Стационарные случайные блуждания на группах Ли и косые произведения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УПК 519.21

Липатов Максим Евгеньевич

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ГРУППАХ ЛИ И КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ 5 ДЕК 20)3

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

* г.:к 2013

Москва — 2013

005541779

005541779

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Оселедец Валерий Иустинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Буфетов Александр Игоревич

ведущий научный сотрудник Математический институт имени В. А. Стеклова РАН

доктор физико-математических наук, профессор

Рыжиков Валерий Валентинович

Московский государственный университет механико-математический факультет кафедра теории функций и функционального анализа

Ведущая организация: Институт проблем передачи информации

им. А. А. Харкевича РАН

Защита диссертации состоится 20 декабря 2013 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факуль- • тет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова (Ломоносовский пр-т, 27, сектор А, 8 этаж). Автореферат разослан 19 ноября 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук,

ПР0феСС0Р О&Г, В.Н.Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация относится к области эргодической теории и посвящена изучению коциклов над сохраняющими вероятностную меру автоморфизмами со значениями в различных группах Ли Q или, другими словами, стационарных случайных блужданий на Q. Коциклы над автоморфизмами со значениями в измеримых группах, действующих на измеримых пространствах, естественным образом порождают косые произведения, с рассмотрением которых тесно связано изучение коциклов.

Представляют интерес вопросы классификации коциклов относительно отношения когомологичности, среди которых отметим следующие:

• нахождение канонической формы, к которой можно привести произвольный коцикл со значениями в некоторой группе;

• исследование когомологичности коциклов со значениями в некоторой группе коциклам со значениями в подмножествах этой группы1,2'3,4,5,6;

• нахождение и исследование когомологических инвариантов коциклов6,7,8.

Главы 1 и 2 настоящей диссертации посвящены первому из обозначенных выше кругу вопросов. В этом направлении имеются следующие результаты. Циммером показано9, что любой коцикл со значениями в связной

1Zimmer R. J., Compactness conditions on cocycles of ergodic transformation groups, J. London Math. Soc. (2), 15:1 (1977), 155-163.

2Feldman J., Moore С. C-, Ergodic equivalence relations, cohomology, and von Neumann algebras. I,II, Trans. Amer. Math. Soc., 234:2 (1977), 289-359.

3Zimmer R. J., On the cohomology of ergodic group actions, Israel J. Math., 35:4 (1980), 289-300.

4Schmidt K., Amenability, Kazhdan's property T, strong ergodicity and invariant means for ergodic group actions, Erg. Th. Dyn. Sys. 1:2 (1981), 223-236.

'Рыжиков В.В., О когомологичности коциклов, отвечающих эргодическим косым произведениям, Функц. анализ и его прил., 30:1 (1996), 84—86.

6Arnold L., Nguyen Dinh Cong, Oseledets V.I., Jordan normal form for linear cocycles, Random Op. Stoch. Eq., 7:4 (1999), 303-358.

7Schmidt K., Cocycles of Ergodic Transformation Groups, Macmillan Lectures in Mathematics, 1, Macmillan Company of India, Delhi, 1977.

8Arnold L., Nguyen Dinh Cong, Oseledets V. I., The essential range of a nonabelian cocycle is not a cohomology invariant, Israel J. Math., 116:1 (2000), 71-76.

9Zimmer R. J., Induced and amenable ergodic actions of Lie groups, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 11:3 (1978), 407-428.

полупростой вещественной группе Ли G с конечным центром когомологи-чен коциклу со значениями в аменабельной подгруппе. Мур описал10 все максимальные аменабельные подгруппы в таких группах Q, удовлетворяющие так называемому условию изотропной связности, показав, что они представляют собой 2lkRö классов сопряженных подгрупп, два из которых - класс максимальных компактных подгрупп и класс минимальных параболических подгрупп. Справедливы также аналоги результатов Циммера и Мура для произвольных связных локально компактных групп10,11.

Рассмотрим случай G = GL(l,№). Из мультипликативной теоремы Оселедца12 (МЭТ) следует, что всякий линейный коцикл при определенном условии интегрируемости когомологичен блочно-диагональному коциклу, каждый блок на диагонали которого имеет одноточечный ляпуновский спектр.

В работе 6 для той же группы Q доказывается, что всякий коцикл когомологичен блочно-треугольному коциклу с неприводимыми блочно-конформными подкоциклами на диагонали. Данная теорема (о жордано-вой нормальной форме линейного коцикла) является уточнением МЭТ в том смысле, что позволяет уточнить структуру коцикла внутри подпространств Оселедца. При этом условие интегрируемости в ней не требуется. В работах Оселедца13 и Тьеллена14 аналогичные теоремы были получены при I = 2 с помощью метода барицентров. В первой главе настоящей работы с помощью этого метода мы получаем классификацию коциклов со значениями в полупростых группах Ли вещественного ранга 1 (по поводу классификации коциклов со значениями в группе Лоренца см. также работу Циммера15), а во второй главе обобщаем этот метод для получения вышеупомянутого результата статьи 6 и его комплексного варианта. В отличие от подхода, основанного на применении леммы Фюрстенберга6 (или ее аналога15), метод барицентров позволяет в явном виде найти сопрягаю-

10Мооге С. С., Amenable subgroups of semi-simple groups and proximal flows, Israel J. Math., 34:1-2 (1979), 121-138.

"Zimmer R. J., Ergodic theory and. Semisimple Groups, Birkhäuser, Boston Basel Stuttgart, 1984.

12Оселедец В. И., Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем, Тр. ММО, 19, 1968, 179—210.

"Oseledets V. I., Classification of GL(S,R)-valued cocycles of dynamical systems, Report 360, Institut für Dynamische Systeme, Universität Bremen, 1995.

14Thieullen Ph., Ergodic reduction of random products of two-by-two matrices, J. Anal. Math., 73:1 (1997), 19-64.

15Zimmer R.J., Ergodic Theory and the Automorphism Group of a G-Structure, in Group Representations, Ergodic Tbeory, Operator Algebras, and Mathematical Physics, Mathematical Sciences Research Institute Publications, в (1987), 247-278.

щую случайную матрицу, приводящую коцикл к каноническому виду.

В связи с проблемой классификации линейных коциклов следует также упомянуть следующие два результата: Гиваршем и Рожи доказано16, что «вполне неприводимые» коциклы с независимыми приращениями, удовлетворяющие условию интегрируемости из МЭТ, когомологич-ны блочно-диагональным коциклам с конформными блоками; по теореме же Оселедца-Песина об е-редукции17 всякий коцикл при условии интегрируемости когомологичен блочно-диагональному коциклу, блоки которого сколь угодно близки по норме к конформным.

В качестве примеров применения классификации коциклов можно привести доказательство «жесткости энтропии» для гладких действий простых групп Ли18; доказательство плотности множества коциклов с простым ляпуновским спектром в пространстве всех линейных коциклов с ¿"-нормой19; классификацию максимальных аменабельных подгрупп в GL(l, R)6.

В теории вероятностей хорошо изучено свойство возвратности случайных блужданий bR'c независимыми приращениями20. Глава 3 посвящена изучению «эргодического» аналога данного понятия — рекуррентности коциклов. Случай группы Ж1 рассматривался в работах 7,21,22,23,24,25,26,27^

,6Guivarc'h Y., Raugi A., Propriétés de contraction d'un semi-groupe de matrices inversibles. Coefficients de Liapunoff d'un produit de matrices aléatoires indépendantes. Israel J. Math., 65:2 (1989), 165-196.

17Barreira L., Pesin Y., Nonuniform Hyperbolicity: Dynamics of Systems with. Nonzero Lyapunov Exponents, Cambridge University Press, 2007.

18Furstenberg H., Rigidity and cocycles for ergodic actions of semisimple Lie groups (after G. A. Maigulis and R. Zimmer), Bourbaki Seminar, 559, 1979/80, Lecture Notes in Math., 842, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1981, 273—292.

19Arnold L., Nguyen Dinh Cong, Linear cocycles with simple Lyapunov spectrum are dense in L°°, Report 410, Institut für Dynamische Systeme, Universität Bremen, 1997.

20Спицер Ф., Принципы случайных блужданий, Мир, M., 1969.

21 Atkinson G., Recurrence of co-cycles and random walks, J. London Math. Soc. (2), 13:3 (1976), 486-488.

22Conze J.-P., Sur un critère de récurrence en dimension 2 pour les marches stationnaires, applications, Erg. Th. Dyn. Sys. 19:5 (1981), 1233-1245.

23Dekking P.M., On transience and recurrence of generalized random walks, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 61:4 (1982), 459-465.

24Schmidt K., On recurrence, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 68:1 (1984), 75-95.

"Schmidt К., On joint recurrence, C. R. Acad. Sei. Raris, Serie I, 327:9 (1998), 837-842.

2eGreschonig G., Schmidt K., Growth and recurrence of stationary random walks, Probab. Theor. Relat. Fields, 125:2 (2003), 266-270.

"Schmidt K., Recurrence of Cocycles and Stationary Random Walte, Lecture Notes-Monograph Series, 48 Dynamics & Stochastics (2006), 78-84.

группы SL(2,R) — в 14 и 28, группы верхних треугольных матриц — в 29. В главе 3 мы исследуем рекуррентность коциклов со значениями в полупростых группах Ли вещественного ранга 1.

Цель работы.

Цель диссертации — исследование стационарных случайных блужданий на группах Ли, а именно, классификация коциклов над эргодически-ми, сохраняющими вероятностную меру автоморфизмами со значениями в некоторых группах Ли и исследование свойства рекуррентности таких коциклов.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Получена классификация коциклов над эргодическими, сохраняющими вероятностную меру автоморфизмами со значениями в полупростых группах Ли вещественного ранга 1.

2. Для неприводимых GL(l, К)-значных (K=R, С) коциклов над эргоди-ческим, сохраняющим вероятностную меру автоморфизмом получена новая конструкция линейного покрытия носителей их эргодических инвариантных мер на KP'-1. С помощью нее найдено сопряжение, приводящее произвольный GL(l, К)-значный коцикл к жордановой нормальной форме, выражающееся через барицентры мер на границе симметрических пространств.

3. Доказана рекуррентность определенного класса коциклов со значениями в полупростых группах Ли вещественного ранга 1.

Методы исследования.

В работе использовались метод барицентров, методы эргодической теории, теории вероятностей, алгебры, элементы теории симметрических пространств и алгебраической геометрии.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы

280chs G., Oseledets V.l., On recurrent cocycles and the non-existence of random fixed points, Report 382, Institut für Dynamische Systeme, Universität Bremen, 1996.

MGreschonig G., Recurrence in unipotent groups and ergodic nonabelian group extensions, Israel J Math 147:1 (2005), 245-267.

могут найти применение в эргодической теории и теории случайных процессов.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах:

• Большой семинар кафедры теории вероятностей под рук. академика РАН А.Н. Ширяева (мехмат МГУ, 2012);

• семинар Добрушинской математической лаборатории ИППИ РАН под рук. д.ф.-м.н., в.н.с. М. Л. Бланка и д.ф.-м.н., профессора P.A. Мин-лоса (2013);

• семинар «Теория вероятностей и эргодическая теория» под рук. д.ф.-м.н., профессора Б.М. Гуревича, д.ф.-м.н., профессора В.И. Оселедца и д.ф.-м.н., профессора С.А. Пирогова (мехмат МГУ, неоднократно, 2009— 2012);

а также на конференциях

• Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, 2010, 2011, 2012);

• Международный симпозиум «Стохастика и ее видение» (Москва, 2010);

• XII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2011);

• II Международная конференция «Математика в Армении» (Цахкад-зор, Армения, 2013).

Работа автора поддержана грантом РФФИ № 11-01-00982а.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, в том числе 3 статьях в научных журналах, входящих в перечень ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет. Список работ приведен в конце автореферата [1-9].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и списка обозначений. Текст диссертации изложен на 68 страницах. Список литературы содержит 64 наименования.

Содержание работы

Дадим необходимые определения. Пусть ('Jl,!F, Р) - стандартное вероятностное пространство, Т - эргодический, сохраняющий меру автоморфизм Пи Q — топологическая группа, снабженная борелевской сигма-алгеброй. Всякая измеримая функция a:Sl-*Q порождает коцикл (над Т) — функцию Фа: Z х П -» G, заданную формулой

Фa(n,w) :=

o(Tn-1w)...a(Tw)a(w), nt 1, е, п = О,

a-J( T^.-.a^Cr-V), п<-1.

Соответствие а Фа взаимно однозначно, и мы будем говорить о коцикле а, имея в виду коцикл Ф0.

Коциклы о: Г2 5 и ->■ б называются когомологичными, если для некоторой измеримой функции с- П -*■ б имеем

Ь(ш) = с_1(Го;)а(ш)с(и)) Р-п.н.

Отметим, что последнее соотношение равносильно тому, что

Фь(п,ы) = с"1(Тп^)Ф0(п,а;)с(а;) Р-п.н.

для всех п е Z.

Одним из когомологических инвариантов коциклов является свойство их рекуррентности. Коцикл а:П -+ С называется рекуррентным, если для любого В € Т положительной меры и любой окрестности II нейтрального элемента группы 0 найдется тг € М, такое, что

Р(В п Т-"В п {Фа(п, и) € и}) > 0.

Если задано действие группы 0 на топологическом пространстве X, то коцикл а:П порождает косое произведение

Та:ПхХ ^ПхХ, (ы,х) (Ти,а(ы)х),

итерации которого имеют вид

= (Тпы,Фа(п,ш)х).

Удобно представлять себе эту динамическую систему на тривиальном расслоении Я хХ следующим образом: коцикл переводит точку х в слое {ш} х X в точку Фа(п,с<;)х в слое {Г"ш} х X.

Рассмотрим случай, когда Я = ОЬ{1,\К) и X = К'. Заметим, что если -»• Ы/(1, К) — матрица случайного оператора в паре базисов Г(ш) = {ЛИ} и £(Ти), и£:П-+ £?!/(/,К) — матрица того же оператора в паре базисов и g(Tш), то коциклы А и В когомологичны с сопрягающей матрицей С (и), являющейся матрицей перехода от базиса Г к д. Поэтому задача классификации С?£(/,К)-значных коциклов состоит в нахождении такого случайного базиса в слоях {ш} х К', для которого матрица соответствующего случайного оператора записывается в наиболее простом виде.

Если X — польское пространство, то для всякой вероятностной меры /хнаПхХс маргинальной мерой Р на П существует и притом Р-п.н. единственна ее факторизация относительно Р, т.е. случайная вероятностная мера ц. на X, такая, что для любого С е Т ® В(Х)

¿¿(С) = ^йД® е X : (и,х) е С}Р(с*ш).

Если ц — эргодическая инвариантная мера для Та, то ее факторизацию ц. мы будем называть эргодической инвариантной мерой на X коцикла а.

Перейдем к рассмотрению содержания диссертации.

Во введении приводится краткий обзор исследований, связанных с рассматриваемыми вопросами, и излагается содержание диссертационной работы.

Глава 1 посвящена классификации коциклов со значениями в группах Ли малых рангов. Основным результатом главы 1 является следующее утверждение:

Теорема 1.4.1. Всякий коцикл со значениями в связной полупростой группе Ли вещественного ранга 1 с конечным центром когомологичен коциклу а со значениями в одной из следующих подгрупп:

(¡) максимальная компактная; (и) минимальная параболическая;

(111) нормализатор главной векторной подгруппы А. Причем в этом случае коцикл ехр(г7г/{а(ш)^(л)}(-)) не когомологичен 1, где — централизатор А.

Для доказательства используется метод барицентров, который в данной главе мы также обобщаем для классификации СЬ(3, К)-значных коциклов (теорема 1.5.4). Здесь и ниже К — либо К, либо С.

В общем случае метод барицентров (по крайней мере, в том направлении, в котором мы его обобщаем) заключается в использовании Q-эквивариантности отображения, сопоставляющего вероятностной мере /л на геодезической границе У(оо) пространства Адамара У, на котором группа Q действует изометриями, ее барицентр Ь(ц) € У (при условии его существования и единственности), который определяется как точка, в которой достигается минимум функции

%:У-У, рм. [ b^x(p)Kdx),

JY{ оо)

где Ьро^х — функция Буземана. В качестве мер на границе мы рассматриваем эргодические инвариантные меры коциклов. Также в работе мы используем критерии существования единственного барицентра меры на границе симметрических пространств, полученные в 30 и 31.

Далее нам понадобится понятие неприводимости линейного коцикла. Случайное линейное подпространство U в К1 называется инвариантным относительно коцикла GL(l,K), если

U(Ты) = A(uj)U(uj) Р-п.н.

Из эргодичности автоморфизма Т следует, что размерность такого подпространства — константа. Коцикл А называется неприводимым, если не существует нетривиальных (т.е. имеющих размерность, отличную от 0 и I) случайных подпространств, инвариантных относительно А.

В главе 2 мы развиваем метод барицентров для доказательства следующего результата о классификации СЦ/,К)-значных коциклов при произвольном I.

Теорема 2.3.1. (К = R: 6) Всякий 0Ь(1,К)-значный коцикл ко-гомологичен блочно-треуголъному коциклу с неприводимыми блочно-конформными подкоциклами на диагонали

'АЫ(ш) ^

А(2>(ш)

)

_k 0

30Flüge R., Ruh, Е. A., Barycenter and maximum likelihood, Dig. Geom. Appl., 24:6 (2006), 660-669. 31Kapovich M., Leeb В., Millson J., Convex functions on symmetric spaces, side lengths of polygons and the stability inequalities for weighted configurations at infinity, J. Diff. Geom., 81:2 (2009), 297-354.

Л«(ы) =

О О

А(*\ . (ш)

1.---.9,

где а о -> — некоторые случайные перестановки и

Для доказательства мы используем следующее описание эргодических инвариантных мер коциклов, аналогичное полученному в 6.

Предложение 2.1.10. Для всякой эргодической инвариантной меры ¡1. на КР1'1 произвольного коцикла йЬ(1, К) существует измеримая

функция С:П -* ]К), такая, что для Р-п.в. ш е Г2

= С (и) Хм,

где Хм — мера Лебега на некоторой замкнутой орбите М с КР1'1 группы Н^Н(А) со связными компонентами одинаковой меры.

Здесь Н( А) — это так называемая алгебраическая оболочка коцикла А. Используя предложение 2.1.10, мы даем новую конструкцию линейного покрытия (по Циммеру) носителей эргодических инвариантных мер коциклов, которой посвящено следующее утверждение, ключевое при доказательстве теоремы 2.3.1.

Лемма 2.2.2. Пусть ц. - эргодическая инвариантная мера на КР1'1 неприводимого коцикла АО ОЬ(1,К). Тогда существуют случайные линейные подпространства СД,..., 1/т в такие, что

0) К 1 = ®Щы), «-1

(и) ^([[/¿И]) = а Р-п.н., (Иш Щы)

т т

(ш) и ЩТш) = Л(ш) и ^(ш) Р-п.н.,

1 < г < ш,

«=1

(¿у) для каждого подпространства 11{ Р-п.н. имеем /лы([£/]) < для всех нетривиальных линейных подпространств V с 1/{(и>).

Здесь [•] обозначает проективизацию ненулевого линейного подпространства в К'.

Так же, как в 6, мы приводим коцикл А к блочно-треугольному виду с неприводимыми подкоциклами ДМ, г = 1,на диагонали. По лемме 2.2.2 мы строим по эргодическим инвариантным мерам на КР1''1 коциклов ДМ соответствующие случайные подпространства и, выбирая согласованный с ними случайный базис £ переходим к «поднятым» С1/(с£,-,К)-значным коциклам А1^ с1ип И^) над расширенными ди-

намическими системами на П! х {1,... с инвариантными мерами ¡¿^ на КР4-1, построенными по Заметим, что проективное пространство КР^"1 единственным образом можно РвДс^, К)-эквивариантно вложить в РСЬ(й;,К)/Р{7(с^г,К)(оо). При этом отождествлении барицентры

п.н. существуют и единственны, и если СГ'г:П х {1,..., т;} -* СЬ(с?г-,К) — такие измеримые функции, что

то коцикл А приводится к каноническому виду с помощью сопрягающей матрицы

СМс^С^, 1),..., ГШ),..., С1'*(ш, 1),..., С1'ч(и,тя)),

где С — матрица перехода от стандартного базиса к базису

Для элемента д связной полупростой группы Ли 0 вещественного ранга 1 обозначим ~Фа{я) '■= 1п(Ф^(д)) е а = К, где Ф.д(д) — элемент главной векторной подгруппы А с <3 в разложении Ивасавы элемента д и а — алгебра Ли группы А. В главе 3 доказывается следующее утверждение.

Теорема 3.2.1. Коциклы, когомологичные коциклам со значениями в подгруппе типа (111) в теореме 1.4.1, для которых Фл(а(-)) е ¿^Р) и коцикл ехр(г7г/{й(ш)^(Л)}(')) не когомологичен 1, рекуррентны.

Для доказательства используется критерий консервативности косых произведений.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору Валерию Иустиновичу Оселедцу за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор также признателен профессору Эрнесту Борисовичу Винбергу и доценту Дмитрию Андреевичу Тимашеву за полезные консультации.

Работы автора по теме диссертации

[1] Липатов M. Е., К вопросу о классификации линейных коциклов над эргодическими автоморфизмами, Вести. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., механ., 2013, № 2, 39-42.

[2] Липатов M. Е., Классификация коциклов над эргодическими автоморфизмами со значениями в группе Лоренца. Рекуррентность коциклов, Мат. заметки, 93:6 (2013), 869-877.

[3] Липатов M. Е., Рекуррентность матричных коциклов, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., механ., 2010, № 5, 61-64.

[4] Липатов M. Е., Классификация коциклов над эргодическими автоморфизмами со значениями в полупростых группах Ли ранга 1, деп. в ВИНИТИ, 10.12.12, № 444-В2012, 19 с.

[5] Липатов M. Е., Возвратность случайных блужданий на группе Лоренца и редукция матричных коциклов, Обозр. прикл. и промышл. матем., 18:3 (2011), 448-449.

[6] Липатов M. Е. Жорданова форма ЗЬ(2,С)-значных коциклов, Тезисы докладов секции «Математика и механика» конференции «Ломоносов-2010», Москва, 2010, 1.

[7] Липатов M. Е. Классификация 8Ь(3,С)-значных коциклов над эргодическими автоморфизмами, Тезисы докладов секции <гМатематика и механика» конференции <?Ломоносов-2011», Москва, 2011, 1.

[8j Липатов M. Е. Линейные коциклы над эргодическими автоморфизмами и барицентры мер на границе симметрических пространств, Тезисы докладов секции «Математика и механика» конференции «Ломоносов-2012», Москва, 2012, 1.

[9] Lipatov M. Classification of linear cocycles: barycenter method, Abstracts of Communications of the 2nd Int. conférence "Mathematics in Armenia: Advances and Perspectives", Yerevan, 2013, 98-99.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ • Тираж ¡СО экз. Заказ № 56

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

04201450265 УДК 519.21

Липатов Максим Евгеньевич

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ГРУППАХ ЛИ И КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Специальность 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В. И. Оселедец.

Москва 2013

Оглавление

Список обозначений 4

Введение 6

1 Классификация коциклов со значениями в группах Ли малых рангов 16

1.1 Симметрические пространства и геодезическая граница ... 16

1.2 Барицентры мер на геодезической границе симметрических пространств........................................................19

1.3 Эргодические инвариантные меры коциклов ..................23

1.4 Классификация коциклов со значениями в полупростых группах Ли вещественного ранга 1..............................27

1.5 Классификация СЬ(3, К)-значных коциклов..................32

2 Классификация линейных коциклов 39

2.1 Структура эргодических мер....................................39

2.2 Линейное покрытие эргодической инвариантной меры неприводимого коцикла..........................................43

2.3 Классификация СЬ(1, К)-значных коциклов ..................50

3 Рекуррентность коциклов 55

3.1 Рекуррентность и ее свойства....................................55

3.2 Рекуррентность коциклов со значениями в полу простых

группах Ли вещественного ранга 1............... 57

Список литературы 61

Список обозначений

:= — «положить по определению»

# — мощность множества

mod 0 — «с точностью до множеств меры О»

В(Х) — борелевская tr-алгебра на топологическом пространстве X

/дМ — индикатор измеримого множества Д

Р(Х) — множество борелевских вероятностных мер на X

supp fi — носитель меры д

N — множество натуральных чисел

Z — кольцо целых чисел

Zn — кольцо целых чисел по модулю п

Ж — поле вещественных чисел

С — поле комплексных чисел

Н — тело кватернионов

О — алгебра октонионов

¥LPn — n-мерное проективное пространство над полем К.

Sn — группа перестановок п элементов

Ad — присоединенное представление группы Ли

ad — присоединенное представление алгебры Ли

Qx — стабилизатор точки х в группе Q

Ng(S) — нормализатор в группе Q множества S С Q

Zg(S) — централизатор в группе Q множества S С Q

© — прямая сумма линейных пространств

(g) — прямое произведение сг-алгебр

tx — полупрямое произведение групп

е — единица группы

Id — тождественный оператор, единичная матрица

ТХМ — касательное пространство многообразия М в точке х span — линейная оболочка

tr, det — след и определитель линейного оператора или матрицы

Введение

Пусть (О, -7-", Р) - стандартное вероятностное пространство, Т -эргоднческий, сохраняющий меру автоморфизм О, и @ — некоторая топологическая группа, снабженная борелевской сигма-алгеброй. Всякая измеримая функция а: Г2 —> 0 порождает коцикл (над Т) — функцию Фа: Ъ х П —> С, заданную формулой

Ф0(п,ш) := <

a{Tn-lu)...a{Tu)a{oj), п > 1, е, п — О,

a~l{Tnuj)...a-l{T-luj), п < -1,

являющуюся тем самым случайным блужданием на группе Q с приращениями, образующими стационарную последовательность. Соответствие а н-> Фа взаимно однозначно, и мы будем в дальнейшем говорить о коцикле а, имея в виду коцикл Фа.

Естественным примером GL(l,M)~значного коцикла, в случае, когда Q, — гладкое ¿-мерное многообразие и Т — диффеоморфизм является касательный коцикл, для заданной тривиализации касательного расслоения mod 0 определенный формулой Ф(п, ш) = ОшТп.

Определение 0.0.1. Коциклы а: П —> Q и b: —» Q называются ко гомологичными, если для некоторой измеримой функции с: f2 —> Q

имеем

Ь(ш) = с~1(Тш)а(и)с(ш) Р-п.н.

Отметим, что последнее соотношение равносильно тому, что

Фь{п, ш) = с-1 (Тпи})Фа(п, и)с(со) Р-п.н.

для всех п Е Ъ. Множество примеров когомологических рассмотрений в эргодической теории можно найти в [38].

Если задано действие группы 0 на топологическом пространстве X, то коцикл а: О, —> 0 порождает косое произведение

Та:Пх X Х: (Тси, а(и)х),

итерации которого имеют вид

Т2{и>,х) = {Тпш1Фа{п,и)х).

Отметим, что если коциклы а: П —> 0 и Ь: О, —> <3 когомологичны с сопрягающей функцией с, то косые произведения Та и Тъ измеримо изоморфны с изоморфизмом

с: П х X —>• О х X, (си,х) н-> (а;, с(ы)ж),

т.е.

Ть = сГ1Тас.

Удобно представлять себе динамическую систему Та на тривиальном расслоении х X следующим образом: коцикл переводит точку х в слое {и} х X в точку Фа(п,ш)х в слое {Тпи)} х X.

Если X — польское пространство, то всякая вероятностная мера д на П х X с маргинальной мерой Р на П допускает разложение ц(с1и, ¿х) = Р((1и))цш((1х), и в случае, когда ц — эргодическая инвариантная мера

для Та, случайную вероятностную меру /I., определеную Р-п.н. однозначно, мы будем называть эргодической инвариантной мерой на X коцикла а.

В эргодической теории представляют интерес вопросы классификации коциклов относительно отношения когомологичности, среди которых отметим следующие:

• нахождение канонической формы, к которой можно привести произвольный коцикл со значениями в некоторой группе;

• исследование когомологичности коциклов со значениями в некоторой группе коциклам со значениями в подмножествах этой группы [4, 13, 29, 43, 50, 55];

• нахождение и исследование когомологических инвариантов коциклов [13, 14, 44].

Главы 1 и 2 настоящей диссертации посвящены первому кругу вопросов. В этом направлении имеются следующие результаты. Циммером показано [54], что любой коцикл со значениями в связной полупростой вещественной группе Ли 0 с конечным центром когомологичен коциклу со значениями в аменабельной подгруппе. В статье [40] Мур описал все максимальные аменабельные подгруппы в таких группах О, удовлетворяющие так называемому условию изотропной связности, показав, что они представляют собой классов сопряженных

подгрупп, два из которых - класс максимальных компактных подгрупп и класс минимальных параболических подгрупп. Заметим, что справедливы аналоги результатов Циммера и Мура для произвольных связных локально компактных групп 0 [40, 52].

Рассмотрим случай 0 = СЬ(1, К), где К — либо К, либо С. Заметим, что если А : О, —»■ СД/, К) — матрица случайного оператора в паре

базисов f(tt>) = {/г(сй)} и f(TcLi), и В: Q, —>• GL(l,K) — матрица того же оператора в паре базисов g(cj) и g(Tcj), то коциклы А и В когомологичны с сопрягающей случайной матрицой С(ш), являющейся матрицей перехода от базиса f Kg. Поэтому задача классификации GL(l, К)-значных коциклов состоит в нахождении такого случайного базиса f(cj) в слоях {w} х для которого матрица соответствующего случайного оператора записывается в наиболее простом виде.

По мультипликативной эргодической теореме Оселедца (МЭТ) [2] для всякого коцикла А: Г2 —> GL(l,M.), такого, что

log+H^COlleL^P), (o.o.i)

на инвариантном множестве полной Р-меры существуют характеристические показатели Ляпунова Xi < • • • < Хт коцикла А кратностей d\,..., dm,1 Yl^i = I (набор {(Xu di), г = 1,..., т} называется ляпуновским спектром коцикла А), и случайные подпространства иг размерностей dt, г = 1,...,т (подпространства Оселедца), такие, что Rl = C/iH ф ... 0 ит(ш), иг(Ти>) = А(и)иг(со) и

lim - In ||An(w)a;|| = Хг x e KM/~K-i(w),

n—>±oo Tl

где V0(u>) := {0} и Vt(cj) ■= Ui{uS) © ... © иг(cj), г — 1,..., m. При переходе к случайному базису f, согласованному с подпространствами Оселедца матрица случайного оператора А приводится к блочно-диагональному виду diag(ßi(o;),..., Bm(oj)). Более того, если составить базис f из ортонормированных случайных базисов подпространств Оселедца, то для каждого блока Вг(со) будет выполняться утверждение МЭТ и он будет иметь ляпуновский спектр {(Хг,<^г)} ([II])- Таким образом,

и dt не зависят от ш в силу эргодичности Т

при условии интегрируемости (0.0.1) задача классификации линейных коциклов сводится к случаю одноточечного ляпуновского спектра.

В работе [13] для той же группы доказывается, что произвольный коцикл когомологичен блочно-треугольному коциклу

*

V

о

с неприводимыми блочно-конформными подкоциклами

/ \

А® {и) =

0 0

. А

0

(0

СГг(ш)тг,т

и

V

, г = 1, . . . ,q,

/

на диагонали. Здесь сг^: Г2 —> Smi — некоторые случайные перестановки и

е {А Е GL{dh R) : ААТ = aid, a > 0}.

Данная теорема (теорема о жордановой нормальной форме линейных коциклов) является уточнением МЭТ в том смысле, что позволяет уточнить структуру коцикла внутри подпространств Оселедца. При этом выполнение условия (0.0.1) в ней не требуется. В работах [42, 48] аналогичные теоремы были получены при I — 2 с помощью метода барицентров. В первой главе настоящей работы с помощью этого метода мы получаем классификацию коциклов со значениями в полупростых группах Ли вещественного ранга 1 (по поводу классификации коциклов со значениями в группе Лоренца см. также [53]), а во второй главе

обобщаем этот метод для получения вышеописанного результата статьи [13] и его комплексного варианта. В отличие от подхода в [13] и [53], основанного на применении леммы Фюрстенберга и некоторого ее аналога соответственно, метод барицентров позволяет в явном виде найти сопряжение, приводящее коцикл к каноническому виду. В общем случае метод барицентров (по крайней мере, в том направлении, в котором мы его обобщаем) заключается в использовании (у-эквивариантности отображения, сопоставляющего вероятностной мере ¡1 на геодезической границе У(оо) пространства Адамара У, на котором группа 0 действует изометриями, ее барицентр Ь(/1) £ У (при условии его существования и единственности), который определяется как точка, в которой достигается минимум функции

JY(oo)

где х — функция Буземана. Такие барицентры и усреднения функции Буземана по мере на границе использовались при изучении других вопросов, например, в [18, 22, 27, 31, 37, 51]. В настоящей диссертации применяются критерии существования единственного барицентра меры на границе некомпактного симметрического пространства, полученные в работах [31, 37]. В качестве мер на границе мы рассматриваем эргодические инвариантные меры коциклов.

В связи с проблемой классификации линейных коциклов следует также упомянуть следующие два результата: Гиваршем и Рожи доказано [35], что «вполне неприводимые» коциклы с независимыми приращениями, удовлетворяющие условию интегрируемости 0.0.1, когомологичны блочно-диагональным коциклам с конформными блоками; по теореме же Оселедца-Песина об е-редукции (см., напр., [17]) всякий коцикл при условии интегрируемости когомологичен блочно-диагональному коциклу,

блоки которого сколь угодно близки по норме к конформным.

В качестве примеров применения классификации коциклов можно привести доказательство «жесткости энтропии» для гладких действий простых групп Ли [30]; доказательство плотности множества коциклов с простым ляпуновским спектром в пространстве всех линейных коциклов с 1/°°-нормой [12]; классификация максимальных аменабельных подгрупп в GL{l,R) [13].

В главе 3 изучается свойство рекуррентности коциклов, которое в случае, когда Q — группа Ли, в силу нашего предположения об инвариантности меры Р равносильно ([46]) условию

lim р(Фа(п,и;),е) = 0 Р-п.н.,

п—>оо

где р — левоинвариантная риманова метрика на Q, т.е. возвратности соответствующего случайного блуждания в смысле теории вероятностей. Возвратность случайных блужданий с независимыми приращениями в группе R' хорошо изучена (см., напр., [5]). Общий случай стационарных случайных блужданий/коциклов для группы Ш1 исследовался в работах [15, 24, 26, 34, 44, 45, 46, 47], для группы SL{2,М) - в [41, 48], группы верхних треугольных матриц — в [33]. В главе 3 мы изучаем рекуррентность коциклов со значениями в полупростых группах Ли вещественного ранга 1.

Опишем более подробно содержание диссертации. Основным результатом главы 1 является следующее утверждение о классификации коциклов.

Теорема 1.4.1. Всякий коцикл со значениями в связной полупростой группе Ли вещественного ранга 1 с конечным центром когомологичен коциклу а со значениями в одной из следующих подгрупп:

(I) максимальная компактная;

(II) минимальная параболическая;

(III) нормализатор главной векторной подгруппы А. Причем коцикл ехр(г7г 1{а(ш)$г(А)}(')) не когомологичен 1, где 2{А) — цент,рализатор А.

Для доказательства используется метод барицентров, который в данной главе мы также обобщаем для классификации СЬ(3, К)-значных коциклов, где К = М, С (теорема 1.5.4).

В главе 2 мы развиваем метод барицентров для доказательства теоремы о жордановой нормальной форме К)-значных коциклов

при произвольном I (теорема 2.3.1). Мы используем следующий вариант описания эргодических инвариантных мер коциклов (ср. [13]).

Предложение 2.1.10. Для всякой эргодической инвариантной меры ц. на КР1~1 произвольного коцикла А: П —> 0,(1, К) существует измеримая функция С: О, СЬ(1,К), такая, что для Р-п.в. ио Е Г2

Дш = С(и))\м,

где Хм — мера Лебега на некоторой замкнутой орбите М С КР1-1 группы % £ 1~(.{А) со связными компонентами одинаковой меры.

Здесь 'Н(А) — это так называемая алгебраическая оболочка коцикла А. Используя предложение 2.1.10, мы даем новую конструкцию линейного покрытия носителей эргодических инвариантных мер коциклов, которой посвящено следующее утверждение, ключевое при доказательстве теоремы 2.3.1.

Лемма 2.2.2. Пусть ц. - эргодическая инвариантная мера на КР1~г

неприводимого коцикла А: О, —> С1/(/,К). Тогда существуют случайные линейные подпространства ..., ит в такие, что

т

О) К1 = ®иг(и>),

г=1

(п) цш(\иг{и)]) = ^ Р-п.н., сМт[/г(и;) = 1 < % < т,

т т

(Ш) и и^Тш) = А{ш) и ад Р-п.н.,

1=1 1=1

(пг) для каждого подпространства 17г Р-п.н. имеем /1ш([и]) < А1™и для всех нетривиальных линейных подпространств 17 С иг(и).

Здесь [•] обозначает проективизацию ненулевого линейного подпространства.

Так же, как в [13], мы приводим коцикл А к блочно-треугольному виду с неприводимыми подкоциклами А^г\ г = 1,...,£/, на диагонали. По лемме 2.2.2 мы строим по эргодическим инвариантным мерам ц^ на КР1*~1 коциклов А^ соответствующие случайные подпространства

(г)

и^ и, выбирая согласованный с ними случайный базис f, переходим к «поднятым» СЬ(с1г, К)-значным коциклам А{'г (дг := (Ит С/^) над расширенными динамическими системами на х {1 ,...,шг} с инвариантными мерами Д^ на КР^1-1, построенными по Заметим, что проективное пространство Кединственным образом можно РСгЬ(с?г, К)-эквивариантно вложить в РСЬ(с?г, К)/РС/(с?г, К)(оо). При этом отождествлении барицентры 6(Д^}) е РСОД, К)/Р£/(йг, К) существуют и единственны, и если С{л: П х {1,...,?тгг} —> <21/(с£г,К) — такие измеримые функции, что = [С{'г(си, ])]Р11(с1г,К), то

коцикл А приводится к каноническому виду с помощью сопрягающей матрицы

СМс^С''1^, 1),..., С{>\со, т\),С{«(и, 1),..., тя)),

где С — матрица перехода от стандартного базиса к базису i.

Для элемента д связной полупростой группы Ли <5 вещественного ранга 1 обозначим фл{9) := 1п(Ф.д(<7)) Е а = М, где ~ элемент

главной векторной подгруппы А С Я в разложении Ивасавы элемента д и а — алгебра Ли группы А. В главе 3 доказывается следующее утверждение.

Теорема 3.2.1. Коциклы, когомологичные коциклам со значениями в подгруппе типа (ш) в теореме 1.4.1, для которых ф_А.(а(-)) 6 Ь1(Р) и коцикл ехр(г7г 1{а(ш)£г(А)}(')) не когомологичен 1, рекуррентны.

Для доказательства используется критерий консервативности косых произведений.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору Валерию Иустиновичу Оселедцу за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор также признателен профессору Эрнесту Борисовичу Винбергу и доценту Дмитрию Андреевичу Тимашеву за полезные консультации.

Глава 1

Классификация коциклов со значениями в группах Ли малых рангов

1.1 Симметрические пространства и геодезическая граница

Напомним, что группа Ли называется полупростой, если в ней нет нетривиальных максимальных связных разрешимых нормальных подгрупп. Центр полупростых групп всегда дискретен. Пусть 0 — некомпактная связная полупростая вещественная группа Ли с конечным центром и /С — ее максимальная компактная подгруппа. Пусть д и £ — соответствующие алгебры Ли. На д определена невырожденная билинейная форма — форма Киллинга: {Х,У) 1;г(ас1 X о аёУ). Пусть р — ортогональное дополнение в д к ! относительно формы Киллинга. Рассмотрим многообразие смежных классов О/1С с действием группы

О на нем левыми сдвигами. Всякое А(1^(/С)-инвариантное положительно определенное скалярное произведение на Те/с^//С = р порождает на пространстве О/1С ^-инвариантную риманову структуру, для которой оно является римановым симметрическим пространством некомпактного типа (далее будет предполагаться зафиксированной одна из таких структур)1. Причем всякое симметрическое пространство ^ некомпактного типа возникает описанным способом: на 5" транзитивно действует изометриями некомпактная полупростая группа Ли 0, и для фиксированной точки х Е Б пространство Б изометрично отождествляется с Я/1С, где /С — посредством отображения дх > д!С. (По поводу теории симметрических пространств мы отсылаем к [7, 20, 28].) В каждой точке пространство О/1С имеет неположительную секционную кривизну. Геодезические, исходящие из точки доК имеют вид до ехр(£Х)/С, X Е р, где ехр: 0 —> £ — экспоненциальное отображение.

Размерность всякого максимального абелева подпространства а в р или, что то же, размернос�