Мартингальный подход к исследованию счетных цепей Маркова и марковских процессов в случайных средах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

сг сп

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ^ имени М.ВЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

Гу»

На правах рукописи УДК 519.2

Попов Сергей Юрьевич

МАРТИНГАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ СЧЕТНЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА И МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ

(01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1997

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук,

профессор М.В. Меньшиков

доктор физико-математических наук,

профессор В.й. Оселедец

кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник А.Н. Рыбко

Математический Институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится / _ 1997г.

в 16 час. 15. мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899 ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомитсься в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

19 1п<]

Автореферат разослан_I J ЦуСьбуН-И_ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, доктор физико-математических наук

Т.П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория счетных цепей Маркова в настоящее время азвивается в различных направлениях. Одно из mix — это качественный ана-из цепей Маркова на счетном пространстве состояний со сложной структурой, 'помянем несколько таких моделей. Многомерные цепи Маркова с частичными инейными неоднородностями рассматривались в [1], [2]. Цепи Маркова на про-транстве состояний, равном множеству всех конечных последовательностей букв екоторого алфавита (так называемые струны) изучались в [3], [4]. Предмет стаей [5], [6], [7] — так называемое случайное блуждание с ветвлением, которое акже является цепью Маркова в некотором усложненном пространстве состоя-ий. Для этих проблем был разработан мартингальный метод (метод функций [япунова).

В Главе 1 исследуется поведение стационарной меры для различных классов четных цепей Маркова. Получена точная асимптотика для различных проблем ольших отклонений для этих классов. В работах [1] и [8] были установлены усло-ия конечности или бесконечности математического ожидания от р-й степени юмента времени достижения некоторой конечной области. В настоящей работе оказывается, что в рассматриваемых задачах стационарная мера убывает по-иномиально с увеличением координаты. Кроме того, показано, что скорость ходимости к стационарности полиномиальна по времени, и определена точная симптотика.

1. S. Aspandiiarov, R. Iasnogorodski and M.V. Menshikov. Passage-time moments зг non-negative stochastic processes and an application to reflected random walk in quadrant. // Ann. Prob. 24 (2), 932-960 (1996).

2. G. Fayolle, V.A. Malyshev and M.V. Menshikov. Constructive Theory of count-ble Markov Chains. // Cambridge University Press, Cambridge (1994).

3. A.C. Гайрат, В.А. Малышев, M.В. Меньшиков и К.Д. Пелих. Классифи-ация Марковских цепей, описывающих эволюцию случайных струн. // Успехи {am. Наук 50 N. 2 (302), 5-24 (1995).

4. A.S. Gajrat, V.A. Malyshev and A.A. Zamyatin. Two-sided evolution of a andom chain. Markov Processes Relat. Fields 1, 281-316 (1995).

5. F.I. Karpelevich, M.Ya. Kelbert and Yu.M. Suhov. The boundedness of branchig Markov processes. // В сборнике: The Dynkin Festschrift. Markov Processes and heir Applications (M. Freidlin, ed.). Progress in Probability 34, 143-153. Boston, iirkhauser (1994).

G. F.I. Karpelevich and Y.M. Suhov. A criterion of boundedness of disrete branching random walk. // Classical and Modern Branching Processes (eds. !. Athreya and P. Jagers). IMA volumes in mathematics and its applications 84, 41-156. N.Y., Springer-Verlag (1996).

7. M.V. Menshikov and S.E. Volkov. Recurrence and transience criteria for ranching random walks. Markov Processes Relat. Fields 3, 225-241 (1997).

8. S. Aspandiiarov and R. Iasnogorodski. Tails of passage-times and an application j stochastic processes with boundary reflection in wedges. // Prépublication 251, aboratoire de Probabilités de l'Université Paris (1994).

Техника анализа этой проблемы базируется на так называемом методе функций Ляпунова (или пробных функций). Этот мартингальный метод совершенно естественен для таких задач.

Другая важная ветвь теории марковских процессов — это теория счетных цепей Маркова в случайной среде. Хорошо известный пример такого рода процессов — это случайное блуждание в случайной среде; эта модель, введенная в [9], к настоящему моменту уже довольно хорошо исследована, см. например работы Э. Ки [10], X. Кестена, М.В. Козлова и Ф. Спитцера [11] и Я.Г. Синая [12].

В Главе 2 мы построим различные обобщения этой модели и изучим их, используя при этом функции Ляпунова. Давайте кратко опишем, что понимается под "случайной средой". Данная счетная, однородная по времени цепь Маркова С — {г7п; п > 0} может быть определена своим пространством состояний X = {а;;} и набором вероятностей перехода PtJ = P{i?n+i = Xj | г;п = ж;}- Допустим, что в некотором вероятностном пространстве (П,Л, Р) есть набор случайных величин Pij(ui), i,j £ N, u 6 П, таких, что для любого фиксированного и (которое мы называем реализацией случайной среды) числа Рч (ш) являются вероятностями перехода. Вместе с пространством состояний X, эти вероятности перехода определяют цепь Маркова С(ш). Можно считать цепь Маркова перемещением частицы в пространственно неоднородной среде (Р.Дш)),. Интересующий нас конкретный случай — когда поле (Pi,.(u))i, рассматриваемое как случайное поле, будет однородно по пространству; тогда среда обладает свойством однородности по пространству на статистическом уровне.

Некоторые естественные вопросы возникают для такой модели с замороженным беспорядком: какова вероятность (по отношению к вероятностной мере Р) для цепи Маркова C(w) быть возвратной (транзиентной, эргодической, или обладающей некоторым другим свойством)? Однако, в этой общей формулировке эта проблема едва ли может быть решена.

Во многих недавних работах было показано, что метод функций Ляпунова очень полезен (и иногда единственен) для исследования счетных цепей Маркова и случайных блужданий с ветвлением. Этот метод сводится к анализу цепи через некоторые хорошо подобранные одномерные проекции. В Главе 2 этот метод применяется к трем моделям: случайному блужданию в случайной среде, случайным струнам в случайной среде, и случайному блужданию с ветвлением в случайной среде. Основная идея нашего метода следующая: для данного ш £ П рассмотрим цепь Маркова С(и>). Для этой цепи Маркова строим функцию Ляпунова f(x) = j(x] и). Оказывается, что для рассматриваемых моделей эта функция является пространственно однородным случайным полем, так что можно исследовать его асимптотическое поведение. Построение функции Ляпунова не

9. F. Solomon. Random walks in a random environment.// Ph.D. Thesis, Cornell University (1972). См. также Ann. Prob. 3, 1-31 (1975).

10. E.S. Key. Recurrence and transience criteria for random walk in a random environment. Ann. Prob. 12, No. 2, 529-560 (1984).

11. H. Kesten, M.V. Kozlov and F. Spitzer. A limit law for random walk in a random environment. Compositio Mothematica 30, Fasc. 2, 145-168 (1975).

12. Я.Г. Синай. Предельное поведение одномерного случайного блуждания в случайной среде.// Теория Вероятн. и Примен. 27, 247-258 (1982).

вляется стандартной задачей. Значительно легче проанализировать ее асимптотическое поведение, когда первый шаг уже выполнен. Далее, зная свойства эункции Ляпунова для фиксированного и>, и используя критерии для счетных [епей Маркова, таким образом получаем качественную классификацию для цепи Маркова С(и>).

Рассмотренные модели имеют следующее общее свойство:

Р{ш : С(и>) возвратна} = 0 или 1.

!акон нуля или единицы выполняется также для транзиентности, эргодичности, i некоторых других характеристик цепи Маркова.

Цель работы. Целями настоящей работы являются исследование стационар-гай меры и скорости сходимости к ней для некоторых критических классов счет-1ых цепей Маркова, а также качественная классификация некоторых марковских гроцессов с дискретным временем в случайной среде.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и со-тоят в следующем.

1) Найдены асимптотика стационарной меры и точные оценки для скорости ходимости к ней для задачи Ламперти и для случайного блуждания в четверти шоскости с нулевым сносом внутри.

2) Получены критерии возвратности, транзиентности и эргодичности для мо-(ели случайных струн в случайной среде.

3) Для различных классов случайных блужданий с ветвлением в случайной реде получена качественная классификация.

Методы исследования. Основные результаты изложены на языке полумар-■ингалов, или, что эквивалентно, на языке пробных функций Ляпунова. При том активно используется разносторонняя мартингалъная и стандартная веро-[тностная техника.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации носят -еоретический характер и могут быть полезны специалистам, работающим в раз-ичных областях теории вероятностей и ее приложений, прежде всего, в теории 1арковских процессов и ее приложениях к теории массового обслуживания.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на науч-гом семинаре кафедры теории вероятностей и на международной конференции: Workshop on statistical mechanics of large networks" (Париж, октябрь 1996 г.)

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 2 работах, список :оторых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух •лав и списка литературы, содержащего 30 наименований. Общий объем диссер-'ации 79 стр.

Содержание диссертации

Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертации, показана ;ктуальность темы.

В Главе 1 производится исследование стационарных мер и скорости сходимо-ти к ним для некоторых критических классов счетных цепей Маркова.

В Разделе 1.1.1 рассматривается одномерная версия задачи Ламперти [13]. Задача Ламперти — это случайное блуждание в вектор сноса которого т(х) связан следующим соотношением со вторым моментом Ь(х) скачка из точки х:

для некоторых 61 > 62 > 1 и для всех достаточно больших х:

<„(,)<-**&.

2х ~ ( 2х

Для этой задачи найдены следующие точные асимптотические оценки для стационарных вероятностей.

Теорема 1.1. Для любого е > 0 существует С = С(е) € 11+ такое, что для всех п

7Г„ < СП-"**'.

Для того, чтобы доказать обратное неравенство, нужно дополнительное условие.

Условие А (локальная апериодичность). Существует <5 > 0 такое, что для всех »,/, где |г — У| < с1, существует п = п(г, ]) такое, что Р," > <5.

Теорема 1.2. Примем Условие А. Тогда для любого £ > 0 существует С 6 такое, что для всех п

7ГП >Сп-в'-в.

В Разделе 1.1.2 снова изучается асимптотическое поведение стационарных вероятностей для одномерного случайного блуждания с асимптотически нулевым сносом. Отличие от предыдущего раздела, состоит в том, что снос имеет порядок х~а, где 0 < а < 1 (в задаче Ламперти а = 1). В этом случае доказано (Теорема 1.3), что стационарная мера имеет форму 7Г„ ~ схр{—уп/3}, где 7 > О, 0< 0 < 1.

В Разделе 1.2 доказывается, что скорость сходимости к стационарности в задаче Ламперти — полиномиальная. Более точно, получены следующие оценки для отклонения п-шаговых переходных вероятностей Р"а от стационарной вероятности 7Го-

Теорема 1.4. В условиях задачи Ламперти для любого с > 0 существуют положительные числа С\, Сг такие, что для всех достаточно большихп следующее неравенство выполнено:

С1П-(в'-< |Ро"о - тго! < Сз»-^-1-^2.

Для доказательства этой теоремы используются результаты В. Рогозина. В [14] он показал, что в общем случае скорость сходимости зависит от хвостов распределения моментов первого достижения некоторых конечных множеств. Ана-

13. J. Lamperti. Criteria for stochastic processes II.// J. Math. Anal. Appl. 7, . 127-145 (1963).

14. Б. Рогозин. Оценка остаточного члена в предельных теоремах теории восстановления.// Теория Вероятн. и Лримен. 18, (4), 703-717 (1973).

из хвостов распределения моментов достижения конечного множества может ыть найден в работе [15].

Раздел 1.3 обобщает результаты Разделов 1.1, 1.2 для произвольных счетных епей Маркова ft посредством функций Ляпунова. Пусть {£„} — неприводимая, периодическая цепь Маркова с дискретным временем и на счетном простран-тве состояний X. Допустим, что эта цепь Маркова эргодична, и обозначим ерез {7Г)с} ее стационарную меру. Пусть / : X —¥ R+ — некоторая функция, 'ассмотрим три следующих условия:

'словие L. Существует константа L > 0, такая, что

i/(e»+o - /(«I < L п.н.

Условие V. Существуют действительные числа ро > 0 и « > 0, такие, что

Р{/(М < /((») - V 14„ = х} > РО ;ля всех х £ X, кроме, быть может, конечного их количества.

Условие F. Если А 6 R+ — ограниченное множество, то множество f~l(A) пнечно.

Перед тем, как сформулировать общий результат, введем некоторые допол-ительные обозначения. Пусть

Dn = /-1(k "+«]). де величины L и и взяты из Условий L и V. Для любого В С X пусть

7ГВ = Л-.'.

¿ев

)бозначим также Zn = /(£«)•

Теорема 1.5. Примем Условия L, V и F. Допустим, что для некоторых во > О, ! < /Si < /Зг существуют Si, ¿2 >0 такие, что

< -J, г"1-2

)лд всех х 6 /(-^О таких, что х > ао. Тогда существуют положительные ;онстапты Ci, С2 такие, что для всех достаточно больших п

15. S. Aspandiiarov and R. Iasnogorodski. Tails of passage-times and an applica-ion to stochastic processes with boundary reflection in wedges.// Prépublication 251, laboratoire de Probabilités de l'Université Paris (1994).

. Сг й ^гг-

В Разделе 1.4 эти результаты применяются к случайному блужданию с отражением в Z\ с нулевым сносом внутри (см. [16]). Обозначим через

игп = {(».Л б г2 : у.2 + р > п).

Сформулируем теперь основной результат этого раздела.

Теорема 1.7. Пусть а > 2 (см. в [16] определение константы а). Тогда для любого £> 0 существуют константы С\,Съ >0 такие, что

С\ < < Сз

па-2+с — Т'™» — па-2-с

для всех П.

Также получен результат относительно скорости сходимости к стационарной мере для этой задачи:

Теорема 1.8. Для любого е > 0 и любого состояния 5 = существуют два положительных числа С\ = С^в) и Сг = Сг(3) такие, что

Сщ-^1-' < |7ГЗ -РЙ| < С2п-а+1+е

для всех п.

Глава 2 посвящена исследованию трех различных моделей в случайных средах: случайному блужданию в случайной среде, случайным струнам в случайной среде, и случайному блужданию с ветвлением в случайной среде. Глава 2 организована следующим образом.

В Разделе 2.1 мы приводим некоторые мартингальные критерии для классификации счетных цепей Маркова.

Раздел 2.2 посвящен случайному блужданию в случайной среде; эта модель к настоящему моменту уже довольно хорошо исследована. Все доказательства в этом разделе чрезвычайно коротки, так что легко понять основные идеи нашего метода. Так, если рп и дп обозначают вероятности скачков налево и направо из точки п, то обозначая = 1оё(Рп/?п)> мы с помощью метода функций Ляпунова докажем следующую теорему:

Теорема 2.1. Пусть ЕЮ! <

• Если < 0, то случайное блуждание транзиентно для почти всех ш (для почти всех сред).

• Если > 0, то случайное блуждание возвратно для почти всех и.

• Кроме того, если > 0, то тогда случайное блуждание эргодично для почти всех и.

16. М.В. Меньшиков, И.М. Эйсымонт и Р. Ясногородский. Марковские процессы с почти нулевым сносом. // Проблемы Передачи Инф. 31, 60-75 (1995).

Кроме классификации блуждания, мы получаем в Теореме 2.2 результат об шптотическом поведении процесса, подобный результату Я.Г. Синая.

юрема 2.2. Пусть ЕО = 0 и 0 < < оо. Тогда для любого целого к > 1 и я любого е > 0, ли имеем

- ----------* О

(logtlog2t...log' + <t)2

чти наверное при t оо, где log, t := log i, logm+, i = log(Iogm<), m > 1. iKwce, для любого e > 0 и для любого р > 0, мы имеем

* -О

1о62+с { С, при I —> оо.

В Разделе 2.3 модель случайных струн обобщается на случай случайной среды, шшем кратко эту модель.

Рассмотрим конечный алфавит 5 = {1,..., А}. Струна — это просто конечная следовательность символов из 5. Обозначим через |з| длину струны в, т.е. если = ... Si € 5, то |з| = п.

Рассмотрим однородную по времени цепь Маркова с пространством состоя-:й, равным множеству всех конечных струн. Опишем матрицу перехода этой пи Маркова следующим образом: пусть а = «1.. Лп, и 5„ = 1 £ 5. Далее,

(п)

• мы стираем самый правый символ г струны з с вероятностью г} ,

(п)

• мы заменяем самый правый символ I на у с вероятностью дч ;

• и мы добавляем символ ] к правому концу струны с вероятностью

Введем теперь случайную среду. Будем описывать векторы х Е как

= (хн,хя,хр), где хя = (яр,... Xя = (аф1<ь><*, хр = («о')1<.'о<)с-

осмотрим 2к -мерное многообразие в

К

М = 6 R^"1""2 : х> 0, sf + X^O +xfj) = 1 ДЛЯ всех i =

j=i

пусть Q — некоторая вероятностная мера на М. Пусть £n, п = 1,2,..., — >следовательность н.о.р. случайных величин со значениями в Rfc+2fc , и с рас->еделением Q (это означает, что для К С М мы имеем P{fn £ А'} = Q(K)).

(п) (п) (п) ,

пределим вероятности г,' , q\3 и р\}' через последовательность величин f „ сле-'ющим образом: обозначая х = £„, мы полагаем

(п) я in) о (n) р

Рассмотрим следующее условие: словие G. Elog+ ||А|| < оо, где log+ х = max{log i,0}.

Введем две последовательности случайных к х к-матриц {£?«} и {Оп} следующим образом: Вп = 1.....к и Оп = ),,_,=!.....где с^"' = -д^ для

I ф о и

^ = г!-) + 2

УЗ&

Важную роль в нашем исследовании играет следующая последовательность н.о.р. случайных матриц Ап'

Ап = 0~1Вп

и ее показатели Ляпунова 71,... ,71с. Кроме Условия С, рассмотрим

Условие И. Е^(1/г') < оо, 1 = 1.....к.

Основные результаты этого раздела — это следующие теоремы:

Теорема 2.4. Допустим, что Условие (2 выполнено для матрицы Лп, и что

• или Вп п.н. обратима, и Условие (7 выполняется для Л^1

• или E]og(l/p¿¿) < оо, 1 = 1,... ,к

Если 71 > 0, то цепь Маркова, описывающая эволюцию струны транзиентна (для почти всехш).

Теорема 2.5. Пусть Условие В выполнено для Ап> Если 71 < 0, то тогда процесс эргодичен п.н.

Теорема 2.6. Яусшь 71 = 0. Кроме того, в дополнение к Условию О допустим, что А1 п.н. обратима, и что никакое конечное объединение собственных подпространств Ик не п.н. стабильно относительно А\. Тогда процесс является возвратным п.н.

Подчеркнем, что модель струн в случайной среде является обобщением случайного блуждания в случайной среде. Тем не менее, это обобщение сильно меняет суть дела. Для этой модели необходимо иметь дело с произведениями н.о.р. случайных матриц, так что результаты естественно выражаются в терминах показателей Ляпунова. Эти показатели Ляпунова невозможно вычислить в явном виде, за исключением некоторых тривиальных случаев, так что результаты относительно этой задачи неконструктивны по своей природе.

В Разделе 2.4 мы рассматриваем модель, названную случайным блужданием с ветвлением. Пусть £ — цепь Маркова с дискретным временем и со счетным пространством состояний X. Предположим также, что эта цепь Маркова однородна по времени и неприводима. Через Р,_, мы обозначим набор переходных вероятностей цепи С. Пусть для произвольного х € X у нас есть набор неотрицательных чисел 1 = 1,2,..., таких, что

оо оо

!>)(*) = 1, ]Г] "■(•') (®) < °° 1=1 1=1

для всех I £ X. Легко видеть, что набор неотрицательных чисел

пределяет некоторую целочисленную случайную величину с конечным матема-ическим ожиданием.

Мы опишем процесс следующим образом. Пусть в момент 0 есть только одна астица, и она находится в точке хо; когда частица находится в точке х, она юрождает »—1 потомков в этой же точке с вероятностью Г(;) (г). Все эти потомки а также породившая их частица) после этого совершают случайное блуждание огласно цепи Маркова С, и тоже порождают своих потомков. Легко видеть, что тот процесс также является цепью Маркова на счетном пространстве состояний

X' = X U X2 U X3 U ...

Мы вводим естественную классификацию для этой модели и даем некоторые 1арт1шгальные критерии в Разделе 2.4.2. Предположим, что 0 6 X является юглощающим состоянием, т.е. r(i)(0) =1и Poo = 1. Определим случайную вели-шну rii(x) как количество частиц в точке х в момент времени t. Поскольку п((0) ie убывает при t —¥ оо для всех реализаций процесса, мы видим, что существует необязательно конечная) случайная величина

т — lim П|(0).

f—Юо

Обозначим через Em математическое ожидание случайной величины т. Определение 2.1. Будем говорить, что с.б.в. является

• возвратным, если Р{т > 0} = 1;

• сильно возвратным, если оно возвратно и Em < оо;

• транзиентным, если Р{ш > 0} < 1;

• сильно транзиентным, если Р{т > 0} < 1 и Ет < оо.

Далее вводится случайная среда аналогично Разделу 2.3. Пусть d и к — это максимальная длина скачка и максимальное количество потомков соответственно. Пусть Q — это некоторая вероятностная мера на пространстве параметров £ = (pLd,...,P^,r[1),...,r[fe)). Предположим, что мера Q удовлетворяет следующим двум условиям:

Условие R. € М : iV(£i( = 1} < 1.

Условие P. Q{ZeM : £?=I pi,. = 0} = Q{£ € М : Р; = 0} = 0.

Чтобы сформулировать основные результаты этого раздела, нужно ввести дополнительные обозначения. Определим для вектора £ его характеристический многочлен: h((\) = — где г4 = tr(i)' Д3-1166' обозначим

Л'(£) = {Л > 0 : ftt(А) < 0} С (0, +оо)

i€aupp Q

Основными результатами являются следующие теоремы. Теорема 2.9. Предположим, что выполнены Условия R и Р. Тогда если К~ ф 0, то Ет < оо. Более того,

¡) если К~ С [1,+оо), то с.б.в. сильно возвратно для почти всех конфигураций ы - {£1,6,.. .}; н) если К~ С (0,1), то Р{го > 0} < 1, т.е. с.б.в. сильно транзиентно.

Теорема 2.10. Предположим, что выполнены Условия Я и Р, и <1 = 1. Пусть К~ = 0. Тогда Ет = оо.

Теорема 2.11. Пусть для с.б.в. в случайной среде Ет = оо. Тогда

Р{т>0} = 1,

т.е. с.б.в. возвратно.

Поведение блуждания в случайной среде оказывается отчасти отличным от поведения блуждания в неслучайной среде (в однородном, или в слабо неоднородном случае). По сравнению с Разделом 2.3, эти результаты являются конструктивными.

Предмет Раздела 2.5 — это многомерное случайное блуждание в случайной среде. Рассматривается простое случайное блуждание в Т,*. Перед началом процесса мы разбрасываем по пространству "особые" точки, в которых частицы могут порождать потомков. Точка х становится особой с вероятностью р(х). Мы исследуем вопрос о транзиентности или возвратности такого блуждания в зависимости от вида функции р[г), и от среднего количества потомков г, порождаемых частицей в особых точках.

Обозначим через д(х, у) функцию Грина для простого случайного блуждания. Первый результат данного раздела — это следующая

Теорема .2.12. Предположим, что

В этом случае с.б.е. возвратно тогда и только тогда, когда зеленые точки — это массивное множество. Допустим теперь, что

^-¿о) Г-

Оказывается, что критический случай имеет место, когда р(х) ~ а/||х||2.

Теорема 2.13. Для любого г > 1 существует а = а(г) такое, что если для. всех достаточно больших х мы имеем р(х) > ог/ЦхЦ2, то с.б.в. возвратно.

Теорема 2.14. Пусть в. = 3 и

Тогда существует а' = 0('(г) такое, что если для всех достаточно больших х жы имеем р(г) < а'/||я||2, по с.б.в. транзиентно.

Кроме исследования этих трех моделей, наша цель в Главе 2 — проиллю-■рировать технику функций Ляпунова, и показать ее пользу в случае случайной •еды.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю доктору физико-атематических наук профессору М.В. Меньшикову за постановку задач и по-гоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации.

1) M.V. Menshikov, S.Yu. Popov. Exact power estimates for countable Markov chains // Markov Processes and Related Fields 1 (1), 1995 (22 стр.).

В этой работе С.Ю. Попову принадлежат доказательства следующих утверждений: Теорем 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 3.2, 4.2, Лемм 1.1, 1.3, 1.4, 2.2; остальные результаты принадлежат М.В. Меньшикову.

2) С.Ю. Попов. Случайные блуждания с ветвлением в случайной среде // Деп. ВИНИТИ РАН, N2099-B97, 28 стр., от 26.06.97.