Эргодические и энтропийные свойства бильярдных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ТРАНСВЕРСАЛЬНЫЕ СЛОЕНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ.

• ПОЛУРАССЕИВАЮВДХ БИЛЬЯРДАХ. II

§ I .Геометрические свойства полурассеивающих бильярдных систем . II

§ 2. Свойства касательных отображений

§ 3. Неравномерная частичная гиперболичность полурассеивагощих бильярдных систем

§ Трансверсальные слоения для газа твердых сфер в пенале

Глава П. ЭНТРОПИЯ ГРУППЫ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ СДВИГОВ ДЛЯ ГАЗА БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ЧАСТИЦ.

§ I. Статистические оценки предельных распределений Гиббса

§ 2. Переход к конечномерной подсистеме

§ 3. Оценка сверху энтропии группы пространственно-временных сдвигов

Глава Ж. ЭНТРОПИЯ ГАЗА БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ТВЕРДЫХ СФЕР

§ I. Газ твердых сфер как бильярдная система

§ 2. Асимптотическое поведение энтропии при термодинамическом предельном переходе

§ 3. Асимптотическое поведение следа оператора кривизны

Л И Т Е Р А Т У Р А

Системы бильярдного типа (бильярды) являются одним из наиболее важных классов динамических систеы. Любая такая система порождаемся движением точечной частицы внутри ограниченной области 0, с/-мерного евклидова пространства или о1-мерного евклидова тора ( о1 Ъ$). Частица движется с постоянной скоростью внутри и отражается от границы по закону "угол падения равен углу отражения" (модуль вектора скорости всегда равен 1 ),

Помимо самостоятельного интереса бильярдные системы интересны еще и тем, что естественно возникают в ряде физических моделей. К таковым относятся газ Лоренца (см, ^ [30] )9 газ Рэлея (см. [$0] ) и газ твердых сфер (см. си,

Граница области С[ в этих моделях обладает одним общим свойством: она выпукла внутрь области в каждой своей регулярной точке (точке гладкости). ч ' '

Наиболее хорошо изучены т.н. рассеивающие бильярдные системы, т.е. такие, у которых граница области С[ строго выпукла внутрь С[ в регулярных точках. Газ Лоренца, порождаемый движением частицы на торе с вырезанным кругом - типичный пример такой системы. В работах Я.Г.Синая доказано, что рассеивающие бильярды обладают свойствами эргодичности, перемешивания и К-свойством. В работе Л.А.Бунимовича и Я.Г.Синая

3] исследована скорость убывания корреляций методом марковских разбиений.

Однако ряд физических моделей (газ твердых сфер, газ Рэлея) являются бильярдами в области С[ , граница которой нестрого выпукла внутрь С[ , т.е. возможны подпространства плоских направлений с нулевой кривизной. Такие бильярды называются полурассеивающими.

Так же, как и в случае гиперболических систем, эргодичес-кие свойства полурассеивающих бильярдов исследуются с помощью трансверсальных слоений или иначе - устойчивых и неустойчивых многообразий (определение приводится ниже). В случае рассеивающих бильярдных систем размерность слоений равна £ ♦ В полурассеивающих бильярдах она может быть меньше в зависимости от свойств края

В главе I исследуются трансверсальные слоения и вычисляется их размерность для общих полурассеивающих бильярдов. Мы предполагаем, что граница Э удовлетворяет следующим условиям (охватывающим все перечисленные выше модели): ^ ) поверхность 'Э С^ кусочно-гладкая с конечным числом регулярных компонент

С}2,) в точках пересечения любых двух регулярных компонент % границы вектора нормалей к ним неколлинеарны;

33 граница выпукла внутрь и . Точнее, в каждой регулярной точке С^С^О, оператор К^ второй квад-* ратичной формы поверхности Э(2 по отношению к вектору нормали Я« (С, направленному внутрь области > неотрицательно определен; /\

24 обозначим у М) расстояние в римановой метрике на поверхности 3 0. оот точки С^ £ 9 до множества и особых точек края эо Тогда для некоторых

С>0 и $>0 ;

0,5) найдется регулярная точка О, £ оС1 , для которой

Фазовое пространство бильярдной системы в области С? есть № = 0. * Б «где Б - (с/- -мерная сфера единичного радиуса (сфера векторов скорости). Точка ЭС € ^^ есть пара х гДв ^ и £> . Обозначим {Т^}группу временных сдвигов вдоль траекторий системы, ^Г"* - борелев-скую €> -алгебру на и - инвариантную относительно потока {Т^З меру на > эквивалентную мере Лебега (подробное описание см. в § I главы I).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X . Многообразие ^ Т^ 9

ЭС € называется локальным сжимающимся трансверсальным слоем ( [й1] С^О) или локальным устойчивым многообразием ( [5 ]} ), если для любых X 11 € \л7

I (х-,ас"), где

С>0 я зависят только от точки ОС , а с{ - риманова метрика / с1х / ^ => I ^ I оМ^ва Ш, .

Для формулировки результатов главы I нам необходимо определить некоторый специальный оператор, который мы называем оператором кривизны точки хеШ. • Этот оператор был введен Я.Г.Синаем в [п]. Оператор кривизны точки определен почти всюду на и действует в (о1- ¿3 -мерном пространств^^роходящем через точку С^ и ортогональном вектору 1У . Точное определение этого оператора приводится в § I главы I, а здесь мы лишь заметим, что оператор $В(Усимметричен и неотрицательно определен. Обозначим (зс) собственное подпространство оператора ад в Лх) , соответствующее всем положительным собственный значениям. Рассмотрим функцию О (эс) = скт ^ (х\ также определенную почти всюду на ж . В § I главы I мы покажем, что множество точек, в окрестности которых функция О (ос) постоянна и не равна нулю, непусто и открыто в

Ш , т.е. и(ф)>0 .

Касательное пространство вП. в точке ЭС. = есть О * 3 » где О можно естественным образом отождествить с а 2 - с определенным выше пространством J . Обозначим Е" (эс.) сг ЙЛ. подпространство, состоящее из векторов С^?^) ^ таких, что $€ (ос), а ^ = .

Сформулируем основной результат Главы I.

ТЕОРЕМА I. Для почти всех точек X £ Ф существует локальный сжимающийся трансверсальный слой ]/[/" (эс)э-дс. Касательное пространство к слою (эс) в каждой точке ^ £ (эс) есть £(у) , т.е. Мт 1л/(х) = Жт = 0(ос).

Рассмотрим группу унитарных операторов {[/{ } .» сопряженную с группой {Т^} , т.е. группу унитарных операторов в пространстве

Г,/О комплекснозначных функций на Ш .

СЛЕДСТВИЕ I. Группа унитарных операторов \и £ ] имеет счет-нократную лебеговскую компоненту в спектре.

В § 4 главы I с помощью теоремы I исследуется одна физическая модель - газ твердых сфер в пенале, для которой точно вычисляется размерность трансверсальных слоений.

В главах XI и III мы от изучения общих полурассеивающих бильярдов переходим к важному частному случаю - газу твердых сфер.

Бесконечный газ твердых сфер - это динамическая система статистической механики, порожденная движением бесконечного числа одинаковых твердых сфер (т.е. жестких упругих шариков) в Семерном евклидовом пространстве ( о/^й, ), сталкивающихся между собой по законам упругого соударения (см., например, [ 1 J ). Ее фазовое пространство и инвариантная мера - предельное распределение Гиббса - подробно описаны в главах II и III. Мы предполагаем, что данная система находится в разреженной газовой фазе, т.е. плотность числа частиц ^ в пространстве достаточно мала: § ^ § о ($) , £ - обратная температура.

В главе II мы изучаем энтропию группы пространственно-временных сдвигов , действующую на № . Группа порождается пространственными сдвигами В1*" на вектор и £ и сдвигами ПН ^ на время ^ вдоль траекторий системы. Эти сдвиги коммутируют и порожденная ими группа изоморфна (си. О ]).

В работе А.Г.Кушниренко показано, что энтропия диффеоморфизма гладкого компактного многообразия на себя конечна и найдена оценка сверху для нее. В главе II обобщаются методы работы А.ГЛСушниренко для динамических систем статистической механики. Точнее,мы рассматриваем систему частиц, взаимодействующих посредством некоторого парного сферического потенциала 1/(%) • На функцию \] мы накладываем следующие ограничения: 1 ) наличие твердой сердцевины: оо при 0< г < Ч0 ; ) гладкость: \] (г) € (% , ;

1/3) финитность: и (*) = О при г Г± >% ;

1/4 ) ограничения на рост при И +О : где >0 , Я0(±) >0 ; С/5) ограничения на рост первой и второй производной при

1 < зеА| иМ I й где и

Динамика системы частиц с таким потенциалом взаимодействия подробно изучалась в работах

Ц5] , [¿V] , С«] . В главе II доказывается следующее свойство энтропии этой системы:

ТЕОРЕМА 2. Энтропия группы Iгс конечна и удовлетворяет оценке ^г. ( №) < $' ($) .

Таким образом, энтропия

1= Ш) является термодинамической характеристикой предельного распределения Гиббса:

В главе III мы рассматриваем газ твердых сфер и изучаем энтропию больших конечных систем твердых сфер. А именно, пусть А

У1 - куб в пространстве со стороной 71 с центром в точке 0 . Для любой конфигурации твердых сфер в К (которая является точкой фазового пространства ш ) рассмотрим движение сфер внутри куба -Л-^. при условии, что все сферы, лежащие вне А 71 или пересекающиеся с ъл л неподвижны ("заморожены")• Движущиеся сферы сталкиваются между собой и упруго отражаются от границы 0-Л-тг и от "замороженных" сфер, пересекающихся с кубом А

П . Таким образом мы получим конечную систему твердых сфер в "ящике" -Л-тг.

Для изучения энтропии ^Ь бильярдной системы используется формула, полученная Я.Г.Синаем в [£&] : где

- оператор кривизны точки X фазового пространства Ш , упомянутый выше.

Обозначим JD^l ix) оператор кривизны точки ОС £ TSt для описанной выше системы твердых сфер в "ящике11 -Атг Тогда энтропия этой системы выражается формулой

I = $ л*). u ж. . IJ являющейся следствием общей формулы (O.I) - см. § I главы III (здесь "* предельное распределение Гиббса с обратной температурой J3 и химическим потенциалом ^ ). В работе Я.Г.Синая [№] показано, что

Ьж in/ T/f1^ ^ ^ ^ MW! где '-А-^! - объем куба -Л-тг . Там же высказана гипотеза о существовании предела при величины ^-tl/[JLj (эта величина называется "энтропией на одну степень свободы"

СМ. [ÄÄ] ). [g^J

В совместной работе Я.Г.Синая и соискателя^дается положительный ответ на этот вопрос:

ТЕОРЕМА 3. Существует конечный предел f - jT

7t —> oo . (-/»-гт, I

Кроме того, там же доказано одно следствие этой теоремы:

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть Пл = П0- SJ1 , где 710> О t у произвольное число. Тогда для почти всех точек А фазового пространства XfL по мере ^»¡^ы

9 ^ = £ Л-п. I К

71

Результаты, принадлежащие соискателю, составляют содержание § 3 и § 4 работы [й-? ] . В диссертации эти результаты излагаются в § 2 и § 3 главы

Основные результаты диссертации опубликованы с полными доказательствами (см. ). По опубликованныы работам сделаны доклады на семинарах по теории динамических систем на механико-математическом факультете МГУ и на семинаре по теории многокомпонентных случайных систем (Ташкент, 1982 г.)«

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Я.Г.Синаю за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также Л.А.Бунимовичу за помощь при оформлении рукописи.