Динамика двумерных бильярдов с зависящими от времени границами на плоскости и на сфере тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1 Введение

2 Элементы теории бильярдных динамических систем

2.1 Двумерные системы бильярдного типа.

2.1.1 Понятие бильярда.

2.1.2 Развитие хаотичности в плоских двумерных бильярдах и некоторые их свойства 51,

2.2 Хаотичность динамических систем.

2.2.1 Основные критерии хаотичности

2.3 Исследование динамических свойств бильярдных систем на основе анализа динамики узких пучков траекторий.

2.3.1 Основные понятия.

2.3.2 Гиперболичность.

2.3.3 Экспоненциальное разбегание близких траекторий.

3 Динамика бильярдов с возмущаемыми границами и проблема ускорения Ферми 85,234,235]

3.1 Введение

3.2 Газ Лоренца

3.2.1 Газ Лоренца с неподвижной границей

3.2.2 Газ Лоренца с осциллирующими границами рассейвателей

3.3 Ускорение Ферми

3.3.1 Средее изменение скорости в общем случае.

3.3.2 Стохастически возмущаемая граница рассейвателей.

3.3.3 Периодически возмущаемые границы рассейвателей.

3.3.4 Численные результаты.

5.2.2 Гиперболичность.i.82

5.2.3 Экспоненциальное разбегание близких траекторий.84

Заключение 88

6 Литература 90

Заключение

Данная диссертационная работа посвящена исследованию бильярдных динамических систем с зависящими от времени границами, а также бильярдов, определённых на сферической поверхности. Основные результаты работы, которые выносятся на защиту, состоят в следующем:

1. Развита аналитическая техника, позволяющая исследовать бильярд с возмущаемой границей произвольного вида с точки зрения наличия ускорения Ферми. Для рассеивающего бильярда типа газа Лоренца обонована гипотеза о достаточности условия хаотичности бильярда с постоянной границей для возникновения в такой системе ускорения Ферми при наличии возмущения.

2. Выявлено два механизма, приводящих к возникновению в бильярдах с зависящей от времени границей ускорения Ферми: "сносовый"и "дисперсионный". Для бильярда типа газа Лоренца показано наличие неограниченного роста скорости бильярдной частицы как в случае регулярных, так и в случае стохастических колебаний границ рассеивателей. Показано, что корреляции между последовательными изменениями скорости приводят к тому, что в регулярном случае ускорение оказывается больше, чем в стохастическом.

3. На основе анализа динамики узких пучков траекторий выявлено два возможных типа гиперболичности бильярдов на плоскости, соответствующих двум типам возникновения хаотической динамики в плоских бильярдах. Показано, что оба типа гиперболичности приводят для многих классов бильярдов к экспоненциальному разбеганию близких траекторий (положительности максимального ляпуновского показателя).

4. Перенесение методов анализа динамики узких пучков траекторий, развитых для плоских бильярдов, на бильярды сферические позволило обнаружить для последних наличие двух типов гиперболичности, соответствующих типам гиперболичности бильярдов плоских. Показано, что, как и в плоском случае, оба типа гиперболичности приводят для широких классов сферических бильярдов к экспоненциальному разбеганию близких траекторий (положительности максимального ляпуновского показателя). Показано динамическое подобие узких пучков траекторий в плоских и сферических бильярдах.

5. Найдено, что в случае сферической поверхности положительность кривизны пространства не преобладает над хаотическими свойствами расположенной в этом пространстве бильярдной границы.

6. На строгом уровне показано, что в общем случае никакие малые колебания границ хаотических сферических бильярдов не могут изменить качественного характера динамики таких систем.

7. Для некоторых хаотических бильярдов с границами, состоящими только из фокусирующих и нейтральных компонент, показана возможность подавления хаоса малыми возмущениями.

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю А.Ю.Лоскутову за формулировку темы диссертационной работы, постановку задач и деятельное участие в обсуждении полученных результатов. Я глубоко признателен А.Б.Рябову и К.А.Васильеву за тесное научное сотрудничество при решении ряда конкретных проблем. Мне также хочется поблагодарить С.Д.Рыбалко за многочисленные и плодотворные дискуссии, оказавшие большое влияние на характер проведённых исследований.

Глава 6

1. A.Poincare. Calcul des Probabilities.- Gauthier-Villars, Paris, 1912.

2. А.Н.Колмогоров. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега ДАН СССР, 1958, т.119, No5, с.861-864.

3. А.Н.Колмогоров. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов-ДЛЯ СССР, 1959, г.124, No4, с.754-755.

4. Я.Г.Синай. О понятии энтропии динамической системы.- ДАН СССР, 1959, т.124, No4, с.768-771.

5. А.Н.Шарковский, Ю.Л.Майстренко, Е.Ю.Романенко. Разностные уравнения и их приложения Киев, Наукова думка, 1986.

6. G.D.Birkhoff. Dynamical systems American Mathematical Sosiety, N.Y., 1927.

7. Я.Г.Синай. Об одной физической системе, имеющей положительную энтропию.-Вестник Моск. ун-та, сер. Матем.-мех., 1963, т.5, с.6-12.

8. Я.Г.Синай. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики -Докл. АН СССР, 1963,т.153, No6, с.1261-1264.

9. Л.А.Бунимович, Я.Г.Синай. Об основной теореме теории рассеивающих бильярдов. Матем. сб., 1973, т.90, No3, с.415-431.

10. Л.А.Бунимович. О бильярдах, близких к рассеивающим.- Матем. сб., 1974, т.94, Nol, с.49-73.

11. L.A.Bunimovich. On the ergodic properties of nowhere dispersin billiards.- Commun. Math. Phys., 1979, v.65, No3, p.295-312.

12. Л.А. Бунимович. Об эргодических свойствах бильярдов, близких к рассеивающим.-ДАН СССР, 1973, т.211, No5, с. 1024-1026.

13. Я.Г.Синай. Динамические системы с упругими отражениями. Эргодические свойства рассеивающих бильярдов.- Успехи матем. наук, 1970, т.25, вып.2, с.141-192.

14. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Statistical properties of Lorentz gas with periodic configuration of scatters.- Commun. Math. Phys., 1981, v.78, No4, p.479-497.

15. Л.А.Бунимович. Системы гиперболического типа с особенностями.- В сб. Динамические системы. Т.2.- М., ВИНИТИ, 1985, с.173-204.

16. L.A.Bunimovich. Conditions of stochasticity for two-dimensional billiards.- Chaos, 1991, v.l, No2, p. 187-193.

17. R.Lima, M.Pettini. Suppression of chaos by resonant parametric perturbations.- Phys. Rev. A, 1990, v.41, No2, p.726-733.

18. J.Singer, Y-Z.Wang, H.H.Bau. Controlling a chaotic system.- Phys. Rev. Lett., 1991, v.66, p.1123-1125.

19. L.Fronzoni, M.Geocondo, M.Pettini. Experimental evidence of suppression of chaos by resonant parametric perturbations Phys. Rev. A, 1991, v.43, p.6483-6487.

20. Y.Braiman, I.Goldhirsh. Taming chaotic dynamics with weak periodic perturbations-Phys. Rev. Lett., 1991, v.66, p.2545-2548.

21. S.Rajasekar, M.Lakshmanan. Algorithms for controlling chaotic motion: application for the BVP oscillator.- Physica D, 1993, v.67, Nol-3, p.282-300.

22. S.Bielawski, D.Derozier, P.Glorieux. Controlling unstable periodic orbits by a delayed continuous feedback Phys. Rev. E, 1994, v.49, No2, p.971-974.

23. Ph.V.Bayly, L.N.Virgin. Practical considerations in the control of chaos Phys. Rev. E, 1994, v.50, Nol, p.604-607.

24. D.Vassiliadis. Parametric adaptive control and parameter identification of low-dimensional chaotic systems -Physica D, 1994, v.71, Nol-2, p.319-341.

25. B.Hiibinger, R.Doerner, W.Martienssen. Controlling chaos experimentally in systems exhibiting large effective Lyapundv exponents Phys. Rev. E, 1994, v.50, No2, p.932-948.

26. R.Mettini, T.Kurz. Optimized periodic control of chaotic systems Phys. Lett. A, 1995, v.206, No5-6, p.331-339.

27. R.Chacon. Suppression of chaos by selective resonant parametric perturbations.- Phys. Rev. E, 1995, v.51, Nol, p.761-764.

28. T.Shinbrot. Chaos: Unpredictable Yet Controllable?- Nonlinear Sci. Today, 1993, v.3, No2, p.1-8.

29. T.Shinbrot, C.Grebogi, E.Ott, J.A.Jorke. Using small perturbations to control chaos.-' Nature, 1993, v.363, p.411-417.

30. В.В.Алексеев, А.Ю.Лоскутов. Дестохастизация системы со странным аттрактором посредством параметрического воздействия.- Вестник Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., 1985, т.26, No3, с.40-44.

31. В.В.Алексеев, А.Ю.Лоскутов. Управление системой со странным аттрактором посредством периодического параметрического воздействия.- ДАН СССР, 1987, т.293, вып.6, с.1346-1348.

32. А.Ю.Лоскутов, А.И.Шишмарев. Об одном свойстве семейства квадратичных отображений при параметрическом воздействии.- Успехи матем. наук, 1993 т.48, вып.1,, с. 169-170.

33. A.Yu.Loskutov, A.I.Shishmarev. Control of dynamical systems behavior by parametric perturbations: an analytic approach.- Chaos, 1994, v.4, No2, p.351-355.

34. M.Pettini. Controlling chaos through parametric excitations. In: Dynamics and Stochastic Processes. Ed. R.Lima, L.Streit, R.VilelaTMendes.- Springer, Berlin, 1990, p.242-250.

35. Yu.S.Kivshar, B.Rodelsperger, H.Benner. Suppression of chaos by nonresonant parametric perturbations Phys. Rev. E, 1994, v.49, p.319-324.

36. A.B.Corbet. Suppression of chaos in ID maps.- Phys. Lett. A, 1988, v. 130, No4-5, p.267-270.

37. A. Hiibler, R. Georgii, M. Kuckler, W. Stelzl, E. Liisher. Resonant stimulation of nonlinear damped oscillators by Poincare maps.- Helv. Phys. Acta, 1988, v.61, p.897-900.

38. A. Hiibler. Adaptive control of chaotic systems.- Helv. Phys. Acta, 1989, v.62, p.343-346.

39. E. Lusher, A. Hiibler. Resonant stimulations of complex systems Helv. Phys. Acta, 1989, v.62, p.544-551.

40. E. A. Jackson, A. Hiibler. Periodic entrainment of chaotic logistic map dynamics.-Physica D, 1990, v.44, p.407-420.

41. B.A.Huberman, E.Lumer. Dynamics of adaptive systems.- IEEE Trans. Circ. Syst., 1990, v.37, p.547-550.

42. K.Pyragas. Stabilization of unstable periodic and aperiodic orbits of chaotic systems by self-controlling feedback Z. Naturforsch A, 1993, v.48, p.629-632.

43. G.I.Dykman, P.S.Landa, Yu.I.Neitriark. Synchronization the chaotic oscillations by external force Chaos, Solitons & Fractals, v.l, No4, p.339-353.

44. Ю.И.Неймарк, П.С.Ланда. Стохастические и хаотические колебания- М., Наука, 1987.

45. E.Ott, C.Grebogi, J.A.Yorke. Controlling chaos Phys. Rev. Lett., 1990, v.64, p. 11961199.

46. F.J.Romeiras, E.Ott, C.Grebogi, W.P.Dayawansa. Controlling chaotic dynamical systems Physica D, 1992, v.58, p.165-192.

47. A.Yu.Loskutov. Non-feedback controlling complex behaviour: an analytic approach.- In: Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results. Ed. J.Awreicewicz.- Springer, Berlin, 1995, p.125-150.

48. R.Meucci, W.Gadomski, M.Ciofini, F.T.Arecchi. Experimental control of chaos by weak parametric perturbations.- Phys. Rev. E, 1994, v.49, No4, p.2528-2531.

49. Аносов Д.В. Геодевические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны.- М.: Наука, 1967.

50. Д.В.Аносов. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны.- ДАН, 1962, т.145, No4, с.707-709.

51. Лоскутов А.Ю., Акиншин Л.Г. Динамические свойства некторых двумерных бильярдов с возмущаемыми границами.- Физическая мысль России, 1997, No 2/3, с.67-86.

52. А.Ю.Лоскутов, А.Н.Соболевский, Л.Г.Акиншин. Динамика бильярдов с периодически зависящими от времени границами.- Будет опубликовано.

53. Н.С.Крылов. Работы по обоснованию статистической физики.-М.-Л., АН СССР, 1950.

54. Динамические системы. Том 2. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления ."-ВИНИТИ, 1985.

55. A.Tabachnikov. Billiards.- Pranse Mathematical Soc. Press, 1995.

56. Г.М.Заславский. Стохастичность динамических систем.- М., Наука, 1984.

57. G.Gallavotti, D.Ornstein. Billiards and Bernoulli shemes.- Commun. Math. Phys., 1974, v.38, No2, p.83-101.

58. Boldrigini С, Keane M, Marchetti F., Ann. of Probability, vol.6, No4 (1978), p.532-540.

59. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория М.: Наука, 1980.

60. Болотин С.В., Вестн. МГУ, сер. Магпем. и Мех., No2 (1990), с.33-36.

61. Zaslavsky G.M., Phys. Rep., vol.80, No3 (1981), p.159-250.

62. R.H.Helleman. Nonlinear dinamics- N.Y.: Am. N. Y. Acad. Sci., 1980, v.357

63. И.П.Корнфельд, Я.Г.Синай, С.В.Фомин. Эргодическая теория.- М.: Наука, 1980.

64. А.Ю.Лоскутов, А.С.Михайлов. Введение в синергетику- М., Наука, 1990.

65. А.Лихтенберг, М.Либерман. Регулярная и стохастическая динамика.- М., Мир, 1984.

66. В.И.Оселедец. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем Труды Моск. матем. об-ва, 1968, т.19, с. 179-210.

67. Я.Б.Песин. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория.- Успехи матем. наук, 1977, т.32, вып.4, с.55-111.

68. K.Kaneko. Pattern dynamics in spatio-temporal chaos.- Physica D, 1989, v.34, p.1-41.

69. K.Kaneko. Spatiotemporal chos in one- and two-dimensional coupled map lattices.-Physica D, 1989, v.37, p.60-82.

70. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Space-time chaos in coupled map lattices.- Nonlinearity, 1988, v.l, p.491-504.

71. Л.А.Бунимович. Системы гиперболического типа с особенностями.- В сб. Динамические системы. Т.2.- М., ВИНИТИ, 1985, с.173-204.

72. J. Stat. Phys., 1996, v.83, Nol-2. Том, изданный по материалам международного симпозиума по классическим и квантовым бильярдам (25-30 июля 1994, Аскона, Швейцария).

73. J.Koiller, R.Markarian, S.O.Kamphorst, S.P. de Carvalho. Static and time-dependent perturbations of the classical elliptical billiard.- J. Stat. Phys., 1996, v.83, Nol-2, p.127-143.

74. New Trends in Hamiltonian Systems.- World Sci., Singapore, 1996.

75. E.Fermi. On the origin of the cosmic radiation.- Phys. Rev., 1949, v.75, No8, p.1169-1174.

76. Г.М.Заславский, Б.В.Чириков. Механизм ускорения Ферми в одномерном случае.-Докл. Акад. наук СССР, 1964, т. 159, No2, с.306-309.

77. S.M.Ulam. On some statistical properties of dynamical systems.- In: Proc. of the 4th Berkeley Symp. on Math. Stat, and Probability, California Univ. Press, 1961, v.3, p.315-320.

78. А.Лихтенберг, М.Либерман. Регулярная и стохастическая динамика М., Мир, 1984.

79. Г.М.Заславский. Стохастическая необратимость в нелинейных системах М., Наука, 1970.

80. A.J.Lichtenberg, M.A.Lieberman, R.H.Cohen. Fermi acceleration revisited Physica D, 1980, v.l, p.291-305.

81. Л.Д.Пустыльников. О модели Ферми-Улама.- ДАН СССР, 1987, т.292, No3, с.549-553.

82. Л.Д.Пустыльников. Существование инвариантных кривых для отображений, близких к вырожденным, и решение проблемы Ферми-Улама Матем. сб., 1994, т.85, No6, с.113-124.

83. T.Kriiger, L.D.Pustyl'nikov, S.E.Troubetzkoy. Acceleration of bouncing balls in external fields.- Nonlinearity, 1995, v.8, p.397-410.

84. Лоскутов А.Ю., Рябов А.Б., Васильев K.A., Акиншин Л.Г. Динамика бильярдов с возмущаемыми границами и проблема ускорения Ферми.- Физическая мысль России, 1997, No 2/3, с.87-103.

85. K.J.Tsang, K.L.Ngai.- Phys. Rew. E, 1997, R17.

86. K.J.Tsang, M.A.Lieberman Physica D, 1984,147. K.J.Tsang, M.A.Lieberman - Phys. Lett., 1984, 175.

87. A.P.Veselov. Confocal surfases and integrable billiards on the sphere and in the Lobachevsky spase JGP, 1990, Vol .7, Nol.

88. S.J.Chang, K.J.Shi. Billiard system on quadric surfaces and the Poncelet theorem.- J. Math. Phys., 1989, v.30, p.798-804.

89. У.С.Линдсей, Ф.Гхазвинян, В.К.Хагман, Х.Дессуки. Синхронизация сетей.- ТИ-ИЭР, 1985. Т.73, NolO. с.6-31.

90. В.В.Шагильдян, А.А.Ляховкин. Системы фазовой автоподстройкм частоты-М.: Связь, 1972.

91. В.Линдсей. Системы синхронизации в связи и управлении. Пер. с англ. под ред. Ю.Н.Бакаева, М.В.Капранова.- М.: Сов. радио, 1978.

92. И.И.Блехман. Синхронизация в природе и технике.- М.: Наука, 1981.

93. S.M.Ulam, J. von Neumann. On combination of stochastic and deterministic processes.-Bull. Amer. Math. Soc., 1947, v.53, p.1120.

94. Л.А.Бунимович. Об одном преобразовании окружности.- Матем. заметки, 1970, т.8, с.205-216.

95. D.Ruelle. Applications conservant une mesure absolutement continue par rapport a dx sur 0,1 }.-Comm. Math. Phys., 1977, v.55, p.47-51.

96. J.Guckenheimer. One-dimensional Mappings and Strange Attractors. Contemp. Math.,1987, v.58, part III, p.143-160.

97. M.Rychlik. A proof of Jakobson's theorem.- Ergodic Theory and Dynamical Systems,1988, v.8, p.93-109.

98. А.Блох, М.Любич. Эргодические свойства отображений интервала.- Функцион. анализ и его прил., 1989, т.23, вып.1, с.59-60.

99. A.Yu.Loskutov, S.D.Rybalko. Parametric perturbations and suppression of chaos in n-dimensional maps Preprint ICTP IC/94/347, Trieste, Italy, 1994.

100. A.N.Derjugin, A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko. Inducing stable periodic dynamics by parametric perturbations.- Fractals, Solitons, and Chaos, 1996, v.7, NolO, p. 1-13.

101. L.Glass and M.C. Mackey. From Clocks to Chaos. The Rhythms of Life. (Princeton University Press, Princeton, NJ, 1988).

102. М.Якобсон. Эргодическая теория одномерных отображений,- В сб. Динамические системы. Т.2.- М., ВИНИТИ, 1985.

103. Я.Б.Песин. Общая теория гладких гиперболических динамических систем.-В сб. Динамические системы. Т.2.- М., ВИНИТИ, 1985.

104. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Ctatistical Mechanics of coupled map lattices.- In: Theory and Applications of Coupled Map Lattices, ed. K.Kaneko.- Wiley, 1993, p. 169-189.

105. A.Katok, B.Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems-Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.

106. A.S.Mikhailov, A.Yu.Loskutov. Chaos and Noise Springer, Berlin, 1996.

107. M.Bar, M.Eiswirth. Turbulence due to spiral break-up in continuous excitable medium.- Phys. Rev. E, 1993, v.48, p.1635-1637.

108. Zhilin Qu, J.N.Weiss, A.Garfinkel. Spatiotemporal chaos in simulated ring of cardiac cells.- Phys. Rev. Lett., 1997, v.58, p.1378-1390.

109. S.Morita. Lyapunov analisis of collective behaviour in a network of chaotic elements.-Phys. Lett. A, 1997, v.226, p.172-178

110. Theory and Applications of Coupled Map Lattices, ed. K.Kaneko.- Wiley, 1993.

111. Chaos Focus Issue on Coupled Map Lattices.- Chaos, 1992, v.2, No3.

112. Proc. of the SPIE 1993 Annual Meeting " Chaos in Communications".- San Diego, California, 11-16 July, 1993, v.2038.

113. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko. Extraction of the prototypes encoded in a chaotic attractor. In: Artificial Neural Networks, eds. I.Alexander and J. Taylor.- Elsevier, North-Holland, 1992, p.449-452.

114. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko. Processing information encoded in chaotic sets of dynamical systems SPIE, 1993, v.2038, p.263-272.

115. H.D.I.Abarbanel, P.S.Linsay. Secure communications and unstable periodic orbits of strange attractors- IEEE Trans. Circuits Systs., 1993, v.40, NolO, p.643-645.

116. Physica D, 1995, v.84, Nol-2.

117. L.Glass. Cardiac arrhythmias and circle maps A classical problem.- Chaos, 1991, v.l, Nol, p.13-19.

118. А.Ю.Лоскутов. Нелинейная динамика и сердечная аритмия.- Прикладная нелинейная динамика, 1994, т.2, No3-4, с. 14-25.

119. L.Bresler, G.Metcalfe, J.M.Ottino, T.Shinbrot. Isolated mixing regions: origin, robustness and control Chem. Eng. Sci., 1996, v.58, p. 1671-1679.

120. T.Shinbrot, J.M.Ottino. A geometric method to create coherent structures in chaotic flows Phys. Rev. Lett., 1993, v.71, p.843-847.

121. K.Kaneko. Globally coupled circle maps Physica D, 1991, v.54, p.5-19.

122. W.Just. Bifurcations in globally coupled map lattices.- J. Stat. Phys., 1995, v.79, p.429-449.

123. В.И.Арнольд, В.С.Афраймович, Ю.С.Ильяшенко, Л.П.Шильников. Теория бифуркаций.- В кн. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 5- М., ВИНИТИ, 1986, с.5-218.

124. Н.Н.Баутин, Е.А.Леонтович. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости М., Наука, 1990.

125. Дж.Марсден, М.Мак-Кракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложенияМ., Мир, 1980.

126. Б.Хэссард, Н.Казаринов, И.Вэн. Теория и приложения бифуркации рождения цикла М., Мир, 1985.

127. В.И.Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений М., Наука, 1978.

128. G.Perez, S.Sinha, H.Cerdeira. Nonsimultaneity effects in globally coupled maps.- Phys. Rev. E, 1996, v.54, p.6936-6939.

129. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Ред. А.В. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович,- Изд-во ИПФ АН, Горький, 1989.

130. D.G.Aronson, H.F.Weinberger. Nonlinear diffusion in population genetics, combustion and nerve pulse propagation.- Lect. Notes in Math., 1975, v.446, p.5-49.

131. В.А.Васильев, Ю.М.Романовский. В.Г.Яхно. Автоволновые процессы. Ред. Д. С. Чернавский.- М., Наука, 1987.

132. Автоволновые процессы в истемах с диффузией. Сб. научн. трудов.- ИПФ АН СССР, 1981.

133. В.С.Афраймович. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов.- В кн. "Нелинейные волны. Структуры и бифуркации". Ред. А.В.Гапонов-Грехов, М.И.Рабинович.-М., Наука, 1987, с.189-213.

134. M.J.Feigenbaum. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations.-J. Stat. Phys., 1978, v.19, p.25-52.

135. А.В.Гапонов-Грехов, М.И.Рабинович. Нелинейная физика. Стохастичность и структуры. В сб. "Физика XX века: развитие и перспективы. М., Наука, 1984.

136. Я.Г.Синай. Современные проблемы эргодической теории М., Наука, 1995.

137. Е.Б.Вул, Я.Г.Синай, К.М.Ханин. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм.- Успехи матам, наук, 1984, т.39, вып.З (237), с.3-37.

138. P.Collet, J.-P.Eckmann. Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems-Birkhauser, Boston, 1980.

139. Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ.- М., Мир, 1989.

140. A.S.Mikhailov. Distributed Active Systems Enlarged Second Ed., Springer, Berlin, 1994.

141. T.Kohonen. Self-Organization and Associative Memory.- Springer, Berlin, 1988.

142. H.Haken. Information and Self-Organization- Springer, Berlin, 1988.

143. Chaos II, ed. Hao Bai-Lin.- Worls Sci., 1990.

144. P.Manneville. Dissipative Structures and Weak Turbulence Academic Press, London, 1990.

145. Т.Кохонен. Ассоциативные запоминающие устройства.- М., Мир, 1982.

146. J.J.Hopfield. Neural networks and physical systems with emergent collective computation abilities In: Proc. National Acad.Sci. USA, 1982, v.79, p.2554-2558.

147. Г.Шустер. Детерминированный хаос. Введение М., Мир, 1988.

148. J.J.Hopfield, D.J.Feinstein, R.G.Palmer. "Unlearning"has a stabilizing effect in collective memories Nature, v.304, 1983, p.158-159.

149. Synergetics of the Brain. Eds. E.Basar, H.Flohr, H.Haken, A.J.Mandell.- Springer, Berlin, 1983.

150. В.И.Крюков, Г.Н.Борисюк, Р.М.Борисюк, А.Б.Кириллов, Е.И.Коваленко. Мета-стабильные и устойчивые состояния в мозге Научный центр биологических исследований АН СССР, Пущино, 1986.

151. Chaos in Brain Functions. Ed. E.Basar.- Springer, Berlin, 1990.

152. Y.Pomeau, P.Manneville. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems Commun. Math. Phys., 1980, v.74, No7, p.189-197.

153. P.Manneville, Y.Pomeau. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems Physica D, 1980, v.l, No2, p.219-226.

154. П.Берже, И.Помо, К.Видаль. Порядок в хаосе- М., Мир, 1991.

155. В.С.Афраймович, Л.П.Шильников. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел.- Докл. АН СССР, 1974, т.219, No3, с.1281-1285.

156. Е.М.Ижикевич, Г.Г.Малинецкий. Модель нейронной сети с хаотическим поведением Препринт Nol7 ИПМ им.М.В.Келдыша, 1993.

157. B.Hu. Functional renormalization-group equations approach to the transition to chaos-In: Chaos and Statistical Methods, ed. Y.Kuramoto. Springer, Berlin, 1984, p.72-82.

158. B.Hu, J.Rudnick. Exact solutions to the Feigenbaum renormalization-group equation for intermittency- Phys. Rev. Lett., 1982, v.48, No24, p.1645-1648.

159. А.С.Дмитриев. Запись и распознавание информации в одномерных динамических системах.- Радиотехника и электроника, 1991, т.5, с.101-108.

160. A.Torcini, A.Polity. Linear and non-linear mechanisms of information propagation.-Europhys. Lett., 1994, v.28, No2, p.545-550.

161. E.Kostelich. Symphony in chaos communication.- New Science, 1995, v.146, Nol972, p.36-39.

162. В.С.Афраймович, Л.П.Шильников. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность.- В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1983, с.3-26.

163. K.Kaneko. Collapse of Tori and Genesis of Chaos in Dissipative Systems.- World Sci., Singapore, 1986.

164. D.G.Aronson, M.A.Chory, G.R.Hall, R.P.McGehee. A discrete dynamical systems with subtly wild behavior. In: New Approach to Nonlinear Problems in Dynamics.- Philadelphia, SI AM, 1980, p.339-360.

165. J.Carry, J.A.Yorke. A transition from Hopf bifurcation to chaos: computer experiments with maps on R2. In: Lecture Notes in Mathematics Springer, Berlin, 1978, v.470, p.48-66.

166. В.С.Анищенко. Сложные колебания в простых системах- М., Наука, 1990.

167. J.Belair, L.Glass. Universality and self-similarity in the bifurcations of circle maps.-Physica D, 1985, v.16, p.143-154.

168. S.Newhouse, J.Palis, F.Takens. Bifurcations and stability of families of diffeomor-phisms.- РиЫ Math. IHES, 1983, No57, p.5-72.

169. K.Kaneko. Supercritical behavior of disordered Orbits of a circle map.- Progr. Theor. Phys., 1984, v.73, No6, p.1089-1103.

170. P.L.Boyland. Bifurcations of circle maps: Arnol'd tongues, bistability and rotation intervals.- Commun. Math. Phys., 1986, v.106, p.353-381.

171. D.Jianhua, Y.Huawei, W.Lingan. The use of chaos in information enciphering.- Chin. Sci. Bull., 1996, v.41, No5, p.375-379.

172. J.S.Nicolis. Chaos and Information Processing- World Sci., Singapore, 1991.

173. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko, K.A.Vasiliev. Stabilization of chaotic dynamics of one-dimensional maps by a cyclic parametric transformation.- Int. J. Bif. and Chaos, 1996, v.6, No4, p.725-735.

174. L.Pecora, T.Caroll. Synchronization of chaotic systems.- Phys. Rev. Lett., 1990, v.64, p.821-823.

175. J.Palis, F.Takens. Hyperbolicity and creation of homoclinic orbits.- Ann. of Math., 1987, v.125, p.337-374.

176. J.Palis, F.Takens. Hyperbolicity and Sensitive-Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations- Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1993.

177. L.Mora, M.Viana. Abundance of strange attractors.- Acta Math., v.171, p.1-71.

178. L.Pecora, T.Caroll. Driving systems with chaotic signals Phys. Rev. A, 1991, v.44, p.2374-2383.

179. K.Sean Halle, C.-W. Wu, M.Itoh, L.O.Chua. Spread spectrum communication through modulation of Chuas's circuit.- World Sci. Series on Nonlin. Sci., 1993, ser.B, v.l, p.379-394.

180. P.J.Holmes, F.C.Moon. Strange attractors and chaos in nonlinear mechanics.- Trans. ASMS, Ser. E, 1983, v.50, No4, p.1021-1032.

181. В.К.Мельников. Устойчивость центра при периодических по времени возмущениях.- Тр. Моск. матем. об-ва, 1963, т. 12, с.3-52.

182. D.R.Frey. Chaotic digital encoding: an approach to secure communication- IEEE Trans. Circ. Syst. 1993, v.40, p.660-666.

183. M.Viana. Chaotic dynamical behaviour.- Proc. of Xlth Int. Congress of Math. Phys. (Paris, 1994)- Internat. Press, Cambridge, MA, 1995, p.1142-1154.

184. O.A.Druzhinin, A.S.Mikhailov. Regular and chaotic patterns in a coupled map lattice.-Phys. Lett. A, 1990, v.148, No8-9, p.429-433.

185. M.Viana. Strange attractors in higher dimensions.- Bull. Braz. Math. Soc., 1993, v.24, p. 13-62.

186. N.Romero. Persistence of homoclinic tangencies in higher dimensions.- Thesis IMPA, 1992.

187. J.Palis, M.Viana. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many periodic attractors Ann. of Math., 1994, v.140, p.207-250.

188. Л.П.Шильников. Об одном случае существования счетного множества периодических движений.- Докл. АН СССР, 1965, т.160, No3, с.558-561.

189. Cellular Automata and Modelling of Complex Physical Systems. Ed. P.Manneville, N.Boccara, G.Y.Vichniac, R.Bidaux- Springer Proc. in Phys., 1989, v.46.

190. O.A.Druzhinin, A.S.Mikhailov. Spatio-temporal chaos and synchronization in probabilistic cellular automata.- Preprint Nol626, Институт космических исследований, Москва, 1989.

191. A.Yu.Loskutov. A new approach to the self-organization problem in nonautonomo-us systems.- Abstracts of the International Conference "Criteria of Self-Organization in Physical, Chemical, and Biological Systems. Moscow-Suzdal, June 12-18, 1995, p.144.

192. V.S.L'vov, A.A.Predtechensky, A.I.Chernykh. Bifurcations and chaos in the system of Taylor vortices laboratory and numerical experiment.- In: Nonlinear Dynamics and Turbulence, eds. G.I.Barenblatt et al., Plenum 1983, p. 238-280.

193. A.V.Gaponov-Grekhov, M.I.Rabinovich, I.M.Starobinets. Arising of Multidimensional Chaos in the Active Lattices Sovet. Phys. Dokl, vol.292, 1984, p.64-67.

194. K.Kaneko. Overview of coupled map lattices.- In: Chaos Focus Issue on Coupled Map Lattices, ed. K.Kaneko, Chaos, vol.2, 1992, p.279-282.

195. A.V.Holden, J.V.Tucker, H.Zhang, M.J.Poole. Coupled map lattices as computational systems.- In: Chaos Focus Issue on Coupled Map Lattices, ed. K.Kaneko, Chaos, vol.2,1992, p.367-376.

196. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Statistical mechanics of coupled map lattices In: Theory and Application of Coupled Map Lattices, ed. K.Kaneko, Wiley, 1993, p.169-189.

197. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Space-time chaos in coupled map lattices.- Nonlinearity, vol.1, 1988, p.491-504.

198. Ya.B.Pesin, Ya.G.Sinai. Space-time chaos in chains of weakly-coupled hyperbolic maps.-In: Advances in Soviet Mathematics, vol.3, Harwood Academic, Switzeland, 1991.

199. H.Keller, M.Kiinzle. Transfer operators for coupled map lattices.- Ergod. Theory Dynam. Syst., vol.12, 1992, p.297-318.

200. M.L.Blank. Small Prturbations of Chaotic Dynamical Systems Russ. Math. Surv., vol.44, 1989, p.3-28.

201. V.S.Afraimovich, S.-N.Chow. Existence of Evolution Operators Group for Infinite Lattice of Coupled Ordinary Differential Equatios.- Dynam. Syst. Appl., vol.3,1994, p.155-174.

202. V.M.Gudlach, D.H.Rand. Spatio-temporal chaos: 1-3.- Nonlinearity, vol.6,1993, p.165-230.

203. L.A.Bunimovich, V.S.Afraimovich. Simplest structures in coupled map lattices and their stability.- Rand. Gomput. Dynam., vol.1, 1993, p.423-444.

204. L.A.Bunimovich, E.A.Carlen. To the problem of stability in lattice dynamical systems.-J. Diff. Eqns., to be published.

205. D.L.VoIevich. Kinetics of coupled map lattices.- Nonlinearity, vol.3, 1991, p.37-45.

206. C.Giberty, C.Vernia. On the presence of normally attracting manifolds containing periodic orbits in coupled map lattices.- Int. J. Bifurc. Chaos, vol.3, 1993, p.1503-1514.

207. C.Giberty, C.Vernia. Periodic behavior in ID and 2D coupled map lattices of small size.- Chaos, to be published.

208. J.Miller, D.A.Huse. Macroscopic equilibrium from microscopic irreversibility in a chaotic coupled map lattice.-Phys. Rev. E, vol.48, 1993, p.2528-2535.

209. C.Boldrighini, L.A.Bunimovich, G. Cisini, A.Frigio, A.Pellegriotti. Ising-type Phase Transition in Coupled Map Lattices.-J. Stat, phys., to be published.

210. P.Coulet, P.Huerre, eds- New Trends in Nonlinear Dynamics and Pattern-Forming Phenomena. The Geometry of Nonequilibrium. Plenum, New York, 1990.

211. J.-P.Eckmann, I.Procaccia. Spatio-temporal chaos.- in: Chaos, Order and Patterns, eds. R.Artuso, P.Cvitanovic, G.Casati. Plenum, London, 1991, p.135-172.

212. M.I.Rabinovich, A.L.Fabricant, L.Sh.Tsimring.Fmrte Dimensional Spatial Disorder. Preprint, 1992.

213. V.S.Afraimovich, S.-N.Chow. Criteria of Spatial Chaos in Lattice Dynamical Systems.-Japan J. Ind. Appl. Math., to be published

214. Е.А.Сатаев. Инвариантные меры для гиперболических отображений с особенностями,- Успехи матем. наук, 1992, т.47, вып.1, с. 147-202.

215. V.S.Afraimovich, L.A.Bunimovich. Density of defects and spatial entropy in extended systems.- Physica D, vol.80, 1995, p.277-288.

216. В.П.Белых. Модели дискретных систем фазовой синхронизации,- В сб. Системы фазовой синхронизации. Ред. В.В.Шахгильдян, Л.Н.Белюстина- М., Радио и связь, 1982, с. 161-176.

217. S.J.Schiff, K.Jerger, D.H.Duong, T.Chang, M.L.Spano, W.L.Ditto. Controlling chaos in the brain Nature, 1994, v.370, p.615-620.

218. Y.Liu, N.Kikuchi, J.Ohtsubo. Controlling dynamical behavior of a semiconductor laser with external optical feedback Phys. Rev. E, 1995, v.51, No4, p.2697-2700.

219. А.И.Огнев. Метрические свойства некоторого класса отображений отрезка в себя.-Матем. заметки, 1981, т.ЗО, No5, с.723-736.

220. M.Misiurewicz. Absolutely continuous measures for certain maps of an interval.- Publ. Math. I.H.E.S., 1981, v.53, p.17-51.

221. A.Kittel, K.Pyragas, R.Richter. Prerecorded history of a system as an experimental tool to control chaos Phys. Rev. E, 1994, v.50, Nol, p.262-268.

222. M.A.Matias, J.Guemez. Stabilization of chaos by proportional pulses in the system variables Phys. Rev. Lett., 1994, v.72, Nol, p.1455-1458.

223. M.Benedicks, L.Carleson. On iterations of 1 ax2 on (—1,1).- Annals of Math., 1985, v.122, p.1-25.

224. M.V.Jakobson. Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps.- Commun. Math. Phys., 1981, v.81, Nol, p.39-88.

225. A.Tabachnikov. Billiards Prance Mathematical Soc. Press, 1995.

226. A.Brahic. Numerical study of a simple dynamical system. I. The associated plane area-preserving mapping-Astron. Astrophys., 1971, v.12, Nol, p.98-110.

227. Г.М.Заславский Стохастичностъ динамических систем- М., Наука, 1984.

228. Г.М.Заславский, Р.З.Сагдеев. Введение в нелинейную физику.- М., Наука, 1988.

229. А.Ю.Лоскутов, А.Б.Рябов, Л.Г.Акиншин. Механизм ускорения Ферми в рассеивающих бильярдах с возмущаемыми границами ЖЭТФ, 1999, т.116, No5(ll), с.1781-1797.

230. A.Yu.Loskutov, A.B.Ryabov, L.G.Akinshin. Properties of some chaotic billiards with time-dependent boundaries J. Phys. A: Math. Gen., 2000, v.33, p.7973-7986.