Точные решения в теории Янга-Миллса, в гравитации и в теории поверхностных волн на воде с критическими длинами волн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Л I I

ВСЕСОЮЗНЫЙ' ИА^ШО-ИССЛВДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ И ВАКУУМА

На правах рукопиои УДК 530.145 : 534.142

АЛИЕВ Байраы Нуру оглы

ТОЧНЫЕ РИШШЯ В ТЕОРИИ ЯНГА-ГДШ1СЛ, В ГРАВИТАЦИЯ И В ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТНИХ ВОЛБ НА ВОДЬ С КРИТИЧЕСКИМИ ДУШАМИ ВОЛН

01.04.02 - Творегичеокал физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-глэтошгяческшс наук

Москва - 1992

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механкко-математи чеокого факультета (¿ооновского государственного университета имени М.В.Ломонооова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А.Н.Лезнов;

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.Л.Мествиришвиля;, кандидат физико-математических наук К.А.Бронников.

Ведущая организация - Университет Дружбы народов им. П.Лумумйы. Запита диссертации состоится

1992 г.

в ^чаоов на заседании Специализированного совета К 041.07.02 при Всесоюзном научно-исследовательском центре по изучению поверхности и вакуума по адресу: 117313, Москва, ул.Марии Ульяновой, дом 3, корпус I.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке

внщпв.

Автореферат разослан

"Л " аи^Р 1992г.

Учений секретарь Специализированного оовета кандидат физико-математических наук

М.И.Калинин

! ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ !

Актуальность теш. Точно интегрируемые нелинейные динамические-, системы являются одной из самой бурно развивающейся об-тстьп теоретической и математической физики. Прогресс в изучении таких нелинейных систем достигнуто благодаря нового метода интог-шрования нелинейных уравнений - метода обратной задачи рассеяния ши так называемая теория солитонов (см. [д] - £зJ ).

Цель работы. Исследование вопроса интегрируемости уравнения эознякащий в теории отоксовких неустойчивостях, получение некоторых классов решений в теории гравитационных полей,и в теории I баб елевых калибровочных полей.

Научная новизна. Получены пары Лакса для уравнения, опиоываю-ше амплитуду медленно меняющихся волновых пакетов на воде с критическими длинами волн, установлена калибровочная эквивалентность 1той модели к ранеэ известной и получено бесконечное число лока-пышх законов сохранения. Построено "солитоноподобный" подкласо гашений автодуальных уравне ний Янга-Миллса для произвольной полу-фостой алгебры 1и. Найден ряд точных решений вакуумных уравнений Жяштейна о группой движения. •в классификации Петровл,

(ИЙ^на^Й метрического, тензора" ш^эрпратированы через основные юнятия! теории калиброванных полей.

--ч>

С1] Абловиц М., Сигур X. Солитот и метод обратной задачи. Пер.о англ.-М. М*ф,' 1987, 479 с.

[2] Захаров В.Е. и др. - Теория солитонов. Метод обратной • задачи. М., Наука, 1980, 319 с. •

. иН , , «у? , />■ К»*-

Степень обоснованности результатов обеспечивается использ ванием адекватных физических моделей, корректной матемитичесхс постановкой рассмотронных задач и использованием математячеыи строгих методов, приводящих к точным Аналитическим решениям, < падающим в частных и предельных случаях о >" известными ранее.

Предложения по использованию. Результаты работы могут бы использованы в теории волн на поверхности тяжелой води, в те пеабелевых калибровочных полей, в теории гравитационных полей

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались обсуждались: на семинаре кафедры гидроыеханячи МГУ под руковс вом академика Л.И.Седова; на семинаре "Гравитация и неликейш волны" механико-математического факультета МГУ под руководст: проф. Н.Р.Сибгатуллина; на семинаре "Математические методы г механики" НИИ Механики МГУ под руководством проф. А.Г.Кулике лого и проф. А.А.Бармина; на семштре отдела теорфизики ИФШ на международном рабочем семинаре "Теория представления грус ее приложения" в Баку 1991г. (август).

Публикации. Основные полученные результаты диссертацио] работы отражены в публикациях автора С^-З] •

Структура и объем паботы. Диссертация состоит из введ трех глав, комментарий к каждой главе, заключения и списка литературы из 51 наименования. Общий объем диссертации - 8' ниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор результатов, овязашшх о темой диссертации и кратко изложено содержание глав.

В главе I изучается специальный подкласо решений ("солитоио-подобный") автодуальных уравнений Янга-Миллса. Уравнение авто-уальности в форме Янга

къ+^+СЬ'М-0 (I)

де У элемент алгебры Ли, допускает различие двумерные редук-№ (здесь Ц,у, 7-, 2. комплексные координаты). Еоли искать ешение (I) в виде

/ - Г У . где /, С- , Г' Г+И

р

'о для ~ получается двумерное уравнение, которое имеет вид

(ь-Ю = СЬ >(2)

"равнение (2) - задача главного кирал^ного поля, положение полю-ов которого зависит от независимых аргументов и мояот быть полу-:ено из формализма парн - "

(■ ~ Лг}, > V* . . .

де О' элементы алгебры, /\- спектральный параметр, ¡аметим, что уравнения ОТО о двумя коммутирующими векторами Кил-жнга описывающие стационарно-аксиально симметричные поля тоже меюг вид (2), причем в случае вакуума матрица Р имеет размер-гасть (2 х, а в случае электровакуума размерность матрицы

/"* есть (Зл'З) . Однако, для получения решений в ОТО на матрицу надо налагать некоторые дополнительные условия. Основной результат главы I состоит в том, что с помощью задачи Риыана из теория аналитических функщш, построен широкий класс решений уравнений (I). Пусть являются функциями, аналгтичоскиш внутри и вне контура сС в плоскости комплексного переменного» % принимающие здачекие в группа, удовлетворяющих на X еа&ШШиШ

А е

{3

В § 3 главы I посвящен описанию задачи (3) и установлено, что специальный внбор ГМ) и асимптотическое условие на Ф1К приводе к решению уравнения (2), т.е. если

ехр (¡г. (>■)) = ар (*» е, т «Р {■ х п) ф-(».-!<■

* ' *

(в окрестности точки ^ - . ), то решение (2) ийеет вид

>г ^а-ю , : - " .

где - некоторое целое число, Н" - некоторый оператор алге рн, диагональный во всех представлениях,'собственные значеная торого целочисленные, Д(^) - есть только функция А и не имеет ихкаких особенностей при аналитическом продолжении его матричных элементов тем или паии способом во внутрь контура ^ Предполагается, что точка }, и ^ находятся внутри контура , Представляя злеиант Ф А) в вида

WW)

a,

и__ +

«с

cl-l

(H)

"Id

= /

MJ

с использованием вышесказанных, решение задачи Римана (3) све-,ена к решению линейной алгебраической системы уравнений. Все ре-1ения построены с помощью следующих объектов: I) Тк - есть шжняя треугольная матрица, построенная из функции ^ и ее произ-юдннх вплоть до К -го порядка включительно:

/ V, о, о, ... о

г к =

h\ V, о,.. о

f£ ! , удовлетворяющий свойствам

2) ^ (ОС) - матрица биномиальных коэффициентов // х* ...

CkM's

\

О, о,

о; .L

которая обладает групповым свойством < (х) ' Все реиеняя построены с помощью элементов Сц(± L) , f к • В качеотвэ примера приведем саша простой вид решения, когда матрица ¡~ имеет размерность Sr i . Задача Римана ишет форму

л

I

(т. ьщщ гщ■ м

= 9

Уравнения для определения ^ ^ получайся' из'

нания отсутствия особенностей элемента Ф в тотХй^ //у Л - . Решение уравнения (2) имеет вид

с - а-з)г л-х-^л * * /

где 'Р) У есть функции аргументов ?! > соответственно, ^ ~ ) ^ ) ) являются

образующими алгебры ^^ (2-, .

В § 4 главы I рассмотрены примеры алгебры

ДЛЯ

произвольного и показано, что редукция к Б £ (2, пряво к вышеустановлешоку решению. Последующие примеры в § 4 посвяш построению рет&ния для алгебры 5 £ Г'), 1М_) с произвольным В общем случае решения выражены через элементы V ^ , и количество произвольных функций входящих в решения равно

функций аргумента и столько ¿:е аргумента , гдд. /V \ ьеркость алгебр«, г ее ранг (т.е. размерность подалгебры, 01 тояцей из диагональных матриц).

^.ололнителыше ограничения на произвольные функции ^ У вы /зляат класса ресений описывающих стацяонарные аксиально сил ХГ.ч;ше граы'.глц^эшгае поля. Поскольку эти по. л соответствуют

ше!01ям допускающих двух коммутирующих векторов Киллинга, естественно, представляет большой интерес рассмотрение случая двух некошутирующих векторов Киллинга, ибо по имеющимся источникам (см. [4] ) до сих пор неизвестно ни одного решения из этого класса.

Нахождение точных решений уравнений ОТО, допускающих двух некошутирующих вектора Киллинга, составляет содержание главы П. В § I посла краткого введения в теории групп Ли, необходимого для дальнейшего, по двум некоммутирующим векторам Киллинга /у ССп - — /¿»

¡1 г 2. -гссл ' - в координатной карта ( ^ >

л л л

£¿7,ич ), удовлетворяющих условию ГН, Х*^ — Х+ , установлен канонический вид метрического тензора , который позволяет записать интервал в форме

где

¿АА- ^¡Мъ^ч) (строка), (стол-

бец) , у+_/с>оооч /о 1 о о \

I. о оо ] А - { о о о о ) О О о о ) ' ' " ' ~ '

О ООО!

- симметрический тензор второго ранга.

Форш (7) установлена посла решения соответствующих уравнений Киллинга . В § 2 рассмотрены трансформационные 'свойства компонент метрического тензора относительно следующего преобразования.координат

[4] Крамер Д. и до. Точные решения уравнений Эйнштейна. Пер. с англ. М., Мир, 1982, 416 с."

Для этого представим элемент ^ посредством разложения Гаусса

9 н1лЛ о,ь)(о{ 1Х), л (аА /ч

I ~ А/^ ) а [к, / **

Прямой проверкой убеждаемся, что элементы матрицы Л преобразуются как калибровочные потенциалы:

А С'% с - Г421 /Ч V; Л

I О о / о«. • > ' '. I с У л/

элементы ^ - волновые функции "поля материи"

- три независимые компоненты метрического тензора пространства двух измерений ^ . Такой подход позволяет написать уравнения ОТО о двумя некоммутирующими векторами Киллинга прямо исходя из уравнений соответствующая к двум коммутирующим векторам, о чем более подробно говорится в комментарии к главе П. С этой точки зрения глава П может быть рассмотрена как неаб£левое обобщение главы I.

Далее, в § 3 выписаны уравнения Эйнштейна (вакуумные) .

- 0 в данной параметризации и изучено свойство возникающей системы уравнений. В качестве независимых уравнений выбрано уравнения - ^о -О. н ~ О

вместе с определениями /у и , где

¡.г,

У

Г Аз ± I < , /" г У, ^ . ^ _ Ъ)

(Заметим, что ^^ являются линейными комбинация!.™ компонент тензора Риччи ). Кроме этого '¿еория остается инвариантной

по отношению к калибровочным преобразованиям

и конформным преобразованием, сохранающими диагональноеть метрики двумерного пространства.

В § 4 приведены различные точные решения:

а) Пусть А? — г О и с помощью калибровочного преобразования положим . Решением является

II1- фа/)^]о)

и это есть в точности решение из класса Кундта-Элерса, описывающей вырожденные статические вакуумные решения типа 2) в классификации Петрова ( С'У ).

б) Найдено обобщение этого решения в присутствии "калибровочных полей"

% [Ни* - -¿¿¡ГХи,

ш/ %) м -г и, «V ;

где

и ¿у~ £ с.

1±_; Д' Щ-??-т)

& ^ „и-г у 'у - г--—:-г:

3 X.

Г с,

д (.гЛ _ £1 _ _з г »

А, - г* г л д- дк ^

/3 ^

ттг7

™7 /

•_ произвольные константы, С физической точки зрения это решение может быть интерпретировано как решение, описывающее взаимодействие поля Элерса-Кундта с внешним калгбровочным полем . Далее, в качестве примера рассмотрено еще несколько серий решений, которые указывают о нетривиаль-

ш

ности алгебры внутренней симметрии возникающей систок; уравнении, что является предметом дальнейшего исследования.

В главе Ш изучается вопрос интегрируемости с точки зрения теории солитонов, уравнение описывающее модуляционные волны на воде с критическими длинами волн.

Уравнения, описывамдае волны „ на поверхности идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в пола силы тякести, имеют вид

3

Ко

у4 У/

Л//

, ///А

й

^^ ^ ^ -со

<Х< Ю, О ¿У £

- О при 0

уI и

г _ а. А?-

г - "[¡^ С и уравнения записаны в безразмерной

форма ( ¿1 - амплитуда, к0 - постоянная глубина, & - длина волны), л)

Как известно , нелинейное уравнение Шредангера, описывающее амплитуду медленно меняющихся волновых пакетов га поверхности вод», получается из задачи (II), если искать ее решение в форме

^ П г* Ш Ет с

tf ~ Ф(5, г; ^ [ ZX s -UW" «/

' «го J

(12)

где В ~ ^ О( с означает комплексное

сопряжение, 3 = , г- - медленный масштаб и

время,' Ф^Ь,!) индуцированное среднее точение, при устранении секулярных членов в третьем порядке- по £ . Оно имеет вид . г Л/« * Л(6) А,/До,/2= о

(13)

причем AU, при С

Р > 1 $ фазовая и групповая скорость соответственно. Хасилото и Оно посредством уравнения (1.§) проверяли устойчивость стоксовских волн: устойчивость зависит от знака /\.{ù) и, в зависимости от знака (13) имеет разные решения. • Необходимость учета членов болеа высокой нелинейное?;! при

А ~ О было показано Р.Джонсоном Неодк медлаише масштабы У= S41 , - £ (х~ fy*), он получая уравнение ■^HaamvioH-, Or. а H. ycwtWot «adafaJiet, <еа<гу1 ,4,

ш) JûkhSCn К S., O/l //u n^UCif'^ c/ ^ ^

ДaWS-Ï°î1ohJ, 4 m, /V-//,.

следующего вида ^ yj Д /д,,/^ А/У ^

Д i Аоп - г j "

- l/doil*

"5

(14)

и: - ?.//iqiJz

где

Коэффициенты Q-i > О , котя (1~ 11 ~S) известны только при ¿-¿о . Любопытно отметить, что в этом приближении получается новое условие-1 устойчивости

^ < (.563 ПЛ)2

т.е. устойчивость зависит от амплитуда волны;

§ 2 посвящен изучению интегрируемости уравнения (14). Перепишем ее б виде

- ZjPr =Oj с <Р//!/■*

(15)

Сделаем калибровочное преобразование

j С ея,/>(-4(В) л

Оf z <ГМг, 9Т г §■

Г^ et - (^а, [<{f 4)t asti постоянные " й-£ пусть удовлетворяют условию f&, + f-3Aè Q

а ¿А определяется из уравнение

к fa, Ю/ zo

(16)

При этих условиях уравнение (15) приводится к уравнению

' 11т - V/J --о ('V

которое известно как нелинейное уравнение Шредингера с производной. Заметим, что в этом случае волки Стокса уотойчиви при воех значениях параметров

В § 2 методом Эстабрука-Уолнвиота найдены пары Лаков для (IÎ)

xHîi). ^(о'Д)

Условие совместности переопределенной линейной системы ^ г О1/ ) % = Vf, 1h - V} + LР, V] = о является уравнение (ГУ.

В § 3 найдено бесконечное число локальных законов сохранения для (1$). Они определяются из рекурентяих соотношений

//• -.fi ii/z ' : • ■À = ff/г'^ , ^

xj i/ûUqut^-i И,, иЫъоск Р. ЫсхОа^'^ '

ли '¿Шй^ -fyia*?*,

Н-1

2Л„ фг^т-пг^ъ)

ЬО

-П.

т.е. Ч (МЛх со , где Н Г - ' X ^ ^ ^ А" т »-о

и тем самим мы можем написать законы сохранения (бесконечное число) для уравнения (15).

Далее в этом же параграфа установлена калибровочная эквивалентность мевду (1*5) и обычной системой нелинейного уравнения Шредингера, т.е. если / 1(4, X) решения системы

11и -„о

+ «Я Ч^-ираг1-)*

Л, Л* .

то ? {() х) определенные по формулам х

удовлетворяют системе

которое сводится к стандартному нелинейному уравнению Шредингера при г* •

В Заключение сформулированы основные научные результаты, полученные в работе, сводящиеся к следующим.

I. Построено "солитонояодобянй" подкласс решений уравнений Янга-Миллса (автодуальных) - задачи главного кирального поля с подвижными полюсами (стационарно аксиально симметричные гравитаца-

онные поля) для произвольной полупростой алгебры Ли. Эти решения " не общие в том смысле, что произвол функций входящие а эти реше-. ния недостаточны для решения задачи Коии(Гурса).

II. Найден ряд точных решений уравнений ОТО(тккумных). с группой движений iH // в классификации Петрова, в частности, решение

обобщающее решение Элерса-Кундта, описывающие статические вырожденные ваккукные решения типа

III. Установлены пары Лакса для уравнение, описывающий амплитуду медленно меняющихся волновых пакетов на воде с критическими длинами волн, показана калибровочная эквивалентность этой модели

к ранее известной и получено бесконечное число локальных законов сохранения (интегральных).

Основные результаты диссертации отражены в следующих печатных работах: . .

. 1. Allev В.H., Leznov A.M. The problem of principal chiral field with the parameters depending on fr^e arguments and its intégrât ion.-IiffiP Preprint 89-205, ¿erpukhL>v,1989,p.21, Acta .Appl, Uath. , 1992, .july

2. Aliev В.Ы., Leznov А.И. Exact solutions of the Einstein's vacuum equations allowing for two noncomnuting Killing veotors( Type G2 II of Petrov classification.)- IHKP Preprint 9О-5О, i>rotvino,19$tO,p.13, J.Math. Phys., 1992,¿line.

3. Алиев Б.Н. 0 точных решениях в теории поверхностных волн на воде с критическими длинами волн. Веб. математические методы в црхатке. Конференция колодых ученых мск-и&та ИГУ, 1990.