Волновые уравнения и поля на группе де Ситтера тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

004618895

На правах рукописи

Варламов Вадим Валентинович ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОЛЯ НА ГРУППЕ ДЕ СИТТЕРА Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

'7 3 ЯН8 2011

Новокузнецк - 2010

004618895

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Сибирский государственный индустриальный университет»

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мигранов Наиль Галиханович (Башкирский государственный педагогический университет);

доктор физико-математических наук, профессор Широков Игорь Викторович (Омский государственный технический университет);

доктор физико-математических наук, профессор Панов Вячеслав Федорович (Пермский государственный университет).

Ведущая организация: Казанский (Приволжский) федеральный

университет.

Защита состоится 18 марта 2011г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.296.03 в Челябинском государственном университете по адресу: 454021, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан « 9 » Я е < * 2010г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук,

профессор

Е.А. Беленков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Как известно, в течении последних двадцати лет пространства де Ситтера и анти-де Ситтера различных размерностей оказались в центре внимания всей теоретической физики высоких энергий. В первую очередь это связано с соответствием между супергравитацией в пятнмериом пространстве .анти-де Ситтера и N = 4 суперсимметрнчной теорией поля в четырех измерениях. Пространство анти-де Ситтера оказалось наиболее подходящим многообразием, на котором получены иепертур-бативные результаты в теории суперструн и на котором естественным образом строится теория полей высших спинов. В свою очередь, пространство де Ситтера тесно связано с проблемами современной космологии, являясь по сути теоретической базой инфляционной космологии. С другой стороны, прострапство-время де Ситтера само по себе и квантовая теория поля на этом многообразии является предметом интенсивного исследования главным образом в связи с задачей построения квантовой теории гравитации в искривленных пространствах. Пространство-время понимается как четырехмерный гиперболоид Я4 в пятимерном пространстве Ж1,4 (пространство де Ситтера). Как известно, гиперболоид Я4 является однородным пространством группы де Ситтера S0o(l>4), являющейся группой вращений пространства К1'4. В связи с построением квантовой теории поля на Ma = Я4 естественным образом возникает задача определения физических полей в терминах функций представлений класса 1 на однородном пространстве Я4 группы SOo(l,4), т.е. задача определения волновой функции как поля на группе де Ситтера. Аналогичная задача для трехмерного гиперболоида Я3 и других однородных пространств группы Пуанкаре была поставлена и частично решена главным образом в связи с объединением прострапственно-временных и внутренних симметрий элементарных частиц. Квантовополевые теории на группе Пуанкаре исследовались в целом ряде работ на протяжении сорока лет. Рассмотрение полевых моделей па однородных пространствах естественным образом приводит к обобщению понятия волновой функции (поля на группе Пуанкаре). Общий вид этих полей тесно связан со структурой представлений групп Лоренца и Пуанкаре и допускает следующую факторизацию: /(x,z) — фп(ъ)-фп{х), где х £ '1\ (подгруппа трансляций), а функции фп(z) образуют базис пространства представления группы Лоренца. При этом четыре параметра х'1 задают позицию точечноподобного объекта, в то время как остальные шесть параметров z € Spin+(1,3) определяют ориентацию в квантовом описании ориентированного (протяженного) объекта!" К необходимости введения протяженных объектов в квантовой теории поля приводит рассмотрение вопросов теории измерений. Как известно, петлевые расходимости функций Грина квантовой теории поля берут свое начало от сопостав-

* Gitman D., Shelepin A. Fields on the Poincaré group and quantum description of orientable objects // Eur. Phys. J. C. - 2009. - V. 61. - P. 111-139.

лепил этих функций неизмеримым и, следовательно, нефизическим то-чсчноподобным величинам. Никакая физическая величина не может быть измерена в точке, но может быть измерена в некоторой области, размер которой ограничен разрешением измерительного оборудования. Учет разрешения измерительного оборудования естественным образом приводит к рассмотрению физической величины как протяженного объекта, функция которого описывается полем 'ф(а) = (х, д |ч/>) на однородном пространстве некоторой группы, где х е Тп, д € 8рт+(р, д), п = р + Так, в 90-х гг. Сигал доказал сходимость квантовой теории поля, в частности квантовой электродинамики, на однородном пространстве Д1 х 53 конформной группы, где 53 - трехмерная вещественная сфера. В настоящей работе поля, волновые уравнения и квантовал теория поля строятся на группе де Сит-тера, поскольку, по всей видимости, пространство де Ситтера точнее всего описывает геометрию реального мира.*

Более того, эти поля (обобщенные волновые функции) впервые появились в связи с построением релятивистских волновых уравнений (так называемое ^-описание релятивистского спина). Как известно, волновая функция является решением релятивистского волнового уравнения. В связи с этим возникает задача построения волновых уравнений на однородных пространствах группы де Ситтера, решениями которых являются обобщенные волновые функции, зависящие от параметров группы де Ситтера 30о(1,4).

Как известно, дискретные симметрии играют фундаментальную роль в стандартной квантовой теории поля в пространстве-времени Минковско-го. Однако исторически сложившаяся практика определения дискретных снмметрий из анализа релятивистки-инвариантных уравнений не дает возможности построения полной и последовательной теории дискретных преобразований, прежде всего, на пространствах представлений группы Лоренца и соответственно группы Пуанкаре. В рамках стандартного подхода, исключая хорошо изученный случай спина у — 1/2 (уравнение Дирака), остается совершенно неясной ситуация с определением дискретных снмметрий для полей с высшим спином з > 1/2. Данная ситуация, безусловно, является свидетельством отсутствия полностью удовлетворительного формализма для описания полей с высшим спином (ни подход Рариты-Швипгера, ни подход Баргмаиа-Вигнера, ни формализм Вайнберга не свободны полностью от внутренних противоречий и трудностей, таких как псфизический спектр масс, непричинное распространение при включении взаимодействия, потеря гиперболичности и т.д.).

Предмет и цель исследования. Главной целью диссертационного исследования является построение квантовополевой теории на однородных пространствах группы де Ситтера. В соответствии с основной цслыо сле-

* Менский М.Б. Метод индуцированных представлений: пространство-время и концепция частиц. — М.: Наука, 1976.

дует выделить девять целевых задач.

Во-первых, следует описать и классифицировать однородные пространства группы ЗОо(1,4) с точностью до подгрупп ЭОо(1,3) (группа Лоренца), 30(4) (максимальная компактная подгруппа группы 30о(1,4)) и 311(2), 31/(1,1). Эта задача решается в первой главе посредством определения всех однородных пространств вида М — 80о(1,4)/Н, где Я € 80о(1,4) - так называемый стабилизатор точки (стационарная подгруппа).

Во-вторых, следует дать явный вид функциям, которые определяются иа однородных пространствах группы де Ситтера, в терминах сферических функций представлений класса 1 относительно стабилизатора Н. Эта задача решается во второй главе. В данном случае исходным пунктом исследования является аналогия между универсальными накрытиями групп Лоренца и де Ситтера, которая была впервые установлена Такахаши, а именно: универсальным накрытием группы 30о(1,4) является Ярт н(1,4) с; 8р(1,1) и спипорная группа 8рт+(1,4) описывается в терминах 2x2 ква-тернпонных матриц. С другой стороны, универсальным накрытием группы Лоренца 80о(1,3) является Зрт+(1,3) ~ ЭЬ(2,С), где спинорная группа 8рт+(1,3) описывается в терминах 2x2 комплексных матриц. Эта аналогия позволяет применить (с некоторыми ограничениями) теорию представлений группы Лоренца к группе 80о(1,4). Это также позволяет дать дальнейшее развитие аналогии Такахаши-Штрема (кватернионное описание группы 80о(1,4)). Во второй главе показывается, что для группы 8рт+(1,4) ~ Эр(1,1) имеются кватернионные углы Эйлера, которые содержат комплексные углы Эйлера группы 8рт+(1,3) ~ ЭЬ(2,С) как частный случай. Дифференциальные операторы (операторы Казимира и Лапласа-Бельтрами) определяются на группе Бр (1,1) в терминах кватер-ппоппых углов Эйлера. Сферические функции на группе Б0о(1,4) понимаются как функции представлений класса 1, реализуемых на однородных пространствах группы 80о(1,4). Развитый во второй главе формализм позволяет определить поле ^(ос) = (¡г^ |г/>) на группе де Ситтера, где параметры х £ Г5 задают позицию, а ц € 8рт+(1,4) ~ 8р(1,1) - ориентацию протяженного объекта.

Как известно, процедура квантования систем со связями, введенная Дираком, давно является предметом интенсивного исследования в области теоретической физики. В подходе Дирака связи рассматриваются как операторы, действующие на векторы некоторого гильбертова пространства, а также как условия, выделяющие определенные "физические состояния", пз которых затем формируется "физическое" гильбертово пространство состояний квантовой системы. Однако данная процедура квантования содержит ряд нерешенных проблем, связанных прежде всего со структурой гильбертова пространства физических состояний и с определением внутреннего произведения этих состояний. Некоторый прогресс в данном направлении был достигнут в таких подходах как БРСТ-метод, метод геометрического квантования, квантование когерентных состояний, методы С*-алгебр,

5

метод алгебраического квантования, а также метод усовершенствованного алгебраического квантования, тесно связанный с индукцией Рнффеля. В рамках метода усовершенствованного алгебраического квантования внутреннее произведение состояний определяется посредством техники группового усреднения. В групповом усреднении используется интеграл

[ (фх\и{д)\фг)<1д

¿в

над калибровочной группой С, где ¿д - симметричная мера Хаара на С, и(д) - представление группы (?. Сходящееся групповое усреднение даст алгоритм для построения полного множества наблюдаемых квантовой системы. В п. 2.5 рассматривается внутреннее произведение над однородной группой де Ситтера 80о(1,4). Ключевым моментом в исследовании сходимости группового усреднения является метод определения матричных элементов представлений 11(д) группы 80о(1,4) посредством теоремы сложения для обобщенных сферических функций, развитый в работах [2, 15] (см. также [28, 7, 24,4,18]). Главным преимуществом данного способа определения матричных элементов является явная факторизация матричного элемента (согласно разложению Картана) относительно подгрупп, входящих в исходную группу. Так, для группы 80о(1,4) матричные элементы могут быть факторизованы как относительно 80(4) (максимальная компактная подгруппа), так и относительно 80о(1,3) (группа Лорспца). Данная факторизация позволяет разделить переменные в интеграле, задающем групповое усреднение для внутреннего произведения, т.е. вычислить отдельно интегралы по компактным и некомпактным подгруппам. В качестве примера вычисляется внутреннее произведение для ]\Г-частичпого случая. Показывается, что сходимость внутреннего произведения определяется асимптотическим поведением гипергеометрических функций. Приводится подробное вычисление внутреннего произведения для 2-частичиого случая над четырехмерным гиперболоидом.

В-трстьих, рассмотрение полей на группе де Ситтера в терминах обобщенных волновых функций естественным образом приводит к задаче построения волновых уравнений на однородных пространствах этой группы. Эта задача решается в третьей главе для полей гр(а) = (х, q \ф) вида (1,0) ® (О, I), где I - спин частицы.

В-четвертых, развитый в предыдущих главах математический аппарат позволяет найти явные решения для полей (1/2,0) ® (0,1/2) и (1,0) ф (0,1) (свободные поля Дирака и Максвелла), а также проквантовать эти поля п рассмотреть взаимодействие между ними. Эта задача решается в п. 3.2 и п. 3.3. В связи с этим возникает более общая задача определения метода вторичного квантования на однородных пространствах группы де Ситтера. Эта задача решается в п. 3.4. Ограничение неоднородной группы де Ситтера до аффинной подгруппы позволяет определить вейвлет-преобразоваине для обобщенных волновых функций. Связь с вейвлетами и когерентны-

6

ми состояниями Клаудера-Баргмана-Сигала открывает широкое поле для приложений развитой в предыдущих главах теории в таких областях как физика фазовых переходов, ренормализационпая группа и критические явления, стохастическая динамика и т. д.

В-пятых, поля вида (1,0) Ф (0,1) являются частными случаями более общих полей (h,h)®(h, h), которые описываются в рамках тензорных представлений группы SOo(l,3). Эти поля соответствуют произвольным спиновым цепочкам, включающим в себя схемы зацеплений Бабы-Гсльфаида-Яглома как частный случай. В связи с этим возникает задача построения волновых уравнений для полей вида (I1J2) © (h,h) и нахождения их решений.

В-шестых, как уже отмечалось выше, дискретные симметрии обобщенных волновых функций = (х, д |ч/>) следует рассматривать в терминах инволютивных автоморфизмов подгруппы вращений Spin+(p, q), в рамках которой задается ориентация протяженного объекта. Другим альтернативным подходом является алгебраическая схема описания дискретных симметрий, предложенная автором в [35, 10, 32, 34, 37, 30, 25, 8] и рассматриваемая в настоящей диссертации, где дискретные симметрии представляются фундаментальными автоморфизмами алгебр Клиффорда, в частности, автоморфизмами алгебры Клиффорда, ассоциированной с универсальной накрывающей собственной группы Лоренца Spin+(1,3) — SU(2) ® SU(2). Так, инверсии пространства Р соответствует автоморфизм: А —» А* (инволюция), обращению времени Т - антиавтоморфизм А —» А (реверсия), а комбинации РТ - антиавтоморфизм А —* А*, где А - произвольный элемент алгебры Клиффорда (X. Элементам конечной группы, образованной дискретными преобразованиями, сопоставлены фундаментальные автоморфизмы алгебр Клиффорда. В свою очередь, множество фундаментальных автоморфизмов, дополненное тождественным автоморфизмом, образует конечную группу Aut(CQ, для которой в силу теоремы Веддербарна-Артина существует матричное представление. Центральную роль играет изоморфизм {1 ,Р,Т,РТ} ^ Aut(CX). Как известно, другой важной дискретной симметрией является зарядовое сопряжение С. В отличие от преобразований Р, Т, РТ операция С не является пространственно-временной дискретной симметрией. Это преобразование впервые появляется на пространствах представлений группы Лоренца и его природа существенным образом отличается от природы остальных дискретных симметрии. По этой причине в данной работе зарядовое сопряжение представляется псевдоавтоморфизмом А —► А, который не является фундаментальным автоморфизмом алгебры Клиффорда (Л. Введение преобразования А —» А позволяет расширить группу автоморфизмов Aut(CX) алгебры СХ до группы Ext (С?).

В-седьмых, в связи с определением группы Ext (С?) возникает задача изучения ее групповой структуры. Эта задача решается в п. 4.7. Показы-

вается, что существуют 64 различные реализации группы Ех1;(С!?). Устанавливается связь групп Еу±{(Х) с экстраспециальными конечными группами.

В-восьмых, как известно, ортогональная группа О (р,д) вещественного пространства Ер,? представляется полупрямым произведением О (р, д) ^ Ор(р, д) О (1, Р,Т,РТ}. В свою очередь, универсальным накрытием группы 0{р,д) является группа Клиффорда-Липшица Р'т(р, д), которая полностью определяется в рамках алгебры Клиффорда над полем вещественных чисел Е = К. Очевидно, что последовательное описание универсальных накрытий групп 0(р, д) в терминах групп Рт(р, д) С СХр,д может быть получено только в случае, когда дискретная подгруппа {1 ,Р,Т, РТ} также определяется в рамках алгебры СХр,д (см. [35, 10, 32]). В связи с расширением группы {1, Р, Т, РТ} до {1, Р, Т, РТ, С, СР, СТ, СРТ], что соответствует расширению от Аи1(С?) до ЕхЬ(СХ), возникает задат1а расширения универсальных накрытий (СРТ структур) ортогональных групп.

В-девятых, развитый метод позволяет изучать дискретные симметрии п их групповые структуры для физических полей без обращения к анализу релятивистских волновых уравнений. Первой задачей, естественным образом возникающей в данном контексте, является исследование СРТ группы для сгганорного поля в пространстве де Ситтера [20, 6], а также построение СРТ групп для полей произвольного спина.

Определение полной системы представлений универсальной накрывающей собственной группы Лоренца, каждое представление которой ассоциировано с соответствующей алгеброй Клиффорда, позволяет применить на этой системе периодичность Атьи-Ботта-Шапиро. В п. 4.10 показывается, что в случае комплексных представлений действие супергруппы Врауэра-Уолла, связанной с периодичностью по модулю 2 комплексных алгебр Клиффорда, эквивалентно суперсимметрии, т.е. это действие переводит фермионы в бозоны и обратно. В случае вещественных представлений имеет место более высокоградуированная периодичность по модулю 8, а связанная с ней супергруппа Брауэра-Уолла приводит к новой симметрии. ранее неизвестной в физике частиц, теоретическое предсказание которой является центральным пунктом четвертой главы.

Теоретическая и методологическая основа. Теоретическая и методологическая основа диссертации состоит из трех блоков: теория представлений групп и специальные функции, теория релятивистских волновых уравнений и теория алгебр Клиффорда. Методы теории представлений групп и теории специальных функций использовались автором в первых двух главах при исследовании матричных элементов представлений группы де Ситтера и ее подгрупп. К этому кругу вопросов естественным образом примыкают задачи гармонического анализа на однородных пространствах. Методы теории релятивистских волновых уравнений использовались автором в третьей главе при исследовании волновых уравнений па однородных пространствах. Методы теории алгебр Клиффорда используются в четвертой и пятой главах, а также в приложении А.

8

Научная новизна. По мнению автора научная новизна полученных результатов состоит в следующем.

• Определение матричных элементов и сферических функции представлений групп ЗОо(1,3), 80(4), 80о(1,4) посредством гипсрком-плексных углов спинорных групп 8рт+(1,3) ~ БЬ(2, С), 8рт(4) ~ 8и(2)®8и(2), 8рт+(1,4) ~ Зр(1,1) и теоремы сложения обобщенных сферических функций.

• Исследование сходимости внутренних произведений ЛГ-частичных состояний квантовой системы в терминах гиперсферических функций.

• Построение обобщенных волновых функций и волновых уравнений для нолей вида (¿,0) © (0,1) на однородных пространствах групп 80о(1,4), 0о(1,4) = 80о(1,4) О Г5 и нахождение их решений в виде рядов по присоединенным гиперсферическим функциям, определенным па поверхности комплексного шара.

• Определение метода вторичного квантования на однородных пространствах группы де Ситтера. Построение аналога квантовой электродинамики на однородном пространстве М&.

• Построение волновых уравнений для произвольных спиновых цепочек, т.е. для полей вида (¿1, Ф ¿1), на однородных пространствах групп 30о(1,4), Оо(1,4) и нахождение их решений в виде рядов по обобщенным гиперсферическим функциям.

• Представление базовых дискретных симметрий квантовой теории поля, таких как инверсия пространства Р, обращение времени Т и зарядовое сопряжение С инволютивными автоморфизмами алгебр Клиффорда. Исследование групповой структуры дискретных преобразований методами теории алгебр Клиффорда.

• Определение СРТ групп для полей произвольного спина и расширение универсальных накрывающих ортогональных групп.

• Предсказание циклических зависимостей по модулю 8 в физике частиц, определяемых действием супергруппы Брауэра-Уолла на системе представлений универсальной накрывающей собственной группы Лоренца.

• Определение СРТ структур на фактор-представлениях спинорных групп.

Апробация. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация" (Томский педагогический университет, Томск, 5-9 июля 2010г.),

па международной Боголюбовской конференции "Проблемы теоретической и математической физики" (Объединенный институт ядерных исследований, Дубна. 21—27 августа 2009г.), на Всероссийской конференции по математике и механике (Томский государственный университет, Томск, 22-25 сентября 2008г.), на шестой сибирской конференции "Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 15-21 июля 2007г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007г.), на второй международной конференции "Суперинтегрируемые системы в классической и квантовой механике" (Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 27 июня - 1 июля 2005г.), на семинаре "Симметрии и интегрируемые системы" (Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 15 октября 2004г., руководитель семинара А. Н. Сисакян), па пятой сибирской конференции "Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 14-20 июня 2004г.), на четвертой сибирской конференции "Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 28-31 июля 2002г.), на IV Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета, Новокузнецк, 1-4 декабря 2001г.), на межотраслевой научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета, Новокузнецк, 17-18 ноября 2000г.), на межрегиональной научно-методической конференции "Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса" (Анжеро-Судженский филиал Кемеровского государственного университета, Анжеро-Судженск, 18 ноября 2000г.), на третьей сибирской конференции "Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 20-22 июня 2000г.), на международной конференции "Геометрия и приложения" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 13-16 марта 2000г.), на IV международной конференции "Гсомет-ризаци» физики" (Казанский госуниверситет, Казань, 4-8 октября 1999г.).

Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликованы 39 научных работ, в том числе: статей — 31, из них в рекомендованных ВАК журналах —11.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Метод определения матричных элементов и сферических функций представлений групп 80(п) и 80о(1,п) на основе гиперкомплексиых расширений спинорных групп Эрт(п) и 8рт,.(1, п) и теоремы сложения обобщенных сферических функций.

• Метод построения обобщенных волновых функций и волновых урав-

10

пений на однородных пространствах групп 80о(1, п) и Оо(1,п) = 80о(1, п)ОТп и метод нахождения решений волновых уравнений для произвольного спина посредством разложения в ряд по гиперсферическим функциям представлений класса 1.

• Метод построения квантовополевых моделей на однородных пространствах группы де Ситтера.

• Теоретико-групповой метод описания базовых дискретных симметрии квантовой теории поля, основанный на группе Тшволютнвпых автоморфизмов алгебр Клиффорда.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введепня, пяти глав, заключения, одного приложения и списка литературы, включающего 273 источника. Она изложена на 365 страницах машинописного текста, содержит 25 таблиц, 7 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении показана актуальность темы, сформулированы цель работы п конкретные задачи диссертационного исследования.

В первой главе рассматривается группа де Ситтера. В п. 1.1 даются основные определения, подгруппы и коммутационные соотношения однородной группы 8О0(1,4), а также неоднородной группы де Снттсра Оц(1,4) = 8О0(1,4) О Т5, где Х5 является подгруппой пятимерных трансляций пространства де Ситтера К1,4.

В п. 1.1.1 показывается, что универсальным накрытием группы де Ситтера 80о(1,4) является спинорная группа 8рт+(1,4) ~ 8р(1,1):

8рт+(1

И

а Ъ с сI

е Н(2) : ск*;

а Ъ с (1

= 1 > = 8р(1,1).

В свою очередь, 8рт+(1,4) е где - четная подалгебра алгебры Клиффорда С?1,4) ассоциированной с пространством де Ситтера К1,4. Далее, имеет место изоморфизм СР^4 с? СИ. 1,3, где (З^з - алгебра пространства-времени, которая, в свою очередь, ассоциирована с пространством Мии-ковского К1,3. Алгебра пространства-времени 0?1,з допускает следующее разложение:

«1,3 - «1,1 ® «0,2-

Разложение СХ. 1,3 ^ (Л\ д ® «0,2 значит, что для алгебры существует переход от вещественных координат к кватернионным координатам вида а + £<1 + сСг + ¿¿С1С2, где (1 = е12з, (2 = е^- Находится общее преобразование q группы 8рт+(1,4) в пространстве представления с наименьшим весом (так называемое фундаментальное представление). Форма элемента р £ С тесно связана с разложением Картана С = КАК, где б - связная

11

группа Ли, К - максимальная компактная подгруппа группы G. а А -максимальная коммутативная подгруппа группы G.

В п. 1.1.2 дастся список однородных пространств группы SOo(l,4), включающий симметрические римановы и неримановы пространства. Аналогичное рассмотрение проводится в п. 1.2 и п. 1.3 для важного класса однородных пространств М = SOo(l,3)/íf и М — SO(4)/íf, соответствующих подгруппам SOo(l,3) и SO(4).

Во второй главе находятся явргые выражения для гиперсферических функций групп SOo(l, 3), SO(4) и SO0(l, 4). Сферические функции на группе Лоренца SOo(l, 3) изучаются в п. 2.1 как для конечномерных, так и бесконечномерных представлений [4, 28, 24, 18, 35]. В случае конечномерных представлений явное выражение для гиперсферической функции находится посредством теоремы сложения для обобщенных сферических функций:

i

3m„(cos0c) = ]Г Palcos 0)^fcn(chr), k=-l

где Р'тк{со*в) - обобщенная сферическая функция на группе SU(2), а ^p|,n(ch т) - сферическая функция на группе SU(1,1). Таким образом, гиперсферическая функция 3mn(C0S$c) на группе Лоренца допускает факторизацию относительно сферических функций своих подгрупп SU(2) и SU(1,1). С учетом функций P^fe(cos0) и ^^(chr) в п. 2.1 находится явное выражение для функции 3'тп(соз(9,:). Показывается, что функция 3'mn(cos вс) допускает выражение через гипергеометрическую функцию. Так. при т> п и т > к, к>п имеет место формула

,/ Ггпч ю _ :т-п Т(1+т + 1)Т(1-П + 1) 21 в 2( Г Зтп(соь0)-1 уг(г_т + 1)г(г+-^1уСО& -ch -X

I

X

Е*

m-k _

x 2-Fl

k=-l m — l, —к — l m — к + 1

2X

tg2~

к — l, —n — l k-n + 1

th¿

а также существуют еще три выражения гипергеометрического типа для функции 3тп(С05®с) ПРИ гп > п т > к, п > к, п > тп к > т, п > к и п> т к > т, к>п.

Для унитарных представлений, т.е. в случае основной серии представлений группы БОо(1,3), показывается, что матричные элементы имеют вид

_ /Г(г0 + т + 1)Г(1р ~ п + |)

2М г. I

х,Р,| _ ... Л

где ¿о — ||а | ~ ОД110 113 чисел -к,—к + 1 ,...,к. Существуют еще три

функции 2Я~Г,р'г°(0) при то > п>Ь,Ь>т, п>Ь и Ь > то, £ > п.

Сферические функции на группе 80(4) изучаются в п. 2.2. Показывается, что для универсального накрытия Брт(4) ~ 311(2) ® 31Г(2) группы БО(4) существуют двойные углы Эйлера [2]. Следует отметить, что все гиперкомплексные расширения (комплексные, двойные, кватернион-иыс) обычных (вещественных) углов Эйлера группы Эи(2) прямо следует из алгебраической структуры спинорных групп 8рт+(р, д), которая описывается в рамках алгебр Клиффорда С1рл [8] (в приложении А дается подробная классификация групп Эрт+(р, <?)). Матричные элементы и сферические функции группы ЭО(4) выражаются через произведение двух гп-пергеометрических функций.

Сферические функции конечномерных представлений группы де Снт-тера 80о(1,4) изучаются в п. 2.3 на различных однородных пространствах этой группы. Показывается, что матричные элементы группы ЗО0(1,4) допускают факторизации относительно матричных элементов подгрупп БО(4) и ЗОо(1,3), поскольку двойные и комплексные углы являются частными случаями кватернионных углов. В свою очередь, матричные элементы и сферические функции группы 30о(1,4) выражаются через произведение трех гипергеометрических функций [2, 16, 14, 15]:

сг

3* „(<*»*«) = £ 3^(со30еЖп(сЬт),

к=—<г

где Зт„(соз ве) - гиперсферическая функция компактной подгруппы 30(4). Таким образом, гиперсферическая функция 3^„(соэ^) может быть фак-торнзована относительно подгрупп ЯО(4) и 80о(1,3). Очевидно, что функции 3даЦ?') также могут быть сведены к гипергеометричеекпм функциям.

Сферические функции основной серии бесконечномерных представлений группы 8О0(1,4) определяются в рамках базиса Диксмье-Штрема.

13

Как известно, каждое собственное преобразование Лоренца д соответствует дробно-линейному преобразованию комплексной плоскости с матрицей

а Р 7 5

е ЗЬ(2,С). В свою очередь, каждое собственное преобразование

де Ситтера q может быть поставлено в соответсвие с дробно-линейным преобразованием ю = (аг + Ь)(сг + й)~г антикватернионной плоскости с мата Ъ

рицей

€ 8р(1,1). Следуя аналогии между 8рт+(1,3) ^ ЭЦ2, С)

и 8рт+(1,4) ~ 8р(1,1), можно определить конечномерное (егшиорпое) представление группы 30о(1,4) в пространстве симметрических полиномов Бут^ г) следующим образом:

Тф,г) = (о + й)1"+к-х(сг + 4° '1+\

аг +Ь аг +Ъ сг + сг + <1

где а, Ь, с, в, 6 Н, к — 10 + /1 - 1, г = 10 - + 1, а пара (¿о, к) определяет некоторое неприводимое представление группы 80о(1,4) в базисе Диксмье-Штрсма. В случае основной серии представлений группы ЭОо(1,4) справедливо равенство — — | -Ир, р е К. Это соотношение является частным случаем более общей формулы 1\ = —-|(п — 1)-Ир, справедливой для основной серии представлений группы 80о(1,тг). Показывается, что матричные элементы основной серии представлений группы ЭОо(1,4) имеют вид

ш-1+\Рлп

-лД-тп

(ч)

/Г(*о + т + 1)Г(-§-Ир-п) Г(^о —т + 1)Г(—| +1р + п)

соэ

^ ^ :т—к ГГ(10-к + 1)Г(-1 + 1р + к)

Е Е

к=—1о <= — 'о

Т{10 + к + 1)Т(~±+1Р-к)

Ьё

.гп—Ь и ¿.-Л—к

О 411 о Х

2^1

т - 1о, -Ь -10 т-Ь + 1

2Г1( к-п + 1

п ЫМ

^ ~ ], т>1,Ь>к,к>п.

А также существуют семь функций 931тп+'Р'1°(ц), когда: т > £, к >1, к > п: Ь > т, к > £, п > к\ £ > т, £ > к, п > к-, £ > т, к > к > п; Ь > т, А > /с, к > п; т > t, Ь>к, тг > к\ т > ¿, к > п>к.

Переходя к неоднородной группе де Ситтера Оо(1,4) — 80о(1,4) © Т5. где Т5 - группа пятимерных трансляций, следует рассматривать поля ■ф(сх) = (х, я \гр) на более широких однородных пространствах, являющихся прямыми произведениями пространства Ж1,4 и однородных пространств

14

группы Б О о (1,4). среди которых групповое многообразие М15 = Е1-1 х ©10 является максимальным однородным пространством группы Оо(1,4), где 61() - групповое многообразие однородной группы 80о(1,4). Поля на многообразии М.\$ зависят от всех 15 параметров группы Оо(1,4):

■ф(а) = ф(х)ф(ч) = ^(а;о,Х1)Х21хз)Х4)^(Ч1.Ч2,Чз,Ч4,Ч5,Яб,Ч7.Я8>Чо,Ч1о),

где явный вид функций ~ф[х) определяется экспонептой, поскольку этн функции определяются в рамках представлений подгруппы трансляций Г5 = Т\ ® Т\ ® Тх а функции выражаются через гппсрсфсри-

чсскис функции в случае конечномерных представлений группы

БОо(1,4) и через функции ОТтп+1р' °(ч) в случае основной серии бесконечномерных представлений. Все остальные поля являются частными случаями полей 1р(сх). Поля на таких многообразиях определены в п. 2.4.

Как известно, в стандартной квантовой теории поля полевые операторы определяются посредством интеграла Фурье от функции, которая, в общем случае, является решением некоторого релятивистского волнового уравнения. Этот интеграл является интегралом Фурье на группе четырехмерных трансляций Т4. С другой стороны, гармонический аТгалпз на группах представляет собой обобщение обычного Фурье-анализа, т.е. разложения функции по системе тригонометрических функций. С этой позиции обычный Фурье-анализ следует рассматривать как гармонический анализ на группе 80(2). Аналогичная задача разложения квадратично интегрируемой функции /(я) по системе гиперсферических функций (базисных функций неприводимого представления группы 80о(1,4)) рассматривается в п. 2.4.1.

В п. 2.5 исследуется сходимость внутреннего произведения

Сходимость данного интеграла полностью определяется матричными элементами неприводимых представлений 17(д) группы де Ситтера 8О0(1,4). Как было показано выше, такие матричные элементы определяются посредством гиперсферической функции ОТ'тп(я). Вычисляется внутреннее произведение для 2-частнчного случая на однородном пространстве ЛЛ\ — ЗО0(1,4)/ 80(4). Пространство Ма гомеоморфно четырехмерному двуполостному гиперболоиду Н4. Следует отметить что четырехмерное пространство Лобачевского £4, называемое также пространством де Ситтера, реализуется па гиперболоиде В 2-частичном случае имеет место следующее внутреннее произведение:

ос

(Фх I Ф2> = I

б.гйейеЛи, Л (сЬ т)&тлпа (сЬ г).

171X711

771277-2

О

Показывается, что в этом случае сходимость внутреннего произведения определяется асимптотическим поведением гипергеометрических функций, посредством которых задаются матричные элементы [1, 13].

В третьей главе определяются волновые уравнения на однородных пространствах группы де Ситтера и находятся их решения. В п. 3.1 строится лагранжев формализм и волновые уравнения на 15-мерном групповом многообразии М\5 = К1,4 х ©ю неоднородной группы де Ситтера Оо(1,4). Варьирование диракоподобного лагранжиана приводит к двум системам волновых уравнений: пятипараметрической системы, зависящей от параметров подгруппы трансляций Т5, и 10-параметрической системы уравнений, зависящей, в свою очередь, от 10 параметров однородной группы ЭСММ):

Г^ + пКх) = 0,

Hl-"**) - °

= 0,

- 0.

(г = 0,... ,4) (2)

(fe=l,...,10) (3)

где

Матрица Го в уравнениях (2) может быть записана в виде

Г0 = diag (С0 ® h, С1 ® 13, • • •, Cs ® I2s+1,...) (4)

для целого спнна и

Го = diag (С5 ® /2, С* ® Ц,..., Cs ® J2s+1,...) (5)

для полуцелого спина, где С9 - спиновый блок. Если спиновый блок Cs имеет непулевые корни, тогда частица имеет спин s. Спиновый блок С3 в (4)-(5) состоит из элементов вида с®т,, где r;b;2 и ту у - зацепляющиеся неприводимые представления группы Лоренца, т.е. такие представления, для которых l[ ~ 11 ± ¿2 = Ь ± При этом блок Cs содержит только элементы е®^,, соответствующие таким зацепляющимся представлениям Т;ьг2 и Т;^^, которые удовлетворяют условиям

Iii ~h\<s<l 1 + h, \l[ ~ l'2\ < s < l[ +1'2-

Приводятся две наиболее полные схемы зацепляющихся неприводимых представлений группы Лоренца (цепочки Гельфанда-Яглома) соответственно для целого и полуцелого спина. Общий метод построения волновых уравнений для таких полей и метод нахождения их решений даны в

16

п. 3.2 (см. [9]). Далее, система (2)-(3) рассматривается на подмногообразии Мц = К1'4 х где £>% ~ двумерная комплексная сфера (комплексная аффинная плоскость). В п. 3.2 ставится краевая задача для сферы Эта задача является естественным обобщением классической краевой задачи Днрпхле для шара. Решения волновых уравнений ищутся в виде рядов по присоединенным гнперсферическим функциям, которые определяются на сфере т.е. на поверхности комплексного шара [9, 27, 26, 22]:

где ¿о ^ < и < ¡о и (ц > ¡, — ¿о < гп, п < ¿о- Разделение перемен-

ных в уравнениях (3) осуществляется при помощи рекуррентных соотношений между гиперсферическими функциями Ше, б, т, 0,0) (соответственно ГО1|?Л(<^,т,0,0)). Радиальные функции /|^к(г) (соотвстствен-но удовлятворяют системам обыкновенных дифференциальных

уравнений. Как известно, комплексный шар изометричен шестимсрпому бпвекторному пространству К6, т.е. пространству параметров однородной группы Лоренца 80о(1,3) (о связи между спинорными группами и бивск-торными пространствами рассказывается в п. А.5.1). Найденные решения описывают поля вида (1,0) ф (0,1), где I - вес неприводимого конечномерного представления, который в согласии с интерпретацией Вигнера задаст спин частицы.

В п. 3.1.3 определяются волновые уравнения для бесконечномерных представлений. Показывается, что в этом случае обобщенные волновые функции выражаются через гиперсферические функции основной серии унитарных представлений группы 30о(1,3) (см. (1)) следующим образом:

где —оо < тп,тг < +оо, —оо < тп,п < +оо, а числа I, I (базис Ван дер Вардена) связаны с ¿о и 1у (базис Гельфанда-Наймарка) формулами

I = ¿о + ¿1 ~ 1 I = ¿0-^1 + 1

2 2

В п. 3.2 рассматривается важный частный случай, соответствующий

полю (1/2,0) © (0,1/2), так называемое поле Дирака [7, 21, 23]. В согласии

с общей Ферми-схемой зацепляющихся представлений группы <5+, поле Дирака соответствует следующей схеме зацепления:

17

По этой причине электрон-позитронное поле определяется Р-ипвариантной прямой суммой (1/2,0) ® (0,1/2). Частные решения для биспинора Днрака ф = (Ф1,Ф2,Ф1,Ф2)Т определяются выражениями [7, 21, 23]

ф[п{а) = ф+{х)ф[п($) = х (Кег)ЭМ>, е, в, т, 0,0),

ф12п(а) = ф+(х)ф12п(В) = ±и2(р)е~*хЛл (11ег)®гЦ1?>, б, 9, г, 0,0), ф[А(а) = ф~(х)ф[А{д) = (р)е'ра;/| _ 1 (Кег*)9Лг1 е,т,0,0),

где

ых(р) =

(р) =

2т )

Е + т\1/2 2т У

^ 1 \ 0

Е+т

\Е+т/

( . £*.....\

Е+т

Р+ ■Е+т 1

V о )

щ(р)

Е + т\1/2

2 т )

. . ;Е + ТП\

1/2

/ 0 \

1

Р-■Б+т

\е+т/ / Р~ \

В+т \

Е+т

о

V 1 У

здесь = _рг ± Фу Радиальные функции имеют вид /1.1 (Нег) = Сх\/ксксКсг^ + С2\/кскс11сгЗ^ (^/к^Ксг^ ,

где - функции Бесселя полуцелого порядка, а

13 5 2' 2' 2'""' ,■135

е. <?>0.0) = Т)

- присоединенные гиперсферические функции, определенные на поверхности комплексного шара.

В п. 3.3 рассматривается важный частный случай, соответствующий полю (1,0) © (0,1), так называемое поле Максвелла [19, 5]. Решение для поля Максвелла находится в представлении Римана-Зильберштейна. которое, в свою очередь, естественным образом приводит к квантовой электродинамике Майораны-Оппенгеймера. При этом безмассовое поле (1,0) ф (0,1) рассматривается в рамках унитарного бесконечномерного представления группы Лоренца. В согласии с теоремой Наймарка представление 5\ подгруппы Эи(2) содержится в представлении ©д,р главной серии представлений группы ЗОо(1,3) не более чем один раз. Таким образом, фотонное поле представляется бесконечномерным представлением в которое погружено конечномерное представление, ассоциированное с полем (1,0)ф(0,1). В согласии с общей Бозе-схемой зацепляющихся представлений группы ®+. поле Максвелла (1,0) ф (0,1) определяется в рамках следующей схемы зацепления:

Поскольку продольные решения ф0£+1р'1° (а.) и ф0 ? 'р,1°(сх) не дают вклада в волновую функцию реального фотона в силу условий попс-речности. то частные решения для биспинора Майораны-Оппенгеймера Ф = (01 > 02) 0з> 0ъ 02>0з)Т определяются выражениями [19, 5]

0^Р,г» = 0±(к;х,*)0^г°(9) -{2(27г)3}-* ®Фр(к • х - сЛ)]/^* Ч)^1*'^, с, в, г, 0,0),

{2(2тг)3}-где

|(к)) ехр[-1(к-х-^)]/-|Г"'г°(г*)Я(<Л е, В, г, 0, 0).

е±(к) = {2|к|2(^ + *22)р

~кхкз ± ^2|к| к\ +

к~2

- векторы поляризации фотона. Радиальные функции имеют вид

т±&,р'1°(<р,е,е,т, 0,0) = е^'З^'^.г)

а

- присоединенные гиперсферические функции, определенные на поверхности комплексного шара.

В п. 3.4 строится метод вторичного квантования на однородных пространствах группы 80о(1,4), определяется пространство Фока, нормальные произведения и хронологические операторы квантованных полей. В п. 3.4.2 и п. 3.4.3 развитый формализм применяется к квантованию полей (1/2,0) ф (0,1/2) и (1,0) ф (0,1) на многообразии М8 [17].

Как известно, фундаментальной проблемой квантовой теории поля является проблема расходимостей интегралов Фейнмана. Как уже отмечалось выше, это следует из сопоставления функций Грина точечноподоб-пьш объектам. В рассматриваемой квантовой электродинамике обобщенные волновые функции, соответствующие протяженным (ориентированным) объектам, задаются полями на однородных пространствах группы де Ситтера. В п. 3.5 рассматривается взаимодействие между полями Дирака и Максвелла. Как обычно, взаимодействия между полями описываются лагранжианом взаимодействия £/. Берется следующий лагранжиан:

Полный лагранжиан взаимодействующих полей Дирака и Максвелла равен сумме, состоящей из лагранжианов свободных полей и лагранжиана взаимодействия:

где ££>(а) и См (а) - лагранжианы свободных полей Дирака и Максвелла. Поскольку лагранжиан (6) не содержит производных по полевым функциям, то для плотности гамильтониана имеем Кх(а) = —¿/(ос).

Как известно, в стандартной квантовой теории поля ¿'-матрица выражается посредством формулы Дайсона

(6)

С(а) = Сп{а) + См(а) + £/(а)

где Т - хронологический оператор. Предполагается, что плотность гамильтониана Н^х) имеет форму инвариантных локальных произведений полей. Аналог формулы Дайсона (7) на многообразии запишется следующим образом:

Б — Т

6ХР \~~kj /

Т4

Рассматривается интеграл от трилинейной формы, задающей взаимодействие, над 2-мерной комплексной сферой:

I ~

У ап (<?, в, т, 0,(<р, е, в, г, 0,0)ЙЯ™ |6,г, 0,0) шп вЧвЧ<рс.

Доказывается сходимость последнего интеграла.

Пусть И. - гильбертово пространство и пусть 11(д) - квадратично интегрируемое представление локально компактной группы Ли С, действующей транзитивно на Н, Уф 6 И, д 6 б : и(д)ф & Л. Пусть существует такой вектор | ф) 6 Н и справедливо следующее условие:

С* = 1МГ2/" К1 иШ)\Ч}х{д) < оо,

где ¿^(д) - левоинвариантная мера Хаара на группе С. Тогда любой вектор гильбертова пространства может быть представлен в виде

= ! I иШ)с1ц(д)(-фи*(д)\ф).

При ограничении группы (? на аффинную подгруппу х' — ах + Ь (группа трансляций и дилатаций вещественной оси) гармонический анализ на группе С сводится к вейвлет-преобразованию:

х — Ь\ , „.¿ас^Ъ

фа{ь) = I

Сф = Г\ф(ак)\2— < оо. Jо а

При этом ограничении поле ф(а) — (х, д \гр) на группе G сводится к полю ip(a) — (хуа\-ф} на аффинной группе, где а - масштабный множитель. который далее ассоциируется с разрешением измерительного оборудования? Следует отметить, что дальнейшее ограничение группы G на подгруппу трансляций приводит к ограничению поля "ф(сх) — (х, д \ifi) па поле тр(х) = описывающему точечноподобный объект, а вейвлет-

преобразование в этом случае сводится к фурье-преобразовашио. Таким образом, аффинная группа является минимальной группой пригодной для описания протяженного объекта. Ограничение до аффинной подгруппы формально эквивалентно приему Фаддеева-Попова, учитывающему трансляционную и дилатационную инвариантность в квантовополевых расчетах, связанных с реиормализационной группой, при этом а = 1/Л, где Л - параметр обрезания. Более того, в рамках вейвлет-преобразования истлевые функции Грина, появляющиеся при рассмотрении ф4-модели, свободны от ультрафиолетовых расходимостей. Это открывает широкое поле для приложений развитой выше теории в конкретных квантовополевых вычислениях. связанных с методами ренормгруппы**, в таких областях как физика фазовых переходов, физика критических явлений, стохастическая динамика и т.д. В п. 3.6 вычисляется функция Гелл-Манна-JIoy

OG к=2

где h - константа взаимодействия, в двухпетлевом приближеиии в безмассовой модели с четверным взаимодействием в четырехмерном пространстве (</>4-модель) для функций Грина, заданных вейвлет-преобразовапнем. На Рис 3.3 приведена зависимость двухпетлевых двухточечных функций Грина, заданных в вейвлет-представлении 04-модели, от величины масштабного множителя а. Из графика зависимости видно, что при а —+ О (при котором протяженный объект вырождается в точку) значения функций Грина устремляются к бесконечности, т.е. возникают ультрафиолетовые расходимости. С другой стороны, связь с теорией когерентных состояний открывает широкие возможности в приложениях от квантования систем со связями до диамагнетизма Ландау и устранения инфракрасных расходимостей в квантовой электродинамике***.

* Altaisky М. V. Quantum field. theory without divergences Ц Phys. Rev. D. - 2010. - V. 81. - 125003.

** Kovalev V. F., Shirkov D.V. The Bogoliuobov renormalization growp and Solution symmetry in mathematical physics Ц Phys. Rep. - 2001. - V. 352. - P. 219-249; Васильев А. H. Квачтово-полевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — С.-П.: ПИЯФ, 1998; Вильсон К., Когут Дж. Ренормализациоипая группа и ^-разложение. — М.: Мир, 1975.

*** Perelomov А. Generalized Coherent States and Their Applications. — Springer-Verlag, Heidelberg, 1986; Klauder J. R., Skagerstam R.-S. Coherent States. Applications in Physics and Mathematical Physics. — World Scientific Publishing, Singapore, 1985.

а

Рис. 3.3: Зависимость двухпетлевых двухточечных функций Грина, заданных в всйвлет-представлении ф4-модели, от величины масштабного множителя.

Общий метод построения волновых уравнений для полей вида (¿ь ¿2) ® (¡2, к) и метод нахождения их решений даны в п. 3.7-п. 3.9 (см. [3]). Решения ищутся в виде рядов по обобщенным гиперсферическим функциям, которые определяются на поверхности комплексного шара [3]:

где ¿о > —¿о ^ < ¡о п 1о > I, —1о <т,п< 1о. Разделение переменных осуществляется посредством рекуррентных соотношений между обобщенными гпперсферическими функциями (соответственно Ш1^.^).

Радиальные функции и ^тк-шк^*^ УД°влетв0Ряют системам

обыкновенных дифференциальных уравнений.

В четвертой главе устанавливается изоморфизм между группой ин-

волютивных автоморфизмов алгебры Клиффорда и СРТ группой. Пусть С„ - алгебра Клиффорда над полем Р = С и пусть Ех1;(С„) = {Ы, *, ~, *, , *, ~, *} - расширенная группа автоморфизмов алгебры Сп. Тогда имеет место изоморфизм между ЕхЦС„) и СРТ группой дискретных преобразований, Ех1;(Сп) ~ (1, Р, Т, РТ, С, СР, СТ, СРТ} ~ 1л1®Ъ-г® В этом случае инверсия пространства Р, обращение времени Т, полное отражение РТ, зарядовое сопряжение С, преобразования СР, СТ и полное СРТ-преобразование соответствуют автоморфизму Л—* Л*. антиавтоморфизмам А —* А, А —> А*, псевдоавтоморфизмам А —» А,

23

1 Р т РТ с СР СТ СРТ

1 1 р т РТ с СР СТ СРТ

р Р 1 РТ Т СР С СРТ СТ

Т Т РТ 1 р СТ СРТ с СР

РТ РТ т Р 1 СРТ СТ СР с

С с СР СТ СРТ 1 р т РТ

СР СР с СРТ СТ р 1 РТ т

СТ СТ СРТ с СР т РТ 1 р

СРТ СРТ СТ СР С РТ т р 1

Таб. 4.2: Таблица Кэли СРТ группы.

А А*, псевдоантиавтоморфизмам А —* А и А —*► А*, соответственно [25].

Действительно, группа {1, Р, Т, РТ, С, СР, СТ, СРТ} при условиях Р2 = Т2 = (РТ)2 = С2 = (СР)2 = (СТ)2 = (СРТ)2 = 1 и коммутативности всех элементов образует абелеву группу восьмого порядка, которая изоморфна циклической группе Ъ2 ® Ъ% ® Ъ2. Таблица Кэли этой группы приведена в Таб. 4.2.

В свою очередь, для расширенной группы автоморфизмов {И, *, ~, *, , *, ~, *} в силу коммутативности [Ак) = ,

(Д*) = (Л)*- — (Л), = (34)* и свойства инволютивпостн

** = = = И имеет место таблица умножения, приведенная в

Таб. 4.3.

Тождествеппость таблиц умножений доказывает изоморфизм групп:

{1, Р, Т, РТ, С, СР, СТ, СРТ} ^ {И, *, ~, *, *, *} ~ Ъ2 ® Ъ2 ® Ъг.

В случае условий Р2 — Т2 — ... ~ (СРТ)2 = ±1 и антикоммутативности элементов имеет место изоморфизм между СРТ группой н группой Ехг(Сп). Элементы группы Ех1:(Сп) являются спинорными представлениями автоморфизмов алгебры С,,,. Теорема Веддербарна-Артина позволяет определить любые спинорные представления для автоморфизмов алгебры С„. Так, все спинорные представления псевдоавтоморфизма А —* А приведены в п. 4.1. В п. 4.2 показывается, что автоморфизмы А —> А*, А А, А —»■ А*, А —* А, А —* А*, А —> А к А —* А* образуют конечную группу восьмого порядка (расширенная группа автоморфизмов ЕхЬ(СХ) = {Ы,*, ~,*, ,*, Группа Ext(C?) является генерирующей

24

Id * * — * *

Id Id * * — *

* * Id * * — *

* Id * * — *

* * * Id * * —

— — * * Id *

* * — * ■к Id *

* — * * Id *

* * * — * * Id

Таб. 4.3: Таблица Кэли группы инволютивных автоморфизмов алгебры

Клиффорда.

группой полной СРТ группы {±1,±Р,±Т,±РТ,±С,±СР,±СТ,±СРТ}. В п. 4.3-п. 4.5 находятся спинорные представления преобразований А —* А*, А —> Л и А —► А*, соответственно.

Детальная классификация для расширенных групп автоморфизмов Ext(Cn) дается в п. 4.6. Прежде всего, поскольку для подалгебр G?Pi9 над кольцом Kül группа Ext(C„) сводится к Aut±(Cn), то все существенно различные группы Ext(Cn) соответствуют подалгебрам CtPlq с кватерниои-ным кольцом К ^ Н, р — 5 = 4,6 (mod 8). Классификация групп Ext(Cn) дастся относительно подгрупп Aut±(C?Pi9). Доказывается, что полное число различных реализаций групп Ext(Cn) равно 64.

В п. 4.7 дается расширение универсальных накрытий ортогональных групп. Показывается, что имеют место 64 типа универсальных накрытий (СРТ структур) для комплексной ортогональной группы 0(гг,С):

Pin—./*(П,С) С (8)

где

Са,b,c,d,e,I,g = {±1> ±Pj ±Г) ±pTj -щ ±СР, ±СТ, ±СРТ}

- полная СРТ группа [25, 8]. Ca'b'c,d'e^'9 является конечной группой 16-го порядка. Группа

/~ia,b,c,d,e,f,g

Ext(ap,g) = —^—

называется генерирующей группой. По существу, Ca'b,c,d'e'^'g - это пять двойных накрытий группы ® Z2 ® Z2 (экстраспециальные группы Са-лнпгароса).

.-,+,+.-.-,+„ -п (8рт+(4,1) 0 С~'~'+'+'~'~,+)

В п. 4.8 СРТ группы рассматриваются в пространствах Ж4-1 и К1,4 с взаимно обратными сигнатурами (+, +, +, +, —) и (—, -, —, +), соответственно. Различие сигнатур индуцирует различие алгебр, ассоциированных с этими пространствами. Так, для алгебры 0?4,ъ ассоциированной с пространством К4,1, имеет место изоморфизм СХ4д а С4) где С4 - алгебра Дпрака, а для алгебры С?1,4, ассоциированной с пространством М1-4, справедливо разложение СР-гл — ОД.з® гДе (X 1,3 - алгебра пространства-времени Минковского. В п. 4.8.3 изучается СРТ группа и универсальное накрытие для полной группы де Ситтера 0(4,1). Показывается, что расширенная группа автоморфизмов алгебры де Ситтера С?4д ~ С4 имеет вид

ЬЛ(<Хи) = 0, 712345, 734, 7125. 7345. 712, 75» 71234}-Доказывается, что

Ехг(аАЛ) ~ ® Ъг.

Следовательно, универсальным накрытием группы де Ситтера 0(4,1) является

Р1П--.+.+.-.-.+ (4> 1) ~

¡и2

где

с -'+■+'--•+ ~ ® ъг ® г2

- полная СРТ группа поля Дирака в пространстве К4,1.

Та же задача исследуется в п. 4.8.4 для группы 0(1,4) в пространстве К1,4. Прежде всего, исследуется СРТ группа, полученная из анализа инвариантных свойств уравнения де Ситтера-Дирака относительно Р-, Т- и С-преобразований. Эта группа имеет вид

{1, Р, Г, РТ, С, СР, СТ, СТ, СРТ} ~

{1. 7074. 70. 74. 72. 707274. 7072, 7274}- (9)

Группа (9) является неабелевой конечной группой с порядковой струк-

*

турой (3,4). Более подробно, это группа Ъи, ® Ъч с сигнатурой (+, +,—,—,—,+,—). Следовательно, СРТ группой в. пространстве К1,4 является экстраспециальная группа

'-•-•+- ~ 24 ® %2 ® Ъг.

В этом случае универсальное накрытие группы де Ситтера определяется выражением

р.п+,_,+,_(1]4) „ (5рт+(1,4)ог4№®^

%2

В п. 4.8.4 показывается, что расширенная группа автоморфизмов алгебры де Снттсра С£\а имеет вид

ЕЛ(аы ^ {I, w, Е, С, П, К, Б, Р} ~

- {1> ТоТ1Т27зТ4, 7274, 7о7х7з, 717з, 7о7г74, 71727374, 7о}- (10)

Группа Ех^О?1.4) является неабелевой группой. Более того, группа (10)

*

является конечной группой 24 ® Ъ2 с сигнатурой (+,—,—,—,—,+,+). В этом случае существует группа

Рт+'~'~'~'~'+'+(1,4) ~

Ъ2 где

~ ¿4 <Э ъ2 ® 12

- полная СРТ группа спинорного поля в пространстве К1'4. Кроме того, изоморфны генерирующие группы (9) и (10):

{1, Р, Т, РТ, С, СР, СТ, СРТ} ~ {I, УУ, Е, С, П, К, Б, Р} ~ ¿4 ®

Таким образом, конечная группа (9), полученная из анализа инвариантных свойств уравнения де Ситтера-Дирака относительно дискретных преобразований С, Р иТ, изоморфна группе автоморфизмов алгебры СЕ^4. Этот результат позволяет изучать дискретные симметрии и их групповые структуры для физических полей без обращения к анализу релятивистских волновых уравнений.

В п. 4.9 исследуются СРТ группы для полей высшего спина. Пусть

- универсальная накрывающая группы Лоренца 80о(1,3), где с*.ъ,с.<1,е.}.,9 = {±\,±р,±Т,±РТ,±С,±СР,±СТ,±СРТ} - СРТ группа некоторого физического поля определенного в рамках конечномерного представления группы 8рт+(1,3). При этом имеет место соответствие Р ~ \Л/, Т ~ Е, РТ ~ С, С ~ П, СР ~ К, СТ ~ Б, СРТ ~ Р, где {I, W, Е, С, П, К, Б, Я} ~ ЕхЬ(С„) - группа автоморфизмов алгебры Сп. Тогда СРТ группа для поля (/,0) © (0,1) определяется в рамках конечномерного представления £'о+Ь-1.о ф ¿о,¡0-11+1 ГруППЬ1 врт+(1,3), заданного на спинпространстве §2ь © ассоциированным с алгеброй

<С2 ® С2 ® • • • <8> С2 ® С2 О • • ■ ® С2,

к раз г раз

27

n = 1 (mod 2)

cue:

e

n = 0 (mod 2)

Рис. 4.1: Действие супергруппы BWc = G(Cn, 7,0) на системе DJt = ЙЛ° ® Ш1 комплексных представлений £ группы ~ Spin+(1,3).

где (k,h) = (§, | + 1), (-Io.il) = (-§, | + 1)- В свою очередь, СРТ группа поля (l',l") Ф [VЛ') определяется в рамках конечномерного представления £'o+Ji-i,1o-Ii+i ф £io-ix+Uo+h-i группы Spin+(1,3), заданного па спгагаространстве §2к+г © §2ассоциированным с алгеброй

С2 ® С2 ® • • • ® с2 0С2 ® ¿2 ® • ■ • ® ¿2 ф

v-v-'

к+r раз

¿2 ® С2 ® ■ • • ® С2 (g) С2 ® с2 ® • • • ® С2,

у, .. . ^

r+fc раз

где (Zo.ii) = +

Находятся явные выражения для операторов дискретных симметрий в случае СРТ групп полей (1,0) ф (0,1), (3/2,0) ф (0,3/2), (1,1/2) © (1/2,1) и исследуется групповая структура полученных групп.

Как известно, периодичность Атьи-Ботта-Шапиро базируется па Z2-градуированной структуре алгебр Клиффорда OL. Рассмотренные в приложении А. 3 йг-градуированные алгебры Клиффорда и супергруппы Брауэра-Уолла позволяют определить на системе представлений универсальной накрывающей собственной группы Лоренца ~ Spin+(1,3) некоторые циклические соотношения, которые приводят к интересным приложениям в физике частиц.

В п. 4.10 показывается, что градуированные центрально-простые алгебры Клиффорда над полем F = С образуют два подобных класса, которые совпадают с двумя типами алгебр С„: п = 0,1 (mod 2). Множество этих двух типов (классов) образует супергруппу Брауэра-Уолла BWc = G(Cn,7,0), действие которой формально эквивалентно действию циклической группы Z2 (см. Рис. 4.1). Показывается также, что действие супергруппы BWc = G(Cn,7,0) на системе Ш = 931° ©9Л1 переводит фермиоиы

28

р - q ~ 1 (mod 8) p-q = 2 (mod 8)

fft'o I I ftt'o

p-q = 3 (mod 8)

p — q = 4 (mod 8)

p - g = 0 (mod 8)

V °

\7 p-q = 7 (mod 8)

/ J6 p- q = 6 (mod

и

p — q ~ 5 (mod 8)

Рис. 4.2: Действие супергруппы BWu = G(Q?P>(J, 7, О) на системе 9Л = £И+ ФОТ- вещественных представлений 3D группы (3+ ~ Spin+(1,3),

в бозоны и обратно, т.е. это действие эквивалентно действию суперснммст-рни.

Далее, ограничение комплексных представлений С на вещественные представления приводит к гораздо более высоко-градуированной периодичности по модулю 8 над полем F = R. Физические поля, определяемые в рамках таких представлений, описывают нейтральные частицы, или частицы, находящиеся в покое, такие как атомные ядра. Алгебра Клиффорда Cip.q является центрально-простой, если р — q ук 1,5 (mod 8). Градуированные центрально-простые алгебры Клиффорда над полем F = R образуют восемь подобных классов, которые, как легко видеть, совпадают с восемью типами алгебр СЖРЛ. Множество этих восьми типов (классов) образует супергруппу Брауэра-Уолла BWr = G(Ctp^q>7,0), циклическая структура которой формально эквивалентна действию циклической группы Zs (см. Рис. 4.2). Следовательно, циклическая структура супергруппы BWr = G(CXPig, 7,0) индуцирует на системе 9Н периодические но модулю 8 соотношения, которые приводят к новой симметрии, ранее не известной в физике частиц, экспериментальное предсказание которой обосновывается в завершении четвертой главы.

В пятой главе изучаются фактор-представления спинорных групп.

В заключении приводятся основные результаты, полученные в ходе предпринятого исследования, а также рассмотрены возможности дальнейшего развития и обобщения полученных результатов. Во-первых, требуется дальнейшее развитие квантовой теории поля на однородных пространствах группы де Ситтера, включая также и другие группы, например, нредстав-

ляет большой интерес рассмотрение квантовополевых моделей на однородных пространствах конформной группы. Как показал Сигал, алгебра Ли неоднородной группы Лоренца может быть получена деформацией из конформной алгебры Ли о (4,2). В свою очередь, конформная алгебра Ли является "жесткой", т.е. не может быть получена деформированием другой алгебры Ли. 15-мерная алгебра о(4,2) является алгеброй Ли некомпактной вещественной ортогональной группы 0(4,2) в шестимерном пространстве (эта группа локально изоморфна SU(2,2)). Более того, для конформной группы 0(4,2) выполняется условие энерго-положительностн, в отличие от групп 0(5,1) и 0(3,3). Во-вторых, метод определения матричных элементов и сферических функций представлений групп па основе гпперкомплекспых расширений Spin+(p, g) и теоремы сложения сферических функций, развитый в настоящей диссертации для групп S0o(l,3), S0(4) и S0o(l, 4), допускает естественное обобщение и для более сложных. групп, таких как группа анти-де Ситтера, конформная группа и т.д. С другой стороны, как было показано выше, существует тесная взаимосвязь между пшеркомгшексными углами групп Spin+(p, ç), кольцами делений алгебр СХр.д и гипергеометрическими функциями многих перемеппых. Эта связь позволяет ввести в теорию представлений групп гипергеометрические функции многих переменных, такие как функции Аппеля, Лауричел-лы и т.д., а также рассматривать эти функции как функциональный аспект теории представлений соответствующих групп. В-третьих, развитый в диссертации метод построения волновых уравнений на однородных пространствах и нахождения юс решений в виде рядов по гиперсферическим функциям следует распространить на остальные однородные пространства группы де Ситтера из списка, приведенного в п. 2.4, в первую очередь, на групповое многообразие М15 = К1'4 х 6ю неоднородной группы 0о(1,4) (наиболее сложный и интересный случай). С этой целью следует рассмотреть волновые уравнения на .Mis как для конечномерных, так и бесконечномерных представлений группы S0o(l,4). С другой стороны, ноля вида (h, h) © (h> h) как наиболее общие схемы зацеплений и соответствующие им волновые уравнения включают в себя распадающиеся и нераспадающиеся волновые уравнения как частные случаи. Как известно, поля высшего спина и, соответственно, составные "элементарные" частицы могут быть описаны в рамках зацепляющихся представлений группы SOo(l, 3) (цепочки Бабы-Гельфанда-Яглома). Стабильная составная частица соответствует нераспадающемуся уравнению, которое определяется в рамках зацепляющегося представления, и напротив, нестабильные частицы описываются распадающимися уравнениями. С физической точки зрения указанная взаимосвязь представляется наиболее интересным и перспективным развитием предложенного в диссертации метода. В-четвертых, дальнейшим развитием и обобщением алгебраической схемы описания дискретных симметрии, предложенной в диссертации, будет рассмотрение СРТ групп с учетом фазовых множителей.

Перечень научных публикаций по теме диссертационного исследования

1. Варламов В. В. Групповое усреднение для свободных полей в терлшнах гиперсферических функций над группой де Ситтера Ц ТМФ. - 2010. -Т. 164:3. - С. 473-480.

2. Varlamov V. V. Spherical functions on the de Sitter group Ц J. Phys. A: Math. Theor. - 2007. - V. 40. - P. 163-201.

3. Varlamov V. V. General Solutions of Relativistic Wave Equations II: Arbitrary Spin Chains Ц Int. J. Theor. Phys. - 2007. - V. 46, №4. - P. 741805.

4. Varlamov V. V. Relativistic spherical functions on the Lorentz group Ц J. Phys. A: Math. Gen. - 2006. - V. 39. - P. 805-822.

5. Varlamov V. V. Maxwell field on the Рогпсагё group Ц Int. J. Mod. Phys.

A. - 2005. - V. 20, №17. - P. 4095-4112.

6. Varlamov V. V. CPT groups for spinor field in de Sitter space Ц Phys. Lett.

B. - 2005. - V. 631. - P. 187-191.

7. Varlamov V. V. Relativistic wavefunctions on the Poincare group Ц J. Phys. A: Math. Gen. - 2004. - V. 37. - P. 5467-5476.

8. Varlamov V. V. Universal Coverings of Orthogonal Groups Jj Adv. Appl. Clifford Algebras. - 2004. - V. 14. - P. 81-168.

9. Varlamov V. V. General Solutions of Relativistic Wave Equations Ц Int. J. Theor. Phys. - 2003. - V. 42, №3. - P. 583-633.

10. Varlamov V. V. Discrete Symmetries and Clifford Algebras Ц Int. J. Theor. Phys. - 2001. - V. 40, №4. - P. 769-805.

11. Varlamov V. V. Generalized Weierstrass representation for surfaces in terms of Dirac-Hestenes spinor field// J. Geometry and Physics. - 2000. - V. 32, №3. - P. 241-251.

12. Varlamov V. V. Equations of Geodesic Deviation and Inverse Scattering Transform Ц Relativity, Gravitation, and Cosmology: New Developments (Ed. V. Dvoeglazov) New York. - Nova Science Publishers, 2010. - P. 211235.

13. Varlamov V. V. Group averaging for de Sitter free fields in terms of hyperspherical functions Ц Problems of Theoretical and Mathematical Physics: Book of Abstracts of the International Bogolyubov Conference, dedicated to 100th anniversary of N.N. Bogolyubov's birth (Moscow-Dubna, August 21-27, 2009). - Dubna: JINR, 2009. - P. 97-98.

31

14. Варламов В. В. Сферические функции на однородных пространствах группы де Ситтера Ц Тезисы докладов Всероссийской конференции но математике и механике, с. 90 (Томский государственный университет, Томск, 22-25 сентября 2008г.).

15. Варламов В. В. Сферические функции и гармонический анализ на группе де Ситтера Ц Труды шестой сибирской конференции по математическим проблемам физики пространства-времени сложных систем (ФПВ-2007) /ред. М. М. Лаврентьева, В.Н. Самойлова, Новосибирск:, 15-21 июля 2007 г. (Новосибирск: Академическое изд-во'Тео", С. 10-68, 2008.).

16. Варламов В. В. Функции представлений класса 1 на однородных пространствах группы де Ситтера / Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", С. 410-411 (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007г.).

17. Varlamov V.V. Towards the Quantum Electrodynamics on the Poincare Group К New Topics in Mathematical Physics Research (Ed. С. V. Benton) New York. - Nova Science Publishers, 2006. - P. 109-179.

18. Варламов В. В. Гармонический анализ функций на группе Пуанкаре Ц Труды пятой сибирской конференции по математическим проблемам физики пространства-времени сложных систем (ФПВ-2004) /ред. М. М. Лаврентьева, В.Н. Самойлова, Новосибирск:, 14-20 июля 2004 г. (Новосибирск: Академическое изд-во "Гео", С. 37-53, 2006.).

19. Варламов В. В. Точное решение для поля (1,0)Ф(0,1) в терминах функций на группе Пуанкаре Ц Математические структуры и моделирование. - 2005. - Вып. 15. - С. 74-91.

20. Varlamov V. V. The СРТ Group in the de Sitter Space // Annalcs de la Fondation Louis de Broglie. - 2004. - V. 29. - P. 969-987.

21. Varlamov V.V. Fields on the Lorentz Group: Helicity Basis and Rdativistic Wave Equations Ц Frontiers in Quantum Physics Research (Eds. F. Columbus h V. Krasnoholovets) New York. - Nova Science Publishers, 2004. - P. 55-86.

22. Varlamov V. V. Fields on the Lorentz Group: Exact Solutions for the Fields (1/2,0) Ф (0,1/2) and (1,0) ® (0,1) // Mathematical Physics Frontiers (Ed. С. V. Benton) New York. - Nova Science Publishers, 2004. - P. 67-99.

23. Варламов В. В. Точное решение для поля (1/2,0) ф (0,1/2) е терминах функций на группе Лоренца Ц Труды четвертой сибирской конференции

по математическим проблемам физики пространства-времени сложных систем (ФПВ-2002) /ред. М. М. Лаврентьева, Новосибирск:, 28-31 июля 2002г. (Изд-во института математики СО РАН, Т. 2, С. 29-38, 2004).

24. Varlamov V.V. Ну per spherical Functions and Harmonic Analysis on the Lorentz Group Ц Mathematical Physics Research at the Cutting Edge (Ed. С. V. Benton) New York. - Nova Science Publishers , 2004. - P. 193-250.

25. Varlamov V.V. Group Theoretical Interpretation of the CPT-theorem Ц Mathematical Physics Research at the Cutting Edge (Ed. С. V. Benton) New York. - Nova Science Publishers, 2004. - P. 51-100. arXiv: math-ph/0306034.

26. Varlamov V. V. Relativistic Wave Equations in the Helicity Basis Ц Special issue 'Higher Spins, QCD and Beyond' of Hadronic Journal. - 2003. - V. 26, № 3-4. - P. 275-298.

27. Варламов В. В. О теории рялятивистски-инвариантных уравнений Ц Труды четвертой сибирской конференции по математическим проблемам физики пространства-времени сложных систем (ФПВ-2002)/ ред. М. М. Лаврентьева:. Новосибирск, 28-31 июля 2002г. (Изд-во института математики СО РАН, С. 60-89, 2002).

28. Varlamov V. V. Hyperspherical Functions and Linear Representations of the Lorentz GroupЦ Hadronic J. - 2002. - V. 25. - P. 481-508.

29. Varlamov V.V. About Algebraic Foundations of Majorana-Oppenheimer Quantum Electrodynamics Ц Annales de la Fondation Louis de Broglic. -2002. - V. 27. - P. 273-286.

30. Varlamov V. V. Group Theoretical Description of Space Inversion, Time Reversal and Charge Conjugation Ц arXiv: math-ph/0203059.

31. Варламов В. В. Дискретные симметрии на пространствах фактор-представлений группы Лоренца Ц Математические структуры и моделирование. - 2001. - Вып. 7. - С. 114-127.

32. Варламов В. В. Алгебры Клиффорда и дискретные преобразования пространства-времени Ц Труды третьей сибирской конференции по математическим проблемам физики пространства-времени сложных систем (ФПВ-2000)/ ред. М. М. Лаврентьева:. Новосибирск, 20-22 июня 2000г. (Изд-во института математики СО РАН, С. 97-135, 2001).

33. Варламов В. В. Оператор Дирака на поверхностях погруженных в 4~ мерные многообразия Ц Тезисы докладов международной конференции "Геометрия и приложения", С. 84-85 (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 13-16 марта 2000г.).

34. Варламов В. В. О соотношениях между инфинитезималъными операторами группы Лоренца с операторами дискретных симметрии Ц Сборник трудов IV Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование", С. 90-92 (Новокузпсцкий филиал-ияститут Кемеровского государственного университета, Новокузнецк, 1-4 декабря 2001г.).

35. Варламов В. В. Матричные элементы конечномерных представлений собственной группы Лоренца Ц Сборник трудов IV Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование", С. 93-96 (Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета, Новокузнецк, 1-4 декабря 2001г.).

36. Варламов В. В. Обратная задача рассеяния для оператора Дирака на ' поверхности вращения / Сборник трудов межотраслевой научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование", С. 15-18 (Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета, Новокузнецк, 17-18 ноября 2000г.).

37. Варламов В. В. Автоморфизмы алгебр Клиффорда и группы Брауэра-Уолла Ц Тезисы докладов межрегиональной научно-методической конференции "Повышение эффективности научных исследований и совершенствование научного процесса", С. 13-14 (Анжеро-Судженский филиал Кемеровского государственного университета, Анжеро-Судженск, 18 ноября 2000г.).

38. Varlamov V.V. Fundamental Automorphisms of Clifford Algebras and an Extension of Dqbrowski Pin Groups // Hadronic J. - 1999. - V. 22. - P. 497535.

39. Варламов B.B. О спинорных полях на поверхностях вращенийЦ Труды IV международной конференции "Геометризация физики", С. 248-253 (Казанский государственный университет, Казань, 4-8 октября 1999г.).

Подписано в печать % 5*. А4. Юг. Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,98. Уч.-изд. л. 2,21. Тираж 100 экз. Заказ 310.

Сибирский государственный индустриальный университет 654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42. Типография СибГИУ

Введение

Глава 1. Группа де Ситтера

1.1. Однородная группа де Ситтера 80о(1,4)

1.1.1. Кватернионное описание группы БОо(1,4)

1.1.2. Однородные пространства группы ЭОо( 1,4)

1.2. Группа Лоренца ЯО0(1. 3)

1.2.1. Спиральный базис

1.2.2. Однородные пространства группы 80о(1,3)

1.3. Группа БО(4) 36 1.3.1. Однородные пространства группы 80(4)

1.4. Группа Эи(2)

1.5. Группа 8и(1,1)

Глава 2. Гиперсферические функции и поля на группе де Ситтера

2.1. Релятивистские сферические функции

2.1.1. Рекуррентные соотношения между гиперсферическими функциями

2.1.2. Релятивистские сферические функции унитарных представлений группы

8О0(1,3)

2.2. Гиперсферические функции на группе 80(4)

2.3. Гиперсферические функции на группе де Ситтера 80о(1,4)

2.3.1. Дифференциальные операторы на группе Эр(1,1)

2.3.2. Сферические функции конечномерных представлений группы 8О0(1,4)

2.3.3. Сферические функции унитарных представлений группы 8О0(1,4)

2.4. Поля на однородных пространствах группы де Ситтера Оо(1,4)

2.4.1. Гармонический анализ на группе де Ситтера Оо( 1,4)

2.5. Внутреннее произведение для свободных полей над группой де Ситтера 2.5.1. Сходимость внутренних произведений

Глава 3. Волновые уравнения

3.1. Лагранжев формализм и полевые уравнения на группе де Ситтера О0(1, 4)

3.1.1. Волновые уравнения для полей (1,0) ф (0,/) на многообразии =

К1'3 х £6 НО

3.1.2. Краевая задача

3.1.3. Разделение переменных в волновых уравнениях для полей (1,0) ф (0,1)

3.2. Поле Дирака

3.3. Поле Максвелла

3.4. Вторичное квантование на однородных пространствах

3.4.1. Пространство состояний

3.4.2. Квантование электрон-позитронного поля

3.4.3. Квантование фотонного поля

3.5. Взаимодействующие ноля

3.6. Вейвлет-представление квантовой теории поля 174 3.6.1. Вейвлет-представлеиие модели и функция Гелл-Манна-Лоу

3.7. Произвольные спиновые цепочки

3.7.1. Рекуррентные соотношения между функциями 3L;mn(cos^C! cos #с)

3.7.2. Условия инвариантиости для полей тензорного типа

3.8. Структура матриц А[

3.9. Разделение переменных в волновых уравнениях для полей , ¿2) Ф (h, h)

Глава 4. СРТ группа

4.1. Псевдоавтоморфизм Л —> Л и зарядовое сопряжение С

4.2. Расширенная группа автоморфизмов

4.3. Псевдоавтоморфизм Л —v Л* и преобразование CP

4.4. Псевдоантиавтоморфизм Л —» Л и преобразование CT

4.5. Псевдоантиавтоморфизм Л Л* и полное СРТ-преобразование

4.6. Структура группы Ext(C„)

4.7. СРТ структуры

4.8. Пространство-время де Ситтера и дискретные симметрии

4.8.1. Группа Дирака

4.8.2. Спинорное представление группы Дирака

4.8.3. СРТ группа в пространстве К4,

4.8.4. СРТ группа в пространстве М1,

4.8.5. Дискретные симметрии на фактор-представлениях алгебры де Ситтера

4.9. СРТ группы полей высшего спина

4.9.1. СРТ группа поля (1.0) ф (0,1)

4.9.2. СРТ группа поля (3/2,0) ф (0,3/2)

4.10. Периодичность по модулю 8 в физике частиц

Глава 5. Фактор-представления спинорных групп

5.1. Фактор-представления групп Клиффорда-Липшица

5.2. Автоморфизмы нечетномерных алгебр Клиффорда

Как известно, в течении последних двадцати лет пространства де Ситтера и анти-де Ситтера различных размерностей оказались в центре внимания всей теоретической физики высоких энергий. В первую очередь это связано с соответствием между супергравитацией в пятимерном пространстве анти-де Ситтера и Лг = 4 суперсимметричной теорией поля в четырех измерениях. Пространство анти-де Ситтера оказалось наиболее подходящим многообразием, на котором получены непертурбативные результаты в теории суперструн и на котором естественным образом строится теория полей высших спинов. В свою очередь, пространство де Ситтера тесно связано с проблемами современной космологии, являясь по сути теоретической базой инфляционной космологии. С другой с гороны, пространство-время де Ситтера М.\ само по себе и квантовая теория поля на этом многообразии является предметом интенсивного исследования главным образом в связи с задачей построения квантовой теории гравитации в искривленных пространствах [196, 111, 76, 133, 107, 145, 92]. Пространство-время понимается как четырехмерный гиперболоид Н4, наделенный глобальной топологией постоянной отрицательной кривизны и вложенный в объемлющее пятимерное пространство IR1,4 (пространство де Ситтера). Как известно, гиперболоид Н4 является однородным пространством группы де Ситтера SOo(l, 4), являющейся группой вращений пространства R1'4. В связи с построением квантовой теории поля на М.4 = НА естественным образом возникает задача определения физических полей в терминах функций представлений класса 1 на однородном пространстве Нл группы SOo(l,4), т.е. задача определения волновой функции как поля на группе де Ситтера. Аналогичная задача для трехмерного гиперболоида Н3 и других однородных пространств группы Пуанкаре была поставлена и частично решена в работах [139, 187, 87, 203, 176, 88, 177, 236, 149] главным образом в связи с объединением пространственно-временных и внутренних симметрий элементарных частиц. Как известно, одним из методов решения данной проблемы является поиск некоторой объединяющей группы, которая включала бы в себя группу Пуанкаре V и группу (или группы) внутренних симметрий (SU(2). SU(3) и т.д.) как подгруппы [94]. Однако в этом подходе неясен физический смысл объединяющей группы. Наиболее естественный путь решения данной проблемы был предложен в работе [140], где было показано, что модели элементарных частиц с внутренними степенями свободы могут быть описаны на многообразиях большей размерности, чем пространство-время Минковского (однородные пространства группы Пуанкаре). Квантовополевые теории на группе Пуанкаре исследовались в целом ряде работ на протяжении сорока лет (191, 180, 103, 83, 185, 241, 192, 135, 150, 155). Рас-смо i рение полевых моделей на однородных пространствах естественным образом приводит к обобщению понятия волновой функции (поля на группе Пуанкаре). Общий вид этих полей тесно связан со структурой представлений групп Лоренца и Пуанкаре [33, 52, 98, 150] и допускает следующую факторизацию: f(x, z) = фп(х)фп(х), где х € Т,\ (подгруппа трансляций), а функции фп{z) образуют базис пространства представления группы Лоренца. При этом четыре параметра xtl задают позицию то-чечноподобного объекта, в то время как остальные гпесть параметров z £ Spinf(l,3) определяют ориентацию в квантовом описании ориентированного (протяженного) объекта [152, 153]. К необходимости введения протяженных объектов в квантовой теории поля приводит рассмотрение вопросов теории измерений. Как известно, петлевые расходимости функций Грина квантовой теории поля берут свое начало от сопоставления этих функций неизмеримым и, следовательно, нефизическим точечноподобным величинам. Никакая физическая величина не может быть измерена в точке, но можег быть измерена в некоторой области, размер которой ограничен разрешением измерительною оборудования [79]. Учет разрешения измерительного оборудования естественным образом приводит к рассмотрению физической величины как протяженного объекта, функция которого описывается полем 'ф(а) = {х,д\ф) на однородном пространстве некоторой группы, где х £ Т„, д G Spin+(p, g), п = p + q. Так, в 90-х гг. Сигал доказал сходимость квантовой 'теории поля, в частности квантовой электродинамики, на однородном пространстве R1 х S3 конформной группы [226, 227], где 5"3 - трехмерная вещественная сфера. В настоящей работе поля, волновые уравнения и квантовая теория ноля строятся на группе де Ситтера, поскольку, гхо всей видимости, пространство де Ситтера точнее всего описывает геометрию реального мира [50].

Более того, эти поля (обобщенные волновые функции) были введены независимо несколькими авторами [35, 91, 268, 71] главным образом в связи с построением релятивистских волновых уравнении (так называемое Z-описание релятивис гского спина [150]). Как известно, волновая функция является решением релятивистского волнового уравнения. В связи с этим возникает задача построения волновых уравнений на однородных пространствах группы де Сшптера, решениями которых являются обобщенные волновые функции, зависящие от параметров группы де Ситтера SOo(l,4).

Как известно, дискретные симметрии играют фундаментальную роль в стандартной квантовой теории поля в пространстве-времени Минковского. Однако исторически сложившаяся практика определения дискретных симметрий из анализа релятивистки-пнвариантных уравнений не дает возможности построения полной и последовательной теории дискретных преобразований, прежде всего, на пространствах представлений группы Лоренца и соответственно группы Пуанкаре. В рамках стандартного подхода, исключая хорошо изученный случай спина j = 1/2 (уравнение Дирака), остается совершенно неясной ситуация с определением дискретных симметрии для полей с высшим спином j > 1/2. Данная ситуация, безусловно, является свидетельством отсутствия полностью удовлетворительного формализма для описания полей с высшим спином (ни подход Рариты-Швингера [209], ни подход Баргмана-Вигнера [91], ни формализм Вайнберга [264] не свободны полностью от внутренних противоречий и трудностей, таких как нефизический спектр масс, непричинное распространение при включении взаимодействия, потеря гиперболичности и т.д.). Более того, Ли и Вик [183] утверждают, что "ситуация совершенно неудовлетворительна с фундаментальной точки зрения". Первая попытка выхода из создавшейся ситуации (к сожалению, оставленная физиками без должного внимания) была предпринята Гельфандом, Мин-лосом и Шапиро [33]. В подходе Гельфанда-Минлоса-Шаниро дискретные симметрии представляются внешними инволютивными автоморфизмами группы Лоренца и определяются на пространствах всех конечномерных представлений этой группы. Существуют также другие реализации дискретных симметрий посредством внешних автоморфизмов (см. [195, 180, 64]). В последнее время идеи Гельфанда-Минлоса-Шапиро получили развитие в работах Бухбиндера, Гитмана и Шелепина [108, 149], где дискретные симметрии, представляемые как внешними, так и внутренними автоморфизмами, распространяются на пространства представлений группы Пуанкаре. 3

Главной целью диссертационного исследования является построение квантовопо-левой теории на однородных просгране гвах группы де Ситтера. В соответствии с основной целью следует выделить девять целевых задач.

Во-первых, следует описать и классифицировать однородные пространства группы 80о(1,4) с точностью до подгрупп 8О0(1,3) (группа Лоренца), БО(4) (максимальная компактная подгруппа группы 80о(1,4)) и 811(2), 811(1,1). Эта задача решается в первой главе посредством определения всех однородных пространств вида Л4 — 80о(1,4)/Н, где Н 6 80о(1,4) - так называемый стабилизатор точки (стационарная подгруппа). Дается список однородных пространств группы 8О0(1,4), включающий симметрические римаиовы и неримановы пространства. Аналогичное рассмотрение проводится для важного класса однородных пространств М. = 8О0(1,3)/Я и М. — БО(4:)/Н, соответствующих подгруппам 8О0(1,3) и 80(4).

Во-вторых, следует дать явный вид функциям, которые определяются на однородных пространствах группы де Ситтера, в терминах сферических функций представлений класса 1 относительно стабилизатора Н. Эта задача решается во второй главе. В данном случае исходным пунктом исследования является аналогия между универсальными накрытиями групп Лоренца и де Ситтера, которая была впервые установлена Такахаши [234] (см. также работу Штрема [233]), а именно: универсальным накрытием группы 80о(1,4) является 8рт+(1,4) ~ 8р(1,1) и спинорная группа 8рт+(1,4) описывается в терминах 2x2 кватернионных матриц. С другой стороны, универсальным накрытием группы Лоренца 80о(1,3) является 8рт+(1,3) ~ 8Ь(2,С), где спинорная группа 8рт+(1,3) описывается в терминах 2x2 комплексных матриц. Эта аналогия позволяет применить (с некоторыми ограничениями) теорию представлений группы Лоренца [33, 51] к группе 80о(1,4). Приводится дальнейшее развитие аналогии Такахаши Штрема (кватернионное описание группы 8О0(1,4)). Показывается, что для группы 8рт+(1,4) ~ Эр(1,1) имеются кватернионные углы Эйлера, которые содержат комплексные углы Эйлера группы 8рт+(1,3) ~ 8Ь(2, С) как частный случай. Дифференциальные операторы (операторы Казимира и Лапласа-Бельтрами) определяются на группе 8р(1,1) в терминах кватерниоииых углов Эйлера. Сферические функции на группе 80о(1,4) понимаются как функции представлении класса 1, реализуемых на однородных пространствах группы 80о(1,4). Сферические функции на группе Лоренца 80о(1,3) изучаются в п. 2.1 как для конечномерных, так и 4 бесконечномерных представлений [254, 242, 247, 21, 17]. Сферические функции на группе 80(4) изучаются в п. 2.2. Показывается, что для универсального накрытия 8рт(4) ~ 811(2) 0 811(2) группы 80(4) существуют двойные углы Эйлера [256]. Следует отметить, что все гиперкомплексные расширения (комплексные, двойные, ква-тернионные) обычных (вещественных) углов Эйлера группы 811(2) прямо следует из алгебраической структуры спинорных групп Эрт +(р, д), которая описывается в рамках алгебр Клиффорда С1Т>Л [246] (в приложении А дана подробная классификация групп Ярт +(р, <?))• Матричные элементы и сферические функции группы 80(4) выражаются через произведение двух гипергеометрических функций. Это обстоятельство является прямым следствием теоремы сложения для обобщенных сферических функций. Далее, сферические функции конечномерных представлений группы де Ситтера 80о(1,4) изучаются в п. 2.3 на различных однородных пространствах этой группы. Показывается, что матричные элементы группы 80о(1,4) допускают факторизации относительно матричных элементов подгрупп Э0(4) и 80о(1,3), поскольку двойные и комплексные углы являются частными случаями кватернионных углов. В свою очередь, матричные элементы и сферические функции группы 80о(1,4) выражаются через произведение трех гипергеометрических функций [256, 22, 23, 24]. Сферические функции основной серии бесконечномерных представлений группы 80о(1,4) определяются в рамках базиса Диксмье-Штрема [132, 233] в п. 2.3.3. Переходя к неоднородной группе де Ситтера 0о(1,4) = 80о(1,4) ©Т5, где Т5 - группа пятимерных трансляций, следует рассматривать поля на более широких однородных пространствах, являющихся прямыми произведениями пространства К1'4 и однородных пространств группы 80о(1-4). Поля на таких многообразиях определены в п. 2.4. Развитый во второй' главе формализм позволяет определить поле ф(ос) — (ж, ц \ф) на группе де Ситтера, где параметры х е Тъ задают позицию, а я 6 8рт+(1,4) ~ 8р(1,1) - ориентацию протяженного объекта. Как известно, в стандартной квантовой теории поля полевые операторы определяются посредством интеграла Фурье от функции, которая, в общем случае, является решением некоторого релятивистского волнового уравнения. Этот интеграл является интегралом Фурье на группе четырехмерных трансляций, Т4. С другой стороны, гармонический анализ на группах представляет собой обобщение обычного Фурье-анализа, т.е. разложения функции по системе тригонометрических функций. С этой позиции обычный Фурье-анализ следует рассматривать как 5 гармонический анализ на группе SO(2). Аналогичная задача разложения квадратично интегрируемой функции /(q) по системе гиперсферических функции (базисных функций неприводимого представления группы SOo(l,4)) рассматривается в п. 2.4.1. В п. 2.5 рассматривается внутреннее произведение над однородной группой де Сит-тера SOo(l,4). Ключевым моментом в исследовании сходимости группового усреднения является метод определения матричных элементов представлений U(g) группы SOo(l,4) посредством теоремы сложения для обобщенных сферических функций, развитый в работах [256, 23, 258]. Главным преимуществом данного способа определения матричных элементов является явная факторизация матричного элемента (согласно разложению Картана) относительно подгрупп, входящих в исходную группу. Так, для группы SOo(l,4) матричные элементы могут быть факторизованы как относительно SO(4) (максимальная компактная подгруппа), так и относительно SOo(l,3) (группа Лоренца). Данная факторизация позволяет разделить переменные в интеграле, задающем групповое усреднение для внутреннего произведения, т.е. вычислить отдельно интегралы по компактным и некомпактным подгруппам. В качестве примера вычисляется внутреннее произведение для iV-частимного случая. Показывается, чго сходимость внутреннего произведения определяется асимптотическим поведением гипергеометрических функций [25]. Приводится подробное вычисление внутреннего произведения для 2-частичного случая над четырехмерным гиперболоидом.

В-третьих, рассмотрение полей на группе де Ситтера в терминах обобщенных волновых функций естественным образом приводит к задаче построения волновых уравнений на однородных пространствах этой группы. Эта задача решается в третьей главе. В п. 3.1 строится лагранжев формализм и волновые уравнения на 15-мерном групповом многообразии М\ъ = IR1'4 хбщ неоднородной группы де Ситтера О0(1,4). Варьирование диракоподобного лагранжиана приводит к двум системам волновых уравнений: иятипараметрической системы, зависящей от параметров подгруппы трансляций Т5, и 10-параметрической системы уравнений, зависящей, в свою очередь, от 10 параметров однородной группы SOq(1,4). Далее эта система рассматривается на подмногообразии М.8 = M^xS^, где Sç - двумерная комплексная сфера. В п. 3.2 ставится краевая задача для сферы Эта задача является естественным обобщением классической краевой задачи Дирихле для шара [48]. Решения волновых уравнений ищутся в виде рядов по присоединенным гиперсферическим функциям, которые определяются на сфере т.е. па поверхности комплексного шара [243, 18, 244, 248]. Как известно, комплексный шар изометричен шестимерному бивекторному пространству Е6, т.е. пространству параметров однородной группы Лоренца 80о(1,3) (о связи между спинорными группами и бивекторными пространствами см. п. А.5.1). Найденные решения описывают поля вида (¿,0) © (0. /), где I - вес неприводимого конечномерного представления, который в согласии с интерпретацией Внгнера [265, 266] задает снин частицы. Определяются волновые уравнения для бесконечномерных представлений. В п. 3.3 и п. 3.4 рассматриваются важные частные случаи, соответствующие полям (1/2,0) Ф (0,1/2) и (1.0) © (0,1), так называемые поля Дирака и Максвелла [249, 250, 19, 20, 253]. Решение для поля Максвелла находится в представлении Римана-Зильберштейна [263, 226, 96], которое, в свою очередь, естественным образом приводит к квантовой электродинамике Майораны-Оппенгеймера [190, 204, 197, 127, 148, 169, 22Т, 147, 135, 255]. При этом безмассовое поле (1,0)© (0,1) рассматривается в рамках унитарного бесконечномерного представления группы Лоренца. В согласии с теоремой Наймарка [51] представление подгруппы 8и(2) содержится в представлении &\,р главной серии представлений группы ЗОо(1,3) не более чем один раз. Таким образом, фотонное поле представляется бесконечномерным представлением бл.р, в которое погружено конечномерное представление (1,0) © (0,1). Далее, в связи с задачами квантования свободных полей Дирака и Максвелла возникает более общая задача определения метода вторичного квантования на однородных пространствах группы де Снттера. Эта задача решается в п. 3.4. Как известно, фундаментальной проблемой квантовой теории поля является проблема расходимостей интегралов Фейнмана. Как уже отмечалось выше, это следует из сопоставления функций Грина точечноподобным объектам. В рассматриваемой квантовой электродинамике обобщенные волновые функции, соответствующие протяженным (ориентированным) объектам, задаются полями на однородных пространствах группы де Ситгера. В п. 3.5 рассматривается взаимодействие между полями Дирака и Максвелла на однородном пространстве А4%- Вводится аналог формулы Дайсона для ¿¡'-матрицы на пространстве Показывается, что элементы ¿"-матрицы задаются сходящимися выражениями (аналогами интегралов Фейнмана на М.%). Ограничение неоднородной группы де Ситтера до аффинной подгруппы позволяет определить вейвлет-нреобразование 7 для обобщенных волновых функций. Связь с вейвлетами и когерентными состояниями Клаудера-Баргмана-Сигала открывает широкое поле для приложений развитой в предыдущих главах теории в таких областях как физика фазовых переходов, ре-нормализационная группа и критические явления, стохастическая динамика и т.д. [26, ?, ?, ?, ?]

В-четвертых, поля вида (1,0) ® (0,1) являются частными случаями более общих'полей (¿ьУ © Ь)у которые описываются в рамках тензорных представлений группы 80о(1,3). Эти поля соответствуют произвольным спиновым цепочкам, включающим в себя схемы зацеплений Бабы-Гельфанда-Яглома как частный случай. В связи с этим возникает задача построения волновых уравнений для полей вида (/^/г) © (/о, /1) и нахождения их решений. Эта задача решается в п. 3.5-п. 3.8. Решения ищутся в виде рядов по обобщенным гиперсферическим функциям, которые определяются на поверхности комплексного шара [257].

В-пятых, как уже отмечалось выше, дискретные симметрии обобщенных волновых функций ^{(у) = (ж, д \ф) следует рассматривать в терминах инволютивных автоморфизмов подгруппы вращений Эрт +(р, в рамках которой задается ориентация протяженного объекта. Другим альтернативным подходом является алгебраическая схема описания дискретных симметрий, предложенная автором в [237, 239, 12, 16, 14, 241, 245, 246] и рассматриваемая в настоящей диссертации, где дискретные симметрии представляются фундаментальными автоморфизмами алгебр Клиффорда, в частности, автоморфизмами алгебры Клиффорда, ассоциированной с универсальной накрывающей собственной группы Лоренца 8рт+(1,3) ~ 8и(2)<8>8и(2). Так, инверсии пространства Р соответствует автоморфизм Л —> Л* (инволюция), обращению времени Т - антиавтоморфизм Л —> Л (реверсия), а комбинации РТ - антиавтоморфизм А —> Л*, где Л - произвольный элемент алгебры Клиффорда (X. Элементам конечной группы, образованной дискретными преобразованиями, сопоставлены фундаментальные автоморфизмы алгебр Клиффорда. В свою очередь, множество фундаментальных автоморфизмов дополненное тождественным автоморфизмом, образует конечную группу Аи1(С£), для которой в силу теоремы Веддербарна-Артина существует матричное представление. Центральную роль играет изоморфизм {1,Р,Т,РТ} ~ АиЬ(СЕ). Как известно, другой важной дискретной симметрией является зарядовое сопряжение

С. В отличие от преобразований- Р, Т, РТ операция С не является пространственно-временной дискретной симметрией. Это преобразование впервые появляется на пространствах представлений группы Лоренца и его природа существенным образом отличается от природы остальных дискретных симметрий. По этой причине в данной работе зарядовое сопряжение представляется псевдоавтоморфизмом А —> А, который не является фундаментальным автоморфизмом алгебры Клиффорда СЛ. Все сгпшор-пые представления псевдоавтоморфизма А —> А приведены в п. 4.1. Введение преобразования А —> А позволяет расширить группу автоморфизмов Аи1,(С£) алгебры С£. В п. 4.2 показывается, что автоморфизмы А —> А*, А —» А, А —> А*, А —> А, А А*, А А и А —> А* образуют конечную группу восьмого порядка (расширенная группа автоморфизмов Ех^СГ) = {Ы,*, Группа Ех^С?) является генерирующей группой полной СРТ группы {±1, ±Р, ±Т, ±РТ, ±С, ±СР, ±СТ, ±СРТ}. В п. 4.3-п. 4.5 находятся спинорные представления преобразований А —> А*, А —А и А —> А*, соответственно.

В-шестых, в связи с определением группы Ех1;(С?) возникает задача изучения ее групповой структуры. Эта задача решается в п. 4.7. Показывается, что существуют 64 различные реализации группы Ех1;(С?). Устанавливается связь групп ЕхЬ(С£) с экстраспециальными конечными группами.

В-седьмых, как, известно, ортогональная группа О (р,д) вещественного пространства Шр,(1 представляется полупрямым произведением 0(р, д) ~ Оо(/;, д) © {1 ,Р,Т,РТ}. В свою очередь, универсальным накрытием группы 0(р,д) является группа Клиффорда-Липшица Рш(р, <?), которая полностью определяется в рамках алгебры Клиффорда С£р^ над полем вещественных чисел Р = М. Очевидно, что последовательное описание универсальных накрытий групп 0(р, д) в терминах групп Рт(р, д) С СРр,д может быть получено только в случае, когда дискретная подгруппа {1, Р, Т, РТ} также определяется в рамках алгебры С0.рл (см. [237, 239, 12]). В связи с расширением группы {1, Р, Т, РТ} до {1, Р, Т, РТ, С, СР, СТ, СРТ}, что соответствует расширению от Аи^С?) до Ех1(СГ), возникает задача расширения универсальных накрытий (СРТ структур) ортогональных групп. Эта задача решается в п. 4.7, а также в п. 5.1-п. 5.2 в случае фактор-представлений групп Рт(р, д).

В-восьмых, развитый метод позволяет изучать дискретные симметрии и их групповые структуры для физических полей без обращения к анализу релятивистских 9 волновых уравнений. Первой задачей, естественным образом возникающей в данном контексте, является исследование СРТ группы для спинорного поля в пространстве де Ситтера [251, 252]. Эта задача решается в п. 4.8. СРТ группы рассматриваются в пространствах М4'1 и М1'4 с взаимно обратными сигнатурами (+,+,+,+,—) и (—,—,—,—,+), соответственно. Различие сигнатур индуцирует различие алгебр, ассоциированных с этими пространствами. Так, для алгебры С^д, ассоциированной с пространством К4'1, имеет место изоморфизм 0?4д ~ С4, где С4 - алгебра Дирака, а для алгебры С£ 1,4, ассоциированной с пространством М1'4, справедливо разложение — СО. 1,з © гДе 1,3 алгебра пространства-времени Минковского. В п. 4.8.3 изучается СРТ группа и универсальное накрытие для полной группы де Ситтера 0(4,1). Та же задача исследуется в п. 4.8.4 для группы 0(1,4) в пространстве М1'4. Показывается, что обе СРТ группы изоморфны друг другу. В свою очередь, для алгебры ОДд существует гомоморфное отображение е —» где еС2\^ — С^з/Кеге - фактор-алгебра, Кеге - ядро гомоморфизма е. При отображении с СРТ группа исходной алгебры редуцируется на одну из своих подгрупп. Дискретные симметрии на фактор-представлениях алгебры ассоциированной с пространством М1,4, изучаются в п. 4.8.5.

В-девятых, развитый метод позволяет изучать дискретные симметрии и их групповые структуры для физических полей без обращения к анализу релятивистских волновых уравнений. Первой задачей, естественным образом возникающей в данном контексте, является исследование СРТ группы для спинорного поля в пространстве де Ситтера [251, 252], а также построение СРТ групп для полей произвольного сгшна.

Определение полной системы представлений универсальной накрывающей собственной группы Лоренца, каждое представление которой ассоциировано с соответствующей алгеброй Клиффорда, позволяет применить на этой системе периодичность Атьи-Ботта-Шапиро. В п. 4.10 показывается, что в случае комплексных представлений действие супергруппы Брауэра-Уолла, связанной с периодичностью но модулю 2 комплексных алгебр Клиффорда, эквивалентно суперсимметрии, т.е. это действие переводит фермионы в бозоны и обратно. В случае вещественных представлений имеет место более высокоградуированная периодичность по модулю 8, а связанная с ней супергруппа Брауэра-Уолла приводит к новой симметрии, ранее неизвестной в физике частиц, теоретическое предсказание которой является центральным пунктом четвертой главы.

Теоретическая и методологическая основа диссертации состоит из трех блоков: теория представлений групп и специальные функции, теория релятивистских волновых уравнений и теория алгебр Клиффорда. Методы теории представлений групп и теории специальных функций использовались автором в первых двух главах при исследовании матричных элементов представлений группы де Ситтера и ее подгрупп. Наибольшее влияние на это исследование оказали методы, изложенные в основополагающих работах Виленкина и Климыка [28, 29, 260, 45, 46, 173]. Следует также отметить работы Миллера и Талмана по теории специальных функций [198, 235]. К этому кругу вопросов естественным образом примыкают задачи гармонического анализа на однородных пространствах [50, 229, 224, 42, 43, 215, 262]. Методы теории релятивистских волновых уравнений использовались автором в третьей главе при исследовании волновых уравнений на однородных пространствах. Теоретическая и методологическая основа третьей главы опирается главным образом на методы, развитые в работах Гельфанда, Яглома, Минлоса и Наймарка [31, 33, 51] но теории релятивистски-инвариантных уравнений. Следует отметить, что первым "волновым" уравнением на однородном пространстве было рассмотренное авторами книги [33] уравнение, инвариантное относительно группы трехмерных вращений, решения которого искались в виде ряда по присоединенным сферическим функциям на поверхности двумерной вещественной сферы (однородное пространство группы SU(2)). Следует отметить также работы Багрова и Гитмана [89] по поиску точных решений релятивистских волновых уравнений. Методы теории алгебр Клиффорда используются в четвертой главе, а также в приложении А [155, 156]. Теоретическая и методологическая основа этих разделов опирается на работы Рашевского [58, 59], в которых впервые было дано глубокое и систематическое изложение теории автоморфизмов алгебр Клиффорда. К теоретическим основам четвертой главы следует отнести работы Широкова [72, 73] и Дабровского [126] по групповой структуре дискретных преобразований, а также работы Салингароса и Брадепа по теории экстрасиециальных конечных групп [219, 104]. Общий математический фундамент четвертой главы и приложения составляют монографии Шевалле [118], Портеуса [206, 207], Будинича и Траутмана [110], Крюмей-ролля [122] и Лоунесто [186].

По мнению автора научная новизна полученных результатов состоит в следующем.

• Определение матричных элементов и сферических функций представлений групп 80о(1,3), 80(4), Э0о(1,4) посредством гиперкомплексных углов спи-норных групп 8рш+(1,3) ~ ЭЬ(2, С), 8рт(4) ~ 8и(2) <8) 811(2), врт+(1,4) ~ 8р(1,1) и теоремы сложения обобщенных сферических функций.

• Исследование сходимости внутренних произведений ДГ-частичных состояний квантовой системы в терминах гиперсферических функций.

• Построение обобщенных волновых функций и волновых уравнений для полей вида (/,0) © (0,1) на однородных пространствах групп 8О0(1,4), О0(1,4) = 80о(1,4) 0Т5 и нахождение их решений в виде рядов по присоединенным гиперсферическим функциям, определенным на поверхности комплексного шара.

• Определение метода вторичного квантования на однородных пространствах группы де Ситтера.

• Построение аналога квантовой электродинамики на однородном пространстве

М8.

• Построение волновых уравнений для произвольных спиновых цепочек, т.е. для полей вида (¿1, ¿2) © (¿2, к), на однородных пространствах групп 8О0(1,4), Оо(1,4) и нахождение их решений в виде рядов по обобщенным гиперсферическим функциям.

• Представление базовых дискретных симметрий квантовой теории поля, таких как инверсия пространства Р, обращение времени Т и зарядовое сопряжение С инволютивными автоморфизмами алгебр Клиффорда.

• Исследование групповой структуры дискретных преобразований методами теории алгебр Клиффорда.

• Определение СРТ групп для полей произвольного спина и расширение универсальных накрывающих ортогональных групп.

• Предсказание циклических зависимостей по модулю 8 в физике частиц, определяемых действием супергруппы Врауэра-Уолла на системе представлений универсальной накрывающей собственной группы Лоренца.

• Определение СРТ структур на фактор-представлениях спинорных групп.

12

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация" (Томский педагогический университет, Томск, 5-9 июля 2010г.), на международной Боголюбовской конференции "Проблемы теоретической и математической физики" (Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 21-27 августа 2009г.), на Всероссийской конференции по математике и механике (Томский государственный университе т, Томск, 22-25 сентября 2008г.), на шестой сибирской конференции "Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 15-21 июля 2007г.), на международной конференции 'Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007г.), на второй международной конференции "Суперинте-грируемые системы в классической и квантовой механике" (Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 27 июня - 1 июля 2005г.), на семинаре "Симметрии и интегрируемые системы" (Объединенный, институт ядерных исследований, Дубна, 15 октября 2004г., руководитель семинара А. Н. Сисакян), на пятой сибирской конференции "Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 14-20 июня 2004г.), на четвертой сибирской конференции "Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 28-31 июля 2002г.), на IV Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета, Новокузнецк, 1-4 декабря 2001г.), на межотраслевой научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета, Новокузнецк, 17-18 ноября 2000г.), на межрегиональной научно-методической конференции "Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса" (Анжеро-Судженский филиал Кемеровского государственного университета, Анжеро-Судженск, 18 ноября 2000г.). на третьей сибирской конференции "Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем" (Институт математики СО РАН, Новосибирск. 20-22 июня 2000г.), на международной конференции "Геометрия и приложения" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 13-16 марта 2000г.), на IV международной конференции "Геометризация физики" (Казанский госуниверситет, Казань, 4-8 октября 1999г.).

13

По теме диссертационной работы автором опубликованы 39 научных работ общим объемом 1154 страницы, в том числе: статей — 31, из них в рекомендованных ВАК журналах — 11 статей общим объемом 345 страниц.

Заключение

Построение квантовой теории поля на однородных пространствах группы де Сит-тера, а также исследование групповой структуры дискретных преобразований обобщенных волновых функций, на протяжении всей работы являлось главной темой настоящего диссертационного исследования. Перечислим теперь основные результаты, полученные в ходе предпринятого исследования.

• Определены гиперкомплексные углы Эйлера для спинорных групп 8рт+(р, д). Как частный случай введены кватернионные углы для группы 8рт+(1,4) ~ 8р(1,1) (универсальное накрытие однородной группы де Ситтера 30о(1,4)), комплексные углы для группы 8рт+(.1,3) с^ ЭЬ(2, С) (универсальное накрытие однородной группы Лоренца 8О0(1,3)) и двойные углы для группы Эрт(4) ~ Би(2) ® 811(2) (универсальное накрытие группы 80(4)).

• Определены однородные пространства для групп 8О0(1,4) и ее иодгрухгп 80о(1,3) и ЭО(4) в зависимости от стабилизатора Н.

• Введены гиперсферические функции на однородных пространствах группы 80о(1,3) как функции представлений класса 1 относительно стабилизатора Н. Установлены рекуррентные соотношения между этими функциями. Найден явный вид гиперсферических функций основной и дополнительной серий бесконечномерных представлений группы 80о(1,3).

• Определены гииерсферические функции на однородных пространствах группы 30(4). Показано, что матричные элементы представлений группы Э0(4) выражаются в виде ряда от произведений двух гипергеометрических функций.

• Исследована структура дифференциальных операторов на группе Эр(1,1). Операторы Лапласа-Бельтрами и Казимира группы Эрт+(1,4) ~ 8р(1,1) выражены через кватернионные углы.

Введены гиперсферические функции конечномерных представлений тта однородных пространствах группы SO0(l,4). Установлено, что матричные элементы представлений группы SOo(l,4) допускают факторизацию относительно подгрупп SO0(l,3) и SO(4). Показано, что в этом случае гиперсфер>Их1еские функции выражаются в виде ряда от произведений трех ги пер геометра ч ее к их функций.

Найден явный вид гиперсферических функций основной серии бесконечномерных представлений группы SOo(l,4) в базисе Диксмье-Штрема. Дана классификация однородных пространств неоднородной группы де Сит-тера Оо(1,4) — SO0(l,4) О Т5 в зависимости от стабилизатора однородной группы S0o(l,4). Определены обобщенные волновые функции на этих пространствах.

Сформулирована основная задача гармонического анализа на однорсущ ых пространствах группы 0о(1,4).

Введен лагранжев формализм и полевые уравнения на 15-м ер и ом. групповом многообразии М\ъ = К1'4 х 6ю группы О0(1,4). Определены волновые уравнения для полей вида (1,0)® (О, I). Поставлена краевая задача для комплексного шара в подмногообразии A4S. Найдены решения волновых уравнений дЛЯ ио лей (1,0)ф(0,1) в виде рядов rio присоединенным гиперсферическикг функциям определенным на поверхности комплексного шара.

Определены волновые уравнения для основной серии бесконечномерных представлений группы SOo(l,3).

Найдены точные решения для полей (1/2,0) ф (0,1/2) и (1, 0) ф (О, 1) на однородном пространстве Л48.

Определен метод вторичного квантования на однородных пространствах группы де Ситтера. Введены пространства Фока для бозе- и ферми-частиц нормальные произведения и хронологические операторы квантованных полей - Проквантованы поля (1/2, 0) Ф (0,1/2) и (1,0) ф (0,1). > Введен аналог ¿/-матрицы на многообразии Л48. Сформулирована квантовая электродинамика на многообразии Показано, что элементы ¿"-матрицы задаются сходящимися интегралам и (аналогами интегралов Фейнмана на Л4%).

Определены волновые уравнения для произвольных спиновых цепочек, включающих в себя схемы зацеплений Бабы-Гельфанда-Яглома как частный случай. Найдены решения для полей (/1, /о) © (72, ¿1) в виде рядов по обобщенным гиперсферическим функциям.

Зарядовое сопряжение С представлено псевдоавтоморфизмом Л —> Л алгебры Сп, задающим комплексное сопряжение на совокупности комплексных алгебр Клиффорда. Найдено строение спинорного представления псевдоавтоморфизма Л —» Л.

Введена расширенная группа автоморфизмов Ех1:(0?) = {Ы,*. ,*, алгебры СО.

Определено строение спинорных представлений автоморфизмов Л —» Л*, Л ~»

Исследована структура группы ЕхЬ(С£). Показано, что существуют 64 различных реализаций групп Ех1(СГ). Установлена связь групп ЕхЬ(С£) с экстраспециальными конечными группами.

Дано расширение универсальных накрытий ортогональных групп (СРТ структуры), соответствующее расширению от группы фундаментальных автоморфизмов АхЛ((У) до Ех1;(0?).

Определена СРТ группа для спинорного поля в пространстве де Ситтера. Исследованы СРТ группы для спинорных полей в гиперпространствах Е4'1 и К1'4 с взаимно обратными сигнатурами (+, +,+,+,—) и (—,—,—,—,+), соответственно. Показано, что обе СРТ группы изоморфны друг другу. Исследованы СРТ группы полей высшего спина (1,0) © (0,1), (3/2,0) ® (0,3/2) и (1,1/2) ф (1/2,1).

Определены действия супергрупп Брауэра-Уолла, приводящих к периодическим зависимостям но модулю 2 и модулю 8 в физике частиц, на комплексных и вещественных представлениях универсальной накрывающей собственной группы Лоренца.

Изучена СРТ группа, на фактор-представлениях алгебры О?ассоциированной с пространством М1,4.

Изучены СРТ группы на фактор-представлениях спинорных групп.

• Определены фактор-представления универсальной накрывающей собственной группы Лоренца и сопоставлены эти представления частицам с нарушенными дискретными симметриями.

Рассмотрим теперь возможности дальнейшего развития и обобщения полученных результатов. Во-первых, требуется дальнейшее развитие квантовой теории поля на однородных пространствах группы де Ситтера, включая также и другие группы, например, представляет большой интерес рассмотрение квантовополевых моделей на однородных пространствах конформной группы. Как показал Сигал [63], алгебра Ли неоднородной группы Лоренца может быть получена деформацией из конформной алгебры Ли о (4,2). В свою очередь, конформная алгебра Ли является "жесткой", т.е. не может быть получена деформированием другой алгебры Ли. 15-мерная алгебра о (4, 2) является алгеброй Ли некомпактной вещественной ортогональной группы 0(4,2) в шестимерном пространстве (эта группа локально изоморфна Би(2,2)). Более того, для конформной группы 0(4,2) выполняется условие энерго-положительпости, в отличие от групп 0(5,1) и 0(3,3). Во-вторых, метод определения матричных элементов и сферических функций представлений групп на основе гиперкомплексных расширений Зрш+(р, д) и теоремы сложения сферических функций, развитый в настоящей диссертации для групп 8О0(1,3). БО(4) и 8О0(1; 4), допускает естественное обобщение и для более сложных групп, таких как группа анти-де Ситтера, конформная группа и т.д. С другой стороны, как было показано выше, существует тесная взаимосвязь между гиперкомплексными углами групп Эрт +(р, д), кольцами делений алгебр СР* и гипергеометрическими функциями многих переменных. Эта связь позволяет ввести в теорию представлений групп гипергеометрические функции многих переменных, такие как функции Аггаеля, Лауричеллы и т.д., а также рассматривать эти функции, следуя терминологии [28, 29], как функциональный аспект теории представлений соответствующих групп. В-третьих, развитый в диссертации метод построения волновых уравнений на однородных пространствах и нахождения их решений в виде рядов по гиперсферическим функциям следует распространить на остальные однородные пространства группы де Ситтера из списка, приведенного в п. 2.4, в первую очередь, на групповое многообразие = х ©ю неоднородной группы О0(1,4) (наиболее сложный и интересный случай). С этой целью следует рассмотреть волновые уравнения на ЛЛ\ъ как для конечномерных, так и бесконечномерных представлений группы

345

80о(1,4). С другой стороны, поля вида (1\, 12) Ф 12) как наиболее общие схемы зацеплений и соответствующие им волновые уравнения включают в себя распадающиеся и нераспадающиеся волновые уравнения как частные случаи. Как известно, ноля высшего спина и, соответственно, составные "элементарные"' частицы могут быть описаны в рамках зацепляющихся представлений группы 80о(1,3) (цепочки Бабы-Гельфанда-Яглома). Стабильная составная частица соответствует нераспадающемуся уравнению, которое определяется в рамках зацепляющегося представления, и напротив, нестабильные частицы описываются распадающимися уравнениями. С физической точки зрения указанная взаимосвязь представляется наиболее интересным и перспективным развитием предложенного в диссертации метода. В-четвертых, дальнейшим развитием и обобщением алг ебраической схемы описания дискретных симметрий, предложенной в диссертации, будет рассмотрение СРТ групп с учетом фазовых множителей.

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. - М.: Наука, 1989.

2. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 19G9.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966.

5. Белиничер В. И. Релятивистские волновые уравнения и лагранжев формализм для частиц произвольного спина Ц ТМФ. 1974. - Т. 20. - С. 320-337.

6. Березин Ф. А., Кац Г. И. Группы Ли с комму тиру ющими и антикомм утирую-ищми параметрами // Мат. сб. 1970. - Т. 82. - С. 343-359.

7. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1989.

8. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Квантовые поля. — М.: Наука, 1993.

9. Ван дер Варден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике. — Харьков: ОНТИ, 1938.

10. Варламов В. В. О спинорпых полях на поверхностях вращений// Труды IV международной конференции "Геомегризацпя физики", С. 248-253 (Казанский государственный университет, Казань, 4-8 октября 1999г.).

11. Варламов В. В. Оператор Дирака на поверхностях погруок-.енных в 4-мерные многообразия// Тезисы докладов международной конференции '"Геометрия и приложения", С. 84-85 (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 13-16 марта 2000г.).

12. Варламов В. В. Дискретные симметрии на пространствах факт,ор-представлений группы Лоренца Ц Математические структуры и моделирование. 2001. - Вып. 7. - С. 114-127.

13. Варламов В. В. Точное решение для поля (1,0) ф (0,1) в терминах функций на группе Пуанкаре Ц Математические структуры и моделирование. — 2005. -Вып. 15. С. 74-91.

14. Варламов В. В. Сферические функции на однородных пространствах группы де Ситтера Ц Тезисы докладов Всероссийской конференции но математике и механике, с. 90 (Томский государственный университет, Томск, 22-25 сентября 2008г.).

15. Вердиев Й. А., Дадашев Л. А. Матричные элементы унитарного представления группы Лоренца Ц ЯФ. -1967. Т. 6.- С. 1094-1099.

16. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. — М.: Наука, 1965.

17. Виленкин Н. Я., Климык А. У. Представления групп Ли и специа/ььные функции // Итоги науки и техники. Сер. современ. пробл. мат. Фу идам, направления. ВИНИТИ. 1990. - Т. 59. - С. 145-264.

18. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и ^-разложение. — AI.: Мир, 1975.31 . Гельфанд И. М., Яглом A.M. Обилие релятивистски инвариантные уравнения и бесконечномерные представления группы Лоренца // ЖЭТФ. 1948. - Т. 18.-С.703-733.

19. Гельфанд И. М., Шаниро З.Я. Представления группы вращений трехмерного пространства и их применения// УМН. 1952. - Т. 7. - С. 3-117.

20. Гельфанд И. М., Минлос P.A., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. — М.: Физматлит, 1958.

21. Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Обобщенные функции, Т. 5. Интегральная геометрия и связанные с ней проблемы представлений. — М.: Физматгиз, 1962.

22. Гинзбург В. Л., Тамм И. Е. К теории спина Ц ЖЭТФ. 1947. - Т. 17. - С. 227237.36| Голодец В. Я. Матричные элементы неприводимых унитарных и спинорных представлений собственной группы Лоренца// Весщ АН БССР. 1961. - Т. 1.- С. 19-28.

23. Дао Вонг Дык, Нгуен Ван Хьеу Матричные элементы преобразования Лоренца для унитарного представления// ДАН СССР. 1967. - Т. 173. - С. 1281-1283.

24. Дирак П. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 480 с.

25. Долгинов А.3. Релятивистские сферические функции// ЖЭТФ. 1956. - Т.30.- С.746-755.

26. Долгинов А. 3., Топтыгин И. Н. Релятивистские сферические функции. II// ЖЭТФ. 1959. - Т. 37. - С. 1441-1451.

27. Долгинов А. 3., Москалев А. Н. Релятивистские сферические функции. III// ЖЭТФ. 1959. - Т. 37. - С. 1697-1707.

28. Желобенко Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах. — М.: Наука, 1974.

29. Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп Ли. — М.: Наука, 1983.

30. Каган В. Ф. О некоторых системах чисел, к которым приводят лоренцевы преобразования, части 1,2, изд. Ин-та матем. и мех. при МГУ, Москва (1926).

31. Климык А. У. Матричные элементы и коэффициенты Клебша-Гордана представлений групп. — Киев: Наукова думка, 1979.

32. Климык А. У., Качурик И.И. Вычислительные методы в теории представлений групп. — Киев: Выша школа, 1986.

33. Коломыцев В. И. Разложение неприводимых унитарных представлений группы SL(2, С), ограниченных на погруппу SU(1,1). Дополнительная серия Ц ТМФ. -1970. Т. 2. - С. 210-229.

34. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. —- М.: ГТТИ, 1951.

35. Малкин H.A., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. — М.: Наука, 1979.

36. Менский М. Б. Метод индуцированных представлений: пространство-время и концепция частиц. — М.: Наука, 1976.

37. Молчанов В. Ф. Гармонический анализ на однородных пространствах ]] Итоги науки и техники. Сер. современ. пробл. мат. Фундам. направления. ВИНИТИ. -1990. Т. 59. - С. 5-144.

38. Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физматлиг, 1958.

39. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-сгшнорное исчисление и релятивистские поля. — М.: Мир, 1987.

40. Петров А. 3. Пространства Эйнштейна. — М.: Физматгиз, 1961.

41. Плетюхов В. А., Стражев В. И. О диракоподобных релятивистских волновых уравнениях// Изв. вузов. Физика. 1983. - №12. - С. 38-41.

42. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дотюлни-• тельные главы. — М.: Наука, 1986.

43. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. — М.: Физматлит, 2002.

44. Райдер Л. Квантювая теория поля. — Волгоград: Платон, 1998.

45. Рашевский П. К. Теория спиноров// УМН. 1955. - Т. 10. - С. 3-110.351

46. Рашевский П. К. О математических основах квантовой электродинамики// ■ УМН. 1958. - Т. 13. - С. 3-110.

47. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии. — М.: Гостехиздат, 1955.

48. Румер Ю.Б. Исследования по 5-оптике. — М.: Физматгиз, 1956.

49. Румер Ю.Б., Фет А. И. Теория групп и квантованные поля. — М.: Наука, 1977.

50. Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики. — М.: Мир, 1968.

51. Силагадзе 3. К. О внутренней четности античастиц // ЯФ. 1992. - Т. 55. -С. 392-396.

52. Сладь Л. М. О пространственно-подобных решениях уравнений типа Гельфанда-Яглома // ТМФ. 1970. - Т. 5. - С. 25-37.

53. Смородинский Я. А., Хусар М. Представления группы Лоренца и обобщение спиральных состояний// ТМФ. 1970. - Т. 4. - С. 328-340.

54. Смородинский Я. А., Хусар М. Унитарные представления группы Лоренца// Физика эл. частиц и атом. ядра. 1972. - Т. 3. - С. 223-237.

55. Фущич В. И., Кривский И. Ю. О волновых уравнениях в 5-пространстве Минков-ского // Препринт ИТФ-68-72, Киев, № 72, 1968, 38 с.

56. Фущич В. И. Лредставле?шя полной неоднородной группы де Ситтера и уравнения в пятимерном подходе. I// ТМФ. 1970. Т. 4. - С. 360-382.

57. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. — М.: ИЛ, 1963.

58. Широков Ю. М. Релятивистская теория спина// ЖЭТФ. 1951. - Т. 21. -С.748-760.

59. Широков Ю. М. Теоретико-групповой анализ оснований релятивистской квантовой механики. IV, V // ЖЭТФ. 1958. - Т. 34. - С. 717-724; - 1959. - Т. 36. -С. 879-888.

60. Широков Ю. М. Пространственные и временньье отражения в релятивистской теории// ЖЭТФ. 1960. - Т. 38. - С. 140-150.

61. Эскин Л. Д. К теории релятивистских сферических функций // Научные докл. высш. школы. 1959. - Т. 2. - С. 95-97.

62. Эскин Л. Д. О матричных элементах неприводимых представлений группы Лоренца // Изв. вузов. Математика. — 1961. Т. 6. - С. 179-184.

63. Allen В. Vacuum states in de Sitter space // Phys. Rev. D. 1985. - V. 32. - P. 31363164.

64. Altaisky M.V. Wavelet-Based Quantum Field Theory // SIGMA. 2007. - V. 3. -P. 105-118.

65. Altaisky M.V. Quantum field theory without divergences // Phvs. Rev. D. 2010. - V. 81. - 125003.

66. Amar V., Dozzio U. Gel'fand-Yaglom Equations with Charge or Energy Density of Definite SignU Nuovo Cimento A. 1972. - V. 11. - P. 87-99.

67. Andrews M., Gunson J. Complex Angular Momenta and Many-Particle Slates. 1. Properties of Local Representations of the Rotation Group /] J. Math. Phys. 1964. -V. 5. - P. 1391-1400.

68. Appell P., Kainpe de Feriet M.J. Fonctions hypergeometriques et hyperspheques. Polynomes d'Hermite. — Gauthier-Villars, Paris, 1926.

69. Arodz H. Metric tensors, Lagrangian formalism and Abelian gauge field on the Poincare group¡j Acta Phys. Pol. B. 1976. - V. 7. - P. 177-190.

70. Ashtekar A. Lectures on Non-perturbative Canonical Gravity. — World Scientific, New Jersey, 1991. P. 365.

71. Ashtekar A., Lewandowski L., Marolf D., Mourao J., Thiemann T. Quantization of diffeomorphism invariant theories of connections with local degrees of freedom // J. Math. Phys. 1995. - V. 36. - P. 6456-6469.

72. Atiyah M.F., Bott R., Shapiro A. Clifford modules// Topology. 1964. - V. 3, (Suppl. 1). - P. 3-38.

73. Baez J.C. The OctonionsH arXiv: math.RA/0105155.

74. Bacry H., Nuyts J. Mass-Spin Relation in a Lagrangian Model/ Phys. Rev. 1967. -V. 157. - P. 1471-1472.

75. Bacry H., Kihlberg A. Wavefunctions on homogeneous spaces // J. Math. Phys. 1969.- V.10. P. 2132-2141.

76. Bagrov B.G., Gitman D.M. Exact solutions of relativistic wave equations. — Dortrecht-Boston-London, Academic Publishers, 1989.

77. Bargmann V. Irreducible unitary representations of the Lorentz group ¡j Ann. of Math.- 1947. V. 48. - P. 568-640.

78. Bargmann V., Wigner E. P. Group theoretical discussion of relativistic wave equations ¡j Proc. Nat. Acad. USA. 1948. - V. 34. - P. 211-223.

79. Bartesaghi P., Gazeau J. P., Moschella U., Takook M. V. Dirac fields in the de Sitter model // Class. Quant. Grav. 2001. - V.18. - P. 4373.

80. Barut A. O, Raczka R. Theory of Group Representations and'Applications. — PWN, Warszawa, 1977.

81. Berg M., DeWitt-Morette C., Gwo S., Kramer E. The Pin Groups in Physics: C. P, and T // Rev. Math. Phys. 2001. - V.13. - P. 953-1034.

82. Bhabha H. J. Relativistic Wave Equations for the Elementary Particles // Rev. Mod.

83. Phys. 1945. - V. 17. - P. 200-216.

84. Bialynicki-Birula I. Photon wave function// Progress in Optics. Vol. XXXVI (Ed. E. Wolf). - Elsevier, Amsterdam, 1996. - P. 1-46.

85. Biedenharn L. C., Braden H. W, Truini P., van Dam H. Relativistic wave]'unctions on spinor spaces // J. Phys. A: Math. Gen. 1988. - V. 21. - P. 3593-3610.

86. Bisiacchi G., Budini P., Calucci G. Majorana Equations for Composite Systems / Phys. Rev. 1968. - V. 172. - P. 1508-1515.

87. Blau M., Dabrowski L. Pin structures on manifolds quotiented by discrete groups// J. Geometry and Physics. 1989. - V. 6. - P. 143-157.

88. Bochner S. Formal Lie Groups// Ann. Math. 1946. - V. 47. - P. 192-212.

89. Boyer C. P. Matrix Elements for the Most Degenerate Continuous Principal Series of Representations of SO{p, 1) // J. Math. Phys. 1971. - V. 12. - P. 1599-1603.

90. Boyer C. P., Fleming G. N. Quantum field theory on a seven-dimensional homogeneous space of the Poincare group // J. Math. Phys. 1974. - V. 15. - P. 1007-1024.

91. Bracken A. J. Commutation and anti-commutation relations for a class of Gelfand-Yaglom matrices // J. Phys. A.: Math. Gen. 1975. - V.8. - P. 800-807.

92. Braden H. W. N-dimensional spinors: Their properties in terms of finite groups// J. Math. Phys. 1985. - V. 26. - P. 613-620.

93. Brauer R., Weyl H. Spinors in n dimensions// Amer. J. Math. 1935. - V. 57. -- P. 425-449.107. de Broglie L. Theorie de particules a spin (methode de fusion) — Paris, 1943.

94. Bros J., Moschella U. Two-point Functions and Quantum Fields in de Sitter Universe // Rev. Math. Phys. 1996. - V. 8. - P. 327-392.

95. Buchbinder I. L., Gitman D. M., Shelepin A. L. Discrete symmetries as automorphisms of proper Poincare group // Int. J. Theor. Phys. 2002. - V. 41. - P. 753-790.354

96. Budinich P., Trautman A. An introduction to the spinorial chessboard// J. Geometry and Physics. 1987. - V.4. - P. 363-390.

97. Budinich P., Trautman A. The Spinorial Chessboard — Springer, Berlin, 1988.

98. Bunch T. S., Davies P. C. W. Quantum field theory in de Sitter space: Renormalization by point splitting H Proc. Roy. Soc. (London) A. 1978. - V. 360. - P. 117-134.

99. Cabo A., Cervantes D. B., Perez Rojas H., Socolovsky M. Remark on charge conjugation in the non j^elativistic limit // Int. J. Theor. Phys. 2006. V. 45. -P. 1965-1976.

100. Carballo Perez B., Socolovsky M. Charge Conjugation from Space-Time Inversion // Int. J. Theor. Phys. 2009. - V. 48. - P. 1712-1716.

101. Carballo Perez B., Socolovsky M. Irreducible representations of the CPT groups in QED // arXiv: 0906.2381 math-ph].

102. Carballo Perez B., Socolovsky M. The CPT group of the spm-3/2 field // arXiv: 1001.0751 [hep-ph.,

103. IT. Cartan E. Sur la détermination d'un système orthogonal complet dans un espace dé Riemann symétrique clos// Rend. Cire. Mat. Palermo. 1929. - V.53. - P. 217-252,

104. Chamblin A. On the Obstructions to Non-Cliffordian Pin Structures// Commun. Math. Phys. 1994. - V. 164. - P. 67-87.

105. Chevalley C. The Algebraic Theory of Spinors. — Columbia University Press, New York, 1954.

106. Chevalley C. The construction and study of certain important algebrasfl Publications of Mathematical Society of Japan. №1. - Herald Printing, Tokyo, 1955.

107. Chisholm J.S.R., Farwell R. S. Properties of Clifford Algebras for Fundamental Particles// Clifford (Geometric) Algebras (Ed. W. Baylis) Boston. Birkhauser, 1996. - P. 365-388.

108. Cornwell J. F. Group Theory in Physics. — Academic Press, San Diego, 1984.

109. Cruineyrolle A. Orthogonal and Symplectic Clifford Algebras, Spinor Structures. — Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1991.

110. Dfjbrowski L., Percacci R. Spinors and Diffeomorphisms// Commun. Math. Phys. -. 1986. V. 106. - P. 691-704.

111. Dabrowski L., Percacci R. Diffeomorphisms, orientations, and pin structures in two dimensions // J. Math. Phys. 1987. - V. 29. - P. 580-593.

112. D^browski L., Trautman A. Spinor structures on spheres and projective spaces// J. Math. Phys. 1986. - V. 27. - P. 2022-2088.

113. Dgbrowski L. Group Actions on Spinors. — Bibliopolis, Naples, 1988.

114. Da Silveira Dirac-like equations for the photon // Z. Naturforsh A. 1979. - V. 34. -P. 646-647.

115. Dirac P. A. M. The quantum theory of the emission and absorption of radiation// Proc. Roy. Soc. (London) A. 1927. - V. 114. - P. 243-265.

116. Dirac P. A.M. The quantum theory of dispersion// Proc. Roy. Soc. (London) A. -1927. V. 114. - P. 710-728.

117. Dirac P.A.M. The electron wave equation in de Sitter space// Annals of Math. -1935. V.36. - P. 657.

118. Dirac P. A. M. Relativistic Wave Equations // Proc. Roy. Soc. (London) A. 1936. -V. 155. - P. 447-459.

119. Dixmier J. Representations integrables du groupe de De Sitter // Bull. Soc. math. France. 1961. - V. 89. - P. 9-41.

120. Dolgov A.D., Einhorn M.B., Zakharov V.I. The Vacuum of de Sitter Space // Acta Phys. Polon. B. 1995. - V. 26. - P. 65-90.

121. Drechsler W. Geometro-stohastically quantized fields with internal spin variables// J. Math. Phys. 1997. - V. 38. - P. 5531-5558.

122. Esposito S. Couariant Mayorana Formulation of Electrodynamics // Found. Phys. -1998. V. 28.- P. 231-244.

123. Exton H. Multiple Hypergeometric Functions and Applications. — Ellis Horwood, Chicester, 1976.

124. Figueiredo V. L., Rodrigues W.L., Jr., Oliveira E. C. Covariant, algebraic, and operator spinors// Int. J. Theor. Phys. 1990. - V. 29. - P. 371-395.

125. Figueiredo V. L., Rodrigues W. A., Jr., Oliveira E. C. Clifford algebras and the hidden geometrical nature of spinors // Algebras, Groups and Geometries. 1990. - V. 7. -P. 153-198.

126. Finkelstein D. Internal Structure of Spinning Particles // Phys. Rev. 1955. - V. 100. - P. 924-931.

127. Fischer J., Niederle J., Raczka R. Generalized Spherical Functions for the Noncompact, Rotation Groups // J. Math. Phys. 1966. - V. 7. - P. 816-821.356

128. Fierz M., Pauli W. On Relativistic Wave Equations of Particles of Arbitrary Spin in an Electromagnetic Field// Proc. Roy. Soc. (London) A. 1939. - V. 173. - P. 211-232.

129. Fock V. A. Konfigvrationsraum and zuieite Quant elung // Zs. f. Phys. -1932. V. 75.- P. 622-647.

130. Gazeau J. P., Renaud J. Takook M.V. Gupta-Bleuler quantization for minimally coupled scalar fields in de Sitter space jj Class. Quant. Grav. 2000. - V. 17. - P. 14151434.

131. Gell-Mann M., Ne'eman Y. The Eightfold Way. Benjamin, 1964.

132. Gersten A. Maxwell equations as one-photon quantum equation// Found. Phys. Lett.- 1998. V. 12. - P. 291-298.

133. Giannetto E. A Majorana-Oppenheimer Formulation of Quantum Electrodynamics // Lettere al Nuovo Cimento. 1985. - V. 44. - P. 140-144.

134. Gitman D. M., Shelepin A.L. Fields on the Poincare Group: Arbitrary Spin Description and Relativistic Wave Equations // Int. J. Theor. Phys. 2001. - V. 40, №3. - P. 603-684.

135. Gitman D.M., Shelepin A.L. Z-deseription of the relativistic spin// Hadronic J. -2003. V. 26. - P. 259-274.

136. Good R. H. Particle aspect of the electromagnetic field equations// Phys. Rev. 1957.- V. 105, P. 1914.

137. Grandpeix J.-Y. Lurgat F. Particle description of zero energy vacuum // Found. Phys.- 2002. V. 32. - P. 109-158.

138. Grundling EL, Hurst C. A. Algebraic quantization of systems with a gauge degeneracy // Commun. Math. Phys. 1985. - V. 98. - P. 369-390.

139. Gsponer A., Hurni J.-P. Quaternions in mathematical physics (1): Alphabetical bibliography / arXiv: math-ph/0510059.

140. Gsponer A., Hurni J.-P. Quaternions in mathematical physics (2): Analytical bibliography // arXiv: math-ph/0511092.

141. Giulini D., Marolf D. A Uniquiness Theorem for Constraint Quantization // Class. Quant. Grav. 1999. - V. 16. - P. 2489-2505.

142. Hai N. X. Harmonic analysis on the Poincare group, I. Generalized, matrix elements / Commun. Math. Phys. 1969. - V. 12. - P. 331-350.

143. Hai N. X. Harmonic analysis on the Poincare group, II. The Fourier transform¡j . Commun. Math. Phys. 1971. - V. 22. - P. 301-320.

144. Henneaux M. Teitelboim C. Quantization of Gauge Systems. — Princeton University Press, Princeton, 1992. — P. 423.

145. Hestenes D., Sobczyk G. Clifford Algebra to Geometric Calculus. — Dordrecht, Reidel, 1984.

146. Higuchi A. Quantum linearization instabilities of de Sitter spacetime. II !j Class. Quant. Grav. 1991. - V. 8. - P. 1983-2004.

147. Hurwitz A. Uber die hComposition der quadra,tischen Formen ¡j Math. Ann. 1923. -V. 88. - P. 1-25.

148. Huszar M. Angular Momentum and Unitary Spinor Bases of the Lorentz Group jf ' Preprint JINR. №E2-5429. - Dubna, 1970.

149. Huszar M., Smorodinsky J. Representations of the Lorentz Group on the Two-Dimensional Complex Sphere and Two-Particle States// Preprint JINR. № E2-5020. — Dubna, 1970.

150. Huszar M. Spherical functions of the Lorentz group on the hyperboloids // Acta Phys. Hung. 1985. - V. 58. - P. 175-185.

151. Huszar M. Addition theorems for the spherical functions of the Lorentz group ¡j Acta Phys. Hung. 1988. - V. 64. - P. 361-378.1170. Helgason S. Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces. — Academic Press, New York, 1978.

152. Inagaki T. Quantum-mechanical approach to a free photon ¡j Phys. Rev. A. 1994. -V. 49. - P. 2839-2843.

153. Joos II. Zvr darstellungstheorie der inhomogenen Lorentzgrouppe als grundlade quanfcnmechanische kinematick// Fortschr. Phys. 1962. - V. 10. - P. 65.

154. Jordan P. Zur Quanterimechanik der Gcisenlartung// Zs. Pliys. 1927. - V. 44. -P. 473 480.

155. Jordan P. Wigner E. Uber das Pauhsche Aquivalenzucrbot// Zs. Phys. 1928. - V. 47.- P. 631-658.

156. Kachuryk I., Klimyk A. Etgenfv notion Expansions of Functions Describing Systems with Symmetries // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applicat ion,-,.- 2007. V. 3. - 84 pages.

157. Kaiser G. Quantum, Physics, Relativity, and Complex Spacetime: Towards a New Synthesis // arXiv: 0910.0352 matli-ph].

158. Karoubi M. K-Theory. An Introduction. — Springer-Verlag, Berlin, 1979.

159. Kililberg A. Fields on a homogeneous space of the Poincare group / Ann. Inst. Henri Poincare. 1970. - V. 13. - P. 57-76.

160. Klauder J.R., Skagerstam R.-S. Coherent States. Applications in Physics and Mathematical Physics. — World Scientific Publishing, Singapore, 1985.

161. Klauder J. Product Representations and the Quantization of Constrained Systems '/ arXiv: quant-ph/9811051.

162. Kovalev V.F. Shirkov D.V. The Dogolivobov renormalization group and solution symmetry in mathematical physics // Phys. Rep. 2001. - V. 352. - P. 219-249.

163. Kuo T.K. Internal-symmetry groups and their automorphisms] Phys. Rev. D. -1971. V.4. - P. 3620-3637.

164. Ivuzenko S. M., Lyakhovich S. L., Segal A. Yu. A geometric model of the arbitrary spin massive particle// Int. J. Mod. Phys. A. 1995. - V. 10. - P. 1529-1552.

165. Landsman N. Rieffel induction as generalized quantum Marsden-Weinstem reduction // J. Geom. Phys. 1995. - V. 15. - P. 285-319.

166. Lee T. D., Wiek G. C. Space inversion, time reversal, and other discrete symmetries // Phys. Rev. 1966. - V. 148. - P. 1385-1404.

167. Lipschitz R. Untersuchungen über die Summen von Quadraten. — Max Cohen und Sohn, Bonn, 1886.

168. Lounesto P. Scalar Products of Spinors and an Extension of Brau er-Wall Groups// Found. Phys. 1981. - V. 11. - P. 721-740.

169. Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors. — Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001.

170. Lurgat F. Quantum field theory and the dynamical role of spin // Physics. 1964. -V. 1. - P. 95.

171. Lj^akhovich S.L., Segal A.Yu., A. A. Sharapov A.A. Universal model of a D = 4 spinning particles // Phys. Rev. D. 1996. - V. 54. - P. 5223-5238.

172. Majorana E. Teoria relaMvistiea di particelle con momento intrínseco arbitrario ¡j Nuovo Cimento. 1932. - V. 9. - P. 335-344.

173. Majorana E. Scientific Papers, unpublished, deposited at the "Domus Galileana'", Pisa, quaderno 2, p.101/1; 3, P.ll, 160; 15, P.16;17, P.83, 159.

174. Manogue C. A., Schray J. Oetonionie representations of Clifford algebras and triality// Found. Phys. 1996. - V. 26. - P. 17-70.

175. Marolf D. Quantum Observables and Recollapsing Dynamics // Class. Quant. Grav. -1995. V. 12. - P. 1199-1214.

176. Marolf D. Refilled algebraic quantization: Systems with a single constraint // arXiv: gr-qc/9508015.

177. Marolf D., Morrison I.A. Group Averaging for de Sitter free fields,// Class. Quant. Grav. 2009. - V. 26. - P. 235-265.

178. Michel L. Invariance in quantum mechanics and group extension // Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics. — Gordon & Breach, New York, 1964. P. 135-200.

179. Mielke E. W. Quantenfeldtheorie im de Sitter-Raum // Fortschr. Physik. 1977. -V. 25. - P. 401-457.

180. Mignani R., Recami E., Baldo M. About a Dirac-Like Equation for the Photon according to Ettore Majorana// Lettere al Nuovo Cimento. 1974. - V. 11. - P. 568572.

181. Miller Jr. W. Lie Theory and Special Functions. — New York: Academic Press, 1968.,

182. Moradi S., Rouhani S., M. V. Takook M. V. Discrete Symmetries for Spinor Field in de Sitter Space // Phys. Lett. B. 2005. - V. 613. - P. 74-82.

183. Moses H. E. Solution of Maxwell's Equations in Terms of a Spinor Notation: the Direct and Inverse Problem// Phys. Rev. 1959. - V. 113. - P. 1670-1679.

184. Neumann J. von On infinite direct product, Compositio Math. 1938. - V. 6. - P. 1-77.

185. Newton T. D., Wigner E. P. Localized states for elementary systems If Rev. Mod. Phys.- 1949. V. 21. - P. 400.

186. Nilsson J., Beskow A. The concept of wave function and irreducible representations of the Poincare group // Arkiv for Fysik. 1967. - V. 34. - P. 307-324.

187. Oppenheimer J.R. Note on light quanta and the electromagnetic field// Phys. Rev. -1931. -V. 38. P. 725.

188. Perelomov A. Generalized Coherent States and Their Applications. — Springer-Verlag, Heidelberg, 1986.

189. Planat M. Three-qubit entangled em,beddings of CPT and Dirac groups within E& Weyl group // arXiv: 0906.1063 quant-ph].

190. Porteous I. R. Topological Geometry. — van Nostrand, London, 1969.

191. Porteous I. R. Clifford Algebras and Classical Groups. — Cambridge University Press, • Cambridge, 1995.

192. Radon J. Lineare Scharen orthogonaler Matrizen // Abh. Math. Seminar Hamburg. -1922. V. 1. - P. 1-24.

193. Rarita W. Schwinger J. On a theory of particles with half-integral spin// Phys. Rev.- 1941. V. 60. - P. 61.

194. Rieffel M. A. Induced representations of C*-algebras // Adv. Math. -1974. V. 13. -P. 176-257.

195. Rodrigues W. A., Figueiredo V. L. Real spin-Clifford bundle and the spinor structure of the spacetime// Int. J. Theor. Phys. 1990. - V.29. - P. 413-424.

196. Rodrigues W. A., Oliveira E. C. Dirac and Maxwell equations in the Clifford and spin-Clifford bundles// Int. J. Theor. Phys. 1990. - V. 29. - P. 397-412.

197. Rodrigues W. A., de Souza Q. A. G. The Clifford bundle and the nature of the gravitational field // Found. Phys. 1993. - V. 23. P. 1465-1490.

198. Rodrigues W. A., de Souza Q. A. G., Vaz J., Lounesto P. Dirac-Hestenes spinor fields in Riemann-Cartan spacetime// Int. J. Theor. Phys. 1996. - V. 35. - P. 1849-1900.

199. Riihl W. The Lorentz Group and Harmonic Analysis. — New York: Benjamin, 1970.

200. Sachs M., Scliwebel S.L. On covariant formulation of the Maxwell-Lorentz theory of eleetromagnetism // J. Math. Phys. 1962. - V. 3. - P. 843-848.

201. Salingaros N. Realization, extension, and classification of certain physically important groups and algebras // J. Math. Phys. 1981. - V. 22. - P. 226-232.

202. Salingaros N. On the classification of Clifford algebras and their relaiion to spinors in n dimensionsU J. Math. Phys. 1982. - V. 23, №1. - P. 1-7.

203. Salingaros N. The relationship between finite groups and Clifford algebras // J. Math. Phys. 1984. - V. 25. - P. 738-742.

204. Sciarrino A., Toller M. Decomposition of the Unitary Irreducible Representations of the Group SL(2,C) Restricted to the Subgroup SU(1,1)//J. Math. Phys. 1967. -V. 8. - P. 1252-1265.

205. Segal I.E., Zhou Z. Convergence of nonlinear massive quantum, field theory in the Einstein universe // Ann. Phys. 1992. - V. 218,№2. - P. 279-292.

206. Segal I.E., Zhou Z. Convergence of Quantum Electrodynamics in a Curved Deformation of Minkowski Space// Ann. Phys. 1994. - V. 232,№1. - P. 61-87.

207. Shaw R. Finite geometry, Dirac groups and the table of real Clifford algebras // Univ. of Hull Maths Research Report. 1994. - V. 7, №1.

208. Sherman T. 0. Fourier analysis on the sphere // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. -- V. 209. - P. 1-31.

209. Shvedov O.Yu. On Correspondence of BRST-BFV, Dirac and R.efined Algebraic Quantization of Constrained Systems // Ann. Phys. 2002. - V. 302. - P. 2-21.

210. Silberstein L. Elektromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung// Ann. d. Phys. 1907. - V. 22. - P. 579.

211. Sipe J.E. Photon wave functions// Phys. Rev. A. 1995. - V.52. - P. 1875-1883.

212. Socolovsky M. The CPT group of the Dirac field // Int. J. Theor. Phys. 2004. -V. 43. - P. 1941-1967. arXiv: math-ph/0404038.

213. Strichartz R. S. Harmonic analysis on hyperboloids // Journal of Functional Analysis. 1973. - V. 12. - P. 341-383.

214. Ström S. On the matrix elements of a unitary representation of the homogeneous Lorentz group// Arkiv for Fysik. 1965. - V. 29. - P. 467-483.

215. Ström S. A note on the matrix elements of a unitary representation of the homogeneous Lorentz group// Arkiv for Fysik. 1967. - V. 33. - P. 465-469.

216. Ström S. Matrix elements of the supplementary series of unitary representations of 51,(2, C) // Arkiv for Fysik. 1968. - V. 38. - P. 373-381.

217. Ström S. On the decomposition of a unitary representation of (1+4) de Sitter group with respect to representations of the Lorentz group // Arkiv for Fysik. 1969. - V. 40.- P. 1-33.

218. Takahashi R. Sur les représentations unitaries des groupes de Lorentz généralisés // Bull. Soc. math. France. 1963. - V.91. - P. 289-433.

219. Talman J. D. Special Functions: A Group Theoretical Approach. — New York: Benjamin, 1968.

220. Toller M. Free quardum fields on the Poincaré group // J. Math. Phys. 1996. - V. 37.- P. 2694-2730.

221. Varlamov V.V. Fundamental Automorphisms of Clifford Algebras and an Extension of Dgbrowski Pin Groups// Iladronic J. 1999. - V. 22. - P. 497-535.

222. Varlamov V. V. Generalized Weierstrass representation for surfaces in terms of Dirac-Hestenes spinor field// J. Geometry and Physics. 2000. - V. 32, №3. - P. 241-251.

223. Varlamov V.V. Discrete Symmetries and Clifford Algebras// Int. J. Theor. Phys. -2001. V. 40, №4. - P. 769-805.

224. Varlamov V.V. About Algebraic Foundations of Majorana-Oppenheirner Quantum. Electrodynamics // Annales de la Fondation Louis de Broglie. 2002. - V. 27. - P. 273286.

225. Varlamov V.V. Group Theoretical Description of Space Inversion, Time Reversal and, Charge Conjugation // arXiv: math-ph/0203059.

226. Varlamov V. V. Hyperspherical Functions and Linear Representations of the Lorentz Group// Hadronic J. 2002. - V. 25. - P. 481-508.

227. Varlamov V. V. General Solutions of Relativistic Wave Equations !/ Int. J. Theor. Phys. 2003. - V. 42, №3. - P. 583-633.

228. Varlamov V. V. Relativistic Wave Equations in the Helicity Basis // Special issue 'Higher Spins, QCD and Beyond' of Hadronic Journal. 2003. - V. 26, № 3-4. -P. 275-298.

229. Varlamov V. V. Group Theoretical Interpretation of the CPT-theorem // Mathematical Physics Research at the Cutting Edge (Ed. C. V. Benton) New York. Nova Science Publishers, 2004. - P. 51-100. arXiv: math-ph/0306034.

230. Varlamov V. V. Universal Coverings of Orthogonal Groups // Adv. Appl. Clifford Algebras. 2004. - V. 14. - P. 81-168.

231. Varlamov V. V. Hyperspherical Functions and Harmonic Analysis on the Lorentz Group H Mathematical Physics Research at the Cutting Edge (Ed. C. V. Benton) New York. Nova Science Publishers , 2004. - P. 193-250.

232. Varlamov V.V. Fields on the Lorentz Group: Helicity Basis and R,elativistic Wave Equations!/ Frontiers in Quantum Physics Research (Eds. F. Columbus & V. Krasnoholovets) New York. Nova Science Publishers, 2004. - P. 55-86.

233. Varlamov V. V. The CPT Group in the de Sitter Space / Annales de la Fondation Louis de Broglie. 2004. - V. 29. - P. 969-987.

234. Varlamov V. V. CPT groups for spinor field in de Sitter space ¡/ Phys. Lett. B. -2005. -V. 631. P. 187-191.

235. Varlamov V.V. Maxwell field on the Poincare group // Int. J. Mod. Phys. A. 2005.- V. 20, № 17. P. 4095-4112.

236. Varlamov V. V. Relativistic spherical functions on the Lorentz group jj J. Phys. A: Math. Gen. 2006. - V. 39. - P. 805-822.

237. Varlamov V.V. Towards the Quantum Electrodynamics on the Poincare Group / New Topics in Mathematical Physics Research (Ed. C. V. Benton) New York. Nova Science Publishers, 2006. - P. 109-179.

238. Varlamov V. V. Spherical functions on the de Sitter group j J. Phys. A: Math. Theor.- 2007. V. 40. - P. 163-201.

239. Varlamov V. V. General Solutions of Relativistic Wave Equations II: Arbitrary Spin • Chains // Int. J. Tlieor. Phys. 2007. - V. 46, №4. - P. 741-805.

240. Varlamov V. V. Equations of Geodesic Deviation and Inverse Scattering Transform // Relativity, Gravitation, and Cosmology: New Developments (Ed. V. Dvoeglazov) New York. Nova Science Publishers, 2010. - P. 211-235.

241. Vilenkin N. Ya., Klimyk A. U. Representations of Lie Groups and Special Functions. V. 1-3. — Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 1991-1993.

242. Wall C. T. C. Graded Brauer Groups // J. reine und angew. Math. 1964. - V. 213.- P. 187-199.

243. Warner G. Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie Groups. — Berlin: Springer, 1972. 268| Weber H. Die partiellen Differential-Gleichungen der mathematischen Physik nach

244. Riemann's Vorlesungen. — Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1901.

245. Weinberg S. Feinman rules for any spin I k, II & III// Phys. Rev. B. 1964. - V. 133.- P. 1318-1332 & 134. P. 882-896 & 1969. - V. 181. - P. 1893-1899.

246. Wigner E. P. On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group / Ann. . Math. 1939. - V. 40. - P. 149-204.

247. Wigner E. P. Unitary Representations of the Inhomogeneous Lorentz Group Including Reflections¡J Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics (Ed. F. Giirsey) — Gordon & Breach, New York, 1964.

248. Woodliouse N. Geometric Quantization. — Oxford University Press, Oxford, 1980. —

249. Yukawa H. Quantum theory of non-local fields. I. Free fields ¡¡ Phys. Rev. 1950. -V. 77. - P. 219 -226.1. P. 323.