Голоморфно 2-геодезические преобразования линейных типов почти эрмитовых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

00344546о

ДЕМЧЕНКО ЭЛЬВИРА АЛЛАХВЕРДИЕВНА

ГОЛОМОРФНО 2-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ТИПОВ ПОЧТИ ЭРМИТОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

01 01 04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

РГБ ОД

2? ДВГ 2008

Казань - 2008

003445466

Работа выполнена на кафедре геометрии Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Кириченко Вадим Федорович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Шелехов Александр Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент Банару Михаил Борисович

Ведущая организация

Московский государственный университет имени М В Ломоносова

Защита состоится 25 сентября 2008 г в'/т^часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 в Казанском государственном университете по адресу 420008, г Казань, ул Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд 324

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им Н И Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан августа 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета канд физ-мат наук, доцент — ЕК Липачёв

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория геодезических отображений и их обобщений являются важным объектом изучения геометрии Геодезические отображения римановых пространств впервые были рассмотрены в работах Т. Леви-Чивита, который решил проблему нахождения метрик п мерных римановых пространств, имеющих общие геодезические Первоначальный интерес к этой задаче был определен ее важным прикладным аспектом, связанным с изучением динамических траекторий механических систем с п степенями свободы

Интерес к изучению специальных вопросов теории геодезических отображений не ослабевает до сих пор Активно исследуются голоморфно-геодезические, почти геодезические и голоморфно-проективные преобразования, которые являются аналогом геодезических отображений в пространствах с аффинорньми структурами. Ранее теорией геодезических отображений римановых пространств с аффинной связностью занимались Г Вейль, Т Томас, Н.С. Синюков, Й. Микеш и др, теорией голоморфно-проективных отображений - Т. Оцуки, Й Таширо, теорией голоморфно-проективных отображений келеровых пространств - Е Видал и Л Хервелла На основе геодезических отображений была построена теория (и - р)-проективных пространств Это пространство характеризуется тем, что в нем каждая геодезическая кривая лежит в ¿»-мерной плоскости. В Ф. Каган ввел понятие (п - р)-проективного пространства, обобщив понятие проективно-евклидова пространства Близкой к теории (и - ^-проективных пространств является кон-циркулярная геометрия, значительный вклад в разработку которой внес К Яно

В настоящей работе мы рассматриваем голоморфно р-геодезические преобразования почти эрмитовых многообразий (при р = 2) Огромный вклад в теорию р-геодезических отображений внес С Г. Лейко Им были изучены общие закономерности отображений, придающие образам геодезических кривых порядок уплощения не выше фиксированного значения р В его ра-

ботах были определены р-геодезические кривые и р-геодезические отображения пространств с аффинной связностью без кручения Доказана теорема существования ^-геодезических кривых и получены основные уравнения р-геодезических отображений, выделены р-геодезические отображения линейных и квадратичных типов

Однако до настоящего времени все исследования по данной проблематике носят достаточно общий характер И дальнейшее развитие теории р-геодезических отображений весьма актуально С геометрической точки зрения интересно рассмотрение частных случаев р-геодезических преобразований и получение классификации пространств, допускающих нетривиальные голоморфно /»-геодезические отображения

Цель работы - изучение голоморфно 2-геодезических преобразований линейных типов почти эрмитовых структур

Методы исследования. При выводе результатов диссертации используется метод присоединенных б-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.

• Научная новизна. 1 Найдены формулы преобразования структурного и виртуального тензоров почти эрмитовой структуры относительно голоморфно 2-геодезических преобразований первого и второго линейных типов , 2. Выделены так называемые специальные голоморфно 2-геодезические преобразования первого линейного типа, и доказано, что они оставляют неизменными структурный и виртуальный тензоры почти эрмитовой структуры

3 Найдены инвариантные классы Грея-Хервеллы почти эрмитовой структуры относительно специальных голоморфно 2-геодезических преобразований первого линейного типа

4 Получены условия инвариантности структурного и виртуального тензоров почти эрмитовой структуры, следа виртуального тензора, а также неко-

торых классов Грея-Хервеллы почти эрмитовой структуры относительно голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейно, о типа

5 Показано, что голоморфно-геодезические и голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовой структуры являются частным случаем специальных голоморфно 2-геодезических преобразований первого линейного типа с явным указанием параметров последнего. Доказано, что конциркуляр-ные преобразования почти эрмитовой структуры являются частным случаем голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа с явным указанием параметров последнего

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения р-геодезических отображений почти эрмитовых многообразий А также, они могут найти свое применение в качестве материалов для спецкурсов по теории почти эрмитовых многообразий в высших учебных заведениях

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседании Научного семинара кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В Ф. Кириченко), на заседании Научного семинара кафедры геометрии Казанского государственного университета, а также на международных конференциях. "Геометрия в Одессе - 2007" (Одесса, 21 мая - 26 мая 2007 г ) и "Геометрия в Астрахани - 2007" (Астрахань, 11 сентября - 14 сентября 2007 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, в гом числе 1 работа в издании из списка ВАК Их список приведен в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 11 параграфов, списка литературы, содержащего 47 наименований Объем работы составляет 94 страницы

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, излагается история вопроса, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, перечисляются основные результаты, полученные в работе.

В первой главе даны предварительные сведения о почти эрмитовых многообразиях, носящие реферативный характер

В §1 приводятся определения почти комплексной и почти эрмитовой (короче, АН-) структур на многообразии, комплексификации модуля векторных полей Х(М), а также определение фундаментальной формы структуры и оператора комплексного сопряжения. В §2 даны определения структурных и виртуальных тензоров, следа тензора виртуального тензора, формы Ли и вектора Ли почти эрмитовой структуры. В конце параграфа приведена таблица основных классов почти эрмитовых структур, содержащая их характеристические тождества на пространстве присоединенной О-структуры и критерии принадлежности Л#-структуры тому или иному классу Грея-Хервеллы

Во второй главе рассмотрены голоморфно 2-геодезические преобразования первого линейного типа почти эрмитовых структур Введены понятия полуспециального и специального голоморфно 2-геодезического преобразования первого линейного типа Изучен ряд свойств таких преобразований Показано, что голоморфно-проективные и голоморфно-геодезические преобразования являются частным случаем специальных 2-геодезических преобразований первого линейного типа

В §1 приводятся определения геодезической, почти геодезической и р-геодезической кривой, а также определения р-геодезического отображения линейного типа

Определение, ¿»-геодезическое преобразование g—>g метрики g АН-структуры (7, g) назовем голоморфно р-геодезическим преобразованием, если (/, £) - ЛЯ-структура

Определение. Голоморфно ^-геодезическое преобразование называется тривиальным, если V = V, где V и V - римановы связности метрик g и g, соответственно

Введено понятие оператора h р-геодезической деформации метрики посредством тождества

g{XJ) = g(X,hY),X,YeX{M).

Во §2 рассмотрены голоморфно 2-геодезические преобразования первого линейного типа почти эрмитовых структур, приведены их основные уравнения Найдена связь между структурными и виртуальными тензорами исходной и преобразованной ЛЯ-структур С помощью этого доказываются следующие утверждения

Предложение. Пусть р - голоморфно 2-геодезическое преобразование первого линейного типа эрмитовой структуры Тогда структурный и виртуальный тензоры преобразованной эрмитовой структуры имеют следующий вид

C(X,Y) = C(X,Y) = I[co(JX)K(JY) + co{JY)K{JX) - a(X)K{Y) - a{Y)K{X) -

- m(X)JK{JY) - a(JY)JK(X) - co(JX)JK(Y) - m(Y)JK{JX)} = 0, lili

B(X, Y) = B(X, Y) + co(JY)JX + a(Y)X + о о

+ a(X)K(Y) + co(Y)K(X) + m{X)JK(JY) + a(JY)JK(X)

Iii i

Предложение. Пусть p - голоморфно 2-геодезическое преобразование первого линейного типа квазикелеровой структуры Тогда структурный и виртуальный тензоры преобразованной ЛЯ-структуры имеют следующий вид

C(X,Y) = C(X,Y) + ^{m{JX)K{JY) + co(JY)K(JX) - a(X)K(Y) - a{Y)K{X) -- co(X)JK(JY) - a(JY)JK(X) - a{JX)JK{Y) - co(Y)JK(JX)],

В(Х, Г) = а(Л)Ж + (й{У)Х + о о

+ К(ЛГ) + а)(1Г)КЩ) + а(Х)К(Г) + со{У)К{Х) +

+ о)(Х)Ж(Л) + а(Л)Ж(Х) - 0(Ж)Ж(Г) - ео(Г)Ж(Ж)]

Предложение. Пусть р - голоморфно 2-геодезическое преобразование первого линейного типа келеровой структуры. Тогда структурный и виртуальный тензоры преобразованной ЛЯ-структуры имеют следующий вид:

С(Х,¥) = С(Х,Г) = О,

В(Х, Г) = а(Л)Ж + а{У)Х + о о

+ со(Х)Щ) + со{У)К(Х) + со(Х)Ж(Лг) + со{Ж)Ж(Х)

В §3 вводится понятие полуспециального голоморфно 2-геодезического преобразования и рассматриваются его свойства.

Наложив на оператор К дополнительные условия. 1) А- - невырожденный оператор, 2) К ° 3 = 3 ° К, приходим к понятию полуспециального голоморфно 2-геодезического преобразования ЛЯ-структуры. Доказана.

Теорема. Для полуспециальных г'оломорфно 2-геодезических преобразований выполняются соотношения

С(Х,Г) = С(Х,ГУ,

В(Х, У) = В(Х, У) + со(Л)Ж+6){У)Х + а{Лг)КиХ) + а{У)К{Х).

0 0 1 1

В §4 рассматриваются голоморфно 2-геодезические преобразования первого линейного типа, такие, что определяющий аффинор К имеет вид К = ахс1 + ¡}3,а,Ръ.К, причем а2 +/З2 = 1, названные нами специальными Доказываются

Теорема. Специальное голоморфно 2-геодезическое преобразование первого линейного типа почти эрмитовой структуры удовлетворяет условию.

0) = й)°(-а1с] + ВТ) о 1

Теорема. Ковариантная производная ^ оператора структуры, а также структурный и виртуальный тензоры С а В являются инвариантами специальных голоморфно 2-геодезических преобразований первого линейного типа ЛЯ-структуры.

Следствие. Специальные голоморфно 2-геодезические преобразования первого линейного типа квазикелерову структуру преобразуют в квазикеле-рову, приближенно келерову - в приближенно келерову, келерову - в келе-рову структуру

Приведен вывод формулы вычисления тензора аффинной деформации при специальном голоморфно 2-геодезическом преобразовании Доказано-

Предложение. При специальных голоморфно 2-геодезических преобразованиях ЛЯ-структуры, тензор Т, рассматриваемый как двуместный эндоморфизм С ® С°°(М) -модуля Х(М), является С-билинейным

В £5 приводятся определения геодезического отображения, голоморфно-геодезического и голоморфно-проективного преобразований ЛЯ-структуры, а также формулы для вычисления их тензоров аффинной деформации

Предложение. Во введенных обозначениях, голоморфно-проективное преобразование почти эрмитовой структуры является специальным голоморфно 2-геодезическим преобразованием первого линейного типа с а= О, Р = 1, а голоморфно-геодезическое преобразование почти эрмитовой структуры является специальным голоморфно 2-геодезическим преобразованием первого линейного типа с а = 1, /?= О

В §б установлено, что при специальном голоморфно 2-геодезическом преобразовании ЛЯ-структуры вектор Ли £ меняется по закону £ =&"'(£), а форма Ли инвариантна Доказана

Теорема. Классы {0}, Жи Из, ТГ^Шъ ©ЩФЩ, т®1Г3®1Г4, Щ © ^2© Щ Грея-Хервеллы почти эрмитовой структуры инвариантны относительно специальных голоморфно 2-геодезических преобразований первого линейного типа Классы 1УЪ 02® Из. 02 ©^ ЩФ^ФЩ

^Ф^ФЙ^ Л//-структур при данном преобразовании переходят в классы

Ж1®Ж2ФЖ}ФЖ4, ЩФЩФЩФЩ, соответственно Классы Жъ ЩФГГ3, ЩФЩ(ВЖ4 АН-структур инвариантны относительно голоморфно 2-геодезических преобразований тогда и только тогда, когда структурный тензор /¡-билинеен.

В третьей главе рассмотрены голоморфно 2-геодезические преобразования второго линейного типа ^//-структуры Найдены условия инвариантности структурного и виртуального тензоров, а также следа виртуального тензора относительно рассматриваемых преобразований Показано, что концир-кулярные преобразования являются частным случаем голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа почти эрмитовых структур. В связи с этим найден ряд инвариантов конциркулярных преобразований

В §1 рассмотрены голоморфно 2-геодезические преобразования второго линейного типа ЛЯ-структуры, приведены их основные уравнения Доказаны следующие утверждения

Предложение. Пусть р - голоморфно 2-геодезическое преобразование второго линейного типа эрмитовой структуры Тогда структурный и виртуальный тензоры преобразованной эрмитовой структуры имеют следующий вид, соответственно

С(Х,Г) = С(Х,¥) = - в(Х,УЖ+ в{Х,Л)№ = 0.

В(Х,У) = В(Х,У) + со(Г)Х + а{Лг)№ + в(Х,У)С + 9{Х,ЛЩ

Предложение. Пусть р - голоморфно 2-геодезическое преобразование второго линейного типа квазикелеровой структуры. Тогда структурный и виртуальный тензоры преобразованной ЛЯ-структуры имеют следующий вид.

С{Х,У) = С(Х,У) + Х-[в^Х,Л) - в(Х,¥)]С - 1-[6{М,У) + в{Х,Л)Щ, В(Х,Г) = а(У)Х + о{Л)Л + ]^[вЩ,Л) + &(Х,У)]£ -

Предложение. Пусть р - голоморфно 2-геодезическое преобразование второго линейного типа келеровой структуры Тогда структурный и виртуальный тензоры преобразованной ЛЯ-структуры имеют вид. С(Х, У) = С(Х, 7) = 0,

В(Х, Г) = а(У)Х + со{Л)Ж + в{Х, У)( + 6{Х,

В §2 найдены инварианты голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа ЛЯ-структуры

Теорема. Структурный тензор инвариантен относительно голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа АН-структуры тогда и только тогда, когда выполняется тождество в(Ж,Л) = д(Х, Т), Х,Уе Х(М). При этом виртуальный тензор преобразованной структуры вычисляется по формуле

В(Х,У) = В(Х, У) + а(У)Х + а(Л)Ж + в(Х,У)<^ + в{Х, ЛЩ Теорема. Пусть р - нетривиальное голоморфно 2-геодезическое преобразование второго линейного типа АЯ-структуры Оно сохраняет виртуальный тензор тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия 1) 0 = 0,2) 0{Ж,Л) = -6{Х,У), Х,УеХ(М) Доказано, что ковариантная производная структурного эндоморфизма, инвариантна относительно голоморфно 2-геодезического преобразования второго линейного типа тогда и только тогда, когда это преобразование тривиально Доказываются-

Теорема. След виртуального тензора инвариантен относительно голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа АН-

структуры тогда и только тогда, когда выполняется соотношение

Теорема. Образом келеровой структуры при нетривиальном голоморфно 2-геодезическом преобразовании второго линейного типа является собственная эрмитова структура (т е почти эрмитова структура, отличная от келеровой) При этом преобразованная структура будет собственной семикелеровой (те структурой, для которой ^ В = 0) тогда и только тогда, когда

Теорема. Голоморфно 2-геодезическое преобразование второго линейного типа преобразует структуру класса (?1 в структуру класса тогда и только тогда, когда это преобразование сохраняет структурный тензор

Следствие. Образ приближенно келеровой структуры при нетривиальном голоморфно 2-геодезическом преобразовании второго линейного типа не может быть приближенно келеровой структурой

Теорема. Следующие классы Грея-Хервеллы почти эрмитовой структуры: Ж3, Щ е т, т еж4, т ©Жз ©Ж4, Ж= Ж, инвариантны

относительно голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа, удовлетворяющих соотношениям \)6(Ж,ЛГ) = в{Х, Г);

2 )а* = -^1гв)С

В §3 приводятся определения конформного и конциркулярного преобразований Л#-структуры Доказывается

Теорема. Конциркулярное преобразование является голоморфно 2-геодезическим преобразованием второго линейного типа с параметрами

9 = ~2,0) = с1(7,£ = а*,а = (1о,Ь = Р+^сг^, где а- определяющая функция

конформного преобразования

И с учетом результатов предыдущего параграфа, получены следующие теоремы:

Теорема. Конциркулярное преобразование АН-структуры сохраняет структурный тензор

Теорема. Конциркулярное преобразование АН-структуры сохраняет виртуальный тензор тогда и только тогда, когда оно тривиально

Теорема. Конциркулярное преобразование сохраняет след виртуального тензора тогда и только тогда, когда оно тривиально

Теорема. Конциркулярное преобразование структуру класса преобразует в структуру класса

Теорема. Нетривиальное конциркулярное преобразование приближенно келерову структуру преобразует в собственную С [-структуру (т е структуру класса £?ь отличную от Ж-структуры)

Теорема. Конциркулярное преобразование структуру класса С?2 преобразует в структуру класса Ог

Теорема. Конциркулярное преобразование почти келерову структуру преобразует в собственную (^-структуру (т е структуру класса (?2> отличную от почти келеровой структуры)

Основные результаты диссертации

1. Получены формулы преобразования структурного и виртуального тензоров почти эрмитовой структуры относительно голоморфно 2-геодезических преобразований первого и второго линейных типов

2 Выделен класс специальных голоморфно 2-геодезических преобразований первого линейного типа почти эрмитовой структуры, и доказано, что ковариантная производная структурного эндоморфизма, а также структурный и виртуальный тензоры почти эрмитовой структуры являются инвариантами этих преобразований

3 Найдены инвариантные классы Грея-Хервеллы почти эрмитовой структуры относительно специальных голоморфно 2-геодезических преобразований первого линейного типа

4. Найдены условия инвариантности структурного и виртуального тензоров почти эрмитовой структуры, а также следа виртуального тензора, относительно голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа. Также получены условия инвариантности некоторых классов Грея-Хервеллы относительно данных преобразований

5. Показано, что конциркулярные преобразования почти эрмитовой структуры являются частным случаем голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа с явным указанием параметров последнего.

Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук, профессору В.Ф Кириченко за постановку проблемы, внимание и помощь, оказанную автору при работе над диссертационным исследованием.

Список публикаций по теме диссертации

1. Кириченко, В Ф Эрмитова геометрия голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа почти эрмитовых структур / В.Ф Кириченко, Э А. Сулейманова // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Астрахани-2007» - Астрахань, с 11 сентября по 14 сентября 2007. - С 29 - 30 (0,1 печл, соискателем выполнено 50% работы).

2. Сулейманова, Э.А. Голоморфно 2-геодезические преобразования второго линейного типа почти эрмитовых структур / Э А. Сулейманова // Вестник Башкирского университета. - 2007. - №4. - С. 8 -11 (0,3 печ л )

3 Сулейманова, Э А. Голоморфно 2-геодезические преобразования первого линейного типа почти эрмитовых структур / Э А Сулейманова // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в 0дессе-2007» -Одесса, с 21 мая по 26мая 2007 - С. 103 - 105 (0,2 печ л ).

4 Сулейманова, Э А О Геометрии голоморфно 2-геодезических преобразований первого линейного типа почти эрмитовых структур / Э А. Сулейма-

нова; М-во образования Рос Федерации - М., 2007 - 17 с - Библиогр . с.17

- Деп. в ВИНИТИ 25 07 07. №776 - В2007 (1,1 печ.л).

5 Сулейманова, Э А О Геометрии голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа почти эрмитовых структур / Э А. Сулейманова; М-во образования Рос Федерации -М,2007 - 19 с -Библиогр.. с.19.

- Деп в ВИНИТИ 25 07 07. №777 - В2007 (1,2 печ л).

6. Сулейманова, Э.А. О свойствах голоморфно 2-геодезических преобразований первого линейного типа почти эрмитовых структур / Э.А. Сулейманова // Известия высших учебных заведений. Математика. -2007. - №12. - С. 83 - 86 (0,3 печ.л.).

Подп к печ 25 06 2008 Объем 1 п л Заказ № 113_Тир ЮОэкз

Типография МПГУ

Введение.

Глава 1. Почти эрмитовы структуры

§1. Почти эрмитовы структуры на многообразиях.

§2. Основные классы почти эрмитовых структур.

Глава 2. Голоморфно 2-геодезические преобразования первого линейного типа почти эрмитовых структур

§1. Понятие /7-геодезического преобразования.

§2. Голоморфно 2-геодезические преобразования первого линейного типа почти эрмитовых структур.45;,

§3. Полуспециальные голоморфно 2-геодезические преобразования почти эрмитовых структур.50 •

§4. Специальные голоморфно 2-геодезические преобразования почти эрмитовых структур.

§5. Голоморфно-проективные и голоморфно-геодезические преобразования как частный случай специальных голоморфно 2-геодезических преобразований почти эрмитовых структур.

§6. Инвариантные классы Грея-Хервеллы относительно специальных голоморфно 2-геодезических преобразований почти эрмитовой структуры.

Глава 3. Голоморфно 2-геодезические преобразования второго линейного типа почти эрмитовых структур

§ 1. Голоморфно 2-геодезические преобразования второго линейного типа почти эрмитовых структур.

§2. Эрмитова геометрия голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа.

§3. Конциркулярные преобразования как частный случай голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа почти эрмитовых структур.

Теория геодезических отображений является одним из классических направлений в изучении геометрии. Впервые геодезические отображения поверхностей были изучены итальянцем Э. Бельтрами в 1865 году [31], [32]. Им была сформулирована и решена задача отображения поверхности на плоскость, при котором геодезические кривые переходят в геодезические кривые (в данном случае, прямые на плоскости). Бельтрами доказал, что такими могут быть только поверхности постоянной кривизны.

Геодезические отображения римановых пространств впервые были рассмотрены в работах Т. Леви-Чивита [36], который решил проблему нахождения метрик и-мерных римановых пространств, имеющих общие геодезические. Ь

Впоследствии теорией геодезических отображений римановых проI странств с аффинной связностью занимались Г. Вейль [40], Т. Томас [38] и др. Большой вклад в развитие этой теории был внесен одесскими математиками (Н.С. Синюков [28], С.Г. Лейко [18], Й. Микеш, Ж. Радулович, М.Л. Гаврильченко [27]). В пространствах с аффинорными структурами аналогом геодезических отображений стали голоморфно-проективные отображения пространств, которые исследовались такими геометрами, как Т. Оцуки, Й. Таширо [37], В.Ф. Кириченко [14], [13], А.В. Никифоровой [13], [26] и др.

На основе теории геодезических отображений была построена теория п - р)-проективных пространств. Это пространство характеризуется тем, что в нем каждая геодезическая кривая лежит в /^-мерной плоскости. В.Ф. Каган

4] ввел понятие (п - /^-проективного пространства, обобщив понятие проек-тивно-евклидового пространства (т.е. пространства, допускающего геодезические отображения на евклидово пространство). Каган исчерпывающе изучил случай (п — 2)-проективного пространства.

Близкой к теории (п — р)-проективных пространств является концирку-лярная геометрия, колоссальный вклад в разработку которой внёс К. Яно [41]. Позже теорией конциркулярных отображений занимались В.Ф. Кириченко [7], С.Г. Лейко [19], [20]; Л.И. Власова [7], [3] и др.

В 1963 году Н.С Синюков обобщил все известные сведения о понятии {п - 2)-проективного' пространства. Он поставил задачу изучить такое отображение одного пространства с аффинной связностью на другое пространство, при котором каждая геодезическая кривая первого переходит в почти1 геодезическую кривую [29].

Огромный вклад в теорию ^-геодезических отображений внес С.Г.' Лейко [21], [18], [17], [22]. Им были изучены общие закономерности отображений, придающие образам геодезических кривых порядок уплощения не выше фиксированного значения р. В работах [18] и [17] были определены р-геодезические кривые и /^-геодезические отображения (диффеоморфизмы и погружения) пространств с аффинной связностью без кручения. Доказана теорема существования р-геодезических кривых и получены основные уравнения р-геодезических отображений, выделены р-геодезические отображения линейных и квадратичных типов, найдены классы пространств, допускающих /^-геодезические диффеоморфизмы. Результаты С.Г. Лейко, полученные в работе [17], являются обобщением теории (п -р)-проективных пространств. Почти геодезическая кривая в терминологии Н.С. Синюкова здесь называется 2-геодезической.

Однако до настоящего времени все исследования по данной проблематике носят достаточно общий характер. И дальнейшее развитие теории р-геодезических отображений весьма актуально. С геометрической точки зрения интересно рассмотрение частных случаев /^-геодезических преобразований и получение классификации пространств, допускающих нетривиальные голоморфно /^-геодезические отображения.

В проведенном нами исследовании рассмотрены голоморфно 2-геодезические преобразования первого и второго линейных типов почти эрмитовой структуры.

Цель данного диссертационного исследования состоит в рассмотрении голоморфно 2-геодезических преобразований линейных типов почти эрмитовых структур.

В соответствии с целью выделены следующие основные задачи:

1. Найти, как меняются структурный и виртуальный тензоры почти эрмитовой структуры относительно голоморфно 2-геодезических преобразований первого и второго линейных типов.

2. Рассмотреть голоморфно 2-геодезические преобразования первого и второго линейных типов, оставляющие неизменными структурный и виртуальный тензоры почти эрмитовой структуры.

3. Найти объекты, инвариантные относительно голоморфно 2-геодезических преобразований первого и второго линейных типов почти эрмитовых структур.

4. Установить, при каких условиях голоморфно 2-геодезические преобразования первого и второго линейных типов переводят классы Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур в себя.

5. Рассмотреть частные случаи голоморфно 2-геодезических преобразований первого и второго линейных типов почти эрмитовых структур.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

1. Найдены формулы изменения структурного и виртуального тензоров почти эрмитовой структуры относительно голоморфно 2-геодезических преобразований первого и второго линейных типов.

2. Выделены так называемые специальные голоморфно 2-геодезические преобразования первого линейного типа, и доказано, что они оставляют неизменными структурный и виртуальный тензоры почти эрмитовой структуры.

3. Найдены инвариантные классы Грея-Хервеллы относительно специальных голоморфно 2-геодезических преобразований первого линейного типа.

4. Получен ряд инвариантов голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа почти эрмитовой структуры.

5. Доказано, что голоморфно-геодезические и голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовой структуры являются частным случаем специальных голоморфно 2-геодезических преобразований. Также доказано, что конциркулярные преобразования являются частным случаем голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения голоморфно 2-геодезических преобразований почти эрмитовых многообразий, а также при чтении спецкурсов в высших учебных заведениях.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры геометрии МПГУ (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Кириченко); на Международной конференции «Геометрия в 0дессе-2007» (2007 г., Одесса); на Международной конференции «Геометрия в Астрахани-2007» (2007 г., Астрахань).

Содержание диссертации отражено в 6 публикациях. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 11 параграфов. Список литературы содержит 47 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Диссертация изложена на 94 страницах машинописного текста.

1. Абоуд, Х.М. Голоморфно-геодезические преобразования почти эрмитовых многообразий Текст.: дисс. .канд. ф.-м. наук / Абоуд Хабееб Мута-шар. - М., 2002. - 75 с. - Библиогр.: с. 71-75.

2. Банару, М.Б. Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли Текст.: дис. .канд. физ.-мат.наук / Банару Михаил Борисович. -М., 1993. 99 с. - Библиогр.: с. 96-99.

3. Власова, Л.И. Конциркулярная геометрия приближенно келеровых многообразий Текст.: автореф. дис. .канд. физ.-мат. наук / Л.И. Власова. -М.: МПГУ, 2001.-15 с.

4. Каган, В.Ф. Субпроективные пространства Текст.: учеб для вузов / В.Ф. Каган. М.: ГИФМЛ, 1961.-220 с.

5. Кириченко, В.Ф. Введение в современную геометрию Текст.: учеб. пос. для вузов / В.Ф. Кириченко, О.Е. Арсеньева. Тверь: ТГУ, 1997. - 117 с.

6. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях Текст.: монография. М.: Изд-во МПГУ, 2003. - 495с.

7. Кириченко, В.Ф. Конциркулярная геометрия приближенно келеровых многообразий Текст. / В.Ф. Кириченко, Л.И. Власова // Матем. сб. — 2002. -Т. 193.-№5.- С. 53-76.

8. Кириченко, В.Ф. К-пространства максимального ранга Текст. / В.Ф. Кириченко // Мат.заметки. 1977. - № 22. - С. 465-476.

9. Кириченко, В.Ф. К-пространства постоянного типа Текст. / В.Ф. Кириченко // Сиб.матем.ж. 1976. - Т. 17. - №3. - С. 282-289.

10. Кириченко, В.Ф. Новые результаты теории К-пространств Текст.: дисс. .канд. ф.-м. наук / Кириченко Вадим Федорович. М., 1975.

11. Кириченко, В.Ф. О голоморфно-проективных преобразованиях почти эрмитовых структур Текст. /В.Ф. Кириченко, А.В. Никифорова // Успехи мат. наук. -2001. Вып. 56. - №6, С.149-150.

12. Кириченко, В.Ф. Обобщенные классы Грея-Хервеллы и голоморфно-проективные преобразования обобщенных почти эрмитовых структур Текст. / В.Ф. Кириченко // ИЗВ РАН. 2005. - Т.69. - №5. - С. 109-134.

13. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии. Т.1 Текст.: Ш. Ко-баяси, К. Номидзу. М.: Наука, 1981. - 344 с.

14. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии. Т.2 Текст.: Ш. Кобаяси, К. Номидзу. М.: Наука, 1981. - 416 с.

15. Лейко, С. Г. Дифференциальная геометрия обобщенно-геодезических отображений многообразий и их касательных расслоений Текст.: Дисс. .докт. ф.-м. наук / Лейко Святослав Григорьевич. Одесса, 1994. — 325 с. -Библиогр.: с. 304-324.

16. Лейко, С.Г. Линейные р-геодезические диффеоморфизмы многообразий с аффинной связностью Текст. / С.Г. Лейко // Изв. высших уч. заведений. -1982. —№5. С.80-83.

17. Лейко, С.Г. р-геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях, индуцированные конциркулярными преобразованиями базисного многообразия Текст. / С.Г. Лейко // Изв. вузов. Мат. — 1998. — №6.- С. 35-45.

18. Лейко, С.Г. р-геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях, индуцированные геодезическими преобразованиями базисного многообразия Текст. / С.Г. Лейко // Изв. вузов. Мат. 1992. — №2. — С. 62-71.

19. Лейко, С.Г. р-геодезические сечения касательного расслоения Текст. / С.Г. Лейко // Изв. вузов. Мат. 1994. - №1. - С. 32-42.

20. Лейко, С.Г. Три-геодезические отображения пространств аффинной связности Текст. / С.Г. Лейко // Укр. геом. сб. 1976. - 19. - С. 90-99.

21. Лихнерович, А. Теория связностей в целом и группы голономии Текст.: учеб. для вузов / А. Лихнерович. М.: Гос. изд. иностр. лит., 1960. — 216 с.

22. Никифорова, А.В. Голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовых многообразий Текст.: дисс. .канд. ф.-м. наук / Никифорова Анна Валентиновна. М., 2002. - 85 с. - Библиогр.: с. 81-85.

23. Никифорова, А.В. О голоморфно-проективных отображениях почти эрмитовых многообразий Текст. / А.В. Никифорова // Mill У. 2000. -С.186-190.

24. Радулович, Ж. Геодезические отображения и деформации римановых пространств Текст. / Ж. Радулович, Й. Микеш, M.JI. Гаврильченко. -Одесса: Оломоуц, 1997. 127 с.

25. Синюков, Н.С. Геодезические отображения римановых пространств Текст.: учеб. для вузов / Н.С. Синюков М.: Наука, 1979. - 256с.

26. Синюков, Н.С. Почти геодезические отображения аффинносвязных и римановых пространств Текст. / Н.С. Синюков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. ВИНИТИ. - 1982. - Вып. 13. - С. 3-26.

27. Barros, М., Ramirez, A. Decomposition of quasi-Kahler manifolds which satisfy the first curvature condition Текст. / M. Barros, A. Ramirez // Demonst. math.-1978.- 11. №3. - C. 685-694.

28. Beltrami, E. Risoluzione del problema i riportari i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linne geodetiche vengano rappresentate da linne rette Текст. / E. Beltrami // Annali di Matematica. 1865. - 1. - №7.

29. Beltrami, E. Teoria foundamentale degli spazii di curvature constante Текст. / E. Beltrami // Annali di Matematica. 1902. - 2. - №27. - C. 232-255.

30. Gray, A. Nearly Kahler manifolds Текст. / A. Gray // Different.Geom. -1970. 4. -№3. - P. 283-309.

31. Gray, A., Hervella, L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants Текст. / A. Gray, L.M. Hervella // Ann. Math. Pure ed appl. 123. 1980. - C. 35-58.

32. Kirichenko, V.F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry Текст. / V.F. Kirichenko //1. Geometriae Dedicate. 1994. - C. 51, 75-104.

33. Levi-Civita, T. Sulle transformazioni delle equazioni dinamiche Текст. / Т. Levi-Civita // Annali di Matematica. 1896. - 2. - №24. - C. 255-300.

34. Otsuki Т., Tashiro, Y. On curues in Kahlerian spaces Текст. / Otsuki Т., Ta-shiro Y. // Math. J. Okayma univ. 1954. - 4, №1. - C.57-78.

35. Tomas, T. One the projective and equiprojective geometries of path Текст. / Т. Tomas //Proc. Nat. Acad. Sci., USA. 1925. - 11. - C. 198-203.

36. Vidal, E., Hervella, L.M. New classe of almost Hermitian manifolds Текст. / E. Vidal, L.M. Hervella // Tensor. 1979. - v.33. - №3. - C. 293-299.

37. Weyl, H. Zur infmitesimalgeometrie Einordnung der projection und der Kon-formen Auffassung Текст. / H. Weyl // Gottingen Nachrichten. 1921. - C. 99-119.

38. Yano, K. Concircular geometry Текст. / К. Yano // I-IV. Proc.Imp.Acad. Tokio 1940. - 16. - C.195-200, 354-360, 442-448, 505-511.Список публикаций автора по теме диссертации

39. Сулейманова, Э.А. Голоморфно 2-геодезические преобразования второго линейного типа почти эрмитовых структур Текст. / Э.А. Сулейманова // Вестник Башкирского университета. 2007. - №4. - С. 8-11 (0,3 печ. л.).

40. Сулейманова, Э.А. О свойствах голоморфно 2-геодезических преобразований первого линейного типа почти эрмитовых структур Текст. / Э.А.Сулейманова // Известия вузов. Математика. 2007. - №12. - С. 83-86 (0,3 печ. л.).