Эргодические свойства газа Лоренца и близких к нему динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТИПА. ГАЗА ЛОРЕНЦА.

§ I. Газ Лоренца на плоскости с конечным числом рассеивателей.

§ 2. Эргодические свойства взаимодействующего газа

Лоренца

Глава II. БИЛЬЯРД С^ТЕШ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ

КОНФИГУРАЦИЕЙ РАССЕИВАТЕЛЕЙ НА ПЛОСКОСТИ.

§ I. Условия разрешимости уравнения /

§ 2. Гидродинамические моды ¿г - частичного газа Лоренца с периодической конфигурацией рассеивателей

§ 3. Доказательство центральной предельной теоремы для бильярдов.

§ 4. Оценка коэффициента диффузии для модели Махты

-Цванцига

Одной из основных и наиболее популярных моделей неравновесной статистической механики является газ Лоренца. Она была предложена в 1905 году голландским физиком и математиком Г.А.Лоренцем как модель электропроводности металлов и с тех пор носит его имя /см. [1] /.

Газом Лоренца называется динамическая система, которая описывает поведение счетного числа частиц, свободно движущихся в В^ между хаотически разбросанными неподвижными сферическими рассеивателями, от которых частицы отражаются по закону упругого удара /тангенциальная составляющая остаётся неизменной, а нормальная меняет знак/. В диссертации всюду рассматривается случай Ж = £

Газ Лоренца относится к классу динамических систем бильярдного типа /см. [2] /. Иногда под газом Лоренца понимают также динамические системы, порождённые движением одной частицы, свободно движущейся в ¡Ц^ между неподвижными сферическими рассеивателями с аналогичным отражением от них. В тексте диссертации во избежание путаницы такие динамические системы в отличие от систем, о которых говорилось выше, называются бильярдами в соответствии с [2] .

Газ Лоренца интенсивно изучается и до настоящего времени. Здесь можно упомянуть математические работы Я.Г.Синая [~3, 4] , Л.А.Бунимовича и Я.Г.Синая [5-7] , Г.Галавотти [¡В, 9] , Г.Гала-вотти и Д.Орнстейна [ю] , Ш.Голдстейна, Дж.Лебовица и М.Айзен-мана [и] , А.Крамли и Д.Саеа [12-13] , Дж.Махты и Р.Цванцига и др. Подробный анализ проблем, относящихся к этой модели, содержится в большом обзоре

Необходимость исследования газа Лоренца объясняется тем, что эта динамическая система естественно возникает при моделировании некоторых физических процессов. К таковым, например, относится движение медленных нейтронов в тяжелой жидкости /см.

1б] /, поведение смеси двух газов, один из которых состоит из легких молекул массы Уть , а другой - из тяжелых молекул массы И / т/м^ ^ /; см. »например, [15, 17] .

Одним из первых вопросов, возникающих при исследовании газа Лоренца, является вопрос о его эргодичности. Впервые положительный ответ на этот вопрос был дан Я.Г.Синаем в [з] для;: динамической системы, описывающей движение материальной точки на торе с конечным числом неподвижных рассеивателей. Им было показано, что эта динамическая система является К-системой, а значит, имеет достаточно сильные статистические свойства. Из того, что динамическая система является К-системой, следует, что она эргодична, обладает перемешиванием всех степеней, а также, что сопряженная группа унитарных операторов в подпространстве функций с нулевым средним имеет счетно-кратный ле-беговский спектр /см. [18, 19] /.

В первой главе настоящей диссертации рассматриваются две динамические системы, относящиеся к газу Лоренца. Опишем их подробнее. Дусть & = { ^подмножество точек плоскости, являющихся центрами рассеивателей. Считаем, что для всех <> Ф $ • Здесь с1и&Ь - евклидова метрика на плоскости &г . ^¿^(эс/с^Сэс,^)^ </} . Это множество называем рассеивателем с центром в точке 1

Оц .0 Ьъг .

Пусть - расслоение, базой которого служит О£ , а слоем над кавдой точкой с^ е 0% - единичная окружность В^(с^).

Точки пространства J>fg называются линейными элементами или частицами. Естественную проекцию на обозначим через . Через {T^j обозначаем однопараметрическую группу сдвигов вдоль траекторий динамической системы, порожденной движением точечной частицы в О £ с упругим отражением от Ф Оц . Она сохраняет меру $ на /см. [zj /, где clj-d^-olo , - мера на Оц , индуцированная евклидовой метрикой, а «¿0 - естественная мера на слое ¿^fy)-~ f* * (fy) • является конфигурационным пространством рассматриваемой динамической системы, а - её фазовым пространством.

Пусть теперь & ¡¿ - совокупность счетных подмножеств множества Оц таких, что для любого ограниченного Е> из 0% имеем Cajid(Q.nb)<°° , GLCGLr . Фазовым пространством Н R газа Лоренца служит множество пар X - {&, > где Ol £ Q-d , ^а - функция со значениями на окружности 7 |V|H} . пара , f £ Q называется так же, как и выше, линейным элементом или частицей. Отображение Л'.Нц—определяется равенством &

Пусть ЭС-17 (X) - случайная величина, значение которой равно числу частиц xéX в ис^Сц , где ^(и)^^ . Меру ^ зададим, полагая = feCl/Д fe! и для непересекающихся Щ и :

Однопараметрическую группу ^J преобразований пространства Нц определим следующим образом >••'})— = {T^Xj уТ^х^ ] , . Эта динамическая система

Нц » [$Ч) называется пуассоновской надстройкой над (aCr. ■)§■> {Т^}) /см. [18] /. В первом параграфе главы I доказывается следующая теорема.

ТЕОРЕМА. 1.3. Если - конечное множество, то динамическая система (fig , > является К-системой.

Доказательство теоремы состоит в предъявлении для данной динамической системы К-разбиения, строящегося аналогично К-раз-биению для идеального газа, предложенного К.Л.Волковысоким и Я.Г.Синаем в [20] .

Во втором параграфе главы I рассматривается взаимодействующий газ Лоренца. Предположим, что R. - такое множество, что существуют константы ¿j1^^ и такие, что

I/ при всех ;

2/ если Dx С - круг достаточно большого радиуса \ с центром в начале координат, то длина любого прямолинейного отрезка t С 0& такого, что t ПЭх^ Ф » превосходит г*

Через обозначим множество единичных векторов с носителями на , направленных вне 0% . Топологически pf представляет собой двумерный цилиндр с координатами (S,^) , где & - координата точки приложения вектора на Q £>ч1 , а ¥ - угол мевду вектором и внешней нормалью к окружности в точке & . На кавдом Jbti имеется естественная мера JU /являющаяся ограничением g на /, для которой c(ju = COntk • cos V- el i df . Цусть

MR= U = f эс: f (*к ; 3%}

4» где Ч>(*) - координата У вектора эс

Поток {Т*} на с/У^ зададим следующим образом: частица эсдвижется со скоростью ^ | пока не достигает одной из областей 9>Ъ1 в точке V) , после чего, попадая в область действия сферически симметричного отталкивающего потенциала, движется там, пока не достигает границы в точке (Ъ+ЖьМ , Я-Ч>) , где -- заданная функция, и продолжает движение с постоянной скоростью, пока не достигает одной из областей Ь%^ и т.д. Предположим, что Ж - функция класса , удовлетворяющая условиям: а/ ; б/ АЩ^й^^^с .где О* ; в/

В [21] японский математик И.Кубо рассмотрел движение материальной точки массы т и энергии Е- под действием г . потенциала вида и ((у)- У » 00 » гДе - отталкивающий потенциал, соответствующий точке , причем выполнены следующие условия:

VI/ непрерывно при и для

У 2/ принадлежит классу С^(0,1) , и существуют левые производные Щ О) и 11% (1^0)

УЗ/ — ¿¡/(/¿(у) монотонно убывает и и1(4^о)<0

Там же он показал, что если 0<£ при всех = 4,2,.,/ , то можно найти такую функцию что траектория движения частицы массы 7УЬ и энергии £ под действием потенциала I/ совпадает в с траекторией движения этой частицы, описываемой потоком {Т^ /который определяется с помощью найденной функции Ж /.В качестве £/¿(^1 можно выбрать, например, одну из функций .

В этом случае условия /V/ / - /УЗ / будут выполнены./.

О, 1 при <¿<0, а>0. а>а

Основной результат [21] состоит в том, что динамическая система, порожденная движением материальной точки на торе под действием потенциала II описанного вида / I < 00 /, является К-еистемой.

Введем преобразование множества в себя, индуцированное потоком {Т*} в . сохраняет меру /см. [21] /.

Пусть Кц - совокупность счетных подмножеств множества О) 0£ таких, что для любого ограниченного & имеем СхклА (К П В)^, К£к% . Фазовым пространством Пц взаимодействующего газа Лоренца служит множество пар Х = , где К С , ^ - функция на К со значениями на полуокружности { € С , I = \ , < ^-^г} »

Пара ЭС=(<},,, ^ £ /С называется так же, как и вше, линейным элементом или частицей. Отображение Х - Пц—^/С^ определяется равенством так же, как и

X: Н &/.

Меру на П% зададим требованиями: а/ ¿(Х-.Х^к^У^ехр^ц)) , исМц ; б/ для непересекающихся , 1/% С :

О (х: хщ (х)=^, ^ ^ /У.

Преобразование пространства /7^ определим следующим образом: ({сси хг, ,.})= ,7* а*,.^ М^ при всех -С

Основной результат второго параграфа главы I состоит в следующем.

ТЕОРЕМА. 1.9. При выполнении условий I/ - 2/ на расположение рассеивателей и а/ " в/ на функцию Ж(1,ч>) динамическая система ГЛ^у^, 5*) является К-системой.

Доказательство этой теоремы основано на использовании метода трансверсальных слоений, развитого в (4, 5] . Одна из основных трудностей, возникающих при исследовании рассеивающих бильярдов, состоит в том, что трансверсальные слоения для них существуют только почти всюду. Более того, каждый отдельный слой трансвер-сального слоения имеет особенности. Эти особенности разбивают весь слой на отдельные регулярные компоненты, каждая из которых уже является "хорошим" многообразием. Такие же трудности возникают и в нашей системе. Преодолеваются они на том же пути, что ив [4].

Во второй главе диссертации рассматриваются бильярды. Мы предполагаем, что есть такая постоянная С , что длина любого прямолинейного отрезка t С О^ не превосходит С Такие системы называются бильярдами с конечным горизонтом / £22] /. Предполагается, что ^-[^-¿¡¿-^ - периодическое множество точек плоскости. Это означает, что существует конечное множество £ С £ и счетная группа Г трансляций плоскости с компактной фундаментальной областью такие, что для всех^Г , имеем ¿'Я ПдчЦ = ф и .

Г 8

- преобразование множества М - в себя, индуцированное потоком {Т^ в • Т сохраняет меру ^Х /см. [4] /. В [б] Л.А.Бунимович и Я.Г.Синай построили марковское разбиение, отвечающее динамической системе (М^ > Т) , периодическое с тем же периодом, что и /£ . /В дальнейшем, когда говорится о периодичности множеств или функций, то подразумевается периодичность с тем же периодом, что и £ ./. Обозначим это разбиение через ^ / знак /V/ означает, что это периодическое разбиение/. Через Мо г* обозначим множество & , лежащих в одной ячейке. Через

Т0 обозначим преобразование Мо на себя, индуцированное периодическими граничными условиями. М является накрывающим пространством для Мо • Через J: М —^ Мо обозначаем естественно определенное накрывающее отображение, ^о - ограничение меры на Мо • Также буквой о обозначаем меру на А/ , сконцентрированную на М0 и ограничение которой на Мо совпадает с ограничением^/ на Мо .Из текста будет ясно, о какой из этих двух мер идет речь. В противном случае будет указываться пространство, на котором рассматривается • Цусть £ — разбиение

Мо > являющееся ограничением разбиения . Пусть

Цусть 0 " пространство функций, постоянных на элементах ^ ~ и интегрируемых на М о по меРе ^ о Введём в рассмотрение оператор Р в ¿^(М0}^о) *

Здесь С и С1 элементы разбиения £""*

Оператор Р называется обобщенным марковским оператором, т.к. в случае обычных цепей Маркова Р соответствует рассматриваемому в теории марковских процессов оператору перехода. В § I главы II аналогично определяется обобщенный марковский оператор , отвечающий движению частицы на всей плоскости.

Вместо преобразования То можно рассматривать соответствующий стационарный случайный процесс /см. [б, 7] /. А именно, пусть Л - пространство последовательностей ,

Ж.+ » ~ элемент марковского разбиения ^ с номером о^ . Рассмотрим отображение у";Мо—^ Л , У(х)=сд » если ТфОСеСсд^ , — п<о° . Меру обозначаем через . Она инвариантна относительно сдвигов и определяется на естественной -алгебре подмножеств Л . обозначается через .Т.к. у - взаимно-однозначное отображение подмножества полной меры в на /см. /б}/, то функцию ^ 4 на Мо можно отождествлять с функцией на , еслиДОЯ п«в» Х^Мо по мерено ; в этом случае ^ и ^ обозначаем одним и тем же символом.

При исследовании газа Лоренца приходится решать уравнения вида ^ — = § »^ € ^ ^(Мо^о) • Примеры содержатся во втором и третьем параграфах главы II. Возникает вопрос о разрешимости этого уравнения. Решению этого вопроса посвящен первый параграф второй главы настоящей диссертации. Основное определение этой части - определение класса функций Ф(-&о)

Определение . Функция £ € принадлежит классу Ф(&о) * если можно найти такие постоянные /1^>0 , О, £<>0 ,!сг>0 , 4 » что для всех существует функция , для которой:

Класс функций ^ € Ф (.0.0) , для которых / - 0 » обозначаем через ^ 0 (йо) / - символ математического ожидания/. При этом аппроксимирующие функции также можно считать имеющими математическое ожидание О . Основной результат первого параграфа главы II состоит в следующем.

ТЮРЕМА 2.2. Если ^ £ » то существует решение уравнения / - Р{ - £ » представимое в виде ряда / — " 8 + 1*8 + 1 Уо - почти всюду/, причем с Фо(Ло) .

В неравновесной статистической механике гидродинамические моды определяются как собственные функции линеаризованных уравнений гидродинамики /см. £23, 24] /. Аналогично в [зб]собственные / а точнее, "почти-собственные11/ функции обобщенного марковского оператора ¿Р называются гидродинамическими модами. Строгое определение гидродинамических мод для газа Лоренца содержится во втором параграфе главы II. В [Зб| Я.Г.Синаем построены гидродинамические моды для газа Лоренца с периодической конфигурацией рассеивателей. В §2 главы II строятся гидродинамические моды для динамической системы, порожденной движением неразличимых, не взаимодействующих между собой точечных частиц в Щ?' между периодически расположенными неподвижными круговыми рассеивателями с упругим отражением от них.

В ¡у] Л.А.Бунимович и Я.Г.Синай, используя довольно сложную технику С.Н.Бернштейна / /, доказали центральную предельную теорему /ЦПТ/ для бильярда.

ТЕОРЕМА 2.14. Существует невырожденное двумерное гауссовское распределение с: нулевым вектором средних, плотность которого равна ß- , такое, что

- значение i -ой координаты точки ^(Т ^ос) , i=-f; 2 .

В третьем параграфе главы II приводится эквивалентная выписанной формулировка ЦПТ с помощью обобщенного марковского оператора Р и приводится её доказательство, которое использует принцип инвариантности для мартингалов /теорема П.Биллингсли [2б] / и результат теоремы 2.2. Это доказательство существенно короче предложенного в [7] .

В четвертом параграфе второй главы рассматривается бильярд с фиксированным расположением круговых рассеивателей /единичного радиуса/, центры которых находятся в узлах треугольной решетки /см. рис. I/. Расстояния между центрами соседних рассеивателей равны (Z+Vj) . Предполагается ~ 2 , что влечет конечность горизонта для бильярда в Og . Эта модель впервые была рассмотрена в [14] Дк.Махтой и Р.Цванцигом.

Разобьем область 0% на элементарные ячейки - криволинейные шестиугольники, конфигурация которых представлена на рис. I /заштрихованные области/. Естественным образом определяем центр элементарной ячейки. Значение функции J*j в точке осе М определяем как значение ос^ координаты центра элементарной ячейки, на границе которой лежит точка Х(х) ,

Рис. I

В четвертом параграфе второй главы исследуется коэффициент диффузии данной динамической системы, а точнее, такая функция » что Щк —->- при кавдом фиксированном : , где (Ы^Нн^^О •

Показано, что = о(№ для любого сколь угодно малого 0 положительного с?

Основные результаты диссертации опубликованы в [34, 35, Зб} . В работе [Зб] результаты, принадлежащие соискателю, составляют содержание § 2 - § 3, что отмечено в тексте статьи. В диссертации эти результаты излагаются в первом параграфе главы II. В работе [34] излагается результат, который является более сильным, чем основной результат второго параграфа первой главы диссертации.

По опубликованным работам сделаны доклады на семинарах по теории динамических систем на механико-математическом факультете МГУ и на конференции молодых ученых /МГУ, 1983 г./.

Автор выражает благодарность научному руководителю Я.Г.Синаю за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также Л.А.Бунимовичу за помощь при оформлении рукописи.

1. кошЬгИ.Д. TfoMwn ofrêâcbtonb -in сMetoMu bodw».-- Рюс. JfyMJL.Jcad.^QOf, ,5*5,604,

2. Синай Я.Г. Введение в эргодическуго теорию.- Ереван: изд-во Ереванского ун-та, 1973.

3. Синай Я.Г. Динамические системы с упругими отражениями.- Успехи мат. наук, 1970, т.25, № 2, с. I4I-I92.

4. Синай Я.Г. Эргодические свойства газа Лоренца.- Функц. анализ и его прил., 1979, т.13, вып.З, с. 46-59.

5. Ъушк fí., (judsvd dùurvib Т-Аиплуп fren Ш ^jcrwfárt Ргсхщ, \нл P^dwdcutiûyt T-fimy- . — Í92Z} fhejo-wdtf Mcubhmcdical ân^i'duuU (Hfl$), budapwb*

6. ЮгсипЛ Д., Ъ, ^ocal Т&тяглл,.J/° 54¡i984 of Ufcvbhwatical (НЙ$), budapeót.

7. Maokta J., 'Z.v^cuim^ R-. TXfjfaion a P&U&cUc ^ш^г 6c^.--rânAitUitie Цоъ Pb^Uml Всшгсл cond ТесЛпоЬшcfcl^cl, Co^Pojdk^^m^Z.P^Tbiwt.

8. Wojjj^l £. Оы Солi SWi frtom ^сгапЫcMocLfa.Jiotes in f. 33?-367.

9. Сш> 1(.^"Zwùfol RF, ^sUnzojt Ttouitfcrd ТШу,

10. РейеяЛ. R-. ¿омг $ùnf>à RsmanM. on ih¿ of "Vwo^mi Т-Ыш . — cúictuM jfoUb. Ъ\ Ph^ícL , 1374,

11. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин C.B. Эргодическая теория.-- М.: "Наука", 1980.

12. Синай Я.Г. Динамические системы со счетнократным лебегов-ским спектром. I,- Изв. АН СССР, сер. мат., 1961, т. 25,№ 6, с. 899-924.

13. Волковысский К.Л., Синай Я.Г. Зргодические свойства идеального газа с бесконечным числом степеней свободы.- Функц. анализ и его прил., 1971, т. 5, вып. 3, с. 19-21.

14. Юд1о dk РüÚjjjiM bîMwtd ВуЖшл., I, ТАеofr ihl <Motim 4 а РолЬЛ а Сот^ошЛ ûribncJL Retí.- JÍa^ja élatii. Jowui., , Vot* }f>. d- 51,

15. Резибуа П., Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов.- М.: "Мир", 1980.

16. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика.- М.: "Мир", 1978.

17. Бернштейн С.Н. Распространение предельной теоремы теории вероятностей на суммы зависимых случайных величин.- Успехи мат. наук, 1944, т. 10, с. 65-114.

18. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер.- М.: "Наука", 1977.

19. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры.- М.: "Мир", 1983.

20. Рохлин В.А., Синай Я.Г. Построение и свойства инвариантных измеримых разбиений.- Доклады АН СССР, 1961, т. 141, Р 5, с. I038-I04I.

21. Пинскер М.С. Динамические системы с вполне положительной и нулевой энтропией.- Доклады АН СССР, i960, т. 133, № 5, с. 1025-1026.

22. Синай Я.Г. Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы.- Функц. анализ и его прил., 1968, т. 2, вып. I, с. 64-89.

23. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том I. Функциональный анализ.- М.: "Мир", 1977.32. bwtin Я., Реалс^С. Spedha. о£ %гшп fkcKbudh ofr Ofsewt^ Ртсс. Лтт. JJLaJbk. £ос., 4966,41, р, 462 -166.

24. Синай Я.Г. Построение марковских разбиений.- Функц. анализ и его прил., 1968, т. 2, вып. 3, с. 70-80.

25. Ефимов K.M. Эргодические свойства взаимодействующего газа Лоренца.- Успехи мат. наук, 1981, т. 36, № 6, с. 215-216.

26. Ефимов K.M. Мартингальный метод доказательства центральной предельной теоремы для газа Лоренца. Депонирована в ВИНИТИ 13.07.83, № 3881-83 Деп.

27. Ефимов K.M., Синай Я.Г. Гидродинамические моды для газа Лоренца с периодической конфигурацией рассеивателей,- В кн.: Некоторые вопросы современного анализа, М.: изд-во МГУ,1984, с. 102-119.