кооперативный характер, а именно, когда покупатели изменяют свое мнение вслед за мнением соседей (<5, к > 0), сила связи также является определяющим фактором. Слабая связь лишь незначительно сглаживает пространственные неодно-

Рис. 10. Случайные неоднородности (а): переход от мелкомасштабной (Ь) к крупномасштабной (с) кластерной структуре при увеличении силы связи от § = к - 0.3 к 5 = К = 2.0 (численные результаты совместно с N. МсСиПеп)

родности (рис. 10(а)), приводя к образованию мелкомасштабной кластерной структуры (рис. 10(Ь)), в то время как сильная связь приводит к образованию крупных кластеров с более резкими границами и более однородным распределением состояний элементов внутри кластеров (рис. 10(с)). С течением времени наблюдалось укрупнение и слияние кластеров, в результате оставался один глобальный или два кластера.

Установлена связь между укрупнением кластеров и делокализа-цией эффекта одиночной пространственной неоднородности

У] ^ У'*] = 7(индивидуума с резко отличным от остальных мнением). Влияние последней на состояние других элементов ансамбля при относительно слабой связи влияние локализовано с характерной длиной локализации £ = ; если связь превышает некоторый порог

8 «1 + 1 / /?, эффект пространственной неоднородности распространяется на большое число соседей (рис.11). Обнаруженный переход может

0.8

1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75

к,5

Рис. 11. Делокализация пространственной неоднородности,

- эффективное число «возбужденных» элементов (численные результаты совместно с N. МсСиПеп)

быть интерпретирован как минимальный уровень обмена информации в социальных сетях, необходимый для выработки коллективного решения.

Наконец на примере однонаправленных цепочек фазо-управляемых осцилляторов было показано, что сложная нелинейная связь между элементами может привести к возникновению хаотической пространственной бифуркации. Обнаруженный тип бифуркации характеризуется гладким (предсказуемым) многообразием в пространстве параметров. Напротив, координата пространственной бифуркации является фактически непредсказуемой, поскольку определяется хаотической пространственной динамикой. В общем случае, ожидается, что пространственные бифуркации будут приобретать хаотические свойства, когда связь привносит нелинейность в пространственную зависимость динамических режимов. Таким образом, нелинейная межэлементная связь играет ключевую роль в образовании пространственных структур в ансамблях активных элементов, в дополнение к ранее известным эффектам топологии связей и сложной динамики индивидуальных элементов.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные результаты диссертационной работы

Научные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования коллективных динамических явлений делокализации и конкуренции в ансамблях консервативных и диссипативных систем с нелинейной связью и беспорядком, включают:

• теорию точных периодических решений нелинейных консервативных колебательных решеток с беспорядком, локализованных в модовом пространстве - я-бризеров - и их делокализации, нашедшую практическое применение в задачах аномальной теплопроводности и делокализации энергии в физических решеточных системах;

• теорию конкуренции в больших ансамблях диссипативных динамических систем со сложной (нелинейной, неоднородной) связью, нашедшую практическое применение в задачах формирования и регуляции адаптивной иммунной системы, генерации структур последовательной активности в нейронных ансамблях,

исследования закономерностей принятия координированных решений в ансамблях взаимодействующих активных элементов.

Основные результаты работы:

1. Для широкого класса колебательных решеток с акустическим типом спектра (с произвольным порядком нелинейности в функции взаимодействия, для решеток различной размерности) разработана теория q-бризеров - точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве. Проведен анализ условий их неустойчивости и делокализации, показана роль в процессах обмена энергией между взаимодействующими модами, решена проблема перехода от локализации к делокализации энергии. Сделан существенный шаг вперед в численном анализе q-бризеров: разработан численный алгоритм их отыскания и определения устойчивости в цепочках с произвольным порядком нелинейности с применением параллельного программирования (стандарт MPI). Это открыло дорогу численным исследованиям свойств q-бризеров в цепочках большого размера с использованием высокопроизводительных компьютеров.

2. Теория q-бризеров распространена на случай пространственного беспорядка и решеток с оптическим типом спектра, в частности, получены зависимости порогов делокализации и развития неустойчивости q-бризеров от силы беспорядка. Обнаружено принципиальное различие между системами с акустическими и оптическими спектрами: в первом случае существует зона локализованных низкочастотных q-бризеров, во втором наличие пространственного беспорядка приводит к исчезновению подобной зоны при увеличении размеров системы. Выявленная зависимость порога неустойчивости от конкретной реализации беспорядка позволила сформулировать метод управления устойчивостью q-бризеров за счет создания пространственных неоднородностей определенного вида.

3. Теория q-бризеров в нелинейных системах с беспорядком была применена для изучения режимов теплопроводности в нелинейных цепочках с беспорядком. Было предсказано существование переходов между режимами изолятора, нормальной теплопроводности и двух видов аномальной в зависимости от размеров системы и средней энергии. Численные эксперименты, проведенные с применением средств высокопроизводительных вычисле-

ний, подтвердили теоретические выводы. Было продемонстрировано, что теория ц-бризеров применима не только к системам с гармоническими линейными модами. Теория я-бризеров, построенная в базисе андерсоновских мод, впервые продемонстрировала разрушение андерсоновской локализации и возможность делока-лизации волновых пакетов при произвольно слабой нелинейности. Проведенные численные эксперименты также позволили показать связь характеристик неравновесного процесса распространения волновых пакетов и равновесного процесса теплопроводности.

4. Развита теория конкуренции в многокомпонентных клеточных системах с неоднородной случайной структурой связей, установлены свойства масштабирования характеристик процесса конкуренции с размером ансамбля, обнаружен новый тип переходной переключательной динамики, не требующий существования устойчивых гетероклинических последовательностей. Анализ модели развития и регуляции иммунных Т-клеток позволил впервые оценить ключевые биологические параметры: вероятность распознавания Т-клеткой антигенного профиля и среднее число клоно-типов Т-клеток, конкурирующих за стимулы выживания, получаемые от профиля.

5. Для случая конкуренции в более сложных системах, таких как ансамбли нейронных осцилляторов с многомасштабными колебаниями, разработана теория формирования структур переключательной активности. Получены режимы моностабильности и бис-табильности паттернов, показана структурная устойчивость переключательной активности по отношению к неидентичности параметров нейронных осцилляторов.

6. Исследованы явления конкуренции и структурообразования в решеточных системах частотно- и фазо-управляемых осцилляторов. Дана интерпретация подобных систем как математических моделей принятия решений взаимодействующими покупателями на рынке энергетических услуг. Установлена и проанализарована связь между переходом от локализации к делокализацией возмущений, вызываемых одиночной пространственной неоднородностью, и переходом от мелкомасштабных пространственных структур к крупномасштабным в цепочечных и решеточных системах с беспорядком. Обнаружена и исследована хаотическая

пространственная бифуркация, возникающая за счет нелинейного характера связи между элементами.

Основные публикации

[1] Ivanchenko, М. Transient selection in multi-cellular immune networks // M. Ivanchenko // Письма в ЖЭТФ. 2011. Т. 93. С. 37-42.

[2] Ivanchenko, М. Disorder-induced mobility edges and heat flow control in anharmonic acoustic chains // M. Ivanchenko, S. Flach // Europhysics Letters. 2011. Vol. 94. P. 46004.

[3] Иванченко, M.B. Модовая локализация в цепочках Ферми-Паста-Улама с произвольным порядком нелинейности // М.В. Иванченко, // Изв. ВУЗов Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19. №1 С 55-62.

[4] Иванченко, М.В. Q-бризеры: от парадокса Ферми-Паста-Улама до аномальной теплопроводности // М.В. Иванченко // Изв. ВУЗов Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19. №1. С. 73-85.

[5] Ivanchenko, М. q-Breathers and thermalization in acoustic chains with arbitrary nonlinearity index // M. Ivanchenko // Письма в ЖЭТФ. 2010 T 92. С. 405-409.

[6] Иванченко, М.В. Конкуренция в двухкомпонентной модели ансамбля иммунных Т-клеток // М.В. Иванченко // Изв. ВУЗов Прикладная Нелинейная Динамика. 2010. Т. 18. №3. С. 33-45.

[7] Иванченко, М.В. Конкуренция и селекция клонотипов в больших ансамблях иммунных Т-клеток // М.В. Иванченко // Вестник ННГУ. Радиофизика. 2010. № 6. С.38-42.

[8] Ivanchenko, М. q-Breathers in finite lattices: nonlinearity and weak disorder // M. Ivanchenko // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. P. 175507.

[9] Ivanchenko, M. q-Breathers in Discrete Nonlinear Schroedinger arrays with weak disorder // M. Ivanchenko // Письма в ЖЭТФ. 2009. T 89 С 170-175.

[10] Ivanchenko, М. Pacemaker And Network Mechanisms Of Rhythm Generation: Cooperation And Competition // M. Ivanchenko, T. Nowotny, A. Selverston, M. Rabinovich // J. Theor. Biol. 2008. Vol. 253. P. 452-461.

[11] Mishagin, K. q-breathers is discrete nonlinear Schroedinger lattices // K. Mishagin, O. Kanakov, M. Ivanchenko, S. Flach // New J. Phys. 2008 Vol. 10. P. 073034.

[12] Flach, S. Periodic orbits, localization in normal mode space and the Fermi-Pasta-Ulam problem // S. Flach, M. Ivanchenko, O. Kanakov, K. Mishagin // Am. J. Phys. 2008. Vol. 76. P. 453-459.

[13] Flach, S. q-Breathers in FPU-Lattices - Scaling and Properties for Large Systems // S. Flach, О. Kanakov, K.G. Mishagin and M.V. Ivanchenko // Int. J. Mod. Phys. B. 2007. Vol. 21. P. 3925.

[14] Ivanchenko M.V. Network mechanism for burst generation, Phys. Rev. Lett. // M.V. Ivanchenko, G.V. Osipov, V.D. Shalfeev and J. Kurths // V.98, 108101, 2007.

[15] Иванченко M.B. Генерация беретов в ансамблях спайковых нейронов с нелокальными связями // М.В. Иванченко // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, т.15, №3, С. 3-10, 2007.

[16] Shalfeev, V.D. Chaotic spatial bifurcation by complex coupling // V.D. Shalfeev, M.V. Ivanchenko, G. Forti // Chaos. 2007. Vol. 17. P. 023103.

[17] Kanakov, O. Scaling properties of q-breathers in nonlinear acoustic lattices // O. Kanakov, S. Flach, M. Ivanchenko, K.G. Mishagin // Phys. Lett. A. 2007. Vol. 365. P. 416.

[18] Ivanchenko, M. q-Breathers in finite two- and three-dimensional nonlinear acoustic lattices // M. Ivanchenko, O. Kanakov, K. Mishagin, S. Flach // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 97. P. 025505.

[19] Flach, S. q-breathers in Fermi-Pasta-Ulam chains: Existence, localization, and stability // S. Flach, M. Ivanchenko, O. Kanakov // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73. P. 036618.

[20] Flach, S. q-Breathers and the Fermi-Pasta-Ulam problem // S. Flach, M. Ivanchenko, O. Kanakov // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 064102.

[21] Osipov G.V. Synchronized chaotic intermittent and spiking behavior in coupled map chains // G.V. Osipov, M.V. Ivanchenko, J. Kurths, and B. Hu // Phys. Rev. E 2005. Vol. 71. P. 056209,2005.

[22] Ivanchenko, M. Discrete breathers in transient processes and thermal equilibrium // M. Ivanchenko, O. Kanakov, V. Shalfeev, S. Flach // Physica D. 2004. Vol. 198. P. 120.

[23] Ivanchenko M.V. Phase synchronization of chaotic intermittent oscillations // M.V. Ivanchenko, G.V. Osipov, V.D. Shalfeev, J. Kurths // Phys. Rev. Lett. 2004. V.92, 134101.

[24] Ivanchenko M. Phase Synchronization in Ensembles of Bursting Oscillators // M. Ivanchenko, G. Osipov, V. Shalfeev, J. Kurths // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93, P. 134101.

Прочие публикации

[25] Иванченко, М.В. Генерация и синхронизация колебаний в системах с «многомасштабным» хаосом // М.В. Иванченко // Н. Новгород-Изд-во ННГУ, 2007.

[26] Laptyeva, Т. Wave packet spreading in strongly disordered nonlinear lattices // T. Laptyeva, M. Ivanchenko, S. Flach // Abstracts of DPG - 2011. Vol. DY 15.1.2011.

[27] Ivanchenko, M. q-Breathers, FPU problem and anomalous conductivity // M. Ivanchenko // Abstracts of the Advanced Workshop on Anderson Localization, Nonlinearity and Turbulence: a Cross-Fertilization / ICTP, Trieste, Italy. 2010.

[28] Ivanchenko, M. Diversity by extinction: naive T-cell homeostasis // M. Ivanchenko // Abstracts of the Conference on Dynamics in Systems Biology. Aberdeen, UK: 2009.

[29] Ivanchenko, M. Pacemaker and network bursting in minimal inhibitory neural motifs: understanding hybrid rhythmogenesis // M. Ivanchenko, T. Nowotny, A. Selverston, M. Rabonivich // Proc. Int. Experimental Chaos Conference, Catania. 2008.

[30] Ivanchenko, M. A network mechanism for high- and low-frequency oscillations in neuronal ensembles // M. Ivanchenko // Abstracts of Phy-scon-2007 / University of Potsdam. 2007. P. 46.

[31] Иванченко М.В. Синхронизация и десинхронизация спайковой динамики в ансамблях нейроноподобных осцилляторов // М.В. Иванченко // Тезисы конференции молодых ученых «Нелинейные волновые процесы» / Нижний Новгород. 2006. С. 71-72.

[32] Flach, S. Periodic solutions to the Fermi-Pasta-Ulam system: continuation of single-mode orbits of a linear chain // S. Flach, M. Ivanchenko, O. Kanakov // Proc. Int. Symposium Topical Problems of Nonlinear Wave Physics2005. Vol. NWP-1. Nizhny Novgorod, Institute of Applied Physics RAS, 2005.

[33] Ivanchenko, M. Synchronization in chaotic ensembles with oscillations on multiple time scales // M. Ivanchenko // Proc. Int. Symposium Topical Problems of Nonlinear Wave Physics (NWP-2005). NWP-1 Nonlinear dynamics: theory and applications. Nizhny Novgorod, Institute of Applied Physics RAS, 2005.

Оглавление диссертации Введение

Глава 1. Делокализация в пространственно-однородных системах с нелинейной связью. 1.1 Проблема Ферми-Паста- Улама 1.2 ц-Бризеры 1.3 ц-бризеры и проблема Ферми-Паста-Улама 1.4 Делокализация мод в цепочках Ферми-Паста-Улама с произвольным порядком нелинейности 1.5 ц-бризеры в переходных процессах и термодинамическом равновесии 1.6 ц-бризеры в многомерных решетках 1.7 Выводы

Глава 2. Делокализация в пространственно-неоднородных системах с нелинейной связью. 2.1 Нелинейные акустические цепочки с беспорядком 2.1.1 Делокализация в системе Р-Ферми-Паста-Улама 2.1.2 Устойчивость ц-бризеров в системе Р -Ферми-Паста- Улама 2.1.3 Управление устойчивостью ц-бризеров в системе (3 - Ферми-Паста-Улама 2.1.4 Делокализация в системе а -Ферми-Паста-Улама 2.2 Нелинейные оптические цепочки с беспорядком 2.2.1 Делокализация в цепочке дискретных нелинейных уравнений Шредин-гера 2.2.2 Устойчивость q-бpизepoв в цепочке дискретных нелинейных уравнений Шредингера с беспорядком 2.2.3 Управление устойчивостью я-бризеров в цепочке дискретных нелинейных уравнений Шредингера 2.3 Выводы

Глава 3. Делокализация и перенос энергии в колебательных решеточных системах. 3.1 Введение 3.2 Равновесные процессы: аномальная теплопроводность 3.2.1 Математическая модель 3.2.2 Теория ц-бризеров в пространстве линейных мод системы с беспорядком 3.2.3 Режимы теплопроводности 3.2.4 Численные результаты 3.3 Распространение волновых пакетов в нелинейных системах без беспорядка 3.3.1 Дискретные бризеры 3.3.2 Математическая модель 3.3.3 Локальная модель дискретного бризера 3.3.4 Точечные возбуждения 3.3.5 Крупномасштабные начальные возбуждения 3.4 Распространение волновых пакетов в нелинейных системах с беспорядком 3.4.1 Андерсоновская локализация в нелинейных системах 3.4.2 Предел сильного беспорядка 3.4.3 Многомерные решетки 3.4.4 Общий случай нелинейной системы с беспорядком 3.4.5 Численные результаты 3.5 Расплывание волновых пакетов и теплопроводность 3.6 Выводы

Глава 4. Конкуренция в многокомпотентных динамических ансамблях с неоднородной структурой нелинейных связей. 4.1 Конкуренция в двух-компонентной модели 4.2 Конкуренция в многокомпонентной модели 4.3 Анализ динамики популяции иммунных клеток 4.4 Выводы Глава 5. Конкуренция в малых ансамблях нейроноподобных осцилляторов с собственной автоколебательной динамикой. 5.1 Конкуренция без

победителя в частотной модели нейрона 5.2 Модель берстового нейрона 5.3 Конкуренция в ансамбле модельных нейронов Ходжкина-Хаксли 5.4 Динамика автономного нейрона 5.5 Коллективная динамика 5.6 Структурная устойчивость 5.7 Бифуркации 5.8 Выводы

Глава 6. Структурообразование и конкуренция в ансамблях частотно- и фазо-управляемых осцилляторов. 6.1 Образование структур и конкуренция. Применение к моделированию коллективных решений покупателей на рынке 6.1.1 Базовая модель 6.1.2 Динамика индивидуального осциллятора 6.1.3 Взаимодействующие осцилляторы 6.1.4 Пространственно-однородные решения 6.1.5 Локализация и делокализация 6.1.6 Численные результаты 6.2 Переход между локализованной и делокализованной пространственной динамикой 6.2.1 Локализация и делокализация в цепочках 6.2.2 Образование и рост кластеров в двумерных решетках 6.3 Пространственно-хаотические бифуркации в системах с нелинейной связью 6.4 Выводы Заключение Литература Приложение

Подписано в печать 13.09.2011 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2. Заказ № 578. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в РИУ ИНГУ им. Н.И. Лобачевского. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

052011521

ИВАНЧЕНКО Михаил Васильевич

ДЕЛОКАЛИЗАЦИЯ И КОНКУРЕНЦИЯ: КОЛЛЕКТИВНАЯ ДИНАМИКА ОСЦИЛЛЯТОРНЫХ АНСАМБЛЕЙ С НЕЛИНЕЙНОЙ

СВЯЗЬЮ И БЕСПОРЯДКОМ

01.04.03 - Радиофизика

Диссертация па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Н ау ч 11 ы й ко н сул ьта нт: д.ф.-м.н., проф. В.Д. Шалфеев

Нижний Новгород 2011

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 4

1 Де локализация в пространственно-однородных системах с нелинейной связью 26

1.1 Проблема Ферм и-Паста-Улама..................................26

1.2 с^-Бризеры..........................................................33

1.3 ц-бризеры и проблема Ферми-Паста-Улама....................38

1.4 Делокализация мод в цепочках Ферми-Паста-Улама с произвольным порядком нелинейности................................46

1.5 q-бpизepы в переходных процессах и термодинамическом равновесии ............................................................56

1.6 q-бpизcpы 15 многомерных решетках............................59

1.7 Выводы............................................................71

2 Делокализация в пространственно-неоднородных системах

с нелинейной связью 74

2.1 Нелинейные акустические цепочки с беспорядком............76

2.1.1 Делокализация в системе /З-Фер ми-Паста-Улама ... 76

2.1.2 Устойчивость (і-бризсров в системе /3-Ферми-Г1аста-Улама......................................................85

2.1.3 Управление устойчивостью q-бризеров в системе ß-Ферми-Паста-Улама......................................91

2.1.4 Делокализация в системе сьФерми-Паста-Улама ... 94

2.2 Нелинейные оптические цепочки с беспорядком ..............97

2.2.1 Делокализация в цепочке дискретных нелинейных уравнений Шредингера........................................98

2.2.2 Устойчивость q-бризеров в цепочке дискретных нелинейных уравнений Шредингера с беспорядком .... 105

2.2.3 Управление устойчивостью q-бризеров в цепочке дискретных нелинейных уравнений Шредингера.....112

2.3 Выводы..............................115

Делокализация и перенос энергии в колебательных решеточных системах 117

3.1 Введение............................................................117

3.2 Равновесные процессы: аномальная теплопроводность .... 120

3.2.1 Математическая модель.................120

3.2.2 Теория q-бризеров в пространстве линейных мод системы с беспорядком......................................122

3.2.3 Режимы теплопроводности...............127

3.2.4 Численные результаты..................132

3.3 Распространение волновых пакетов в нелинейных системах

без беспорядка....................................................135

3.3.1 Дискретные бризеры...................135

3.3.2 Математическая модель..................................137

3.3.3 Локальная модель дискретного бризера................138

3.3.4 Точечные возбуждения ..................................140

3.3.5 Крупномасштабные начальные возбуждения.....144

3.4 Распространение волновых пакетов в нелинейных системах с

беспорядком........................................................149

3.4.1 Андерсоиовская локализация в нелинейных системах 149

3.4.2 Предел сильного беспорядка ............................152

3.4.3 Многомерные решетки....................................158

3.4.4 Общий случай нелинейной системы с беспорядком . . 159

3.4.5 Численные результаты....................................165

3.5 Расплываиие волновых пакетов и теплопроводность..........167

3.6 Выводы............................................................172

4 Конкуренция в многокомпотентных динамических ансамблях с неоднородной структурой нелинейных связей 175

4.1 Конкуренция в двухкомпонептной модели........... 179

4.2 Конкуренция в многокомпонентной модели..........194

4.3 Анализ динамики популяции иммунных клеток .......203

4.4 Выводы.............................. 213

5 Конкуренция в малых ансамблях нейроноподобных осцилляторов с собственной автоколебательной динамикой 216

5.1 Конкуренция без победителя в частотной модели нейрона . . 217

5.2 Модель бсрстового нейрона...................220

5.3 Конкуренция в ансамбле модельных нейронов Ходжкина-Хаксли223

5.4 Динамика автономного нейрона................225

5.5 Коллективная динамика....................228

5.6 Структурная устойчивость...................235

5.7 Бифуркации...........................239

5.8 Выводы..............................242

6 Структурообразование и конкуренция в ансамблях частотно-

и фазо-управляемых осцилляторов 244

6.1 Образование структур и конкуренция. Применение к моделированию коллективных решений покупателей на рынке . . 244

6.1.1 Базовая модель......................247

6.1 2 Динамика индивидуального осциллятора.......249

6.1.3 Взаимодействующие осцилляторы...........252

6.1.4 Пространственно-однородные решения.........255

6.1.5 Локализация и делокализация ..........................260

6.1.6 Численные результаты..................263

6.2 Переход между локализованной и делокализовапной пространственной динамикой.......................273

6.2.1 Локализация и делокализация в цепочках.......273

6.2.2 Образование и рост кластеров в двумерных решетках 276

6.3 Пространственно-хаотические бифуркации в системах с нелинейной связью ..........................279

6.4 Выводы..............................293

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 296

ЛИТЕРАТУРА 301

ПРИЛОЖЕНИЕ 322

Введение

Коллективная динамика ансамблей систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, является одной из фундаментальных задач нелинейной физики [1-4]. Интенсивные исследования в этой области, ведущиеся па протяжении более 20 лет, связаны с высокой степенью актуальности для целого спектра прикладных задач: от исследования колебательных режимов в решетках микро- и напомеханических осцилляторов [5, 6| и динамики атомарных конденсатов в пространственно-периодических оптических структурах [7,8] до анализа механизмов регуляции клеточного состава адаптивной иммунной системы [9| и коллективных эффектов в социо-экоиомических моделях [10].

Методы, традиционные для радиофиники (в первую очередь, теория колебательно-волновых процессов), являются мощным инструментом в решении этих задач [1,4,10-13]. К настоящему моменту их применение позволило достигнуть значительного прогресса в изучении и понимании процессов конкуренции [10,14] и синхронизации [4] в живых системах, локализации и распространения волновых пакетов в физических системах |7,15], структурообразования в сложных ансамблях различной природы [16].

Оказалось, что во многих случаях названные эффекты неразрывно связанны. Наиболее ярким примером, пожалуй, является классическая проблема резонансного взаимодействия в системе трех мод-осцилляторов с

квадратичном нелинейностью в функции связи [1|. Различные колебательные режимы обмена энергией между модами, вытекающие из соотношений Мэнли-Роу, (преимущественное сохранение энергии в низкочастотных модах, возбуждение низкочастотных мод за счет перекачки энергии из высокочастотной) можно рассматривать и как конкуренцию, и как процессы модовой локализации-делокализации энергии. Результаты непосредственно переносятся и на трехволиовое взаимодействие в нелинейных средах, определяя режимы распространения воли и формирование пространственных колебательных структур [17]

Вместе с тем следует констатировать значительный пробел в теории этих явлений, связанный с тем, что указанные коллективные эффекты преимущественно изучались в рамках упрощенных моделей: либо пространственно-однородных систем, либо ансамблей с линейным взаимодействием между элементами ансамблей. Это было продиктовано высокой сложностью даже упрощенных задач как для теоретического, так и для численного анализа. В большинстве реальных систем, однако, принципиальную роль играют как беспорядок (пространственная неоднородность параметров), так и нелинейность межэлементпых связей.

На сегодняшний день прогресс в решении целого ряда задач физики, биологии и социо-экономики невозмо'лсеп без разработки теории коллективной динамики — делокализации и распространения, волновых пакетов, конкуренции и структурообразоваиия - в колебательных ансамблях с одновременным присутствием как беспорядка,, так и нелинейного взаимодействия 2.

'Отметим, тго эффекты конкуренции и локализации возникают и в пространственно-непрерывных средах, описываемых уравнениями в частных производных (конкуренция .мод, динамика солитопон, бризеров, кинков, сопутствующая локализация к прямом и обратном пространство), составляя, однако, отдельную фундаментальную физическую проблему, которая в настоящей работе не рассматривается.

2В большей сюпени эта проблема решена и задачах синхронизации []8|, поэтому мы касаемся этого

Одной из основополагающих работ в области колебательно-вол новой динамики нелинейных систем является исследование Э. Ферми, Д. Пасты и С. Улама [19]. в котором рассмотрена задача о делокализации энергии, сосредоточенной в низкочастотных модах в модели атомарной цепочки с нелинейными связями. Авторы предполагали, что именно нелинейное взаимодействие между элементами (приводящее к неинтегрируемости уравнений) лежит в основе детерминистического механизма термализации системы, равнораспределения энергии по всему спектру. Результаты оказались гораздо более глубокими и парадоксальными. Численные эксперименты показали, что энергия остается локализованной в нескольких низкочастотных модах па протяжении всего времени интернирования, практически полностью возвращаясь к начальному распределению с некоторой периодичностью.

Потребовалось несколько десятилетий активных исследований (Ф.М. Израйлев, А.М. Коссвич, Ю.А. Косевич, Л.И. Маневич. Д.Л. Шепелян-ский, Б.В. Чириков, G. Benet.tin, J. Ford, L. Galgani, A. Giorgilli, H. Kautz, M. Kruskal, A.J. Lichtenberg, R. Livi, S. Paleari, T. Penati, A. Ponno, A. Scotti, N. Zabusky), чтобы установить, что существуют так называемые пороги слабой и сильной стохастичпости по энергии, выше первого из которых колебания становятся хаотическими, оставаясь локализованными в низкочастотных модах, а выше второго происходит быстрая делокализация за счет развитого динамического хаоса [20,21], изучить зависимость этих порогов от размера системы [22-251 и временных масштабов делокализации от энергии |26 -30].

Однако, несмотря на усилия большого числа исследователей, последовательную теорию парадокса Ферми-Паста,-Улама (ФПУ) долгое время

вопроса лишь нгкольчь.

построить не удавалось. В 2005 году было обнаружено существование q-бризеров в колебательно?! цепочке ФПУ - точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве, что позволило объяснить все основные особенности парадокса (М.В. Иванченко в соавторстве с С. Флахом и О.И. Канаковым [31]). Прикладная значимость этого открытия стимулировала разработку общей теории q-бризеров: в системах с произвольным порядком нелинейности, двумерных и трехмерных решетках, в присутствии беспорядка (пространственной неоднородности) и применение к исследованию процессов делокализации, коллективных механических колебаний и теплопроводности в структурированных низкораз-мерпых папомасштабпых системах.

Локализация энергии в прямом пространстве нелинейных колебательных решеточных систем также имеет длительную историю исследований. Было установлено наличие долгоживущих колебательных возбуждений -- дискретных бризеров - 'амплитуда которых спадает экспоненциально по мере удаления от центральной точки: сначала как приближенных решений в численных экспериментах (A.A. Овчинников, S.J. Sievers, S. Такено. К. Kisoda), а затем как точных периодических траекторий системы (S. Aubry, R.S. МасКау). Оказалось, что присутствие дискретных бризеров существенно влияет на распространение волновых пакетов, дело-кал изацию энергии из начального локализованного возбуждения: делока-лизуется только часть энергии, а остальная остается в виде дол гож и пуще го бризероного решения (S.J. Sicvcrs. S. Takeno).

Делокализация и распространение волновых пакетов в нелинейных системах с беспорядком остается нерешенной и интенсивно изучаемой проблемой (Б.Л. Альтшулер. И.Л. Алейпер. Д.М. Басько. Ю.А. Косевич, Л.И. Маневич, A.C. Пиковский. S. Aubry, S. Fishman, S. Flach, M. Johansson,

D. Krimer, S. Kopidakis). В линейном случае одномерных и двумерных решеток осцилляторов с беспорядком все моды являются экспоненциально локализованными в прямом пространстве (так называемая андерсоновская локализация) [32], а следовательно, начальные волновые пакеты остаются локализованными. Нелинейность (или взаимодействие в многочастичной квантовой задаче) приводит к взаимодействию между модами и, потенциально, к делокализации и распространению волновых пакетов. Однако результаты аналитических и численных исследований в этой области противоречивы [33—38], а эксперименты хоть и показывают локализацию света и атомарных конденсатов в пространственных решетках |8,39|, на настоящий момент недостаточно продолжительны, чтобы делокализация могла наблюдаться.

Конкурентная динамика живых систем на клеточном и молекулярном уровнях лежит в основе механизмов их регуляции и функциональности. Многочисленные эксперименты позволяют все лучше объяснять физическую и химическую природу этих взаимодействий, однако их кооперативные эффекты по-прежнему практически не изучены. Основные успехи были достигнуты в нейродипамике и исследовании роли синхронизации в когнитивных функциях мозга [4,14| (B.C. Анищепко. В.В. Астахов, Б.П. Без-ручко, В.Н. Белых, Е.В. Волков, A.C. Дмитриев, A.A. Короповский, А.Г1. Кузнецов, С.П. Кузнецов, А.Ю. Лоскутов, В.В. Матросов, В.И. Некоркин, В.Б. Казанцев. Г.В. Осипов. A.C. Пиковский. Д.Е. Постной. М.И. Рабинович, М. Розенблюм, Н.Ф. Рульков Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов, В.Г. Яхно, Н. Abarbahel. S. Boccaletti, B.G. Ermentroiit. E.M. Izhekevich, M. Hasler, Л. Kurths, Y. KuramoLo. U. Parlitz. L. Pécora. S. Strogatz).

Роль конкуренции в нейродинамических процессах также становится все более ясной (B.C. Афраймович, A.A. Короповский. А.Ю. Лоскутов,

В.И. Некоркии. В.Б. Казанцев, Г.В. Осипов, М.И. Рабинович, Н.Ф. Рульков Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов, В.Г. Яхпо, И. Abarbahel, Е.М. Izliekevich, R. Huerta, Т. Nowonty и др.), однако остается существенный пробел в понимании аналогичных процессов в ансамблях нейронов с генерацией сложных хаотических колебаний с несколькими характерными временными масштабами.

Гораздо меньше известно о роли конкуренции в процессах развития. роста и регуляции многоклеточных систем со сложной неоднородной структурой нелинейных взаимодействий, например иммунной системы (Г.А. Бочаров, Е.В. Волков. А. Заикин, A.A. Романюха, Л. Цимринг, R. de Boer, J. Garneiro, С. Grebogi, E. Frey, J. Garcia-Ojalvo, J. Kurths, G. Lythc, C. Molina.-Paris. A. Pcrelson и др.). Классические результаты вымирания или сосуществования видов в традиционных экологических моделях типа Лотки-Вольтерра не могут быть непосредственно использованы здесь в силу ограничений малой размерности и (или) глобальной архитектуры связей [40¡. Современные математические теории химических реакций в сложных потоках [411 и экологического разнообразия видов [42] учитывают подвижность клеток и пространственную неоднородность концентраций взаимодействующих и конкурирующих видов, однако ограничиваются малым числом популяций. Механизм динамического клаетерообразовапия, недавно предложенный для описания дифференциация клеток в развивающихся тканях, учитывает многокомпонентность клеточных систем, однако исследован только в рамках приближения глобальной связи [43].

Схожая ситуация сложилась и в нелинейной динамике еоцио-экономических систем [44- 46]. где основные результаты в изучении структур пространственно-временной активности достигнуты в допущениях глобальной связи между элементами ансамбля, идентичности элементов, простых, преимуществеп-

но линейных функций связи, а во многих случаях анализируется сложная структура сетей взаимодействия, по не динамика [47].

Цель диссертационной работы состоит в разработке теории коллективных динамических явлений дслокализации и конкуренции в ансамблях консервативных и диссипативных систем с нелинейной связью и беспорядком и ее применении для исследования процессов теплопроводности и распространения волновых пакетов в низкоразмерных физических решеточных системах, формирования и регуляции адаптивной иммунной системы, генерации структур последовательной активности в нейронных ансамблях. закономерностей принятия координированных решений в ансамблях взаимодействующих активных элементов.

Методы исследования и достоверность научных результатов. Представленные в работе результаты получены с использованием методов нелинейной теории колебаний в сочетании с методами численного моделирования. Их достоверность подтверждается согласованностью аналитических и численных результатов; воспроизводимостью результатов численного моделирования; воспроизводимостью результатов па базе различных математических моделей; соответствием экспериментальным и численным результатам, известным из литературы. Научная новизна.

• Проблема перехода от локализации к дслокализации энергии в модо-вом пространстве решена для широкого класса колебательных решеток с акустическим типом спектра (с произвольным порядком нелинейности в функции взаимодействия, для решеток различной размерности). Для этого развита теория ц-бризеров — точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве, получены условия их неуст�