К теории минимизации кратного интеграла тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕЩЕНИЕ.

ГЛАВА I.Обобщение преобразования Каратеодори.

ГЛАВА II. Связь между квадратичными условиями оптимальности

ГЛАВА III. Необходимые условия сд-локального минимума.

ГЛАВА ГУ. Выпуклость по Каратеодори и квазивыпуклость Мор-ри в существовании решения задачи минимизации кратного интеграла.

В данной диссертации изучаются вопросы, связанные с задачей минимизации кратного интеграла.

Центральное место в этом исследовании занимает преобразование Каратеодори, предложенное в работе {VJ . Применение аппарата этого преобразования позволило получить новые результаты в необходимых и достаточных условиях минимума для задачи минимизации кратного интеграла.

Задача минимизации кратного интеграла часто возникает при описании различных физических процессов и ЯЕленнй, возникающих в теории электромагнитного поля, общей теории поля, теории пластичности и в ряде других разделов физики и механики.

В наиболее общей постановке такая задача обычно формулируется в следующем виде:

1Ыл)= r-IYfc.-w,»*^»"1* со.i) .

Мы будем считать, что область интегрирования G - ^м-мерна, то есть G с ft/* , -fc = 6t, а ЗС - vu -мерный! вектор эс = Интегрирование осуществляется по уд -мерной поверхности /многообразию/ в -мерном пространстве: oL = л,.,/ - иx^t —матрица частных производных этой поверхности. Функция -fft, эс, р) зависит от трех групп переменных (•bj^p^ , где р - -матрица, то есть

В данной работе будет изучаться главным образом задача (0.1^ с заданны®! граничными условиями ^ОО ^ ^ = iff-b) t где Ч>Ш заданная на границе области Q функция. Лишь в третьей главе, при изучении условия Якоби ддя кратных интегралов, будут рассмотрены некоторые необходимые условия в задаче (O.l) с произвольными граничными условиями на и нефиксированной областью интегрирования G . Отметил, что в диссертации основное внимание уделено случаю: jj. >-1 , и > £ . Для этого наименее исследованного случая в вариационном исчислении кратных интегралов имеются существенные пробелы, главный из которых заключается в значительном разрыве менду необходимыми и достаточными условиями минимума.

Несмотря на то, что первые попытки изучения задачи минимизации кратного интеграла начали предприниматься еще во второй половине прошлого века / Клебш [2] , Кобб ^з] /, до сих пор для задачи (О.Г) не построена такая стройная теория, как это сделано для однократного интеграла. Это обусловлено, главным образом, тем, что теория уравнений в частных производных не предоставляет нам таких широких технических возможностей, какие дает теория обыкновенных дифферент! альных уравнений для задач одномерного вариационного исчисления / jj =л /. Необходимость применения теории уравнений в частных производных неизменно возникала во всех работах, касающихся существования решения и достаточных условий минимума. После работы Адамара , в которой он сформулировал необходимые условия для задачи минимизации кратного интеграла и отметил специфику этой задачи, связанную с увеличением размерности * и уш , первой наиболее детальной и систематической работой по минимизации кратных интегралов были исследования Кара-теодори, в наиболее полной форме опубликованные в 1929 году

Б этой работе Каратеодори развил теорию минимизации кратного интеграла, основанную на некотором предложенном им формализме.

Формализм Каратеодори основан на введенном им преобразовании, которое обобщает преобразование Лежандра на случай матричного аргумента преобразуемой функции. Использовав это преобразование, Каратеодори нашел достаточные условия с -локального и (^-локального минимума, развив теорию, аналогичную теории Гамильтона-Яко-би для однократного интеграла. Теория Каратеодори использует понятие геодезического поля, существование которого несколько позднее было показало Х.Бернером ^ и Л.Ван-Ховом [б] . К сожалению, в этих работах, смысл которых состоит в доказательстве существования решения некоторой системы уравнений в частных производных, в общем случае доказывалось существование решения и геодезического поля лишь локально, и, как следствие, получались лишь локальные достаточные условия/ локальность здесь понимается в смысле малости области интегрирования/ .

Конструкция формализма Каратеодори использует инвариантный : интеграл, обобщающий инвариантный интеграл Гильберта, йнтегрант инвариантного интеграла Каратеодори есть определитель /»*/♦ -матрицы: MX ( ^ (0.2) , элементы которой - частные d-tp> J производные функций S^ft,*) , Ы = л,-^,/ , играющих в данном случае ту же роль, что и функция действия Гамильтона в одномерном случае. Заметим, что изучение свойств этого интеграла и привело к введению преобразования Каратеодори.

Несколько более простую теорию для задачи минимизации кратного интеграла предложил Г.Вейль в 1934 году [V] . Как и в теории Каратеодори, основным в теории Вейля было некоторое преобразование, обобщающее преобразование Лежандра, и применение в соответствии с этим преобразованием теории геодезического поля. Однако и в этом случае существование геодезического поля было показано Вейлем|У1 , а затем другим методом Ван-Ховом ^8*] , лишь локально, что тоже ограничило применение достаточного условия Вейля на случай малых областей интегрирования.

В качестве инвариантного интеграла, обобщающего инвариантный интеграл Гильберта, Вейль использовал интеграл, где интегрант

- 21 - СО.З) - дивергенция функций S^xJ , ы =. \ вНьL о^ 1 играющих в данном случае роль функций действия

Гамильтона. Такой интегрант устроен значительно проще, чем определитель (0.2) , использованный Каратеодори, что и привело к более простому преобразованию.

Для случая j* = Л обе теории, естественно, совпадают, но в общем случае они радикально отличаются друг от друга. Действительно, они дают совершенно различные функции Вейерштрасса для задачи C0.I) / см. формулы С2Л) и С2.2)/ и совершенно разные соответственно достаточные условия. Это показано во второй главе настоящей диссертации. Там же показано, что достаточное условие Каратеодори является в некотором смысле более общим, чем условие Вейля. Кроме того, как показано в книге Х.Рунда [V) , изучение задач с нефиксированной областью интегрирования необходимо ведет к использованию теории Каратеодори.

К сожалению, интересные результаты Каратеодори прошли в основном мимо вниманя математиков. Действительно, само преобразование Каратеодори позднее встречается лишь в работе Бернера [б] , а его теория геодезического поля была использована только в нескольких работах: Бернера ^5,10^ , Ван-Хова |б] , Рунда п в видоизмененном виде у Мартина jlfj . Такое отношение к результатам Каратеодори может быть объяснено не только некоторой громоздкостью его преобразования, но и отрицательной оценкой теории Каратеодори, которую ей дал Вейль в уже упомянутой работе \f\ . В §11 этой работы Вейль попытался продемонстрировать, что теория Каратеодори может быть рассмотрена как предельный случай его те-ори, хотя нам кажется, что приведенные им соображения скорее подтверждают обратное. Кроме того, он отметил, что теория Каратеодори неприменима для случая, когда рассматриваемый интеграл не зависит от параметризации. Но, как известно, и преобразование Лежандра /в случае однократного интеграла/ неприменимо в этом случае и требует соответствующего изменения. Такое изменение для теории Каратеодори было предложено в работах и

Отметим также работы, в которых были сделаны попытки построить теории геодезических полей, отличных от полей Каратеодори и Вейля с помощью других инвариантных интегралов. Это работы Лан-дерса и Дебевера jis] , в которых интегранты инвариантных интегралов отличны от (0.2) и СО.З), и используют другие аналоги функций действия Гамильтона. Ле-Паж [ii] и Бернер Jioj пытались построить такую теорию с помощью произвольной точной дисТхперенци-альной формы, интеграл от которой бы играл роль инвариантного интеграла. Эти работы изложены в книге П.Функа [l5] . Эделен в работах ^6,17^ описал все функции - аналоги функций Гамильтона-Якоби, при помощи которых возможно построеш1е геодезических полей. На основе исследований Эделена Х.Рунд построил наиболее общую теорию геодезического поля, включающего в качестве частного случая поля Каратеодори иВейля, и использующую, по его мнению, все возможные инвариантные интегралы.

Однако во всех этих работах на основе построенных геодезических полей не были получены соответствующие алгебраические преобразования, подобные преобразованиям Каратеодори и Вейля. Это и не позволило получить другие достаточные условия в терминах квадратичных форм, зависящих лишь от -f Ob,*, р и ее частных производных по р , что несколько принижает практическую ценность • э тих исследований.

Таким образом, в настоящее время для задачи минимизации кратного интеграла известны три квадратичных условия оптимальности: достаточное условия Вейля, заключающееся в положительной определенности на экстремальном многообразии квадратичной формы WCf) с Муихиуц -матрицей следующего вида: (ipufy) co. 4) , достаточное условие Каратеодори - положительная определенность на экстремальном многообразии квадратичной формы CCf) с -матрице!'!: $Сf) = Cfpfafj,-у-tifrjpjf % ffiJ (0.5) , и необходимое условие Адамара - неотрицательность на решении биквадратичной формы VU Cf) : л

Н J ft) = ^р^ь^^о для любых хи^ . 6} Здесь и в дальнейшем знак /Ч над функцией означает, что А эта функция рассматривается на многообразии , например,

J

Необходимое условие С,-локального минимума (0.6) в такой формулировке впервые было высказано Адамаром в качестве предположения в работе [4^ после изучения работы Клебша |~<Q , исследовавшего вторую вариацию функционала С.0.1) с помощью преобразований, упомянутых ниже при описании работ Ф.Терпстра jj[8l и Хе-стенса и Мак-Шейна . В 1931 году Мак-Шейн [2о\ доказал необходимое условие в другой формулировке - неотрицательности функции Вейля-Вейерштрасса

Ель,х/р,р) (0.8J на решении задачи (ОЛ) для матриц -d = р -р ранга 1 .

Из выполнения этого свойства легко получить условие Адамара в форме (0.6) , если дважды дифференцируема по р .

Вепль [7} в 1934 году доказал необходимое условие Адамара в форме СО.6) . В дальнейшем, по всей видимости независимо друг от друга, были предложены различные доказательства необходимого условия Адамара Дебевером , Бернером [l6| / в формеф.6)/ и Грейвсом [22[ в форме неотрицательности функции Вейля-Вейерштрас-са. Современное изложение этих доказательств молено найти в книгах Морри [23] п Клотцера J24J . Заметим, что в работе Л.Ван-Хо-ва £25^ доказано, что усиленное условие Адамара: fP^Pj. 'Jotfj, 1>»Z|fi2 яш шобых нен7левых * xj> СО.7) является локально достаточным условием С^ -локального минимума, где локальная достаточность означает малость области интегрирования.

В одномерном случае //< = л или h =л / условия СО.4) , (0.5), СО.6) совпадают, приja = л превращаясь в условие Лежанд-ра. Нас в данной работе в основном будет интересовать наименее изученное условие Каратеодори (0.5) , его роль в задаче минимизации кратного интеграла и место по отношению к двум другим квадратичным условиям.

С этой целью в первой главе данной диссертации изучается преобразование Каратеодори. Предложена запись этого преобразования в матричной форме. Такая форма записи значительно упрощает доказательство утверждений об основных свойствах этого преобразования. Если ввести -матрицы:

A =«f Е - и £ = Е+Рр СО.9) , где

-k = -fp - и*/» -матрица, Р - и*уц -матрица будущих новых переменных, то преобразование Каратеодори можно определить следующим образом: Определение 0.1 .

Переход от функции по формуле где переменные Р как функции от Р находятся из соотношения PA -Tl } называется преобразованием Каратеодори.

- 10

Рассмотрены условия применимости преобразования Каратеодорп, совпадение его в случае^ = А или п =л с преобразованием Ле-жандра, доказана теорема об инволютивности преобразования, которая, по сути дела была доказана Каратеодорп, но не оформлена им в виде отдельного утверждения, так как различные части доказательства этой теоремы были проведены в различных параграфах его работы \l\ : Теорема.

Пусть -fC-t,*, р) - дважды непрерывно-дифференцируемая по р функция и форма положительно определена для всех ("t,^ р) .

Тогда композиция преобразования Каратеодорп и операция взятия обратного - инволютивное преобразование для функции -f6t,ar, pj .

Б первой главе данной диссертации введено обобщение преобразования Каратеодорп на случай негладких функций, для которых форма C£f) необязательно положительно определена: Определение 0.2 .

Переход от функции к на,*, р) по формуле Н (Чг, х-, Р) = i-Vf- (f (^х, р). old Я (у, Р)) называется обобщенным преобразованием Каратеодорп.

Такое обобщение преобразования Каратеодорп играет по отношению к самому преобразованию Каратеодорп ту же роль, что и преобразование Юнга-Фенхеля по отношению к преобразованию Лежандра. Преобразование Юнга-Фенхеля, как известно, является важным инструментом при доказательстве достаточных условий минимума для однократного интеграла. Мы продемонстрируем аналогичные возможности обобщенного преобразования Каратеодорп. Так, в главе 1У настоящей диссертации будет доказано достаточное условие существования решения задачи (O.l) , причем доказательство непосредственно использует обобщение преобразования Каратеодорп.

Основным результатом главы I является доказательство совпадения обобщения преобразования Каратеодори с самим преобразованием на классе гладких и выпуклых в смысле Каратеодори функций. Теорема .

Пусть дважды непрерывно-дифференцируема по р ,Ж±Й>о и форма С Cf) положительно определена для всех 1 . Тогда = H(tfx,P) для всех i,(х, Р

Во второй главе диссертации выясняется взаимосвязь между различными квадратичными условиями оптимальности: СО.4) , (0.5) и (0.6) .

Показана связь неотрицательности функций Каратеодори-Вейершт-расса и Векля-Вейерштрасса с положительной определенностью квадратичных форм Каратеодори С Of) ц Вейля W(-f) . С помощью обобщенного преобразования Каратеодори доказана неотрицательность функции Каратеодори-Вейерштрасса для функций, выпуклых в смысле Каратеодори: Теорема.

Пусть -f дважды непрерывно-дифференцируема по р , otvtfL >о и форма CCf) положительно определена для всех (-6, ас, р) . Тогда функция Вейерштрасса-Каратеодори

ЕЬыр) = -flW;- дая всех р (0.10)

Показано, что условие положительной определенности квадратичной формы Вейля WCf) в некотором смысле влечет то же свойство и для формы Каратеодори CCf) . Теорема.

Пусть Q - замкнутая ограниченная область, -f-fe&p) - дважды непрерывно-дифференцируемая по f> функция, oc(-t)6 C'CG-) п форма W(f) положительно определена. Тогда существует М "> О такое, что CCf +М) тоже положительно определенная форма.

Так как при замене / на -f+M мы получаем задачу, эквивалентную исходной, то, следовательно достаточное условие Каратеодори является более общим, чем достаточное условие Вейля.

Из приведенных во второй главе диссертации примеров следует неэквивалентность положительной определенности квадратичных форм ССрж Wff) .

Построен пример, показывающий, что условие Вейля может не быть необходимым в задаче (O.l) . В этом примере существует глад, кое решение ъс(-б) задачи минимизации кратного интеграла, выполнено усиленное условие Адамара, но форма W(fl не является определенной.

Для изучения связи между условиями Каратеодори и Адамара были использованы работы, в которых делались попытки преодолеть разрыв между необходимыми и достаточными условиями чисто алгебраическим путем, используя некоторые свойства квадратичных форм. В работах Терпстра [l8][ и Хестенса и Мак-Шейна рэ} был предложен метод, позволяющий исследовать задачу (0.1) , если подинтег-ральная функция -f ft,*/ р) удовлетворяет лишь условию Адамара, в то время как форма Вейля wc-f ) для нее не является определенной. Такой метод основан на том факте, что интеграл при заданном граничном условии не зависит от поверхности интегрирования эсЖ , если постоянные коэффициенты -^tiijp кососимметричны по любой паре индексов и . Это свойство доказано, например, в книге Р.Клотцера [24^ . Поэтому, если рассмотреть вместо задачи (0.1) задачу с подинтегральной функцией -fл СЬ,*, р) = р) + -b^ut/jji piu pj'ji » то получится задача, эквивалентная исходной /в случае задачи (0.1) с заданными граничными условиями/. Терпстра, а затем другим способом Мак-Шейн, показали, что если к или м меньше трех, а для Г-fp^p. выполнено условие Адшяара, то существует такая квадратичная форма ftupjp » что Wf-f.»)

- положительно определенная форма, то есть достаточное условие Вейля выполнено для функции а .

Однако если к и ja больше или равны трем, то такой "исправляющей" формы jp р^ pjp может, вообще говоря, не существовать / см. пример в работе [I8J/.

Квадратичная форма Вейля Wff) отличается от формы Карате-одори CCf) на форму с коэффициентами, обладающими описанными выше свойствами кососимметричности, поэтому возникает вопрос, при каких условиях форма Каратеодори будет "исправляющей" для исходной функции. Этот вопрос эквивалентен вопросу об условиях, при которых из условия Адамара следует достаточное условие Каратеодори. С помощью результатов, полученных почти одновременно Финслером , Альбертом [27] и Рейдом [2б[ , а так же некоторого уточнения этих результатов, сформулированного в теореме 2. 3 настоящей диссертации, доказано, что условие Адамара при некоторых ограничениях типа неравенства на функцию fCtj^p) влечет за собой условие Каратеодори в случае и - ц = 2. . Точнее, рассмотрим уравнение относительно Д :

- cff))) =0 • Упорядочим решения этого уравнения А* Б порядке их возрастания. Тогда имеет место следующий результат: Теорема.

Пусть V» =у* = 2 , oktlL ф о И ДЛЯ (^p^pjjj) выполнено строгое условие Адамара / то есть строгое неравенство (0,в) для всех ненулевых X и j> /. Тогда форма CC-f) положительно определена при условии выполнения неравенства:

В третьей главе настоящей диссертации рассмотрены необходимые условия Сд-локального минимума как для задачи <0-1^ с заданнымл граничными условиями и фиксированной областью интегрирования, так и для задач с более общими граничными условиями.

Основной результат главы III содержится в теореме 3.S, в которой сформулированы необходимые условия СА- локального минимума для задачи (0.1) с заданными граничными условиями. Эта теорема аналогична известной теореме о необходимых условиях для однократного интеграла / см. например /. Новым в формулировке теоремы 3.3 по сравнению с известными ранее результатами является то, что роль условия Лежандра / для однократного интеграла / в данном случае играет строгое условие Адамара. Ранее при выводе необходимого условия Якоби предполагалось выполнение условия Вейля. Но предположение о положительной определенности формы W(f) не представляется естественным при выводе необходимых условии, так как из примера, принадлежащего Рейду и примера 2.3 данной работы следует, что условие Вейля не является необходимым для исследуемой задачи.

В случае кратного интеграла естественное обобщение условия Якоби формулируется следующим образом: Определение 0.3 . л

Скажем, что на экстремали "ЭСС-fc) выполнено необходимое условие Якоби, если ни в какой подобласти & , не совпадающей с £ не существует решения системы уравнений Якоби /системы Эйлера для функционала второй вариации исходного функционала в точке £0Ь) / V-t) = с условиягли:

2/ существует И^Л'ъО. f такое что .

Условию Якоби в такой формулировке был посвящен целый ряд работ. Первое доказательство необходимого условия Якоби для случая W = Л и J*. = 2. было дано Соммерфельдом (ЗС)} . Более простое доказательство для того не случая было дано Куботой . Хаар распространил это доказательство на случай обобщенного уравнения Якоби, то есть когда рассматривается соответствующее пнтег-ральноеравенство. Другие модификации этих доказательств были рассмотрены в работах Рейда и Карсона [34^ . Б этих доказательствах разница в использовании условия Адамара или Вейля не играла роли, так как при К. =1 эти условия совпадают. При условии положительной определенности формы Вейля Wtf) необходимое условие Якоби в случае произвольных И е уч доказал Рааб [j35l .

Доказательство необходимого условия Якоби при ослабленных предположениях проводилось в третьей главе диссертации по той же логической схеме, что и при получении необходимого условия Якоби в одномерном случае /см. например |3б} /. С этой целью в третьей главе получен аналог условий Вейерштрасса-Эрдмана для ломаных экстремалей |29,36^ , в нашем случае для минимального в задаче (0.1) многообразия, имеющего излом в точках гиперповерхности Г7 в пространстве /теорема 3.1/. Первое из соотношений аналога условий Вейерштрасса-Эрдмана - непрерывность векторов Tl-=0^./^) , С = V-v11 » по направлению нормали к ^ , то есть непрерывность функций 17|;ы , С = . v и f где к ^

- вектор нормали к Г , было известно еще Коббу \з\ для случая и = л , ^ = 1 , а позднее было доказано для произвольных и ц у Пауэллом ^37] и Блиссом . В диссертации для кратных интегралов получен ранее не формулируемый аналог второго условия Вейерштрасса-Эрдмана - непррывность гамильтониана в точках изло

А Г ма решения. Это условие заключается в непрерывности вектораД и. , где Д - матрица (0.9) .

•л

В свою очередь, для получения условия непрерывности Л и. ц

AT

Д ух, , как и в одномерном случае, были использованы условия трансверсалыюсти, которые возникают как необходимые условия в задаче (O.l) с нефиксированными граничными условиями и незаданной областью интегрирования. Эта формула впервые была получена Х.Берне-ром [К)] , другие выводы этой формулы были предложены в книгах П.Функа [15] и Х.Рунда [91 . /Формулу вариации функционала с незаданными граничными условиями и границей области в незавершенном виде выписывал еще М.Б.Остроградский ./

Отметим, что именно запись аналога условий. Вейерштрасса-Эрдма-на в терминах матриц, используемых в преобразовании Каратеодори позволила получить условие Якоби в ослабленных предположениях и сформулировать теорему о необходимых условиях Сл -локального минимума в ее естественной формулировке: Теорема.

Пусть "зебО доставляет Сл-локальный: минимум в задаче (0.1) с фиксированными граничными условиями. Тогда л

I/ ocr-fc) удовлетворяет уравнению Эйлера:

2/ для (. выполнено условие Адамара (0.6) .

3/ если для ( выполнено строгое условие Адамара внутри области G , то для ^C-fc) выполнено необходимое условие Якоби.

В четвертой главе изучаются вопросы, связанные с существованием решения задачи минимизации кратного интеграла. Конструкции доказательств существования решения задачи C0.I ) , предложенные Вей-лем [7] в случае положительной определенности квадратичной формы V/C-f) , Каратеодори [i] и Бернером^б] в случае положительно определенно!! форш С (■$•), предлагают доказательства существования решения лишь в малой области licfr Обобщение этих доказательств с целью показать существование решения во всей области (т не представляется возможным, так как они используют так называемую теорию вложения экстремали в геодезическое поле. Суть этой теории в доказательстве существования решений некоторых систем уравнений в частных производных, для которых решение существует лишь локально. Этот момент - основная трудность теории минимизации кратных интегралов по сравнению с минимизацией однократного интеграла, так как в последнем случае существование глобального решения получают с помощью известных теорем существования глобального решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Заметим, что и доказательство Ван-Хова [25] локальной достаточности усиленного условия Адамара не может быть усилено до доказательства существования решения вовсей области Q , так как оно существенно использует малость области интегрирования. Действительно, доказательство Ван-Хова использует неравенство Пуанкаре: S хЪМЬ $ SCSL) S для л^ой йушщш!

Si oett) € $ !> (£1) » где £СХО о при уиМ(J2)-*o , причем рассувдения Ван-Хова справедливы лишь при достаточно малой величине , а это условие верно лишь для малых областей л .

В связи с этим особую роль для задачи минимизации кратного интеграла играют так называемые прямые методы вариационного исчисления, не опирающиеся на теорию уравнений в частных производных. Идею прямого метода предложили Гильберт [40^ и Ле.бег [4зГ\, применив ее для изучения задачи Дирихле. Эта идея схематически заключается в следующем: I/ показывается, что рассматриваемы!! интеграл полунепрерывен снизу в соответствии с некоторым типом сходимости, 2/ показывается, что этот интеграл ограничен снизу в классе допустимых функций, 3/ показывается, что существует минимизирующая последовательность, которая сходится в рассматриваемом смысле к некоторой допустимой функции. После этого следует исследование свойств минимизирующей функции: непрерывность, гладкость и другие.

Первым, кто широко применил этод метод к наиболее общим задачам вариационного исчисления, был Тонелли {42—44} . Он исследовал задачи с однократным интегралом и задачу минимизации двойного интеграла. При этом он обнаружил, что в доказательстве существования удобно использовать равномерную сходимость, а в качестве допустимых функций для задач с одномерной областью интегрирования взять абсолютно непрерывные функции, удовлетворяющие данным граничным условиям. Тонелли определил, что следует понимать под абсолютно непрерывной функцией двух переменных для изучения задач с плоской областью интегрирования. Для двойных интегралов он обнаружил, что для доказательства существования решения / и. = <1,^=2 /, нужно наложить следующие условия на подинтеграль-нуго функцию : miipii^-k * р> > » со.п) .

Однако Тонелли не удалось получить общую теорему существования решения для функций, удовлетворяющих условию (0.II) при )<£<2 . Более того, если рассмотреть случай J* >2 , то можно показать, что для функций, удовлетворяющих условию роста (0.11), необходимо требовать условие f / Морри [23] /. Для доказательства в этом случае было предложено использовать минимизирующую последовательность функций монотонных в смысле Лебега, то есть принимающих свой минимум и максимум на границе каждой компактно!! подобласти, хотя тшюй процесс все же не помогает при л . Пытаясь получить наиболее общую теорему существования решения задачи (0.1) Калкин [45^ и Морри ^46-48^ обнаружили, что в качестве допустимых функций нужно использовать функции из пространств Соболева V-Oy, СQ) .На этом пути Морри доказал очень общую теорему существования решения [49] . К сожалению, до сих пор в общем случае не удалось доказать принадлежность этих решений не только классу С С (г) , но даже и их непрерывность. Это удалось сделать только для некоторых специальных случаев. Так, Морри [5о] при некоторых дополнительных условиях роста функции -f ft^p) показал для случая и произвольного it , что эти решения принадле

2т Л жат классу с fg") . если -6 = J* = 2 • А.Г.Сигалов в работах jj51,52^ показал аналитичность решения при И = 1 = £ , тоже наложив дополнительные условия на -f Gt,*, f) . Отметим также работы Хаара [бз] и Радо , которые доказали гладкость решения для некоторых специальных задач / например, для = /• Стампагаша {55] и Серран {56,57\ усовершенствовали доказательство Морри гладкости решения для случая и =а и произвольного ^м и несколько усилили его результаты. Серран отметил, что его результаты могут быть обобщены на случаи произвольного Ъ. при условии положительной определенности квадратичной формы Wf-f) , но эти рассуждения не проходят при усиленном условии Адамара.

Первые доказательства существования решения задачи (.0.1) проведенные с помощью описанного выше прямого метода, предполагали положительную определенность квадратичной формы Wf-f) , которая требовалась при рассмотрении пункта I/ в доказательстве полунепрерывности интеграла снизу. Но, как следует из примера Рейда или примера 2.3 данной работы, в случае, если и п jk больше или равны двум, существуют задачи, для которых форма WCf) не является определенной, а решение существует во всей области G . Морри в работе [58\ нашел необходимое и достаточное условие полунепрерывности кратного интеграла снизу - условие сильной квазивыпуклости и получил при этом условии теорему существования. Определение 0.4 .

Функция эс, р называется сильно квазивыпуклой по р , если для любых постоянных (*i0/*»jjO» любой ограниченной области , любого липшицева многообразия \Ct) = (t),., , такого что t-(-tM =о , С = , /липшщевость по переменной

1 Kb.

•Ь/ выполнено неравенство:

Sf^w. + mtM'1* СО. 12) . Л

Теорема /Морри/.

Пусть ,f>) непрерывна по р) , сильно квазивыпукла по /> и существуют , К><> и v*i , что для выпоняются следующие условия роста: J^ Ф-13)»

Ifft^^-fft,*,^)/^ 2It + ///>г-А // С0.14) , f - f(t<tx,f>)l + lli>-t« /' C°'I5j'

Тогда существует решение задачи £0.1) с заданными граничными условиями , = Ч>Ш , где HJfoG) , причем это решето- * ние &Сь) е uj .

Мейерс в работе [Ьэ] обобщил условие сильной квазивыпуклости для случая, когда функционал (о.I) зависит от производных функции ос ft) более высокого порядка и доказал теорему существования для этого случая в предположениях меньшей гладкости границы области & . Болл [бо] исследовал условие сильной квазивыпуклости с целью приложения к задачам, возникающим в теории упругости. Для случая он нашел достаточное условие сильной квазивыпуклости, которое он назвал поливыпуклостью. Силъвермен [61, 62] ввел Т-выпуклость - естественное обобщение поливыпуклости Болла для произвольных размерностей h и у и доказал, что "Т -выпуклость достаточна для сильной квазивыпуклости. Функция р) Т -выпукла, если существует выпуклая по £ функция , такая что для любых t их р) = Fffc^^Cp),.2г£р)) , где ^(р) , , - всевозможные миноры матрицы р , а t - их число. В диссертации показано, что из "~Г -выпуклости следует достаточное условие Морри для сильной квазивыпуклости в случае, если Fft,*,^ е Сл /теорема 4.3/.

До сих пор не удалось показать, что условие сильной квази

- 21 выпуклости эквивалентно условию Адамара и тем самым сомкнуть необходимые и достаточные условия, либо привести соответствующе контрпример. В работе [58^ Морри отметил, что после изучения большого числа примеров, он пришел к выводу, что условие сильнс квазивыпуклости не может быть записано в терминах квадратичных форм, зависящих OT-f(-fc,*x^ и ее частных производных по р В главе 1У данной диссертации доказано, что функции выпуклые пс Каратеодори являются сильно квазивыпуклыми. Теорема.

Пусть -fр) дважды непрерывно-дифференцируема по р , и форма с<¥) положительно определена для всех t, х, р . Тогда -fCt/^f; - сильно квазивыпуклая по р функция.

Тем самым мы получаем новое условие сильной квазивыпуклостн записывающееся в терминах -f и ее первых и вторых частных прс изводных, а значит и новое условие существования решения задачи минимизации кратного интеграла. Теорема.

Пусть -fi-i,^, дважды непрерывно-дифференцируема по р , cbtJL R.>o и форма положительно определена для всех , для -fOt^p) выполнены условия роста (0.13) -ф.15) . Тогда существует решение задачи (р.1) с заданными граничными условиям и это решение Н] (G) .

Заметим, что условие выпуклости по Каратеодори тоже не опнс: ет всего класса сильно квазивыпуклых функций, хотя и отлично от ранее известного условия - по ложи тельной определенности W(f) .

Отметим значение последней теоремы для теории эллиптических систем уравнений в частных производных. Как и в вариационном исчислении кратных интегралов, в этой теории есть существенный п] бел - большой разрыв между условиями разрешимости линейных и нелинейных систем. Для линейных систем второго порядка условием разрешимости является условие сильной эллиптичности /Ниреберг [63]/, которое есть не что иное как усиленное условие Адамара, а для нелинейных, в том числе и для квазилинейных, - условие положительной определенности формы /Браудер ^64,65}, Мор-ри[23"у, Некач [бб]/. Так как любое решение задачи (0.1) является решением квазилинейной системы уравнении Эйлера, то последняя теорема может быть использована для доказательства существования решения системы Эйлера, если для нее не выполнено обычно предполагаемое условие положительной определенности формы WCf) , а форма С Cf) является положительно определенной.

В главе 17 отмечено, что функция из примера 2.1 настоящей диссертации сильно квазивыпукла благодаря условию положительной определенности формы

CCf) , в то время как для этой функции не является положительно определенной формой. На основе этой: функции построен пример, в котором существование решения задачи (0.1) следует из положительной определенности формы £ Ф , а неиз обычного условия положительной определенности формы V/jf-f).

В этой же главе доказана теорема существования гладкого решения задачи шшимизации кратного интеграла для одного специального случая - когда подинтегральиая функция зависит лишь от р и является квадратичной формой, для которой выполнено усиленное условие Адамара. Этот результат необходим для обоснования примера 2.3 . Исследованы также некоторые свойства сильной и слабой квазивыпуклостл Морри, связь квазивыпуклости и условия Адамара.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах автора (67-69^ .

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доценту М.И.Зеликину за постоянное внимание и поддержку в работе.

- 23

1.. Caratheodory С, Uber die variationsrechnung bei mechrfachen Integralen. - Acta Seged Sect.Math., 1929, v.4, s. 193-216.

2. Clepsch A. Uber die zweite variation vielfache Integralen. -J.Reine Angew.Math., 1859, Bd.56, s. 122-148.

3. Kobb G. Sur le maxima et le minima des integrales doubles. -Acta Math., 1893, v.17, p.321-3444» Hadamard J. Sur quelques questions de calcul des variations.- Bull.Soc.Math.Prance, 1905, v.33, p.77-80.

4. Boerner H. Uber die Extremalen und geodatichen Felder in der Variationsrechnung der mechrfacher Integralen. Math.Ann., 1936, Bd.II2, s.187-220.

5. Van-Hove L. Sur le champs de Caratheodory et leur construction par la methode des characteristiques. Bull.Acad.Hoy.Belg.Cl. Sci., 1945, v.3I, p. 625-638.

6. Weyl H. Geodesic fields in the calculus of variations for multiple integrals. Ann.Math., 1935, v.36, p.6o7-629.

7. Boerner H. Uber die Legendresche Bedingung und die Feldtheo-rien in der Variationschrechnung der mechrfacher Integrale. -Math.Z., 1941, Bd.46, s.720-742.

8. Martin D.K. Canonical variables and geodesic fields for the calculus of variations of multiple integrals in parametric form.- Math.Z., 1968, v.I04, p.16-27.

9. I,Ic-Shane E.J. On the necessary condition of Y/eierstrass in the multiple integral problem in the calculus of variations. -Ann.Math., 1931» v.32, p.578-590.

10. Debever R. Quelques consequences de la condition necessaire d'Hadamard du calcul des variation des integrales multiple. -Bull.Soc.Roy.Sci.Liege, 1941» v.10, p.584-589.

11. Reid V/.T• A theorem on the quadratic forms. Bull.Amer.Math. Soc., 1938, v.44, p«437-440.

12. Алексеев B.M., Тихомиров B.M., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

13. Остроградский Ы.В. Мемуар об исчислении вариации кратных интегралов. Полное собрание трудов, Киев: Изд-во АН УССР, 1961.

14. Hilbert D. Uber das probleme Dirichletsche Prinzip. Jber. Deutch.Math.Verein, 1900, Bd.8, s.184-188.

15. Lebesque H. Sur la probleme de Dirichlet. Ren.Circ.Math. Palermo, 1901, v.24, s.371-402.

16. Morrey C. Function of several variables and absolute continuity II. Duke Math.J., 1940, v.6, p.187-215

17. Morrey C. Existence and differentiability theorem for the solutions of variational problems for multiple integrals. Bull. Amer.Math.Soс., 1940, v.46, p.439-458.

18. Morrey G. Multiple integral problem in the calculus of variations and related topics. Ann.Scuola Super Pisa, I960, v.14» p.I-6I.

19. Сигалов А.Г. Регулярные двойные интегралы вариационного исчисления в непараметрической форме. ДАН, 1950, т.73, с.891-894.

20. Сигалов А.Г. Об условиях дифференцируемое™ и аналитичности решений двумерных задач вариационного исчисления,-ДАН, 1952,т.85,, с.273-275.

21. Haar A. Uber das Plateasche Problem. Math.Ann*, 1927, 3d.97» s.127-158.

22. Rado T. Uber zv/eidimensionale regulare Variationsprobleme. -Math.Ann., 1929, Bd.IOI, s.620-632.

23. Stampaccia G. On some regular multiple integral problems in the calculus of variations. Comm.Pure Appl.Math., 1963, v.16, p.383-421.

24. Serrin J. On a fundamental theorem of the calculus of variations. Acta Math., 1959, v.102, p.1-32.

25. Serrin J. On the definition and properties of certain variational integrals. Trans.Amer.Math.Soc., 1961, v.IOI, p.139-167.

26. Ball J.M. Convexity condition and existence theorems in nonlinear elasticity. Arch.Rational Mech.Anal., 1977, v.635 p*337-403.bl. Silverman 15. Strong quaoi-ccmvexity. Pacific J.Math.,■1973, v.46, p.549-554»

27. Necas J. Les raethodes directes en theorie des equations elliptiques. Academia, Prag, 1967.

28. Супрун Д.Г. Обобщение преобразования Каратеодори. Вестн. МГУ, сер.матем., мех., 1984, JS3, с.82-85.

29. Супрун Д.Г. Условие Каратеодори и существование решения задачи минимизации кратного интеграла. В сб.: методы исследования сложных систем. М., 1984. - с.45-52.

30. Супрун Д.Г. О решениях систем уравнений, связанных с задачей минимизации кратного интеграла. В сб.: Функциональный анализ и его приложения в механике и теории вероятности. - М.: Изд-во-МГУ,1984, с.95-102.

31. Мальцев А.К. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.

32. Стейн К. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. Ы.: Гг.р, 1972.

33. Шзохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: I/iHD, 1977.

34. Стейн И., Вейс .£ Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.