Классификация точных решений полевых уравнений общей теории относительности в присутствии спинорного поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1. Теория полного разделения переменных в одночастич-ных уравнениях движения в присутствии гравитационного поля

1.1. Уравнения движения пробной частицы в гравитационном поле.

1.2. Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби

1.3. Полное разделение переменных и интегралы движения

1.4. Метрики штеккелевых пространств и потенциалы электромагнитного поля в случае пространственно-временной сигнатуры

1.5. Разделение переменных в уравнении Дирака.

1.6. Полевые уравнения в спинорном формализме

1.7. Постановка задачи.

1.7.1. Риччи-плоские пространства, допускающие полное разделение переменных в диагонализованном квадрированном уравнении Дирака

1.7.2. Штеккелевы пространства электровакуума, допускающие полное разделение переменных в диагонализованном квадрированном уравнении Дирака

1.7.3. Интегрирование системы самосогласованных уравнений Эйнштейна-Дирака1.

2. Классификация штеккелевых пространств, допускающих полное разделение переменных в диагонализованном уравнении Дирака

2.1. Риччи-плоские штеккелевы пространства.

2.2. Штеккелевы пространства электровакуума. Тип (1.1)

2.3. Штеккелевы пространства электровакуума. Тип (2.1)

3. Интегрирование уравнений Эйнштейна-Дирака

3.1. Интегрирование системы самосогласованных уравнений Эйнштейна-Вей ля для штеккелевых пространств (3.1)

3.2. Интегрирование системы самосогласованных уравнений Эйнштейна-Дирака для штеккелевых пространств (3.1)

3.3. Интегрирование системы самосогласованных уравнений Эйнштейна-Дирака для штеккелевых пространств (3.0). Метрика Бьянки тип I

В настоящее время в теории поля предложено большое число модельных теорий, включающих в себя взаимодействия самой различной природы. Каждая модельная теория выдвигает свои полевые уравнения, как правило, очень сложно устроенные. Поэтому проблема их интегрирования (особенно точного) является одной из труднейших проблем современной теоретической и математической физики. Для большинства этих уравнений известны лишь простейшие точные решения, полученные с использованием пространственных многообразий с высокой степенью симметрии (сферически симметричные, пространства постоянной кривизны и т.п.). Поэтому проблема построения конструктивных методов точного интегрирования основных уравнений различных полевых теорий вызывает в настоящее время особый интерес как с физической, так и с чисто математической точек зрения.

Наиболее перспективным представляется подход, основанный на изучении симметрии не всей системы полевых уравнений конкретной теории, а некоторых выделенных подсистем этой системы, содержащих наиболее простую часть полевых уравнений. Как правило, основные уравнения различных модельных полевых теорий, учитывающих наряду с другими взаимодействиями гравитационное, можно разбить на две подсистемы. Первая подсистема чаще всего соответствует уравнениям Эйнштейна, в правую часть которых входят компоненты тензора энергии-импульса материи, зависящие от всех полей теории.

Вторая подсистема содержит уравнения, описывающие состояние и движение материи. Эта подсистема может состоять из самых различных уравнений - скалярных, спинОрных, тензорных - в зависимости от того, поля какой природы присутствуют в теории. Система полевых уравнений может быть самосогласованной, если физические поля, входящие в уравнения движения, входят и в правую часть уравнений Эйнштейна. Они могут быть и несамосогласованными, когда соответствующие поля входят только в уравнения движения. Как пример, можно указать уравнения Гамильтона-Якоби для пробной частицы, движущейся во внешнем поле (электромагнитном, гравитационном или в их комбинации).

Уравнения движения (или какие-либо подсистемы этих уравнений) обычно имеют значительно более простой вид, чем уравнения Эйнштейна. Поэтому во многих случаях оказывается возможным изучить их симметрию, рассматривая гравитационное поле (а также прочие физические поля, если выбрана подсистема этих уравнений) как внешние. Симметрия подсистемы определяется наложением дополнительных условий на внешние поля. Если использовать эти условия в качестве дополнительных уравнений, делающих систему уравнений поля переполненной, то появляется возможность точно проинтегрировать полученную переполненную систему уравнений и найти тем самым точные решения исходных полевых уравнений.

Одним из конструктивных методов получения точных решений полевых уравнений является метод полного разделения переменных, относящийся к числу классических методов математической физики. Его основная идея заключается в сведении проблемы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных к проблеме интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Реализация идеи для каждого класса уравнений уникальна и приводит к отдельной теории полного разделения переменных. Вместе с тем выяснилось, что для некоторых классов уравнений (например, для классических одночастичных и соответствующих им квантовых уравнений) проблемы полного разделения переменных тесно связаны и для них можно построить единую теорию полного разделения переменных, основанную на теории разделения переменных в одночастичном уравнении Гамильтона-Якоби и на вытекающей из неё теории Штек-келевых пространств.

Построение теории штеккелевых пространств и изучение основных геометрических свойств этих пространств сделало возможным использование штеккелевых пространств в различных разделах теоретической физики, в частности, в гравитационных теориях. Среди множества штеккелевых пространств особый интерес вызывают те из них, которые удовлетворяют системе полевых уравнений в конкретной гравитационной теории. В каждой такой теории может быть решена классификационная задача - найти все неэквивалентные относительно (допустимых) преобразований координат Штеккелевы метрики, удовлетворяющие системам полевых уравнений. Так, к примеру, в общей теории относительности существуют следующие важные классификационные проблемы: классификация пространств электровакуума, Риччи-плоских пространств и пространств Эйнштейна, классификация точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, Эйнштейна-Вейля, Эйнштейна-Дирака и т.д.

В данной диссертационной работе проведены классификациии штеккелевых пространств, когда метрики этих пространств (и электромагнитные потенциалы) удовлетворяют дополнительным условиям, таким как, уравнения Эйнштейна, самосогласованным уравнениям Эйнштейна-Максвелла (с учетом условий квадрирования и диагонали-зации уравнения Дирака), самосогласованным уравнениям Эйнштейна-Вейля, самосогласованным уравнениям Эйнштейна-Дирака. Смысл классификации заключается в перечислении всех неэквивалентных относительно допустимых преобразований метрик штеккелевых пространств для каждой конкретной задачи.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [108-113].

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

1. Получены точные решения вакуумных уравнений Эйнштейна (с нулевой космологической постоянной) для метрического тензора, удовлетворяющего условиям диагонализации и разделения переменных в квадрированном уравнении Дирака, проведена классификация полученных метрик по Петрову;

2. Проинтегрирована система самосогласованных уравнений Эйнштейна-Максвелла для метрического тензора, удовлетворяющего условиям диагонализации и разделения переменных в квадрированном уравнении Дирака, проведена классификация полученных метрик по Петрову;

3. Проинтегрирована система самосогласованных уравнений Эйн-штейна-Вейля для штеккелевых пространств типа (3.1) и проведена классификация полученных метрик по Петрову;

4. Проинтегрирована система самосогласованных уравнений Эйнштейна-Дирака для штеккелевых пространств типа (3.1) и проведена классификация полученных метрик по Петрову;

5. Проинтегрирована система самосогласованных уравнений Эйнштейна-Дирака для метрики Бьянки I и проведена классификация полученных метрик по Петрову.

1. Stackel Р. Uber die intégration der Hamilton-Jacobischen differentialgleichung mittels séparation der variablen / Habilitatiomsschrift, Halle - 1881.

2. Stackel P. Sur des problèmes de dynamique se reduisent a des quadratures. //Comptes rendus hebd. S. Acad. Sei. (Paris), -1893, Vol. 116, - P. 1284 - 1286.

3. Stackel P. Sur une classe de problèmes de dynamique // Comptes rendus hebd. S. Acad. Sei. 1893, - Vol. 116, P. 485 - 487.

4. Stackel P. Uber die intégration der Hamiltonschen differentialgleichung mittelst séparation der variablen // Math. Ann. 1897. Vol.49, P. 145 - 147.

5. Stackel P. Uber die bewegung eines Punktes in einer n fâcher mannigfaltigkeit. Hath. Ann. - 1893. - B.42. - P. 537 - 563.

6. Levi-Chivita T. Integrar. della equar. di Hamilton-Jacobi per separa-tione di variabilti. //Math. Ann. 1908. - Vol.66. -P.398 - 415.

7. Яров-Яровой M.С. Об интегрировании уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных // П.М.М. 1963. -Т.27. -N 6. с.973- 219.

8. Шаповалов В.Н. Пространства Штеккеля // Сиб.мат. журнал. -1979.-Т.20.- с.1117-1130.

9. Багров В.Г., Мешков А.Г., Шаповалов В.Н., Шаповалов А.В. Разделение переменных в уравнении Клейна- Гордона // Изв. вузов СССР. Физика. 1973. -N 11. - с.66- 72.

10. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. I. // Изв. вузов СССР, Физика. 1978, - N9, -с. 18-24.

11. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. II. // Изв. вузов СССР, Физика. 1978, - N 9,- с.25-27.

12. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнения движения свободной частицы в римановом пространстве. // Изв. вузов СССР, Физика,1976, N , - с.14-19.

13. Воуег С.P., Kalnins B.C., Miller Jr.W. Separable coordinates for four-dimensional riemannian spaces. //Comm. math phys. 1978, - Vol. 59, - P. 285 - 302.

14. Kalnins E.G., Miller Jr.V. Separation of variables on n dimensional riemannian manifolds. //J. Math. Phys. - 1986. -Vol. 27. N 7. - P. 1721- 1736.

15. Воуег. C.P., Kalnins E.G., Miller.J.r.V. Stackel equivalent integrable Hamiltonian systems /Siam J. Math. Anal. - 1986. - Vol. 17, N 4. -P. 778 - 797.

16. Panagiotis M.P. Separabilite et integrales premieres des equations de Klein Gordon et Hamilton - Jacobi en espace courbe. // Phys. Mag.- 1985. Vol.7. - N 1. -P. 41 - 46.

17. Benenti S. Separable dinamical systems: Characterization of separability structures on riemannian manifolds. // Reports Math. Phys.1977. Vol.12. - N 3. -P. 311 . 316.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теория поля. М.гНаука, -1967, -360с.

19. Керес X. Принцип соответствия в общей теории относительности // ЖЭТФ, -1964, -т.46, N 5, -с. 1741- 1754.

20. Логунов A.A., Мествиришвили. Основы релятивистской теории гравитации.// ЭЧАЯ. -1986, -т.17. 1, -с.5-159.

21. Керес X. К физической интерпретации решений уравнений Эйнштейна // ЖЭТФ, -1965, -т. 52, -N 3, -с. 768-779.

22. Коппель А. Нерелятивистский анализ релятивистских гравитационных полей. Тарту: ТГУ. -1977, - 85 с.

23. Коппель А. Нерелятивистские гравитационные поля в общей теории относительности. -Тарту: ТГУ, -1977, -82 с.

24. Коппель А. Ньютоновские и неньютоновские пределы гравитационных нолей типа Keppa-NUT // Изв. вузов СССР, Физика. 1975, -N 9, -с.29-34.

25. Коппель А. Мультипольные моменты и гармонические системы координат для асимптотически плоских стационарных аксиально-симметричных электровакуумных 4-пространств // В кн. Гравитация и электромагнетизм. Минск, БГУ, -1987, с.54-61.

26. Обухов В.В. О физической интерпретации пространств Эйнштейна // Изв. вузов СССР, Физика. 1979, - N 3, -с.121-123.

27. Багров В.Г., Обухов В.В. Метод интегрирования уравнения Дирака. Препринт ТНЦ СО АН СССР, -1990, N. 22, 30 с.

28. Bagrov V.G., Obukhov V.V. New method of integration for the Dirac equation on a curved space-time //J. Math. Phys. 1992. -Vol. 33. -P. 2279-2285.

29. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Separation of variables for the Dirac squared equation // Int. Journ. of Modern Phys. D. -1994. -Vol.3 -P. 739

30. Schwarzshild K. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. Sitzungsber. Acad. Wiss. 1916. - P. 195.

31. Kottler F. Uber die physikalischen Grundlagen der Einsteinschen gravitations theorie. //Ann.Phys. 1918. -Ser.4.Vol.56. - P. 401 - 462.

32. Kasner E. Geometrical theorems on Einstein's cosmological equations. //Amer. Journ. Math. 1921. - Vol. 43.

33. Friedman A. Uber die Krummung des Renmes. //Zs Phys. 1922. -Vol.10. - P. 377 - 380. .

34. Nordstrem C. On the energy of gravitational field in Einstein theory. //Proc. K. Acad. Wet. Amsterdam. 19 18. - P. 1238.

35. Xerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as a example of algebraically special metrics. //Phys. Rev. Lett. 1963. - Vol.ll. -N 5. - P. 237 - 238.

36. Newman E. Tamburino L., Unti T. Empty space generalization of the Scnwarzshild metric. //J. Math. Phys. 1963. - Vol. 4. - N 7. - P. 915 -927.

37. Demianski M., Newman E. A. Combined Kerr-NUT solution of the Einstein field equations. //Bull. Acad. Polon Sci. Ser. sci. math, astronom at phys. 1966. - Vol. 14. -N 11. - P. 653 - 670.

38. Takeno H. On geometrical properties of some plane wave solution in general relativity // Tensor. 1959.- Vol.9. - N 2. - P. 79 -93.

39. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука. -1966. -496 с.

40. Iwata G. Empty spaces of Stackel. // Natur. Sci. Rept. Ochonomisu univ. 1969. - Vol.9. - N 2. - P. 79 - 93.

41. Обухов В.В. О некоторых классах точных решений уравнения Эйнштейна // Изв. вузов СССР, Физика. 1997, N 2, -с.73-77.

42. Обухов В.В. Пространства Эйнштейна с нулевым тензором материи, в которых уравнения геодезических допускают полное разделение переменных I. Томск, -1976, -15 с. - Рукопись деп. /Ред. кол. Изв. вузов СССР, Физика, ВИНИТИ N 2446-76 Деп.

43. Обухов В.В. Классы точных решений уравнения Эйнштейна // Изв. вузов СССР, Физика, -1977, N 5, с. 148 - 150.

44. Обухов В.В. Пространства Эйнштейна с нулевым тензором материи, в которых уравнения геодезических допускают полное разделение переменных. II. Томск. -1977, - 13 с. - Рукопись деп./ Ред. кол. Изв. вузов СССР, Физика, ВИНИТИ N 2640-77 Деп.

45. Обухов В.В. Пространства Эйнштейна, в которых уравнение Га-мильтона-Якоби допускает полное разделение переменных. В кн. Современные проблемы Общей теории относительности. Минск: ИФАН БССР - 1979, -с.226-227.

46. Обухов В. В. Классы точных решений уравнения Эйнштейна. Кандидатская диссертация. -Москва. МГУ. 1978. -99 с.

47. Воуег С.Р. Kalnins E.G., Miller Jr. W. Separation of variables in Einstein's spaces. I. Two ignorable and one nuil coordinates. // J. Phys. A : /Math. Gen. -.1981. Vol.14. - P. 1675 - 1684.

48. Collinson C.D. Fugere J. Conditions for the separation of the Hamilton- Jacobi equation. //J. Phys. A: Math. Gen. 1977. - Vol. 10. - N 11.- P. 1877- 1884.

49. Kinnersley W. Type D vacuum metrics. // J. Math. Phys. 1969, -V.10. - N 7. - P. 1195 - 1203.

50. Carter B. New family of Einstein spaces. // Phys. Lett. 1968. - A.26.- N 9. P. 399 - 400.

51. Carter B. Hamilton Jacobi and Schrodinger separable solution of Einstein's equations. /Preprint of Cambrige univ. - 1967. - 30p.

52. Багров В.Г., Обухов В.В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла // Изв.вузов СССР, Физика.-1982,-N 4.-С.13-16.

53. Багров В.Г., Обухов В. В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла. Изотропные наборы. В сб. Фундаментальные взаимодействия. -Москва, МГПИ. -1964. с. 188-197.

54. Bagrov V.G. Obukhov V.V. Classes of exact solutions of the Einstein- Maxwell equations. // Ann. Phys. 1983, - F.7. - Vol.40. - N 4/5. -P. 181 - 188.

55. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Штеккелевы пространства электровакуума с двухпараметрической абелевой группой движений. Постановка задачи и наборы типа (2.1) // Изв. вузов СССР, Физика. -1963. -N 1. -с.6-10.

56. Bagrov V.G. Obukhov V.V. Shapovalov A.V. Special Stackel spaces of electrovac. Conference on GRG. Padova. Contrib. pap. 1983. - Vol.1.- P. 21 23.

57. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Штеккелевы пространства электровакуума с двухпараметрической абелевой группой движений. Набор типа (2.0). // Изв. вузов СССР, Физика. -1983. -N 3. -с.115-120.

58. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Штеккелевы пространства вакуума с двухпараметрической абелевой группой движений

59. Изв. вузов СССР, Физика. -1983. -N 12. -с. 104- 106.

60. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Shapovalov A.V. Special Stackel electrovac space times. // J. Phys. 1986. - Vol.26. -N 2. - P. 93 - 108.

61. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Специальные штекке-левы пространства электровакуума / / Гравитация и теория относительности. -1986. -N 26. -с. 10-29.

62. Debever R., McLenaghan R.G. Orthogonal transitivity, invertibility and null geodesic separability in type D electrovac solution of Einstein's field equations with cosmological constant. //J. Math. Phys. 1981.- Vol. 22. N 8. - P. 1711 - 1726.

63. Diaz A.G. Electrovac type D solutions with cosmological constant. //J. Math. Phys. 1984.-Vol.25.- N 6.- P.1951-1954.

64. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Классификация изотропных штеккелевых пространств электровакуума. Препринт ТФ СО АН СССР. -1986. -N 25. -19 с.

65. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства электровакуума типа (1.1) // Гравитация и теория относительности. -1987. -N 24. -с.3-11.

66. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin K.E. Classification of the null Stackel electrovac space-times with cosmological constants // Gen. Rel. Grav.-1988. Vol.20.- N 11. -P. 1141.1154.

67. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства электровакуума с изтропными полными наборами типа (1.1) // Изв. вузов СССР, Физика. -1988. N 10. -с.79-83.

68. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Поля тяготения в проблеме Вайдья, допускающие разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби //Изв. вузов СССР, Физика. -1986.-N10.-c.3-8.

69. Захоров В.Д. Гравитационные волны в общей теории относительности. М.: Наука, -1972. -200 с.

70. Lichnerovicz A. Theories relativistes de la gravitation et de 1 electro-magnetism, relativite generale et theories. Paris. - 1955. - 299 p.

71. Wyman И., Trollope R. Null fields in Einstein- Maxwell field theory. //J. Math. Phys. 1965. - Vol. 6. - 12. - P. 1995 - 2007.

72. Wyman M., Trollope R. Null fields in Einstein- Maxwell field theory. //J. Math. Phys. 1967. - Vol. 18. - 4. - P. 938 -941.

73. Пенроуз P., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спи-норное исчисление и релятивистские поля. -М.:Мир, 1987. -528 с.

74. Patrik W. A homogenous Einstein-Dirac pure radiation field // Phys. Lett. A. 1990. -Vol. 147. - P. 435-451.

75. Patrik W. A class of exact solutions of the Einstein- Dirac equations //J. Math. Phys. 1991. -Vol. 32. - P. 231-238.

76. Шаповалов B.H., Экле Г.Г. Алгебраические свойства уравнения Дирака-Элиста: КГУ- 1972. -90 с.

77. Шаповалов В.Н., Экле Г.Г. Полные наборы и интегрирование линейной системы 1-го порядка // Изв. вузов СССР, Физика. -1974.- N 2. -с.83-92.

78. Шаповалов В.Н., Багров В.Г., Экле Г.Г. Полные наборы и разделение переменных в уравнении Дирака. Томск. -1975. - 17 с. -Рукопись доп./ Ред. кол. Изв. вузов СССР, Физика. ВИНИТИ N 405-75 Деп.

79. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнения Дирака- Фока // Изв.вузов СССР, Физика. -1975. -N 6. -с. 57-63.

80. Carter В., McLenaghan R.G. Generalized total angular momentum operator for the Dirac equation in curved space- times // Phys. Rev. D. 1979. - Vol.19. - P. 1093 - 1097.

81. Unruh W.G. Separability of the neutrino equations in a Kerr background // Phys.Rev.Lett. 1973. -Vol.31.- P.1265-I267.

82. Teukolsky S. Parturbation of a rotating black holl. I. Fundamental equations for gravitational electromagnetic and neutrino-field perturbation // Astroph. Journ. 1973. - Vol.185. - P. 635 - 647.

83. McLenaghan R.G., Spindel Ph. Quantum numbers for Dirac spinor fields on a curved space-time. //Phys. Rev. D. 1979. -Vol.20. - P. 409- 413.

84. Kamran N., McLenaghan R.G. Separation of variables and quantum numbers for Weyl neutrino field on curved space-time // Lett. Math. Phys.-1983. Vol.7.-P.381-386.

85. Kalnins E.G., Miller V.J., Williams G.C. Matrix operator symmetries of the Dirac equation and separation of variables //J. Math. Phys. 1986. Vol. 27. N 7. P. 1893-1900.

86. Guven R. The solution of Dirac s equation in a class of type D vacuum space-times // Proc. R. Soc. London. -1977. A.356. - P. 465 - 470.

87. Chernikov N.A., Shavokhina N.S. Principles of quantum theory of spinor field in Riemannian space-time // Acta Phys. Pol. B. -1990. -Vol. 20. -P. 177-183.

88. Bagrov V.G., Shapovalov A.V., and Yevseyevich A.A. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces // Class. Quant. Grav. -1990. -Vol.7. -P.517-524.

89. Багров В.Т., Шаповалов А.В., Евсеевич А.А. Разделение переменных в уравнении Дирака в пространствах Штеккеля типа (2.0) и (2.1). Препринт ТФ СО АН СССР, -1988. -N 9. -43 с.

90. Багров В. Г., Шаповалов А.В., Евсеевич А.А. Разделение переменных в пространствах Штеккеля типов (2.0), (2.1) с внешним калибровочным полем. Препринт ТФ СО АН CCCP.-1988.N23.-22c.

91. Багров В.Г., Шаповалов А.В., Евсеевич А.А. Штеккелевы пространства типа (2. п ), допускающие тензор Яно- Киллинга и вектор Яно. -Томск. -1987. -11 с. -Рукопись деп. /Ред. кол. Изв. вузов СССР, Физика. ВИНИТИ N 7865-В87 Дел.

92. Багров В.Г., Шаповалов А.В. Симметрия уравнения Дирака с внешним неабелевым калибровочным полем // Изв. вузов СССР, Физика. 1986. -N 3. -с.95-103.

93. Андрущкевич И.Е., Шишкин Г.В. О критериях разделимости переменных в уравнении Дирака в гравитационных полях // Теор. мат. фнз. -1987. -т. 70. -N 2. -с.289-302.

94. Шишкин Г.В., Тимощенко А.И. Разделение /В кн. Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация. Тарту: ТГУ. -1968. -с. 100-102.

95. Багров В.Г., Обухов В.В. Диагонализация уравнений Дирака-Фока и Вейля. Препринт ТФ СО АН СССР. -1988. ^ 10. -13 с.

96. Багров В. Г., Обухов В.В. Диагонализация уравнений Дирака-Фока //В кн. Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация. Тарту: ТТУ - 1988. - с.95-97.

97. Багров В.Г., Обухов В.В. Разделение переменных в квадрирован-ном уравнении Дирака-Фока для изотропных штеккелевых пространств. Препринт ТФ СО АН СССР. -1988. -Ы 11. -11 с.

98. Фролов В.П. Метод Ньмана-Пенроуза в общей теории относительности. // Труды ИФАН. -1977. т. 96. - с.72-180.

99. Алексеев Г.А., Хлебников В.И. Формализм Ньюмана-Пенроуза и его применение в Общей теории относительности // ЭЧАЯ. 1978. -т. 9. - N 5. -с.790-870.

100. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр I. Москва.: Мир. -1986. -276 с.

101. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. II. Москва.: Мир. -1986. -355 с.

102. Newman Е.Т., Penrose R. An approach to gravitational by method of spin coefficients // J. Math. Phys. 1962. -Vol. 3. - P. 566-575.

103. Багров В.Г., Обухов В.В., Сахапов А.Г. Штеккелевы пространства электровакуума, допускающие полное разделение переменных в диагонализованном уравнении Дирака. Тип (2.1). // Известия вузов. Физика. 1992. Т. 35, N 2. С. 116-120.

104. Багров В.Г., Обухов В.В., Сахапов А.Г. Штеккелевы пространства электровакуума, допускающие полное разделение переменных в диагонализованном уравнении Дирака. Тип (1.1). // Известия вузов. Физика. 1992. Т. 35, N 6. С. 31-34.

105. Багров В.Г., Обухов В.В., Сахапов А.Г. Плосковолновое решение системы уравнений Эйнштейна-Вейля. //Известия вузов. Физика. 1996. Т.39. N 2. С. 20-24.

106. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Sakhapov A.G. Integration of the Einstein-Dirac equations// Journal of Mathematical Physics. 1996. V. 37 (11), pp. 5599-5610.

107. Багров В.Г., Обухов В.В., Сахапов А.Г. Интегрирование уравнений Эйнштейна-Дирака для штеккелевых пространств типа (3.1) //Известия вузов. Физика. 1997. Т. 39. N 2. С. 3-9.

108. Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир. -1975. - 696 с.

109. Багров В.Г., Обухов В.В. Полное разделение переменных в свободном уравнении Гамильтона-Якоби // Теор. мат. физика. -1992. -Т.97. с.250-256.