Эффективные нелинейные сигма модели в гравитации и космологии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ШАБАЛКИН ДМИТРИЙ ЮРЬЕВИЧ

ЭФФЕКТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИГМА МОДЕЛИ В ГРАВИТАЦИИ И КОСМОЛОГИИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск-1998

Оглавление

1. Введение 4

1.1. Метод обратной задачи рассеяния........................4

1.2. Метод обратной задачи рассеяния в теории гравитации 7

1.3. Уравнения Эрнста............................................9

1.4. Эффективная нелинейная сигма модель..................13

2. Вакуумные эффективные НСМ 23

2.1. Представления вакуумной эффективной НСМ..........24

2.2. Точные решения в классе метрик, допускающих представление в виде эффективных НСМ......................34

2.3. Точные решения уравнений эффективной НСМ .... 37

2.3.1. Метод изометрического анзаца....................39

2.3.2. Метод функционального параметра..............46

2.4. Обсуждение результатов....................................64

3. Обобщённая эффективная НСМ 67

3.1. Самогравитирующие НСМ в теории гравитации и космологии ........................................................67

3.2. Построение обобщённой эффективной НСМ............68

3.3. Точные решения обобщённой эффективной НСМ ... 73

3.3.1. Метод функционального параметра..............74

3.3.2. Двупараметрические решения..... ............79

3.3.3. Космологические решения обобщённой НСМ . . 80

Глава 1

Введение

Одной из актуальных задач науки на протяжении последних восьмидесяти лет является исследование уравнений Эйнштейна, поиск их точных решений. Методы, используемые для достижения этой цели различны.

Одним из направлений поиска стал подход, основанный на возможности представления исходной системы уравнений в виде некоторой эквивалентной эффективной модели, интегрируемость которой связана с её внутренней структурой. При этом исследование переносится с исходной системы на построенную модель.

1.1. Метод обратной задачи рассеяния

Метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), появившись в 1967 [1], позволил рассмотреть с единой точки зрения широкий класс уравнений математической физики, описывающих различные явления, зачастую имеющие с физической точки зрения мало общего между собой. С внешней стороны сходство между этими уравнениями проявляется

в том, что все они являются в том или ином смысле интегрируемыми, т.е. существует механизм построения достаточно широкого класса их точных решений, а иногда даже удаётся найти и общее решение.

В основе МОЗР лежит возможность представления нелинейного дифференциального уравнения в виде пары Лакса [2]

Ь*=[Ь,А], (1.1

либо и - V пары [3]

и* - У4 + [и, V] = 0. (1.2)

В этом случае нелинейное уравнение является условием совместности двух линейных систем

Фь = и ф, , ч

^ 1.3

фх = Уф.

Уравнение (1.2) часто называют условием нулевой кривизны.

Предполагается, что операторы содержат зависимость от некоторого комплексного спектрального параметра А, причём А^ = 0. Операторы V и и выбирались в виде

/ —А ш\ (А В\

У = -л)'и= (с о)- (1'4)

где А, В, С, Б зависят от неизвестной функции и{ж, £) и её производных, так что (1.2) принимает вид исследуемого уравнения.

Идея, лежащая в основе интегрирования такова. Второе уравнение системы (1.3) соответствует задаче рассеянию на потенциале и(ж,£) [4]. Таким образом, чтобы решить уравнение необходимо по данным рассеяния "восстановить" рассеивающий потенциал. Для

этого необходимо знать вид потенциала в начальный момент времени. По и(х, 0) находят матрицу рассеяния при t = 0 S(x, 0), решая систему (1.3) определяют эволюцию матрицы рассеяния, а по ней, строят потенциал u(x,t).

и(х, 0) S(x, 0) S{x, t) и(х, t). (1.5)

Таким образом были проинтегрированы уравнения Кортвега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, sine-Gordon, встречающиеся в различных областях физики. С помощью МОЗР могут быть получены решения, обладающие замечательным свойством. При столкновениях они ведут себя подобно частицам, восстанавливая свою форму после взаимодействия. По этой причине их называют солитонами.

Ключевым моментом в применении МОЗР для интегрирования нелинейного уравнения является построение для него пары Лакса (нулевой кривизны). Применение метода обратной задачи рассеяния для решений уравнений Эйнштейна связано с рядом дополнительных трудностей. МОЗР является мощным средством решения уравнений, содержащих две независимые переменные. Использование метода в задачах с двумя пространственными переменными до сих пор является нерешённой внутренней проблемой метода. Существуют и другие проблемы, связанные с построением оператора рассеяния для уравнений Эйнштейна. В следующем параграфе подробно описан подход к применению МОЗР в ОТО.

1.2. Метод обратной задачи рассеяния в теории гравитации

Впервые метод обратной задачи рассеяния для решения уравнений Эйнштейна был предложен В.А.Белинским и В.Е.Захаровым в 1978 году [5]. В работе рассматривалось применение аппарата МОЗР для анализа вакуумных уравнений Эйнштенйа

где а, 6 = 1,2, ха — х,у, /, функции только I и 2. Таким образом рассматривается двумерная полевая конфигурация.

Исходные уравнения Эйнштейна (1.6) могут быть записаны таким образом

Щи = о

(1.6)

в классе плоско-симметричных пространств

¿в2 = ¡{—сИ2 + (1г2) + даъс1ха(1х

ъ

(1.7)

{ад,£9 1),г1+{а9щ9 ^^О

(1.8а) (1.85)

(1.8с)

А = -®9^9 \ В = -ад,Г)д \ &еЬд — а2,

а^г, = 0.

(1.8 с?) (1.8е)

(т

Здесь £ и ту - конусные переменные:

£ = £ + 77, 7

1.9

Уравнения (1.8с), (1.8^) позволяют линейным интегрированием определить / при известных даь. Метод обратной задачи рассеяния состоит в возможности представления исходных уравнений (1.8) в виде системы линейных операторных уравнений, содержащих комплексный спектральный параметр Л. В дальнейшем эта система решается, определяются собственные функции соответствующих операторов, строится связь собственных функций и неизвестных величин на определённых траекториях в комплексной плоскости.

Соответствующая спектральная задача в данном случае имет вид:

д

БхФ = --Ф

хъа (1Л°)

б2ф = --ф.

Л + а

Операторы В1 и Т>2 определяются следующим образом

С1 = % -

Г Ч (1.11)

А + а

Условие совместности (1.10) (представление нулевой кривизны)

Б^з-БзВх^О (1.12)

имеет место в силу уравнений Эйнштейна.

Связь функции Ф(А,£,ту) с искомой метрикой \даь\ задаётся соотношением

Ы = Ф(0,£,77). (1.13)

Поиск Ф(А,£,7/) осуществляется с помощью "затравочной" функции еЬа), связанной с известным решением уравнений Эйнштейна д^ в соответствии с (1.13).

Так, в работе [5] в качестве известного выбиралось решение Керра. В результате был построен уединённый гравитационный импульс-гравитационный солитон, распространяющийся со скоростью света.

Позднее МОЗР был сформулирован в более удобном детерминированном виде [6]. Для аксиально-симметричных метрик развитие МОЗР рассматривалось в работах ряда авторов [7], [8], [9].

Наряду с вакуумными уравнениями Эйнштейна, МОЗР может быть использован и для непустых пространств. С помощью техники обратного рассеяния в классе метрик (1.7) решалась задача о солитоных возмущениях метрики при наличии источника в виде идеальной жидкости со со "сверхжёстким" уравнением состоянием вещества е = р В.А.Белинским (1979) [10]. Подход к решению элек-тровакумных уравнений Эйнштейна с помощью МОЗР описан в работе Г.А.Алексеева (1987) [13].

1.3. Уравнения Эрнста

Среди эффективных моделей особую роль занимают уравнения Эрнста. Уравнения Эрнста возникают как двумерные редукции

и г-ч и и О

уравнении Эйнштейна для гравитационных полей в вакууме. В случае стационарных полей с осевой симметрией

¿82 = /~1[е2у(с1г2 + йр2) + р2(1ф2} - f{dt - ин1ф)2 (1.14)

эти уравнения могут быть записаны в удобной форме в виде одного нелинейного (квазилинейного) уравнения эллиптического типа для одной неизвестной комплексной функции E(p,z), называемой потенциалом Эрнста [11].

{ЕЕ* - 1 )V2E = 2E*VEVE (1.15)

В другом двумерном случае, когда искомое решение зависит от времени и одной из пространственных координат, как, например, в случае плоских, цилиндрических волн, а также для решений космологического типа, возникает аналогичное уравнение, но уже волнового (гиперболического) типа, которое также принято называть уравнением Эрнста.

В общем случае уравнение Эрнста можно записать в виде:

(у

(ДеЯ)тГ № + ~£)dvE - гГдуЕдцЕ = 0, (1.16)

где греческие индексы пробегают значения 1,2, нумеруя пару существенных координат хм = ж1, ж2; Е = Е{х1,х2) - комплексный потенциал Эрнста; двумерная матрица Tf"v имеет диагональные вид rfv = diag(l, — б), в котором параметр е = —1 для стационарных полей, т.е. в эллиптическом случае, и е = 1 в волновом (гиперболическом). В уравнении (1.16) присутствует также функция а(х1,х2), являющаяся "гармонической": функция а определяется как произвольное невырожденное решение линейного уравнения

гГд11дуа = 0, (1.17)

для которого

ц^д^а ф 0, (1.18)

Если по выбранной функции а(х1, х2) определить другую функцию /^(ж1, ж2), являющуюся "гармонически сопряжённой" к а и вычисляемую из соотношений

Э^(3 = ееЧд„а, (1.19)

где

¡Ь а-20)

то функции а(х1, х2) и (3(х1,х2) удобно принять за новые координаты ж1, ж2. Тогда уравнение (1.16) запишется в виде:

(Де£)(<92 - ед23 + ^да)Е - даЕдаЕ + едрЕдрЕ = 0. (1.21)

Иногда ещё болле удобно пользоваться другой парой независимых переменных (£,??), определяемых по а и (3 формулами:

А = /3 + та ,

4 н 7 (1.22) г) = (3- ¿а,

где у2 = € (У = 1 при б = 1 и 2 — г при е = —1). Таким образом, координаты £ и г] являются вещественными ("конусными") переменными в гиперболическом случае и комплексными, сопряжёнными друг другу в эллиптическом случае.

Были обнаружены различные частные преобразования симметрии для полей, описываемых уравнениями Эрнста. В работе [14] был сделан вывод о существовании бесконечномерной группы преобразований, сохраняющих полевые уравнения, и высказана гипотеза о том, что эта группа действует транзитивно в пространстве всех решений, т.е. эти преобразования позволяют получить любое решение из любого наперёд заданного.

Гаррисоном [15] был использован известный общий подход к анализу внутренней структуры систем - метод Эстабрука-Уолквиста [16] и показано наличие у уравнений Эрнста преобразований Бэклунда. В то же время Нейгебауэром [17] был использован другой подход к поиску преобразований Бэклунда для уравнений (1.16).

В литературе известно несколько определений преобразования Бэклунда, которые даются, как правило на "физическом" уровне строгости. Математически строгое определение в рамках геометрического подхода к дифференциальным уравнениям дано в статье [18]. Для описания конструктивного подхода часто используется менее строгое определение, но более употребительное определение [19], [20].

Пусть имеются две функции такие, что функция

и{х^) удовлетворяет уравнению

их,ии ...) = 0, (1.23)

а функция г>(ж,£) удовлетворяет уравнению

Т(х,ЬиХ1щ,...) = 0. (1.24)

Пусть, кроме того имеется пара уравнений

= 0, (125)

С}{х^,их,щ,.. = 0,

где Р и - некоторые функции, аргументами которых являются независимые переменные ж, неизвестные функции и, V и их производные. Кроме того они могут зависит и от некоторого спектрального параметра А.

Говорят, что пара уравнений (1.25) задаёт преобразование Бэклунда, связывающее уравнения (1.23) и (1.24), если эти уравнения устанавливают такую связь между функциями и(х,€) и что

если мы выберем в качестве и{х,€) любое решение уравнения (1.23), то из (1.25) можно вычислить функцию и(ж,£), которая с необходимостью окажется удовлетворяющей (1.24), и наоборот для любой функции у(х, ¿), удовлетворяющей (1.24), уравнения позволяют вычислить некоторую функцию которая автоматически окажется удовлетворяющей (1.23).

Построение и развитие метода обратной задачи рассеяния (см. 7) привело к возникновению новых подходов к решениям полевых уравнений и поиску соответствующих преобразований Бэклунда [21], [22],

и.

Несмотря на различные подходы к построению решений уравнений Эрнста, многие результаты оказались весьма близкими по содержанию. В работах Косгорова [23], [24], [25] было проведено детальное сравнение различных подходов (метода обратной задачи рассеяния и теоретико- групповых подходов) и показана их эквивалентность.

Метод построения преобразований Бэклунда уравнений Эрнста, использующий элементы различных подходов и их взаимосвязь был представлен Г.А.Алексеевым [26].

1.4. Эффективная нелинейная сигма модель

Одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений современной физики являются нелинейные полевые теории. Среди них

особое место занимает нелинейная сигма модель (НСМ). Во многом это объясняется мощным аппаратом исследования уравнений НСМ, богатой внутренней структурой самой модели. Теории сигма моделей посвящён ряд обзоров и монографий. Развёрнутый исторический обзор можно найти в монографии С.В.Червона [27]. Здесь мы кратко рассмотрим основные этапы развития теории НСМ.

Впервые понятие о а поле и а частице встречается работе Ю.Швингера 1957 года [28]. а поле возникает, как гипотетическое построение, призванное решить ряд проблем в теории квантованных полей. Основной акцент в работе был сделан на анализ преобразований симметрии. Дальнейшее развитие теория получила в работах Т.Скирме [29], Гелл-Манна и Леви [30]. Интерес к нелинейным сигма моделям значительно возрос после работ А.М.Полякова [31] и А.А.Белавина и А.М.Полякова. [32], в которых найдены инстан-тонные решения двмерной чисто бозонной НСМ. Нелинейные сигма модели стали предметом пристального изучения не только с физической, но и с математической точки зрения [33], [82], [35]. Это дало стимул к развитию НСМ, как эффективной теории в ОТО в контексте построения точных решений [36], [14].

Действие для классической бозонной нелинейной сигма модели, определённой на пространственно-временном многообразии (М,д{к(х)) имеет вид [27]

5 = /м у/д^х^ЬАВ 9*к<Р?<Рк, (1-26)

где (Л/", 1ъав(<р)) ~~ киральное пространство полей ср = (ср1,... , (рп), д =

I фь — дк<рА- Лагранжиан модели имеет вид

(1.27)

Уравнения движения, следующие из вариации действия

Одной из первых работ, в которой уравнения Эйнштейна представлялись в виде уравнений НСМ является статья Д.Мэйсона [37]. Было показано, что уравнения Эйнштейна для стационарных аксиально-симметричных пространств допускают представление в духе пары Лакса. При этом уравнения полученной системы оказывались "поразительно похожими на уравнения нелинейной сигма модели, рассмотренными Лушером и Полмейером [38].

Впервые связь вакуумных уравнений Эйнштейна и уравнений эффективной динамической системы вида НСМ была получена Р. Мацнером и Ч. Мизнером [39] при исследовании симметрий четырёхмерного пространства-времени

= ~Р2-

Связь декартовых и полярных координат определяется стандартным образом

Все компоненты метрики не зависят от ф и Ь. Параметризация ме-

— ЯггЫр2 + Аг2\ + даЬ(1ха(1хь, а, Ъ = 3,4 ж3 = </>, ж4 =

(1.29)

ж = рсоБф, у = рвтф, г = г, £ =

(1.30)

трики выбиралась в виде

, , (9tt 9<t>t \9ab\ =

\ 9t<¡> 9ФФ

1.31)

cos | sin I \ / —реР 0 \ / cos | - sin f — sin | cos I / V 0 ре-/3) V sin I cos | Соответствие метрических коэффициентов и полей (параметров) а, /3, р окончательно задавалось следующим образом

gtt = —р{ cos achf3 -f sh/3),

дфф = р(cos ach/3 - sh/3), (1.32)

g<pt = psinach/3.

Это позволяло записать уравнения Эйнштейна Rab = 0:

Rtt = о,

Rt4> = о, (1-33)

Яфф = 0

в терминах введённых полей

V(ch2/3VcO = 0,

1 Í (1-34)

V2/3 + -(Va)2sh2/3 = 0. ¿j

Оператор V имеет 3-мерный смысл:

_ ^ / d2 Q2 Q2 \ ^ ду2 ^ dz2у ' (1-35)

В свою очередь, полученные уравнения следуют из вариации действия

S= £2тг pdpdz (1.36)

для лагранжиана

£ = д'^Ж^, (1.37)

у дхг дхз v 7

где дгз, хг, хJ относятся к вещественному евклидову 3-пространству, Кав - метрика единичного гиперболоида

di2 = (d(3)2 - ch2¡3{da)2 (1.38)

Уравнения (1.35) и (1.32) определяют метрические коэффициенты 9tt, 9t<pi 9ФФ однозначно. Компонента gzz определяется линейным интегрированием уравнений

Rzz —

RPz = о, (1.39)

Rpp = 0.

В рассмотренной работе, однако, не указывалось на соответствие полученных уравнений некоторой НСМ. Методы исследования нелинейно-полевых теорий в то время не были достаточно разработаны, поэтому результаты работы были практически невос-требованы. В статье, вышедшей годом позже цитируемой работы Р.Мацнера и Ч.Мизнера, Ф.Эрнст [11], предлагая новую форму записи уравнений Эйнштейна (см. стр. 10), достаточно скептически высказывается относительно целесообразности получения представления (1.34). В этой же статье приводится связ потенциала Эрнста и полей а и /3, введённых Р.Мацнером и Ч.Мизнером

Ymv = а, ^ ^

Reí/ = lnch|,

где для потенциала Е, являющегося решением (1.15) Е = ev.

Спустя двадцать лет появилась статья Червона C.B. и Мусли-мова А.Г. [40], [41] где аналогичный подход применялся непосредственно для построения эффективной НСМ. Было показано, что для пространства-времени

¿в2 = А{(1х1у + 2ВахЧх2 + С{йхУ - £>[(^)2 - (¿ж4)2], (1.41)

А, В, С, Б зависят только от ж3, х4 действие гравитационного поля, записанное в форме Эйнштейна-Розена

при подстановке, аналогичной рассмотренной в [39]

А = -e^(cosxsh# + ch#), В = е^ sin xsh#, С = e^(cos%sh0 — ch#),

(1.42)

(1.43)

может быть записан как лагранжиан НСМ (1.27), если положить

/-1 0 0 -1\

0 10 0

0 0 зК2в 0

V—1 о О О у

hue

= е^

1.44)

определены на

и киральными полями ср1 = ф,(р2 = 0,сръ = ХчЧ^ — двумерном псевдоевклидовом пространстве ¿в2 = (с?ж3)2 — (¿ж4)2. Утверждалось, что при этом вакуумные уравнения Эйнштейна

Rik =z 0 переходят в уравнения

□ е^ = О,

2 - v?Y4h90 = О

(1.45)

□ 9 +