Дифференциальная геометрия тангенциальных эрмитовых поверхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Г, т- г? л 1 <" I 1] V.'»' I

1 1 НОЯ 1936

На правах рукописи

ЗАЯТУЕВ Батор Владимирович

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ ЭРМИТОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете имени В.И. Ленина на кафедре геометрии.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор КИРИЧЕНКО В.Ф.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент ТРОФИМОВ В.В.

кандидат физико-математических наук, доцент ШАНДРА И.Г,

Ведущая организация — Казанский государственный университет.

заседании Диссертационного Совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете имени В.И. Ленина по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, МПГУ имени В.И. Ленина, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В.И. Ленина: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д.1.

Автореферат разослан «...........»........................1996 года.

Защита состоится «.

1996 г. в

часов на

Ученый секретарь Диссертационного Совета КАРАСЕВ Г.А.

ОЕШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы» Эрмитовой поверхностью называется двумерное комплексное многообразие, на котором фиксирована положительно определенная эрмитова форма, называемая эрмитовой метрикой многообразия. Такие многообразия / аналогично, как и римано вы поверхности/ обладают весьма своеобразной геометрией, которая в настоящее время пока мало изучена..

К исследованию геометрии эрмитовых поверхностей посвящались ряд работ известных геометров: И.Вайсмана, Ф.Тричери» ТЛСоды и А,Грея, Так. в работах „ ^ 3.3 получены некоторые результаты гкасающиеся свойств кривизн, характеризующих эрмитовы поверхности, а в работе ^ получены тождества кривизн,,кото-ршш обладают автодуальные и антиавтодуаяьные эрмитовы поверхности.

Диссертационная работа посвящена изучению геометрик эрмитовых поверхностей, внутренним образом возникающей на пространстве касательного расслоения над двумерным ршановш многообразней. Эту структуру можно описать в терминах теории полного лифта относительно инфинитезшальяой связности, разработанного Ф.й.Каганом / Г 51/. Насколько известно автору, несмотря на немалое количество работ,посвященных изучению геометрических структур на касательных расслоениях, почти эрмитова структура подобная введенной нами еще не явлалась предметом рассмотрения. В работе подробно изучены некоторые свойства этого класса эрмитовых поверхностей / названного нами классом тангенциальных эрмитовых поверхностей/, в частности доказано, что они являются локально конформно келеровыыи многообразиями весьма общей природы. Тем самым получен целый класс принципиально новых примеров 4-мерны» локально конформно келеровых многообразии, играющих важную роль при построении нелинейных С - моделей в теории супергравнтации £ Щ

Цель диссертационной работы состоит в изучении некоторых /определенных внутренним образом/ геометргнгеских структур, возникавших на пространстве касательного расслоения над двумерным /ориентированным/ римановым многообразием. Основными задачами данного исследования являются следующие :.

1) Показать, что на касательном расслоении над двумерным ориентированным риыановым многообразием каноническим образом индуцируется два типа почти эрмитовых структур. Выразить вти факты исходя из метода полного лифта относительно инфинитезимальной связности, разработанного Ф.И.Каганом.

2) Изучить геометрию введению: почти эрмитовых структур методом присоединенной б - структуры.

Новизна результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Отметим некоторые из них :

1) Показано, что на касательном расслоении над двумерным ориентированным ршановым многообразием каноническим образом индуцирует« семейство эрмитовых структур. Более того, доказано, что эти эрмитовы структуры являются локально конформно-келеровыми структурами.

2) Построена О - структура, присоединенная к построенным эрмитовым структурам, найдена полная группа ее структурных объектов. На базе этих результатов получены сведения об особенностях геометрии этих эрмитовых структур, а именно :

а) Найдено необходимое и достаточное условие того, что рассматриваемые эрмитовы структуры являются келеровыми структурами.

б) Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых касательное расслоение, снабженное таким семейством эрмитовых структур, является, соответственно, обобщенным многообразием Хопфа, пространством Эйнштейна, Р Я - многообразием и многообразием постоянной голоморфной секционной кривизны.

3) Показано, также, что на касательном расслоении над двумерным римановым многообразием каноническим образом индуцируется почти келерова структура. Найдено необходимое и достаточное условие интегрируемости этой структуры.,

Методы исследования. Основные результаты получены систематическим использованием метода внешних форм Картана. Исследование проводится на пространстве присоединенной 0 - структуры, элементами пространства тотального расслоения которой являются А- реперы.

Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения введенного нами класса эрмитовых поверхностей, а также при чтении спецкурсов в ВУЗах.

Дппобация работа. Основные результаты диссертации два раза докладывались и обсувдались на научно-исследовательском семинаре по дифференциальной геометрии кафедры геометрии МИГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Ф.Кириченко, такяе, на научно-практическом семинаре по теоретической физике МПГУ под руководством кандидата физико-математических наук Б.Н.Фролова и научно-исследовательском семинаре по дифференциальной геометрии кафедры функционального анализа и геометрии Тверского госуниверситета под руководством доктора физико-математических наук, профессора А.М.Шелехова.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в пяти публикациях

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 46 работ отечественных и зарубежных авторов. Работа выполнена на 99 листах печатного текста.

ОБЕОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко изложена история рассматриваемого вопроса и дан обзор современного состояния проблем, изучаемых в диссертации, обоснована актуальность темы исследования, цель и научная новизна работы, раскрыто краткое содержание диссертации.

В основном, глава 1 посвящена изложении основ метода полного лифта относительно инфинитезимальной связности и разработке его альтернативного трактования.

В §1 напоминается понятие касательного расслоения над гладким многообразием. Определяются индуцированные на нем топология и дифференцируемая структура.

§2 полностью посвящен излояени» основ метода полного лифта относительно инфшитезшальной связности, разработанного Ф.И.Кага-ном.

В §3 напоминается понятие естественного лифта инфинитези-мальных и аффинных связностей.

В параграфе 4 нами разрабатывается альтернативная трактовка полного лифта относительно инфинитезимальной связности, которая, в дальнейшем, будет существенно использоватся в нашем исследовании.

Показано, что на множестве

ае'стю - ^хеэестнИ х.хеаим} ;

естественным образом индуцируется структура С С^Л - модуля, причем У (ДМ) ~ Т© ' * где

совокупность всех вертикальных векторных полей, инвариантных относительно естественного действия группы трансляции в слоях касательного расслоения;

- совокупность всех т -с вязан их горизонтальных векторных полей. Введены отбражения

определенные по закону: 1 ~ •

/здесь Т:Т(ИИМ -естественная проекция/, которые являются изоморфизмами С^СМ) -модулей»

Определено понятие канонического локального базиса модуля ^(.ТЬ) . Введено ^ ^

Определение б» Слоевым тензором типа ' 1 ^ назовем полилинейное отображение 1

т!'• лг •« * *к * хзух ** ^х.л'м" с "ч т к) ^г ^-^г ^^

Здесь . К" - соответственно, дуальные к Т и 'Н

О.^ЧТ'М -модули. Показано, что именно слоевой тензор является аналогом " локального тензора " в смысле Ф»И.Кагана С 61. Доказана

2Е0РЕЫА 1. Пусть Т= [ 1 , ^ , тензорное поле,

типа на « где £ - поля слоевых тензоров.

Тогда, в каноническом базисе это равносильно :

^ Я,-. ^ О^ '

§5 посвящен изучению почти комплексных и почти эрмитовых структур на касательном расслоении. Введены в рассмотрение два класса почта комплексных структур на касательном расслоении, снабженным инфинитезимаяьной связностью.

Определение ?. АС-структуру Ч на Тназовем почти комплексной структурой инвариантного типа, или АС-структурой 1-го рода, если вертикальное и горизонтальное ^ распределения инвариантны относительно ^ , т.е.

Доказано, что полный лифт вида " ^ , Ч , |, определяет почти комплексную структуру инвариантного типа тогда и только тогда, когда

1 = »J - о ' • ,

03 > t __ > <

Определение 8. АС-структуру на Т(М) назовем почти комплексной структурой антиинвариантного типа, или структурой второго рода, если

ЧГ)-^ /а значит, и Доказано, что оператор 1 - St . , Ч определяет почти комплексную структуру антиинвариантного тша тогда и только тогда, когда

ч - ч - о . ч

i % у г о ' Затем, получены необходимые условия того, чтобы пара

rvAu.-i.^r-HH'iO

являлась почти эрмитовой структурой на касательном расслоении» В частности, доказано, что если 1 - почти коплексная структура инвариантного типа, то пары , ^ } и с необходимостью

являются почти эрмитовыми структурами на М,

Глава вторая.

В §1 даются определения почти комплексных и почти эрмитовых структур на гладком многообразии. Строится присоединяемая к многообразию М G -структура /подрасслоение главного расслоения всех коплекеных реперов/, состоящая из адаптированных к почти эрмитовой структуре реперов /А-реперов/, задание которой эквивалентно заданию почти эрмитовой структуры на U. Приведены структурные уравнения построенной О -структуры £ Ч1. Вводятся в рассмотрение виртуальные и структурные тензора Кириченко 1 -го и 2-го рода. Затем, приведена полная классификация почти эрмитовых структур по Грею-Херведле, в терминах тензоров Кириченко,

В заключении данного параграфа определено понятие локально конформно-келерового многообразия,. Приведены необходимые и достаточные условия локальной конформно-келеровости почти эрмитовой структуры.

§2 посвяшен изучению некоторых особенностей двумерных и четырехмерных почти эрмитовых многообразии.

Показано, что на двумерном ориентированном римановом многообразии ( К*, ^о ) каноническим образом определяется почти комплексная структура ^ „ » инвариантная относительно конформного преобразования метрики . Причем, пара образует кеде-

рову структуру на 1Л5- . названную нами канонической келеровой. структурой метрика .

Доказано, что для четырехмерных почти эрмитовых многообразии

С Н4*, М , ^ ) имеет место

ТЕОРЕМА у.1. Любая АН-структура на четырехмерном многообразии с необходимостью принадлежит к классу ХЛ/^ по классификации Грея-Хервеллы»

Эта теорема эквивалентна тому, что структурные уравнения почти эрмитовой структуры ^ , ^ на пространстве расслоения А-реперов имеют следующий вид :

где /причем V - А а /; = О /причем В^-

Ва«с Л / " /•

В случае интегрируемости ^ 4 ^ з . имеет место следующее Определение И.8 ^ "11 • Четырехмерное эрмитово многообразие

С И1*

^ ) назнваегся эрмитовой поверхностью.

В главе Ш изучается геометрия касательного расслоения над двумерным ориентированным римановым многообразием.

В параграфе один показано, что каноническая келерова структура \ ) ^о! метрики на двумерном ориентированном многообразии Н1 внутренним образом определяет два отображения

по следующим формулам :

(У V)-- -^чЛ* .Ч^ЛИ ;

где Рч , Рн - соответственно, проекторы на вертикальное

распределение 'Т и горизонтальное распределение It , порожденное римановой связностью метрики > С'ТТМ4) - | •? Доказаны

ТЕОРЕМА Ш -.1. Пара <■ определяет АН-структуру на касательном расслоении Т1 нМ .

ТЕОРЕМА Ш »2. Во введенных обозначениях

1) Ч

2) '

где £.....1 - полный лифт, в смысле Ф. И. Кагана.

В §2 вычисляется тензор аффинной деформации СХ от аффинной связности ^ , являющейся естественным лифтом V »к римановой связности у метрики Q . При этом существенно используется алгоритм ковариантного дифференцирования, описанный в гл.1, §4 и Теорема 1. В частности, доказана

ТЕОРЕМА IJJ .3. Пусть \ н - горизонтальное поднятие кривой Хо с N\l. Тогда ^н является геодезической относительно римановой связности ^ метрики g тогда и только тогда, когда - геодезическая относительно ркмановой связности метрики В §3 выводятся структурные уравнения почти эрмитовой структуры ^ . индуцированной на ) . Сначала, в целях оптимизации наших выкладок, выведены структурные уравнения римановой структуры на пространстве присоединенной (j -структуры /состоящего из адаптированных к (ТМ* ) реперов/ :

Лъ4 + -яъМ - |ks \

as1 =

-де к определяется из fc t -= k U^Vi^i«- •

Затем, с помощь» однозначно определенного преобразования, '.анная труппа структурных уравнении записывается на пространстве расслоения А-реперов.:

-1С-

Ли^юХ- ^и/ли^Ч

I 4. 3. к л

О ьО - ио^иь - -Щ % и>А »Л ^

И ф.к.с.

Здесь ^ - X + ^ .

Доказана ^ ч

ТЕОРЕМА Ш .4» АН-структура \ »V ^ ^Л^ЧЙ

интегрируема, и значит, многообразие является эрмито-

вой поверхностью_ ?

Определение Ш »1. Эрмитову поверхность ) Д назо-

вем тангенциальной зрмитовой поверхностью. Доказана ^

ТЕОРЕМА М .5. ^ ) ( \ с^ - келерово многообразие тогда и только тогда, когда Н1 плоско относительно метрики

Как известно, любое двумерное риманово многообразие локально конформно-плоско. Использование этого обстоятельства позволяет доказать следуадую теорему. ^ ТЕОРЕМА Ш..6. Тангенциальная эрмитова поверхность ) ( , ^ является локально конформно келеровым многообразием. Стандартная процедура дифференциального продолжения 1-ой груши структурных уравнении приводит нас к следующему выводу : ковариантный дифференциал формы Ли .относительно римановой связности метрики с^ , на пространстве расслоения А-реперов имеет единственную /с точностью до комплексного сопряжения/ ненулевую компоненту, причем являющуюся постоянной величиной. Как следствие этого факта, имеет место

ТЕОРЕМА |П .7. Пусть Ч Д - тангенциальная

эрмитова поверхность. Тогда ТС^'1) является обобщенным многообразием Хопфа тогда и только тогда, когда ее форма Ей имеет постоянную длину, то есть Пий и = сол*^ .

В главе ГУ изучаются свойства кривизны тангенциальной эрмитовой поверхности и. кроме того, рассматриваются некоторые его массы, определенные при помощи тождеств, которым удовлетворяет его тензор кривизны.

В §1 этой главы выводится вторая группа структурных уравнении тангенциальной эрмитовой поверхности. Вычисляются спектр тензора кривизны, спектр тензора Риччи, а также, скалярная кривизна на пространстве расслоения А-реперов.

Доказаны

— з.

ТЕОРЕМА \\) .1. Тангенциальная эрмитова поверхность Т(М )

является плоским /т.е. локально евклидовым/ многообразием относительно метрики тогда и только тогда, когда М5" плоско относительно метрики и функция К удовлетворяет тождес-ву : - J- ipf - О ./где f = ¿¿щ ( К, > % /4 ТЕОРЕМА IV .2. Тангенциальная эрмитова поверхность ) ^, ^ ^ является многообразием постоянной кривизны тогда и только тогда, когда TIM1) - плоское многообразие. х ТБОРШ W .3, Тангенциальная эрмитова поверхность ), , <| ^ является пространством Эйнштейна тогда и только топт, когда эта поверхность плоска.

В начале §2 рассматриваются тангенциальные эрмитовы поверхности. тензор кривизны которых удовлетворяет хороио известным тождествам /определенным А.Греем в t %"]/• Найдены необходимые и достаточные условия выполнения этих тождеств, с использованием которых доказана следующая ^

ТЕОРЕМА W.5. Тангенциальная эрмитова поверхность \Т(ГЛ ), ^, ^ является паракеяеровым многообразием тогда и только тогда, когда № плоско относительно метрики (|0 .

Далее, определяется понятие многообразия точечно постоянной голоморфной секционной кривизны. Найден критерии точечного постоянства голоморфной секционной кривизны и, шесте с тем, доказана

ТЕОРЕМА IV.6. Тангенциальная эрмитова поверхность является многообразием точечно постоянной Н 9 — кривизны тогда и только тогда, когда Т(.М*)-шгоско»

В главе \L рассматривается еще одна АН-структура, канонирским образом определенная на касательном расслоении Т (М1) гад двумерным_римаяовым многообразием ( На , ). Показано, что »тоОражение ^ : ^'(ДМ4) -"> К'(ТМ*)» определенное по формуле

Ш) = VV^vU) - vv^tu , шляется почти комплексной структурой на ТС М ) . Доказаны

ТЕОРЕМА N .1. Пара , g определяет АН-структуру огда и только тогда, когда X - 1 ,

TEOFEMA М »2. Во введенных обозначениях

2) «j i где TJ - риманова связность метрики с . __ ^ /Отметим, что почти эрмитова структура вида

^ впервые рассматривалась Татийаной в Окумурой

в работе 91/*

С учетом структурных уравнении на пространстве присоединенной G -структуры /состоящего из адаптированных к реперов/, выведены структурные уравнения АН-структуры i ^(| ^ на пространстве расслоения А-реперов :

¿ ш^мЛ* + { иЛиь3" + UjVu^H- iVAi ^ )

i 4 1 11 ^

и ф.к.с.

В качестве опорных результатов, доказаны í ТЕОРЕМА V .3. Касательное расслоение { Т(М ) ^ , ^ 1 является почти келеровым многообразием»

ТЕОРША V.4. , Ч , ^ .является эрмитовой поверх-

ностью тогда и только тогда, когда М"" плоско.

ЛИТЕРАТУРА

Т. VaiSVMciv, 1, Sowie co'ivcá-Ыче ръореъЧЛes о CovnpPe/ Su*face. j[ fi«*«J. Mal, ; v.^HS^MlVÜ?.

2 VQUVMQV,!, F, OV, S0V4 í ¿".'rtenSiOhaf

// НаЧ.КЛ., V. m , '1ЧН ,р.й>5-11

3. KccÍq T, avU a*Use?$ lUW^Vvav»

SüVÍace // kfcdo; MaU. í. , V.-tO , ^, 5 lí, - ^ .

4. Ianus S, Vlsinescu M, KaíWci - Ufelv» -tVeo-vvj

íief^S

Uof?

Yvmn'i -?o?cHs Ц C?as?. GiüqhbvM Q-iav . ; V-Ц. >МЯ>) P- 1314 - Ш5 .

5 Каган Ф.И. К теории лифтов // Известия ВУЗов. Математика. 1969. B.c. 46-49.

6. Каган Ф.И. Аффинные связности на касательном пучке // Известия ВУЗов. Математика. 1975, Лб« с. 117-123.

7. Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств // Итоги науки и техника. Проблемы геометрии, т.8. М. : ВШЙТИ АН СССР, 1977. т.8. с. 139-161.

A. Cu-tvc-lM't е \<Uv,x\Vi«s ^

Qr\d aPhioS t VI Ил Л Wi»h\-?o?cU // "Tololiu

Cew,p?«x SyoceS // ТоЬокм Hci\v1 IV,

Публикации автора по теме диссертации :

10» Заятуев Б.В. Об одном классе эрмитовых поверхностей // Научные труды МИГУ им, Ленина, 1S96, с. 17-18.

11. Заятуев Б.В. Геометрия касательного расслоения над двумерным римановым многообразием // Деп ВИНИТИ, 13.03.96,,

№ 8Q3-B96, с. 15.

12. Заятуев Б.В. 0 почти келеровой структуре на касательном расслоении над двумерным римановом многообразии // Деп. ВИНИТИ, 13.03.S6., Л 804-BS6, с. 12.

13. Заятуев Б.В. 0 геометрии тангенциальных эрмитовых поверхностей // We"3s and c^ct slcjtou ps ; TV e 4. , 1995, p.139-142.

14. Кириченко В.Ф., Заятуев Б.В. Дифференциальная геометрия тангенциальных эрмитовых поверхностей // Успехи мат. наук, 1996, №4, с. 203-204.