Геодезические отображения специальных римановых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

т» од

■) УЕВ МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕН1ША

П ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИ« ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имепп В. И. ЛЕНИНА.

Специализированный совет К 053.01.02

На правах рукописи

КИОСАК Владимир Анатольевич

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на еопекаипе ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре геометрии н топологии Одесского государственного университета им. И. И. Мечникова.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент МИКЕШ Й.

О ф и цнальпые оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор КИРИЧЕНКО Б. Ф.,

кандидат физико-математических наук, доцент ШАНДРА И. Г.

Ведущая организация Московский государственный университет им. М. Г!. Ломоносова.

Защита состоится года в ../.£.... час.

па заседании специализированного''совета К 053.01.02 по защите диссертаций па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина по адресу: 107140, Москиа, Краснопрудная ул., 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета по адресу: 119882, Москва, М. Пироговская ул., 1.

Автореферат разослан <<.//^...>>..^¿^£/..1994 года.

Ученый секретарь"'специа^!И31грова1Шого совета,

' доцент >. КАРАСЕВ Г. А.

-"'з -

Актуальность теш. Работа посвящена геодезическим отображениям специальных римановых пространств > м. ^ Л. • метрика которых,, вообще говоря, предполагается знаконеопределенной.

Существенный вклад в изучение общих закономерностей теории геодезических^ отображений римановых пространств внесли Т.Леви-Чи-вита, Т.Томас, Г.Вейль, А.З.Петров ["1 ] < А.с.'солодовников [2], Н.С.Синюков £з}, Г.И.Кручкович, Й.Микеш Г43, В.С.Собчук [5], А.В.Аминова Гб].

Н.С.Синюковым -С31 были получены инвариантные относительно выбора системы координат необходимые и достаточные условия внутреннего характера, при которых У^ допускает или не допускает нетривиальные геодезические отображения, однако они представлены в неявной форме. Показано [зЗ, что семейство римановых'.пространств, на которые допускает геодезическое отображение данное зависит от конечного числа существенных параметров. Это число называют степенью подвижности Г риыанова пространства ^ относительно геодезических отображений. Н.С.Синюков, используя методы, разработанные И.П.Егоровны а .теории движений римановых пространств,обнаружил, что распределение степеней подвижности римановых пространств относительно геодезических* отображений носит лакунарный характер и выделил, пространства максимальной степени подвижности относительно геодезических отображений. Й.Микешем ГЭ>3 приведен пример пространства высокой подвижности относительно геодезических отображений, а также указано на взаи-

I

иосвязь между степенью подвижности риманова пространства относительно геодезических отображений, порядком группы движений п проективных преобразований.

Отметим, что геодезические отображения специальных римановых пространств исследовали Э.Вельтрами (пространства пос-

тоянной кривизны, К.Яно (келеровы"), А.З.Петров (пространства Эйнштейна), А.С.Солодовников, Г.И.Кручкович (полуприводимые , Н.С.Сингаков (эквидистантные, симметрические, рекуррентные, полусимметрические ) , Е.З. Горбатый (эквидистантные пространства, пространства первого класса), Е.З.Горбатый и Д.И.Роэенфельд, Д.Молдобаев (конформно-евклидовы пространства), Й.Микещ(пространства Эйнштейна, келеровы пространства, обобщенно симметрические пространства и обобщенно рекуррентные Уп) , В.С.Собчук (Риччи обобщенно симметрические пространства), И.Г.Шандра (пространства и много других авторов 1з - 5}. Некоторые вопросы нетривиальных геодезических отображений римановых пространств "в целом" изучали Г.Врэнчану £7 3 , Е.Н.Си-нюкова (. 8 ] , Й.Микеш £9]. . ,

Многими авторами изучались геодезические- отображения более общих чем римановы пространств, например, Н.С.Синюковым (пространства аффинной связности), Г.Н.Фоминым (безразмерные пространства), Г.Фзрзалиевым (пространства опорных элементов), Ш.Бачо (финслеровы пространства).

Й.Микешем и В.Е.Березовским введено понятие, степени подвижности пространств аффинной связности относительно геодезических отображений на римановы пространства и получены оценки первой лакуны в их распределении.

Естественным обобщением теории геодезических отображений является предложенная Н.С.Синюковым теория почти геодезических отображений С 3 ], В.Е.Березовским и Й.Микешем показано при что существует только три введенные Н.С.Синюковым £з] типа .почти геодезических отображений. Специальный случай почти геодег зическкх отображений второго типа - голоморфно-проективные, отображения келеровых пространств с сохранением комплексной структуры

изучались Т.Оцуки, Я.Тасиро, Т.Сакагучи и другими авторами. Новые фундаментальные результаты в теории голоморфно-проективных отображений келеровых пространств получены В.В.Домашевнм и Й.Ми-кешем. Было устанолвено, что распределение степеней подвижности относительно голоморфно-проективных отображений также носит ла-кунарный характер fioj.

Теория геодезических отображений римановых пространств, а также ее обобщения представляют безусловный интерес с прикладной точки зрения. Вопросам моделирования физических полей посвящены работы А.З.Петрова [tí], динамических систем - А.В.Аминовой, С.П.Гаврилова и. В.А.Добровольского [12"] - моделям пространства-времени, "в делом". '»

Принимая во внимание изложенное выше, представляется актуальным исследование степеней подвижности специальных римановых пространств, изучение распределения указанных степеней, а также геометрических свойств римановых пространств в зависимости от степени их подвижности относительно геодезических отображений.

Целью работы является изучение римановых пространств в зависимости от их степени подвижности относительно геодезических отображений; выделение специальных классов римановых пространств как малой, так и большой подвижности относительно геодезических отображений; получение оценок лакун в распределении указанных выше степеней; изучение пространств, отличных от пространств постоянной кривизны, допускающих максимальную степень подвижности относительно геодезических отображений.

Научная новизна и основные задачи, решенные в диссертации и выносимые на защиту. .

I. Найден вид основных уравнений теории геодезических отоб-

ражений римановых пространств, имеющих степень подвижности относительно геодезических отображений больше двух;

2. Получена точная оценка первой лакуны в распределении степеней подвижности римановых пространств бтносительно геодезических отображений; >

3. Обнаружена вторая лакуна в распределении указанных степеней;

4. Найден тензорный признак пространств второй лакунарности относительно геодезических отображений и изучены их геометрические! свойства..

Методы исследования. Исследования, как правило, проводятся локально с использованием тензорного исчисления, в классе вещественных достаточно гладких функций. ' '

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, являются естественным дополнением известных результатов теории геодезических отображений римановых пространств и поэтому представляют теоретическую ценность с точки

зрения геометрии. В то же время они могут быть использованы в

»

теории относительности и теоретической механике.

Диссертация носит характер фундаментально-теоретического исследования и входит в качестве составной части в проблематику "Обобщенно-геодезические отображения а$финносвязных и римановых пространств и проблемы моделирования физических полей" № 01811010294 программы комплексных исследований в .области естественных наук постановление Минвуза УССР I* 378 от 24.07.81г. и республиканского плана важнейших научных исследований в области естественных наук /постановление Президиума АН УССР от I3.07.ei г. , над которой работает кафедра геометрии и топо-

логии Одесского государственного университета имени И.И.Мечникова,

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. На семинаре кафедры геометрии Ленинградского госпединститута руководитель - профессор Вернер А.Л. .

2. На семинаре по дифференциальной геометрии Московского госуниверситета руководитель - профессор Васильев A.M. .

3. На семинаре кафедры геометрии Казанского госуниверситета руководитель - профессор Широков А.П. .

4. На УШ Всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии г.Одесса . V

5„ На Всесоюзной школе "Анализ. Геометрия. Оптимальное управление" г.Кемерово, 1986 г., 1968 г. .

6. На Республиканской конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям и их приложениям г.Одесса, 1987 г. .

7. На конференции молодых ученых Одесского госуниверситета г.Одесса, 1985 г., 1982 г., 1988 г. .

8. На научных конференциях профессорско-преподавательского состава Одесского госуниверситета и Одесского госпединститута .

Публикации. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. По теме диссертации опубликованы 15 работ, из них шесть в соавторстве и 9 самостоятельных. В работе автору

принадлежит анонсированная теорема о представлении новой формы основных уравнений теории геодезических отображений для пространств, имеющих степень подвижности относительно геодезических отображений больше двух. В статье

Г ЯП Й^Микешу принадлежат результаты второго параграфа. В работе CIS 1 Й.Микешу принад-

лежат постановка задачи и научное руководство работой. В тезисах .[30] задача была поставлена А.Я.Султановым, а Й.Микешвм осуществлялось научное руководство.

Структура и объем работы. Диссертация'состоит из введения^ 3-х глав, содержащих девять параграфов, списка-литературы. Принята сквозная ьумерация параграфов. Для формул, лемм, теорем, следствий принята двойная нумерация. Первая цифра указывает на номер параграфа, вторая - на номер формулы, леммы, теоремы, следствия в этом параграфе. Ссылки на литературу даются в квадратных скобках.

Материал изложен на ИЗ страницах машинописного текста. Библиография включает 102 наименований отечественной и зарубежной литератуш. '. ■

Краткое содержание диссертации. Во введении обосновываются актуальность темы, научная новизна, теоретическое значение и практическая ценность диссертации, формулируются цель работы и метод исследований, перечисляются основные задачи, решенные в диссертации и выносимые на защиту, приводятся сведения об апробации работы, указываются ее структура и объем, дается краткое содержание диссертации.

В первой главе, состоящей из четырех параграфов рассматриваются различные специальные типы римановых пространств в зависимости от их степени подвижности относительно геодезических отображений. В первом параграфе приводятся основные уравнения теории геодезических отображений. Возникновение теории геодезических отображений связано с именем Т.Лрви-Чивита, получившим основные уравнения этой теории и общее их решение для с •

положительно определенной метрикой. Классификацию римановых пространств (й=£), допускающих нетривиальные геодезические

отображения, получил П.А.Широков, для 71=3 А.З.Петров [1], для о сигнатурой Минковского В.И.Голиков, для П-> У

при некоторых дополнительных предположениях - А.З.Петров [I-] и Н.С.Синюков [3], А.С.Солодовников [2], Г.И.Кручкович, А.В.Ами-нова Гб]. В итоге были выделены широкие классы пространств, допускающих нетривиальные геодезические отображения. Римановы пространства называют принадлежащими одному геодезическому классу, если существует геодезическое отображение одного из них на другое ГЗ] • Характеристикой мощности геодезического класса данного является введенное Н.С.Синюковым [3] , понятие степени подвижности риманового.пространства-относительно геодезических отображений. . ' В первом параграфе доказана следующая теорема: Теорема 1.1 Если степень подвижности относительно геодезических отображений больше двух, то вектор /)г' и инвариант |Л удовлетворяют условиям:

= Z.ыi■) Ъ-'спы^. Таким образом, найден вид новой формы основных уравнений теории геодезических отображений, дня пространств Vtl степени подвижности относительно геодезических отображений больше'двух. Полученные условия носят необходимый характер. Таким образом, показано, что пространства, имеющие степень подвижности относительно геодезических отображений больше двух, принадлежат к классу римано-вых пространств ^(В), Риыановы пространства УГ1(2>)

введены в рассмотрение Й.Микешем [4]. Принадлежащими к этому классу пространств оказались полусимметрические [3], Риччи-по-лусимметрические [4], пространства Эйнштейна М и многие другие

типы римановых пространств, допускающих геодезические отображения. Широкие классы пространств выделены в работах [3, 4]. Пространства А.С.Солодовникова и Г.И.Кручковича [5] также являются пространствами Во втором параграфе изучены некоторые свойства пространств

, в частности,

доказано, что пространства Vtl(Ъ) » 2> = и только они

допускают ненулевое векторное поле , такое, что

В третьем параграфе изучаются римановы пространства "в целом". Геодезические отображения римановых пространств при различных ограничениях глобального характера изучались в работах 7-8 . Е.Н.Синюковой выделены специальные типы компактных ориентируемых римановых пространств не допускающих'геодезических отображений. Пример риманова пространства, допускающего нетривиальные-геодезические отображения "в целом" построен Й.Микешем. В работе приведен ряд условий, достаточных для того, чтобы не существовало "в целом" компактных ориентируемых, компактных, полных связных римановых пространств I^(Ь),

В четвертом параграфе рассмотрены римановы пространства ^ , для которых степень подвижности относительно геодезических отображений не превосходит числа два. Прежде всего, к указанным пространствам принадлежат пространства, не допускающие нетривиальные . геодезические отображения. Заметим, что пространства, не допускающие нетривиальных геодезических отображений, не допускают также групп Ли нетривиальных проективных преобразований. Н.С.Си-нюковым [з] доказано, что симметрические и рекуррентные римановы. пространства , отличные от пространств постоянной кривизны,

не допускают нетривиальные геодезические отображения. Целый ряд

римановых пространств, не допускающих геодезические отображения, выделен в работах Й.Микеша и многих других авторов, см. [3], [4]. Нами доказано, что четырехмерные пространства Эйнштейна, отличные от пространств постоянной кривизны, не допускают нетривиальных геодезических отображений. Этот результат усиливает известные результата А.З.Петрова и В.И.Голикова [I]. '

Распространяя методы исследований, разработанные-для изучения четырехмерных пространств Эйнштейна сигнатуры Минковского, на пространства более высоких размерностей , ХЗ.Петровым [I] была высказана гипотеза: 1" ' •

Пространства Эйнштейна отличные от пространств

постоянной кривизны сигнатуры Минковского не допускают нетривиальных геодезических отображений на пространства Эйнштейна той же сигнатуры. • , ■

При помощи примера эта гипотеза опровергнута. .

; Далее ввделен ряд пространств, допускающих степень, подвижности относительно геодезических отображений равную двум. Йми оказались конформно-плоские ^ (й>ъ), У^ , допускающие нетривиальные геодезические отображения. А также римановы пространст- ' ва, в которой имеет место

гда Р " ¡>¿-7) -

При ^=0 получаем пространства Риччи-обобщенно симметрические, геодезические отображения которых "изучал В.С.Собчук 49 .

Во второй главе изучено распределение лакун и их размерность в теории геодезических отображений римановых пространств. Лакуны в распределении степеней подвижности относительно Геоде-

зических отображений римановых пространств обнаружены Н.С.Синюко-вым [3], а именно, показано, что степень подвижности ^ не-__ постоянной кривизны не превосходит числа 4- 3 , а для

• отличных от 'пространств Эйнштейна числа -+■ ^ . Для получения точной оценки размеров первой лакуны в распределении степеней подвижности относительно геодезических отображений в

параграфе пять нами изучено вспомогательное уравнение

+ в

Отметим, что результаты изучения этого уравнения применимы для ■ исследования количества ковариантно постоянных симметричных двухвалентных тензоров в римановых пространствах ^ -

; Используя результаты § 5, в параграфе щестом получены точ-'ная оценка первой лакуны в распределении степеней подвижности относительно геодезических отображений и обнаружена вторая лакуна. А именно, показано, что не существует римановых пространств,степень подвижности которых относительно геодезических отображений заключена в пределах

2-

Найден тензорный признак, необходимые и. достаточные условия пространств второй лакунарности относительно геодезических отображений.

В параграфе семь изучен этот тензорный признак. Показано, что пространство второй лакунарности относительно геодезических отображений являются обобщенно рекуррентными обобщенно полусиммет-рическкми, а также обладают радом других свойств. Используя ие-> тодику, разработанную В.Р.Кайгородовым [17] в теории'рекуррентных римаровых пространств,пространства второй лакунарности разбиты

на три непересекающиеся класса. Указаны признаки пространств, принадлежащих каждому из трех классов.

Н.С.Синюковым [3] и А.С.Солодовниковнм [2] указано на особую роль, которую играют в теории геодезических отображений римановых пространств, , допускающие эквидистантные векторные поля.' В § 8 доказано, что не существует римановых пространств, отличных от пространств постоянной кривизны, допускающих более чем ■fl-Z эквидистантных векторных поля. эквидистантных

векторных поля допускают пространства второй лакунарности отно- • сительно геодезических отображений и только они. Указан вид метрики риманова пространства в зависимости от количества допускаемых им эквидистантных векторных полей. Таким образом, результаты параграфа восемь позволяют в некоторой системе координат привести вид метрики риманова пространства второй лакунарности относительно геодезических отображений. .

В девятой параграфе изучена взаимосвязь между проективными преобразованиями и геодезическими отображениями римановых пространств. Показано, что пространства Уп(ъ), допускают проективные преобразования, причем, если Ф 0 отличные от, аффинных. В работе [18] указано на взаимосвязь между порядком групп проективных преобразований и гоиотетических движений со степенью подвижности римановых пространств относительно геодезических отображений. Полученные нами оценки степеней подвижности • относительно геодезических отображений позволяют получить и некоторые оценки групп проективных преобразований римановых пространст. Затем показано, что, если , риманово пространствоУЛ(Ь),Ъ=(Ш^ .то его касательное расслоение Ты с метрикой полного лифта допускает, конформные преобразования с сохранением слоя.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петров к.З. Новые методы в общей теории относительности. ' М.: Наукр, 1966. - 495 с.

2. Солодовников A.C. Геометрическое описание всевозможных пред-_ ставлений римановой метрики в форме Леви-Чивита // Тр. семи-

• нара по векторн. и тензорн. анализу.- 1963,- 12.- С. I3I-I73. .3. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств.-

М.: Наука, 1979.- 2SU. 4. И ¡Ices J. geodesic mappings of tplcial Hitmnman spates // Cottof. Mailt-Soc.J. ßotyaf. 7bp. in ditt geon 3>eln>cen, №i<r- Vol. 2-

tosttrcbm etc., IMS, p.№-W. ... 5j Собчук B.C. Риччи-обобщенно-симметрические римановы пространства, допускающие нетривиальные геодезические отображения// Докл. АН СССР.- 1962.- 26.7, V 4.- С. 793-795.

6. Аминова A.B. Группы преобразований римановых многообразий // Итоги науки и техн. Пробл. геометрии /ВИНИТИ, 1990,- 22.-

С. 97-166. •

7. VratKeanti & Vropritiaiî qtotak ait ifxäiClor iui ßimcmn ¿u С one* wie atii».'tomtuntx // Stud, n'ctrc, tm.t (Had.

r-n.

8. Синюкова E.H. О геодезических отображениях некоторых специальных римановых пространств //Мат. заметки.- 1981.- 30,

I? 6.- С. 889-894.

9. Микеш Й. О существовании П-мерных компактных римановых ■пространств, допускающих нетривиальные проективные преобразо-

' вания "в целом" //Докл. АН СССР.- 1989.- 305, IP 3.- С. 534-536. 10. Микеш Й. О голоморфно-проективных отображениях келеровых пространств //Укр. геометр, сб.- I960,- 23.- С. 90-96.

11. Петров А.З. Геометрия и физическое пространство-рремя // Алгебра, топология, геометрия. 1966.- Итоги науки /ВИНИТИ.-1968,- С. 221-265.

12. Аминова A.B., Гаврилов С.П., Добровольский В.А. Группа Ли как модель пространства-времени в целом //Седьмая Всес. конф. по соврем, проблемам геометрии. Тез. докл. Минск,'Бел.' ун-т, 1979.- С. 234. •

13. Киосак В.А., Курбатова И.Н., Микеш Й., Яблонская Н.В.' Геодезические отображения и некоторые их обобщения. Тез. докл. ыежобл. науч.-практ. конф. мол. ученых, поев, '(эО-й годовщине образования СССР. Ч.П.- Одесса: ОГУ, 1983.- С. 6-7.

14. Киосак В.А., Баранов Н.И. Специальные векторные поля в келе-ровых пространствах /Одес.гос. пед. ин-т.- Одесса, 1989,13 с. - Бйблиогр.: 10 назв. Деп. в УкрНЙИНТИ 19.09.89,

Р 2048-Ук89. .

I ' '

15. Киосак В.А;, Хаддад М. О голоморфно-проективных отображениях А-гармонических келеровых пространств /Одес.ин-т нар.х-ва.-Одесса, 1991.- 30 с. Библиогр.: 14 назв. Деп. в УкрНИИНТЙ . 20.08.91, Я? 1217-Ук91.

16. Киосак В.А., Хаддад М. Об А-гармонических келеровых прост. ранствах //Геометрия обобщенных пространств.- Пенза, 1992.-

С. 41-45.

Публикации автора по теме диссертации

17. Киосак В.А. О максимально подвижных относительно геодезичес-. ких отображений римановых пространств .//УШ Всес.науч. конф.

по соврем, пробл. дифф. терметрйи. Тез. докл.- Оде'сса, 1984.... С. 67. '

18. Киосак В.А. О лакунах в распределении количества решений одной системы дифференциальных уравнений //Реоиконф. Дифф. йнтегр.

- lb -

уравнения и их приложения. Тез. докл.- Одесса, 1984.- C.II4.

19. Киосак В.А. К вопросу об эквидистантных римановых пространствах /Одес.ун-т.- Одесса, 1987. 10 е.- Библиогр.: 5 назв.

. Деп. в УкрНИИНТИ 28.05.86, f- 1235-Ук86. '

20. Киосак В.А. О лакунах в распределении степеней подвижности •римановых пространств относительно геодезических отображений// Всес. шк. Оптим. управл., геометрия и анализ. Тез. докл.-Кемерово, 1986,- С.112.

г

21. Киосак В.А. О геодезических отображениях римановых пространств "в целом" //Всес. шк. Оптим. управл., геометрия и анализ. Тез. докл.- Кемерово, 1988.- С. 87.

22. Киосак В.А. О геодезических отображениях специальных римано-

*вых пространств "в целом" /Одес. ун-т.- Одесса, 1989.- 12 с.-Библиогр.; 14 назв. Деп. в УкрНШМЩ 05.01.89,№ 176-Ук89. .23, Киосак В.А. О римановых пространствах Ln //Ш Всес. шк. Понтрягинские .чтения, Оптим. управл., геометрия и анализ.-Кемерово, 1990.- С. 33.

24. Киосак В.А. Об эквидистантных римановых пространствах // Геометрия обобщенных пространств.- Пенза, 1992,- С. 37-41.

25. Киосак В.А., Микеш Й, К вопросу о степени подвижности римановых пространств относительно геодезических отображений // Восьмая'Всес. науч. кон$, по соврем, пробд, дай, геометрии. ■ Тез. докл.- Одесса, 1984.- С. 68.

26. Киосак В.А., Микеш Й. О степени подвижности римановых пространств относительно геодезические отображений //Геометрия погруж. многообразий,- М., 1986.- С. 35-39.

27. Киосак В.А., Микеш Ä. Геодезические отображения и провктивнйе преобразования римановых пространств //Межвуз. сб. науч. тр. Движения в обобщ. пространствах,- Рязань:.Рязан. гос. пед.

ин-т, 1988.- С. 29-31.

28. Микеш Я., Киосак В. А. О геодезических отображениях четырехмерных пространств Эйнштейна /Одес. ун-т.- Одесса, .1982.19. е.- Библиогр.: 8 назв. Деп. в ВИНИТИ 09.04.82, Мб78-82Деп.

29. Микеш Я., Киосак В.А. О геодезических отображениях специальных римановых пространств /Одес. ун-т.- Одесса, 1985.'- 24 с. Библиогр.: 23 назв. Деп. в УкрНИШТИ 05.05.85,№ 904-Ук85Деп.

30. Микеш Й., Киосак В.А., Султанов А.Я. О специальных проективных векторах //Теэ. докл. межвуз. науч.-пракТ. комф. мол. ученых. Ч.Ш.- Одесса: ОГУ, 1987.- С. 22.- и • .. ' '

31. Кшзак У.А. (¿ш&Ыс Ь\<Шг>\*и>5 ®г 'ТиелуишмЛом/ <Зт<М* // СеМсю- гиа&. ^ <£'//■ ^ни , (НииолгСа^

тз. г

Л)^