Костлявые аттракторы и магические бильярды тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517

Кудряшов Юрий Георгиевич

КОСТЛЯВЫЕ АТТРАКТОРЫ И МАГИЧЕСКИЕ БИЛЬЯРДЫ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 2 МАЙ 2011

Москва, 2011

4845934

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико-математического факультета

Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Ильяшенко Юлий Сергеевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Закалюкин Владимир Михайлович

кандидат физико-математических наук Голеншцева-Кутузова Татьяна Игоревна

Ведущая организация: Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 20 мая 2011 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 19 апреля 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Работа посвящена исследованию аттракторов и периодических траекторий динамических систем. Оба объекта являются важными характеристиками динамической системы и тесно связаны между собой.

Неформально говоря, аттрактор динамической системы — это подмножество фазового пространства, к которому стремятся орбиты всех (или почти всех) точек фазового пространства. Одна из основных проблем теории динамических систем —■ исследовать возможные типы аттракторов типичных динамических систем. Эта проблема естественным образом распадается на два вопроса.

• Какую структуру может иметь аттрактор (одной) динамической системы?

• Какие свойства аттрактора могут быть выполнены для достаточно большого класса динамических систем (например, для открытого множества в пространстве всех диффеоморфизмов)?

Широко известны примеры локально типичных динамических систем, аттракторы которых — гладкие многообразия (например, произведение диффеоморфизма Аносова на сжатие в трансверсальном направлении), или устроены локально как прямые произведения множества Кантора на гладкое многообразие (например, соленоид Смейла-Ви-льямса), или же устроены локально как канторова книжка (аттрактор Лоренца). Первая глава диссертации посвящена построению открытого множества динамических систем, аттрактор каждой из которых имеет другую локальную структуру.

Есть несколько различных форматизаций понятия аттрактора. В работе используется определение, предложенное Джоном Милнором1.

1 МИпог, У. Оп Ою Сопсер! <>Г Ацгасюг II Соттип. \ialk Р!^. — 99 (1985) — рр. 177-195

Определение 1 Пусть X — полное метрическое пространство с мерой ц, .Р: X —► X — непрерывное отображение, сохраняющее класс меры ц. Аттрактор Милнора отображения Р — это наименьшее замкнутое множество Ам С X, такое что для ¿¿-почти всех точек х Е X расстояние ¿(Ам, Р"(х)) стремится к нулю при п ->■ +оо.

В 2000 году Ю. С. Ильяшенко и А. С. Городецкий предложили2 стратегию, позволяющую обнаруживать новые эффекты в пространстве динамических систем, если эти эффекты уже обнаружены в пространстве случайных динамических систем. Эта стратегия уже была использована в нескольких работах3 45. В 2010 году Ю. С. Ильяшенко и А. Негут получили результат6, существенно расширяющий круг применения этой стратегии. Стратегия Ильяшенко-Городецкого-Негута описана в пункте автореферата «Краткое содержание диссертации».

В первой главе данной диссертации при помощи стратегии Илья-шенко-Городецкого-Негута построено открытое множество в пространстве диффеоморфизмов трёхмерного тора, такое что аттрактор каждого из диффеоморфизмов этого множества имеет новый тип геометрической структуры. Аттракторы такого вида названы костлявыми, или костистыми. Таким образом, результат работы является продвижением в решении одного из основных вопросов теории динамических систем.

Вторая глава диссертации посвящена периодическим траекториям в математических бильярдах на плоскости с кусочно-гладкой границей. Математический бильярд — это динамическая система, описывающая

^ Городецкий, А. С. Некоторые свойства косых произведений над подковой и соленоидом /

А. С. Городецкий, Ю. С. Ильяшенко // Тр. МИАН — 231 (2000) — 96-118

3 Yu. Ilyashenko Openness of the set of boundary preserving maps of an annulus with intermingled attracting basins / Yu. Ilyashenko, V. Kleptsyn, P. Saltykov II Journal of Fixed Point Theory and Applications — 3 (2000) — 44<M63

^ В. А. Клепцын Сближение орбит в случайных динамических системах на окружности / В.

А. Клепцын, М. Б. Нальский II Функц. анализ и его прш., 38:4 (2004), 36-54 ^ А. В. Осипов Неплотность орбитального свойства отслеживания относительно С1-топологии II Алгебра и анализ, 22:2 (2010), 127-163

6 Negut A. Holder properties of perturbed skew products and Fubini regained / Negut A., Ilyashenko Yu. /IArxiv.org, http://arxiv.org/abs/1005.0173

движение «идеального» точечного шара на плоском бильярдном столе; граница бильярдного стола может быть произвольной кусочно-гладкой кривой. Шар движется по отрезку прямой внутри бильярдного стола, и отражается от границ бильярда по стандартному закону: угол падения равен углу отражения.

Хотя математические бильярды — очень специальный класс динамических систем, они возникают как естественные модели в различных прикладных задачах. Например, в комнате с зеркальными стенами, потолком и полом луч света будет двигаться вдоль траекторий математического бильярда. Другая известная модель, приводящая к математическому бильярду — модель идеального газа Больцмана: движение N шаров, соударяющихся абсолютно упруго, описывается бильярдной траекторией в некоторой области в пространстве К3".

В 1980 году В. Я. Иврий в связи с исследованием спектра оператора Лапласа сформулировал следующую гипотезу.

Гипотеза 2 (В. Я. Иврий, 1980) Пусть йей" - область с бесконечно гладкой границей. Тогда множество периодических траекторий соответствующего бильярда имеет меру нуль в пространстве всех траекторий этого бильярда.

Очевидно, утверждение гипотезы Иврия следует из того, что для каждого к € N множество /^-угольных траекторий имеет меру нуль. Для к = 2 это утверждение тривиально. Для к = 3 оно было доказано М. Р. Рых-ликом7для бильярдов на плоскости. Позже Я. Б. Воробец обобщил8 этот результат на случай многомерных бильярдов. За последующие 15 лет было анонсировано несколько неправильных доказательств гипотезы Иврия, но даже случай к = 4 не был доказан.

Во второй главе диссертации утверждение гипотезы Иврия доказано для к = 4, N = 2, то есть для четырёхугольных периодических орбит

•7

Rychlik, M. R. Periodic points of the billiard ball map in a convex domain // J. Diff. Geom. — 30(1989) —pp. 191-205. ^ Vorobels, Ya. B. On the measure of the set of periodic points of a billiard // Math. Notes — 55 (1994) —pp. 455-460

в плоском бильярде. Этот результат получен совместно с А. Глуцюком. Кроме того, в той же главе диссертации показано, что в гипотезе Иврия достаточно рассматривать бильярды с кусочно-аналитической границей. Этот результат, а также метод, разработанный при доказательстве первого результата, могут быть применены при рассмотрении других случаев в гипотезе Иврия.

Таким образом, исследования, проведённые в работе, открывают новый тип геометрической структуры аттракторов типичных динамических систем, а также являются важным шагом в доказательстве гипотезы Иврия о периодических орбитах в математических бильярдах. Это обстоятельство относит диссертацию к кругу актуальных исследований по теории динамических систем.

Цель работы

Целью работы является построение нового типа аттракторов типичных динамических систем и всестороннее изучение аттракторов нового типа: исследование их геометрической структуры, получение оценок хаусдорфовой размерности таких аттракторов; а также исследование возможной структуры множества периодических траекторий динамических бильярдов.

Методы исследования

В работе применяются различные методы теории динамических систем и качественной теории дифференциальных уравнений. Существенную роль в исследовании играет теория частично гиперболических отображений и косых произведений над гиперболическими диффеоморфизмами. При этом используется стратегия Городецкого-Ильяшенко-Негу-та, в основе которой лежит глубокая связь между теорией косых произведений над сдвигом Маркова, с одной стороны, и теорией частично гиперболических отображений, с другой стороны. Ключевыми результатами, на которые опирается стратегия Городецкого-Ильяшенко-Негу-

та, являются теоремы Хирша-Пью-Шуба9, Городецкого-Ильяшенко2 и Ильяшенко-Негута6. Во второй главе используется теория пфаффовых форм, а именно теорема Картана-Рашевского-Кураниси, и теория аналитических функций.

Научная новизна работы

Все результаты работы являются новыми, и заключаются в следующем.

1. Построено открытое множество в пространстве динамических систем на трёхмерном торе, такое что аттрактор каждой системы этого множества имеет новый тип геометрической структуры, и подробно изучены свойства таких аттракторов. Аттракторы этого типа названы костлявыми.

2. Доказано, что при доказательстве гипотезы Иврия о том, что множество периодических орбит бильярда имеет меру нуль, достаточно ограничиться случаем бильярда с кусочно-аналитической границей.

3. Доказано, что в любом бильярде на плоскости с достаточно гладкой границей множество четырёхугольных периодических орбит имеет меру нуль.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и техника, разработанная в диссертации, могут быть полезны специалистам по теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений. В работе обнаружен новый тип геометрической структуры аттрактора типичной динамической системы и исследованы свойства такого

® Hirsch M. Invariant manifolds / Hirsch M., Pugh C„ Shub M. II Lecture Notes in Math., 583 (1977)

аттрактора. Кроме того, гипотеза В. Я. Иврия о периодических орбитах бильярда сведена к частному случаю кусочно-аналитической границы, а затем доказана для случая четырёхугольных периодических орбит. Методы, применённые для получения этого результата, открывают новый геометрический подход к гипотезе Иврия.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и конференциях:

1. семинар механико-математического факультета МГУ им М. В. Ломоносова «Динамические системы» под руководством профессора Ю. С. Ильяшенко (неоднократно, 2007-2010).

2. международная конференция «Топология, геометрия и динамика», посвященная памяти В. А. Рохлина (Санкт-Петербург, 11-16 января 2010).

3. общий семинар математической лаборатории Высшей Нормальной Школы города Лиона «Sém'In» UMPA ENS Lyon, (Лион, Франция, февраль 2010).

4. семинар отдела дифференциальных уравнений МИАН им. Стеклова под руководством академика РАН Д. В. Аносова (март 2010).

5. международная конференция «Séminaire Atlantique de Géometrie Er-godique» («Атлантический семинар по эргодической геометрии»), (Бильбао, Испания, май 2010).

6. международная конференция «Algebraic Methods in Dynamical Systems» («Алгебраические методы в динамических системах»), посвященная 60-летию M. Singer (Познань, Польша, май 2010).

7. международная миниконференции «Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения» (Москва, МЭСИ, июнь 2010).

S /-Jc^i-iZoo О C-t*— 3> J

Структура и объём работы

Диссертация содержит введение, две главы и список литературы. Обе главы разделены на параграфы; первая глава состоит из девяти параграфов, вторая — из четырёх. Список литературы содержит 26 наименований. Объем диссертации — 103 страницы.

Краткое содержание диссертации

Диссертация посвящена исследованию аттракторов и периодических орбит динамических систем.

Во введении изложена история проблем, исследованию которых посвящена диссертация, даются основные определения и формулируются основные результаты работы.

В главе 1 строится открытое множество в пространстве диффеоморфизмов трёхмерного тора, обладающее новым типом аттрактора — костистым аттрактором.

Определение 1 Пусть X — компактное многообразие (с краем или без края). Будем говорить, что непрерывное отображение <7: X -> X имеет костистый аттрактор, если существует С-инвариантное слоение на X с гладкими одномерными слоями, для которого выполнены следующие условия.

1. Каждый слой инвариантного слоения или не пересекает аттрактор Милнора Ам, или пересекает его по одной точке, или же пересекает Ам по кривой (кости).

2. Объединение костей плотно в аттракторе Милнора, и множество костей континуально.

3. Пусть У с X — насыщение аттрактора Милнора слоями инвариантного слоения. Тогда хаусдорфова размерность &тя Ам аттрактора строго меньше хаусдорфовой размерности множества У,

<ИтнАм < д.[тнУ. (1)

Часть аттрактора, являющуюся дополнением к объединению костей, мы будем называть графиком.

Более того, аттрактор Милнора каждого из построенных отображений — костистый без полых костей в смысле следующего определения.

Определение 2 Будем говорить, что диффеоморфизм Fимеет костистый аттрактор без полых костей, если он имеет костистый аттрактор, и для некоторой поглощающей области U, ЩГ) <s С/, выполнены следующие условия:

• максимальный аттрактор этой окрестности совпадает с аттрактором

Милнора:

Лтах := П = Ам-

п^О

• график плотен в максимальном аттракторе.

Последнее требование означает, что вблизи костей график ведёт себя как график функции sin Важное отличие от графика функции sin i состоит в том, что в нашем случае график функции колеблется вблизи всюду плотного множества точек.

В параграфах 1-2 даны основные определения и приведены классические результаты из теории динамических систем.

В параграфах 3-4 описана стратегия Городецкого-Ильяшенко-Негу-та и приведён краткий обзор результатов, полученных другими авторами при помощи этой стратегии.

В параграфе 5 построен один пример отображения, обладающего приведёнными свойствами. В соответствии со стратегией Городецко-го-Ильяшенко-Негута, пример строится в пространстве случайных динамических систем на отрезке, или, что то же самое, в пространстве ступенчатых косых произведений со слоем отрезок над сдвигом Бернулли (левым сдвигом в пространстве последовательностей).

Рисунок 1 наглядно иллюстрирует разницу между костистым аттрактором (рис. (Ь)) и тонким аттрактором без костей (рис. (с1)). Горизонтальная ось соответствует множеству бесконечных вправо последовательностей символов 0,1,2 на рисунке (Ь) и символов 0,1 на рисунке (с1).

(а) Послойные отображения (Ь) Костистый аттрактор

/

/

//

(с) Послойные отображения (ё) Тонкий

аттрактор без костей

Рисунок 1 Графики отображений и аттракторы соответствующих косых произведений

Далее в параграфе 6 свойства построенного в параграфе 4 отображения распространены на открытое множество в пространстве ступенчатых косых произведений над сдвигом Маркова.

В параграфе 7 описана гладкая реализация исходного примера, то есть гладкое косое произведение, аттрактор которого имеет ту же структуру, что и аттрактор исходного косого произведения. В целях упрощения конструкции в этом параграфе пример приводится в классе косых произведений надо соленоидом Смейла-Вильямса.

В следующих двух параграфах происходит переход от ступенчатых косых произведений к гёльдеровым (параграф 8), а затем к диффеоморфизмам общего вида (параграф 9). При этом второй переход напрямую следует из теорем Городецкого-Ильяшенко и Ильяшенко-Негута, а большинство технических трудностей приходится преодолевать в параграфе 8. В результате получается построить косое произведение со слоем окружность над диффеоморфизмом Аносова двумерного тора, такое что любой близкий к этому косому произведению диффеоморфизм трёхмерного тора имеет костистый аттрактор без полых костей.

Вторая глава диссертации посвящена гипотезе Иврия о том, что множество периодических орбит в бильярде в области евклидова пространства с достаточно гладкой границей имеет меру нуль. Основным результатом этой главы являются следующие две теоремы. Первая теорема получена автором самостоятельно, и позволяет свести гипотезу к случаю бильярдов с кусочно-аналитической границей.

Теорема 3 (Ю. Г. Кудряшов) Предположим, что для любого г существует бильярд в Кт с кусочно С -гладкой границей, для которого множество Регд. периодических орбит периода к имеет положительную меру. Тогда существует бильярд в Кт с кусочно-аналитической границей, для которого Ретк имеет внутреннюю точку в пространстве всех орбит.

Вторая теорема утверждает, что утверждение гипотезы Иврия выполнено для четырёхугольных периодических орбит в плоских бильярдах. Эта теорема получена в соавторстве с А. Глуцюком. Каждым из

соавторов рассмотрено около половины возникающих при доказательстве случаев. Ю. Г. Кудряшову принадлежит также структуризация дерева случаев.

Теорема 4 (А. Глуцюк, Ю. Г. Кудряшов) Для любого бильярда на плоскости с кусочно-аналитической границей множество Рег4 четырёхугольных периодических орбит не имеет внутренних точек.

Из этих двух теорем очевидным образом следует, что в любом бильярде на плоскости с достаточно гладкой границей множество четырёхугольных периодических орбит имеет меру нуль.

Первый параграф второй главы содержит краткий исторический обзор и формулировки теорем.

Второй параграф посвящен доказательству первого из двух результатов, касающихся гипотезы В. Я. Иврия, — сведению случая бильярда с кусочно-гладкой границей к случаю бильярда с кусочно-аналитической границей. В доказательстве этой теоремы ключевую роль играет теория частично интегрируемых аналитических полей плоскостей.

В третьем параграфе доказывается вторая из сформулированных выше теорем о бильярдах — о том, что в любом бильярде с кусочно-аналитической границей множество замкнутых четырёхугольных орбит не имеет внутренних точек. Доказательство происходит по следующей схеме.

Предположим, что существует бильярд с кусочно-аналитической границей, такой что множество Рег4 орбит периода 4 имеет внутреннюю точку. Пусть АВСБ — одна из внутренних точек множества Рег4; а, Ь, с, (I — ростки границы бильярда в точках А, В, С, £). Заменим кривые а, ...,с1 на их максимальные аналитические продолжения. Тогда четырёхугольники, соответствующие точкам аналитического продолжения множества Рег4, будут периодическими траекториями для четвёрки кривых а, Ь, с, <1. Оказывается, точки границы этого аналитического продолжения должны соответствовать одному из небольшого количества типов вырождений периодической траектории. Изучив все типы вырождений периодической траектории, мы получаем, что множество точек

каждого из этих типов не более чем счётно. С другой стороны, граница обязана содержать континуальное множество точек. Полученное противоречие завершает доказательство.

В последнем параграфе второй главы сформулированы результаты, относящиеся к гипотезе Иврия для траекторий с произвольным количеством вершин. Поскольку пока что не получается даже доказать, что ц Рег5 = 0, результаты этого параграфа приводятся без доказательства. Кроме того, в этом параграфе перечислены случаи, которые необходимо рассмотреть, чтобы завершить доказательство для пятиугольных траекторий: невозможность остальных случаев следует из рассуждений, аналогичных доказанным в тексте диссертации.

Благодарности

Я искренне благодарен моему научному руководителю профессору Юлию Сергеевичу Ильяшеико за постановку задачи и плодотворные обсуждения. Я глубоко благодарен моему научному соруководителю академику Французской Академии Наук ведущему научному сотруднику Высшей Нормальной Школы Лиона Этьену Жису (Étienne Ghys, UMPA ENS Lyon) за полезные обсуждения и критику предварительного текста диссертации. Я также признателен кандидату физико-математических наук Виктору Алексеевичу Клепцыну за поддержку и полезные беседы во время моего обучения на механико-математическом факультете МГУ и в аспирантуре механико-математического факультета МГУ. Я благодарю моего соавтора кандидата физико-математических наук сотрудника CNRS (ENS Lyon) Алексея Антоновича Глуцюка за плодотворное сотрудничество.

Работы автора по теме диссертации

1. Кудряшов Ю. Г. Костистые аттракторы II Функ. анал. и его прил.,

т. 44 (2010), № 3, с. 73—76.

2. Глуцюк А. А., Кудряшов Ю. Г., Аттракторы и периодические орбиты динамических систем И Депонировано в ВИНИТИ (2010), 80 с.

Глуцюку А. А. принадлежит разбор половины случаев в теореме о четырёхугольных периодических орбитах в бильярдах с кусочно-аналитической границей. Разбор другой половины случаев, а также остальные результаты работы принадлежат Кудряшову Ю. Г.

3. Kudryashov Yu. G. Bony attractors in Random Dynamical Systems and smooth skew products II Сборник тезисов конференции «Topology, Geometry and Dynamics: Rokhlin Memorial», С. Петербург (2010), с. 53-54.

Подписано в печать 15.04.2011 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 120 экз. Заказ № 1099 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1 Костистые аттракторы

1.1 Введение

1.2 Определения и обозначения

1.2.1 Устойчивость неподвижных точек и инвариантных множеств

1.2.2 Аттрактор динамической системы. Определения и примеры

1.2.2.1 Максимальный аттрактор

1.2.2.2 Аттрактор Милнора

1.2.3 Сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова

1.2.4 Косые произведения

1.2.4.1 Определение косого произведения

1.2.4.2 Примеры косых произведений

1.2.4.3 Ступенчатые и мягкие косые произведения

1.2.4.4 Обозначения

1.2.5 Хаусдорфова размерность и лемма Фальконера

1.3 Описание стратегии Городецкого-Ильяшенко-Негута

1.3.1 От случайных систем к ступенчатым косым произведениям

1.3.2 Гладкая реализация

1.3.2.1 Подкова Смейла

1.3.2.2 Отображение соленоида

1.3.2.3 Диффеоморфизм Аносова

1.3.3 Возмущения: от косых произведений к диффеоморфизмам общего вида

1.3.4 Краткое описание стратегии

1.4 Краткий обзор результатов, полученных при помощи стратегии

1.5 Пример в классе ступенчатых косых произведений

1.5.1 Определение костистого аттрактора для косых произведений

1.5.2 Пример

1.5.3 Наличие костей

1.5.4 Хаусдорфова размерность и мера

1.5.5 Плотность графика

1.5.6 Совпадение аттракторов

1.6 Возмущения в классе ступенчатых косых произведений

1.6.1 Открытое множество примеров

1.6.2 Наличие костей

1.6.3 Хаусдорфова размерность и мера

1.6.4 Отсутствие полых костей

1.7 Пример в классе гладких отображений

1.8 Возмущение в классе мягких косых произведений

1.8.1 Технические леммы

1.8.2 Наличие костей

1.8.3 Хаусдорфова размерность и мера

1.8.4 Плотность графика

1.8.5 Совпадение аттракторов

1.9 Открытое множество примеров в классе диффеоморфизмов 61 1.9.1 От отрезка к окружности

2 Бильярды

2.1 Введение

2.1.1 Основные результаты

2.1.2 От гипотезы Вейля к гипотезе Иврия

2.2 Сведение к аналитическому случаю

2.2.1 Идея доказательства

2.2.2 Формальное доказательство теоремы 2.1.

2.3 Аналитический случай

2.3.1 Основные обозначения

2.3.2 Доказательство теоремы 2.1.

2.3.3 Существование пределов

2.3.4 Случай двух особых точек

2.3.5 Случай касания

2.3.6 Совпадение пределов

2.4 Случай произвольного числа вершин 97 2.4.1 Пятиугольные орбиты

Диссертация посвящена изучению динамических систем. Динамические системы возникают естественным образом как математические модели процессов, происходящих в реальном мире. Различают два вида динамических систем: динамические системы с непрерывным временем, задающиеся дифференциальными уравнениями, и динамические системы с дискретным временем, которые задаются отображением перехода от состояния системы в настоящий момент времени к её состоянию через фиксированный период времени.

Для системы с непрерывным временем можно рассмотреть семейство отображений переводящих состояние системы в настоящий момент в её состояние через I секунд, а для системы с дискретным временем, заданной отображением Г, — семейство отображений Р1.

В некоторых особенно простых случаях уравнения, описывающие динамическую систему, удаётся решить в явном виде, то есть получить явную формулу для <р( или Рг. В этом случае свойства решений можно изучать, исходя из полученных формул.

В силу теоремы существования и единственности решения задачи Коши, решение дифференциального уравнения существует и единственно и для более сложных систем. Однако, для этого решения почти никогда не существует-явной формулы — выражения, содержащего только элементарные функции и знаки интеграла. Один из первых подобных примеров привел Лиувилль: решения уравнения х = х2 — 7 нельзя записать в явном виде.

Но даже если нельзя выписать формулу для решения уравнения, можно выяснить некоторые свойства динамической системы — это и есть задача качественной теории динамических систем.

Вот несколько вопросов, касающихся динамических систем, на которые иногда получается ответить, не зная решений соответствующего уравнения.

• Сколько у системы положений равновесия и периодических орбит?

• Для каких подмножеств фазового пространства множество точек, притягивающихся к этому подмножеству, достаточно велико?

• Что произойдет с траекторией динамической системы, если слегка изменить начальные условия?

• Что произойдет с фазовым портретом динамической сис гемы (то есть с разбиением фазового пространства на траектории системы), если немного изменить законы движения системы?

Диссертация состоит из двух частей. Первая часть диссертации (глава 1 «Костис тые аттракторы») касается аттракторов динамических систем. Рассмотрим динамическую систему с дискретным временем, заданную отображением F: X -» X. Неформально говоря, замкнутое подмножество фазового пространства А с. X называется аттрактором динамической системы, если

• образы достаточно большого подмножества фазового пространства под действием итеративных степеней отображения Г стремятся к А, когда п стремится к бесконечности;

• А — наименьшее по включению инвариантное множество, к которому притягивается это подмножество фазового пространства.

Есть несколько формализаций понятия аттрактора. Некоторые из них приведены в пункте 1.2.2 «Аттрактор динамической системы. Определения и . . .».

Какой может быть геометрическая структура аттрактора динамической системы? В самых простых случаях аттрактор является дискретным множеством (или даже одной точкой — например, для отображения х н» х/2). Хорошо известны примеры, когда аттрактор локально представляет собой гладкое многообразие (например, для прямого произведения диффеморфизма Аносова и сжимающего отображения), канторово множество (например, соленоид Смей-ла - Вильямса) или канторову книжку (например, аттрактор Лоренца).

О "2

Мы построим открытое множество диффеоморфизмов Т —» Т трёхмерного тора Т3 в себя, обладающих следующими свойствами. Прежде всего, каждый диффеоморфизм Г из этого множества обладает инвариантным слоением фазового пространства Т3 на окружности. Далее, F имеет единственный аттрактор, и этот аттрактор пересекает большинство слоев по одной точке (эту

часть аттрактора мы будем называть графиком), а остальные слои — по кривой (по кости). В этих свойствах пока что не содержится ничего нового. Более интересное свойство этого аттрактора состоит в том, что множество костей довольно велико, но не слишком велико. Точнее, выполнены следующие условия1.

• И график, и объединение костей плотны в аттракторе.

• Множество костей несчётно.

• Мера аттрактора равна нулю (а значит, множество костей не слишком большое).

Опишем пример динамической системы, имеющей костлявый аттрактор. Фазовое пространство этой системы будет не многообразием, а прямым произведением двух канторовых множеств С и отрезка / = [0, 1].

Формально говоря, динамическая система на С X С X I не может иметь костлявого аттрактора в смысле того определения, которое мы привели выше. Однако, наше отображение будет сохранять разбиение фазового пространства на отрезки {ptj} X {pt2} X / и будет удовлетворять определению костлявого аттрактора, если в этом определении заменить инвариантное слоение тора слоением {ptj} X {pt2} X /.

1 о

Рассмотрим пространство Е двусторонних последовательностей символов 0, 1,2: со = .со]а>0сО] .,ft), е {0,1,2}. о

Введём на пространстве Е р-адическую топологию: последовательности со и г] будем считать близкими, если они совпадают на отрезке [—п, п] для большого п, то есть для большого значения п равенство co¡ = r¡¡ выполнено для всех /, |/| ^ п. Несложно проверить, что пространство Е3 есть прямое произведение двух канторовых множеств: множества Е3 всех правых хвостов ю^со^ .соп. и множества Е3 всех левых хвостов . .соп. .со2со!.

В нашем примере фазовым пространством является прямое произведение Е3 X /, а о тображение задано следующим образом:

Подробнее см. определение 1.1.1 на странице 13.

F: T? x I -> £3 X (w, x) (o-co, /г„о(х)), где o\ E3 S3 — сдвиг Бернулли, (ow), = a>i+i, а отображения /,:/->• /, i = 0,1,2 задаются формулами = у. = /2(х) = ^ aictan(10x - 5) + i. (1)

Графики отображений fl изображены на рисунке 1 (а). Аттрактор соответствующей динамической системы приближенно изображен на рисунке I (Ь). Второй рисунок получен с помощью скрипта на языке программирования Ruby, который вычислил образы фазового пространства под действием отображения F8. На втором рисунке горизонтальная ось соответствует пространству Е3 всевозможных последовательностей .соп.со2со], бесконечных влево, а вертикальная ось соответствует отрезку Т. На рисунке не изображена еще одна координата, параметризующая всевозможные значения последовательности ew0,iwi,бесконечной вправо; дело в том, что пересечение аттрактора со слоем {со} х I не зависит от со¡, i ^ 0. Таким образом, аттрактор — это прямое произведение нашего рисунка на канторовское множество.

Чтобы наглядно показать разницу между костлявыми и некостлявыми аттракторами, на рисунке 1 (с) мы приближенно изобразили аттрактор (вернее, гу снова фактор-множество аттрактора по пространству ) другой динамической системы, построенной по отображениям /0 и /j таким же образом, как отображение .Рбыло построено по отображениям /0, /, и /2 (см. (1)).

В главе 1 доказано, что приведенное отображение F имеет костлявый аттрактор2. Далее мы действуем в соответствии со стратегией, предложенной Ю. С. Ильяшенко и А. С. Городецким [19 и 20] и развитой Ю. С. Ильяшенко и А. Негутом [9], и получаем открытое множество С2-гладких диффеоморфизмов тораТ3, имеющих костлявый аттрактор.

Доказательство основано на двух важных наблюдениях.

Формальное определение костлявого аттрактора для таких отображений можно найти в параграфе 1.5 «Пример в классе ступенчатых косых произведений». а) Графики (b) Костлявый (с) Некостлявый отображений аттрактор ДС, аттрактор ДС,

0,/, и /2 построенной по построенной по отображениям отображениям о» f\ и /2 /о и /1

Рисунок 1 Графики отображений (1), костлявый агграктор и (тонкий) некостлявый агграктор

• Марковское разбиение для диффеоморфизмов Аносова двумерного тора Т" позволяет переходить от автоморфизмов пространства I х 5 к диффеоморфизмам тора Т3 определенного типа («косые произведения», см. пункт 1.2.4).

• Стратегия Городецкого-Ильяшенко-Негута позволяет переходить от ко-^ л сых произведений к открытым множествам в пространстве С -гладких диффеоморфизмов. Эта стратегия основана на теореме М. W. Hirsch, С. С. Pugh и М. Shub [6, Теорема 6.8] и усиленных вариантах этой теоремы, полученных А. Городецким, Ю. С. Ильяшенко и А. Негутом [9 и 20].

В главе 2 «Бильярды» мы изучаем периодические орбиты в плоских бильярдах.

Математический бильярд — это математическая модель, описывающая движение частицы (идеального шара нулевого радиуса) на бильярдном столе; при этом граница бильярдного стола не обязательно должна быть многоугольником. Шар движется с постоянной скоростью внутри бильярдного стола, и отражается от границ бильярдного стола по обычному правилу (угол падения равен углу отражения).

Зачем нужно изучать такие динамические системы? По многим причинам; мы приведем три из них.

Прежде всего, бильярды возникают как математические модели во многих физических задачах. Например, если область О. — внутренность зеркальной комнаты (пол, стены и потолок которой — зеркала), луч света будет двигаться по бильярдной траектории в области П. Еще одна известная модель, в которой возникают математические бильярды, — модель Больцмана идеального газа. Оказывается, что движение N шаров, которые упруго соударяются друг с другом, можно описать с помощью бильярдной траектории в некоторой области О. пространства

Далее, изучать свойства динамической системы (например, эргодичность или свойства перемешивания) проще в специальных классах динамических систем, чем в общей ситуации.

Наконец, бильярдный поток — естественный аналог геодезического потока, и в некоторых случаях периодические орбиты бильярда играют ту же роль, что замкнутые геодезические. В частности, так происходит в спектральной теории оператора Лапласа А и = —2. I. I. Ош81егшаа1 и V. СиШетт

ОХ1

4] обнаружили связь между свойствами множества замкнутых геодезических на римановом многообразии М без края и асимптотическим поведением собственных значений задачи Дирихле для оператора Лапласа. Позже В. Я. Иврий показал, что в случае многообразия с краем множество замкнутых геодезических надо заменить на множество периодических траекторий бильярда.

Таким образом, оказывается, что асимптотика собственных значений лапласиана (то есть количество гармоник высокой частоты у барабана заданной формы) связана с периодическими траекториями соответствующего бильярда. Так как для основного текста этой диссертации результат В. Я. Иврия не понадобится, мы сформулируем только частный случай теоремы В. Я. Иврия, - касающийся оператора Лапласа в области йсК", История появления теоремы и её формулировка приведены в следующих абзацах петитом.

Пусть О. — область в К" с кусочно гладкой границей достаточно высокой гладкости. Рассмотрим задачу Дирихле для оператора Лапласа в этой области:

Аи = и, = 0.

1> и О

В 1911 Г. Веиль доказал, что для количества ЩЛ) собственных значении ц, не превосходящих к", выполнена следующая асимптотическая формула:

N(A) = c0Volm(fi)A"! + о(Лт), где c0 = c0(m) — известная геометрическая константа.

Он также предположил, что

Л/(Я) = c0VoI„,(Q)Am + С| Volm | (diY)A"'~' + oU"^1), где С] = С] (/и) — известная константа, а Уо1,„] — это (т — 1)-мерный объём.

В 1975 J. J. Duistermaat и V. Guillemin [4] доказали гипотезу Вейля для многообразий без края4, удовлетворяющих следующему геометрическому условию: мера множества замкнутых геодезических равна нулю.

В 1980 В. Я. Иврий [21] обобщил этот результат на случай многообразий с краем. Оказывается, в эгом случае роль замкнутых геодезических играют замкнутые бильярдные траектории соответствующего бильярда. Точнее, В. Я. Иврий доказал гипотезу Г. Вейля для многообразий с краем, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию. В случае области Q С Ш.'" условие заключалось в том, что множество периодических орбит соответствующего бильярда имеет меру нуль.

Затем В. Я. Иврий сформулировал следующую гипотезу.

Гипотеза 1 (В. Я. Иврий, 1980) Для любой области Q с 1R'", граница которой С°° -гладкая, множество периодических орбит соответствующего бильярда имеет меру нуль.

Когда В. Я. Иврий сформулировал эту гипотезу на семинаре Синая, участники семинара считали, что гипотеза будет доказана через несколько дней; затем — что через несколько недель или несколько месяцев. Вопрос остается открытым уже 30 лет!

В главе 2 «Бильярды» приведено доказательство частного случая гипотезы Иврия. Точнее, в этой главе показано, что для любой области с с (кусочно) гладкой границей достаточной гладкости множество периодических четырёхугольных орбит имеет меру нуль.

Выше мы сформулировали гипотезу Вейля только для областей в Ш'", но на самом деле Г. Вейль формулировал её для любых римановых многообразий. В этом случае объёмы в формулировке гипотезы надо заменить на интегралы некоторых функций, зависящих от метрики.

Доказательство проходит в два этапа: в параграфе 2.2 показано, что утверждение гипотезы Иврия достаточно доказать для бильярдов с кусочно-аналитической границей (теорема 2.1.3), а в параграфе 2.3 показано, что не существует бильярда на плоскости с кусочно-аналитической границей, для которого множество четырёхугольных периодических орбит имеет меру нуль (теорема 2.1.4).

Первый из этих результатов получен автором самостоятельно, а второй — в соавторстве с А. А. Глуцюком (ENS Lyon).

Сведение гипотезы В. Я. Иврия к случаю бильярда с кусочно-аналитической границей основано на теории пфаффовых систем. Ключевую роль в доказательстве теоремы 2.1.3 играет теорема Картана-Рашевского-Кураниси о бесконечной серии продолжений пфаффовой системы.

Основная идея доказательства второго результата — изучить границу множества четырехугольных периодических траекторий. Оказывается, что точка общего положения на этой границе соответствует «вырожденной» периодической траектории. Мы рассматриваем всевозможные типы вырождений, и показываем, что для каждого типа вырождения множество соответствующих точек на границе не более чем счётно. Но множество точек границы равномощно вещественной прямой, и полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Я искренне благодарен моему научному руководителю профессору Юлию Сергеевичу Ильяшенко за постановку задачи, полезные обсуждения и постоянную поддержку во время моего обучения в аспирантуре. Я глубоко благодарен моему научному соруководителю академику Французской Академии Наук ведущему научному сотруднику Высшей Нормальной Школы Лиона Этьсу» ну Жису (Etienne Ghys, UMPA ENS Lyon) за полезные обсуждения и критику предварительного текста диссертации.

Я также признателен кандидату физико-математических наук Виктору Алексеевичу Клепцыну, который оказал огромное влияние на мой выбор научного руководителя и помогает мне до сих пор. Я благодарю моего соавтора кандидата физико-математических наук сотрудника CNRS (ENS Lyon) Алексея Антоновича Глуцюка за плодотворное сотрудничество. Огромное спасибо моей жене Наталии Борисовне Гончарук за терпение и помощь в подготовке текста диссертации.

1. R. L. Adler h B. Weiss, Entropy, a complete metric invariant for automorphisms of the torus, Proc. of Nat. Acad. Sci. 57:6 (1967), 1573-1576

2. C. Bonatti, L. Diaz, and M. Viana, Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity: a global geometric and probabilistic perspective, volume 102 of Encyclopedia of mathematical sciences. (Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH and Co. KG, Dordrecht, 2005).

3. E. Cartan, Les systèmes différentiels extérieurs et leur applications géométrique. (Paris, 1945).

4. J. J. Duistermaat h V. W. Guillemin, The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics, Invent. Math. 29 (1975), 39-79

5. K. Falconer, Fractal geometry: mathematical foundations and applications. (John Wiley and Sons, USA, 1990).

6. M. W. Hirsch, C. C. Pugh, and S. Michael, Invariant manifolds, Lecture Notes in Math. 583 (1977)

7. Yu. S. Ilyashenko, Thick attractors of boundary preserving diffeomorphisms, in preparation

8. Yu. S. Ilyashenko, V. Kleptsyn, and P. Saltykov, Openness of the set of boundary preserving maps of an annulus with intermingled attracting basins, Journal of Fixed Point Theory and Applications 3 (2008), №2, 449^163

9. Yu. S. Ilyashenko m A. Negut, Holder properties of perturbed skew products and Fubini regained ArXiv preprint http://arxiv.org/abs/1005.0173v 1.

10. Yu. S. Ilyashenko h A. Negut, Invisible parts of attractors, Nonlinearity 23 (2010), №5, 1199-1219

11. I. Kan, Open sets of difeomorphisms having two attractors, each with everywhere dense basin, Bull. Amer. Math. Soc. 31 (1994), 68-74

12. M. Kuranishi, On E. Cartan's Prolongation Theorem of Exterior Differential Systems, American Journal of Mathematics 179 (1957), №1, 1-47

13. J. Milnor, Fubini foiled: Katok'sparadoxial example in measure theory, Math. Intelligencer 19 (1997), №2, 30-32

14. M. R. Rychlik, Periodic points of the billiard ball map in a convex domain, J. Diff. Geom. 30 (1989), 191-205

15. D. Volk и V. Kleptsyn, Thin attractors in skew products, готовится к публикации

16. H. Weyl, Gesammelte Abhandlungen. (Springer-Verlag, Berlin, 1968).

17. Я. Б. Воробец, О мере множества периодических точек бильярда, Матем. заметки 55 (1994), №5, 25-35

18. А. С. Городецкий, Регулярность центральных слоев частично гиперболических множеств и приложения, Изв. РАН. Сер. матем. 70 (2006), №6, 19-44

19. А. С. Городецкий и Ю. С. Ильяшенко, Некоторые новые грубые свойства инвариантных множеств и аттракторов динамических систем, Функц. анализ и его прил. 33 (1999), №2, 16-30

20. А. С. Городецкий и Ю. С. Ильяшенко, Некоторые свойства косых произведений над подковой и соленоидом, Тр. МИАН 231 (2000), 96-118

21. В. Я. Иврий, О втором члене спектральной асимптотики для оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с краем, Функц. анализ и его прил. 14 (1980), №2, 25-34

22. В. А. Клепцын и П. С. Салтыков, С -устойчивый пример перемежаемости аттракторов в классе отображений кольца, сохраняющих границу (unpublished, 2010). Готовится к публикации.

23. А. В. Клименко, О количестве классов марковских разбиений для гиперболического автоморфизма двумерного тора 200 (2009), №8, 147-160

24. А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения. (Издание Харьковского Математического Общества, Харьков, 1892).

25. А. В. Осипов, Неплотность орбитального свойства отслелсивания относительно С1 -топологии, Алгебра и анализ 22 (2010), №2, 127-163

26. П. К. Рашевский, Геометрическая теория уравнений с частными производными. (ОГИЗ Гостехиздат, 1947).