Механизмы ускорения Ферми в хаотических бильярдах с возмущаемыми границами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1 Введение

1.1 Ускорение Ферми. Обзор основных моделей и известных результатов

1.1.1 Классическая модель Ферми-Улама.

1.1.2 Физический подход.

1.1.3 Численные исследования.

1.1.4 Математический анализ к решению задачи Ферми-Улама

1.1.5 Дальнейшее развитие модели Ферми-Улама.

1.2 Бильярды.

1.2.1 Критерии хаоса в динамических системах.

1.2.2 Газ Лоренца.

1.2.3 Бильярд типа стадион.

1.2.4 Бильярды с возмущаемыми границами.

2 Основные соотношения

2.1 Стохастически возмущенное отображение Улама.

2.1.1 Коэффициент диффузии.

2.1.2 Зависимость диффузии от интенсивности шума.

2.1.3 Отображение Улама.

Заключение

Бильярды являются достаточно удобными моделями целого ряда физических систем. Например, многим динамическим задачам могут быть поставлены в соответствие уравнения траектории частицы в бильярдах заданной формы. Более того, большинство подходов к проблеме перемешивания в системах из многих частиц восходят к задачам бильярдного типа. Естественным обобщением бильярдных систем являются бильярды, границы которых не являются неподвижными, а изменяются по какому-либо закону. Это достаточно новая область, открывающая новые перспективы в исследовании многих давно известных, но малоизученных проблем. Так, задача о динамике частицы в бильярде, граница которого со временем изменяется, имеет прямое физическое приложение как модель неравновесной статистической механики. Как показывают исследования, для бильярда с возмущенными границами существенным оказываются его динамические свойства: если он проявляет хаотическую динамику, то возмущение границы может привести к неограниченному росту скорости частицы, т.е. такому бильярду может быть присуще ускорение Ферми.

В настоящей работе исследовалась проблема ускорения Ферми в динамических системах, порождаемых рассеивающими плоскими бильярдами с возмущаемой границей. Рассматривался бильярд типа газа Лоренца, граница которого осциллирует по некоторому закону. Как известно, обычный газ Лоренца (т.е. с невозмущенной границей) обладает ярко выраженными хаотическими свойствами (перемешиванием, расцеплением корреляций, и т.п.). Возмущение границ такого бильярда приводит к возникновению ускорения Ферми. При этом модель исследована в двух различных вариантах: со стохастически и регулярно осциллирующими границами рассеивате-лей. Найдено, что ускорение больше в случае регулярных колебаний границы.

Можно выделить два основных механизма ускорения, которые были выявлены при выводе распределения частиц но скоростям в зависимости от числа столкновений в стохастическом случае (п. 3.2.2). Во-первых, это "сносовый" механизм, возникающий вследствие выполнения соотношения (AV) > 0 (см. (3.14)) и приводящий к сносу всех частиц в направлении положительных скоростей. Во-вторых, это дисперсионный (или флюктуационный) механизм, проявляющийся по двум причинам: (a) (AV2) > 0, и поэтому вероятностный пакет "расплывается" со временем; (б) модуль скорости не может быть отрицательным и, таким образом, расплывание пакета не симметрично, а направлено в сторону больших скоростей, что выражается через переход от простого нормального распределения к распределению (3.17). При этом, как показывают аналитические и численные исследования, флюктуации и среднее увеличение скорости частицы выше в случае регулярных колебаний границ рассеива-телей, что приводит к большему росту скорости, таким образом, можно еще говорить о механизме, обусловленном корреляциями между последовательными изменениями скорости.

Нетрудно понять, что рассуждения, используемые при выводе зависимости скорости частицы от числа соударений и времени, легко перенести на любой другой бильярд, для которого известно вероятностное распределение угла а (угол между нормалью к поверхности в точке соударения и скоростью частицы). Поэтому развитая в данной работе техника может оказаться полезной в при изучении проблемы ускорения Ферми в общем случае.

Наличие хаотичности в системе может приводить к изменению ее статистических свойств. В работе Тсанга и др. [13] был рассмотрен бильярд полустадион - область, образованная прямоугольником, углы которого заменены четвертями окружностей радиуса R (скругленные углы), одна из сторон периодически осциллирует. Частица движется внутри этой области, сталкиваясь с границами. При этом удар с границей не является абсолютно упругим, частица теряет часть своей скорости, пропорциональную 8 (5 -С 1). Эта модель близка к модели Улама, но наличие закругленных углов вносит элемент случайности в динамику частицы. В работе [13] исследовался процесс релаксации системы к равновесному состоянию. Аналогичные исследования были проведены ранее в работах Тсанга и Либермана [12]на модели Улама. Как было показано, в модели Улама величина Ф(£) = E(t) - Е(оо), представляющая собой отклонение средней энергии системы от ее равновесного значения убывает экспоненциально, т.е. Ф(£) ~ ехр(—t/т), что вообще говоря обычно для большинства физических систем. Исследование этой величины, проведенное на модели полустадиона показало, что релаксация системы к равновесию происходит медленнее, а Ф(£) ~ ехр (t/тгде (5 < 1, причем величина /3 убывает с увеличением R. На основании изложенного в предыдущих параграфах становится понятным в чем состоит возможная причина уменьшения скорости релаксации системы. Действительно с увеличением радиусов дуг растет элемент хаотичности в системе, что приводит к появлению ускорения частиц, таким образом, релаксация системы к равновесному состоянию, связанная с наличием диссипации энергии частиц в системе, будет происходить медленнее.

На основании проведенных исследований допустимо сделать важное предположение: хаотичность бильярда с неподвижной границей является достаточным условием для возникновения в нем ускорения Ферми при включении возмущения границы.