К теории интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Уравнения Эйнштейна.

Точные решения в теории гравитации.

Интегрируемость двумерных редукции уравнений Эйнштейна.

От гипотез интегрируемости к эффективным методам решения.

О содержании диссертации.

ЧАСТЬ I УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА ПРИ НАЛИЧИИ ДВУМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННО - ВРЕМЕННЫХ СИММЕТРИИ.

Глава 1 Геометрия пространства-времени с двумерной симметрией.

§ 1.1. Основные обозначения и определения.

§ 1.2. Локальные системы координат.

§ 1.3. Метрика, связность и кривизна.

§ 1.4. Формализм Ньюмена - Пенроуза для пространств с двумерной абелевой группой изометрий.

§ 1.5. Класс метрик Льюиса - Папапетру.

Глава 2 Классические безмассовые поля как источники гравитационного поля в пространстве-времени с двумерной симметрией.

§ 2.1. Электромагнитное поле.

§ 2.2. Двухкомпонентное безмассовое спинорное поле Вейля.

§ 2.3. Скалярное поле с минимальной связью.

§ 2.4. Идеальная жидкость с предельно жестким уравнением состояния р = е и потенциальным движением.

§ 2.5. Полный тензор энергии - импульса гравитационно взаимодействующих безмассовых полей.

Глава 3 Уравнения Эйнштейна для пространства - времени с двумерной симметрией.

§ 3.1. Уравнения связи для конформного фактора /.

§ 3.2. Автодуальная форма уравнений Эйнштейна.

§ 3.3. Уравнения связи для недиагональных компонент метрики Ша ц.

§ 3.4. Динамические уравнения для компонент метрики ¡гаъ • ■ ■

§ 3.5. Замкнутая система динамических уравнений.

§ 3.6. Динамические уравнения в терминах внешних форм.

СОДЕРЖАНИЕ

§ 3.7. Динамические уравнения в комплексной 3 х З-матричной форме.

§ 3.8. Модификация 3x3- матричных уравнений в координатах^}.

§ 3.9. Доказательство эквивалентности 3x3 - матричных уравнений системе динамических уравнений.

ЧАСТЬ II МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МОНОДРОМИИ.

Глава 1 Представление нулевой кривизны для динамических уравнений и эквивалентная спектральная задача.

§ 1.1. Построение ассоциированной линейной системы.

§ 1.2. Эквивалентность дополнительных условий существованию эрмитова интеграла ассоциированной линейной системы

§ 1.3. Эквивалентная 3x3- матричная спектральная задача.

§ 1.4. Пространство локальных решений и нормировочные условия.

Глава 2 Структура фундаментального решения Ф(£,77, w) ассоциированной линейной системы.

§ 2.1. Глобальные аналитические свойства Ф(£,r),w).

§ 2.2. Структура разреза на плоскости w.

§ 2.3. Голоморфная ветвь 4/(£,r¡,w) и ее свойства.

§ 2.4. Локальные аналитические свойства 77,«;) в точках составного разреза L — L+ U .ЦО

Глава 3 Прямая задача преобразования монодромии: определение данных монодромии для произвольного локального решения.

§ 3.1. Определение данных монодромии.

§ 3.2. Данные монодромии для системы (II.1.16).

§ 3.3. Данные монодромии для уравнений обобщенных Эрнста.

Глава 4 Линейное сингулярное интегральное уравнение как эквивалентная форма полевых уравнений.

§ 4.1. Эквивалентная задача сопряжения для аналитических функций.

§ 4.2. Вывод основного сингулярного интегрального уравнения

§ 4.3. Структура сингулярного интегрального уравнения.

§ 4.4. О корректности основного интегрального уравнения.

СОДЕРЖАНИЕ з

§ 4.5. Вычисление комплексных потенциалов и компонент метрики

§ 4.6. Эквивалентность основного интегрального уравнения обобщенным уравнениям Эрнста.

Глава 5 Уравнения Фредгольма эквивалентные уравнениям Эрнста. Обратная задача преобразования монодромии: существование и единственность решений.

§ 5.1. "Достаточность" интегральных уравнений.

§ 5.2. Регуляризация основного интегрального уравнения: уравнения Фредгольма, эквивалентные обобщенным уравнениям Эрнста.

§ 5.3. Уравнения Фредгольма, эквивалентные электровакуумным уравнениям Эрнста.

§ 5.4. Существование и единственность локальных решений для произвольных данных монодромии.

ЧАСТЬ III ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ.

Глава 1 Начальные и краевые условия и различные типы граничных задач.

§ 1.1. Задача Гурса.

§ 1.2. Задача Коши.

§ 1.3. Краевая задача в эллиптическом случае.

Глава 2 Точная линеаризация граничных задач граничных для уравнений Эрнста.

§ 2.1. Задача Гурса. Ц

§ 2.2. Задача Коши.

§ 2.3. Краевая задача в эллиптическом случае.

Глава 3 Граничные задачи для полей с линеаризующимися динамическими уравнениями.

§ 3.1. Волны Эйнштейна - Розена и статические решения Вейля

§ 3.2. Интегральные представления общих решений уравнений

Лапласа и Эйлера - Пуассона - Дарбу.

§ 3.3. Общее решение спектральной задачи и вычисление данных монодромии для вакуумных полей с диагональной метрикой.

§ 3.4. Общее решение задачи Гурса для вакуумных полей с диагональной метрикой в терминах преобразования монодромии.

СОДЕРЖАНИЕ

§ 3.5. Общее решение задачи Коши в гиперболическом случае для вакуумных полей с диагональной метрикой в терминах преобразования монодромии.

§ 3.6. О построении решений граничных задач для вакуумных полей с диагональной метрикой в эллиптическом случае

Глава 4 Классы полей определяемые асимптотическими условиями: слабые поля, поля регулярные на границе а{хг,х2) = 0 и асимптотически плоские поля.

§ 4.1. Общее локальное решение уравнений Эрнста в терминах решения основного интегрального уравнения.

§ 4.2. Общее решение для слабых полей.

§ 4.3. Класс решений, регулярных на границе «(ж1, х2) =

§ 4.4. Редукция линейных интегральных уравнений для полей с аналитически согласованными данными монодромии

§ 4.5. Асимптотически плоские поля и их мультипольные разложения

ЧАСТЬ IV МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ

ЭЙНШТЕЙНА И ЭЙНШТЕЙНА - МАКСВЕЛЛА.

Глава 1 Вакуумные солитоны Белинского и Захарова (А-солитоны) в контексте метода преобразования монодромии.

§1.1. Генерация А-солитонов (метод "одевания").

§ 1.2. Генерация вакуумных ги-солитонов методом одевания

§ 1.3. Преобразование данных монодромии при генерации вакуумных w-солитонов.

Глава 2 Солитонные решения электровакуумных уравнений Эйнштейна

- Максвелла (w - солитоны с комплексными полюсами).

§ 2.1. Определяющая система матричных уравнений.

§ 2.2. Генерация солитонных решений с комплексными полюсами

§ 2.3. Электровакуумные iV-солитонные решения в замкнутой форме.

§ 2.4. Преобразование данных монодромии, при генерации электровакуумных w - солитонов с комплексными полюсами.

Глава 3 О расширении семейства электровакуумных солитонов (вырожденные солитоны с вещественными полюсами).

СОДЕРЖАНИЕ

§ 3.1. Генерация односолитонного решения с вещественным полюсом

Глава 4 Процедура генерация простейшего типа несолитонных решений и соответствующее ей преобразование данных монодромии

§ 4.1. Генерация решений с линейной по ю одевающей матрицей

§ 4.2. Преобразование данных монодромии при генерация решений с линейной по гу одевающей матрицей.

Глава 5 Класс решений электровакуумных полей с произвольными аналитически согласованными рациональными данными монодромии

§ 5.1. Уравнения Эйнштейна-Максвелла в форме линейных сингулярных интегральных уравнений и уравнений Фред-гольма.

§ 5.2. Аналитически согласованные данные монодромии и видоизмененные интегральные уравнения.

§ 5.3. Общий вид решения уравнений Эйнштейна - Максвелла с произвольными аналитически согласованными рациональными данными монодромии.

ЧАСТЬ V ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА

И ИХ ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ.

Глава 1 Односолитонные возмущения и волны на фоне пространства

Минковского.

§ 1.1. Двумерные абелевы подгруппы изометрий пространства

Минковского и отвечающие им формы метрики.

§ 1.2. Общее решение спектральной задачи для пространства

Минковского.

§ 1.3. Общий вид односолитонного электровакуумного решения с комплексным полюсом на фоне пространства Минковского

§ 1.4. Стационарное осесимметричное односолитонное решение при А = 0: решение Керра - Ньюмена для внешнего поля заряженной вращающейся черной дыры.

§ 1.5 Односолитонные квази-цилиндрические гравитационные и электромагнитные волны на фоне пространства Минковского

СОДЕРЖАНИЕ

§ 1.6 Односолитонные квази - сферические гравитационные и электромагнитные волны на фоне пространства Минков-ского.

Глава 2 Двухсолитонные конфигурации гравитационных и электромагнитных полей на фоне пространства Минковского.

§ 2.1 Общее двухсолитонное электровакуумное решение на фоне пространства Минковского при А = 0.

§ 2.2 Двенадцатипараметрическое стационарное осесиммет-ричное решение для поля двух взаимодействующих источников типа Керра - Ньюмена.

§ 2.2 Взаимодействующие неплоские солитонные гравитационные и электромагнитные волны.

Глава 3 Генерация простейших несолитонных решений: взаимодействие заданной полевой конфигурации с внешним электромагнитным полем.

§ 3.1. Несолитонные возмущения пространства Минковского

§ 3.2. Динамика замкнутой вселенной Фридмана при наличии однородных электромагнитных полей.

Глава 4 Черная дыра Шварцшильда в полузамкнутой магнитной вселенной Бертотти - Робинсона, как пример нелинейной суперпозиции полей.

§ 4.1. Полевые конфигурации с рациональными данными монодромии и их нелинейная суперпозиция.

§ 4.2. Черная дыра в полузамкнутой статической магнитной вселенной.

Современная теория гравитации, построенная на основе общей теории относительности Эйнштейна (ОТО), представляет собой, как известно, одну из наиболее стройных и красивых физических теорий. Лежащая в основе этой теории интерпретация явления гравитации, как проявления геометрических свойств (кривизны) пространства - времени, приводит к единой, динамической связи разнообразных объектов как физической, так и чисто геометрической природы. Включая в свое рассмотрение все явления классической (т.е. не квантовой) гравитационной физики, - от сугубо локальных, таких как движение и эволюция сверхплотных компактных космических объектов, образование черных дыр, излучение и распространение гравитационных волн, и до наиболее глобальных, связанных со структурой и эволюцией Вселенной как целого, в особенности, на самых начальных этапах ее развития, - эта теория неизменно привлекает большое внимание исследователей на протяжении более чем восьмидесяти лет своего существования.

С физической точки зрения это внимание обусловлено в первую очередь и тем огромным разнообразием конкретных задач, решение которых способствовало бы нашему пониманию физической природы гравитационных явлений, и тем хорошо известным влиянием, которое эта теория оказала на формирование целого ряда более общих и замечательных идей, лежащих в основе современной теории поля и направленных на построение единой теории всех наблюдаемых в природе взаимодействий. Не меньший интерес эта теория представляет и с чисто математической точки зрения, благодаря разнообразию и богатству различных структур, открывающихся при исследовании уравнений, лежащих в основе этой теории - уравнений Эйнштейна. Фундаментальная природа этих уравнений, сочетающиеся в их структуре сложность и внутреннее изящество сами по себе несомненно заслуживают внимания и, став объектом исследования, могут существенно расширить наши представления о природе нелинейных уравнений, подсказывать новые пути к их интегрированию.

Многие аспекты как физического содержания теории, так и ее математической структуры могут быть прослежены уже "в малом" - в упрощенных модельных ситуациях, получаемых при ограничении рассмотрения дополнительными предположениями, которые должны быть достаточно естественными, чтобы сохранить физическую содержательность теории, но достаточно действенными, чтобы сделать возможным развитие эффективных подходов к ее анализу. Как и во всякой нелинейной теории, подобным ограничением может служить предположение о наличии пространственно - временных симметрий. Как показало развитие теории в последние три десятилетия, благодаря только этому ограничению дальнейшие исследования в ряде физически важных случаев оказываются на пересечении ин7

ВВЕДЕНИЕ 8 тересов двух направлений - теории гравитации и современной теории интегрируемых нелинейных систем, что обуславливает достаточно богатые возможности развития разнообразных эффективных математических методов исследования различных нелинейных явлений при участии сильных гравитационных полей.

Основной целью и содержанием представленных ниже исследований автора являлись поиск новых интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна, формулировка некоторого общего подхода к анализу уравнений Эйнштейна в интегрируемых случаях, наиболее адекватного внутренней структуре рассматриваемых уравнений, и развитие на его основе эффективных методов конструирования физически интересных модельных полевых конфигураций с последующим исследованием их физических и геометрических свойств, отражающих различные аспекты нелинейного характера гравитационного взаимодействия. В последующих частях настоящей работы дано подробное описание этих результатов, однако, прежде, чем переходить к их изложению, уделим некоторое внимание истории развития подобных исследований, касающейся уравнений Эйнштейна, роли их точных решений в теории гравитации, а также наиболее известных результатов, связанных с интегрируемостью этих уравнений при наличии пространственно - временных симметрий в ряде физически интересных случаев.

Уравнения Эйнштейна.

Уравнения Эйнштейна в Общей теории относительности возникают как далеко идущее обобщение уравнений ньютоновской теории гравитации. Так, в ньютоновской механике определяющие уравнения (при учете гравитации) являются экстремалями функционала действия вида где интеграл вычисляется по некоторой области пространства У3 и в пределах заданного интервала времени Г, а плотность лагранжиана помимо суммарного вклада гаемых, отвечающих соответственно взаимодеиствию материи с гравитационным полем и собственно гравитационному полю, так что само гравитационное поле, описываемое потенциалом определяется хорошо известным линейным уравнением Пуассона где Д - оператор Лапласа, 7 « 6.67 • 10~8см3/г сек2 - гравитационная постоянная Ньютона, а ср - потенциал гравитационного поля, создаваемого источниками распределение масс которых характеризуется плотностью р. vя хт всех видов присутствующей в пространстве материи Ст включает еще два ела

А(р = 4л"7р

ВВЕДЕНИЕ9

В то же время, в Общей теории относительности аналогичное действие приобретает вид (х = 87Г7/С4 - гравитационная постоянная Эйнштейна):

5 = ^ У [Ст - -^Щу/^^х,

V4 где интеграл уже берется по некоторой области искривленного четырехмерного пространства - времени V4, плотность лагранжиана материи Ст строится теперь с учетом римановой пространственно - временной метрики (что и определяет взаимодействие материи и гравитационного поля и делает ненужным присутствие дополнительных членов, описывающих это взаимодействие), а часть действия, отвечающая собственно гравитационному полю, записанная в форме Гильберта - Эйнштейна, приобретает чисто геометрический вид, поскольку представляет собой скларную кривизну Риччи четырехмерного псевдориманова пространства - времени с лоренцевой сигнатурой метрики.

Вариация действия Гильберта - Эйнштейна по метрике приводит к фундаментальным уравнениям, составляющим часть полной системы уравнений, определяющих поведение материи, гравитационного поля и характер их взаимодействия — уравнениям Эйнштейна. Эти уравнения, образующие (в отличие от уравнения Пуассона) квазилинейную гиперболическую систему, обладают несравнимо более сложной, нелинейной структурой. Именно этой структурой, как и другими специ-фичесикми свойствами этих уравнений обусловлено множество чрезвычайно интересных явлений, происходящих в сильных гравитационных полях и имеющих своей сутью отождествление гравитации с проявлением геометрических свойств пространства - времени.

Изучению всевозможных физических явлений, происходящих в сильных гравитационных полях посвящено огромное количество исследований. Подробное описание многих из этих явлений и их простейших моделей было дано в фундаментальной книге [1]. Многие важные свойства сильных гравитационных полей были также описаны в известных монографиях, книгах и сборниках, например, в [2 - 7], как и во множестве других, более поздних и современных, а так же более специальных изданий. Значительная часть этих результатов была получена благодаря знанию точных частных решений уравнений Эйнштейна. Таким образом, в теории гравитации Эйнштейна, как и в любой нелинейной теории, значительный интерес представляет построение и исследование разнообразных семейств точных решений. Выделение среди этих решений простых модельных конфигураций, их детальное исследование позволяет выявлять многие качественные особенности поведения гравитационных полей и процесса их взаимодействия с различными видами материи.

ВВЕДЕНИЕ10

Точные решения в теории гравитации.

Длительное время для уравнений Эйнштейна было известно лишь небольшое число отдельных семейств точных решений с очень малым числом свободных параметров, обладающих высокой степенью пространственно - временной симметрии и (или) существенной вырожденностью структуры различных геометрических характеристик. Тем не менее, среди этих простейших семейств решений уже содержался ряд решений, наделенных необычными, подчас весьма неожиданными свойствами и давших самые первые представления о свойствах и характере поведения сильных гравитационных полей, обусловленных их существенной нелинейностью. Дальнейшие исследования показали, что несмотря на высокую степень пространственно - временной симметрии и вырожденность структуры, многие из этих решений выражают действительно фундаментальные свойства гравитационных полей, проявляющиеся и в значительно более общей физической ситуации.

Роль точных решений в становлении основных направлений теории.

Некоторые из полученных в самом начале решений, стали широко известными, сыграв фундаментальную роль в развитии важнейших направлений теории гравитации и ее приложений в астрофизике — физике черных дыр, космологии, гравитационно-волновой физике.

Физика черных дыр. Найденные еще в 1916 и 1918 г.г. статические сферически

- симметричные решения Шварцшильда [8] и Рейсснера - Нордстрема [9,10] описывают соответственно внешнее поле в пустоте (вакууме) некоторого сферически

- симметричного массивного тела и его электровакуумный аналог, возникающий при наличии у массивного тела электрического заряда. Знание решения, описывающего внешнее поле сферической массы, позволило предсказать существование и величину ряда эффектов, таких как прецессия перигелия планетных орбит, отклонение лучей света, запаздывание электромагнитных сигналов и красное смещение их спектров в гравитационном поле, наблюдавшихся затем в действительности и до сих пор составляющих экспериментальную основу релятивистской (т.е. не ньютоновской) теории гравитации. Из этих же решений следовало, что при уменьшении радиуса центрального тела, создающего поле (т.е. при попытке получить общерелятивистский аналог ньютоновского поля точечной массы и кулоновского поля точечного заряда), возникает некоторая конфигурация внешнего поля, обладающая рядом удивительных, специфических свойств, благодаря которым эта конфигурация получила название черной дыры.

Почти полвека спустя, благодаря использованию новых методов были найдены два новых семейства решений — решения Керра [11] и Керра - Ньюмена [12], являющиеся стационарными осесимметричными обобщениями соответственно решений Шварцшильда и Нордстрема - Рейсснера и содержащие, помимо параметров, задающих массу черной дыры и ее электрический заряд, еще один важный параметр,

ВВЕДЕНИЕ11 задающий момент вращения черной дыры. Эти решения обладают еще более богатым, чем решения Шварцшильда и Нордстрема - Рейсснера, набором физических свойств, обусловленных вращением источника. Позднее удивительным образом оказалось, что решение Керра (или, при наличии электрического заряда, — решение Керра - Ньюмена) и только оно описывает конечное стационарное состояние изолированной от всех внешних воздействий черной дыры. Открытие этого решения, изучение его свойств положило начало новой и весьма широкой области исследований в современной теории гравитации - физики черных дыр.

Космология. Семейства решений Фридмана [13], возникшие еще в первое десятилетие существования ОТО, представляют собой простейшую модель нашей расширяющейся Вселенной и описывают пространство - время, заполненное однородно и изотропно распределенной в пространстве материей - пылью или идеальной жидкостью с давлением. Все характеристики этой материи зависят только от времени, а трехмерное физическое пространство может иметь постоянную по пространству, но зависящую от времени положительную или отрицательную, а также нулевую кривизну. Интереснейшей особенностью этих решений была их нестационарность, однородный и изотропный разлет всей содержащейся в пространстве материи, бесконечность или конечность и замкнутость физического пространства и возможная смена расширения сжатием в зависимости от того, превосходит или нет плотность вещества Вселенной определенное критическое значение, и, наконец, наличие во всех решениях космологической сингулярности в момент времени в прошлом, соответствующий началу расширения, в котором кривизна пространства - времени, плотность вещества, его температура и давление обращались в бесконечность. Знание этих решений позволило построить простейшую космологическую модель, описывающую наблюдаемое расширение Вселенной и в то же время лишенную всех тех внутренних парадоксов и трудностей, которые возникали при попытках построить адекватную космологическую модель в рамках ньютоновской теории тяготения.

Интенсивное изучение проблемы начальной космологической сингулярности, начатое четверть века спустя исследованием устойчивости малых возмущений однородных и изотропных космологических моделей Фридмана, вместе с последующим анализом поведения решений, описывающих более общие, чем фридмановские, анизотропные, но пространственно однородные космологические модели, называемые обычно моделями Бианки, привело к доказательству существования начальной сингулярности в общем решении космологического типа и к открытию специфического колебательного характера приближения к этой сингулярности [14]. Более детальный и строгий анализ, давший полное описание всевозможных типов поведения однородных космологических моделей вблизи сингулярности, на основе качественной теории динамических систем был выполнен в [15].

В последние десятилетия при более детальном исследовании возможного характера расширения Вселенной на самых ранних его этапах, когда существенную роль

ВВЕДЕНИЕ12 могли играть разнообразные квантовые эффекты, стали рассматриваться различные "инфляционные" сценарии эволюции Вселенной, типичным свойством которых является прохождение Вселенной через стадию сверхбыстрого (экспоненциального) расширения, сглаживающего все ее возможные неоднородности [16 - 18]. Особенности этой стадии впервые также были прослежены на давно известном семействе точных решений получивших таким образом более современное толкование и называемых моделями де-Ситтера [5].

Гравитационные волны. Среди первых найденных точных решений, имеющих волновой характер, хотя и представляющими изначально, быть может больший теоретический, нежели практический интерес, были двумерные волновые конфигурации Эйнштейна - Розена [19,20]. Для этих полей, удовлетворяющих вакуумным уравнениям Эйнштейна, метрика пространства - времени является диагональной, а все искомые функции выражаются (хотя и довольно сложным, нелинейным образом) всего через одну функцию, являющуюся произвольным решением двумерного линейного уравнения второго порядка гиперболического типа (уравнения Эйлера -Пуассона - Дарбу). Рассмотрение конкретных решений из этого класса поставило ряд интересных теоретических вопросов о распространении и взаимодействии гравитационных волн, их воздействии на пробные тела, переносимой ими энергии [21].

Весьма интересным и неожиданным оказалось, например, что при столкновении плоских гравитационных волн даже при вполне регулярных начальных данных в результате взаимодействия этих волн и их взаимной фокусировки образуется пространственно - подобная сингулярная поверхность, вблизи которой кривизна пространства - времени неограниченно возрастает [22 - 24]. Ряд интересных аспектов распространения и взаимодействия гравитационных, а также гравитационных и электромагнитных волн, структуры образующихся при столкновении волн сингу-лярностей геометрии пространства - времени были детально рассмотрены в монографии [25].

Взаимодействие полей различной структуры Другим важным классом полей, сходным по своей формальной структуре с классом решений Эйнштейна - Розена, является класс статических полей с осевой симметрией в вакууме, найденный Вейлем [26] еще в 1918 г. Метрика пространства - времени для решений Вейля также является диагональной, причем все ее ненулевые компоненты выражаются алгебраически или в квадратурах всего через одну функцию, логарифм которой является произвольным решением двумерного линейного уравнения второго порядка эллиптического типа, совпадающего с 3-х мерным уравнением Лапласа для осесимметричных полей. Многие представители этого класса полей могут быть вычислены в простой и явной форме. Построенные примеры конкретных решений из этого класса породили первые представления об общерелятивистских уравнениях движения тел (точнее, в данном случае, - об условиях их равновесия), расширили

ВВЕДЕНИЕ 13 представления о возможных типах пространственно - временных сингулярностей.

Дальнейшие исследования также показали, что уже среди этих первых найденных простейших решений содержался ряд физически важных и интересных случаев, которым спустя почти полвека после того, как они были найдены, предстояло сыграть фундаментальную роль при обсуждении целого ряда современных вопросов как самой теории гравитации, так и различных ее приложений.

Развитие новых методов в ОТО .

Очевидный прогресс теоретических исследований в гравитации, обусловленный знанием ряда точных решений уравнений поля, естественно стимулировал развитие новых методов интегрирования уравнений Эйнштейна и поиск их новых точных решений, описывающих всевозможные физические ситуации.

Классификации решений по группам движений и алгебраической структуре В начале 60-х годов предшествовавшее изучение возможных типов геометрии пространства - времени, наделенной изометриями, их детальная классификация, а так же исследование алгебраической структуры различных геометрических характеристик (тензоров Римана, Вейля, Риччи) послужило основой нового этапа подобных исследований [27]. Большую пользу тогда принесла построенная А.З.Петровым [28] и дополненная затем Р.Пенроузом [29] классификация типов алгебраической структуры тензора Вейля и выделение алгебраически специальных типов пространств.

Формализм Ньюмена и Пенроуза Одним из наиболее эффективных методов, давших значительную часть полученных в те годы результатов, явился метод, основанный на формализме, предложенном Ньюменом и Пенроузом (формализме комплексных изотропных тетрад или эквивалентной его спинорной формулировке) [30]. Этот формализм, получивший и значительно более широкие применения, был, в частности, успешно использован в сочетании с классификацией Петрова типов алгебраической структуры тензора Вейля для непосредственного интегрирования уравнений Эйнштейна для ряда подклассов алгебраически специальных полей и позволил в некоторых случаях найти полное решение для данного типа алгебраической структуры тензора Вейля (например, все вакуумные поля типа £> [31]). Различные применения этого формализма описаны в [1,5,6,30], а также в обзорах [32,33].

Другие методы Параллельно, в 60-х — 70-х годах, развивались также и другие методы анализа уравнений Эйнштейна, применявшиеся к исследованию разнообразных математических проблем общей теории относительности, в частности, так называемой гипотезы космической цензуры, положительности энергии гравитационных волн, постановки и изучения общих свойств задачи Коши. Немалую пользу при этом принесло изучение конкретных свойств различных известных точных решений уравнений Эйнштейна. Некоторые методы и полученные результаты отражены в более поздних обзорах [34,35].

Двумерные редукции уравнений Эйнштейна, потенциалы и уравнения Эрнста В то же время все большее внимание стал привлекать класс стационарных осесим

ВВЕДЕНИЕ14 метричных полей, благодаря своей физической содержательности и, одновременно, значительным упрощениям уравнений Эйнштейна, возникающим при этом по крайней мере в наиболее фундаментальных случаях чисто вакуумных или электровакуумных полей. Для специального и уже давно известного класса метрик (называемых метриками Льюиса - Папапетру [36,37]), компоненты которых в цилиндрической системе координат зависят только от двух координат р и 2 и имеют блочно

- диагональный вид [38], Эрнстом [39,40] была получена чрезвычайно элегантная форма редуцированных уравнений, которая стала называться впоследствии уравнениями Эрнста. Оказалось, что все ненулевые компоненты рассматриваемых вакуумных метрик могут быть выражены алгебраически или в квадратурах всего через одну комплексную функцию £(р,г) (называемую комплексным потенциалом Эрнста), а в электровакуумном случае, вместе с компонентами электромагнитного 4-потенциала — через два аналогичных комплексных потенциала Эрнста £{р,г) и Ф(р, г). При этом все уравнения Эйнштейна после разрешения связей сводятся в случае вакуума всего к одному нелинейному комплексному уравнению второго порядка (квазилинейному уравнению эллиптического типа) для комплексного потенциала £(р,г), а в случае электровакуума (т.е. уравнения Эйнштейна - Максвелла) к связанной системе двух подобных уравнений для комплексных потенциалов £{р,г) и Ф(р, г). Без особого труда аналогичные уравнения Эрнста могут быть выведены и для класса полей, весьма сходных со стационарными осесимметрич-ными полями, но зависящих от времени и одной из пространственных координат (хотя в этом случае, очевидно, возникает система квазилинейных уравнений не эллиптического, а гиперболического типа).

Имеющие чрезвычайно простую и удобную форму, уравнения Эрнста, их внутренняя структура немедленно стали объектом детального изучения для многих авторов, что привело к обилию различных применявшихся частных способов их интегрирования. В результате, многие из полученных в те годы решений вакуумных уравнений Эйнштейна или электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла являлись стационарными осесимметричными или плосковолновыми и были построены именно посредством решения уравнений Эрнста. Использование этих уравнений по существу стало одним из наиболее эффективных методов интегрирования уравнений Эйнштейна.

Многообразие точных решений и их физическая интерпретация.

На основе разработанных в те годы методов впоследствии было найдено значительное количество новых интересных и содержательных с физической точки зрения решений. Среди этих решений содержится, в частности, множество различных вакуумных или содержащих вещество анизотропных однородных или неоднородных решений космологического типа, различные геометрические и физические свойства которых обсуждались, например, в обзорах [41,42]; много решений, опи

ВВЕДЕНИЕ15 сывающих разнообразные волновые конфигурации, возникающие при столкновении плоских волн различных типов (гравитационных, электромагнитных и некоторых других) и различной формы (анализ этих решений и их подробная физическая интерпретация даны, например, в книге [25]). Особенно разнообразно представлен точными решениями класс стационарных осесимметричных решений, среди которых можно выделить следующие интересные группы:

Асимптотически плоские "частицеподобные" решения. Помимо уже упоминавшихся решений Шварцшильда, Керра, Нордстрема - Рейсснера и Керра - Ньюмена для изолированных черных дыр и некоторых их обобщений, включающих, например, отличную от нуля космологическую постоянную, здесь следует упомянуть семейства решений Томиматсу - Сато (и ряд их обобщений), содержащие параметры, описывающие, кроме массы и момента вращения, произвольный квадрупольный и высшие мультипольные моменты источника, имеющие горизонты, кольцевые сингулярности и другие интересные особенности [43]; решение Боннора, описывающее поле массивного магнитного диполя [44]; семипараметрическое решение Плебань-ского - Демьяньского [45], содержащее помимо массы, параметры, определяющие момент вращения, электрический и магнитный заряды источника, его ускорение, параметр НУТ и ненулевое значение космологической постоянной. (Заметим, однако, что в нашей весьма условной классификации последнее решение по своей интерпретации следует отнести, скорее, к следующей группе решений, и потому оно будет там упомянуто повторно). Наконец, еще одним, интереснейшим с физической точки зрения примером является решение, полученное Нейгебауэром и Майнелем [46 - 48] и описывающее "самосогласованную" конфигурацию состоящую из изолированного твердотельно вращающегося в собственном гравитационном поле бесконечно тонкого пылевого диска и его всюду регулярного внешнего асимптотически плоского поля.

Двухчастичные" и "многочастичные" решения. Многие решения этого типа, как правило, удовлетворяют ослабленным требованиям асимптотической евкли-довости, являясь лишь локально асимптотически плоскими. Сюда можно отнести: решение, найденное много лет назад Чази и Курзоном [49,50] (принадлежащее к семейству решений Вейля), в котором две особенности, наделенные массами, находятся в равновесии и в котором, быть может, впервые было обнаружено появление нефизических особенностей (конических точек на оси симметрии) , являющихся дополнительными источниками гравитационного поля, обусловливающими статичность решения как целого [2]; аналогичное семейство, содержащее любое число Шварцшильдовских особенностей (свойства этого семейства были подробно изучены в [51]); статические решения Маюмдара - Папапетру [52,53] и их стационарные обобщения [54], в которых любое число экстремально заряженных черных дыр находится в безразличном равновесии под действием собственного гравитационного притяжения и электромагнитного отталкивания; двух-Керровское решение, впер

ВВЕДЕНИЕ16 вые рассмотренное в [55] и изучавшееся затем в [55 - 64], а также его электровакуумное обобщение построенное впервые автором [65] и содержащее два источника типа Керра - Ньюмена с двенадцатью параметрами, включающими, помимо массы, момент вращения, электрический и магнитный заряды, параметр НУТ каждого из источников, или еще более полное семейство, построенное в [66], хотя и уже содержащееся менее явно в огромном семействе формально построенных решений [67]; так называемые С - метрики в вакууме [79,69] и их электровакуумное обобщение [36,68], которые, как оказалось впоследствии [69,70], при построении их аналитического продолжения описывают равноускоренное движение (под влиянием поля некоторых дополнительных, сосредоточенных вдоль оси симметрии нитевидных источников) двух симметрично движущихся черных дыр с учетом их гравитационного и электромагнитного излучения, а также более общее семейство решений Плебаньского - Демьяньского [45], содержащее упоминавшиеся выше дополнительные параметры.

Решения, не имеющие плоской асимптотики. Среди решений, не являющихся асимптотически плоскими содержится не так много решений, обладающих ясной физической интерпретацией. К решениям такого типа относятся либо решения, описывающие некоторые протяженные полевые конфигурации, моделирующие внешние поля, с которыми могут взаимодействовать различные компактные источники или же решения, описывающие это взаимодействие. Известными точными решениями такого рода являются, например, решения Мельвина [71] (значительно раньше найденное, однако, Боннором [72]) и Бертотти - Робинсона [73,74], описывающие статические вселенные, заполненные соответственно однородным вдоль оси симметрии или полностью пространственно однородным магнитным полем, в которых пространство оказывается замкнутым в направлении, перпендикулярном к оси симметрии; решение для Шварцшильдовской черной дыры во внешнем поле, описываемом вакуумным решением Вейля [75], решение Эрнста для "заряженной" С-метрики с внешним электромагнитным полем [76], демонстрирующее исчезновение конических особенностей при "правильном" выборе параметров, обеспечивающем соответствие между электромагнитными силами и ускорением каждой из заряженных черных дыр; построенное чрезвычайно элегантным способом семейство решений Эрнста, описывающее вращающуюся заряженную черную дыру, погруженную во вселенную Мельвина и взаимодействующую с ее полем [77]; (столь же простое решение для Шварцшильдовской черной дыры, погруженной в электромагнитную вселенную Бертотти - Робинсона значительно более сложными методами было совсем недавно построено в совместной работе А.Гарсиа и автора [78]).

Помимо решений, перечисленных выше и наделенных ясной физической интерпретацией, многими авторами, исходившими из самых разнообразных (зачастую совершенно формальных и не имеющих физического характера) предположений, было получено очень большое количество решений уравнений Эйнштейна, описы

ВВЕДЕНИЕ 17 вающих либо гравитационные поля в вакууме, либо в пространствах, заполненных разнообразной материей - пылью, идеальной жидкостью со всевозможными уравнениями состояния, некогерентным излучением, различными полями (электромагнитным, скалярным, нейтрино и др.). Хотя значительная часть этих решений так и осталась принадлежать к числу чисто формальных решений, не получив пока ясной физической интерпретации, они могут служить полезными примерами пространственно - временных геометрий (со всем разнообразием имеющихся в них особенностей), допускаемых уравнениями Эйнштейна.

Таким образом, за первые шестьдесят лет существования ОТО было получено большое количество разнообразных по своим свойствам и физической интерпретации решений уравнений Эйнштейна. Весьма полный и обстоятельный обзор этих решений и основных используемых при этом методов, содержащий результаты вплоть до 1980 года, был дан в фундаментальной, похожей на энциклопедию книге [79]. Однако, не смотря на внушительный накопленный опыт изучения уравнений Эйнштейна и значительное количество найденных хитроумных способов их интегрирования в разнообразных частных случаях, действительно глубокое проникновение в многообразный мир решений эйнштейновских уравнений оказалось возможным несколько позднее, после открытия того факта, что, по крайней мере, в наиболее фундаментальных случаях и при наличии определенных пространственно - временных симметрий соответствующие редукции этих уравнений оказываются вполне интегрируемыми.

Интегрируемость двумерных редукций уравнений Эйнштейна.

Свойства интегрируемости двумерных редукций уравнений Эйнштейна прежде всего были обнаружены для гравитационных полей в вакууме, а вскоре за этим и для уравнений Эйнштейна - Максвелла для электровакуумных полей, т.е. для взаимодействующих гравитационных и электромагнитных полей вне их источников. Позднее оказалось, что аналогичная интегрируемость имеет место и при наличии в пространстве - времени безмассовых полей других спинов (скалярных, Вейлевского спинорного) или идеальной жидкости с предельно жестким уравнением состояния. В одних случаях - при наличии скалярного поля, идеальной жидкости с предельно жестким уравнением состояния, в пятимерной формулировке гравитация Калуцы и Клейна со специальным электромагнитным полем (Г^Ргк = 0) или с электромагнитным и связанным с ним скалярным (дилатонным) полями, эта интегрируемость возникала тривиально т.к. в результате редукции полевые уравнения эффективно сводились к уже известному вакуумному случаю, в других же (как в случае присутствия электромагнитного поля общего вида и (или) Вейлевского спинорного поля) эта интегрируемость вытекала из более сложных построений, а редуцированные полевые уравнения существенно меняли свой вид.

ВВЕДЕНИЕ18

Наличие свойств интегрируемости у рассматриваемых полевых уравнений проявляется в существовании у этих уравнений богатой внутренней структуры, включающей в себя много замечательных свойств, которые делают эти уравнения весьма сходными по своей структуре с другими, классическими примерами вполне интегрируемых систем — уравнениями Кортевега - де Фриза, нелинейного уравнения Шредингера, уравнения синус - Гордона и другими. При этом для рассматриваемых уравнений оказываются применимыми многие фундаментальные идеи и подходы, использовавшиеся при анализе других интегрируемых систем, что приводит к глубокому пониманию внутренней структуры исследуемых уравнений и дает основу для развития эффективных методов построения их решений.

От гипотез интегрируемости к эффективным методам решения.

Фундаментальная природа уравнений Эйнштейна, а также очевидные успехи быстро развивающейся теории вполне интегрируемых двумерных систем делали вполне естественными предположения об интегрируемости двумерных редукций уравнений Эйнштейна. Более двадцати лет назад различными авторами были сделаны более или менее содержательные попытки установить интегрируемость этих уравнений. Впервые предположение, эквивалентное по своей сути предположению об интегрируемости вакуумных уравнений Эйнштейна при наличии двумерных пространственно - временных симметрий, т.е. при наличии двух коммутирующих между собой полей векторов Киллинга было высказано в работе Героча [80]. В этой работе был предложен некоторый индуктивный алгоритм вычисления решений, а также высказывалось предположение о наличии бесконечномерной группы внутренних симметрий вакуумных уравнений Эйнштейна, действующей транзи-тивно на пространстве всех решений, что позволило бы генерировать любое решение редуцированных уравнений, исходя, например, из пространства Минковского. (Впоследствии это предположение стало именоваться некоторыми авторами гипотезой Героча, а соответствующая предполагаемая группа преобразований решений в решения - группой Героча [81])

Помимо высказываемых гипотез некоторыми авторами были найдены и достаточно существенные аргументы, свидетельствующие в пользу наличия интегрируемости, как, например, обнаруженное в работах Киннерсли и Читра [82,83] наличие бесконечномерной алгебры внутренних симметрий или найденное Майсоном [84,85] и типичное для метода обратной задачи рассеяния представление некоторой части динамических уравнений в виде условий совместности переопределенной линейной системы с комплексным параметром. Однако, фактически интегрируемость вакуумных уравнений Эйнштейна для гравитационных полей, зависящих от времени и одной из пространственных координат, а затем и для стационарных осе-симметричных полей была открыта в работах Белинского и Захарова [86,87], где впервые для соответствующих динамических уравнений была дана формулировка

ВВЕДЕНИЕ19 метода обратной задачи рассеяния, т.е. полевые уравнения были представлены в виде условий совместности переопределенной линейной система со спектральным параметром и сформулированы дополнительные условия - "условия редукции", делающие эту спектральную задачу эквивалентной исходным динамическим уравнениям, а так же развиты эффективные методы вычисления обширных семейств точных 1Ч-солитонных решений, "генерируемых" на фоне произвольно выбираемого известного частного решения. Кроме того, уже в первой из упомянутых работ [86] впервые задача описания всех решений была эффективно сведена к некоторой матричной задаче Римана и построено эквивалентное линейное матричное сингулярное интегральное уравнение. Позднее эти результаты были повторены и существенно дополнены в ходе разнообразных исследований, выполненных в рамках самых различных подходов.

Как уже упоминалось выше, важной вехой на пути развития методов интегрирования уравнений Эйнштейна при наличии пространственно - временных симметрий было получение в 1968 году Р.Л.Егс^'ом специальной эквивалентной формы вакуумных [39] и электровакуумных [40] уравнений, выраженной в терминах комплексных потенциалов, называемых теперь соответственно уравнениями и потенциалами Эрнста. Недавно Эрнстом [88] была собрана весьма полная коллекция работ многих авторов, посвященных не столько построению частных решений, но развитию всевозможных методов интегрирования уравнений Эрнста (или эквивалентных им) за все три десятилетия существования этих уравнений. История этих исследований (весьма краткий и далеко не полный очерк которой приводится ниже), включает имена многих авторов и характеризуется обширной географией.

Разнообразие форм редуцированных полевых уравнений

Богатство внутренней структуры уравнений Эйнштейна проявилось прежде всего в большом разнообразии по-своему удобных форм редуцированных (с учетом предполагаемых двумерных пространственно - временных симметрий) полевых уравнений. К ним относится, например, уже не однажды упомянутая выше запись соответствующих динамических уравнений для случая вакуума в виде одного квазилинейного уравнения - уравнения Эрнста для единственного комплексного потенциала - потенциала Эрнста или в виде связанной системы двух таких уравнений для двух комплексных потенциалов Эрнста в случае электровакуумных полей [39,40], Напротив, в работах Мэйсона [84,85] и Белинского и Захарова [86,87] использовалась вещественная матричная форма записи уравнений, близкая к уравнениям "<т- моделей", тогда как у Киннерсли эти же уравнения приобретали форму уравнений дуальности [82,83]. Харрисоном в [89,90] была использована также весьма удобная форма представления динамических уравнений в виде замкнутого идеала дифференциальных форм с постоянными коэффициентами ("СС-1с1еа1"), а Нейге-бауэром эти уравнения были выражены в терминах теории минимальных поверх

ВВЕДЕНИЕ20 ностей [91]. Известен также и ряд других интересных форм этих уравнений. Все эти формы в различных работах были использованы в качестве основы для формулировки и применения разнообразных методов, включая методы обратной задачи рассеяния, теории преобразований Бэклунда, теоретико - групповой подход, алгеб-ро- геометрические методы, методы теории сингулярных интегральных уравнений и некоторые другие.

Простейшие (точечные) преобразования внутренней симметрии

Прежде всего в работах [92-94] были обнаружены различные группы точечных преобразований внутренней симметрии для двумерных редукций вакуумных уравнений Эйнштейна и электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла эквивалентных уравнениям Эрнста, а затем было показано, что эти преобразования являются подгруппами более широкой группы точечных преобразований симметрии SU( 1,1) для вакуумных уравнений [95] или SU(2,1) для электровакуумных уравнений [96,97].

Гипотеза Героча, L-A-napa Майсона и бесконечномерная алгебра внутренних симметрий Киннерсли - Читра

Как уже упоминалось выше, еще в 1972 году в работе Героча [80] была высказана гипотеза о существовании бесконечномерной группы преобразований, сохраняющих редуцированные уравнения Эйнштейна, а также о том, что эта группа действует транзитивно в пространстве всех их решений, т.е. что эти преобразования позволяют получить любое решение из любого наперед заданного, например, из пространства Минковского. Много позднее аналогичные предположения об интегрируемости редуцированных вакуумных уравнений Эйнштейна и возможности применения к ним метода обратной задачи высказывались в работах Мэйсона [84,85], где впервые для этих уравнений был построен аналог пары Лакса. Однако, еще до работы Мэйсона, Киннерсли и Читр [82,83] исследовали симметрии вакуумных уравнений Эйнштейна и электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла для стационарных осесимметричных полей. В этих работах была обнаружена бесконечномерная алгебра внутренних симметрий рассматриваемых уравнений. Сначала авторами [82,83] была найдена бесконечная иерархия матричных потенциалов, ассоциируемых с каждым решением полевых уравнений, с помощью которой было эффективно описано инфинитезимальное действие предполагаемой бесконечномерной группы внутренних симметрий этих уравнений. Интересно, что уже в следующей работе этой серии [98] было показано, что для вакуумных полей вся упомянутая выше бесконечная иерархия потенциалов имеет 2x2- матричную производящую функцию, которая должна удовлетворять некоторой линейной системе дифференциальных уравнений со свободным комплексным параметром. Как стало ясно позднее, эта система, допускающая обобщение на случай электровакуумных

ВВЕДЕНИЕ21 полей, также может быть и, при том, весьма эффективно использована в качестве аналога пары Лакса (или, в другой терминологии, II — V - системы Захарова -Шабата или А1Ш8 - системы) как для вакуумных уравнений Эйнштейна, так и для электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла, редуцированных для случая пространства - времени с двумерной симметрией.

Метод обратной задачи рассеяния, матричная задача Римана и генерация вакуумных и электровакуумных N-солитонных решений методом одевания

Метод обратной задачи рассеяния и вакуумные солитоны Белинского и Захарова. Как уже говорилось выше, впервые эффективный подход к решению редуцированных вакуумных уравнений Эйнштейна был развит в работе Белинского и Захарова [86], в которой был сформулирован метод обратной задачи для этих уравнений. Согласно основной идее этого метода, полевые уравнения были представлены в виде условий совместности некоторой переопределенной линейной система со спектральным параметром и сформулированы дополнительные условия - "условия редукции", делающие эту спектральную задачу эквивалентной исходным динамическим уравнениям. Затем общее решение возникающей спектральной задачи было эффективно сведено к некоторой матричной задаче Римана и построено соответствующее линейное матричное сингулярное интегральное уравнение. В этой же работе был описан основанный на методе одевания алгоритм вычисления обширных семейств вакуумных 1Ч-солитонных решений, "генерируемых" на фоне произвольно выбираемого известного частного решения.

Отметим здесь еще одно свойство солитонных решений, имеющее важное значение для самой возможности изучения физических свойств этих решений. Дело в том, что в самом общем виде для солитонных решений оказывается возможным не только явно решить соответствующие динамические уравнения, но и решить оставшуюся часть уравнений Эйнштейна - уравнения связи, которые, вообще говоря, сводятся к соотношениям, определяющим оставшиеся компоненты метрики, а именно, так называемый конформный фактор, лишь в квадратурах. Как было показано Белинским и Захаровым [86], для построенных ими вакуумных солитонов упомянутые квадратуры для конформного фактора вычисляются в общем виде и в явной форме, если сделан конкретный выбор фонового решения.

В более поздней работе Белинского и Захарова [87] тот же метод генерации вакуумных солитонов был почти дословно переформулирован на случай стационарных осесимметричных полей (в [86] были рассмотрены поля, зависящие от времени и одной из пространственных координат). В работах Белинского [99] и Белинского и Руффини [100] эти же методы применялись соответственно для случаев уравнений Эйнштейна при наличии в пространстве идеальной жидкости с предельно жестким уравнением состояния р = е и уравнений Эйнштейна, эффективно описывающих в пятимерной теории Калуцы и Клейна электровакуумные поля специального вида

ВВЕДЕНИЕ22

РгкРгк = 0) или электромагнитные поля и связанное с ними вещественное скалярное (дилатонное) поле.

В работе автора [101] была найдена значительно более простая и компактная, детерминантная форма вакуумных солитонных решений Белинского и Захарова. При этом, все компоненты искомой метрики N - солитонного решения выражались алгебраически через три детерминанта матриц, порядка N х N с явно вычисляемыми компонентами. При этом, в отличие от [86,87] не требовалось вычисления матриц, обратных к матрицам порядка N х N. Эта форма заметно отличалась от аналогичной детерминантной формы, в то время уже построенной Нейгебауэром для решений, генерируемых N - кратными преобразованиями Бэклунда (ссылки даны ниже). Свойства статических вакуумных солитонов на фоне плоского пространства Минковского были подробно изучены в работе Белинского и автора [51].

Солитонные решения уравнений Эйнштейна - Максвелла. Электровакуумные солитонные решения уравнений Эйнштейна - Максвелла были впервые построены в работах автора [102,103], При этом для построения солитонов был использован метод одевания, мало отличающийся от метода Белинского и Захарова, однако этот метод применялся к существенно иной, комплексной автодуальной 3x3- матричной форме записи редуцированных уравнений Эйнштейна - Максвелла, полученной на основе автодуальных уравнений Киннерсли [82,83] и к соответствующему электровакуумному обобщению линейной системы со спектральным параметром, полученной ранее для вакуума Киннерсли и Читром [98]. Это видоизменение уравнений позволило избежать введения дополнительных и не оправданных физически ограничений на поля вида Р^Ргк = 0, а так же появления в системе скалярного (ди-латонного) поля. Эта объясняется тем, что в использованной автодуальной форме уравнений Эйнштейна - Максвелла вместо обычного вещественного 4-потенциала для электромагнитного поля использовался комплексный векторный потенциал для комплексной автодуальной части тензора Максвелла При этом вместо скаляра естественно возникала свертка автодуального тензора Максвелла с комплексно сопряженным ему тензором. Последняя же свертка сама по себе тождественно равна нулю, как свертка автодуального бивектора с антиавтодуальным, так что не возникает никаких дополнительных ограничений на рассматриваемые поля. (Заметим, что это же электровакуумное обобщение спектральной задачи Киннерсли возникло чуть ранее в работах Хаусера и Эрнста [104,105], где это обобщение было использовано, однако, в совершенно ином контексте.) Для электровакуумных солитонных решений оставшиеся не определенными после решения динамических уравнений компоненты метрики, выражающиеся через упоминавшийся выше конформный фактор, вычисляются в явном виде. Результат вычисления соответствующих квадратур оказывается, как и в случае вакуумных солитонов Белинского и Захарова, имеющим, хотя и несколько иной, но весьма компактный явный вид, приведенный в работах автора [65,106]. В работе [106] были также приведены при

ВВЕДЕНИЕ23 меры и описаны некоторые физические и геометрические свойства электровакуумных солитонных решений.

Для полноты информации здесь можно также отметить, что для того, чтобы избежать нежелательного дополнительного ограничения на электромагнитное поле вида РгкРгк = 0 в принципе нет необходимости отказываться от использованной Белинским и Захаровым для случая вакуума формы полевых уравнений в виде, похожем на уравнения а - модели, переходя к уравнениям Киннерсли и меняя соответствующим образом ассоциированную спектральную задачу. В работе автора [107] была указана модификация редуцированных полевых уравнений в форме Белинского и Захарова, в результате которой для редуцированных уравнений Эйнштейна - Максвелла оказывалась пригодной в точности та же спектральная задача, которая была использована Белинским и Захаровым для случая вакуума. Эта модификация заключалась в превращении симметричной вещественной 2x2- матрицы метрических компонент, использовавшейся в форме вакуумных уравнениях Белинского и Захарова, в эрмитову 3x3- матрицу добавлением к ней третьего столбца и сопряженной ему третьей строки, состоящих не из компонент вещественного 4-потенциала электромагнитного поля, как в теории Калуцы и Клейна, а из соответствующих ненулевых компонент комплексного векторного потенциала для автодуальной части тензора Максвелла. (Причины эффективности такой модификации были указаны выше.) Однако, для построения электровакуумных солитонов автором [102,103] была использована спектральная задача, отвечающая автодуальным уравнениям Киннерсли, поскольку эта линейная система, как и структура соответствующего ей эрмитова матричного интеграла ("условий редукции") представляются более простыми, чем те, которые возникают при указанной выше электровакуумной модификации схемы интегрирования Белинского и Захарова в духе комплексного (эрмитова) варианта формулировки Калуцы и Клейна.

Упомянем здесь также другую реализацию метода обратной задачи, предложенную позднее в работе Эриса, Гюрсеса и Карасу [108] и основанную на еще одной достаточно элегантной форме спектральной задачи для электровакуумных полей. Однако, не смотря на внешнюю элегантность, эта схема представляется менее удобной, поскольку приводит лишь к вычислению потенциалов Эрнста, тогда как схема метода обратной задачи [102,103] позволяет немедленно вычислять все компоненты метрики и электромагнитного потенциала генерируемых решений. В то же время, не сложные вычисления показывают, что получаемые с помощью схемы [108] электровакуумные солитонные решения совпадают с теми, которые были получены в [102,103].

О взаимосвязи электровакуумных и; - солитонов с вакуумными А - солитонами Белинского и Захарова. Отметим здесь наличие весьма не тривиальных связей между вакуумными солитонами Белинского и Захарова и вакуумной частью построенных автором электровакуумных солитонов. Прежде всего следует отметить,

ВВЕДЕНИЕ24 что соответствующие спектральные задачи связаны калибровочным преобразованием, зависящим от спектрального параметра, причем так, что спектральная плоскость Л задачи Белинского и Захарова дважды накрывает плоскость спектрального параметра т в спектральной задаче, использовавшейся автором. В результате оказывается, что ЛГ-солитонное решение, построенное автором (будем называть эти солитоны для краткости и> - солитонами) в вакуумном случае переходит в 2И -солитонное решение Белинского и Захарова, (будем называть далее эти солитоны А

- солитонами). Таким образом, одно и то же вакуумное решение описывается вдвое большим числом полюсов (солитонов) в формализме Л - солитонов, чем в формализме п) - солитонов. При этом оказывается, что электровакуумные ги - солитоны являются обобщением только тех чисто вакуумных солитонов Белинского и Захарова, которые описываются парами комплексно сопряженных А - полюсов, тогда как электровакуумного обобщения А - солитонов с чисто вещественными полюсами метод автора [102,103] не дает. С физической точки зрения это означает, что мы не получаем методов построения некоторых интересных типов решений, описывающих, например, взаимодействие заряженных черных дыр с разнообразными внешними гравитационными и электромагнитными полями, т.к. в стационарном осесимметричном случае черные дыры, обладающие горизонтами событий, отвечают чисто вещественными А - солитонам, тогда как комплексно сопряженным А

- полюсам отвечают "сверхэкстремальные" части решений Керра и Керра - НУТ, т.е. "голые" сингулярности. Здесь следует заметить, что, на самом деле, ограничившись случаем вакуума, не трудно видоизменить процедуру построения т

- солитонов, предложенную в [102,103], так, чтобы она приводила и к решениям, совпадающим с солитонами Белинского и Захарова, которые описываются парами вещественных А - полюсов. (Такое видоизменение было описано в недавней работе Мичике и Гриффица [109]; см. также Главу 1 Части IV настоящей работы.) Однако, это видоизменение процедуры генерации т - солитонов оказывается возможным лишь для вакуума и его не удается перенести непосредственно на электровакуумный случай. Тем не менее, можно надеяться, и имеются частные примеры это подтверждающие, что решения такого типа могут быть построены, например, путем аналитического продолжения электровакуумных солитонных решений в пространстве их свободных параметров аналогично известному аналитическому продолжению, которое превращает "сверхэкстремальную" часть решения Керра (Керра - НУТ), содержащую "голую" сингулярность, в его "доэкстремаль-ная" часть, содержащую сингулярность под горизонтом событий и описывающую внешнее поле черной дыры.

Метод одевания для электровакуумных несолитонных полей. В работе автора [110] для решения электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла был построен иной метод одевания, также приводящий к генерации новых решений, исходя из произвольно выбранного электровакуумного решения. Получаемые таким

ВВЕДЕНИЕ25 образом решения не являлись решениями солитонного типа, поскольку одевающая матрица при этом предполагалась имеющей полюсы не в конечной части спектральной плоскости, а в бесконечности. Однако, отличия этих решений оказались не только формальными, поскольку возникающие при этом полевые конфигурации оказывались имеющими геометрические и физические свойства, существенно отличающие их от чисто солитонных.

Метод обратной задачи рассеяния для уравнений Эйнштейна - Максвелла - Вейля. В еще одной работе автора [111] было показано, что система уравнений Эйнштейна - Максвелла - Вейля для взаимодействующих гравитационного, электромагнитного и безмассового двухкомпонентного спинорного полей также оказывается интегрируемой. Было показано, что хотя наличие спинорного поля и приводит к существенным изменениям геометрических свойств пространства - времени (в частности, метрика перестает иметь блочно диагональный вид), для получающихся уравнений можно построить аналогичную электровакуумной (хотя и не совпадающую с ней) линейную спектральную задачу, для которой так же применимы развитые методы построения решений, например, метод одевания.

Преобразования Вэклунда

Преобразования Бэклунда для уравнений Эрнста были построены двумя различными путями. С одной стороны, Харрисон [89] использовал модификацию общего подхода Уолквиста и Эстабрука [112] (метод продолженных структур и псевдопотенциалов) и построил некоторые нетривиальные преобразования Бэклунда, которые затем были обобщены им на электровакуумный случай [90].

В то же время более эффективный подход к построению преобразований Бэклунда для уравнений Эрнста, следующий некоторым аналогиям с теорией уравнения синус - Гордон, был развит Нейгебауэром [113 - 115]. В частности, после прямого построения некоторого типа преобразований Бэклунда, было показано, что композиция найденного преобразования с некоторыми известными ранее преобразованиями [113], последовательно применяемая к некоторому известному решению, приводит к серии решений с неограниченно нарастающим числом свободных параметров, причем каждое решение в этой серии может быть вычислено алгебраическим путем в терминах псевдопотенциалов, вычисленных только на первом шаге для начального решения. В последующих работах [114,115] были найдены рекурсивные формулы, способствующие эффективному вычислению решений с любым числом параметров, а также еще более простая и явная, детерминантная форма выражения для потенциала Эрнста в терминах компонент начального решения и отвечающих ему псевдопотенциалов. В более поздней работе Крамера и Нейгебауэра [116] некоторые аспекты этого метода были обобщены на случай электровакуумных полей.

ВВЕДЕНИЕ26

Теоретике - групповой подход Киннерсли - Читра - Хаусера - Эрнста.

В продолжение упоминавшейся выше серии работ [82,83,98], в последующих работах Киннерсли и Читра, Хоенселаерса, Киннерсли и Ксантопулоса [117 - 119] были не только описаны многие свойства бесконечномерной алгебры внутренних симметрий уравнений Эйнштейна - Максвелла для стационарных осесимметрич-ных полей, но и построены некоторые конечнопараметрические семейства преобразований решений, возникающие как результат "экспоненциирования" некоторых частных видов этих симметрий.

Следующий важный шаг по пути теоретико - группового подхода к построению методов генерации решений был сделан в работах Хаусера и Эрнста [104,105]. В первой из этих работ для вакуумных, а во второй - для электровакуумных стационарных полей с осевой симметрией был совершен переход от рассмотрения действия инфинитезимальных операторов алгебры внутренних симметрий на бесконечную иерархию потенциалов Киннерсли - Читра к действию элементов соответствующей группы на производящую функцию этих потенциалов. Было показано, что построение каждого такого преобразования внутренней симметрии эквивалентно решению однородной задачи Гильберта на плоскости вспомогательного комплексного параметра. При этом граничные данные для задачи Гильберта определяются выбором производящей функции некоторого исходного ("затравочного") решения и произвольного выбора некоторой матричной функции, зависящей от того же свободного комплексного параметра и удовлетворяющей дополнительным групповым (алгебраическим) условиям. В свою очередь, эта задача Гильберта была приведена в случае вакуума к 2 х 2 - матричному, а в случае электровакуумных полей - к 3 х 3 - матричному линейному сингулярному интегральному уравнению, решение которого и определяло искомую производящую функцию для потенциалов генерируемого решения. Подробнее структура возникшей таким образом матричной задачи Гильберта и соответствующего ей матричного линейного сингулярного интегрального уравнения были изучены теми же авторами в работах [120,121].

Здесь следует заметить, что в работах [104,105] все построения и, в частности, вывод интегрального уравнения, были сделаны при одном, но весьма существенном дополнительном ограничении на класс рассматриваемых решений, которое сокращает вдвое число произвольных функций одной переменной, от которых должно зависеть общее локальное решение. Однако, поскольку в этих работах рассматривались в основном стационарные поля с осевой симметрией (так называемый "эллиптический" случай), это дополнительное условие, представляющее собой условие регулярности оси симметрии, оказывалось вполне оправданным с физической точки зрения. В то же время, при рассмотрении тех же вакуумных или электровакуумных полей, с двумерными пространственно - временными симметриями, когда эти поля зависят от времени и одной из пространственных координат (так называемый "гиперболический" случай), аналогичное условие является слишком

ВВЕДЕНИЕ27 ограничительным, лишая нас возможности рассматривать разнообразны космологические решения, или решения, описывающие сталкивающиеся волны и обладающие сингулярностями как раз на тех границах, которые отвечают оси симметрии в стационарном осесимметричном случае.

Отметим здесь также, что указанные трудности изначального подхода Хаусе-ра и Эрнста были затем преодолены в значительно более поздних работах тех же авторов [122 - 125] и в существенно иной форме - в [126], где рассматривалось приложение развиваемых этими авторами теоретико - групповых методов к решению задачи Гурса (характеристической задачи Коши) для вакуумного уравнения Эрнста в гиперболическом случае.

О связи между различными методами генерации решений.

Генерация солитонов методом одевания произвольно выбираемого фонового решения, преобразования Бэклунда или оказавшееся возможным в явной форме экс-поненциирование некоторых элементов алгебры внутренних симметрий давали, казалось бы, весьма разнообразные средства генерации новых решений уравнений Эйнштейна для вакуума, электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла, а так же и для других, перечисленных выше случаев интегрируемых (при наличии двумерных пространственно - временных симметрий) редукций уравнений Эйнштейна. Однако при этом естественно возникает вопрос о совпадении или различии получаемых этими методами семейств новых решений. Различные методы генерации вакуумных решений уравнений Эйнштейна были детально проанализированы в работах Косгрова [127 - 129], где было выявлена тесная взаимосвязь и, чаще всего, эквивалентность или определенное вложение решений, генерируемых различными известными методами. В частности, встав на более субъективную точку зрения, из результатов этих работ можно сделать вывод, что, например, все решения генерируемые различными перечисленными выше методами оказываются либо эквивалентными, либо представляют собой частные или предельные случаи вакуумных солитонов Белинского и Захарова.

Сравнение же различных имеющихся в литературе методов генерации электровакуумных решений не было проведено столь же детально, хотя здесь следует упомянуть работу Крамера [130], где была показана калибровочная эквивалентность и найдены соответствующие калибровочные преобразования, связывающие различные вспомогательные переопределенные линейные системы с комплексным параметром, использовавшиеся при построении различных методов генерации электровакуумных решений. Однако, в отношении различных предложенных методов генерации электровакуумных решений после некотрых не очень сложных вычислений не трудно придти к заключению, аналогичному имевшему место в чисто вакуумном случае, что и экспоненциирование инфинитезимальных преобразований симметрии [119,105], и схема преобразований Бэклунда [116], как и иные реализа ВВЕДЕНИЕ28 ции метода одевания для других линейных задач, как, например, [108] не приводят к генерации решений, отличающихся от решений, генерируемых по схеме, предложенной автором в [102,103]. Исключение здесь составляет лишь описанная в [110] и упоминавшаяся ранее модификация метода одевания, в которой полюсы одевающей матрицы расположены не в конечной части спектральной плоскости ги, как это было для солитонов, а в ее бесконечно удаленной точке, что приводит к генерации несолитонных электровакуумных решений.

Алгебро - геометрические методы генерации вакуумных решений.

К обсуждавшимся выше, среди прочих, методам генерации солитонных решений непосредственно примыкают алгебро - геометрические методы построения аналогов конечно-зонных решений, хорошо известных в теории интегрируемых систем. Хотя эти методы, развитые в настоящее время для решения вакуумного уравнения Эрнста для стационарных осесимметричных полей, и нельзя отнести в полной мере к методам генерации решений, поскольку в них отсутствует полный произвол в выборе фонового решения, частичная аналогия с методами генерации все же сохраняется, поскольку при построении этих решений оказывается возможным произвольный выбор некоторых функциональных параметров, что эквивалентно выбору в качестве фонового решения произвольного решения из класса диагональных статических метрик Вейля. Получаемые при этом решения, которые лишь весьма условно можно назвать полученными в явной форме, выражаются в терминах тета-функций Римана и образуют обширные, многопараметрические семейства, включающие солитонные решения в качестве предельных случаев.

Впервые вакуумные конечно-зонные решения уравнений Эйнштейна (вакуумного уравнения Эрнста) были построены в работах Короткина и Матвеева [131,132] путем адаптации известных в теории интегрируемых систем алгебро - геометрических методов. В значительно более поздней работе [133] этим авторам удалось также найти и конечное выражение для конформного фактора для построенных ими конечно-зонных решений, что является весьма важным для исследования особенностей и различных физических и геометрических свойств этих решений.

Независимо от этих работ, аналогичные, тета-функциональные решения уравнения Эрнста для вакуумных полей возникли совершенно другим путем в работах Нейгебауэра и Майнеля [46 - 48]. Авторы этих работ поставили перед собой хотя и идеализированную, но чрезвычайно интересную физическую задачу отыскания самосогласованного решения уравнений Эйнштейна, описывающего стационарный твердотельно вращающийся в собственном гравитационном поле бесконечно тонкий пылевой диск и его всюду регулярное внешнее асимптотически плоское гравитационное поле. Решая последовательно соответствующую граничную задачу и отыскивая одновременно и внешнее гравитационное поле, и необходимое для его поддержания распределение плотности вещества самого диска, авторы пришли к

ВВЕДЕНИЕ29 выводу, что эта задача в точности приводит к классической задаче обращения Яко-би для гиперэллиптических Абелевых интегралов. Решение этой задачи выражающееся, как известно, в терминах тета - функций Римана, приводит к решению уравнений Эрнста, принадлежащему к конечно-зонным решениям. Затем Майнелем и Нейгебауэром [134] был построен и более широкий класс тета-функциональных решений, содержащий в качестве функционального параметра произвольно выбираемое решение трехмерного осесимметричного уравнения Лапласа или, в иных терминах, - произвольное статическое вакуумное решение, принадлежащее к классу Вейля. (При этом этими авторами был поставлен, но оставлен открытым вопрос о связи полученных ими наиболее общих решений с решениями Короткина и Матвеева.)

Методы, связанные с интегральными уравнениями.

Хорошо известно, что решение различных линейных спектральных задач может приводить к переформулировкам этих задач в виде некоторых (как правило, матричных) граничных задач (т.е. задач сопряжения) для аналитических функций на спектральной плоскости, например, - к задачам Римана и Гильберта. Эти задачи, в свою очередь, известными методами [135, 136] могут быть приведены к линейным, чаще всего - матричным, сингулярным интегральным уравнениям. Такая переформулировка задачи, построенная для всего пространства локальных решений, или хотя бы для какого-то подкласса решений, открывает новые возможности анализа рассматриваемых уравнений и построения их решений.

Впервые уравнения Эйнштейна для произвольных вакуумных полей, зависящих только от двух координат, были переформулированы в терминах матричной задачи Римана и эквивалентного ей матричного сингулярного интегрального уравнения в работе Белинского и Захарова [86]. Более детальное обсуждение структуры этих интегральных уравнений было представлено Косгровом [129].

Чуть позже в рамках теоретико - группового подхода стремление к эффективи-зации преобразований симметрии Киннерсли - Читра привело Хаусера и Эрнста к матричной однородной задаче Гильберта, которая затем была также приведена к линейному матричному сингулярному интегральному уравнению как для случая вакуума [104], так и для электровакуумных полей [105]. Интегральное уравнение Хаусера и Эрнста уже по своему виду существенно отличалось от интегрального уравнения Белинского и Захарова, однако его наиболее существенное отличием от последнего состояло в том, что оно было получено не для всего пространства локальных решений, а значительно более узкого их подкласса, выделяемого условием регулярности оси симметрии. Это условие уменьшает вдове число степеней свободы для этих полей (см. обсуждение этого условия, приведенное выше).

Отказавшись от возможностей генерации решений на произвольно выбранном фоне в методе Хаусера и Эрнста и ограничив конструкцию интегрального уравне

ВВЕДЕНИЕ30 ния Хаусера и Эрнста выбором в качестве исходного решения пространства Мин-ковского, Сибгатуллин [137] добился существенного упрощения матричного интегрального уравнения Хаусера и Эрнста, сведя его для этого случая к совокупности скалярного линейного сингулярного интегрального уравнения с ядром, определяемым по значениям потенциалов Эрнста на оси симметрии, и некоторого простого дополнительного условия на выбор решений этого уравнения. Хотя это уравнение и не содержит чего-либо нового по сравнению с исходным уравнением Хаусера и Эрнста, очевидно, что его использование технически удобнее при конкретных вычислениях частных решений. Такие вычисления удается провести в явном виде лишь при выборе в качестве данных на оси симметрии (значений потенциалов Эрнста) рациональных функций, что и было проделано неоднократно Сибгатулли-ным с различными соавторами для различных простейших частных случаев выбора этих рациональных данных (см., например, [138,139] и привёденные в этих работах ссылки). При этом было построено немало примеров асимтотически плоских стационарных осесимметричных электровакуумных решений, отличающихся тем или иным набором мультипольных моментов. Полученные решения не редко объявлялись авторами пригодными для описания внешних полей звезд (или нейтронных звезд), но не подвергались детальному анализу (и отбору) с точки зрения их физических свойств в областях сильных полей. К сожалению, не проводилось также сопоставления построенных решений с уже известными. Между тем следует заметить, что при выборе в качестве граничных данных на оси симметрии для потенциалов Эрнста рациональных функций (да еще и не имеющих полюсов в бесконечности), многие из построенных решений (а возможно, и вообще все) должны оказаться совпадающими с уже известными солитонными решениями, построенными на фоне пространства Минковского или с их аналитическими продолжениями в пространстве их свободных параметров (здесь имеется в виду уже упоминавшееся выше аналитическое продолжение по параметрам, вполне аналогичное известному, связывающему "сверхэкстремальную" и "доэкстремальную" части известного решения Керра-НУТ в вакуумном случае или решения Керра - Ньюмена в электровакуумном случае).

Несколько раньше, действуя в духе метода обратной задачи рассеяния, Нейге-бауэр [140] построил некоторый аналог данных рассеяния для вакуумных стационарных осесимметричных полей, по которым компоненты метрики должны восстанавливаться посредством решения построенного в этой же работе некоторого дискретного (представленного в виде бесконечной цепочки алгебраических уравнений) аналога интегрального уравнения Захарова - Шабата или Гельфанда - Левитана - Марченко. Этот подход получил свое продолжение в работах Нейгебауэра и Майнеля [46 - 48], где для решения задачи о стационарном тонком пылевом диске, вращающемся как твердое тело в собственном гравитационном поле, авторами были получены (по-видимому, уже в замкнутой форме) "большое" и "малое" син

ВВЕДЕНИЕ 31 гулярные интегральные уравнения. Однако, ни в одной из известных автору работ этих авторов упомянутое "большое" интегральное уравнение, которое должно быть эквивалентным вакуумному уравнению Эрнста по крайней мере, для стационарных осесимметричных полей, обладающих асимптотической евклидовостью и регулярной осью симметрии, в явном виде найти не удалось.

Еще одна форма матричной однородной задачи Гильберта и соответствующих ей матричных сингулярных интегральных уравнений, отвечающих вакуумному гиперболическому уравнению Эрнста, была получена Хаусером и Эрнстом в работах [122 - 125], где она была использована для анализа задачи Гурса (характеристической задачи Коши) для уравнений Эйнштейна для вакуумных гравитационных полей, зависящих от времени и одной из пространственных координат. Особое внимание при этом уделялось тому, чтобы вся конструкция допускала рассмотрение задачи Гурса с неаналитическими начальными данными, от которых требовалось бы лишь наличие нескольких непрерывных производных. В этих же работах полученные линейные матричные сингулярные интегральные уравнения были преобразованы в более удобные для проведения доказательств существования и единственности решений матричные уравнения Фредгольма. В отличие от построенных ранее этими авторами уравнений для вакуумных стационарных осесимметричных полей с регулярной осью симметрии [104, 105], последние уравнения уже не содержат каких - либо дополнительных ограничений на рассматриваемые поля, что потребовало заметных изменений их структуры. В частности, основной контур, на котором строятся интегральные уравнения, был разделен на два не связанных между собой отрезка, а для описания начальных данных на различных характеристиках были введены два матричных "спектральных потенциала", каждый из которых определен на "своей" части упомянутого выше составного контура.

Наконец, в совсем недавно опубликованной работе [126] Хаусер и Эрнст чрезвычайно подробно исследовали групповую структуру всего пространства решений гиперболического вакуумного уравнения Эрнста, для которых потенциалы Эрнста имеют класс гладкости С4. В этой работе была доказана "обобщенная гипотеза Героча", под которой подразумевается предположение о возможности преобразованиями внутренних симметрий получать любое решение, начав с произвольно выбранного. (Изначально гипотеза Героча, как она была интерпретирована в работах Киннерсли и Читра, состояла в возможности такого преобразования для аналитических решений эллиптического уравнения Эрнста.) Была рассмотрена общая задача Гурса (характеристическая задача Коши), сформулированы и весьма подробно доказаны теоремы существования и единственности ее решений указанного класса гладкости. Для этого авторами [126] была дана новая, наиболее общая формулировка однородной задачи Гильберта, отвечающей гиперболическому уравнению Эрнста для решений упомянутого класса гладкости и получены соответствующие линейные нематричные сингулярные интегральные уравнения, преобразованные затем к

ВВЕДЕНИЕ32 уравнениям Фредгольма. При этом авторами [126] было показано, что полученные сингулярные уравнения совпадают с интегральными уравнениями, полученными много ранее автором настоящей работы в рамках развитого им метода, названного "методом преобразования монодромии", где все рассмотрение для простоты велось лишь для чисто аналитического случая.

Метод преобразования монодромии.

Опыт анализа различных перечисленных выше подходов к решению известных интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна привел автора настоящей работы к развитию нового, наиболее общего и, по - видимому, наиболее простого подхода к интегрированию этих уравнений, как в эллиптическом, так и в гиперболическом случаях.

Данные монодромии, как координаты в пространстве решений. Сначала в работах [141,142,106,143,144] была описана общая аналитическая структура на спектральной плоскости фундаментального решения той же спектральной задачи, которая ранее была использована автором в [102, 103] для построения электровакуумных солитонных решений ("ги - солитонов"), а затем обобщена в [111] на случай наличия в пространстве безмассового Вейлевского двухкомпонентного спинорно-го поля. Вследствие найденного характера этой структуры оказалось возможным для любого локального решения полевых уравнений определить некоторые функциональные параметры, однозначно характеризующие это решение и являющиеся функциями только спектрального параметра, но не пространственно - временных координат. Вскоре выяснилось (см. [143], некоторые пояснения к методу, приведенные в приложении к работе [78], а также [144]), что эти функциональные параметры имеют простую интерпретацию, представляя собой данные монодромии фундаментального решения рассматриваемой спектральной задачи, нормированного определенным образом в некоторой выбранной начальной точке пространства - времени. При этом возник естественный вопрос о том, нельзя ли эффективно использовать эти параметры в качестве новых "координат" в пространстве решений рассматриваемых полевых уравнений. Эти координаты были бы удобны уже тем, что эволюция таких "полевых переменных" оказывается тривиальной -они являются сохраняющимися величинами. Для ответа на этот вопрос следовало, очевидно, рассмотреть "прямую" и "обратную" задачи такого преобразования -преобразования от полевых переменных к данным монодромии, характеризующим каждое локальное решение (прямая задача) и восстановления полевых переменных по заданным данным монодромии. (Именно задача построения такого преобразования и ему обратного и послужила причиной выбора самого названия метода, как преобразования полевых переменных в данные монодромии, что вполне аналогично известному преобразованию рассеяния, т.е. переходу от потенциалов к данным рассеяния.)

ВВЕДЕНИЕ33

Обратная задача преобразования монодромии. В самом общем случае, из весьма элементарных соображений (не опирающихся непосредственно на формулировку вспомогательной краевой задачи типа задачи Римана) в рассматриваемом подходе возникли линейные скалярные (т.е. не матричные) сингулярные интегральные уравнения, которым должны были удовлетворять определенные элементы алгебраической структуры решений спектральной задачи, что являлось необходимым и достаточным условием для того, чтобы соответствующие коэффициенты этой спектральной задачи определяли решение уравнений Эрнста [141,142,106,143,144]. Ядро и правые части построенных линейных сингулярных интегральных уравнений оказались полностью определенными в терминах упомянутых выше данных монодромии. Немедленно выяснилось, что построенные интегральные уравнения имеют характеристическую часть, индекс которой равен нулю, что позволяет, согласно известным результатам общей теории линейных сингулярных интегральных уравнений [135,136], провести вполне стандартным образом эквивалентную регуляризацию этих уравнений, перейдя к эквивалентным (квази-) Фредгольмовым уравнениям. Конкретный вид регуляризованных уравнений вместе со стандартной процедурой представления их решений в виде равномерно сходящихся функциональных рядов для всевозможных известных интегрируемых случаев уравнений Эйнштейна был опубликован автором значительно позже [144]. Полученные же (квази-) Фредгольмовы уравнения позволяют легко доказать существование и единственность локальных решений этих уравнений, а следовательно, и решений исходных полевых уравнений (как в эллиптическом, так и в гиперболическом случаях) для произвольно выбранных данных монодромии, как функций спектрального параметра. Таким образом, было доказано, что эти интегральные уравнения (сингулярные, или квази-Фредгольмовы) приводит к решению определенной выше обратной задачи искомого преобразования монодромии. При этом, сами потенциалы Эрнста, а также компоненты метрики и других полей (если рассматривается не только вакуумный случай) любого локального решения вычисляются по решениям построенных интегральных уравнений в квадратурах.

Приложения метода преобразования монодромии. Этот подход может иметь разнообразные приложения. В частности, решение прямой задачи преобразования монодромии, т.е. вычисление данных монодромии, отвечающих различным известным решениям, позволяет установить некоторые общие связи между аналитическими свойствами данных монодромии и некоторыми физическими и геометрическими свойствами отвечающих им полевых конфигураций [145,146, 78], что приводит к дополнительным возможностям идентификации и классификации различных решений. Более того, рассмотрение в рамках этого метода различных методов генерации решений [147] позволяет в самом общем виде описать свойства соответствующих преобразований решений, что дает эффективные средства описания различных возможностей, предоставляемых этими методами, сопоставления различных методов

ВВЕДЕНИЕ34 генерации решений и предсказания свойств строящихся решений до выполнения (как правило, весьма громоздких) конкретных вычислений.

Далее, этот подход, благодаря полному учету всех степеней свободы полей, впервые открыл возможности для конструктивного рассмотрения разнообразных граничных задач для редуцированных (с учетом предполагаемых пространственно - временных симметрий) уравнений Эйнштейна или, эквивалентно, - уравнений Эрнста. К таким задачам относятся (в локальной постановке) в гиперболическом случае - задача Гурса (характеристическая задача Коши) и задача Коши, а в эллиптическом случае - различные граничные задачи. Для всех этих задач было показано [106,143,148,149], что знание полного набора граничных данных для каждой из этих задач позволяет (в принципе) однозначно вычислить отвечающие им данные мо-нодромии , которые, в силу своей независимости от пространственно - временных координат, являются и данными монодромии для искомого решения рассматриваемой граничной задачи. При этом, вычисление этих данных требует решения чисто линейной задачи - интегрирования уравнений спектральной задачи, ограниченных на начальную кривую. Коэффициенты же этой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений полностью определяются лишь граничными данными. По найденным данным монодромии локальное решение рассматриваемой граничной задачи находится, по крайней мере - в принципе, посредством решения основного интегрального уравнения (сингулярного или эквивалентного ему квази -Фредгольмова), что представляет собой так же линейную задачу. Таким образом, метод преобразования монодромии приводит к точной линеаризации различных граничных задач для рассматриваемых полевых уравнений. Поскольку каждый из этих шагов достаточно трудно выполнить в явном виде, то не исключено, что полезную роль при решении локальных граничных задач может сыграть общее локальное решение интегральных уравнений, построенное в [144] в виде функциональных рядов.

Кроме того, для достаточно широких классов данных монодромии, выделяемых наложением некоторых простых алгебраических связей и заданием остающихся произвольными (после решения этих связей) функций в виде рациональных функций спектрального параметра, построенные интегральные уравнения допускают явное решение в элементарных функциях. (Заметим, что этот класс решений включает, очевидно, все солитонные решения, построенные на фоне плоского пространства Минковского или любого другого фонового решения с рациональными данными монодромии.) Получающиеся в результате обширные (многопараметрические) семейства точных решений полевых уравнений содержат значительное количество известных решений, имеющих ясную физическую интерпретацию. Это позволяет строить разнообразные обобщения этих решений и всевозможные нелинейные суперпозиции этих полей, среди которых, очевидно, может содержаться и много физически интересных случаев. Примеры таких точных решений и их

ВВЕДЕНИЕ35 суперпозиций были построены в [106,78,146,148,151]. Наконец, общий вид точных решений вакуумных уравнений Эйнштейна и электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла, отвечающих рациональным данным монодромии, на которые наложены лишь связи, обеспечивающие регулярное поведение решений на границах »(ж1, ж2) = 0 (где а есть элемент площади на орбитах группы изометрий), например, на оси симметрии, был представлен в [152] в явной, достаточно компактной, детерминантной форме, В чуть более общей форме этот класс решений был представлен также в приложении к работе [78]. Другой столь же большой класс явно вычисляемых частных решений редуцированных уравнений в гиперболическом случае был найден недавно в работе [153]. Этот класс содержит в своих данных монодромии, как и упомянутый только что класс решений с регулярной осью симметрии, произвольные рациональные функции. К этому классу решений принадлежит ряд известных физически интересных случаев, отвечающих задаче о столкновении волн или космологических решений, что позволяет надеяться, что многие другие решения этого класса также могут оказаться наделенными интересными физическими и геометрическими свойствами.

Следует упомянуть также, что продемонстрированная в [144] применимость метода преобразования монодромии ко всем известным случаям интегрируемых гиперболических и эллиптических редукций уравнений Эйнштейна (включая и некоторые полевые модели, возникающие эффективно в низкоэнергетическом пределе некоторых моделей теории струн, например так называемая аксионно - дилатонная гравитация с электромагнитными полями) позволяет, очевидно, переносить все перечисленные выше приложения метода преобразования монодромии на каждый из этих интегрируемых случаев.

О содержании диссертации.

В заключительной части введения дадим краткое описание содержания следующих за ним частей и глав настоящей работы, которые в основном будут посвящены подробному изложению развитой автором теории интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна, а так же приложений разработанных методов к построению и ислледованию различных классов полевых конфигураций, имеющих разнообразную физическую интерпретацию.

Часть I

Часть I настоящей работы в значительной мере носит вводный характер. В ней, прежде всего, формулируются два основных предположения - "Физический анзац" и "Геометрический анзац", соответственно о видах присутствующей в пространстве материи и о наличии и характере пространственно - временной симметрии, которые приводят к интегрируемости редуцированных уравнений Эйнштейна и

ВВЕДЕНИЕ36 исходя из которых (и только из них) будет строиться вся последующая теория. Далее описаны локальная геометрия рассматриваемого класса пространств с двумерной симметрией, структура тензора энергии - импульса классических безмассовых полей, при условии, что рассматриваемые конфигурации этих полей так же обладают указанной пространственно - временной симметрией. В заключение этой части описана редукция уравнений Эйнштейна, допускаемая этими уравнениями при наличии предполагаемых двумерной пространственно - временной симметрии и структуры материальных источников. Приведены различные полезные для дальнейшего формы редуцированных динамических уравнений.