Предельные теоремы для полумарковских случайных эволюций в схеме асимптотического фазового укрупнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение • ••.•••.*•••.

Глава I, Предельные теоремы для полумарковских случайных эволюций в схеме асимптотического фазового укрупнения.•«*•**.•*•••••»«••••

§ I, Фазовое укрупнение полумарковских случайных эволюций:случай ограниченных операторов.

§ 2. Фазовое укрупнение полумарковских случайных эволюций: случай неограниченных операторов

§ 3. Фазовое укрупнение полумарковских случайных эволюций со скачками.*«*».**•*«**«*••*•**#

§ 4* Центральная предельная теорема для операторнозначных случайных величин.

Глава ГЦ Асимптотическое фазовое укрупнение в теории запасов и теории трафика.*•*••**•••*».

§ 5. Фазовое укрупнение в теории запасов: детерминированное поступление.«••.,.••*••

§ 6. Фазовое укрупнение в теории запасоврандомизированное поступление.

§ 7, Теория трафика и дифференциальные уравнения с полумарковскими переключениями.,»#.

§ 8. Марковская случайная эволюция.•«.«•«•

§ 9. Примеры простейших случайных эволюций.*. 100 Литература *•*••.•.*.••.•*«*••••••••.•*»».

Во многих областях науки возникает ситуация, когда развивающаяся система изменяет свой закон движения или способ эволюции под влиянием случайных воздействий окружающей среды.Например развитие популяций бактерий в некоторой среде,которая подвержена случайным колебаниям; распространение радиосигнала через турбулентную среду, в которой коэффициент отражения изменяется случайно; запасание вещества (энергии) со случайным его пополнением; движение частицы на прямой с постоянной скоростью до случайного столкновения, вследствие которого меняется скорость и частица движется дальше уже с новой постоянной скоростьюСтеория трафика) и т.д»

Математическая теория таких задач была названа теорией "случайных эволюций" С 66] » В работах СбЗ, 64] рассматривалось семейство произвольных замкнутых операторов {V(c) ) 6 = порождающих полугруппы сжатия {VLU) ; ^ = Цп- > ^ 7/0} . Случайная эволюция,построенная по семейству {Vi(ij) = t ^ 7,0) и цепи Маркова * Щ , определялась следующим образом СбЗ] : где с- время I -го скачка х&), - число скачков до момента -i . Аналогичные объекты рассматривались в C68J в предположении коммутируемости операторов {ГС<); с =£7^}) это ограничение на семейство {TccJ i £=£,/1} было снято в работе [67] „

Распространение понятия случайной эволюции на случай однородного марковского процесса и произвольного семейства замкнутых плотно определенных операторов (Гсх); хе ОС } ( X - фазовое пространство ) на некотором банаховом пространстве -fi было сделано в [67] .

Изучались также СЭ, построенные по процессу марковского восстановления (ПМВ) с временами восстановления и состояниями,представляющими собой независимые одинаково распределенные случайные величины [81] « В работе [91] были введены и исследовались случайные эволюции, которые конструировались по скачкообразным марковским процессам,которыми аппроксимировались диффузионные процессы^ по ним,в свою очередь,строились СЭ на диффузионных процессах, СЭ,построенные по марковскому процессу и семейству (Рсх); хе x}t получили название марковских СЭ [63,64,66,75,76]. Понятие G3 было (Обобщено на случай произвольного полумарковского процесса (1ЖП) и СЭ, построенные по НМЛ и семейству {Гек); хе X} f называются полумарковскими случайными эволюциями (ПМСЭ) [18,19,72] ♦ Марковские и полумарковские СЭ являются операторнозначными аналогами переключаемых процессов [1,2, 40 - 43];представляющих собой процессы с дискретным вмешательством случая [10,11] .Наиболее общее определение переключаемых процессов рассматривалось в работах [1,2] • Процессы с полумарковскими переключениями изучались в [40 - 43] .

Исследованию процессов с независимыми приращениями с полумарковскими переключениями посвящены работы [29-30] .

Переключаемые процессы можно представлять себе и как схемы суммирования случайных величин,определенных на цепях Маркова и

ПМП, которые рассматривались в работах [3,8,32,33,44,51] , Одним из возможных способов задания переключаемых процессов является мартингальный [13,17] .Здесь интересно отметить связь СЭ, которые являются мультипликативными операторными функционалами [87 - 89], с теорией мартингалов [89] .

СЭ имеют непосредственную связь также с гиперболическими уравнениями,что установлено в работе [70]fгде решение телеграфного уравнения было получено в терминах пуассоновского процесса. Движение частицы на прямой [70] было обобщено на случай движения на^прямых в [89] .

Важным аспектом изучения G3 является доказательство предельных теорем для СЭ,связанных с малыми стохастическими воздействиями (возмущениями) и большими временами «Если операторы {Гсх}; xeXj коммутируют друг с другом,то СЭ V%/ можно записать в предположениях,существует два важных типа предельных теорем:закон больших чисел и центральная предельная теорема,Поиску таких предельных теорем для СЭ было посвящено большое число работ ; [59, 66-68,72,76,77,81,82,84,90,92,93] . Эти работы (за исключением [72] ) содержат предельные теоремы для марковских СЭ, В [72] изучались предельные теоремы для дискретных ПМСЭ»

Марковская СЭ применяется во многих областях науки: теории Орнстайна-Уленбека движения частицы в случайной среде [80,85] ; теории обучения [86] ; колебание гармонического осциллятора виде: f Гсш) ds является суммой операторнозначных случайных ZEZ ra(Sjl) /SS; . Для таких сумм,при некоторых

85] ; теории распространения луча в сильно сфокусированной среде [83] и т,д#

Полумарковская СЭ находит свое применение в теории запасов [34,52,56,57,78,79] , теории трафика [59,703 , дифференциальных уравнений с полумарковскими переключениями [84,85] •

Теория запасов возникла из статистического подхода к задачам, связанным с регулированием запасов воды в водохранилище,Самая первая работа [65J была посвящена изучению периода повторения паводковых потоков; изучались также оптимальные емкости водохранилища [69] ,В 1954 г, Моран [78] впервые дал вероятностную трактовку модели регулирования воды в водохранилище»Модель теории запасов Морана кратко можно описать так: количество воды,которое поступает в водохранилище,меняется со временем и имеет вероятностное распределение; если не считать возможного перенаполнения (в случае ограниченного объема водохранилища), эта вода запасается и выпускается в соответствии с некоторым правилом,Запасенная вода используется для получения гидро-электрической энергии, а выпускаемая - для ирригационных цепей и т.д.Центральной характеристикой описанной модели является процесс накопления,который характеризует количество воды,запасенной в различные моменты времени,Модель Морана была построена для дискретного времени, В работах £61,73] была предпринята попытка систематически построить модель регулирования запасов для непрерывного времени.

Задачи регулирования запасов встречаются и в экономике, при административном управлении торгово-промышленными предприятиями. Запас представляет собой некоторое количество вещества,предназначенного для последующего сбыта или производства,Эти вопросы изучались в работе [53] ,0бз:ор ряда результатов в этом направлении содержится в [61]. Рассматривались проблемы оптимизации [54,55, .67] , а также изучались различные случайные процессы,возникающие в теории запасов [5,35,36] ,

Дискретная модель Морана [78] описывается следующим уравнением:

Zrt + Хи,] - тСп {пг, * X,xj; где k - объем водохранилища; т - количество выпускаемой воды ( о< пг * 6. ); Хгъ - количество поступающей воды на п «м шаге ( { /и. ; /г о J « независимые одинаково распределенные случайные величины); - количество воды в водохранилище на /г-м шаге.

Модель накопления L

Zl = z + - lf(Zs)cCs о изучалась в [57] .Здесь Х± - процесс Леви [35] ; Г&) ' R,+ —? ft+ - некоторая неубывающая функция, Г Со) - о. Количество поступающей вода или вещества может описываться

ПМП, построенным по ПМВ [56] .В работе [72J процесс Х± представлялся в виде

Xh - —-J & * j , где IXnyfo} - ПМВ, - некоторая функция,Л

В этом случае модель теории запасов описывается уравнением где Ш)=тах{к.-. Z^ 4 £ f , Х^/ - ПМП, Г(г,Х/ - некоторая неубывающая по 2 функция.

Состояние теории запасов до 1959 г. рассматривалось в монографии Морана [79] * Итогом исследования теории запасов с марковским входом явилась работа [52] .В монографии [35] рассмотрена связь теории запасов с системами массового обслуживания»

Исследования предельных теорем для различных сложных систем,» описываемых эволюционными уравнениями,встречают значительные трудности, связанные с проблемой сложности фазового пространства [26] «Чтобы избежать их используется метод асимптотического фазового укрупнения [26] указывающийся эффективным при решении многих задач,относящихся к сложным системам.

Асимптотическое укрупнение цепей и процессов Маркова рассматривалось в [3,21,47] . Анализу полумарковских процессов в схеме асимптотического фазового укрупнения посвящены работы [22,26,18]. Применение предельных теорем для полумарковских процессов в схеме фазового укрупнения к задачам надежности систем изучалось в [27], Метод фазового укрупнения применяется и в стохастических системах с полумарковскими переключениями [I,2,29j, например, при изучении процессов с независимыми приращениями с прлумарковскими переключениями [29] . Одним из основных математических аппаратов теории фазового укрупнения является теория линейных операторов, возмущенных на спектре [9,21,24,26,46] .Теория асимптотического фазового укрупнения,развитая в работах В.С.Королюка и А.Ф.Турбина [2023,25,27,28,47,48,74 J, позволяет рассматривать марковские и полумарковские СЭ в схеме серий,допускающую фазовое укрупнение.Предельные теоремы для марковских СЭ в схеме асимптотического фазового укрупнения впервые изучались в работах [1-3,75,76] .

Настоящая диссертация посвящена доказательству предельных теорем для ПМСЭ в схеме фазового укрупнения и применению метода фазового укрупнения к некоторым прикладным задачам.

Диссертация состоит из введения,двух глав и списка цитируемой литературы»Общий объем работы составляет {{в страниц машино

1. В и ш и к М . И . ,Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосопряженныхи несамосопряженных дифференциальных уравнений. Усп.матем.наук, I960, т.15, в.З, с.3-80.

2. Гихман И, И,, Скороход А, В. Введение в теорию случайных процессов. М.:Наука,1965,- 654 с.

3. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов, М,:Наука,1973,т.2. - 639 с.

4. Г н е д е н к о Б,В. Курс теории вероятностей.-М.:Физматгиз,изд.3,1961. 387 с.

5. Григелионис Б. Характеризация случайных процессов с условно независимыми приращениями. Лит.матем.сб., 1975, т.15, № 4, с.53-60.

6. Данфорд Н», Шварц Дж, Линейные операторы. Общая теория. М.:ИЛ, 1962. - 895 с.

7. Иосида К. Функциональный анализ. М.:Мир,1967,-624 с.

8. К а т о Т . Теория возмущений линейных операторов.-М.:Мир,1972. 740 с.

9. Кабанов В .М . , Липцер Р . Ш . .Ширяев А . Н . Мартингальные методы в теории точечных процессов. В сб.:Труды школы-семинара по теории случайных процессов, Друскининкай,1974, ч.2, Вильнюс, 1975, с.269-354.

10. Королюк B.C. ,Свищук А. В. Предельные теоремы для полумарковских случайных эволюций в схеме асимптотического фазового укрупнения. Препринт Ин-та математики АН УССР, 84.16, Киев,1984, с.3-15.

11. Королюк B.C. , С в и ns у к А. В. Фазовое укрупнение полумарковских случайных эволюций. Труды Международной конференции "Стохастическая оптимизация".Тезисы докладов. Часть I.(Киев,1984). - Киев,1984, с.127-129.

12. Королюк В. С., Турбин А.Ф. Анализ асимптотических укрупняемых сложных систем. В кн. '.Математизация знаний и НТП. - Киев,1975, с.45-65*

13. Королюк В. С., Турбин А.Ф. Возмущение операторов на спектре и асимптотическое укрупнение цепей Маркова. ДАН УССР,1975, № 5,с.402-405.

14. Королюк B.C. , Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наук.думка,1976. -184 с.

15. Королюк B.C. Укрупнение сложных систем. (Meтодологические аспекты). Кибернетика,1977, № I,с.129-132,

16. Королюк В. С., Турбин А.Ф, Возмущение операторов на спектре и некоторые применения. В кн.:Про-блемы асимптотической теории нелинейных колебаний.Киев,1977, C.IG7 - 114.

17. Королюк В. С., Турбин А.Ф. Фазовое укрупнение сложных систем. Киев:Вища школа,1978. - 109 с.

18. Королюк В, G., Турбин А.Ф, Математические основы фазового укрупнения сложных систем. Киев:Наук, думка,1978. - 218 с.

19. Королюк B.C. , Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. -Киев:Наук,думка,1982. 235 с,

20. Королюк В, G., Турбин А.Ф. Алгоритм укрупнения с помощью разрежения. В кн.Аналитические методы в теории вероятностей. Сб.научн.тр. ,Киев:Наук„думка,1979, с.62-69.

21. Королюк В. В. Стохастические системы с полумарковскими переключениями, Препринт 83,85, ИК АН УССР,Киев, 1983, - 38 с.

22. Свищук А. В. Фазовое укрупнение в моделях теории запасов» Препринт Ин-та математики АН УССР,84.60, Киев, 1984,с.3-13.

23. Сильвестров Д. С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний. М.:Сов.радио,1980. - 272 с.

24. Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций. Киев:Вища школа,1974. - 318 с.

25. Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для полумарковских схем суммирования.I. Теор.вер. и матем.стат., 4, 197I,с.153-170.

26. Сильвестров Д.С. Процессы с дискретной компонентой полумарковского типа, Киев: КРУ,1977.

27. Статулявичюс В. А. Предельные т еоремы для сумм случайных величин, связанных в цепь Маркова. Лит.матем» сб.,1969, № 2,3,т.9, с.345-361, с.635-672.

28. Степанов А,А. Курс дифференциальных уравнений. М.:Гостехиздат,1955. - 465 с.

29. All Khan . Dams with Markovian Inputs.-Ph. D. Thesis, Univ. Sheffield, 1970.53. Arrow K.J.,Karlin S.,S k a r f H . Studies in the Math.Theory of Inventory and Production.- Stenford Univ-Press.,1958.

30. Bather J.A. Optimal regulation policies for finite dams.- J. Soc.Indust. Appl. Math.,1962, v.10, p. 395 423.

31. Bather J.A. The optimal regulation of dams in continuous time.- J. Soc.Indust. Appl. Math., 1963, v. 11, p. 33-63.

32. Cinlar E. On Dams with Continuous Semi-Markov inputs. J. Math.Anal. Appl., 1971, v.35, N 2, p. 434 - 448.

33. Cinlar E., Pinsky M .A Stohastic integral in Storage theory. Z. Wahrsh.,verw.Geb., 1971,v. 17, p. 227 240.

34. Cogburn R.,Herh R. Two limit theorems for random differentional equations.- Ind.Univ. Hath. J.,1973, v.22, p.1067 1089.

35. Ellis R.S. Limit theorems for random evolutions with explicit error estimates.- Z. Wahrsh. verw. Geb., 1974, v. 28,p.249 256.

36. Gani , Prabhu N. A stochastic model with continuous infinitely divisible inputs.- Proc.Camb.Phil. Soc., 1963, v. 59, p. 417 429.

37. G a n i . Problems in the probability theory of storage systems.- J.R.Stat.Soc.,1957, v.19, p.181 206.

38. G r i e g о R.J. Limit theorems for aclaes of multiplicative operator functionals of Brownian motion.-The Rocky Moun. J. of Math.,1974, v.4, К 3, p.435 442.

39. Griegor , Hersh R. Random evolutions, Markov chains , and systems of partial diff.equations.-Proc. Nat. Acad. Scien., 1969, v.62, p. 305 308.

40. Griegor , Hersh R. Theory of random evolutions with applications to partial diff. equations. -TAMS, 1971, v.156, p. 405 418 .

41. Gumbel E.J. The return period of flood flows. Amer. Math. Stat.,1941, v. 12, p. 163 - 190.

42. Hersh R . Random evolutions: a survey of results and problems. Rocky Moun. J.Math.,1974, v.14, p. 443 - 496.

43. Hersh R., Papanicolaou G. Non-commuting random evolutions and an operator-valued Peynman-Kac formula. Comm.Pure and Appl.Math.,1972,v.30, p.337 367.

44. Hurst H.E. Methods of using long term storage in reservoirs. -Trans.Amer.Soc.Civ. Eng.,1951,v. 116.

45. Hersh R., Pinsky M . Random evolutions are asymptotically Gaussian. Comm. Pure and Appl. Math., 1972, v.25, p. 33 - 44 .

46. К а с M . A stochastic model related to the telegraherfs equation. The Rocky Moun.J. of Math.,1974, v.4, N 3, p. 497 - 510.

47. К a t о Т. Linear evolution equations og hyperbolic type. J. Fac.Scien., Univ. of Tokyo, v.17, 1970,p.241 275.

48. Kertz R. Random evolutions with underlying semi-Markov processes. Publ. Res,insr.Math.Scien.,1978, v.14, N 3, p. 589 - 614.

49. Koroljuk V . S . , Turbin А.P., Svishchuk А . V . Markov Random evolutions.

50. USSR-Japan Symposium on prob.theory and math.stat., Tbilisi, 1982, Abstracts of Communications, v.2, p.39 40.

51. Koroljuk V • S • , Turbin A.P. Limit theorems for Markov random evolutions in the scheme of asymptotic state lumping. Lectures notes in Math.,1983, 1021, p. 327 - 332.

52. Kurtz M. A limit theorem for perturbed operator semigroups with applications to random evolutions.-J. Punc.Anal.,1973, v. 12,p.55 67.

53. Moran P. A probability theory of dams and storage systems.- Aust.J.Appl.Scien.,1954, v.5,p.116 -124.

54. Moran P. The theory of Storage. -London, 1959.

55. Papanicolaou G . Motion of a particle in a random field. J.Math. Phis.,1971, v.12, p.1494-1496.

56. Papanicolaou G ., Hersh R . Some limit theorems for stochastic' equations and applications.-Ind.Univ.Math.,J.,1972, v.21, p.815 -840.

57. Papanicolaou G ., Keller J. Stochastic differential equations with applications to random garmonic oscillators and ware propagation in random medie. SIAM J. Appl.Math.,1971, v.21, p.287 - 305.

58. Papanicolaou G. ,McLanghlin 0., Burridge R.A stochastic Gaussian beam.J. Math.Phys.,1973» v.14, p. 84 89.

59. Papanicolaou G., Varadhan S. A limit theorem with stroug mixing in Banach space and two applications to stochastic differential equations. Comm. Pure and Appl.Math., 1973, v.26, p.497 - 524.

60. Papanicolaou G. Kinetic theory for power transfer in stochastic systems.-J.of Math.Phys.,1972, v. 13, N 12, p.1912 1919.

61. Papanicolaou G. Asymptotic analysis of transport processes.-Bull.Amer.Math.Soc.,1975,v.81,p.330-392.

62. Pinsky M . Multiplicative operator functional of a Markov processes. Bull.Amer.Math.Soc.,1972, v.77, p#377 - 380.

63. Pinsky M. Stochastic integral represented of multiplicative operator functionals of a Wiener process» 0?AMS, 1972, v.l67, p.89- Ю4.

64. Pinsky M. Random evolution.- Lecture Notes in mathematics, 1975, v.451,p.89 100.

65. Pinsky M. Differential equations with a small parameter and the central limit theorem for functions defined on a finite Markov chaine. Z.Warch.verw.Geb.,1968, v.9, p.101-111.

66. Quiring D. Random evolutions on diffusion processes. Z. Warch.verw.Geb.,1972, v.23, p.230 - 244.

67. Schoeue A. Semi-groups and a class of singular pertiirbated peoblems. -Ind.Univ.Math.J., 1970,v.20, p.247 263.

68. Watkins J.A central Limit Theorem in Random evolutions. Ann. of Prob.,1984, v. 12, IT 2,p.480 514.