Произведение случайных матриц и случайные блуждания в случайной среде тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова Механико-млтемпти чсскиП факультет

Г Г Б ОД

На правах рукописи

г •

1 ' П ) 5

Летчиков Андрей Владимирович

УДК 519. 2

ПРОИЗВЕДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ И СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

(01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Моекпн 1995

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты :

доктор физико-математических наук, профессор А.М.Вершик, доктор физико-математических наук, . профессор Р.А.Минлос, доктор физико-математических наук, профессор В.И.Оселедец.

Ведущая организация :

Международный институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН.

Защита диссертации состоится 1996 года

в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу : 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан _ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ

профессор Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Г. Фюрстенберг fl} и В.Н. Тутубалин [2] доказал;», что к нронзпеде-нням независимых одинаково распределенных на группе вещественных унимодулярпых матриц случайных матриц применимы усиленный закон больших чисел, центральная предельная теорема и локальная предельная теорема при условий, что матрицы имеют абсолютно непрерывное относительно меры Хаара распределение. Предельное поведение таких произведений случайных матриц размера 2 х 2 при больших уклонениях было исследовано С.К. Нечаевым и Я.Г. Синаем [3], показавшими, что соответствующие условные распределения при условии, что произведение случайных матриц ограничено, слабо сходятся к распределению некоторого броуновского моста.

Другой подход к произведениям случайных матриц был предложен В.И. Оселедцем [4], доказавшим мультипликативную эргодическую теорему ^— новый вариант уенленпого закона больших чисел для произведений случайных Матриц. Важный шаг в научных исследованиях в этом

[1] Furstenberg Н. Non-commuting random products. •—Trans. AMS, 1963, vol. 103, p. 377-428. •

[2] Тутубалш! В.Н. О предельных теоремах для произведений случайных матриц. — Теория вероятностей н ее применения, 1885, т. 10, вып. 1, •. 19-32. ■ \ - ; • .-,:. . \ • '■

{3} Nechaev S.K., Sinai Ya.G. Limiting-type tkeorem for conditional [istributions of products of independent mümodular 2 x 2 matrices. — W.Soc.Bras.Mat., 1991, vol. 21, no 2, n. 121-132.

[4] Оселедец В.й. Мультипликативная эргодичсская теорема. Хпрак-ермстическпс показатели Ляпунова динамических систем. — Тр.Моск. [ат.об-ва, 1963^ т. 19, с. 179-210. V

направлении был сделан И.Я. Гольдшейдом и Г.А. Маргулпсом [5], рассматривавшими группу вещественных невырожденных матриц как алгебраическую группу с заданной на ней топологией Зарнсского. Основной результат, который они доказали, состоит и том,что если алгебраическое замыкание (и топологии Зарнсского) полугруппы, порожденной носителем распределения случайной матрицы, совпадает со всей группой, то все показатели Ляпунова (точное определение см. шоке) последовательно-(пи независимых случайных матриц различны. Возникает естественный вопрос о применимости центральной, локальной и услошюй предельных теорем к ироизледениям случайных матриц при условии Гольдшейд.ч-Маргулнса, Большой интерес имеет также исследование поведения ля-пуновских функций произведешь! независимых случайных матриц.

Третья глава посвящена той части теории неупорядоченных систем, которая называется теорией случайных блужданий в случайных средах. Г. Кестеном, М.В. Козловым, Ф. Синтдсром [б] и Я.Т. Синаем [7] было установлено, что асимптотические свойства случайных блужданий в слу- ' чайных средах существенно отличаются от предельного поведения классических случайных блужданий. Ими была рассмотрена простейшая модель одномерных блужданий, когда частица сдвигается за единицу времени только в соседние точки. Здесь актуальным является вопрос об асимптотическом поведении более общей модели одномерных случайных блужданий в случайной среде, когда частица может совершать ограниченные нрыжкн.

[5] Гольдшейд II.Я., Маргулис Г.А. Показатели Ляпунова произведения случайных матриц. — Успехи математических наук, 1989, т. 44, вып. 5. с. 13-59.

[6] Kesten Н.. Kozlov M.V., Spitzer F. A limit law for random walks in a random environment. — Compos.Math., 1975, vol. 30, no 2, p. 145-168.

{7j Синай Я.Г. Предельное поведение одномерного случайного блуждания в случайной среде. —- Теория вероятностей и ее применения. 1952. г. 27. вын. 2. с. 247-258.

Известно, что случайные блуждания а неслучайных периодических средах имеют классическое поведение и удовлетворяют центрально« предельной теореме. Интересен вопрос о предельном поведении случайных блужданий на квазипериоднческпх структурах, возникающих, в ряишч-ных задачах физики, например, в теории квазикрпсталлов.

Цель работы состоит

1) в получении предельных теорем для произведений независимых упимодулярных случайных матриц при условии Гольдшсйда-Маргулпса;

2) в исследовании асимптотических свойств ляцуновскпх функции, соответствующих средним показателям Ляпупова произведений независимых невырожденных случайных матриц;

3) в доказательстве предельных теорем для одномерных случайных блуждаппй в случайных средах, когда частица совершает ограниченные скачки;

4) в получении условий на квазппернодическую среду, при которых случайное блуждание имеет некласспческое предельное поведение.

Научпая повизпа. Все результаты диссертации являются новыми. В первой главе доказать усиленпый закон больших чисел, цетрат.-пая, локальная и условная Предельная теоремы для произведений иг зависимых упимодулярных случайных матриц в. координатах Ин.чсаны при условии Гольдшейда-Маргулпса. Во второй главе получены принцип инвариантности почти наверное я, как его следствия, функниональ-. пая центральная предельная теорема и закон повторного логарифма для пронзпедепий независимых невырожденных случайных матриц п их-ля-' пуповскцх функций при условии абсолютной Непрерывности распун деления относительно меры Хаара.

В третьей главе проведено полное исследование предельного попеде-ння одномерных' случайных блужданий и случайной гроде, когда разМеры скачков блуждающей частицы ограничены. Здесь выписан критерий возвратности в терминах показателей Ляпунова последовательности соответствующих случайных матриц. Получены необходимое и достаточное условие для эффективного линейного сноса и условия применимости

цеш ралыю!! предельной теоремы для невозвратных случайных блужданий в случайной среде. Показано, что при условии возвратности траектории случайных блужданий в случайной среде х(1) нрн £ —* +оо растут как 1а2 Для таких блужданий исследовано асимптотическое поведение х (() в смысле сходимостей по вероятности и почти наверное. При этом использованы результаты второй главы. В четвертой главе описан класс одномерных квазикристаллов, случайное блуждание в которых имеет неклассическое поведение. 1

Практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результат!,I могут быть использованы в различных областях теории неупорядоченных систем. Решение задач с первых двух главах, связанных с произведениями независимых случайных матриц, имеют достаточно лшого .мотивировок. Это вопросы о поведении энергии светового импульса при прохождении через световод со случайными дефектами, теорем ы о точечпости спектра операторов типа Шредипгера со случайным потенциалом, проблемы поведения электромагнитных процессов в^ гндромагпитных полях, динамо-теоремы о магнитных полях в проводящих средах, вопросы переноса тепла в случайных потоках жидкости, а также проблемы асимптотики решений бесконечной системы разностных уравнений со случайными коэффициентами. Решение проблем, связанных с поведением случайных блужданий в случайных средах, имеют при-. менопие в различных областях науки таких, как биофизика, кристаллография, физика металлов, физика фракталов и конденсированных сред, оптика, радиоспектроскопия, а также биология и химия. Результаты четвертой главы могут быть использованы для построения кваэикристал-Лд, в котором диффузия (например, окисление) происходит аномально медленно. " • \

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах по динамическим системам и статистической физике на механики-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова 11987 1995 гг.), по теории вероятностей Санкт-Петербургского отделения математической» института РАН (1988, 1995 гг.), на конференции но

прикладным вопросам теории вероятностей (Москва', 19S7 г.), па конференциях молодых ученых МГУ (1987-1988, 1992-1994 гг.), ira Ломоносовских чтениях в МГУ (1988 г.), на Пятой Вильнюсской ме;клународной конференции по теории вероятностей и математической статистике (19S9 г.), на Лаврептьепскнх чтениях (г. Новосибирск, 1990 г.), на семинаре rio динамическим системам в Стокгольмском королевском техническом институте (Швеция, 1993 г.), на международных конференциях но квантовом}' хаосу и неупорядоченным системам (г. Москва, 1994 г.), на конференции по квантовому хаосу в Хебрю университете (г. Иерусалим, Израиль, 1995 г.), на семинарах по теории вероятностей и Мюнхенском а Хайдельбергском университетах (Германия, 1995 г.). По результатам диссертации автор получил первую премию в Конкурсе молодых ученых МГУ за 1994 г.

Публикации. Все результаты диссертации опубликованы и доказаны в восьми работах автора, список которых приведен и конне реферата

М]. ■: ' :

Структура диссертации. Диссертация состоит из ¡¡ведения и четырех глав, изложенных па 183 страницах, и содержит библиографию 139 наименований. '

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Введение содержит необходимые определения, обзоры литературы ж> соответствующей тематике п формулировки результат»!), доказанных в диссертации.

В первой главе мы рассматриваем группу G — SL(m,R) иещестнеи-ных ушшодулярных матриц размера т х т (т $5 2) и последовательность независимых случайных элементов gi,£í2> ■ • ■ ,í/„, • • определенных на некотором зероятностиом пространстве ((}, F, Р) и имеющих одинаковое распределение ц па G. Объектом нашего исследования будот нропз-педение д(п) = gig2 ... дп.

Выделим следующие подмножества группы G :

j '

Z = { г } — подгруппу верхних треугольных матриц с единицами на диагонали,

D = {d f — подгруппу диагональных матриц с положительными эле-мсп гам и иа диагойали ( каждый элемент d. этой группы задается диаго- . начьнымн координатами (di,...dm) ),

U — {и} —подгруппу ортогональных матриц,

V = {и} — конечную подгруппу диагональных ортогональных матриц.

В силу разложения Ивасавы любой элемент из G представим в виде следующего произведения :

д = z(g)d(g)u(g), ■ (1)

где z(g) € Z, d(g) б D, и(д) £ U. Заметим, что в силу единственности разложение Ивасавы (1) существуют функции z : G —* Z, d : G D, и : G - U. •

Пусть Y = V\U — однородное пространство левых смежных классов группы U по подгруппе V, Нетрудно убедиться, что для всех и б У и у € G в разложении Ивасавы (1) d{vg) — d{g) и u(vg) — vu(g). Поэтому для каждого д G G можно определить действие группы G па Y \у уд по правилу : ид = z(ug)d(ug)u{ug), и £ у, уд — проекция и(ид) из U и У. Тогда случайная последовательность {дп } определяет однородную цепь Маркова {уп,п — 0,1,...} на Y по правилу : уп = yn-i9n, • где уо — произвольная случайная величина, не зависящая от последовательности {<?„}. Следуя Г. Фюрстспбергу [1], назовем такую марковскую цепь /I-блужданием па Y. Заметим, что в силу группового действия уп — ya~yi ■ ■ -Ип = УоПоследняя величина зависит только or ;/о,Дь • • •, g„ и не зависит от gn+i- Поэтому последовательность {(t/n-i,.<Уп))п = 1,2,..:} также-образует однородную цепь Маркова на Г X G. . _ . • . _..VV.\ ■ " , - ,[. .

Пус гь f{g) — вектор, составленный из логарифмов диагональных эле- . "ментов матрицы d(g) г,\ . "■ .

' /,(.'/) = Ь ''а:(<7). (2) ,

В силу упимодулярности g f(g) принадлежит гиперплоскости Г -{у ß Km : 7i + 72 + •• • + 7m = 0}. Обозначим S(n) - f(g(n)). Кпк уже было замечено, /(«g) = J {vug) зависит только' от класса у, которому принадлежит it. В силу этого нетрудно убедиться, что функция оц-{у,д) = fk{ug) (и € ту) удовлетворяет следующему функциональному уравнению : для всех х £ X,gt,go б G, к = 1,..., m

«JfcCalife) =='a*(:r,gi) +ak(xgïi92)-

Тогда индукцией no n легко получить, что

- . .. ' ~ n

Sk(n) = Мд(п)) = £ <*k(yj-i, 9j) (3)

при условии Е € уо> где Ê — единичная матрица.

Главной целью нерпой главы является исследование асимптотических свойств вектора S{n) при п—* +оо.

СформуЛ1фуем теперь основные теоремы, доказанные в первой главе п обобщающие результаты, полученные Г. Фюрстснбергом [1} и В.И. Ту-тубалиным [2] при выполнении следу!0щег0 условия (АН) распределение ц абсолютно непрерывно относительно меры Хаа-

"• Ph- ! v ' ;.' - ..

Для этого выпишем условие, введенное И.Я. Гольдшейдом и Г. А. Мар-гулнеом [5] :

(Г-М) алгебраическое замыкание н топологии Зарисскгого полугруппы Н,„ порожденной носителем меры /¿, совпадает со всей группой G = SL(m,Щ. ' ; В случае, когда G — SL(m,lR), это условие означает, что не существует никакого многочлена от элементов матрицы, кроме det g —1, которы Л был бы равен нулю ïia всей полугруппе Hp.

Пусть ]Ji?Jj = max{ ]<j;j], i,j — 1,2,...,m}. Для формулировки теорем нам понадобятся следующие условия интегрируемости; которые ми выпишем и порядке усиления : (III) для любого к = 1,...,т . •

sup \fk(ug)\p(dg) < +оо, uGU J

a

(И'2) существует константа е > 0 такая, что

Угпах{ lisllMIff-'r }t*(dg) < +<»,

а

(Ог) существует константа С > О такая, что

/<{ Ы\<с, liff-ll¡<c } =1.

Теорема 1.1. Усиленный закон больших чисел. Пусть выполнены у еловгщ (Г-М) и (И1). Тогда.

1) ¡л -блуждание {i/n} оргодично и имеет предельное распределение V на Y при п —» +оо, совпадающее с сдинсгпйепиъил стационарным распределением р,-блуждания на Y;

2) существует неслучайный вектор а £ Г с условием ai <а^< •• • < «,„ такой, что с Р-вероятностью 1

lim — S(n) = а,

»!-.+» П .

где ak ~ j v{dy) j ak(y,g) ß(dg), ak(y, g) = fk(ug) при и € у, у а ■

$) с Г-вероятностью 1 z(g(n)) имеет предел z(oo) при п —► -Ьоо.

Теорема 1.2. Центральная предельная теорема. Пусть выполнены условия (Г-М) и (И2). Тогда распределение случайного вектора

' (5(n) - an)

слабо сходится при п -+ +оо к гауссовскому распределению на Г с параметрами (0,<т2), где иг — матрица, ковариаций некоторого невырожденного распределения на Г;

Теорема 1.3. Локальная предельная теорема. Пусть выполнены условия (Г-М) и (И2). Тогда для любого борелевского В С Г

^m^ {y2^l)m~l Р {(5(n) - an) € -В } =

где m г — мера Лебега «а Г, |<г|2 — определитель линейного отображения из Г в Г, соответствующего матрице сг2.

Выберем произвольное ограниченноеM С Г такое, что тг(М) > 0. Обозначим через Qm условную вероятность :

В силу сформулированных теорем распределения Qm определяют поведение S([r<]) при больших уклонениях от типичного. Поэтому следующая теорема показывает, что при таких уклонениях условные распределения S([rtf]) с обычной пормировкой слабо сходятся к распределению броуновского, моста. Аналогичный результат был получен C.B. Нечаевым и Я.Г. Синаем (3) для группы S¿(2,R) в полярных координатах.

Теорема 1.4. Условная предельная теорема. Пусть выполнены условия (Г-М) й (Ог). Тогда существует матрица ковариации D . невырожденного распределения на Г такая, что для любого f, G (0,1) ^ú,любого ограниченного 'M \G F (mr(M) > 0) Qм~распределение случайного вектора ^>'5({riÍ])/¿iMi6»'сводится: при ri +оо-к гауссооамлщ pactipé^éjieHUW -ка^Г с щраМетрами (0,Di(l — Ï)).

Выпишем очевидное следствие сформулированных теорем, полезное для различных приложений. '

Следствие 1.1. Пусть распределение ц сосредоточено па образующих элементах группы ЗЬ(т, Z) целочисленкых матриц. Тогда утверждения теорем 1.1-1.4 выполнены.

Во нторой главе диссертации рассмотрены проблемы, основанные на другом подходе к произведениям случайных матриц, предложенном В.II. Оселедцем [4]. Им была доказана мультипликативная эргодическая теорема — новый вариант усиленного закопа больших чисел для произведений случайных матриц; Сформулируем эту теорему.

В отличие от первой главы, рассмотрим более общую группу ОЬ(т, Е) вещественных невырожденных матриц размера т х тп. Пусть, кале и ранее, { Уп-, " == 1,2,...} — последовательность случайных элементов из <?, определенных па вероятностном пространстве (П, Р, Р), д(п) = 3152 ■ ■ - йп. ■ — произведение первых п ее элементов. .'".

Теорема 0.1 [4]. Пусть {дп} — стационарная эргодическая последовательность. Предположим, что £|1п [|<?п|| | < +оо. Тогда существуют .неслучайные числа -

-оо < А1 < Аг < • • • < Д,„ < +оо и неслучайный набор строго возрастающих индексов

0 = г'о < »1 < • • • < ¿» = т таких, чточ

' \

А.*= 1,,..,р-« ' А; = А ^ если ¿а.. =

Более того, существует единственный (Р?п.н.) случайный флаг

1'о= {0} С Ц С ••• С УР = такой; что сНт\1. = ц. и если вектор-строка е 6 Уь \ Ук-\, то Нш — 1и ||е^(п)|| = Х{кР-п.н.

Определение 0.1. Числа Aj < Х2 < • • • < Лт, введенные в формулировке теоремы 0.1, называются показателями Ляпунова последовательности случайных матриц { дп }, а для каждой вектор-строки е £ V* \ последовательность логарифмов норм вектор-строк {In ||e<?(n)|| J называется функцией Ляпунова, соответствующей показателю A,-fc,

' Будем предполагать, как в ранее, что { дп } образуют последовательность независимых случайных матриц, имеющих одинаковое распределение fi на Gr£(m,R).

Первый вопрос, который возникает в связи с теоремой 0.1 и который является важным в приложениях,— это при каких условиях на распре-1 деление ß все показатели Ляпунова последовательности { д„ } разлнч-; ны. Важный шаг в Этом направлении был сделан И.Я. Гольдшейдом н Г.А. Маргулисом (5). Основной результат, который они доказали, состоит в следующем. '

Теорема 0.2. {5], Пусть G = GL(m, R)

и {дп } ■—*■ последовательность независимых случайных матриц, имеющих одинаковое распределение £ на G- Пусть Нц — полугруппа, порожденная носителем меры ц.Предположим, что fG Jin \\g\\\tt{dg) < +оо. Тогда из условия (Г-М), что алгебраическое замыкание ITß совпадает со всей группой G, следует, что все показатели Ляпунова 'последовательности случайных матриц . {'¿Г»».}' PÖMWMU:. 'Ai-</Ai <'• •> < Am.!;

■ Нетрудно убедиться, что условие (АН) существования плотности рас-пределеаая ß на G относительно меры Хаара влечет за собой условие (Г-М). Из теорем 0.1-0.2, в частности, следует, что при условии (АН) найдется случайный флаг Vo {0} С Vi.С ■•• С Vm — Rm такой, что для всех к ä 1,2,..., rri diiaV<.—dim Vk-i = 1 и Для любой вектор-строки е* 6 Vk \ Va.-i ; . ' - : "

Набор одучаШшх;^ вектор-строк (ei,;.., ¿m) принято называть лмщяов-скимбазисбм/Сяеру&р йаметтгг!., ^тотжо/^бдаисзада^тсяпеодно^начгю.

Обозначим

Д(п)=»

Ri(n) \ Ып)

>Rm{n)J

/ In ||eiS(n)|| \ Ь |Ы(я)||

\Ы 1| етд{п)\\)

€ R"

Каждая последовательность координат {Лк(п)} таких векторов образует ляпуновскую функцию, соответствующую Аг:-тому показателю Ляпунова А*... .

В силу разложения Ивасавы (1) группы <3 матрица д(п) представима единственным образом в следующем виде :..-..

д(п) = г(п)(1(п)и(п)

где г(п) € Z,d(n) — диагональная матрица с положительными элементами . на диагонали ( не обязательно унямодулярная, как в случае б = 5Ь(то, К.)), ы(п) — ортогональная матрица. Аналогично формулам (2-3) введем вектор

5(п) =

( Siiri) \ S2(n)

\Sm(n)J

( In dn(n) ^ In d2i(n)

umm

er

составленный из логарифмов диагональных элементов матрицы d(n).

»

Во второй главе диссертации рассмотрено асимптотическое поведение векторов S(n) и Я(п) при п —> +оо, в. частности, доказаны предельные теоремы для ляпуновских функций J?fc(n), соответствующих средним показателям Ляпунова. Сформулируем их. «■;-

Теорема 2.1. Принщт инвариантности. Пусть выполнены условия (АН) й (Ог). Тогда для каждого к — 1,..,,т существует набор неслучайных чисел ак,сгк > 0,0 > 0 таких, что не меняя распределений последовательностей случайных величин { $к{п) } и { Rk{n)} , мы можем переопределить их на более широкое вероятностное пространство

(По.^о.Яо), на котором существуют стандартные винсровскис процессы { «'*(<)>< 6 [0, +оо)} (шк(О) = 0) такие, что при п —» -+оо

|5ь(п) -пак - <г*и>*(п)|' =е Ро-п.п.,

\Рк(п)-пак-сгки^к(п)\ Р0-п.н.

Пусть С[0,+оо) — пространство непрерывных функций : [0,4-ос) —» К1, спабженпое естественной топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах [0, +сх>). Обозначим для к — 1, ...,т, «г е 2, < е [о,+сс)

У" СкУ/П

для остальных 4 € [ 0,+оо) функции и продолжаются ли-

нейной интерполяцией.:' ',

Теорема 2.2. Функциональная центральная предельная теорема, Пуст.ь выполнены условия (АН) и (Ог). Тогда, для кжмедого к = 1. ... , т распределения случайных процессов { 1 € [0,+оо)}

и { г1кп){(),1 6 [О.+оо)} слабо сходятся прип —+ +оо ?; винсроаской мере вС[0.+оо). . '

Теорема 2.3. Закон повторного логарифма. Пусть выполнены условия (АН) и (Ог)., Тогда для каждого к. 1,.. .,т

Р-п.н., Р-п.н.,

П-+» ^/га^п 1п (1н п) ;.■•»-*+«. у(2а£л1п.(1п п) . ,

Теорема 2.4. Пусть выполнены условия (АН) и (Ог). Тогда для каж.дого к — 1,. ■., in

1) dut любого t > 0 с Р-вероятностью 1 при всех достаточно боль-ш и х п

шах { Sk (j) - akj, j = 1n } > ^ e, max { J%{j) - akj,j = 1, :.. ,n } > ^

(lu n)l+e'

2) с Р-икроятностъю 1 при n —> -)-oo неравенства

•Jn

max { Sk(j) - ukj,j = 1,..n } <

/tÎ

max { Rk(j) - akj, j = 1,..., n } <------

(22а и)'

выполнены бесконечное число раз.

Третья глава посвящена той части теории неупорядоченных систем, кончая называется теорией случайных блужданий в случайных средах.

Дадим определение процесса случайного блуждания в случайной среде. Пусть И = Ъи — «/-мерная решетка с обычной метрикой, Т = {0,1,2,...} — множество значений параметра времени t. Обозначим Л' = И" — пространство траекторий ^-мерных блужданий. Пусть Г\ - <7 ачгебра, порожденная цилиндрическими подмножествами Л". Элемент пространства Л' будем обозначать символом я(-). Мы предполагаем, что задано вероятностное пространство (П, Рц, Р) и семейство бесконечномерных матриц { А = { аху(р), х, у £ Z''} } таким образом, что для каждого р 6 П матрица А является стохастической :

для всех х, у £ «,„(}>) > 0 и аху(р) — 1.

Определенно 0.2. Каждый элемент пространства П будем называть срп'тХ а само вероятностное пространство (n,Fjj,P) —- пространством случайных сред.

Ощуеделеиис 0.3. Случайным блужданием о среде р называется один-родная по времени цепь Маркой» с пространствами состояний 53 и времени '¡Г, начальным состоянием 0 и матрицей переходных вероятное!«'!! -1 - Л{р).

Обозначим через Ргр вероятностную меру на измеримом проетрансi иг (.Y, F\), соответствующую случайному блужданию в среде р. Будем чак-же предполагать, что вероятностное пространство

(П, jFn, Р) задано так, что для любого В Е F\ функция Рг,,(В) измерима но ;>. Введем обозначения : Í2 = П х X, F — a(Fn х F\). IIa полученном измеримом пространстве (í), F) зададим вероятностную меру Р следующим образом : для любых В\ € F¡\, B¡ € F\-

P(ß, x B2) = J Ргу(В>)П<1р)- (■»)

И i

Определение 0.4. Вероятностное пространство (П, F, Р) будем называть основным, а случайным блужданием а случайной среде назовем заданный на основном вероятностном пространстве процесс j'i(u>) — ■''{(). где и/ = (р,х(-)) eft.t €Т.

Из формулы (4) видно, что условное распределение случайного блуждания в случайной среде относительно'фиксированно!! среды р сегь распределение Ргр случайного блуждания » Г[)еде р ' Р почти наверное (Р-h.h.). Будем говорить, что случайное блуждание в случайной среде обладает каким-либо свойством, характерным для марковских цепей, если для почти каждой среды р ( относительно Р) что свойство имеет место для случайного блуждания в среде р. Например, случайное блуждание в случайной среде возвратно, если возвратно случайное блужла-ние в почти каждой среде р ( зто означает, что начальное состояние О принадлежит возвратному классу существенных состояний ).

Нас будет нитересовать случай одномерных случайных блужданий в случайных средах, когда v = 1,

П= {/':/>= {p(a-) = (/>.¿(.r),/;_/.+1(x).....phU)).s€ Zl } }

множество вектор-функций, заданных Ha Z1 и принимающих значение и множеств , ' ' '- .

{р : р = (/)-;.,;>-/.+ ,,...,;>«) б .

11 ,;'Гч •

' ■ Pi 2 0,рп> о> О, ]Г Pi ==1 Ь

'•".•.• ,-v " - .

Гц — наименьшая «г-алгебра, содержащая все цилиндрические подмножества П, Р—•'распределение на (П,Fn) такое, что {р(х),х 6 Z' } — независимые одинаково распределенные случайные векторы, матрица переходных вероятностей А(р) случайного блуждания в среде р задана''фор- , мулой : для :г, у £ Z'

.17 'v

Py-tix), если у — х G [-L, Я] ''. ' в остальных случаях.

Перейдем к изложению результатов третей главы диссертации; Введем следующие обозначения

{в л л •. '''-••'1. •'.V- .' '.; "Ч:' •'

£ рЛх), если £ — 0,1— 1, .

- • У- /Ц/Уч, ;•"-'

£ РАг)> .ссл" '= + 1,-1. ; ■

Предположим, что последовательность { г(х),-аг-'6 2 } есть решение си-, 17омы уравнений. . ; : / ' ; • • •:''■•- ''. . -

ЕдафгЦ^ (5)

1=0 . ■ -. »=-■£- г '..- /• ' . \ •' ■

Введем вектор" . , '

/ г(.г + Л — 1)\

гП =

е к"*1--'.

у-л У;

Тогда r(x~1} = V(x)r(x), где V(x) — матрица размера (R+L- 1) х (R + É — 1) с элементами

f.jOO = <

<¡R-ÁX) Я-Ф)'

1, eaniu>l=j,l O" ^R + L-2,

О в остальных случаях.

еслиЛ+1 ^R + L-l,i = R + L-l, (6)

Из этой формулы видно,что матрица V(a?) зависит только от вектора р(з). Поэтому { V{x)} определены на вероятностном пространстве (П, JFfj, IP) и обрадуют последовательность независимых одинаково распределенных случайных матриц. Из формулы (6) видно, что если выполнено

Е ln Pr(x) > -оо, Е 1ц р-ь(х) > -оо, (7)

то

; E|ln ||V(x)||| > —oó,E|ln > —оо. (8)

В силу этого к двусторонней последовательности случайных матриц {V(a:)} можно применить мультипликативную эргодическую теорему Оселедца [4]. Сформулируем ее в удобном для пас виде.

Теорема 0.3 [4]. Пусть {V(x)x &Т.} — двусторонняя последовательность, независимых одинаково распределенных случайных матриц pa3Mepa(R+L — l)x(R+L — l). Предположим, что выполнено (8). Тогда существуют неслучайные числа Ai, ..., A/j+í-i, называемые показателями Ляпунова, и неслучайный набор строго возрастающих индексов 1 = г0 < ¿i < • • • < гр = R + L — 1 таких, что A,k < A,-fc+t, А,- = A¿, если ik <i < j < »j¡+1,к = 0,...,р — 1. Более того существует единственное (V-n.H.J случайное разложение пространства К.л+£"~' на подпространства

Wi ф W2 ф • • • ® Wp = Кд+£-1

такое, что (ИтИ'*= »/ь — 4-1 и если у €

. Шв^к ¡|У(1 +х)У(2.+ а:) . ,.У(0)и|| А,у,

Цт ^Ь ЦГ-1^-1.^- 1)" * -А<».

X"♦+оо.х " . .

В терминах показателей Ляпунова последовательности случайных матриц сфбрмулпруем следующую теорему.

Теорема 3.1. Критерий возвратности. Пусть выполнены условия (7). Тогда [ ' / . ■ /' ■■■;

(1) Ад > 0 => Р { Шп 1(<) = +оо} =1,

(2) Ад = 0 =*-Р{ —оо = Ит ®(<).'< Цщ г(«) = +оо} =1,

<—+оо . '"*+<*> ■

(3) Ад<0=^Р{<Нт^а:(0--оо} = 1. " г

В частном случае, когда Я = £ = 1, { } будет последовательностью случайных величии й настоящий критерий сводится к известному: результату Ф. Соломона [8]. ;•.•• • У-

Второй пункт теоремы соответствует возвратному случайному ,блу-, жданшо в случайной среде. Это означает, что для Р-п.в. р начальное состояние 0 принадлежит классу возвратных состояний случайного блуждания в <з>еде р. Очевидно, что в первом й трртьем случаях случайное блуждание невозвратно в почти каждой среде р (относительно Р), причем эффективный линейный снос случайного блуждания в случайной среде в положительную сторону возможеп только в нервом случае, когда) Ад > 0.

Рассмотрим вначале невозвратный случай. Будем предполагать^ Что выполнены следующие три условия: „ / • ; .-'<'-'■" ' :

[8] Solomon P. Random walks in a random environment: — Annals of Probability, vol. 3,110 1, p. 1-31. - 4 yb^r ^л ^

(УН) (условие невозвратпости) 0 < А/г < AR+1, j (У 1) для некоторого ßo > О

P-{P-i(°) > ео,Рл(0) > eo,P-i(0) ^ eo,Pi(0) > ¿о } = 1,

i (У2) существует констапта Г > 1 такая, что для почти каждой срсды р i ( относительно IP . ) найдется положительное решение

{»•(я),а; 6 Z} системы уравнений (5) такое, что r(0) = 1 и для всех а; 6 Z

^ г(х)

Условие (У1) дает нам неразложимость случайного блуждания в случайной среде с классом сообщающихся состояний Z. Из условия (УН) и критерия возвратности следует, что с Р-вероятностыо 1 lim x(t) — +оо.

(—»H-oo

Для формулировки основных результатов нам понадобится следующее . .

Предложение 3.1. Пусть условия (УН), (У1-У2) выполнены. То. ада для почти каждой среды существует единственное положительное решение { г(х),х ё Z } системы уравнений (5) такое, -что

г(0) = 1 и lim iln rix) = -Aß.

x—»±oo X

По последовательности, удовлетворяющей этому предложению, для £ € 2 введем случайные величины

R(k) = Е -гт-

e—d rix)

га-оо * '

Из предложения 3.1 следует, что In r(x) ~ -Адх при х —» -ос Р-н.и. Поэтому в силу условия (УН) R(k) < -foo Р-п.н. Обозначим мере;» Тп момент первого достижения случайным блужданием н случайной среде множества [n,-foo), n

Теорема 3.2. Критерий линейного сноса. Пусть условия (УН), (У1-У2) выполнены. Если ЕЯ(0) < +оо, то существует Неслучайное число а > 0 такое, что "

Р{ 1нп (10)

1 (—+оо . . "

Р{ Нт — = во } = 1, (И)

«?еао = я-1. ЕслиЕЩО) = +оо , то

Р{ Вт ^=0}=1, Р{ Нт ^ = =1.

1 п—+оо П

Утверждение теоремы 3.2 показывает, что условие ЕЛ(0) < Ч-оо является необходимым и достаточным условием эффективного лииейно-го сноса одномерных; случайных блужданий в случайной среде. Б этом есть решение задачи, сформулированной Г. Кестеном [9]. ^ ": Нам понадобятся еще два условия :

: +оо

(УЗ) . " -. •

fc=l \

+оо

^Ег(г) < +оо, i=k

о

(У4) . . £ E(r(k)R2(k)) < +оо.

fc=—ро

Из условия (У4) и положительности решения { г(х)} следует, что; ER(0) < +öö. Поэтому в силу теоремы 3.2 выполнены (10-Ü1). Будем обозначать; •'■ '.;■•'.: ■

in ———♦ ЛГ(0,1) при «V+oo, •

[9] Kesten Н. Random walk iii mndoin environment. - Qmtcmp.MatU., 19S1, vol. 50, p. 332. . . : ^ ' ' :-=:

если последовательность случайных величии { } сходится по распределению ( относительно меры Р) к гауссовской случайной величине с пулевым средним н дисперсией 1.

Теорема 3.3. Центральная предельная теорема. Пусть условия , (УН), (У1-У2) выполнены. Тогда найдутся константы а > 0 и а > О такие, что

x(t) — at p-w

v ' r--—^ Ar(0,1) при t +oo,

o\Jt .

Tn - O0n P-w .T/n '

-•=--* N[0,1) при n —» +oo,

<Wn

где а и а о — константы, введенные в теореме 3.2,

1 а

ао = -) Oq = —-¡=-a aye

Теоремы 3,2-3.3 обобщают критерий линейного сноса Ф. Соломона [8] и известный результат Г. Кестена, М.В. Козлова н Ф. Спитцера [б].

Обратимся теперь к возвратному случаю. Наложим на среду следующие условия : •

(УВ) условие возвратности : Ля = Ö, (УАН) вектор р(х) имеет абсолютно непрерывное распределение.

Чтобы сформулировать дальнейшие результаты, нам понадобится следующее -

Предложение 3.2. Пусть условия (УВ), (УАН), (У1-У2) выполнены. Тогда для почти каждой среды р ( относительно Р ) существует единственное положительное решение {r(r), х € Z} системы уравнений (5) такое, что

г(0) = 1, Hm'Л 1а г(х)=0,

V . -r-ioo jx '

1 (12) lim т-jE In2 r(x) = -у2 > 0.

x—±oo аг

Введем обозначения ; x0(t) = x(<)ln~2i,

max{x(fc),0</v-<t}

In'2t

Voit) =---, 2

Теорема 3,4. Допустим, что условия (УВ), (УАН), (У1-У2) выполнены. Тогда для всех t > 1 существуют случайные величины m(t) и M(t), зависящие только от t и случайной среды р, такие, что

Р

x0(t) - m(t) —» О, р

- M(t) —* 0 при t —f +оо

и для константы у, определенной по формуле (12),

У Р J 2 \ I 2 + 2 /о hi{v)<lv, если и > О, I

'-+<» I 2 2 /о ht(v)dv, если и < О,

lim P{y2M{t) ^.и) - / h2(v)dv, О 0.

1—+СО ' ■ • J ■ , .

■ 0

Плотности предельных распределений hi{v) и их преобразования Дапла~ еа v.-(A) имеют вид : ":

-;л (-l)fe Г (2к 4- 1)2тг2 1

M^^-E^jcxpj- 8 v},

V-i (А) = (сьУгХ- 1)(ЛсЬ v/гл)-1, \ , , л 2^ 7 (2fr-и)2*2 \

' v'-2(A) = (thV2Ä)(v/2Ä)-1. .

Теорема 3.4 показывает^ что предельное распределение для m(t) симметрично, и /îi(w) и V'!(А) сеть плотность ii преобразование Лаплата предельною распределения для случайной величины при t —» -Ьор. '

Существование предельных распределений для случайных'величин тп(1) и уо(¿) при t —* +00 для R — L = 1 установлено в работах Я.Г. Синия [7] и Г.А. Рнттсра [10]. Явные выражения для предельных распределений в этой случае найдены А.О. Голосовым [11] и Г. Кестенои [12], Теорема 3.4 является обобщением указанных результатои.

, Введем случайные величины

Ро-0, Pn+i = min {t > fi,„ x(t) = 0 },

H(n~l,n) = max{ ^ t < pn } ,

H(n) = max{ H(i — 1, г), 1 ^ i < n }.

Будем говорить, что условие выполнено при всех достаточно больших п, если оно выполнено прн всех п ^ щ для некоторого ?i0, и что условие выполняется бесконечно часто (б.ч.) при п —+ +оо, если существует последовательность { пц.., fc = 1,2,...}, для которой это условие выполняется. Пусть для k ^ 2 In — к-я итерация натурального логарифма от п.

Теорема 3,5. Допустим, что условия (УВ), (УАН), (У1-У2) выполнены.. Тогда для любого е > 0 с Р-вероятностью 1

при всех достаточно больших п Н(п) > f

V 27- /»(;«)'(

[10] Ritter G.A. Random-walk in a random environment, critical case. A thesis. Cornell : Cornell University, USA, 1976.

[11] Голосов A.O. О предельпых распределениях для случайного блуждания в критической одномерной случайной среде. — Успехи ма-тем.наук, 1986, т. 41, N 2, е..189-190. '. . '

[12] Ivesten Н. The limit distribution of Sinai's random walk in a random environment. — Physica A, 1986, vol. 138, p. 299-309.

2-1

1 + £ In П . .

U\1l) ^ -■■■ »- -- б.ч. при rt —» +oo,

27^ Щз)П

при всех достаточно больших п Ы{п) < In2 я(1п (2))2+г, Н(п) ^ lu2 н(1п (2))^ n/JU ;г —♦+ро,

где константа у2 определена формулой (12).

Теорема 3.5 обобщает известные результаты Г1. Дехевелса и П. Ревеза [13], полученные для случайных блужданнй в случайных средах, когда Г{ ~ L — I.

В четвертой главе диссертации приводится пример целого класса одномерных квазикристаллов,-в которых случайное блуждание имеет не-класснческое поведение. •

Установлено, что граница зерен некоторых сплавов имеет одномерную квазипериодическую структуру. Днффузня, происходящая по границе зерен таких сплавов (например, окисление), аппроксимируется случайным блужданием в одномерных квазикрнсталлах. При этом классическим является случай, когда диффундирующая частица за промежуток времени i уходит от начального положения на величину x(t), близкую к гауссовской случайной величине со средним et ц дисперсией a2t (er2 > 0). Константы с и <т2 называют коэффициентами линейного сноса и диффузии соответственно. При классическом поведении частицы, если даже линейного сноса пет (т.е. с = 0), отклонение имеет порядок \ft jipn t —> +оо. Цель четвертой главы — описать квазнкрпсталлы, в которых имеет место противоположная ситуация ;— поведение частицы подобно случайному блужданию в случайной среде, описанному Я.Г. Синаем [7]. При этом x(t) имеет порядок (In f)Ä, где константа 6 находится по пара-метрам'киазикрнсталла.

¡13] Deheuvela- Р., Revesz Р. Simple raudoiii walk on tbe line in random eovironrnr-nt. — Prob.Tbeor.Rel.Fields, 1986, vol. 72, no 2, p. 215-230.

У <4-

Рассмотрим случайные блуждания на одномерной решетке ^0,1,...} с левым отражающим экраном. Блуждающая частица при этом может перейти за единицу времени из вершины п € 25+. только н соседние. Вероятность перехода пз пвп +1 обозначим через р(п), пч и » п.- 1 — через q(n) — 1 —р(п). Отражение от экрана слева означает, ч то р(0) = 1. Положение частицы в момент времени Ь € будем обозначать ' а;(().. Мы полагаем, что ж(0) = 0. Поведение таких случайных блужданий полностью зависит ст последовательности чисел {р(п),п = 1,2,...}. Если она будет обладать квазипериодической'структурой, то построенный случайный процесс будем называть случайным блужданием в одномерном квазикристалле.

Пусть заданы натуральные числа к и I, Одномерный квазикристалл р определим последовательностью слов { Д„, п = 1,2,...}, состоящий из двух символов А и В. Каждое следующее слово в такой последовательности образуется из двух предыдущих по следующему правилу :

Ат+2 ~ -Ат+1 . . . л4т+1 Ат . . . Дт .

раз

I раз

Начальные слова'таковы : А\ — В, Д2 состоит из к символов А. В этой последовательности каждое слово является началом последующего. Устремляя га к +оэ в итоге получаем бесконечное слово, являющееся последовательностью символов двух типов. Выпишем ее в цепочку к занумеруем символы :

Ви В-2,..., В,,,.... (13)

Для произвольных положительных чисел п и Ь определим »ероятноп п перехода р(п) случайного блуждания в квазикристалле р по следующей формуле

/ > Г (1+ «)"'. если В„=Д, 1(1 + 6)-', если Ви = В, где В,, — я-й по порядку символ цепочки (13). Таким образом, последовательность р полностью определяется параметрами а,Ь.к.1 (и ф Ь).

гс

Рассматриваемое здесь случайное блуждание понимается как однородная цепь Маркова с пространством состояний Z+,начальным состоянием 0 и д .ухдиагональной матрицей переходных вероятностей, зависящей только от цепочки чисел р. Так как для всех п ^ 0 р(п) > 0 и í;(п) > 0, то такая марковская цепь неразложима, и Z+ является единственным классом сообщающихся апериодических состояний. Длц таких ценой Маркова либо все состояния невозвратные, либо все состояния втнратные нулевые, либо все возвратиые положительные (эргодический случай) и четвертого не дано. Следующая теорема является критерием, устанавливающим класс состояний случайного блуждания в одномерном кпа ткристадле. ¡

Теорема 4;1. Пусть d= \ikln а+Ы Ь, где

к + у/к*+ 41 ■ - 2 ■ • ' . Тогда выполнен следующий критерий

(1) если d < 0, то случайное блуждание невозвратно и

lim xtt) = +оо п. к., «-+00 \' .

(2) если А — 0, то все состояния возвратные нулевые,

(3) е.сли А > 0, то случайное блуждание эргодическос -ц имеет предельное распределение {?гп,п € 2} при 4 —+-|-оо, равное

- 1 , - 1

. 1=1 .••■...•,".''

+ 00 П / . ■ ,ч

n=í 4W

Нас будет интересовать второй случай, когда случайное блуждание иозирапше нуленое. В этом случае линейного сноса нет, и классически дисперсия .г(0 должна расти линейным образом. В следующей теореме " выписаны условия, при которых линейного роста дисперсии ш» происходит и ноиеденнс блужданий неклассическое.

Теорема 4.2. Пусть d - 0 ni > k+1. Тогда существует константа С > 0 тикая, что при t —*■ +00

P{x(t)<C(In t){ } I, где с 1,1 Л1 \ _ k ~ + 11

г=ПГЩ' Лг~ 2 •

Как видно из теоремы 4.2, существует целый класс ква-чикрттач-лоп, в которых случайное блуждание имеет асимптотические свойства, существенно отличающиеся от предельного поведения классических случайных блужданий.

Считаю своим долгом выразить сердечную благодарность своему научному руководителю академику РАН Я.Г.Сннаю. Приношу благодарность также В.Н.Тутубалпну за полезные обсуждения.

Публикации по теме диссертации.

(1) A.B. Летчиков. Предельная теорема для возвратного случайного блуждания в случайной среде. — Доклады АН СССР, 1980, т. 304, N 1, с. 25-28.

(2) A.V. Letchikov. Localization of one-dimensional random walks- in random environments. — Sov.Sci.Rev.Sec. C:Math.Phys,, 1989. vol. 8, p. 173-220.

(3) A.V, Letchikov. Limit, theorems for one-dimensional random walks in random environments. — Prob. Theory and Mathem. Stat., 1990, VSP/Mokslas, Vol.2, p. 90-06.

(4) A.B. Летчиков. Случайные блуждания в одномерных кначикри-сталлах. — Теор. и матем. фпзнка, 1991. т. 88, N 3, с. 333 339.

(5) A.B. Летчиков. Асимптотические свойства одномерных случайных блужданий в случайной среде с вероятностью 1. Ма-тем.сборник, 1991, т. 182, N 12, с. 1710-1728.

(6) A.B. Летчиков, Критерии линейного сноса н центральная предельная теорема для одномерных случайных б. j ул:данпй » случайной среде. - Матем.сборник. 1993, т. 184, N ö. с. 8.7-110.

(7) A.B. Летчиков. Условная предельная теорема для произведений случайных матриц. — Матем.сборннк, 1995, т. 186, N 3, с. 65-84.

(8) A.B. Летчиков. Произведения унимодулярных независимых случайных матриц. — Усп.матем.наук, 1996, т. 51, вып. 1, с. 51-100.

Подпиоено в'печать 29.01.96. Тираж 100 экз. Заказ ?? 166.' Объединение "Полиграфия