Интегрируемость уравнений Эйнштейна для пространств с векторами Киллинга тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Конформно-штеккелевы метрики пространств Эйнштейна

1.1. Необходимые сведения из теории штеккелевых пространств

1.2. Условия совместности уравнений Эйнштейна.

1.3. Изотропные конформно-штеккелевы метрики.

1.4. Метрики типа (3.0). Временная переменная - неигнорируемая

1.5. Метрики типа (3.0). Временная переменная - игнорируемая

1.6. Метрики типа (2.0). Временная переменная - неигнорируемая

1.7. Метрики типа (2.0). Временная переменная - игнорируемая

2 Однородные космологические модели

2.1. Классификация однородных космологических моделей

2.2. Построение тетрады.

2.3. Полевые уравнения в спинорном формализме

3 Интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля для однородных космологических моделей 56 3.1. Уравнения Эйнштейна-Вейля для I-VI типов.

3.1.1. 72 = 0 и р2 = 0 (I тип по классификации Бианки)

3.1.2. Т2 = 0 и р2 ф 0 (II тип по классификации Бианки)

3.1.3. р2 ф 0 (Типы III, IV, VI)

3.1.4. р2 = 0 (Типы III, V, VI).

3.1.5. р2 — 0 и а\ = а2 (V тип).

3.1.6. р2 = 0 и ai ф а,2 (III и VI типы по классификации Бианки).

3.2. VII тип по классификации Бианки.

3.3. VIII тип по классификации Бианки.

3.4. IX тип по классификации Бианки.

4 Однородные метрики Эйнштейна-Вейля для типа I по Бианки

4.1. Полевые уравнений.

4.2. Интегрирование полевых уравнений.

4.3. Нахождение тетрады.

В настоящее время в физике высоких энергий и космологии предложено большое количество модельных теорий, включающие в себя гравитационное поле. В связи с этим возрастает интерес к разработке методов аналитического исследования различных полевых уравнений в искривленном пространстве-времени.

Уравнения гравитационного поля, описывающие геометрию пространства - времени, играют фундаментальную роль в современной теоретической физике. Вообще говоря, их анализ представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Однако в ряде случаев, наложив те или иные дополнительные ограничения, удается найти точное решение или хотя бы провести качественное исследование получившихся уравнений. Существует несколько способов наложения ограничений на пространство-время, например, исследование различных алгебраических типов Петрова и Пле-банского, выбор тензора энергии-импульса из физических соображений, задание групп симметрий, действующих на многообразии.

Групповой подход к изучению геометрии пространства является наиболее плодотворным с точки зрения описания гравитационного поля инвариантными свойствами метрики, определяемой полем, не зависящем от системы отнесения. Действительно, если метрика в одной системе координат допускает группу Ли G непрерывных преобразований, сохраняющую метрику, то это будет иметь место и в любой другой системе координат. Действие группы Ли G на пространственно-временном многообразии задается генераторами группы, которые удовлетворяют уравнению

Киплинга и, следовательно, именно пространства с векторами Киллинга представляют с этой точки зрения наибольший интерес.

В диссертации рассматриваются однородные пространства и конформно - штеккелевы метрики. Их объединяет существование в пространстве наборов, состоящих из трех геометрических объектов (для конформно-штеккелевых пространств - конформных векторных и тензорных полей Киллинга, для однородных пространств - векторных полей Киллинга). Для того и другого случая полевые уравнения удается свести к системе конечного (но достаточно большого) числа обыкновенных дифференциальных уравнений. В математической физике имеется большое количество методов исследования подобных систем уравнений. В качестве примера можно привести методы исследование дополнительных симметрий системы уравнений, гамильтонову формулировку, теорию динамических систем и т.д. [1]-[4].

Интерес с математической точки зрения к пространствам, допускающим некоторую симметрию связан с возможностью исследования интегрируемости получающихся систем уравнений, возможностью проинтегрировать методом полного разделения переменных уравнений геодезических.

Проблема интересна и с физической точки зрения, поскольку рассматриваемые пространства играют немаловажную роль в современной теоретической физике.

Так, несомненный интерес для космологии и теории гравитации представляют однородные пространства, лежащие, по существу, в основе современной космологии [5]-[8]. На базе однородных пространств строят модели Большого взрыва, начальных сингулярностей, а также инфляционные модели. Представляет интерес и выяснение различных механизмов изотропизации Вселенной [9]-[14]. Однородные пространства используют также в различных современных теориях гравитации для исследования общих закономерностей в картине развития Вселенной [15]-[19]. На фоне однородных пространств изучается воздействие гравитационного поля на другие поля и вещество. Такие исследования часто проводятся на базе заданного гравитационного поля - обычно точного решения уравнений Эйнштейна [20]-[24].

Все это является причиной того, что однородные пространства в настоящее время вызывают повышенный интерес у исследователей. Вместе с тем, их широкое применение осложнено двумя обстоятельствами. Во-первых, они заданы с достаточно большим произволом, и метрики этих пространств, даже записанные в системах координат, связанных с синхронными системами отсчета, в общем случае имеют довольно сложный вид. Во-вторых, с точки зрения космологии наиболее интересными представителями однородных пространств являются такие, в которых существуют решения уравнений материи, позволяющие построить зависящие только от временной переменной тензоры материи. Поэтому возникает проблема изучения всех типов однородных пространств на предмет нахождения среди них классов пространств, в которых могут быть получены соответствующие решения [24]-[30].

Интерес к штеккелевым и конформно-штеккелевым пространствам обусловлен в первую очередь тем фактом, что только для них существует возможность поставить проблему полного разделения переменных в квантовых и волновых уравнениях движения.

По-существу, разделение переменных является единственным известным в настоящее время конструктивным методом интегрирования данных уравнений. Цель метода состоит в классификации всех привилегированных систем координат и внешних электромагнитных полей, в которых возможно разделение переменных. Под классификацией понимается перечисление всех соответствующих пространственно-временных метрик и электромагнитных потенциалов (неэквивалентных относительно допустимых преобразований координат и градиентных преобразований потенциалов), удовлетворяющих требованию полного разделения переменных в уравнениях движения пробной частицы. В плоском пространстве-времени классификация проведена полностью [31, 32].

При этом с физической точки зрения наибольший интерес представляют пространства, удовлетворяющие системе полевых уравнений какой-либо гравитационной теории. В настоящее время наиболее хорошо изучена проблема классификации вакуумных и электровакуумных штеккеле-вых пространств. Штеккелевыми называются пространства, в которых уравнение Гамильтона-Якоби для незаряженной массивной частицы интегрируется методом полного разделения переменных.

Следует также отметить одну важную особенность, присущую как штеккелевым, так и однородным пространствам. Для них возможен переход к синхронным системам отсчета (которые существуют всегда) в явном виде. В синхронных системах отсчета можно дать ответы на важные физические вопросы, например, связанные с нахождением источников гравитационного поля [33]. Синхронные системы отсчета можно использовать для физической интерпретации точных решений уравнений Эйнштейна [33]-[40].

В данной диссертационной работе рассматриваются проблемы интегрирования уравнений Эйнштейна для случая конформно - штеккелевых метрик в вакууме и однородных пространств с тензором энергии-импульса спинорных полей. Несомненный интерес представляют получающиеся точные решения, а также проведенное качественное исследование возникающих систем уравнений.

Основными задачами диссертации являются:

- изучение особенностей отображения штеккелевых пространств на пространства Эйнштейна;

- исследование условий интегрируемости самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Вейля;

- осуществление точного интегрирования уравнений Эйнштейна-Вейля для I типа по классификации Бианки.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [71] -[73], [94], [95], [98], [103].

В заключение мне хотелось бы выразить свою искреннию благодарность моим научным руководителям, В.В. Обухову и К.Е. Осетрину за всесторонную помощь в работе, проведение совместных исследований и сотрудничество, а также В.Г. Багрову за постоянное внимание и интерес к моей работе, плодотворные обсуждения и советы.

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

• Исследованы отображения конформно-штеккелевых метрик на пространства Эйнштейна. Показанно, что если метрика не сводится к типу (1.1) и конформный фактор зависит от игнорируемых переменных, тогда данное пространство является конформно-плоским.

• Полученны в удобной для работы форме тетрады Ньюмена-Пенроуза для всех типов по классификации Бианки.

• Исследованна интегрируемость самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Вейля для случая однородных космологических моделей. Показанно, что данные системы являются интегрируемыми, за исключением некоторых частных случаев VIII и IX типов.

• Найдено точное решение уравнений Эйнштейна-Вейля для I типа по классификации Бианки.

1. Петров А.З. Новые методы в обшей теории относительности. -М.:Наука. 1966. - 496 с.

2. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука. - 1980. -320 с.

3. Крамер Д., Штефани X., Херльт Э., Мак-Каллум М. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.:Энергоиздат. - 1982. - 416 с.

4. Bagrov V.G., Obukhov V.V. New Method of Integration for the Dirac Equation on a Curved Space-Time //J. of Math. Phys. 1992. - Vol. 33. - P. 2279-2289.

5. Friedman A. Uber die Krtimmung des Raumes //Zs Phys. 1922. - Vol. 10. - P. 377-380.

6. Friedman A. Uber die Moglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krummung des Raumes //Zs Phys. 1924. - Vol. 21. - P. 326.

7. Taub A.H. Empty space-times admitting a three parameter group of motions //Ann. Math. 1951. - Vol. 53. - P. 472.

8. Ryan M., Shepley L. Homogeneous Relativistic Cosmologies. -Princeton Univ. Press, Princeton. 1975.

9. Chauvet P., Cervantes-Cota J.L. Isotropization of Bianchi-Type Cosmological Solutions in Brans-Dicke Theory //Phys. Rev. D. 1995. - Vol. 52. - P. 3416-3423.

10. Chiba Т., Mukohyama S., Nakamura T. Anisotropy of the Cosmic Background Radiation implies the Violation of the Strong Energy Condition in Bianchi type I Universe //Phys. Lett. B. 1997 - N. 408.- P. 47-51.

11. Bergamini R., Sedici P., Verrocchio P. Inflation for Bianchi IX model //Phys. Rev. D. 1997. - Vol. 55. - P. 1896-1900.

12. Byland S., Scialom D. Evolution of the Bianchi I, the Bianchi III and the Kantowski-Sachs Universe: Isotropization and Inflation //Phys.Rev. D.- 1998. Vol. 57. - P. 6065-6074.

13. Nojiri S., Obregon O., Odintsov S.D., Osetrin K.E. Can primordial wormholes be induced by GUTs at the early universe? //Phys. Lett. B.- 1999. N. 458. - P. 19-28.

14. Cervantes-Cota J. L., Nahmad M. Isotropization of Bianchi type models and a new FRW solution in Brans-Dicke theory //Gen. Rel. Grav. -2001. Vol. 33. - P. 767-780.

15. Aguirregabiria J.M., Feinstein A., Ibanez J. Exponential-Potential Scalar Field Universes I: The Bianchi I Models //Phys. Rev. D. 1993.- Vol. 48. P. 4662-4668.

16. Cho H. Т., Speliotopoulos A. D. Gravitational Waves in Bianchi Type-I Universes I: The Classical Theory //Phys. Rev. D. 1995. - Vol. 52. -P. 5445-5458.

17. Cheng A.D.Y., D'Eath P.D. Diagonal quantum Bianchi type IX models in N=1 supergravity //Class. Quant. Grav. 1996. - Vol. 13. - P. 31513162.

18. Randall L., Sundrum R. An Alternatine to Compactification Phys.Rev.Lett. 1999. - Vol. 83. - P. 4690-4693.

19. Csaki С., Joshul E., Grosean C. Gravitational Lorentz Violations and Adjustment of the Cosmological Constant in Asymmetrically Warped space-times //Nucl. Phys. B. 2001. - N. 604. - P. 312-342.

20. Barut A.O., Duru I.H. Exact solutions of the Dirac equation in spatially flat Robertson-Walker spase-times //J. Math. Phys. 1987. - Vol. 36. -P. 3705-3711.

21. Kovalyov M., Legare M. The Dirac equation in Robertson-Walker spaces: A class of solutions //J. Math. Phys. 1990. - Vol. 31. - P. 191-198.

22. Villalba V.H., Percoco U. Separation of varibles and exact solution of Dirac and Weyl equations in Robertson-Walker space-times //J. Math. Phys. 1990. Vol. 31. - P. 715-720.

23. Note Guello E.A., Capelas de Oliveira E. Klein-Gordon and Dirac equations in deSitter space-time //Int. J. of Theor. Phys. 1990. -Vol. 38. - P. 585-598.

24. Gavrilov S.P., Gitman D.M., Goncalves A.E. Quantum spinor fields in FRW Universe with a constant electromagnetic background //Int. J. Mod. Phys. A. 1997. - Vol. 12. - P. 4837-4868.

25. Brill D.R. Electromagnetic fields in homogeneous, nonisotropic universe //Phys. Rev. B. 1964. - Vol. 133. - P. 845.

26. Cahen M. On a class of homogeneous spaces in general relativity / / Bull. Acad. Roy. Belgique CI. Sci. 1964. - Vol. 50. - P. 972.

27. Boyer C.B., Kalnins E.G., Miller W. Separable coordinates for four-dimensional Rimannian Spaces // Commun. Math. Phys. 1978. - Vol. 59. - P. 285.

28. Dunn К.A., Tupper B.O.J. A class of Bianchi type VI cosmological models with electromagnetic field // Astrophys. J. 1976. - Vol. 204. -P. 322.

29. Patrik W. A homogeneous Einstein-Dirac pure radiational field //Phys. Lett. A. 1990. - Vol. 147. - P. 435-451.

30. Patrik W. A class of exact solutions of the Enstein-Dirac equation //J. Math. Phys. 1991. - Vol. 32. - P. 231-238.

31. Багров В.Г., Гитман Д.М., Тернов И.М., Халилов В.Р., Шаповалов В.Н. Точные решения релятивиских волновых уравнений. Новосибирск: Наука. - 1982. - 143 с.

32. Bagrov V.G., Gitman D.M. Exact Solutions of Relativistic Wave Equations. Kluwer Academic Publishers. London. - 1990. - 327 p.

33. Kepec X. Принцип соответствия в общей теории относительности //ЖЭТФ. 1964. - Т. 46. - N. 5. - С. 1741-1754.

34. Kepec X. К физической интерпритации решений уравнений Эйнштейна //ЖЭТФ. 1965. - Т. 52. - N. 3. - С. 768-779.

35. Коппель А. Ньютоновские и неньютоновские пределы гравитационных полей типа Kerra-NUY //Известия вузов. Физика. 1975. - N. 9. - С. 29-34.

36. Коппель А. Нерелятивиский анализ релятивиских гравитационных полей. Тарту.ТГУ. - 1977. - 85 с.

37. Коппель А. Нерелятивиские гравитационные поля в общей теории относительности. Тарту:ТГУ. - 1977. - 82 с.

38. Обухов В.В. О физической интерпретации пространств Эйнштейна //Изв. вузов. Физика. 1979. - N. 3. - С. 121-123.

39. Логунов А.А., Мествиришвили Основы релятивийской теории гравитации //ЭЧАЯ. 1986. - Т. 17. - N. 1. - С. 5-159

40. Коппель А. Мультипольные моменты и гармонические системы координат для ассимптотически плоских стационарных аксиально симметричных электоровакуммных 4-пространств //В кн. Гравитация и электромагнетизм. Минск, БГУ. - 1987. - С. 54-61.

41. Stackel P. Uber die integration der Hamilton-Jacobischen differential-gleichung mittels separation der variablen //Habilitatiomsschrift, Hale. 1881.

42. Stackel P. Sur des problemes de dynamique se reduisent a des quadratures //Comptes rendus hebd. S. Acad. Sci. (Paris). 1893. -Vol. 116. - P. 1284-1286.

43. Stackel P. Sur une class de problemes de dynamique //Comptes rendus hebd. S. Acad. Sci. 1893. - Vol. 116. - P. 485-48.

44. Stackel P. Uber die integration der Hamilton-Jacobischen differentialgleichung mittels separation der variablen //Ann. Math. -1897. Vol. 49. - P. 145-146.

45. Stackel P. Uber die bewegung eines Punktes in einer n-facher mannigfaltigkeit //Math. Ann. 1893. - Vol. 42. - P. 537-563.

46. Levi-Chivita T. Integrar. della equar. di Hamilton-Jacobi per separatione di variabilli //Math. Ann. 1908. - Vol. 66. - P. 398-415.

47. Яров-Яровой M.C. Об интегрировании уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных //П.М.М. 1963. - т.27. -N. 6. - с. 973-1019.

48. Шаповалов В.Н. Пространства Штеккеля //Сиб. мат. журнал. -1979. т. 20. - с. 1117-1130.

49. Багров В.Г., Мешков А.Г., Шаповалов В.Н., Шаповалов А.В. Разделение переменных в уравнении Клейна-Гордона //Изв. вузов. Физика СССР. 1973. - N. 11. - С. 66-72.

50. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. I //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. - N. 9. -С. 18-24.

51. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. II //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. - N. 9. -С. 25-27.

52. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнения движения свободной частицы в римановом пространстве //Изв. вузов СССР. Физика. 1976.- N. 9. С. 14-19.

53. Carter В. New family of Einstein spaces //Phys. Lett. A. 1968. - Vol. 26. - N. 9. - P. 399-400.

54. Iwata G. Empty spaces of Stackel //Natur. Sci. Rept. Ochonomisu Univ. 1969. - Vol. 9. - N. 2. - P. 79-93.

55. Обухов В.В. О некоторых классах точных решений Эйнштейна //Изв. вузов СССР. 1977. - N. 2. - С. 73-77.

56. Обухов В.В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна //Изв. вузов СССР. 1977. - N. 5. - С. 148-150.

57. Багров В.Г., Обухов В.В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла //Изв. вузов СССР. 1982. - N. 4. - С. 13-16.

58. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Штеккелевы пространства электровакуума с двухпараметрической абелевой группой движения. Постановка задачи и наборы типа (2.1) //Изв. вузов СССР.- 1983. N. 1. - С. 6-10.

59. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Штеккелевы пространства электровакуума с двухпараметрической абелевой группой движения. Наборы типа (2.0) //Изв. вузов СССР. 1983. - N. 3. - С. 115-120.

60. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Специальные штеккелевы пространства электровакуума //Гравитация и теория относительности. 1986. - N. 26. - С. 10-29.

61. Brinkman H.W. Riemann Spaces Conformal to Einstein's Spaces //Ann. Math. 1924. - V.91.

62. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Тетрадная формулировка условий Бринкмана //Труды ФОРА. 1996. - N. 1. - С. 24-28.

63. Фролов В.П. Метод Ньюмена-Пенроуза в общей теории относительности //Труды ИФАН. 1977. - т. 96. - С. 72-180.

64. Алексеев Г.А., Хлебников В.И. Формализм Ньюмена-Пенроуза и его применение в общей теории относительности //ЭЧАЯ. 1978. - т. 9. - N. 5. - С. 790-870.

65. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. I. М.:Мир.- 1986. 276 с.

66. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. II. М.:Мир.- 1986. 355 с.

67. Пенроуз Р, Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля. М.: Мир. - 1987.- 528 с.

68. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin КДЕ. The problem of exact integration of mathematical physics equations in curved space-times //Gravity, Particles and Space-Time. Singapore: World Scientific. -1996. - P. 1-18.

69. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Нетривиальные конформно-штеккелевы метрики пространств Эйнштейна //Изв. вузов. Физика. 1997. - N. 10. - С. 74-78.

70. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin К.Е. Classification of Null-Stackel Electrovac Metrics with Cosmological Constant //Gen. Rel. Grav. 1988. - Vol. 20. - N. 11. - P. 1141-1154.

71. Макаренко A.H., Осетрин К.Е. Конформно-штеккелевы метрики пространств Эйнштейна //Изв. вузов. Физика. 1999. - N. 10. - С. 34-43.

72. Макаренко А.Н. Неизотропные штеккелевы метрики в пространствах Эйнштейна// Труды региональной научно-практической конференции "Сибирская школа молодого ученого". Том IV. Томск, 1999. - с. 4.

73. Kasner Е. Geometrical theorems on Einstein s cosmological equations //Amet. Journ. Math. 1921. - Vol. 43.

74. Schwarzshild K. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie //Sitzungsber. Acad. Wis. 1916. - P. 195.

75. Kottler F. Uber die physikalishen Grundlagen der Einsteischen gravitations theorie //Ann. Phys. 1918. - Vol. 4. - P. 401-462.

76. Nordstrem C. On the energy of gravitational field in Einsthein theory// Proc. K. Acad. Wet. Amsterdam. 1918. - P. 1238.

77. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as a example of algebraically special metric //Phys. Rev. Lett. 1963. - Vol. 11. - N. 5. - P. 237-238.

78. Newman E.A., Tamburino L., Unti T. Empty space generalization of the Schwardshild metrics //J. Math. Phys. 1963. - Vol. 4. - N. 7. - P. 915-927.

79. Demianski M., Newman E. A. Combined Kerr-NUT solution of the Einstein field equation //Bull. Acad. Polon Sci. Ser. Sci. math, astronom at phys. 1966. - Vol. 14. - N. 11. - P. 653-670.

80. Takeno H. On geometrical proporties of some plane wave solution in general relativity //Tensor. 1959. - Vol. 9. - N. 2. - P. 79-93.

81. Эйзенхарт JI.П. Непрерывные группы преобразований. М.:И.Л. -1947. - 359 с.

82. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.:И.Л. - 1953. - 356 с.

83. Bianchi L. Sugli spazii a tre dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti //Soc. Ital. Sci. Mem. di Mat. 1897. - Vol. 11. - P. 267.

84. Fubini G. Sugli spacii she ammetono un gruppo continuo di movimenti. //Ann. Math. 1903. Vol. 3. - P. 8.

85. Fubini G. Sugli spacii a quattro dimensioni she ammetono un gruppo continuo di movimenti //Ann. Math. 1904. - Vol. 3. - P. 9.

86. Егоров И.П. К усилению теоремы Фубини о порядке групп движений римановых пространств //ДАН. 1949. -т. 66. - 5.

87. Егоров И.П. Максимальные подвижные римановы пространства постоянной кривизны //ДАН 1954. - т. 103. - 1.

88. Alvarado L., Rubakov Yu.P., Saha В., Shikin G.N. Exact Self-consistent Solutions to the Interacting Spinor and Scalar Field Equations in Bianchi Type-I Space-time //Russ. Phys. J. 1995. - Vol. 38. - P. 700705.

89. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Sakhapov A.G. Integration of the Einstein-Dirac equations //Journal of Mathematical Physics. 1996. - V. 37. - P. 5599-5610.

90. Zhelnorovich V.A. Cosmological solutions of the Einstein-Dirac equations //GC. 1996. - Vol. 2. - P. 109-116.

91. Saha В., Shikin G.N. Interacting Spinor and Scalar Fields in Bianchi type-I Universe filled with Perfect Fluid: Exact Self-consistent Solutions //Gen. Rel. Grav. 1997. - v.29. - P. 1099-1113.

92. Saha В., Shikin G.N. Nonlinear Spinor Field in Bianchi type-I Universe filled with Perfect Fluid: Exact Self-consistent Solutions //J. Math. Phys. 1997. - Vol. 38. - P. 5305-5318.

93. Makarenko A.N., Obukhov V.V. Homogeneous solutions of the Einstein-Weyl equation //Second International Conference "Quantum field theory and Gravity" (July 28-August 2). Томск. - 1997. - С. 298-304.

94. Макаренко A.H., Обухов В.В. Космологическое решение уравнений Эйнштейна-Вейля //Известия ВУЗов. Физика. 1998. - 11. -С. 69-78.

95. Saha В. Dirac spinor in Bianchi I universe with time Dependent Gravitational and Cosmologikal Constants //Mod. Phys. Lett. A. -2000. Vol. 16. - P. 1287- 1296.

96. Дубровин, Новикив, Фоменко Современная геометри. М.:Наука. -1986. - 760 с.

97. Макаренко А.Н. Однородные космологические модели //Труды второй сибирской школы молодого ученого. Том II. Математика, Физика, Информационные технологии. Томск. - 2000. - С. 9-13.

98. Coussaert О., Henneaux М. Bianchi cosmological models and Guage Symmetries //Class. Quant. Grav. 1993. - Vol. 10. - P. 1607-1618.

99. Capozziello S., Marmo G., Rubako C., Scudellaro P. Nother symmetries in Bianchi Universe //Int. J. Mod. Phys. D. 1997. - Vol. 6. - 491-503.

100. Maciejewski A., Szydlowski M., On the Integrability of Bianchi Cosmological Models //J. Phys. A. 1998. - Vol. 31. P. 2031-2043.

101. Tsamparlis M., Apostolopoulos P.S. Symmetries of Bianchi I space-times //J. Math. Phys. 2000. - Vol. 41. - P. 7573-7588.

102. Макаренко A.H., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля для пространственно-однородных моделей типа III по Бианки //Известия вузов. Физика. 2002. - N 1. - С. 51-56.

103. Ландау Л., Лившиц Е. Теория поля. М.: Наука. - 1988. - 512 с.

104. Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир. - 1975. - 696 с.