Сингулярные солитоны и эффекты взаимодействия в нелинейной электродинамике Борна-Инфельда тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

1. Математическая модель

1.1. Уравнения поля, граничные условия и сингулярные токи

1.1.1. Вариационный принцип.

1.1.2. Сингулярности и вариация действия.

1.1.3. Уравнения поля вне сингулярностей.

1.1.4. Граничные условия и сингулярные токи.

1.2. Законы сохранения энергии-импульса и момента импульса

1.3. Дионные сингулярности

1.3.1. Уравнения поля, сингулярности и потенциалы

1.3.2. Граничные условия в сингулярных точках

1.3.3. Вариационный принцип для двух потенциалов

1.3.4. О законе сохранения симметричного тензора энергии-импульса.

1.4. Различные формы уравнений поля вне сингулярностей

1.4.1. Уравнения для электромагнитного потенциала

1.4.2. Система для для векторов Е и В в инерциаль-ных координатах

1.4.3. Система уравнений для векторов О и В в инер-циальных координатах.

2. Некоторые точные решения

2.1. Решение с точечной сингулярностью электромагнитного поля.

2.2. Плоская бегущая волна.

3. Эффекты взаимодействия решений

3.1. Взаимодействие сингулярных солитонов.

3.1.1. Метод итераций.

3.1.2. Электромагнитное взаимодействие диона с заданным полем.

3.1.3. Бидион или модель частицы со спином.

3.2. Эффект гравитационного взаимодействия.

3.2.1. Характеристическое уравнение.

3.2.2. Искривление лучей света в заданном поле

3.2.3. Движение быстроосциллирующего волнового пакета в заданном поле.

3.3. Нелинейный электродинамический мир.

Исследование поведения солитонов представляет собой одну из важных и интересных областей теоретической и математической физики.

Солитоны или уединённые волны представляют собой локализованные в пространстве полевые конфигурации, являющиеся решениями модельных уравнений. Поскольку уравнения нелинейны, постольку сумма таких солитонных решений уже не является решением модели. В этом смысле можно говорить о взаимодействии солитонов. Если расстояние между ними значительно больше размеров областей их локализации, то мы говорим о дальнем взаимодействии солитонов. Наличие удалённых солитонов в общем случае изменяет параметры движения солитона. Эти два обстоятельства - локализация и взаимное влияние - делают солитоны похожими на материальные частицы. I

Тогда естественно напрашивается вопрос о существовании полевых моделей, имеющих солитонные решения, которые могут быть сопоставлены реальным частицам. Как известно, А. Эйнштейн был сторонником подобного подхода, хотя термин "солитон" им не употреблялся, поскольку был введён позже.

Динамика таких солитонов должна быть тождественна динамике реальных частиц. Прежде всего такая тождественность предполагает, что дальнее взаимодействие солитонов должно иметь вид электромагнитного и гравитационного - двух известных дальних взаимодеиствии реальных частиц.

Таким путём, в контексте солитонного взаимодействия, в частности, можно надеяться продвинуться в решении важной проблемы объединения электромагнетизма и гравитации. Здесь речь не идёт о простом рассмотрении уравнений электродинамики в пространстве ОТО. Более конкретно: подразумевается, что и электромагнетизм и гравитация могут быть индуцированы некоторым общим нелинейным механизмом. С этой точки зрения, в частности, могут быть рассмотрены нелинейные электродинамические модели.

Как известно, в классической электродинамике электрону сопоставляется пространственно локализованное решение линейных уравне * • ний Максвелла с точечным источником. Это решение имеет бесконечную собственную энергию. Далее, поскольку в природе имеет место электромагнитное взаимодействие, необходимо постулируется сила Лоренца действующая на заряд со стороны внешнего поля, тогда как изначально в линейной полевой модели взаимодействие между решениями отсутствует. Постулирование силы Лоренца или, фактически, задание траектории движения заряда-источника в зависимости от внешнего поля является математически законной, но не вполне естественной процедурой.

Из-за этих двух обстоятельств - бесконечной собственной энергии электрона и необходимости постулирования взаимодействия в линейной полевой модели - страдает красота описания линейной электродинамикой соответствующих аспектов реального мира. Надо сказать, что эти два нежелательные свойства модели переносятся далее в квантовую электродинамику, где только первое уничтожается процедурой перенормировки.

Обе указанные проблемы линейной электродинамики могут быть естественно решены в рамках нелинейной электродинамической модели. В настоящее время наибольшее внимание заслуживает модель, называемая электродинамикой Борна-Инфельда. В своей классической работе [1] М. Борн и JI. Инфельд рассмотрели нелинейную электродинамическую модель, следующую из вариационного принципа, предложенного ранее A.C. Эддингтоном в своей книге [2]. Надо отметить интересный результат, выделяющий модель Борна-Инфельда, полученный H.A. Черниковым: в проекте единой теории поля Эйнштейна с несимметричной метрикой [3] электродинамическая часть эквивалентна уравнениям Борна-Инфельда [4]. В последние годы интерес к этой модели чрезвычайно возрос в связи тем, что модель Борна-Инфельда возникает также в теории суперструн [5, 6]. Во всемирно известном электронном архиве научных статей1 словосочетание " Born-Infeld" может встречаться сейчас среди поступивших статей по нескольку раз в месяц. Однако, некоторые аспекты электродинамики Борна-Инфельда оставались до настоящего времени без должного внимания.

Решение модельных уравнений, которое рассматривалось М. Борном и JI. Инфельдом в качестве модели электрона обладает конечной полной энергией, в отличие от соответствующёго решения в линейной электродинамике. Однако, так же как в линейной электродинамике, это решение имеет точечную особенность типа источника силовых линий поля. Очевидно, что обычная дифференциальная модель Борна

Jhttp: //xxx.lanl.gov/

Борна-Инфельда не описывает поле в этой точке. Хотя этот вопрос обсуждался [8] и продолжает обсуждаться в литературе [10, 11], некоторые аспекты указанной проблемы до последнего времени оставались без должного внимания. В посвящённой этой проблеме статье автора [9] вариационный принцип Эддингтона в пространстве Минковского рассматривается в предположении наличия разрывов производных у поля электромагнитного потенциала. Естественным образом вводиться определение электрического заряда и тока сингулярности через функции электромагнитного поля в движущейся точке. Для существования частицеподобного решения постулируются точечные граничные условия, что равносильно добавлению к лагранжиану действия Борна-Инфельда члена с сингулярным током, содержащим 6 -функции. Из такого модифицированного действия варьированием траекторий син-гулярностей получены дополнительные точечные граничные условия для поля.

Известно, что модель Борна-Инфельда обладает свойством дуальной инвариантности [12]. Значит, вследствие дуального поворота решение Борна, соответствующее электрически заряженной частице, должно преобразовываться в решение, имеющее как электрический так и магнитный заряды. Подобная гипотетическая частица была названа Швингером дионом (с1уоп) [14]. До последнего времени дион-ные решения модели Борна-Инфельда не исследовались. Хотя попытки обратить внимание на проблему движения дионов в электродинамике Борна-Инфельда предпринимались [15,16], дальше формального обобщения силы Лоренца дело не шло. В работе автора [17] впервые дан корректный вывод обобщённой силы Лоренца, действующей на дион со стороны заданного слабого поля в модели Борна-Инфельда.

Попытки нахождения решений нелинейных полевых моделей соответствующих реальным элементарным частицам пока не привели к решающему результату. Однако, есть надежда, что если успех на этом пути будет достигнут, то соответствующая нелинейная полевая модель опишет также и все эффекты, характерные для мира элементарных частиц [20, 21]. В любом случае надо признать, что соответствие между реальными частицами и решениями полевых моделей существует. Естественно предположить, что линейные модели являются лишь приближениями нелинейных.

С введением в рассмотрение дионных сингулярностей электромагнитного поля появилась возможность моделирования в рамках нелинейной электродинамики частицы с собственным угловым моментом. В работе автора [17] рассмотрена полевая конфигурация с двумя дион-ными сингулярностями, имеющими одинаковые электрические и противоположные магнитные заряды. Соответствующее решение модели названо бидионом (Ыс1уоп). Рассматривается случай, когда скорости сингулярностей равны по модулю и противоположно направлены по общей линии. В качестве начального приближения исследуется сумма двух соответствующих дионных решений. В статье показано, что для произвольной нелинейной электродинамической модели полный сохраняющийся угловой момент такой полевой конфигурации не зависит ни от расстояния между дионными сингулярностями, ни от их скорости. Ранее другими авторами в рамках линейной электродинамики было показано, что полный угловой момент статической пары "электрический заряд - магнитный монополь" не зависит то расстояния между соответствующими зарядами [18] (см. также [19]). Этот результат можно считать частным случаем полученного автором результата. Указанное свойство полного углового момента двухдионной полевой конфигурации позволяет рассматривать её в качестве модели частицы со спином. Если положить её полный заряд равный электронному, а полный угловой момент равный спину электрона %/2, то получается, что отношение электрического заряда сингулярности к магнитному равно постоянной тонкой структуры. В статье [17] показано, что в модели Борна-Инфельда такой бидион может вести себя как нелинейный осциллятор. При помощи преобразования Лоренца из быстроосцилли-рующего бидиона получается соответствующая волновая полевая конфигурация, которая, очевидно, будет проявлять как свойства волны, так и свойства частицы с собственным угловым моментом.

Вернёмся теперь к возможности описания гравитационного взаимодействия в рамках нелинейной электродинамической модели. Идея о том, что гравитация может являться следствием других взаимодействий высказывалась А.Д. Сахаровым [37]. В работах С.Л. Адлера обсуждается возможность индуцирования гравитации электромагнитным полем [22]. В работах автора [23, 24] показано, что электромагнитные солитоны могут взаимодействовать на дальних расстояниях подобно гравитирующим частицам. При этом солитон движется в некотором эффективном Римановом пространстве, метрика которого индуцирована заданным слабым полем удалённых солитонов.

С этой точки зрения автором исследовалось также искривление лучей света малой амплитуды в заданном сильном поле для модели Борна-Инфельда [28]. Как известно, дисперсионное соотношение связывающее компоненты волнового вектора) для задач такого типа совпадает с характеристическим уравнением дифференциальной модели. Эффект индуцированной геометрии, возникающий для подобных задач обсуждался [29, 30] и продолжает'обсуждаться [31] в литературе. Однако автором [28] впервые было получено выражение эффективной Римановой метрики для модели Борна-Инфельда в виде gfiu дцv jifiiy ^ Где guv меТрИка координатной системы плоского пространства, Т^ - тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Таким образом, при наличии заданного сильного поля (солито-нов) лучи световой волны малой амплитуды искривляются так, как это должно происходить в Римановом пространстве с метрикой , зависящей от этого сильного поля. Причём, оказывается, что для модели Борна-Инфельда это искривление соответствует притяжению (к солитонам).

Далее, автором исследовалось движение быстроосциллирующего волнового пакета малой амплитуды, имеющего частоту покоя. В собственной системе координат поле такого пакета имеет конфигурацию стоячей волны с амплитудой спадающей на бесконечности. Такие решения, выражающиеся через сферические гармоники, хорошо известны для линейной электродинамики. Для малой амплитуды поля нелинейностью в модели Борна-Инфельда можно пренебречь и, следовательно, можно рассматривать указанные волновые пакеты как приближённые решения. Оказывается [17], что в заданном сильном поле такой пакет движется по геодезической линии того же эффективного Риманова пространства с метрикой д^. Эти пакеты могут быть сопоставлены с представленными рядом Фурье движущимися быстроосциллирующими бидионами.

Основные математические методы используемые в диссертационной работе: методы вариационного исчисления и метод возмущений по малому параметру с медленной вариацией параметров.

Основные результаты диссертации опубликованы в трёх статьях [9, 17, 28], вышедших в реферируемых изданиях/Кроме этого имеется несколько публикаций с результатами, касающимися темы диссертационной работы, но непосредственно не вошедшими в данную работу [23, 24, 25, 26, 27].

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на

1) семинарах Фридмановской лаборатории теоретической физики, руководитель проф. A.A. Гриб; i; > ,

2) семинаре кафедры теоретической физики МГУ, руководитель проф. Ю.С. Владимиров;

3) семинаре кафедры теоретической физики Университета Дружбы Народов, руководитель проф. Ю.П. Рыбаков;

4) четвёртом Фридмановском международном семинаре по гравитации и космологии, 17-28 июня 1998 г., С-Петербург.

Концептуальные аспекты касающиеся темы диссертационной работы обсуждались также на

5) международной школе-семинаре "Основания теории гравитации и космологии", Одесса, 4-10 сентября 1995 г.;

6) третьем международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике (1С1АМ95), Гамбург, 3-7 июля 1995 г.

Перечислим следующие положения выносимые на защиту:

1) Формулировка электродинамики Борна-Инфельда, допускающей частицеподобные решения с точечными (в трёхмерном пространстве) сингулярностями, как задачи с граничными условиями в подвижных точках. Соответствующие точечные граничные условия, накладываемые на компоненты электромагнитного поля.

2) Модифицированная модель Борна-Инфельда с точечными граничными условиями для случая дионных сингулярностей. Соответствующий вариационный принцип. Движущееся дионное решение модели.

3) Итерационный метод для исследования взаимодействия дионных решений. Уравнение траектории движения диона при его взаимодействии с заданным слабым полем.

4) Взаимодействие двух дионов, имеющих одинаковые электрические и противоположные магнитные заряды и равные по модулю и противоположно направленные по одной линии скорости. Для произвольной нелинейной электродинамической модели полный сохраняющийся угловой момент такой полевой конфигурации не зависит ни от расстояния между дионами, ни от их скорости. Формула для полного углового момента. Параметры движения и периодические траектории дионов. Зависимость частоты осцилляции от полной электромагнитной энергии.

5) Характеристическое уравнение для модели Борна-Инфельда в виде, соответствующем существованию эффективного Римано-ва пространства с метрикой, аддитивно содержащей тензор энергии-импульса. Уравнение движения быстроосциллирующего волнового пакета малой амплитуды (и имеющего частоту покоя) в заданном сильном поле имеет вид уравнения геодезической линии в эффективном Римановом пространстве индуцированным сильным полем.

Основная часть диссертационной работы имеет три главы. В первой главе описана математическая модель Борна-Инфельда с модификацией необходимой для существования частицеподобных решений с точечными сингулярно стями. Во второй главе приведены некоторые точные решения модели. В третьей главе описаны собственно эффекты взаимодействия решений.

Автор выражает свою благодарность руководителю диссертационной работы профессору A.A. Грибу. Автор также выражает благодарность всем участникам семинаров, принимавшим участие в обсуждении результатов работы, и, в особенности, руководителям указанных семинаров: профессорам Ю.С. Владимирову, A.A. Грибу и Ю.П. Рыбакову.

Заключение

В заключении перечислим основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1) Электродинамика Борна-Инфельда, допускающая частицеподоб-ные решения с точечными (в трёхмерном пространстве) сингу-лярностями сформулирована как задача с граничными условиями в точках, движение которых не фиксировано. Согласно классификации - это задача с граничными условиями и подвижными границами. Из действия, лагранжиан которого дополнен членом с сингулярным током, получены соответствующие точечные граничные условия, накладываемые на компоненты электромагнитного поля. [9]

2) Система нелинейных уравнений Борна-Инфельда с электрическим сингулярным током обобщена на случай наличия у сингулярности наряду с электрическим также и магнитного заряда. Предложен вариационный принцип, из которого следуют как уравнения поля с дионными сингулярностями, так и соответствующие точечные граничные условия. Получено движущееся дион-ное решение модели. [17]

3) Предложен итерационный метод для исследования взаимодействия дионных решений. Получено уравнение траектории движения диона при его взаимодействии с заданным слабым полем. [17]

4) а) Введён термин "бидион" ("Ыёуоп"), обозначающий решение нелинейной электродинамической модели с двумя дион-ными сингулярностями, имеющими одинаковые электрические и противоположные магнитные заряды [39]. В качестве начального приближения для бидиона рассмотрена сумма двух движущихся дионов с равными по модулю и противоположно направленными по одной линии скоростями. Показано, что для произвольной нелинейной электродинамической модели полный сохраняющийся угловой момент начального приближения не зависит ни от расстояния между дионами, ни от их скорости. Получена соответствующая формула для полного углового момента. [17] б) В результате исследования указанного начального приближения бидиона в модели Борна-йнфельда получены траектории движения сингулярностей в бидионе. Показано, что при малых междионных расстояниях эффективная масса этой динамической системы может быть отрицательна. Получена формула для соответствующего критического расстояния. Показано, что бидион может вести себя как нелинейный осциллятор. Получены соответствующие зависимости частоты осцилляции от полной энергии начального приближения. [17]

5) Получено характеристическое уравнение для модели Борна-Инфельда в виде соответствующем существованию эффективного Риманова пространства, метрика которого аддитивно содержит симметричный тензор энергии-импульса электромагнитного поля [28]. Показано, что распространение слабой высокочастотной волны в заданном сильном электромагнитном поле имеет вид соответствующего гравитационного эффекта. Получено уравнение движения быстроосциллирующего волнового пакета малой амплитуды (и имеющего частоту покоя) в заданном сильном поле. Это уравнение совпадает с уравнением геодезической линии того же эффективного Риманова пространства, т.е. такой волновой пакет ведет себя подобно массивной гравитирующей частице. [17]

1. М. Born, L. 1.feld. Foundations of the New Field Theory//Proc. Roy. Soc. - Vol.144. - P.425-451.

2. A.C. Эддингтон. Теория относительности. M.-JL: ГТТИ, 1934.

3. А. Эйнштейн, Б. Кауфман. Новая форма уравнений поля в общей теории относительности//А. Эйнштейн. Собрание научных трудов. М.: Наука, 1966. - Т.П. - С.835-848.

4. Н.А. Черников. Уравнения Борна-Инфельда в единой теории поля Эйнштейна//Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиздат, 1978. - Вып.9. - С.130-139.

5. Е. Fradkin, А.А. Tseytlin. Non-linear electrodynamics from quantized strings//Phys. Lett. В 1985. - Vol.163. - P.123.

6. A.A. Tseytlin. Born-Infeld action, supersymmetry and string theory //hep-th/9908105.

7. M. Born//Proc. Roy. Soc. 1934. - Vol.143. - P.410.

8. M.H.L. Pryce. On the New Field Theory//Proc. Roy. Soc. 1936. -Vol.155. - P.597-613.

9. A.A. Chernitskii. Nonlinear electrodynamics with singularities (Modernized Born-Infeld electrodynamics)//Helv. Phys. Acta. 1998. -Vol.71. - P.274-287; hep-th/9705075.

10. G.W. Gibbons. Born-Infeld particles and Dirichlet p-branes//Nucl. Phys. B. 1998. - Vol.514. - P.603-639; hep-th/9709027.

11. D. Chruscinski. Point Charge in the Born-Infeld Electrodynam-ics//Phys. Lett. A. 1998. - Vol.240. - P.8-14; hep-th/9712161.

12. G.W. Gibbons, D.A. Rasheed. Electric-Magnetic Duality Rotations in Non-Linear Electrodynamics//Nucl. Phys. B. 1995. - Vol.454. -P.185-206; hep-th/9506035.

13. I. Bialynicki-Birula. Nonlinear Electrodynamics: Variations on a Theme fy Born and Infeld//Quantum Theory of Particles and Fields/eds. B. Jancewicz and J. Lukierski. World Scientific, 1983. - P.31-47.

14. J. Schwinger. A Magnetic Model of Matter//Science. 1969. -Vol.165. - P.757-761.

15. D. Chruscinski, H. Römer. Dynamics of the Born-Infeld dyons//J. Phys. A. 1999. - Vol.32. - P.L263-L268; hep-th/9805042.

16. H. Kim. Genuine Dyons in Born-Infeld Electrodynamics//hep-th/9910261.

17. A.A. Chernitskii. Dyons and Interactions in Nonlinear (Born-Infeld) Electrodynamics//J. High Energy Phys. 1999. - №12. - 010; hep-th/9911093.

18. E.F. Carter, H.A. Cohen. The Classical Problem of Charge and Pole//Am. J. Phys. 1973. - Vol.41. - P.994.

19. В.И. Стражев, JI.M. Томильчик. Электродинамика с магнитным зарядом. Минск: Наука и техника, 1975.

20. А.О. Barut, A.J. Bracken. Particle-like Configuration of the Electromagnetic Field: An Extension of de Broglie's Idea.//Found. Phys. -1992. Vol.22. - P.1267-1285.

21. Ю.П. Рыбаков. Солитоны, геометрия и квантовая механи-ка//Неевклидовы пространства и новые проблемы физики: сб. статей поев. 200 летию Н.И. Лобачевского. Москва, 1993. - С.49-51.

22. S.L. Adler. Induced gravitation// The High Energy Limit: Proc. 18-th Int. School of Subnuclear Physics "Ettore Majorana"/ed. A. Zichichi.- Plenum Publishing Corporation, 1980.

23. A.A. Черницкий. О дальнем взаимодействии солитонов 4-векторного поля пространства Минковского// Теор. Мат. Физ.- 1992. Т.90, № 3. - Р.380-387.

24. A.A. Черницкий. Гравитационное взаимодействие в нелинейной электродинамике//Известия ТЭТУ. С.-Петербург, 1993. - Вып. 464. - С.21-27.

25. A.A. Chernitskii. Gravitation as long-range interaction of solitons in non-linear electrodynamics//The 14th International Conference on General Relativity and Gravitation (GR14), Florence (Italy), 6-12 August 1995: Abstract of GR14. 1995. - P.A96.

26. A.A. Chernitskii. Gravitation as long-range interaction of solitons in non-linear electrodynamics//Основания теории гравитации и космологии: Тезисы докладов международной школы-семинара, Одесса, 4-10 сентября. 1995. - Москва, 1995. - С.85.

27. A.A. Chernitskii. Gravitation as long-range interaction of solitons in non-linear electrodynamics//The Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM95), Hamburg, 3-7 July 1995: Book of Abstract. Hamburg, 1995. - P.254.

28. J. Plebansky. Lectures on Nonlinear Electrodynamics/Ed. Nordita. -Copenhagen, 1968.

29. Г.Ф. Глинский. Нелинейная электродинамика и анизотропное пространство-время//Изв. ВУЗов, Физика. 1980. - № 4. - С.52-55.

30. М. Novello, V.A. De Lorenci, J.M. Salim, R. Klippert. Geometrical aspects of light propagation in nonlinear electrodynamics//Phys. Rev. D. 2000. - Vol.61 - 045001; gr-qc/9911085.

31. M.-A. Tonnelat. Les Principes de la Theorie Électromagnétique et de la Relativité/Masson et CIE , Éditeurs. 1959.

32. R. Curant, D. Hilbert. Method der Mathematical Physik. Berlin: Verlag von Julius Springer, 1931.

33. P.A.M. Dirac. The theory of magnetic poles//Phys. Rev., Sec. ser. -1948. Vol.74. - P.817-830.

34. V.C.L. Huston, J.S. Pym. Applications of Functional Analysis and Operator Theory. London: Academic Press, 1980.

35. G.B. Whitham. Linear and nonlinear waves. New York, London, Sydney, Toronto: John Wiley & Sons, 1974.

36. А.Д. Сахаров. Вакуумные квантовые флуктуации в искривлённом пространстве и теория гравитации//ДАН СССР. 1964. - Т.177. - С.70-71.

37. A.A. Grib, W.A. Rodrigues, Jr. Nonlocality in quantum physics. -New York, Boston, Dordreht, London, Moscow: Kluwer Academic -Plenum Publisher, 1999.

38. A.A. Chernitskii. Bidyon//Supersymmetry 2000 Encyclopaedic Dictionary/Eds. Jim Gates.- в печати.